(精品)初中数学讲义10分式的意义和性质(学生)
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第10课时分式的意义和性质
课时目标
1.理解分式的定义,分式的有无意义的条件,分式为零的条件.
2. 理解分式的概念,会确定使分式有意义的分式中字母的取值范围.
3. 掌握分式的基本性质,会约分,通分.
知识精要
1. 分式的定义
两个整式A,B相除,即A B
÷时,可以表示为A
B
.如果B中含有字母,那么
A
B
叫做分式.其中,A叫做分式的分子,B叫做分式的分母.
2. 分式有意义,无意义的条件
(1)分式A
B
有意义的条件是: 0
B≠.
(2)分式A
B
无意义的条件是: 0
B=.
3. 分式的值为零的条件
分式A
B
的值为零的条件是: 0
B≠且0
A=.
4. 分式的基本性质
(1)分式的分子,分母都乘以同一个不等于零的整式,分式的值不变.
即A A M
B B M
⨯
=
⨯
(0
B≠,0
M≠)
(2)分式的分子,分母都除以同一个不等于零的整式,分式的值不变.
即A A N
B B N
÷
=
÷
(0
B≠,0
N≠)
5. 约分
把分式中分子和分母的公因式约去的过程,叫做约分.
6. 约分的步骤
(1)分式的分子,分母能分解因式的要分解因式写成积的形式;
(2)分子,分母都除以它们的公因式.
注意:(1)约分的理论依据是分式的基本性质,约分后的结果不一定是分式.
(2)当分母是多项式时,能分解因式的要先分解因式,在约分.
例:
22
21(1)1,11
x x x x x x -+-==+-- 7. 最简分式
如果一个分式的分子与分母没有相同的因式(1除外),那么这个分式叫做最简分式.
热身练习
1. 下列各式中哪些是整式?哪些是分式?
(1)1x ; (2)3x ; (3)2xy x y -; (4)222a b +; (5)31x π+;(6)21
(1)a a
+
2. 当x 取什么值时,下列分式有意义?
(1)1-x x (2)2
12x
x + (3)15
62-+-x x x (4)2312+--x x x
3. 当x 为何值时,下列分式的值为零?
(1)11-+x x (2)1
+-x b x (3)22
1x x -- (4)4162+-x x
4. 不改变分式的值,把下列各式的分子与分母中各项系数都化为整数
(1)04.03.05.001.0+-a b a (2)y x y
x 413141
3
1-+ (3)y y x 5
3232151+-+ (4)y x x y 21345.0+--
5. 分别写出下列等式中括号里面的分子或分母
(1)()225)(22+=+a a b (2)(
)
n
m n mn n mn +=++22
(3)2
22693y xy x xy
x +--=()y x -3 (4)
()3323-=+-ab
ab ab ab a
6. 判断下列约分是否正确?并把不正确的改正过来.
(1)44x x =; (2)x a a x b b +=+ (3)2222
2a ab b a b a b a b +++=-- (4)1555262
a b b a -=-
7. 某人打靶,有m 次是每次中靶a 环,有n 次是每次中靶b 环,则平均每次中靶的环数是______________.
8. 一条般在河中航行,往返于相距100千米的甲、乙两地之间,已知水流速度为2千米/时,船在静水中的速度为x 千米/时,请用分式表示出往返一次所需要的时间______________.
精解名题
例1 已知1-=x 时,分式a
x b
x -+无意义,1=x 时,此分式值为零,求b a -的值.
例2 若分式1
-x x
的值是整数,则整数x 的值是 .
例3 设2 32 2=+ --+ --x x x x x x . 例4 若b -2a =0,ab b a 2 2+的值是_______________. 例5 已知311=-y x .则分式y xy x y xy x ---+2232的值为 . 例6 已知234x y z ==,求分式x y z x ++的值. 例7 如果把分式x y xy +中的x 、y 同时扩大2倍,那么该分式的值如何变化? 例8 若0142=+-a a ,求(1)a a 1+;(2)221a a +;(3)441a a + . 备选例题 例1 若b a b a b b ab a +-≠=-+22,0,022 2 求的值 例2 已知:2 2 2 2,4y xy x y x x y x --+=+求的值