(精品)初中数学讲义10分式的意义和性质(教师)

第10课时分式的意义和性质

课时目标

1.理解分式的定义，分式的有无意义的条件，分式为零的条件.

2. 理解分式的概念，会确定使分式有意义的分式中字母的取值范围.

3. 掌握分式的基本性质，会约分，通分.

知识精要

1. 分式的定义

两个整式A,B相除，即A B

÷时，可以表示为A

B

.如果B中含有字母，那么

A

B

叫做分式.其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母.

2. 分式有意义，无意义的条件

（1）分式A

B

有意义的条件是: 0

B≠.

（2）分式A

B

无意义的条件是: 0

B=.

3. 分式的值为零的条件

分式A

B

的值为零的条件是: 0

B≠且0

A=.

4. 分式的基本性质

（1）分式的分子，分母都乘以同一个不等于零的整式，分式的值不变.

即A A M

B B M

⨯

=

⨯

（0

B≠，0

M≠）

（2）分式的分子，分母都除以同一个不等于零的整式，分式的值不变.

即A A N

B B N

÷

=

÷

（0

B≠，0

N≠）

5. 约分

把分式中分子和分母的公因式约去的过程，叫做约分.

6. 约分的步骤

（1）分式的分子，分母能分解因式的要分解因式写成积的形式；

（2）分子，分母都除以它们的公因式.

注意：（1）约分的理论依据是分式的基本性质，约分后的结果不一定是分式.

（2）当分母是多项式时，能分解因式的要先分解因式，在约分.

例：

22

21(1)1,11

x x x x x x -+-==+-- 7. 最简分式

如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式.

热身练习

1. 下列各式中哪些是整式？哪些是分式？

（1）1x ； （2）3x ； （3）2xy x y -； （4）222a b +； （5）31x π+；（6）21

(1)a a

+

解：（2）（4）（5）是整式，（1）（3）（6）是分式.

2. 当x 取什么值时，下列分式有意义？

（1）1-x x （2）2

12x

x + （3）15

62-+-x x x （4）2312+--x x x 解：1≠x 解：x 为任意数 解：1±≠x 解：21≠≠x x 且

3. 当x 为何值时，下列分式的值为零？

（1）11-+x x （2）1

+-x b

x （3）221x x -- （4）4162+-x x

解：1-=x 解：1-≠=x b x 且 解：2=x 解：4=x

4. 不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项系数都化为整数

（1）04.03.05.001.0+-a b a （2）y x y

x 413141

3

1-+ （3）y y x 5

3232151+-+ （4）y x x y 21345.0+-- 解：（1）分子、分母同乘100，原式=4

3050+-a b

a

（2）分子、分母同乘12，原式=

y

x y

x 3434-+

（3）分子、分母同乘10，原式=

y

y

x 61552+-+

（4）分子、分母同乘6，原式=

y

x x

y 3863+--

5. 分别写出下列等式中括号里面的分子或分母

（1）()225)(22+=+a a b （2）)

(2

2n

m n mn n mn +=++ （3）2

22693y

xy x xy

x +--=y x -3)( （4）3)(323-=+-b

ab ab ab a

解：（1）b ab 2010+ （2）1+mn （3）x （4）22b a + 6. 判断下列约分是否正确？并把不正确的改正过来

（1）44x x =； （2）x a a x b b +=+ （3）2222

2a ab b a b a b a b +++=-- （4）1555

262

a b b a -=- 解：（1）正确 （2）错误，

b x a

x ++不能约分 （3）正确 （4）错误，

2

5

62515-=--a b b a 7. 某人打靶，有m 次是每次中靶a 环，有n 次是每次中靶b 环，则平均每次中靶的环数是

ma nb

m n

++ 8. 一条般在河中航行，往返于相距100千米的甲、乙两地之间，已知水流速度为2千米/时，船在静水中的速度为x 千米/时，请用分式表示出往返一次所需要的时间

100100

22

x x +-+

精解名题

例1 已知1-=x 时，分式

a

x b

x -+无意义，1=x 时，此分式值为零，求b a -的值. 解：由已知得：1,1-=-=b a ，0=-∴b a

例2 若分式

1

-x x

的值是整数，则整数x 的值是 2 或0 . 解：相邻的两个整数是倍数关系只有2，1或0，－1，所以02或=x

例3 设2

x x x x x 3

32

2 1 .

解：原式=11113322=+-=+--+--x

x x x x x

例4 若b －2a =0,ab b a 22+的值是2

5

.

解：由已知得：a b 2=

代入得：原式=2

5

242

22=+a a a 例5 已知

311=-y x .则分式y xy x y xy x ---+2232的值为5

3

. 解：

311=-=-xy

x y y x xy x y 3=-∴ 5

3

23362)(3)(22232=--+-=--+-=---+∴xy xy xy xy xy y x xy y x y xy x y xy x

例6 已知

234x y z ==，求分式x y z

x ++的值.