在数轴上表示或辨认无理数
数轴上的无理数
数轴上的无理数数轴是我们学习数学时经常用到的一个工具，它能够帮助我们直观地理解和比较不同的数值大小。
在数轴上，我们不仅能够找到整数和分数这样的有理数，还能发现一类特殊的数，即无理数。
无理数是无法用有理数表示的实数，它们有着许多有趣的性质和应用。
本文将介绍数轴上的无理数及其常见的表示方法。
一、无理数的定义和性质无理数是指不能表示为两个整数之比的实数。
举个例子，根号2是一个典型的无理数。
我们无法找到两个整数，使得它们的比等于根号2。
同样地，π和e这样的数也属于无理数。
无理数在数轴上的位置是非常特殊的。
由于无理数无法用有理数表示，它们在数轴上是无法精确地标记出来的。
然而，我们可以使用近似值来表示无理数在数轴上的位置。
例如，根号2约等于1.41，我们可以将它标记在数轴上离1.41这个位置比较近的地方。
另一个有趣的性质是，无理数在数轴上是无穷无尽的。
无理数的小数部分是无限不循环的，即它们没有重复的数字模式。
这使得无理数在数轴上没有终点，无论我们怎么放大数轴的尺度，都无法精确地将无理数用有限的长度表示出来。
二、无理数的表示方法无理数可以用不同的表示方法来表示。
下面是一些常见的表示方法：1. 无限不循环小数表示法：无理数可以通过无限不循环小数来表示。
这种表示方法将无理数的小数部分写成无限长的数字序列，例如根号2可以表示为1.41421356...。
虽然我们无法将整个无穷的小数写出来，但我们可以根据需要将其截断，以得到我们所需的精度。
2. 分数表示法：某些无理数可以表示为不可约分数的形式。
例如，根号2可以表示为2的平方根。
虽然这种表示方法不能精确地表示无理数在数轴上的位置，但它提供了一种近似的方式，使我们能够更好地理解无理数的大小关系。
3. 根式表示法：无理数可以用根式来表示。
例如，根号2可以表示为√2，π可以表示为π。
这种表示方法使无理数更加简洁和直观，方便我们在计算中使用。
三、无理数的应用无理数在许多领域中都有重要的应用。
七年级数学上册 2.2 有理数与无理数 怎样根据点在数轴上的位置确定数,根据数的大小在数轴上找到点的
怎样根据点在数轴上的位置确定数，根据数的大小在数轴上找到点
的位置？
难易度：★★★★
关键词：确定数点的位置
答案：
一般地，任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，数轴上正数的排序是从原点向右依次是1，2，3，；负数的排序是从原点向左依次是-1，-2，-3，。
【举一反三】
典例：数轴上的A、B、C、D、E各点分别表示怎样的数？
思路导引：判断数轴上的一个点表示怎样的数，首先看它在原点的哪一侧，在原点的右侧表示正数，在原点的左侧表示负数；另外再看它离开远点的距离即可知道它表示哪个数。
标准答案：
图中Ａ点表示4，Ｂ点表示1.5，Ｃ点表示-3，Ｄ点表示－2.5，Ｅ点表示0．。
数轴上画出表示无理数
17.1 勾股定理（3）一、教学目标知识与技能1．利用勾股定理，能在数轴上找到表示无理数的点．2．进一步学习将实际问题转化为直角三角形的数学模型，•并能用勾股定理解决简单的实际问题．过程与方法1．经历在数轴上寻找表示地理数的总的过程，发展学生灵活勾股定理解决问题的能力．2．在用勾股定理解决实际问题的过程中，体验解决问题的策略，•发展学生的动手操作能力和创新精神．3．在解决实际问题的过程中，学会与人合作，并能与他人交流思维过程和结果，形成反思的意识．情感、态度与价值观1．在用勾股定理寻找数轴上表示无理数点的过程中，•体验勾股定理的重要作用，并从中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．2．在解决实际问题的过程中，形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯．二、教学重、难点235重点：在数轴上寻找表示，，，，……这样的表示无理数的点．难点利用勾股定理寻找直角三角形中长度为无理数的线段．三、教学准备多媒体课件四、教学方法分组讨论，讲练结合五、教学过程(一)复习回顾，引入新课复习勾股定理的内容.本节课探究勾股定理的综合应用.思考：在八年级上册中我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？先画出图形，再写出已知、求证.探究：我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上表示出的点吗？的点呢？设计意图： 上一节，我们利用勾股定理可以解决生活中的不少问题．在初一时我们只能找到数轴上的一些表示有理数的点，而对于象，，……这样的无理数的数点却找不到，学习了勾股定理后，我们把，，……可以当直角三角形的斜边，只要找到长为，的线段就可以，勾股定理的又一次得到应用． 师生行为：学生小组交流讨论教师可指导学生寻找象，，……这样的包含在直角三角形中的线段．此活动，教师应重点关注：①学生能否找到含长为，这样的线段所在的直角三角形；②学生是否有克服困难的勇气和坚强的意志；③学生能否积极主动地交流合作．师：由于在数轴上表示的点到原点的距离为，所以只需画出长为的线段即可． 我们不妨先来画出长为的线段．213232323232131313132生：长为的线段是直角边都为1的直角三角形的斜边． 师：长为的线段能否是直角边为正整数的直角三角形的斜边呢？生：设c=，两直角边为a ，b ，根据勾股定理a 2+b 2=c 2即a 2+b 2=13．若a，b 为正整数，则13必须分解为两个平方数的和，即13=4+9，a 2=4，b 2=9，则a=2，b=3．•所以长为的线段是直角边为2，3的直角三角形的斜边．师：下面就请同学们在数轴上画出表示的点．生：步骤如下：1．在数轴上找到点A ，使OA=3.2．作直线L 垂直于OA ，在L 上取一点B ，使AB=2.3．以原点O 为圆心、以OB 为半径作弧，弧与数轴交于点C ，则点C 即为表示的点．(二)新课教授例1、飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4 800米处，过了10秒后，飞机距离这个男孩头顶5 000米，飞机每小时飞行多少千米？分析：根据题意，可以画出图，A 点表示男孩头顶的位置，C 、B •点是两个时刻飞机的位置，∠C 是直角，可以用勾股定理来解决这个问题．解：根据题意，得Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=5 000米，AC=4 800米．由勾股定理，得AB 2=AC 2+BC 2．即5 0002=BC 2+4 8002，所以BC=1 400米．21313131313飞机飞行1 400米用了10秒，那么它1小时飞行的距离为1 400×6×60=50 400米=504千米，即飞机飞行的速度为504千米/时．评注：这是一个实际应用问题，经过分析，问题转化为已知两边求直角三角形等三边的问题，这虽是一个一元二次方程的问题，学生可尝试用学过的知识来解决．同时注意，在此题中小孩是静止不动的．例2、如右图所示，某人在B处通过平面镜看见在B正上方5米处的A物体，•已知物体A到平面镜的距离为6米，向B点到物体A的像A′的距离是多少？分析：此题要用到勾股定理，轴对称及物理上的光的反射知识．解：如例2图，由题意知△ABA′是直角三角形，由轴对称及平面镜成像可知：AA′=2×6=12米，AB=5米；在Rt△A′AB中，A′B2=AA′2+AB2=122+52=169=132米．所以A′B=13米，即B点到物体A的像A′的距离为13米．评注：本题是以光的反射为背景，涉及到勾股定理、轴对称等知识．由此可见，数学是物理的基础．例3、在平静的湖面上，有一棵水草，它高出水面3分米，一阵风吹来，水草被吹到一边，草尖齐至水面，已知水草移动的水平距离为6分米，•问这里的水深是多少？解：根据题意，得到右图，其中D 是无风时水草的最高点，BC 为湖面，AB •是一阵风吹过水草的位置，CD=3分米，CB=6分米，AD=AB ，BC ⊥AD ．所以在Rt △ACB 中，AB 2=AC 2+BC 2，即（AC+3）2=AC 2+62，AC 2+6AC+9=AC 2+36.6AC=27，AC=4.5，所以这里的水深为4.5分米．评注：在几何计算题中，方程的思想十分重要．设计意图：让学生进一步体会勾股定理在生活中的应用的广泛性，同时经历勾股定理在物理中的应用，由此可知数学是物理的基础，方程的思想是解决数学问题的重要思想．师生行为：先由学生独立思考，完成，后在小组内讨论解决，教师可深入到学生的讨论中去，对不同层次的学生给予辅导．在此活动中，教师应重点关注：② 学生是否自主完成上面三个例题；②学生是否有综合应用数学知识的意识，特别是学生是否有在解决数学问题过程中应用方程的思想．例4、练习：在数轴上作出表示的点． 解：是两直角边为4和1的直角三角形的斜边，因此，在数轴上画出表示的点如下图：设计意图：进一步巩固在数轴上找表示无理数的点的方法，熟悉勾股定理的应用．171717师生行为：由学生独立思考完成，教师巡视．此活动中，教师应重点关注：（1）生能否积极主动地思考问题；（2）能否找到斜边为，另外两个角直边为整数的直角三角形．例5 已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2.求：四边形ABCD 的面积.分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC ，或延长AB 、DC 交于F ，或延长AD 、BC 交于E ，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单.教学中要逐层展示给学生，让学生深入体会.解：延长AD 、BC 交于E.∵∠A=∠60°，∠B=90°，∴∠E=30°.∴AE=2AB=8，CE=2CD=4，∴BE 2=AE 2-AB 2=82-42=48，BE=48=34.∵DE 2= CE 2-CD 2=42-22=12，∴DE=12=32.∴S 四边形ABCD =S △ABE -S △CDE =21AB·BE-21CD·DE=36 小结：不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差.（三）巩固练习1．在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥BC 于D ，∠A=60°，CD=3，AB=.2．在Rt △ABC 中，∠C=90°，S △ABC =30，c=13，且a ＜b ，则a=，b=.173．已知：如图，在△ABC 中，∠B=30°，∠C=45°，AC=22，求（1）AB 的长；（2）S △ABC .4．在数轴上画出表示－52,5 的点.答案1．4；2．5，12；3．提示：作AD ⊥BC 于D ，AD=CD=2，AB=4，BD=32，BC=2+32，S △ABC = =2+32；4．略.（四）课堂小结1、进一步掌握利用勾股定理解决直角三角形问题；2、你对本节内容有哪些认识？会利用勾股定理得到一些无理数并理解数轴上的点与实数一一对应．（五）、板书设计17.1 勾股定理复习勾股定理相关内容问题引入： 你能在数轴上表示出的点吗？的点例题讲解： 例1 例2随堂练习 213呢？新课教授：在数轴上表示无理数的方法和步骤强调：理解数轴上的点与实数一一对应．小结 1、利用勾股定理解决直角三角形问题 2、会利用勾股定理得到一些无理数 布置作业：（六）、课后作业 1．在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥BC 于D ，∠A=60°，CD=3，AB=.2．在Rt △ABC 中，∠C=90°，S △ABC =30，c=13，且a ＜b ，则a=，b=.3．已知：如图，在△ABC 中，∠B=30°，∠C=45°，AC=22，求（1）AB 的长；（2）S △ABC .4．已知：如图，△ABC 中，AB=26，BC=25，AC=17， 求S △ABC .答案：1．4；2．5，12；3．提示：作AD ⊥BC于D ，AD=CD=2，AB=4，BD=23，BC=2+23，S △ABC = =2+23；4．作BD⊥AC于D，设AD=x，则CD=17-x，252-x2=262-（17-x）2，x=7，BD=24，S△ABC=12AC·BD=254；教学反思注重数学与生活的联系，从学生认知规律和接受水平出发，这些理念贯彻到教材与课堂教学当中，很好地激发了学生学习数学的兴趣.学生们善于提出问题、敢于提出问题、解决问题的能力强，已经成为数学新课标下学生表现的一个标志.通过学习几何可以认识丰富多彩的几何图形，建立与发展空间观念，掌握必要的几何知识，培养运用这些知识认识世界与改造世界的能力.但是，这些并不是几何学的全部教育功能.从更深层次看，学习几何学的一个重要的作用是：以几何图形为载体，培养逻辑思维能力，提高理性思维水平.这正是自古希腊开始几何教学一直倍受重视的主要原因.按照人的一般认知规律，认识几何图形的过程，也是从具体到抽象，从简单到复杂，从特殊到一般，从感性到理性的过程.根据教育心理学的规律可知，初中学生多处于认识方法发生升华的阶段，他们对事物的认识已不满足于表面的、孤立的层次，而有了向更深层次发展的要求，即向往“由此及彼，由表及里”的思维方式.从几何教学的内容看，学生们从小学开始已经通过直观实验这种主要方式学习了基础的图形知识，在他们的头脑中已经积累了一定的关于图形的感性认识，在初中阶段应该更深入地在“为什么”的层面上认识图形.显然，单纯的直观实验这种学习方式已经不适应继续深入学习的需要，因为这种方式难以真正从道理上对图形规律进行解释，而逻辑推理的方式才能担此重任.因此，从“实验几何”向“推理几何”的过渡成为初中几何教学必须面对的问题，培养逻辑推理能力成为初中几何教学必须实现的教学目标.。
17.1.3勾股定理应用2(数轴上表示无理数)
A
B
D
B
∴点C即为表示 13 的点
A
0
1
2
3 C 4
你能画出斜边为
的直角三角形吗？ 5
5
2
1
1、在数轴上表示 —
5
的点吗？
数学海螺图：
利用勾股定理作出长为
1,
2,
3,
4,
5 的线段.
17
1
1
2
3 4 5
6
2、在数轴上画出表示
的点 17 的点 20
3、在数轴上画出表示
小结：
•说说你的本节课的 收获？
35154545232312312345探索规律在数轴上表示的数右边的数总比左边的351535115
17.1勾股定理（3）
---在数轴上画出无理数
勾股定理（gou-gu theorem)
直角三角形两直角边的平方和等 于斜边的平方。
符号语言：
a
c
∵Rt△ABC中，∠C=90°
b
∴ a b c
2 2
如图，小颍同学折叠一个直角三 角形的纸片，使A与B重合，折痕为 DE，若已知AC=10cm，BC=6cm,你 B 能求出CE的长吗？
D
10-x
A
E
6
x C
2.矩形ABCD如图折叠，使点D落 在BC边上的点F处，已知AB=8， BC=10，求折痕AE的长。Aຫໍສະໝຸດ D EBF
C
3.RtΔABC中,AB比BC多2,AC=6, 如图折叠,使C落到AB上的E处, 求CD的长度, C
C
B D A
3、蚂蚁沿图中的折线从A点爬到D点，一共爬 了多少厘米？（小方格的边长为1厘米） G A
17.1.3勾股定理3(数轴上表示无理数)
3
2
1
-2
-1
l B
2
3
1
0
1 232
思考：在数轴上标出 6 。
.
解：（1）在数轴上标出 6 的点。 （ 6）2 （2 ）2 （ 2 ）2（ 6）2 （ 1）2 （ 5 ）2
2
6
2
6 1
5
.
1．判断正误： （1）所有的无理数都能在数轴上表示．（√） （2）数轴上的点都表示无理数．（×）
.
自我检测1：
一、完成下列题目： 1、 ①若两条直角边分别为1和1，则斜边的长为 ②若两条直角边分别为 2和1，则斜边的长为 ③若两条直角边分别为 3和1，则斜边的长为 ④若两条直角边分别为 4和1，则斜边的长为 ⑤若两条直角边分别为 5和1，则斜边的长为 ⑥若两条直角边分别为 6和1，则斜边的为
……
2； 5； 10； 17； 26； 3；7
温故知新
勾股定理:直角三角形两直角边的 平方和等于斜边的平方。
符号语言：
c a
∵Rt△ABC中，∠C=90° b
∴ a2 b2 c2
.
温故知新
说出下列数轴上各字母所表示的实数：
A
B
-2 -1
点A表示 2
点C表示 1
C
D
012
点B表示
2 3
点D表示 7 3
.
我们知道 实数
一一对应
数轴上的点
有理数可以在数轴上表示，那么无理数是怎
C = 12 12 2
步骤：1.在数轴上找到点A,使OA=1;
2.作直线L⊥OA于点A,在L上截取AB=1;
3.以原点O为圆心，以OB为半径画弧与数轴交于
C点，则点C即为表示. 2 的点。
6.3无理数可以在数轴上表示出来吗？——实数(2012.10.23)
6．3无理数可以在数轴上表示出来吗？——实数背景材料：自从学习了实数的知识，小贝有一种体会——实数的内容简直是太丰富了！别的不说，光是“实数与数轴上的点是一一对应的”这一句话，就让小贝琢磨了好几天，她几乎花了这几天中所有的业余时间来消化理解这个结论．今天晚上写完作业后，小贝找出纸笔、计算器和绘图工具，她准备亲自动手，将一些无理数表示在数轴上．首先，小贝搜罗来六个无理数：π；2π-研究怎样在数轴上表示出这些数．根据小贝的设想，先在原点上方画一个直径是1个单位长度的圆，使圆与数轴接触的点恰好是原点0，因为圆的直径是1，所以圆的周长是π，将圆从原点沿数轴向右滚动一周，那么现在圆与数轴接触的点到原点的距离就是π，这样就可以在数轴上表示出π来了．可是设想毕竟是设想，真到了实践的时候却出了问题：在原点处画的圆是“死的”，动不了！这可咋办？小贝充分发扬了不怕麻烦勤动手的优良习惯，索性用卡纸做出一个直径是1个单位长度的圆形纸片，这下好了，将圆形纸片在数轴上滚动一周，记下了此时圆与数轴的接触点，满意地在那里标记上“π”．下一个数是2π-，有了圆形纸片，标记这个数就好办多了，因为2π-是负数，且它的绝对值是π的一半，所以这次纸片滚动的方向是向左的，滚动半周就可以了．．记得学习平方根的时候老师讲过，作一个边长为1的正方形，那么正方形的对角线长这时小贝发现，以上面的π为基础，可以表示出很多与它们有关的无理数：如－π，1，π.732≈2.236.618，最后在数轴上把这三个数一一表示出来．2532－1－2120－π43知识解读：一、实数的概念及分类通过前面两节的学习，我们知道很多数经过开平方或开立方后所得的结果都是无限不循环小数，因而、π等．有理数和无理数合在一起统称为实数．像有理数一样，无理数也有正负之分．例如3π、5、37是正无理数，－3、3-π是负无理数．所以实数也可以细分为：实数的性质：（1）实数范围内仍然适用在有理数范围内定义的一些概念（如倒数，相反数）．（2）两实数的大小关系：正数大于0，0大于负数；两个正实数，绝对值大的实数大；两个负实数，绝对值大的实数反而小．在数轴上，右边的实数大于左边的实数．（3）在实数范围内，加、减、乘、除（除数不为零）、乘方五种运算是畅通无阻的，但是开方运算要注意，正实数和零总能进行开方运算，而负实数不能开偶次方．（4）有理数范围内的运算律和运算顺序在实数范围内仍然相同． 二、实数的运算在实数范围内，有关有理数的相反数、倒数和绝对值等概念、大小比较、运算法则及运算律仍然适用． 实数a 的相反数是－a ；一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是022；－π的相反数是π；1221；π-＝π；0＝03的倒3．当数从有理数扩充到实数以后，在进行实数的运算时，有理数的运算法则和性质等同样适用．例如：(32)23223=；3323＝3222332263-三、实数的比较大小在比较实数大小的时候，要注意方法的运用．1．代数法：正数大于非正数，零大于负数，对于两个负数，绝对值大的反而小．2．数轴法：数轴右边的数比左边的数大．用数轴法比较实数的大小，先将实数表示在数轴上，再根据数的位置直接判断大小．3．特殊值法：例如，当0＜x ＜1时，x 2、x 、1x的大小顺序是( )A ．1x ＜x ＜x 2B ．1x ＜x 2＜xC ．x 2＜x ＜1xD ．x ＜x 2＜1x因为0＜x ＜1，故可取x ＝0.5，则x 2＝0.25，1x ＝2，由0.25＜0.5＜2，可得x 2＜x ＜1x，故选C ．4．分类讨论法：若a 是整数，那么a 2__________a ．（请选符号＞，≥，＜，≤填空)因为对于a ，题目并未明确给出是正整数还是负整数，取值具有不确定性，因此需要分类讨论：当a是负整数时，得a 2＞a ；当a 是0或1时，得a 2＝a a a =2；当a 是大于1的整数时，得a 2＞a ，综上可知，当a 是整数时，a 2≥a ．5．作差法：0a b a b ->⇔>，0a b a b -=⇔=，0a b a b -<⇔<．例如，已知2005200620072008a ⨯=-⨯，2005200720062008b ⨯=-⨯，2005200820062007c ⨯=-⨯，则a ，b ，c 的大小关系是_______________． ∵a b -20052006200520072005200720052006()20072008200620082006200820072008⨯⨯⨯⨯=---=-⨯⨯⨯⨯200520072006()0200820062007=->，所以a b >，同理可得,b c >所以a b c >>．6．作商法：若0a >，0b >，1a a b b >⇔>，1a a b b =⇔=，1a a b b <⇔<．例如，比较78和910的大小，78÷910＝7072＜1，∴78＜910．7．倒数法：分子一样，通过比较分母从而判定两数的大小．例如，比较34，56，78的大小，41133=，61155=，81177=，易得：468357>>，所以：357468<<．8．乘方法：例如，比较和先将两个数平方，得到45和75，∵45＜75，∴＜9．同一法：将分数化为同分子或同分母的分数，再比较大小．例如，比较5个分数23，58，1523，1017，1219的大小，先找出分子的最小公倍数60，再将这些分数进行等值变换，5个分数依次等于：6090，6096，6092，60102，6095，∴60102＜6096＜6095＜6092＜6090，即1017＜58＜1219＜1523＜23．此外，比较数的大小时，还常常采用传递的原理（若a ＞b ，b ＞c ，则a ＞c ）帮助解题． 四、实数与数轴的关系我们知道，所有的有理数都可以表示在数轴上．结合小贝的一系列实践操作，不难发现以下结论：数轴上任意一点表示的数，不是有理数就是无理数．数轴上的任一点必定表示一个实数；反过来，每一个实数（有理数或无理数）也都可以用数轴上的点来表示，所以“实数与数轴上的点是一一对应的”．相关链接：（一）“无理数”的由来在大多数学科里，一代人的建筑往往被另一代人所摧毁，一个人的创造被另一个人的创造所破坏．唯独数学，每一代人都在古老的大厦上添加一层楼．——【德】汉克尔公元前500年，古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras)学派的弟子希勃索斯(Hippasus)发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的(若正方形边长是1，则对角线的长不是一个有理数)这一不可公度性与毕氏学派“万物皆为数”(指有理数)的哲理大相径庭．这一发现使该学派领导人惶恐、恼怒，认为这将动摇他们在学术界的统治地位．希勃索斯因此被囚禁，受到百般折磨，最后竞遭到沉舟身亡的惩处．毕氏弟子的发现，第一次向人们揭示了有理数系的缺陷，证明它不能同连续的无限直线同等看待，有理数并没有布满数轴上的点，在数轴上存在着不能用有理数表示的“孔隙”．而这种“孔隙”经后人证明简直多得“不可胜数”．于是，古希腊人把有理数视为连续衔接的那种算术连续统的设想彻底地破灭了．不可公度量的发现连同著名的芝诺悖论一同被称为数学史上的第一次危机，对以后2000多年数学的发展产生了深远的影响，促使人们从依靠直觉、经验而转向依靠证明，推动了公理几何学与逻辑学的发展，并且孕育了微积分的思想萌芽．不可通约的本质是什么？长期以来众说纷坛，得不到正确的解释，两个不可通约的比值也一直被认为是不可理喻的数．15世纪意大利著名画家达．芬奇称之为“无理的数”，17世纪德国天文学家开普勒称之为“不可名状”的数．然而，真理毕竟是淹没不了的，毕氏学派抹杀真理才是“无理”．人们为了纪念希勃索斯这位为真理而献身的可敬学者，就把不可通约的量取名为“无理数”——这便是“无理数”的由来．从有理数到实数，是数的发展史上一次巨大的飞跃，这一次飞跃经历了曲折而漫长的过程，这是科学家们努力探索的结果．在学习中，要学习这种勇于探索，积极创新的精神，为造福于社会而努力学习．用电子计算机计算π与2的值（二）超越数e在我们中学阶段，接触到的无理数最多的是含有根号的无理数，就连神秘的黄金分割数，也可以用512的形式表示出来．再有就是我们很熟悉（小学阶段就已经学过）的无理数“π”了．与众多的含根号的无理数相比，π显得有点孤独．其实，除了这些无理数外，还有一些可能不为你所知的无理数呢．下面为读者介绍的是在数学中的另一个常数e ．e 是自然对数的底数，有些著作上称它为欧拉数，因为数学家欧拉（1707－1783）研究过它．用e 表示这个数，是欧拉在1728年一篇未发表的手稿《遗作》中引入的，1731年他在给哥德巴赫的信中用过e 表示自然对数的底后，e 便一直沿用至今．毕达哥拉斯（约公元前580－前500）古希腊哲学家、数学家、天文学家发展到1737年，欧拉已经证明了e 及e 2是无理数．到了1873年，巴黎大学的爱尔米德教授（1822－1901）就证明了e 是超越数．而e 就具有下列性质：11111xx e x x +⎛⎫⎛⎫+<<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（x 为正数）．当x 取1，000，000时，便可求得e ＝2.71828．e 也可以定义为极限值：e ＝lim 11xx x ⎛⎫+ ⎪→∞⎝⎭．若利用牛顿所发明的幂级数，则可得：11122!3!4!e =++++…，这将能得到更精确的近似值：e ＝2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 95749 66967 62772 40766 30353 54759 45713 82178 52516 64274 27466 39193 20030 59921 81741 35966 29043 57290 03342 95260 59563 07381 32328 62794 34907 63233 82988 07531 95251 01901 15738 34187 93070 21540 89149 93488 41675 09244 76146 06680 82264 80016 84774 11853 74234 54424 37107 53907 77449 92069 55170 27618 38606 26133 13845 83000 75204 49338 26560 29760 67371 13200 70932 87091 27443 74704 72306 96977 20931 01416 92836 81902 55151 08657 46377 21112 52389 78442 50569 53696 77078 54499 69967 94686 44549 05987 93163 68892 30098 79312．．．．因为圆周率的定义直观，易于理解，所以π几乎是家喻户晓的一个数，知道π的人多数能背诵到3.14．e 则不同，在高等数学中大放异彩的常数e ，在现实中往往却不被人所知．它们时而出现在街角，时而见诸报端，只要你留意，生活中处处皆是数学．在Google2004年的首次公开募股，集资额不是通常的整头数，而是$2，718，281，828，这当然是取e 的前十位数字．顺便一提，Google2005年的一次公开募股中，集资额是$14，159，265，这是与圆周率π有关的一个数字了．阅读思考：问题1．（1983年，河北省初中数学竞赛试题）22π 3.140.614140.10010001000017，，，，这7个实数中，无理数的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3问题2．已知实数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简|a ＋b |－|c －b |的结果是( )A ．a ＋cB ．－a －2b ＋cC ．a ＋2b －cD ．－a －c问题3．有一个数值转换器原理如图所示，则当输入x 为64时，输出的y 是（ ）输出y输入xA ．8B ． C．D ．问题4．若a 、b 为实数，且b=问题5．下面有四个命题：①有理数与无理数之和是无理数； ②有理数与无理数之积是无理数； ③无理数与无理数之和是无理数； ④无理数与无理数之积是无理数．请你判断哪些是正确的，哪些是不正确的，并说明理由．问题6b ，求4321237620b b b b +++-． 问题7．（1995年第6届希望杯全国数学邀请赛试题）设[]x 表示不大于x 的最大整数，如[π]3=，则100______⎡++++=⎣．参考答案：问题1．解：π0.1001000100001，是无理数．选D ．【规律】（1）无理数应满足：①是小数；②是无限小数；③不循环．（2）无理数不是都带根号的数（例如π就是无理数）． 问题2．解：从图中可知c ＜0，a ＜0，b ＞0，c ＜b ，|a |＜|b |，a ＋b ＞0，c －b ＜0， 所以|a ＋b |＝a ＋b ，|c －b |＝b －c ，所以|a ＋b |－|c －b |＝（a ＋b ）－（b －c ）＝a ＋b －b ＋c ＝a ＋c ． 因此选A ．【启示】这是一道数形结合的题目，解题的关键在于认真观察图形，只有认真细致地观察才能准确地找出数轴上所给定的点表示的实数的取值范围，以及各实数之间的大小关系，从而准确地去掉绝对值符号．问题3．解：输入64，64的算数平方根是8，8是有理数，所以取8的算数平方根，得是无理数，输出，得y ＝，因此选B ．问题4．解：依题意，a 2＝1，即a ＝±1（舍去负值），故a ＝1，代入得b ＝123． 问题5．解：设a b ，是有理数，αβ，是无理数．①若a b α+=，则b a α=-，此式左边是无理数，右边是有理数，它是不成立的， 故a α+是无理数．①正确．②当0a =时，0a α=是有理数，②不正确．③当αβ==时，0αβ+=是有理数，故③不正确．④当αβ==2αβ=是有理数，故④不正确．问题6．解：∵91416<<，即34<<3．3b +，两边同时平方得21496b b =++，∴265b b +=．∴4321237620b b b b +++-()()43222636620b b b b b =+⋅+++-()()2226620b b b b =+++-25520=+- 10=．问题7．解：∵1===，2=====⎦， [][]910153⎡⎤=====⎣⎦， []16244⎡⎤====⎣⎦，……999⎡⎤====⎣⎦，10=． ∴原式1325374951161371581791910625=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+=．。
聚焦无理数与数轴上点的问题
聚焦无理数与数轴上点的问题山东于秀坤学习了实数，我们知道实数与数轴上的点是一一对应的关系，对于一个有理数可以比较容易用数轴上的点表示，对于无理数又如何用数轴上的点表示呢？一些同学感到有些困难，下面就让我们一起来探究这方面的问题.一、用数轴上的点表示无理数利用数轴上点表示无理数，一般的方法是利用直角三角形的斜边积累来表示.主要涉及勾股定理的应用.例1用数轴上的点表示2和-2.解：如图1，以原点为一个顶点，以单位长度为边长画一个正方形OABC，以原点O为圆心，正方形对角线OB为半径画弧，与正半轴的交E点就表示2，与负半轴的交点F就表示-2.图1理由：因为在Rt△OAB中，OB2=0A2+AB2=1+1=2，所以OB=2，又OE=OB，所以OE=2，所以点E表示2.同样点F表示-2.例2 用数轴上的点表示3和-3.解：如图2，以单位长1为边作等腰直角三角形OAB，根据勾股定理得OB=2，再以B为直角顶点作Rt△OBC，使BC=1，根据勾股定理，得OC2=OB2+BC2=3.所以OC=3.图2以O为圆心，OC长为半径，画弧交数轴的正半轴于点F，负半轴于点E，则点F表示的数为3，点E表示的数为-3.例3 用数轴上的点表示π.解：如图3，将直径为单位长度1的圆，从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点原点到点O′，从图中可以看出，OO′的长是这个圆的周长π，所以O′点表示无理数π.实际上，圆的周长为OO′=1×π=π.如果圆向左滚动一周，则与负半轴的交点表示-π.图3其它的无理数都可探究方法用数轴上的点表示.你可以试一试：在数轴上表示：5，13.二、写出数轴上的点所表示的无理数例4 如图4，在△OAB中，∠OAB=90°，OA=2，AB=1，BC⊥OB，BC=1，且E、O、A、D在同一数轴上，OC=OE=OD.试说出点D、E各表示的是什么数？图4解：在Rt△OAB中，OA=2，AB=1，由勾股定理得OB=5，在Rt△OBC中，OB=5，BC=1，由勾股定理，得OC2=OB2+BC2=6，所以OC=6，所以OD=OE=OC=6，所以点D表示的数是6，点E表示的数是-6.。
人教版八年级数学下《勾股定理 第3课时：用勾股定理在数轴上表示无理数》精品教学课件
能画出长为 13的线段，就能在数轴上画出表示 13的点.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
探究
步骤：
1 在数轴上找到点A，使OA=3；
2 作直线l⊥OA，在l上取一点B，使AB=2；
3 以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与
13 3
数轴交于C点，则点C即为表示 13的点.
l
正整数的角三角形的斜边； 2 以原点为圆心，以无理数斜边为半径画弧与数轴
存在交点，弧与数轴的交点即为表示无理数的点.
原点左边的点表示负无理数，原点右边的点表示 正无理数.
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拓展
利用勾股定理可以作出这样一幅美丽的“海螺型” 图案，它被选为第七届国际数学教育大会的会徽.
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复习回顾
勾股定理
如果直角三角形的两条直角边长分别 b
c
为a，b，斜边长为c，那么a²b²c². a
变 求斜边：c a2 b2 形 求直角边：a c2 b2 ，b c2 a2
已知两边可求第三边
利用勾股定理还能解决哪些问题呢？
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随堂练习 2.如图，O为数轴原点，A、B两点分别对应3、3，作腰 长为4的等腰△ABC，连接OC，以O为圆心，OC长为半
径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为 7 .
3 2 1 O 1 2M3
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随堂练习
3.如图，已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形， 以Rt△BAC的斜边AC为直角边，画第二个等腰 Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边， 画第三个等腰Rt△ADE.依此类推，则第2018个
人教版八年级数学教案设计：17.1利用勾股定理在数轴上表示无理数
教学设计新课题目17.1 勾股定理 (3)利用勾股定理在数轴上表示无理数教学（学习）目标知识与技能目标利用勾股定理能在数轴上找到表示无理数的点以及直角三角形中长度为无理数的线段.过程与方法目标经历在数轴上寻找无理数的点的过程，发展学生灵活运用勾股定理解决问题的能力．情感、态度和价值观目标体验勾股定理的重要作用，并从中获得成功的体验，锻炼学生克服困难的意志.建立自信心。
重点利用勾股定理在数轴上寻找表示2 , 3 ,5…这样的表示无理数的点．难点利用勾股定理寻找直角三形中长度为无理数的线段．教具多媒体课件、直尺、三角板、圆规．教学方法分组讨论法、讲练结合法教学方式实验课演示课电教课多媒体课√√回顾旧知导入新课一、温顾而知新1.勾股定理的内容是什么？2、如图，在Rt△ABC中,∠c = 90°①已知ɑ， b 则c=②已知ɑ， c 则b=③已知b， c 则ɑ=二、导入新课实数与数轴上的点有怎样的关系？说出下列数轴上各字母所表示的实数：你能在数轴上表示出无理数对应的点吗?揭示课题：17.1利用勾股定理在数轴上表示无理数教学过程设计（教学内容，方法及重难点的处理方法，师生活动、总结基础知识）教学过程设计（教学内容，方法及重难点的处理方法，师生活动、总结基础知识）三、探究新知1、议一议我们知道数轴上的点，有的表示有理数，有的表示无理数.那么你能在数轴上表示出2、13所对应的点吗？教师可指导学生寻找象2，3，……这样的包含在直角三角形中的线段．此活动，教师应重点关注：①学生能否找到含长为2，13这样的线段所在的直角三角形；②学生是否有克服困难的勇气和坚强的意志；③学生能否积极主动地交流合作．师：由于在数轴上表示13的点到原点的距离为13，所以只需画出长为13的线段即可．我们不妨先来画出长为2的线段．2、画一画、议一议在数轴上画出表示2的点.作法：①在数轴上找到点A,使OA=1②、作直线m⊥OA,在m上取一点B，使AB=1③、以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴交于C点，则点C即为表示2的点。
《利用勾股定理在数轴上表示无理数》教学设计3
17.1勾股定理（第3课时）教学目标：知识与技能：1. 利用勾股定理证明：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
2. 利用勾股定理，能在数轴上找到表示无理数的点。
过程与方法：1. 经历在数轴上寻找表示无理数的点的过程，发展学生灵活运用勾股定理解决实际问题的能力。
2. 在勾股定理解决实际问题的过程中，体验解决问题的策略，发展学生的动手操作能力和创新精神。
3. 在解决实际问题的过程中，学会与他人合作，并能与他人交流思维过程和结果，形成反思的意思。
情感态度与价值观：1. 在用勾股定理的，在数轴上寻找表示无理数点的过程中，体验勾股定理的重要作用，并从中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，增强自信心。
2. 在解决实际问题的过程中，形成实事求是的态度，以及进行质疑和独立思考的习惯。
教学重点、难点：重点：在数数数轴上寻找表示√2，√3，√5，这样的表示无理数的点。
难点：利用勾股定理，寻找直角三角形中长度为无理数的线段。
教学准备：教学助手课件，学生平板40台，智能手机一部。
教学方法：本节课基于宁夏教育资源公共服务平台中的资源，借助授课助手里的互动课堂软件，进行师生互动，优化课堂，实现信息化教育教学的目的。
整堂课采取三段式教学法,即尝试法加演示法加任务驱动法.设置了问题、例题和测试,学生自己尝试回答问题,分析理解定义,完成例题,教师通过几何画板演示得出结论,结合小组长和老师布置的任务,学生自己完成测试.教学过程：一、复习导入复习勾股定理的内容，探究勾股定理的综合应用。
教师：在八年级上册，我们曾经通过画图得到结论，斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，能用勾股定理证明这一结论吗？学生：思考并独立完成，教师巡视指导，并总结。
在教师的指导下学生在练习本上完成证明，用平板拍照提交，小组内互相批改纠错。
先画出图形，在写出已知，求证如下：已知：如图，在RT∆A BC和RT∆A′B′C′中,∠C=∠C′=90°，AB=A′B′,AC=A′C′求证:∆ABC≅∆A′B′C′证明: 在RT∆ABC和RT∆A' B' C'中, ∠C=∠C'=90°,根据勾股定理，得BC=√AB2−AC2,B′C′=√A′B′2−A′C′2又AB=A' B',AC=A' C'∴BC=B′C′∆ABC≅∆A' B' C'(SSS)教师：我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上表示√13所对应的点吗？设计意图：上节课我们利用勾股定理解决了生活中的不少问题。
在数轴上表示无理数微课程设计方案
在数轴上表示无理数微课程设计方案教学目标：1.情感、态度和价值观目标：①通过研究探究在数轴上表示无理数，培养学生与他人交流、合作的意识和品质．②通过学习，懂得利用勾股定理构造几何图形，提升美感，并且会在数轴上表示无理数。
2.能力目标：经历在数轴上寻找无理数的点的过程，发展学生灵活运用勾股定理解决问题的能力．3.知识目标：①利用勾股定理能在数轴上找到表示无理数的点、π、-π以及直角三角形中长度为无理数的线段.②渗透数形结合的思想和类比的学习方法。
教学重难点：，π、-π，…这样的表示无理数的点．教学难点：利用勾股定理寻找直角三形中长度为为无理的线段．突破重难点的主要策略：（1（2）由勾股定理知，直角边为1的等腰Rt（3（4）通过尝试可以知道，两条直角边的长是2,3。
（5）拓展引导学生画出数学“海螺号”n为整数。
学生学情分析：在此之前，学生已学过在数轴上表示有理数和勾股定理。
但勾股定理的运用不太熟悉。
对于一些特殊的无理数（带根号的）如何在数轴上准确表示它们。
可仿造前面有理数表示方法来学习，所以关键是借助勾股定理来用线段表示这一无理数是本节的难点。
教学准备：课前要求学生备好作图工具，准备好电脑设备，为课堂学习做准备。
教学过程设计; 一、 温顾而知新1、勾股定理的内容是什么？2、说出下列数轴上各字母所表示的实数：①数轴上A 、B 、C 各字母所表示的实数②在上面的数轴上找到表示无理数的点2、-2、π、-π以及直角三角形中长度为无理数的线段.思考：实数 数轴上的点你能在数轴上表示出无理数对应的点吗?实数与数轴上的点有怎样的关系？揭示课题：17.1利用勾股定理在数轴上表示无理数 二、新课探究 探究1、算一算：图1中的x 等于多少?探究2、画一画：你能数轴上找到表示2的点吗？作法：1、在数轴上找到点A,使OA=12、作直线m ⊥OA,在m 上取一点B ，使AB=13、以原点O 为圆心，以OB 为半径作弧，弧与数轴交于C点，则点C 即为表示2 的点。
无理数的几何性质和图像表示
无理数的几何性质和图像表示无理数是一种特殊的数，它的小数部分无限不循环。
人们发现，无理数可以被看做几何体现形式的数学对象。
它不仅在几何学中具有很多应用，而且在代数学，分析学和拓扑学等学科中都有着重要的应用。
在这篇文章中，我们将探讨一些无理数的几何性质和图像表示，以及一些相关的概念和定理。
一、无理数的基本概念1、定义：无理数是小数部分无限不循环的实数，包括所有不是有理数的实数。
2、举例：如π、e和√2等无理数。
二、无理数的几何性质1、无理数是无限不循环的小数，因此可以通过一系列无限接近的有理数序列来逼近。
2、无理数是无限不循环的小数，因此可以通过一系列无限接近的有理数序列来逼近。
3、无理数的无限不循环的小数部分可以表现为无限不规则的数字序列，这个序列能够揭示出无理数的奇异性质。
4、一些无理数，例如√2、π和e等，具有特殊的几何性质，这些性质被广泛应用在科学和工程中。
三、无理数的图像表示1、数轴表示：无理数可以在数轴上表示，例如√2可以在数轴上标记为一条线段，使得其长度与√2的值相等。
2、几何图形表示：一些无理数具有特殊的几何图形表示，例如π可以在单位圆上表示为弧的长度，而e可以在区间[0,1]上表示为指数函数的图像。
四、无理数的相关定理1、无理数的存在性定理：任何有理数系的总体构成数轴的一个稠密子集，因此，数轴上必定有无理数存在。
2、无理数的逼近定理：对于每个无理数，都存在一个无限接近的有理数序列来逼近它。
3、独立性定理：任意两个不同的无理数之间都是互相独立的。
五、结论无理数是数学中引人入胜的一个研究对象，它的存在和性质具有深刻的数学内涵和物理意义。
通过对无理数的几何性质和图像表示的探索，我们可以更好地理解和应用它，使得数学知识得到更好的应用。
如何在数轴上表示无理数PPT课件
首先，画一条单位长为“一”数轴。 然后以原点为三角形的起点，画一个45° 角，边长为1。设这条线段为a。
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在画直线b垂直于直 线a边长长为1。 直线b与数轴的交点 就是表示√2的点。
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这样的话，事情就有 了头绪。我们就可以利用 同样的方法去表示其他的 数。算是有了大进展。
今天，我们就带领大家去探索数 轴上的无理数。
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首先，画一个直角三角形，使它的两条直角边分别是3和4。 用直尺量出斜边的长。 这三条边的平方之间有什么关系？
可以发现斜边的长等于5，并且3²+4²=5² 5
事实上，可以证明对于任意一个பைடு நூலகம்
4
直角三角形，都有两条直角边的
平方等于斜边的平方。这就是“勾
股定理”。
3
今天，我们就要利用勾股定理去解决问题。
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首先，请大家分别在数轴上表示下列的数： 2 -1 ½
01 2
-1 0 1
0½1 2
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根据教材内容，我们需要在数轴上表示以下几个数： √2 √3 √5
下面我们就开始思考， 究竟如何才能在数轴上表 示无理数呢？
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这时，我们突然想起了先前 提到的勾股定理···
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注意定理的话，问题就简单多了。
在定理的基础上，仔细观察的 话，就会找到答案。我们发现无理 数是不能用刻度尺量完长度后非常 精确的在数轴上表示出来的。所以， 我们就可以利用其它的方法来表示。
我们发现，√2²=1²+1²，这样的 话，√2就会很好表示了。
秦豪：思考如何在数轴上表示无理数，制作PPT 蒋思捷：思考如何在数轴上表示无理数，向大人求助 王嘉茜：思考如何在数轴上表示无理数，修改PPT 王辰：思考如何在数轴上表示无理数，并上网了解
北师大版八年级数学上册第二章实数：无理数在数轴上的表示问题专题
专题:无理数在数轴上的表示问题解题策略:每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．即实数和数轴上的点是一一对应的．因此，数轴正好可以被实数填满．【例1】甲同学用如下图所示的方法作出了C点，表示数13，在△OAB中，∠OAB＝90°，OA＝2，AB＝3，且点O，A，C在同一数轴上，OB＝OC.(1)请说明甲同学这样做的理由；(2)仿照甲同学的做法，在如下所给数轴上描出表示－29的点F.【例2】实数a、b在数轴上的位置如图所示：化简【跟踪练习】1. 如图,下列各数中数轴上点A表示的数可能是( )2. 如图,数轴上表示−1,−的对应点为A. B,点C在数轴上,且AC=AB,则点C所表示的数( )A. −1B. 1−C. 2−D. −2应的实数是( )A. +1B. +1C. 2+D. −14. 如图，数轴上的A、B、C、D四点中，与数表示的点最接近的是（）A. 点AB. 点BC. 点CD. 点D5.如图,矩形ABCD中,AB=3,AD=1,AB在数轴上,若以点A为圆心,对角线AC的长为半径作弧交数轴于点M,则点M表示的数为( )A. B. −1 C. −1 D.6. 如图，直径为1个单位长度的圆从原点O开始沿数轴向右滚动一周，该圆上的最初与原点重合的点到达点O′，点O′对应的数是( )A. 1B. πC. 3.14D. 3.14159267. 如图,面积为5的正方形ABCD的顶点A在数轴上,且表示的数为1,若AD=AE,则数轴上点E所表示的数为( )A. −B. 1−C.D. −8. 如图所示,在数轴上点A所表示的数为a,则a的值为( )A. −1 −B. 1−C. −D. −1 +9. 在数轴上离原点的距离是的点表示的数是______.10. 点M，N 在数轴上，且两点间的距离是个单位，已知点N 表示的数是1，则点M 表示的实数是____11. 点P在数轴上和原点相距单位，点Q在数轴和原点相距2个单位，且点Q在点P左边，则P、Q之间的距离为___.12. 数轴上到点的距离等于2 的点表示的实数是____．13. 如图所示，把边长为1 的正方形放在数轴上，以数1 表示的点为圆心，正方形的对角线为半径作弧，交数轴于点A，则点 A 表示的数是____．14. 如图，半径为2 个单位长度的圆从原点沿x 轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点A，则点 A 的坐标是____．15.一个点从数轴上的原点开始，先向右移动了3个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看到终点表示的数是-2.已知点A，B分别是数轴上的两点，完成下列各题：（1）如果点A表示实数-3，将点A向右移动个单位长度，那么终点B表示的实数是_______，A，B两点间的距离是_______.（2）如果点A表示实数3，将点A向左移动个单位长度，再向右移动5个单位长度，那么终点B 表示的数是_______，A、B两点间的距离为是_______.（3）一般地，如果点A表示的实数为a，将点A向右移动b（b＞0）个单位长度，再向左移动c（c ＜0）个单位长度，那么请你猜想：终点B表示的实数是_______，A，B两点间的距离是_______.16.如果正方形网格中的每一个小正方形的边长都是1，则每个小格的顶点叫做格点．(1)如图①，以格点为顶点的△ABC中，请判断AB，BC，AC三边的长度是有理数还是无理数？(2)在图②中，以格点为顶点画一个三角形，使三角形的三边长分别为3，5，2 2.。
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在数轴上表示或辨认无理数
一、实数与数轴上的点的关系：
实数与数轴上的点是一一对应的，它包含两层意思：
① 数轴上的每个点都可以用一个实数来表示；
② 每个实数都可以在数轴上找到表示它的点。
二、在数轴上画表示无理数的点
要想在数轴上画出表示无理数的点，需先得到长度为无理数绝对值的线段。
一般地，先根据勾股定理，构造直角三角形得到长度为无理数的绝对值的线段，再以原点为圆心，上述线段长为半径作弧，弧与数轴的交点，便是表示无理数的点。
注：若无理数为正数，则作弧与数轴正半轴相交；若无理数为负数，则作弧与数轴负半轴相交。
三、在数轴上表示或辨认无理数
例题、利用构造直角三角形和画弧的方法在数轴上找到表示√2 的点 A；
试利用这个方法，在数轴上找出表示-√13 的点 B.。
（保留作图痕迹）
解：如图所示：点 A 、B 即为所求作的点。
例题图
在数轴上作出表示无理数的点的步骤：
（1）利用勾股定理拆分出哪两条线段长度的平方和等于所画线段（斜边）长度的平方；
（2）以数轴的原点为直角三角形斜边上的一个端点，构造直角三角形；
（3）以数轴的原点为圆心，斜边长为半径画弧，即可在数轴上找到表示该无理数的点。