2.推理与证明复习小结
高二数学选修2-2(B版)_总结归纳：推理与证明
推理与证明对于数学的学习，应具备“能力”，其中本章的“推理与证明”就是一种重要的“逻辑思维”能力形式．通过本章的复习，要有着扎实的推理、论证能力，以增强对问题的敏锐的观察，深刻的理解、领悟能力．一．推理部分1．知识结构：2．和情推理：归纳推理与类比推理统称为和情推理．①归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．②类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理．③定义特点；归纳推理是由特殊到一般、由部分到整体的推理；而类比推理是由特殊到特殊的推理；都能由已知推测、猜想未知，从而推理结论．但是结论的可靠性有待证明．例如：已知2()53f n n n =-+-，可以(1)10f =>，(2)30,f =>(3)30,(4)10f f =>=>，于是推出：对入任何n N *∈，都有()0f n >；而这个结论是错误的，显然有当5n =时，(5)30f =-<．因此，归纳法得到的结论有待证明．例如：“在平面内与同一条直线垂直的两条直线平行”；类比线与线得到：“在空间与同一条直线垂直的两条直线平行“；显然此结论是错误的”．类比线与面得到：在空间与同一个平面垂直的两个平面平行；显然此结论是错误的．④推理过程：从具体问题出发 观察、分析、比较、联想 归纳、类比 猜想．3．演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理（逻辑推理）．①定义特点：演绎推理是由一般到特殊的推理；②数学应用：演绎推理是数学中证明的基本推理形式；推理模式：“三段论”：ⅰ大前提：已知的一般原理（M 是P ）；ⅱ小前提：所研究的特殊情况（S 是M ）；ⅲ结论：由一般原理对特殊情况作出判断（S 是P ）；集合简述：ⅰ大前提：x ∈M 且x 具有性质P ；ⅱ小前提：y ∈S 且S ⊆M ；ⅲ结论： y 也具有性质P ；例题1．若定义在区间D 上的函数()f x 对于D 上的n 个值12,,n x x x ，总满足[]12121()()()()n n x x x f x f x f x f n n ++++++≤，称函数()f x 为D 上的凸函数；现已知()sin f x x =在(0,)π上是凸函数，则ABC ∆中，sin sin sin A B C ++的最大值是 ．解答：由[]12121()()()()n n x x x f x f x f x f n n ++++++≤（大前提）因为()sin f x x =在(0,)π上是凸函数 （小前提）得()()()3()3A B C f A f B f C f ++++≤ （结论）即sin sin sin 3sin 3A B C π++≤=因此，sin sin sin A B C ++的最大值是2 注：此题是一典型的演绎推理“三段论”题型4.和情推理与演绎推理的关系：①和情推理是由特殊到一般的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理；②它们又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性；例2．设()2x x a a f x -+=，()2x xa a g x --=（其中0a >且1a ≠） （1）5＝2＋3请你推测(5)g 能否用(2),(3),(2),(3)f f g g 来表示；（2）如果（1）中获得了一个结论，请你推测能否将其推广.解答:（1）由(3)(2)(3)(2)f g g f +＝332a a -+222a a --＋332a a --222a a -+ ＝552a a -- 又(5)g ＝552a a -- 因此，(5)g ＝(3)(2)(3)(2)f g g f +（2）由(5)g ＝(3)(2)(3)(2)f g g f +即(23)g +＝(3)(2)(3)(2)f g g f +于是推测()g x y +＝()()()()f x g y g x f y + 证明：因为：()2x x a a f x -+=，()2x xa a g x --=（大前提） 所以()g x y +＝2x y x ya a ++-， ()g y ＝2y y a a --，()f y ＝2y ya a -+，（小前提及结论） 所以()()()()f x g y g x f y +＝2x x a a -+2y y a a --＋2x x a a --2y ya a -+ ＝2x y x ya a ++-＝()g x y + 解题评注：此题是一典型的由特殊到一般的推理，构造(23)g +＝(3)(2)(3)(2)f g g f +是此题的一大难点，要经过观察、分析、比较、联想而得到；从而归纳推出一般结论()g x y +＝()()()()f x g y g x f y +．二．证明部分1．知识结构2．综合法与分析法①综合法；利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，经过一系列推理论证，推导出所要证明的结论成立．②分析法：从要证明的结论出发逐步寻求使它成立的充分条件，直至把要证明的结论归结为判别一个明显成立的条件为止．③综合应用：在解决问题时，经常把综合法与分析法和起来使用；使用分析法寻找成立的条件，再用综合法写出证明过程．例3．已知：0a b >>，求证：22()()828a b a b a b ab a b-+-<-< 证明：因为0a b >> 所以22()()828a b a b a b ab a b-+-<< ⇔222()()()44a b a b a b a b--<< ⇔|22a b a b<< ⇔2a b a b a b<< ⇔121b a a b < ⇔1b a a b<又由已知0a b >>1b a a b<<成立． 由于以上分析步步等价，因此步步可逆．故结论成立．解题评注：(1)以上解答采用恒等变形，其实质从上往下属于分析法，反之属于综合法．(2)1b a a b<,(0a b >>)是结论成立的充要条件,当然找到了结论成立的充分条件就可以了.例4.求证抛物线22(0)y px p =>，以过焦点的弦为直径的圆必与2p x =-相切. 证明：（如图）作AA ／、BB ／垂直准线，取AB 的中点M ，作MM ／垂直准线. 要证明以AB 为直径的圆与准线相切只需证｜MM ／｜＝12｜AB ｜ 由抛物线的定义：｜AA ／｜＝｜AF ｜，｜BB ／｜＝｜BF ｜所以｜AB ｜＝｜AA ／｜＋｜BB ／｜因此只需证｜MM ／｜＝12（｜AA ／｜＋｜BB ／｜） 根据梯形的中位线定理可知上式是成立的. 所以以过焦点的弦为直径的圆必与2p x =-相切. 以上解法同学们不难以综合法作出解答.解题评注:分析法是从结论出发寻找证题思路的一种重要的思维方法,特别是题设和结论相结合,即综合法与分析法相结合,可使很多较为复杂的问题得到解决.3.数学归纳法一般地，证明一个与正整数ｎ有关的命题的步骤如下：（1）（归纳奠基）证明当ｎ取第一个值ｎ0时命题成立；（2）（归纳递推）假设ｎ＝k （0(,)k n k n ≥∈*时命题成立，证明当1n k =+ 时命题也成立。
总复习-解决问题的策略—归纳策略(教案)北师大版六年级下册数学
总复习-解决问题的策略—归纳策略（教案）北师大版六年级下册数学一、教学目标1. 让学生掌握归纳推理的基本方法，能够运用归纳推理解决问题。
2. 培养学生观察、分析、归纳、概括的能力，提高学生解决问题的策略意识。
3. 培养学生合作交流、积极探究的学习态度，激发学生学习数学的兴趣。
二、教学内容1. 归纳推理的概念及特点。
2. 归纳推理的基本方法：枚举法、猜想-证明法。
3. 归纳推理在解决问题中的应用。
三、教学重点与难点1. 教学重点：归纳推理的基本方法及应用。
2. 教学难点：如何引导学生运用归纳推理解决问题，提高解决问题的策略意识。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。
2. 学具：练习本、草稿纸、彩笔。
五、教学过程1. 导入：通过生活中的实例，引导学生发现规律，激发学生运用归纳推理解决问题的兴趣。
2. 新课：讲解归纳推理的概念、特点及基本方法，并通过例题展示归纳推理在解决问题中的应用。
3. 活动一：学生分组讨论，运用归纳推理解决实际问题，巩固所学知识。
4. 活动二：学生独立完成练习题，教师巡回指导，解答学生疑问。
5. 课堂小结：总结本节课所学内容，强调归纳推理在解决问题中的重要性。
6. 课后作业布置：布置与归纳推理相关的练习题，要求学生在课后独立完成。
六、板书设计1. 板书总复习-解决问题的策略—归纳策略2. 板书提纲：- 归纳推理的概念及特点- 归纳推理的基本方法- 归纳推理在解决问题中的应用七、作业设计1. 基础题：完成课后练习题，巩固归纳推理的基本方法。
2. 提高题：解决实际问题，运用归纳推理找出规律，提高解决问题的能力。
3. 拓展题：研究归纳推理在其他领域的应用，撰写小论文。
八、课后反思1. 学生对归纳推理的理解程度，是否能够灵活运用归纳推理解决问题。
2. 教学过程中，学生的参与度、合作交流情况，以及对归纳推理的兴趣。
3. 教学方法、教学内容的调整与优化，以提高学生对归纳推理的应用能力。
第5讲 选修1-2复习小结(教师版)
二．典例精析
探究点一：线性回归分析
例1 ：从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，算得 =80 =20 =720 =184 (1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y=bx+a（2）判断变量x与y之间是正相关还是负相关（3）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄
2.数学证明方法：(1)综合法①定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，
经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．
②框图表示：→→→…→(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示要证明的结论)．(2)分析法①定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止．这种证明方法叫做分析法．②框图表示：→→→…→.（3）反证法：假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．
(2)相关系数r①r＝；②当r>0时，表明两个变量________；当r<0时，表明两个变量________．r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性__________；r的绝对值越接近于0时，表明两个变量之间________________________________．通常，当r的绝对值大于________时认为两个变量有很强的线性相关关系．
变式迁移3：（1）设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，，，成等比数列．
逻辑判断知识点总结
逻辑判断知识点总结逻辑判断：注意复习逻辑判断要分析历年真题中的各种题型比例重点练习。
推理类虽然知识点多，但是题不一定多。
论证类虽然知识点少但考的不少。
要根据历年题型分布确定重点。
┏1、推理：翻译推理、真假推理、分析推理、归纳推理│结构：判断推理：││└2、论证：加强论证、削弱论证■翻译推理：第一步：翻译（成败关键）1、充分条件（前推后）p---→Q。
---P是Q的充分条件满足p，必然Q；不满足p，不必然Q，则p是Q的充分条件。
特点词：......必须.......如果.....那么.....所有......都......只要.....就............是........为了....一定.....可体现因果关系的句子（无连接词形式）例：人活着必须呼吸人活着>>必须呼吸；人不活着>>>不一定呼吸2、必要条件（后推前）p←Q。
如果没有事物情况p，则必然没有事物情况Q；如果有事物情况p而未必有事物情况Q，p就是Q的必要条件。
特点词：只有.....才............才......除非.....否则..... 除非P否则不Q Q--->pp是Q的必要条件■◆谁是条件谁在后边1、p的基础是Q 。
p--->Q2、p是Q的基础。
Q---->p例：好好学习→考上大学好好学习是考大学的必要条件。
或者p ，或者Q -p-->Q ；-Q---->p要想考上大学必须好好学习---------------------------------------▲单句判断：●几种关系：所有的（凡是）S都是P S--->P所有的（凡是）S不是P S---->-P没有S是P P--->-S----等价--S--->-P没有S不是P S--->P不是S都是P -S--->P不是S都不是P -S--->-p ===>P--->S◆否定关系○并非所有的A都是 B = 有的A不是B○并非有的A是 B = 所有的A都不是B注意：出现"并非"时候“所有的”改“有的”, “是“改”不是“举例：并非所有爱吃辣的人都是四川人===有的四川人不爱吃辣的。
人教版高中数学选修2-2第二章推理与证明复习小结优质课件
现命题等，著名哲学家康德说：“每当理智缺乏可靠论证思
路时，类比法往往能指明前进的方向．”
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人教A版数学选修2-2 第二章 推理与证明
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特别提醒： (1) 归纳推理是由部分到整体，个体到一般
的推理，其结论正确与否，有待于严格证明．
(2) 进行类比推理时，要合理确定类比对象，不能乱 比，要对两类对象的共同特点进行对比．
[ 思维点击 ] 归纳猜想 ――→ fn推理与证明
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1 [规范解答] 因为 an＝ 2， n＋1 f(n)＝(1－a1)(1－a2)„(1－an) 1 3 所以 f(1)＝1－a1＝1－4＝4，
1 1－ f(2)＝(1－a1)(1－a2)＝f(1)· 9
推理与证明章末小结
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人教A版数学选修2-2 第二章 推理与证明
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一、合情推理和演绎推理
1．归纳和类比是常用的合情推理，都是根据已有的事
实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳类比，然后 提出猜想的推理．从推理形式上看，归纳是由部分到整体， 个别到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理，演绎推理 是由一般到特殊的推理．
推出结论的线索不够清晰； (2) 如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨 论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形．
工具
人教A版数学选修2-2 第二章 推理与证明
栏目导引
三、数学归纳法
数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为归纳奠基，是
论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必 须真实可靠；它的第二步称为归纳递推，是命题具有后继传 递性的保证，两步合在一起为完全归纳步骤，这两步缺一不 可，第二步中证明“当n ＝k ＋1 时结论正确”的过程中，必
九年级数学《相似-复习课》教案
《第27章相似》复习课教学设计1.教材内容义务教育课程标准实验教科书（人教版）《数学》九年级下册第27章相似的全章复习。
2.知识背景分析本章隶属于“空间与图形”领域，本章共有三节内容第1节图形的相似主要介绍相似图形，相似多边形的概念，并探索相似多边形的性质；第2节相似三角形主要研究相似三角形的判定方法、相似三角形在测量中的应用及相似三角形的周长和面积；第3节位似研究了一种特殊的相似－位似，研究了位似图形的画法及平面直角坐标系中的位似变化。
本节课是在学习前三节的基础上进行的，通过对一些图形性质的探索、证明等，进一步发展学生的探究能力，培养学生的逻辑思维能力等。
3.学情背景分析教学对象是九年级学生，学生的逻辑思维能力得到了一定的发展。
本章正处于学生对于掌握的推理论证方法的进一步巩固和提高阶段，要求学生能熟练运用综合法证明命题，熟悉探索法德推理过程，因此在教学中要注意多帮助学生复习已有的知识，做到以新带旧，新旧结合。
要加强解题思路的分析，帮助学生树立已知与未知，简单与复杂，特殊与一般在一定的条件下可以转换的思想，使学生学会把未知化为已知，把复杂问题化为简单问题，把一般问题化为特殊问题的思考方法。
通过小结对于学生推理证明的训练，进一步提高学生的逻辑思维能力和分析解决问题的能力。
4.学习目标4.1知识与技能目标（1）通过复习,梳理本章知识,构建知识网络.（2）通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于对应边的比的平方。
（3）了解两个三角形相似的概念，探索两个三角形相似的条件。
（4）了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小。
（5）通过典型实例观察和认识现实生活中物体的相似，使学生综合运用图形的相似解决一些实际问题。
（5）在同一直角坐标系中，感受图形变换后点的坐标的变化特点。
4.2过程与方法目标经历小结的过程，使学生学会建立本章的知识结构图。
4 数学归纳法
第一章 推理与证明§4 数学归纳法(一) 姓名一、学习目标：1. 了解归纳法, 理解数学归纳的原理与实质。
2. 掌握数学归纳法证题的两个步骤与技巧方法；会用“数学归纳法”证明简单的与自然数有关的命题。
3. 培养观察, 分析, 论证的能力, 进一步发展抽象思维能力和创新能力，经历知识的构建过程, 体会类比的数学思想。
4. 通过数学归纳法的学习和运用，体会数学中“无限”与“有限”的相互转化及辨证统一．二、 学习过程（一）新课引入：【问题导思】我们经常会看到这样的一种现象：排成一排的自行车，如果一个同学将第一辆自行车不小心弄倒了，那么整排自行车就会倒下。
1．试想要使整排自行车倒下，需要具备哪几个条件？2．利用这种思想方法能解决哪类数学问题？（二）探索新知 1. 数学归纳法定义对于某些与自然数n 有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n 取第一个值n 0时命题成立；然后假设当n=k(k ∈N*，k ≥n 0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法。
2. 数学归纳法的基本思想先验证使结论有意义的最小的正整数n 0，如果当n=n 0时，命题成立，再假设当n=k(k ≥n 0，k ∈N*)时，命题成立.(这时命题是否成立不是确定的,只有K=n 0时，命题成立) ，根据这个假设，如能推出当n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于n 0的正整数n 0+1，n 0+2，…，命题都成立.（ 化“无限”为“有限”）3. 数学归纳法是用来证明与正整数n (如n ≥1)有关的数学命题的一种方法，它的基本步骤是： (1)验证：n ＝1时，命题成立；(2)在假设当n ＝k (k ≥1)时命题成立的前提下，推出当n ＝k ＋1时，命题成立。
（3）根据(1)(2)可以断定命题对一切正整数n 都成立． 注意：1.三个步骤步骤缺一不可；2.在第一步中，确定好初始值n 0，不一定从1取起，也不一定只取一个，视具体情况而定；3.在第二步中，证当n=k+1时，必须使用假设，明确求证的目标形式，一般要凑出归纳假设给出的形式，以便使用归纳假设，然后再凑出当n=k+1时的结论。
人教版七年级数学下册第六章《实数》知识点复习与小结优秀教学案例
3.利用问题引导学生进行推理和证明，培养他们的逻辑思维能力。
4.鼓励学生主动寻找解决问题的方法，培养他们的自主学习能力和创新意识。
（三）小组合作1.将学生分为小ຫໍສະໝຸດ ，鼓励他们进行合作学习和讨论交流。
2.设计具有挑战性和综合性的任务，让学生在合作中解决问题，提高解决问题的能力。
（三）学生小组讨论
1.将学生分为小组，给出具有挑战性和综合性的任务，让学生在小组合作中解决问题。例如，可以让学生探讨实数的性质和运算规则，并尝试解决一些实际问题。
2.鼓励学生分享自己的观点和思考过程，培养他们的团队合作意识和沟通能力。例如，可以让每个小组成员依次发表自己的观点，并进行讨论交流。
（四）总结归纳
三、教学策略
（一）情景创设
1.利用生活实际问题，创设情境，引发学生对实数的兴趣和好奇心。
2.通过图形、模型等直观教具，帮助学生形象地理解实数的概念和性质。
3.设计具有挑战性和针对性的问题，激发学生的思考和探索欲望。
4.创设互动交流的平台，让学生分享自己的思考过程和解决问题的方法。
（二）问题导向
1.引导学生提出问题，培养他们的问题意识和解决问题的能力。
3.鼓励学生分享自己的观点和思考过程，培养他们的团队合作意识和沟通能力。
4.注重小组合作的过程和结果，对学生的合作学习和团队精神进行评价和反馈。
（四）反思与评价
1.引导学生对自己的学习过程进行反思，发现自己的优点和不足，提高自我认知能力。
2.让学生通过自我评价和同伴评价，了解自己的学习进展和提高方向。
1.培养学生对数学学科的兴趣和热情，使他们愿意主动学习数学。
2.培养学生的团队合作意识，使他们能够在学习过程中相互帮助、共同进步。
全等三角形的小结与复习教学设计20人教版八年级数学上册
8.作业批改与反馈：要求学生在完成作业后，进行自我检查和互评，培养自主学习能力。教师应及时批改作业，给予评价和指导，帮助学生发现问题、提高能力。
4.结合实际案例，讲解全等三角形在实际生活中的应用，如建筑设计、工程测量等，增强学生的应用意识。
（三）学生小组讨论
1.将学生分成若干小组，针对全等三角形的判定方法和性质，设计一些讨论题目，让学生在小组内进行讨论交流。
2.每个小组选派一名代表进行汇报，分享本组的讨论成果和心得体会。
3.教师巡回指导，参与学生讨论，解答疑问，引导学生深入探究全等三角形的性质和判定方法。
（一）导入新课
1.利用多媒体展示生活中全等三角形的实例，如剪纸艺术、建筑图案等，引发学生对全等三角形的关注和兴趣。
2.提问：“我们已经学习过全等三角形的基本概念，那么如何判断两个三角形是全等的呢？”让学生回顾全等三角形的判定方法，为新课的学习做好铺垫。
3.通过一个简单的实际问题，如测量不规则图形的面积，引出全等三角形在实际问题中的应用，激发学生的学习兴趣。
5.培养团队合作精神，学会尊重他人，提高人际沟通能力。
本章小结与复习教学设计旨在帮助学生巩固全等三角形的知识，提高解决问题的能力，培养空间观念和几何直观，以及增强数学情感和价值观。在教学过程中，教师应关注学生的个体差异，因材施教，使每位学生都能在原有基础上得到提高。同时，注重启发式教学，引导学生主动探究、发现、总结规律，提高学生的自主学习能力。
5.培养问题解决能力，学会从实际问题中发现全等三角形的问题，并运用所学知识解决。
（三）情感态度与价值观
常用逻辑用语复习小结
四种命题形式及其关系
原命题 若p,则q 互 否
否命题 若 p,则 q
互逆 互为逆否
同真同假 互逆
逆命题 若q,则p
互 否
逆否命题 若 q,则 p
注:(1) “互为”的; (2)原命题与其逆否命题同真同假. (3)逆命题与否命题同真同假.
3
二、充要条件、必要条件的判定
对于充分条件和必要条件，要能够正确地理解和判断
9
3答案
练习二
1.设甲、乙、丙是三个命题,如果甲是乙的必要条件,丙是乙
的充分条件但不是乙的必要条件,那么丙是甲的( A)
(A)充分条件不必要条件 (B)必要条件不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
2.若不等式 x 1 ＜ a 成立的充分条件是 0 x 4 ，则 a 的取值范围
是 a≥3 .
中真命题为( D )
(A)①④
(B)②③
(C)②④
(D)③④
2. 命题：“若 x2 x 2 0 ,则 x≠–1 且 x≠2”
的否命题是_______.
若 x2 x 2 0 , 则 x 1 或 x 2 .
3. 已知 x, y R ,且 x y 2 ,求证: x, y 中至少有一个大于 1.
解：由¬P是¬q的必要不充分条件，转化成它的逆否命题 q是P的必要不充分条件，即P是q的充分不必要条件， 也就是pq且q p． 化简条件p得，A={x|3a<x<a,a<0} 化简条件q得，B={x|x<-4或x≥-2}
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1.逻辑联结词
• “或” A B x x A或x B
• “且”A B x A且x B • “非” A x x U且x A
尚念新2.1.2演绎推理《三段论》
小前提
∴函数f (x)=－x2＋2 x在(-∞,1)是增函数 .
结论
美国有个逻辑学家对逻辑学家贝尔 克里说：“所有的共产党人都攻击 我，你也攻击我，你是共产党人。” 贝尔克里回敬道:“所有的鹅都吃 白菜，参议员先生也吃白菜，所 以参议员先生是鹅”。
演绎推理
尚念新ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
凤城高级中学
亚里士多德给他的学生 讲了一个古希腊谚语： “如果你的钱包在你的 口袋里，而你的钱又在 你的钱包里，那么，你 的钱肯定在你的口袋 里。”
亚里士多德（古希腊 著名思想家）
教学过程： 一、复习：合情推理
归纳推理 ： 从特殊到一般 从具体问题出发――观察、分析 比较、联想――归纳。
一个子集，那么S中所有元素也都具有性质 P。
• 练习 • 用三段论证明：通项公式为 的数列 an 为等比数列。
an cq n (cq 0)
证明：如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一 常数,那么这个数列叫做等比数列 ……… ………大前题
an cqn n1 q (n 2) an1 cq
任取x1 , x2 (,1), 且x1 x2 ,
2 2 f ( x1 ) f ( x2 ) ( x1 2 x1 ) ( x2 2 x2 )
( x2 x1 )( x2 x1 2)
x1 x2 , 所以x2 x1 0; x1 , x2 1, 所以x2 x1 2 0. f ( x1 ) f ( x2 ) 0, f ( x1 ) f ( x2 ).
谢谢大家！
四、数学运用 M S
例1完成下面的推理过程 一条抛物线 .” “二次函数y=x2 + x + 1的图象是 试将其恢复成完整的三段论．
在结构化复习中发展学生推理能力
在结构化复习中发展学生推理能力作者：诸士金来源：《江苏教育·中学教学版》2021年第02期【摘要】复习课是数学教学中的一种典型课型，在一个阶段的新知学习之后，根据艾宾浩斯遗忘曲线，需要进行知识的回顾和梳理。
以初中“轴对称图形”一章的复习课为素材，从“垂直平分线”出发进行问题变式，在驱动学生重塑认知结构的过程中，促进学生深度认识、理解轴对称图形知识之间的相互关系，发展推理能力。
【关键词】结构化复习;轴对称;推理能力【中图分类号】G633.6 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2021）11-0030-04【作者简介】诸士金，南京市六合区横梁初级中学（南京，211515）校长，高级教师，南京市学科带头人。
复习课是数学教学中的一种典型课型，在一个阶段的新知学习之后，根据艾宾浩斯遗忘曲线，需要进行知识的回顾和梳理。
很多复习课惯常采用“框图+例题+练习”的模式进行。
而这里“框图”如何建立、“例题”如何选择、“练习”怎样设计，往往没有被深入研究，经常是以新课认知的顺序，罗列知识，形成框图，以常考的试题为例题分析讲解，用教材后的练习进行巩固。
这样的复习缺乏系统性，不利于学生整体认识知识的内在联系，缺乏新意，也容易将复习课上成习题课。
江苏省特级教师卜以楼提出“用生长型构架进行数学复习”，是指根据要复习的知识内容和学生已有的认知经验，坚持系统化理论，运用结构化方法，架设生长型路径，开展探究型活动，形成求异思维的自我建构，有着新授课特质的复习方法。
以此理念为指导，笔者尝试借助结构化复习教学策略，以苏科版初中数学八年级“轴对称图形”复习课为素材进行了以下教学实践和反思。
一、轴对称图形复习课的教学价值“轴对称图形”一章从简单的平面图形入手，分两部分进行研究：一是认识轴对称，包含了认识轴对称和轴对称图形，探索轴对称的性质，设计轴对称图案;二是简单平面图形的轴对称性质探究，包含探索线段、角、等腰三角形、等边三角形的轴对称性及其相关性质。
人教版高中数学选修2-2第二章推理与证明复习小结优质
例.已知a、b、c 为 不相等正 数，且abc 1， 1 1 1 证 求 ：a b c . a b c
a、b、c 为不相等正 证 法2 :
数，且abc 1，
1 1 1 a b c bc ca ab
1 1 1 1 1 1 1 1 1 b c c a a b . 2 2 2 a b c
2．间接证明 反证法：假设原命题 不成立 ，经过正确的推理， 矛盾 最后得出 ，因此说明假设错误，从而证明了原 命题成立，这样的证明方法叫反证法．
基础知识梳理
（一）.综合法 例.已知a、b、c 为不相等正 数，且abc 1，
1 1 1 证 求 ：a b c . a b c
06 0 6 成立.
a - 5 - a - 3 a - 2 - a 成立.
（三）反证法
例：已知a>0,b>0,且a+b>2,
1 b 1 a 求证: a , b
中至少有一个小于2.
分析 命题中有“至少……”“不都……”“都 不……”“没有……”“至多……”等指示性语句，在 用直接方法很难证明时，可以采用反证法.
B
O
O
D
C
例3：用三段论证明函数y＝－x2＋2x 在(－∞，1]上是增函数． 证明：任取x1、x2∈(－∞，1]，且x＋2x2) ＝(x2－x1)(x2＋x1－2). 因为x1<x2，所以x2－x1>0； 因为x1<x2≤1，所以x2＋x1－2<0. 因此，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2). 于是根据“三段论”，得f(x)＝－x2＋2x在(－∞，1] 上是增函数.
证 法1: a、b、c 为 不相等正 数 ，且abc 1，
高中数学选修2第二章小结(推理与证明)课件
1- 22 2 (n N *) 的值. 2. 猜想 11
2n个 n个
解 : 当 n= 1 时 , 当 n= 2 时 , 当 n= 3 时 , 猜想89 =33, 111111 - 222 = 110889 =333.
4. 演绎推理
从一般性原理出发, 推出某个特殊情况下 的结论, 这样的推理叫演绎推理. 三段论是演绎推理的一般模式, 包括: (1) 大前提 — 已知的一般原理; (2) 小前提 — 所研究的特殊情况;
(3) 结论 — 根据一般原理, 对特殊情况做出 判断.
5. 三段论 大前提：某类事物都有某特征, M 是 P.
2.1 合情推理与演绎推理 2.2 直接证明与间接证明 2.3 数学归纳法 第二章 小结
本章小结
知识要点 例题选讲
复习参考题 自我检测题
1. 归纳推理
由某事物的部分对象具有某些特征, 推出该 类事物的全部对象都具有这些特征的推理, 或者 由个别事实概括出一般结论的推理, 即由部分到 整体, 由个别到一般.
例2. 观察下列各式: 55=3125, 56=15625, 57=78125, … 则 52013的末四位数字为 ( A ) (A) 3125 (B) 5625 (C) 0625 (D) 8125 分析: 56 与 55 的末四位之差为 5625-3125=2500, 57 与 56 的末四位之差为 8125-5625=2500. 猜测: 5n+1 比 5n 末四位多 2500. 而 4 个2500 等于 10000,
例6. 在数列 {an}, {bn} 中, a1=2, b1=4, 且 an, bn, an+1 成等差数列, bn, an+1, bn+1 成等比数列 (nN*). 求 a2, a3, a4 及 b2, b3, b4. 由此猜测 {an}, {bn} 的通项 公式, 并证明你的结论. 求证: an=n2+n, bn=(n+1)2. 证明: 数学归纳法, 2+1=2, 2=4, 2+ 2+(k ① 当a n = 1 时 , a = 1 b = (1 + 1) 解得 = k 3 k + 2 = ( k + 1) + 1). 1 1 k+1 2 =[ 结果与已知相符 , 2) 即 n( = 时+猜测成立 . bk+1=(k+ k1 +1) 1]2. 2+k, b =(k+1)2 成立, ② 假设当 n = k 时 , a = k k k 即 n=k+1 时猜测也成立 . 由已知得 根据①②两步可知 nN*时, an=n2+n, bn=(n+1)2 2=k2+k+a 2( k + 1) , 2 b = a + a , 都成立. k + 1 k k k+1 ( 推证 a , b 时 , 思路源于 k + 1 k + 1 ak+12=(k+1)2bk+1. ak+12=bkbk+1.. ∴猜测是正确的 求 a2, b2 时解方程组的思想)
北师大版数学八年级下册第1章小结与复习教案
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《小结与复习》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算直角三角形边长或是求解几何图形面积的情况？”（如房屋装修时计算地板面积）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索数学在生活中的应用。
6.总结回顾环节，我注意到部分学生对课堂所学知识点的掌握不够扎实。为了提高学生的记忆效果，我将在今后的教学中，勾股定理及其应用的复习，提高学生运用逻辑推理解决问题的能力。
2.空间想象：通过平面几何图形的面积计算，培养学生对几何图形的空间想象和直观感知。
3.数学运算：加强实数与二次根式的运算训练，提高学生的数学运算能力。
4.数据观念：掌握数据的收集与处理方法，形成数据观念，培养学生对数据的敏感性和分析能力。
2.平面几何图形的面积计算：复习三角形、四边形、圆等几何图形的面积计算公式，并解决与面积相关的实际问题。
3.实数与二次根式：巩固实数的概念，掌握二次根式的化简与运算。
4.数据的收集与处理：掌握数据的收集、整理、描述和分析方法，学会使用统计图表。
二、核心素养目标
北师大版数学八年级下册第1章《小结与复习》的核心素养目标如下：培养学生的逻辑推理、空间想象、数学运算和数据观念等能力。
举例：学生在计算复杂多边形的面积时，要学会将其分解为简单图形，并运用相应公式计算。
（3）实数与二次根式：熟练掌握实数的概念，以及二次根式的化简和运算。
举例：学生在解决含有二次根式的数学问题时，要能够熟练地进行化简和运算。
人教版八年级数学上第十三章复习
猜想：BF =3FC． 证明：∵ 在Rt△CDF 中， ∠ACB =60°， ∴ ∠CDF =30°． ∴ CD =2CF．
F
典型例题
例3 已知：如图，△ABC 是等边三角形，BD 是 AC 边上的高，延长BC 到E，使CE =CD，过点D 作DF ⊥BE于F．求证：（3）请猜想FC 与BF 间的数量关系，
八年级 上册
第十三章 小结与复习
此处添加正文，文字是您思想的提炼，为了演示发布的良好效果， 简意赅地阐述您的观点。
课件说明
• 复习目标： 1．复习本章的重点内容，整理本章知识，形成知识 体系． 2．巩固和运用轴对称的相关知识解决问题，进一步 发展推理能力，能够用符号表示推理证明，体会 证明的必要性．
并说明理由．
证明：又在Rt△BDC 中， ∠DBC =30°， ∴ BC =4CF， 即BF =3CF．
F
课堂小结
0
1 0
2 0
3
（1）本章的核心知识有哪些？这些知识间有什么样的
单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，为了演示发布的良好效果，请言简意赅地阐述您的观点。
联系？
通过本节课的复习，你认为等腰三角形的性质和
线重合； ×
（3）点（3，1）与点（-3，1）关于y 轴对称；√
（4）三角形中30°的角所对的边等于斜边的一半． ×
例2 如图，是由三个小 正方形组成的图形，请你
在图中补画一个小正方形， 使补画后的图形为轴对称 图
形．
（1） 典型例题
（2）
例2 如图，是由三个小 正方形组成的图形，请你
在图中补画一个小正方形， 使补画后的图形为轴对称 图
形．
（3） 典型例题
（4）
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①
又∵0 < a, b, c < 1
1 (1 a) a 所以 0 (1 a)a 4 2 1 1 同理：(1 b)b (1 c)c 4 4
2
以上三式相乘： (1 a)a•(1 b)b•(1 c)c≤ ∴原式成立。
1 与①矛盾 64
例：有下列各式： 1 1> , 2 1 1 1+ + > 1, 2 3 1 1 1 1 1 1 3 1+ + + + + + > , 2 3 4 5 6 7 2 1 1 1 1 1 1 1 1+ + + + + + + + > 2 2 3 4 5 6 7 15 你能得到怎样的一般不等式，并加以证明。
例4．求证：对于任意的自然数n，代数式 11n+1+122n-1能被133整除.
证明：(1) n=1时，112+12=133能被133整除；
(2) 假设n=k 时11k+1+122k-1能被133整除 则当n=k+1时， k+2+122k+1= 11k+1×11+11×122k-1 11 -11×122k-1+122k+1
n n 1 2 1 2 2 3 3 4 n n 1 an bn c 12
2 2 2 2
3.是否存在实数a,b,c，使 得等式
对一切自然数n都成立？并证明你的结论。 a=3,b=11,c=10
考试热点
• 数列{an}中，sn=2n- an ① 计算a1，a2，a3，a4，并猜想an；
bc + ca ca + ab ab + bc = + + 2 2 2
> abc2 + a 2 bc + ab2c =
a + b + c.
1 1 1 ∴ a + b + c < + + 成立. a b c
例.已知a、b、c 为 不相等正数 ，且abc = 1， 1 1 1 证求 ：a + b + c < + + . a b c
例：已知a > 5，求证 ：
• • • • • • • •
a -5 -
证明: a -5 - a -3 < a -2 - a 要证 只需证 a - 5 a < a - 2 + a - 3 只需证 a(a - 5) < (a - 2)(a - 3) 只需证 a(a -5)<(a - 2)(a -3) 只需证 0 < 6 0 < 6 成立. 因为 所以 a - 5 - a - 3 < a - 2 - a 成立.
3.
方法一：累差叠加法
4.
二.综合法
例.已知a、b、c 为 不相等正数 ，且abc = 1， 1 1 1 证求 ：a + b + c < + + . a b c
1 1 1 ∴ + + = bc + ca + ab a b c
证 法1:∵ a、b、c 为 不相等正 数 ，且abc = 1，
a -3 <
a-2 -
a.
四:反证法
适用范围
1. 2. 3. 4. 唯一性问题 命题中涉及量词的问题 结论否定型问题 难以判断、计算、或证明的问题
练习 1.
例2．证明 2 不是有理数。
p 证明：假定 2 是有理数，则可设 2 , q
其中p，q为互质的正整数，
2q2=p2， ① ①式表明p2是偶数，所以p也是偶数，于 是令p=2l，l是正整数，代入①式， 得q2=2l2， ② 这样p，q都有公因数2，这与p，q互质矛盾， 因此 2 是有理数不成立，于 是 2是无理数.
注:在上例的题设条件下还可以有如下二个结论: (1)设这n条直线互相分割成f(n)条线段或射线, ---则: f(n)=n2. (2)这n条直线把平面分成(n2+n+2)/2个区域. 练习1:凸n边形有f(n)条对角线,则凸n+1边形的对角线 ------的条数f(n+1)=f(n)+_________. n-1 练习2:设有通过一点的k个平面,其中任何三个平面或 三个以上的平面不共有一条直线,这k个平面将 空间分成f(k)个区域,则k+1个平面将空间分成 f(k+1)=f(k)+__________个区域. 2k
第二章
推理与证明
复习小结
知识结构
合情推理 推理 推 理 与 证 明 证明 间接证明 演绎推理 比较法
归纳推理 类比推理
直接证明
综合法 分析法 反证法
数学归纳法
一.合情推理与演绎推理 • ①归纳是由特殊到一般的推理; ②类比是由特殊到特殊的推理; ③演绎推理是由一般到特殊的推理. • 从推理的结论来看,合情推理的结论 不一定正确,有待证明;演绎推理得 到的结论一定正确(前提为真). • “完全归纳推理”与“归纳推理”的 区别
=11(假设)+122k-1(122-11) …… 由（1）、（2）可知…能被133整除．
六.归纳、类比、猜想、证明
例：在各项为正的数列{a n }中，数列的前n项 1 1 和s n 满足s n = (a n + ) 2 an （1）求a1、a 2、a 3； （2）由（1）猜想到数列{a n }的通项公式， 并用数学归纳法证明你的猜想。
（2k+1)(2k+2) =(k+1)(k+2)(k+3)…(k+k)• k+1
= 2k• 1• 3•…•(2k-1)(2k+1)•2 = 2k+1•1• 3•…• (2k-1) •[2(k+1)-1]=右边， ∴当n=k+1时等式也成立。 由 ①、②可知，对一切n∈N ,原等式均成立。
例3:平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条 不过同一点,证明交点的个数f(n)等于n(n-1)/2. 证:(1)当n=2时,两条直线的交点只有1个,又 f(2)=2•(2-1)/2=1,因此,当n=2时命题成立. (2)假设当n=k(k≥2)时命题成立,就是说,平面内满足 题设的任何k条直线的交点个数f(k)等于k(k-1)/2. 以下来考虑平面内有k+1条直线的情况.任取其中 的1条直线,记作l.由归纳假设,除l以外的其他k 条直线的交点个数f(k)等于k(k-1)/2. 另外,因为已知任何两条直线不平行,所以直线l 必与平面内其他k条直线都相交,有k个交点.
例3、设0 < a, b, c < 1，求证：(1 a)b, (1
1 b)c, (1 c)a,不可能同时大于 4 1 1 证明：假设(1 a)b > , (1 b)c > , 4 4 1
(1 c)a >
4
,
则三式相乘：
1 (1 a)b•(1 b)c•(1 c)a > 64
② 用数学归纳法证明你的猜想。
3 7 15 1, , , 2 4 8
2 1 an n 1 2
n
ak 1 sk 1 sk 2k 1 ak 1 2k ak 2 ak 1 ak k ak 1 2 1 ak 1 1 1 k 1 2 2 2
五.数学归纳法
1. 2. 3. 4. 5. 证明“恒等式” 证明“几何问题” 证明“不等式” 证明“整除问题” 证明“猜想类问题”
例1．用数学归纳法证明：
1 4 2 7 3 10 n(3n 1) n(n 1)
2
证明：（1）当n=1时，左边=4，右边=4， 因为左边=右边，所以等式是成立的；
(k 1)(k 2 k 3k 4) (k 1)(k 2) 2
这就是说，当n=k+1时，等式也成立， 由（1）和（2）可以断定，等式对任何 n∈N+都成立。
例2.求证:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n•
1• 3•… •(2n-1)
证明：① n=1时：左边=1+1=2，右边=21•1=2，左边=右边，等 式成立。 ② 假设当n=k((k∈N ）时有： (k+1)(k+2)…(k+k)=2k• 1• 3•…• (2n-1), 当n=k+1时： 左边=(k+2)(k+3)…(k+k)(k+k+1)(k+k+2)
又因为已知任何三条直线不过同一点,所以上面的k 个交点两两不相同,且与平面内其他的k(k-1)/2个 交点也两两不相同. 从而平面内交点的个数是 k(k-1)/2+k=k[(k-1)+2]/2 =(k+1)[(k+1)-1]/2. 这就是说,当n=k+1时,k+1条直线的交点个数为: f(k+1)=(k+1)[(k+1)-1]/2. 根据(1)、(2)可知,命题对一切大于1的正整数都 成 立. 说明:用数学归纳法证明几何问题,重难点是处理好当 n=k+1时利用假设结合几何知识证明命题成立.
证法2:∵ a、b、c为不相等正数 ，且abc = 1，
1 1 1 ∴ a+ b+ c = + + bc ca ab
1 1 1 1 1 1 + + + < b c+c a+a b 2 2 2
1 1 1 = + + . a b c 1 1 1 ∴ a + b + c < + + 成立. a b c