2.推理与证明复习小结

（2）假设当n=k时，等式成立，即
1 4 2 7 3 10 k (3k 1) k (k 1)
2
1 4 2 7 3 10 k (3k 1) (k 1)[3(k 1) 1] k (k 1)2 (k 1)(3k 4)
例4．求证：对于任意的自然数n，代数式 11n+1+122n-1能被133整除.
证明：(1) n=1时，112+12=133能被133整除；
(2) 假设n=k 时11k+1+122k-1能被133整除 则当n=k+1时， k+2+122k+1= 11k+1×11+11×122k-1 11 -11×122k-1+122k+1
3.
方法一：累差叠加法
4.
二.综合法
例.已知a、b、c 为 不相等正数 ，且abc = 1， 1 1 1 证求 ：a + b + c < + + . a b c
1 1 1 ∴ + + = bc + ca + ab a b c
证 法1:∵ a、b、c 为 不相等正 数 ，且abc = 1，
n n 1 2 1 2 2 3 3 4 n n 1 an bn c 12
2 2 2 2
3.是否存在实数a,b,c，使 得等式


对一切自然数n都成立？并证明你的结论。 a=3,b=11,c=10
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• 数列{an}中，sn=2n- an ① 计算a1，a2，a3，a4，并猜想an；
又因为已知任何三条直线不过同一点,所以上面的k 个交点两两不相同,且与平面内其他的k(k-1)/2个 交点也两两不相同. 从而平面内交点的个数是 k(k-1)/2+k=k[(k-1)+2]/2 =(k+1)[(k+1)-1]/2. 这就是说,当n=k+1时,k+1条直线的交点个数为: f(k+1)=(k+1)[(k+1)-1]/2. 根据(1)、(2)可知,命题对一切大于1的正整数都 成 立. 说明:用数学归纳法证明几何问题,重难点是处理好当 n=k+1时利用假设结合几何知识证明命题成立.
注:在上例的题设条件下还可以有如下二个结论: (1)设这n条直线互相分割成f(n)条线段或射线, ---则: f(n)=n2. (2)这n条直线把平面分成(n2+n+2)/2个区域. 练习1:凸n边形有f(n)条对角线,则凸n+1边形的对角线 ------的条数f(n+1)=f(n)+_________. n-1 练习2:设有通过一点的k个平面,其中任何三个平面或 三个以上的平面不共有一条直线,这k个平面将 空间分成f(k)个区域,则k+1个平面将空间分成 f(k+1)=f(k)+__________个区域. 2k
第二章
推理与证明
复习小结
知识结构
合情推理 推理 推 理 与 证 明 证明 间接证明 演绎推理 比较法
归纳推理 类比推理
直接证明
综合法 分析法 反证法
数学归纳法
一.合情推理与演绎推理 • ①归纳是由特殊到一般的推理; ②类比是由特殊到特殊的推理; ③演绎推理是由一般到特殊的推理. • 从推理的结论来看,合情推理的结论 不一定正确,有待证明;演绎推理得 到的结论一定正确(前提为真). • “完全归纳推理”与“归纳推理”的 区别
② 用数学归纳法证明你的猜想。
3 7 15 1, , , 2 4 8
2 1 an n 1 2
n
ak 1 sk 1 sk 2k 1 ak 1 2k ak 2 ak 1 ak k ak 1 2 1 ak 1 1 1 k 1 2 2 2
例：有下列各式： 1 1> , 2 1 1 1+ + > 1, 2 3 1 1 1 1 1 1 3 1+ + + + + + > , 2 3 4 5 6 7 2 1 1 1 1 1 1 1 1+ + + + + + + + > 2 2 3 4 5 6 7 15 你能得到怎样的一般不等式，并加以证明。
例3、设0 < a, b, c < 1，求证：(1 a)b, (1
1 b)c, (1 c)a,不可能同时大于 4 1 1 证明：假设(1 a)b > , (1 b)c > , 4 4 1
(1 c)a >
4
,
则三式相乘：
1 (1 a)b•(1 b)c•(1 c)a > 64
a -3 <
a-2 -
a.
四:反证法
适用范围
1. 2. 3. 4. 唯一性问题 命题中涉及量词的问题 结论否定型问题 难以判断、计算、或证明的问题
练习 1.
例2．证明 2 不是有理数。
p 证明：假定 2 是有理数，则可设 2 , q
其中p，q为互质的正整数，
2q2=p2， ① ①式表明p2是偶数，所以p也是偶数，于 是令p=2l，l是正整数，代入①式， 得q2=2l2， ② 这样p，q都有公因数2，这与p，q互质矛盾， 因此 2 是有理数不成立，于 是 2是无理数.
证法2:∵ a、b、c为不相等正数 ，且abc = 1，
1 1 1 ∴ a+ b+ c = + + bc ca ab
1 1 1 1 1 1 + + + < b c+c a+a b 2 2 2
1 1 1 = + + . a b c 1 1 1 ∴ a + b + c < + + 成立. a b c
三.分析法
bc + ca ca + ab ab + bc = + + 2 2 2
> abc2 + a 2 bc + ab2c =
a + b + c.
1 1 1 ∴ a + b + c < + + 成立. a b c
例.已知a、b、c 为 不相等正数 ，且abc = 1， 1 1 1 证求 ：a + b + c < + + . a b c
（2k+1)(2k+2) =(k+1)(k+2)(k+3)…(k+k)• k+1
= 2k• 1• 3•…•(2k-1)(2k+1)•2 = 2k+1•1• 3•…• (2k-1) •[2(k+1)-1]=右边， ∴当n=k+1时等式也成立。 由 ①、②可知，对一切n∈N ,原等式均成立。
例3:平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条 不过同一点,证明交点的个数f(n)等于n(n-1)/2. 证:(1)当n=2时,两条直线的交点只有1个,又 f(2)=2•(2-1)/2=1,因此,当n=2时命题成立. (2)假设当n=k(k≥2)时命题成立,就是说,平面内满足 题设的任何k条直线的交点个数f(k)等于k(k-1)/2. 以下来考虑平面内有k+1条直线的情况.任取其中 的1条直线,记作l.由归纳假设,除l以外的其他k 条直线的交点个数f(k)等于k(k-1)/2. 另外,因为已知任何两条直线不平行,所以直线l 必与平面内其他k条直线都相交,有k个交点.
五.数学归纳法
1. 2. 3. 4. 5. 证明“恒等式” 证明“几何问题” 证明“不等式” 证明“整除问题” 证明“猜想类问题”
例1．用数学归纳法证明：
1 4 2 7 3 10 n(3n 1) n(n ห้องสมุดไป่ตู้1)
2
证明：（1）当n=1时，左边=4，右边=4， 因为左边=右边，所以等式是成立的；
(k 1)(k 2 k 3k 4) (k 1)(k 2) 2
这就是说，当n=k+1时，等式也成立， 由（1）和（2）可以断定，等式对任何 n∈N+都成立。
例2.求证:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n•
1• 3•… •(2n-1)
证明：① n=1时：左边=1+1=2，右边=21•1=2，左边=右边，等 式成立。 ② 假设当n=k((k∈N ）时有： (k+1)(k+2)…(k+k)=2k• 1• 3•…• (2n-1), 当n=k+1时： 左边=(k+2)(k+3)…(k+k)(k+k+1)(k+k+2)
例：已知a > 5，求证 ：
• • • • • • • •
a -5 -
证明: a -5 - a -3 < a -2 - a 要证 只需证 a - 5 a < a - 2 + a - 3 只需证 a(a - 5) < (a - 2)(a - 3) 只需证 a(a -5)<(a - 2)(a -3) 只需证 0 < 6 0 < 6 成立. 因为 所以 a - 5 - a - 3 < a - 2 - a 成立.
=11(假设)+122k-1(122-11) …… 由（1）、（2）可知…能被133整除．
六.归纳、类比、猜想、证明
例：在各项为正的数列{a n }中，数列的前n项 1 1 和s n 满足s n = (a n + ) 2 an （1）求a1、a 2、a 3； （2）由（1）猜想到数列{a n }的通项公式， 并用数学归纳法证明你的猜想。
①
又∵0 < a, b, c < 1
1 (1 a) a 所以 0 (1 a)a 4 2 1 1 同理：(1 b)b (1 c)c 4 4
2
以上三式相乘： (1 a)a•(1 b)b•(1 c)c≤ ∴原式成立。
1 与①矛盾 64