推理与证明(复习课)_好共37页
推理与证明复习课HW上课课件
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掌握推理与证明的基本概念和 原则
熟悉各种推理和证明的方法和 技巧
能够运用所学知识解决实际问 题
培养逻辑思维能力，提高分析 问题和解决问题的能力
02 推理部分复习
直接推理
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定义
直接推理是从已知事实出 发，通过逻辑演绎得出结 论的过程。
例子
如果A（事实）发生，则B （结论）一定发生。
构造法
总结词
构造法是一种通过构造具体的实例或反例来证明或反驳命题的方法，常常用于 解决一些难以用常规方法证明的数学问题。
详细描述
构造法需要找到与问题相关的具体实例或反例，通过这些实例或反例的性质和 特点来证明或反驳命题。这种方法需要一定的创造性和想象力，但有时可以解 决一些非常棘手的问题。
反证法在证明中的应用
05 练习题与答案
练习题一
总结词
基础推理练习
详细描述
此练习题主要考察学生的基础推理能力，涉及逻辑推理的基本规则和概念，适合初学者练习。
练习题二
总结词
复杂逻辑推理
详细描述
此练习题难度较大，需要学生综 合运用逻辑推理规则和技巧，解 决复杂的逻辑推理问题。
练习题三
总结词
证明题练习
详细描述
此练习题重点考察学生的证明能力，需要学生根据已知条件，运用逻辑推理规则，完成 数学命题的证明。
推理与证明复习课hw上课课件
目录
• 引言 • 推理部分复习 • 证明部分复习 • 经典例题解析 • 练习题与答案 • 总结与展望
01 引言
课程简介
课程名称
推理与证明复习课
适用对象
对推理和证明感兴趣的学生，具备一定数学基础
推理与证明复习课(1)
第1课时推理复习课一、习■航自主预习，确立复习目标，检测复习效果◎掌握归纳、类比的概念及其特点•练习： 1.下面一组按规律排列的数：1，32，53，…，第n个数应是()八n f 2n _1 一 /只,、n °一.. 2n_1A.nB.nC.（2n「1）D.（2n「1）◎掌握三段论的一般模式练习: 2. （1）下列函数为增函数的是（2A.y=2x-1B.y=x -2x+11C.y=- —D.y=ta n xx(2)已知通项公式形如an =cq n(c,q = 0)的数列CaJ为等比数列，则数列-2,是等比数列，用的是推理.(填“归纳”或“类比”或“)绎”拨解疑，重在授之以渔.1例1设数列玄』的首项a =a ，且4-a n小为偶数，12务 1 一一1a n•一, n为奇数.L 41记b Pn4 ,n =1.2,3,川.4(1 )求a2，a3；(2)判断数列:b/f是否为等比数列，并证明你的结论分析：本题可以先求出4 1的前几项，根据规律归纳出 2 的通项公式探讨：本题以数列为载体考查运用归纳推理，归纳推理所得的结论是不是一定正确？1变式练习：已知正项数列\a n r的前n项和S n(a n1)2,试求出b i, b2, b3, b4,…并由此归纳出I a n4的通项公式.a + b例2若记“ * ”表示两个实数a与b的算术平均数的运算，即a*b=- b，则两边均含有运算符号2和“ +”，且对于任意3个实数a, b, c都能成立的一个等式可以是 _______________ .分析：由于本题是探索性和开放性问题，答案并不唯一，注意到题目的要求不仅是要类比到三个数，还要求两边都有“ * ”和+”探讨：类比推理的特点是什么？类比时应该针对什么进行推理？类比推理的结果一定是正确的吗？变式练习：已知数列a i,a2,…，a3o，其中a i,a2,…，a io是首项为1,公差为1的等差数列；a®, an,…，a?。
2013-2014高二理科数学期末复习(推理与证明)
2013-2014高二理科数学期末复习（推理与证明）考向一 归纳推理【例1】(1) 观察下列等式： 1＝1，1＋2＝3，1＋2＋3＝6，1＋2＋3＋4＝10，1＋2＋3＋4＋5＝15， 13＝1，13＋23＝9，13＋23＋33＝36，13＋23＋33＋43＝100，13＋23＋33＋43＋53＝225.可以推测：13＋23＋33＋…＋n 3＝________(n ∈N *，用含有n 的代数式表示)．解析 第二列等式的右端分别是1×1,3×3,6×6,10×10,15×15，∵1,3,6,10,15，…第n 项a n ，与第n －1项a n －1(n ≥2)的差为：a n －a n －1＝n ，∴a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，…，a n －a n －1＝n ，各式相加得，a n ＝a 1＋2＋3＋…＋n ，其中a 1＝1，∴a n ＝1＋2＋3＋…＋n ，即a n ＝n (n ＋1)2，∴a 2n ＝14n 2(n ＋1)2.答案 14n 2(n ＋1)2【训练1】1．观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为_______________________________解析 13＋23＝32＝(1＋2)2,13＋23＋33＝62＝(1＋2＋3)2,13＋23＋33＋43＝102＝(1＋2＋3＋4)2，则13＋23＋…＋n 3＝(1＋2＋…＋n )2＝⎣⎡⎦⎤n (n ＋1)22，故第五个等式即为当n ＝6时，13＋23＋33＋43＋53＋63＝⎝⎛⎭⎫6×722＝212.答案 13＋23＋33＋43＋53＋63＝2122. 观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝________. 解析 法一 由a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3得ab ＝－1，代入后三个等式中符合，则a 10＋b 10＝(a 5＋b 5)2－2a 5b 5＝123.法二 令a n ＝a n ＋b n ，则a 1＝1，a 2＝3，a 3＝4，a 4＝7，…得a n ＋2＝a n ＋a n ＋1，从而a 6＝18，a 7＝29，a 8＝47，a 9＝76，a 10＝123. 答案 1233. 观察下列不等式1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，……照此规律，第五个不等式为________________．解析 先观察左边，第一个不等式为2项相加，第二个不等式为3项相加，第三个不等式为4项相加，则第五个不等式应为6项相加，右边分子为分母的2倍减1，分母即为所对应项数，故应填1＋122＋132＋142＋152＋162<116. 答案 1＋122＋132＋142＋152＋162<1164. 观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝________.解析 归纳类比，得偶函数f (x )的导函数g (x )是奇函数，从而有g (－x )＝－g (x )． 答案 －g (x )5. 将正奇数排列如图形式，其中第i 行第j 个数表示a ij (i ∈N *，j ∈N *)，例如a 32＝9，若a ij ＝2 009，则i ＋j ＝________.解析 根据正奇数排列的正三角图表知，2 009是第1 005个奇数，应排在i 行(其中i ∈N *)，则1＋2＋3＋…＋(i －1)＝i (i －1)2＜1 005①，且1＋2＋3＋…＋i ＝i (i ＋1)2＞1 005②；验证i ＝45时，①②式成立，所以i ＝45；第45行第1个奇数是2×44×452＋1＝1 981，而1 981＋2(j －1)＝2 009，∴j ＝15；所以，2 009在第45行第15个数，则i ＋j ＝60； 答案 606. 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin 2 13°＋cos 2 17°－sin 13°cos 17°；②sin 2 15°＋cos 2 15°－sin 15°cos 15°； ③sin 2 18°＋cos 2 12°－sin 18°cos 12°；④sin 2 (－18°)＋cos 2 48°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 2 55°－sin(－25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．解 法一(1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.考向二 类比推理【例2】 (1)在平面几何里，有“若△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，内切圆半径为r ，则三角形面积为S△ABC＝12(a ＋b ＋c )r ”，拓展到空间，类比上述结论，“若四面体ABCD 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球的半径为r ，则四面体的体积为________”．解析 三角形的面积类比为四面体的体积，三角形的边长类比为四面体四个面的面积，内切圆半径类比为内切球的半径．二维图形中12类比为三维图形中的13，得V 四面体ABCD ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r .答案 V 四面体ABCD ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r(2) 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________，T 16T 12成等比数列．1 3 5 7 9 11 13 15 17 19…[审题与转化] 第一步：观察等差数列{a n }前n 项和S n 的特点．[规范解答] 第二步：由等差数列“S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12”中的“差”，类比到等比数列中的“商”．故可得T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列．[反思与回顾] 第三步：类比推理是以比较为基础的，它是根据两个或两类不同对象的某些特殊属性的比较，而做出有关另一个特殊属性的结论，是从特殊到特殊的推理，利用这类推理所得到的结论需要进行严格的证明．[方法总结] (1)类比是从已经掌握了的事物的属性，推测正在研究的事物的属性，是以旧有的认识为基础，类比出新的结果；(2)类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性；(3)类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却有发现的功能． 【训练2】1. 记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，利用倒序求和的方法，可将S n 表示成首项a 1、末项a n 与项数n 的一个关系式，即公式S n ＝n (a 1＋a n )2；类似地，记等比数列{b n }的前n 项积为T n ，且b n >0(n ∈N *)，试类比等差数列求和的方法，可将T n 表示成首项b 1、末项b n 与项数n 的一个关系式，即公式T n ＝________. 解析 利用等比数列性质，即若m ＋n ＝p ＋q ，则b m ·b n ＝b p ·b q ， 得T 2n ＝(b 1b 2…b n )·(b n b n －1…b 2b 1)＝(b 1b n )n ，即T n ＝(b 1b n )n 2. 答案 (b 1b n )n 22．在平面上，若两个正方形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4；类似地，在空间内，若两个正方体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．解析 由正方体的体积之比等于棱长的立方之比可得．答案 1∶83．给出下列三个类比结论．①(ab )n ＝a n b n 与(a ＋b )n 类比，则有(a ＋b )n ＝a n ＋b n ；②log a (xy )＝log a x ＋log a y 与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β；③(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2与(a ＋b )2类比，则有(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2. 其中结论正确的序号是________． 答案 ③4. 在共有2 013项的等差数列{a n }中，有等式(a 1＋a 3＋…＋a 2 013)－(a 2＋a 4＋…＋a 2 012)＝a 1 007成立；类比上述性质，在共有2 011项的等比数列{b n }中，相应的有等式________成立．解析 将等式中加、减换成乘除可得b 1·b 3·b 5·…·b 2 011b 2·b 4·b 6·…·b 2 010＝b 1 006.答案 b 1·b 3·b 5·…·b 2 011b 2·b 4·b 6·…·b 2 010＝b 1 0065. 若等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，前n 项的和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等差数列，且通项为S nn ＝a 1＋(n－1)·d 2.类似地，若各项均为正数的等比数列{b n }的首项为b 1，公比为q ，前n 项的积为T n ，则数列{nT n }为等比数列，通项为________．解析 由等差数列与等比数列的运算类比，可得n T n ＝b 1(q )n －1.答案 n T n ＝b 1(q )n －16. 如果函数f (x )在区间D 上是“凸函数”，则对于区间D 内任意的x 1，x 2，…，x n ，有f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )n≤f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋…＋x n n 成立．已知函数y ＝sin x 在区间[0，π]上是“凸函数”，则在△ABC 中，sin A ＋sinB ＋sinC 的最大值是________．解析 由凸函数定义，知sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin ⎝⎛⎭⎫A ＋B ＋C 3＝323. 答案 32 37．圆x 2＋y 2＝r 2在点(x 0，y 0)处的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2，类似地，可以求得椭圆x 28＋y 22＝1在(2,1)处的切线方程为________．解析 由类比结构可知，相应的切线方程为：x 0x 8＋y 0y2＝1，代入点坐标，所求切线方程为：x 4＋y 2＝1. 答案 x 4＋y2＝17. 命题p ：已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上的一个动点，过点F 2作∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，垂足为M ，则OM 的长为定值．类比此命题，在双曲线中也有命题q ：已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，F 1，F 2是双曲线的两个焦点，P 为双曲线上的一个动点，过点F 2作∠F 1PF 2的________的垂线，垂足为M ，则OM 的长为定值．解析 对于椭圆，延长F 2M 与F 1P 的延长线交于Q .由对称性知，M 为F 2Q 的中点，且PF 2＝PQ ，从而OM ∥F 1Q 且OM ＝12F 1Q .而F 1Q ＝F 1P ＋PQ ＝F 1P ＋PF 2＝2a ，所以OM ＝a .对于双曲线，过点F 2作∠F 1PF 2内角平分线的垂线，垂足为M ，类比可得OM ＝a . 答案 内角平分线[方法总结] 归纳推理可以通过多求几项找规律．类比推理，从类比对象划分，主要有等差数列与等比数列的类比，其中等差数列中的加、减、乘、除运算与等比数列中的乘、除、乘方、开方运算对应．平面几何与立体几何的类比，其中平面几何中的点、线、面、长度、面积等，与立体几何中的线、面、体、面积、体积等对应．椭圆与双曲线的类比，其中椭圆与双曲线中有“互余”关系． 考向三 演绎推理【例3】 数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n S n(n ∈N ＋)，证明：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列； (2)S n ＋1＝4a n .证明 (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n，∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . ∴S n ＋1n ＋1＝2·S nn ，(小前提)故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以2为公比的等比数列．(结论) (大前提是等比数列的定义，这里省略了)(2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)，∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2)(小前提)又a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提) ∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n (结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)[方法总结] 演绎推理是从一般到特殊的推理；其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略．考向四 数学归纳法的原理1．在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12n (n －3)条时，第一步检验第一个值n 0 等于________．解析 边数最少的凸n 边形是三角形． 答案 32．利用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…＋12n －1＜f (n )(n ≥2，n ∈N *)的过程，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边增加了________项．解析 1＋12＋13＋…＋12k ＋1－1－1＋12＋13＋…＋12k －1＝12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1，共增加了2k 项．答案2k3．用数学归纳法证明：“1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－a n ＋21－a(a ≠1)”在验证n ＝1时，左端计算所得的项为________． 答案 1＋a ＋a 24．某个命题与自然数n 有关，若n ＝k (k ∈N *)时命题成立，那么可推得当n ＝k ＋1时该命题也成立，现已知n ＝5时，该命题不成立，那么可以推得下列成立的说法是________．①n ＝6时该命题不成立；②n ＝6时该命题成立；③n ＝4时该命题不成立；④n ＝4时该命题成立． 解析 法一 由n ＝k (k ∈N *)成立，可推得当n ＝k ＋1时该命题也成立．因而若n ＝4成立，必有n ＝5成立．现知n ＝5不成立，所以n ＝4一定不成立．法二 其逆否命题“若当n ＝k ＋1时该命题不成立，则当n ＝k 时也不成立”为真，故“n ＝5时不成立”⇒“n ＝4时不成立”．答案 ③ 5．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n ＞1324的过程中，由n ＝k 推导n ＝k ＋1时，不等式的左边增加的式子是________． 解析 不等式的左边增加的式子是12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝1(2k ＋1)(2k ＋2)，故填1(2k ＋1)(2k ＋2). 答案 1(2k ＋1)(2k ＋2)【例1】用数学归纳法证明：1×2×3＋2×3×4＋…＋n ×(n ＋1)×(n ＋2)＝n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)4.(n ∈N *)证明 (1)当n ＝1时，左边＝1×2×3＝6，右边＝1×2×3×44＝6＝左边，所以等式成立．(2)设当n ＝k (k ∈N *)时，等式成立，即1×2×3＋2×3×4＋…＋k ×(k ＋1)×(k ＋2)＝k (k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)4.则当n ＝k ＋1时，左边＝1×2×3＋2×3×4＋…＋k ×(k ＋1)×(k ＋2)＋(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3) ＝k (k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)4＋(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)＝(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)⎝⎛⎭⎫k 4＋1＝(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)(k ＋4)4 ＝(k ＋1)(k ＋1＋1)(k ＋1＋2)(k ＋1＋3)4所以n ＝k ＋1时，等式成立．由(1)(2)可知，原等式对于任意的n ∈N *成立．【训练】 1已知数列{a n }满足：a 1＝1，a 2n ＝a 2n －1＋1a n －1(n ≥2)，a n ≥12n 13.求证：1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤4(n ＋1)23－1.证明 由题得a 2n ＋1＝a 2n ＋1a n ，即a 2n ＋1－a 2n ＝1a n ，于是有1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝a 2n ＋1－a 21＝a 2n ＋1－1. 要证明1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤4(n ＋1)23－1，只需证明a n ≤2n 13.下面使用数学归纳法证明．①当n ＝1时，a 1＝1，12<a 1<2，则当n ＝1时，不等式成立．②假设当n ＝k 时，12k 13≤a k ≤2k 13成立，则当n ＝k ＋1时，a 2k ＋1＝a 2k ＋1a k ≤4k 23＋112k 13＝4k 23＋2k 13，只要证明4k 23＋2k 13≤4(k ＋1)23，只需2k ＋1≤2k 13(k ＋1)23，只需(2k ＋1)3≤8k (k ＋1)2，化简后恒成立，于是a k ＋1≤2(k ＋1)13，所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤4(n ＋1)23－1.2.设数列{a n }的前n 项和为S n ，且方程x 2－a n x －a n ＝0有一根为S n －1，n ＝1,2,3，…. (1)求a 1，a 2；(2)猜想数列{S n }的通项公式，并给出严格的证明．解 (1)当n ＝1时，x 2－a 1x －a 1＝0有一根为S 1－1＝a 1－1，于是(a 1－1)2－a 1(a 1－1)－a 1＝0，解得a 1＝12.当n ＝2时，x 2－a 2x －a 2＝0有一根为S 2－1＝a 2－12，于是⎝⎛⎭⎫a 2－122－a 2⎝⎛⎭⎫a 2－12－a 2＝0，解得a 2＝16. (2)由题设(S n －1)2－a n (S n －1)－a n ＝0，即S 2n －2S n ＋1－a n S n ＝0. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，代入上式得S n －1S n －2S n ＋1＝0.① 由(1)得S 1＝a 1＝12，S 2＝a 1＋a 2＝12＋16＝23.由①可得S 3＝34.由此猜想S n ＝nn ＋1，n ＝1,2,3，….下面用数学归纳法证明这个结论． (ⅰ)n ＝1时已知结论成立．(ⅱ)假设n ＝k (k ∈N *)时结论成立，即S k ＝kk ＋1，当n ＝k ＋1时，由①得S k ＋1＝12－S k ，即S k ＋1＝k ＋1k ＋2，故n ＝k ＋1时结论也成立． 综上，由(ⅰ)、(ⅱ)可知S n ＝nn ＋1对所有正整数n 都成立． [方法总结] 归纳、猜想、证明属于探索性问题的一种，一般经过计算、观察、归纳，然后猜想出结论，再利用数学归纳法证明．由于“猜想”是“证明”的前提和“对象”，因此要务必保持猜想的正确性，同时要注意数学归纳法步骤的书写．3. 在数列{a n }、{b n }中，a 1＝2，b 1＝4，且a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列(n ∈N *)．(1)求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，由此猜测{a n }，{b n }的通项公式，并证明你的结论； (2)证明：1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n ＜512.(1)解 由条件得2b n ＝a n ＋a n ＋1，a 2n ＋1＝b n b n ＋1.由此可得a 2＝6，b 2＝9，a 3＝12，b 3＝16，a 4＝20，b 4＝25. 猜测a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2. 用数学归纳法证明：①当n ＝1时，由上可得结论成立．②假设当n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝k (k ＋1)，b k ＝(k ＋1)2，那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝2b k －a k ＝2(k ＋1)2－k (k ＋1)＝(k ＋1)(k ＋2)，b k ＋1＝a 2k ＋1b k＝(k ＋2)2，所以当n ＝k ＋1时，结论也成立．由①②，可知a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2对一切正整数都成立．(2)证明1a1＋b1＝16＜512. n≥2时，由(1)知a n＋b n＝(n＋1)(2n＋1)＞2(n＋1)n.故1a1＋b1＋1a2＋b2＋…＋1a n＋b n＜16＋12⎣⎡⎦⎤12×3＋13×4＋…＋1n(n＋1)＝16＋12⎝⎛⎭⎫12－13＋13－14＋…＋1n－1n＋1＝16＋12⎝⎛⎭⎫12－1n＋1＜16＋14＝512.综上，原不等式成立．。
高三数学二轮复习 7.2推理与证明课件
从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理， 直接推证结论的真实性的证明称为直接证明．综合法和分 析法是直接证明中最基本的两种方法，也是解决数学问题 时常用的思维方法．
(2)综合法 从已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，经过逐 步的推理论证，最后达到待证的结论，这种证明方法叫综 合法．也叫顺推证法或由因导果法． 用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所 要证明的结论，则综合法可用框图表示为：
1．能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在 数学发现中的作用．
2．掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单 推理．
3．了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法．了解 间接证明的一种基本方法：反证法．
推理证明是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中 经常使用的思维方法，从内容编排上看，推理和证明是新 课标的新增内容，但从知识结构上看，这些内容渗透于其 它数学知识中，几乎涉及数学的方方面面．
所以 AB⊥PD，
在直角三角形 APB 中，AB·PD＝PA·PB，
所以 PA2＋PB2·PD＝PA·PB，
1 PD2
＝
PA2＋PB2 PA2·PB2
＝
1 PA2
＋
1 PB2
，
故
1 h2
＝
1 PA2
＋
1 PB2
＋
P1C2.(也可以由等体积法得到).
[例3] 已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an＋1＝(1＋q)an －qan－1(n≥2，q≠0)． (1)设bn＝an＋1－an(n∈N*)，证明数列{bn}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式； (3)若a3是a6与a9的等差中项，求q的值，并证明：对任意的 n∈N*，an是an＋3与an＋6的等差中项．
2020届一轮复习人教版 推理与证明、算法、复数 课件(9张)
考点题型速览 应试策略集萃
考点题型速览 应试策略集萃
高考预测:复数属于高考必考内容,以代数运算尤其是除法运算 与几何意义的结合是高考的热点;程序框图考查的热点是循环结构, 以输出功能为重点,只需按照流程线的指向逐步运算即可;证明问 题渗透在立体几何中线面关系、解析几何中定点与定值等问题中; 而推理主要以生活实际为背景,考查演绎推理.
考点题型速览 应试策略集萃
7.用反证法证明数学命题需把握的三点 (1)必须先否定结论,即肯定结论的反面; (2)必须从否定结论进行推理,即应把结论的反面作为条件,且必 须依据这一条件进行推证; (3)推导出的矛盾可能多种多样,有的与已知矛盾,有的与假设矛 盾,有的与已知事实矛盾等,但是推导出的矛盾必须是明显的. 8.顺序结构和条件结构的特点 (1)顺序结构 顺序结构是最简单的算法结构,语句与语句之间、框与框之间是 按从上到下的顺序进行的. (2)条件结构 利用条件结构解决算法问题时,重点是判断框,判断框内的条件 不同,对应的下一框图中的内容和操作要相应地进行变化,故要重 点分析判断框内的条件是否满足.
考点题型速览 应试策略集萃
1.解决归纳推理的方法 归纳推理是依据特殊现象推断出一般现象,因而在进行归纳推理 时,首先观察题目给出的特殊数或式的变化规律,然后用这种规律 试一试这些特殊的数或式是否符合观察得到的规律,若不符合,则 继续寻找规律;若符合,则可运用此规律推出一般结论. 2.解决类比推理问题的方法步骤 (1)类比推理是由特殊到特殊的推理,其一般步骤为: ①找出两类事物之间的相似性或一致性; ②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的 命题(猜想). (2)类比推理的关键是找到合适的类比对象.平面几何中的一些定 理、公式、结论等,可以类比到立体几何中,得到类似的结论.
高考数学一轮复习第七章不等式推理与证明1二元一次不等式与简单的线性规划问题课件新人教A版22
标函数的几何意义是斜率问题还是距离问题,依据几何意义可求得
最值.
-27考点1
考点2
考点3
对点训练 2(1)(2020 河北唐山二模)已知 x,y 满足约束条件
- + 2 ≥ 0,
-2 + 1 ≤ 0,则 z=x-y 的最大值为( B )
包括
标系中画不等式Ax+By+C≥0所表示的平面区域时,此区域应_____
实线
边界直线,则把边界直线画成
.
(2)因为对直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)
代入Ax+By+C,所得的符号都 相同
,所以只需在此直线的同
一侧取一个特殊点(x0,y0)作为测试点,由Ax0+By0+C的 符号 即
-1 ≤ 0,
- + 1 ≥ 0
为( D )
A.-5
B.1
C.2
D.3
(2)如图,阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示
+ -1 ≥ 0,
为 -2 + 2 ≥. 0
-17考点1
考点2
考点3
+ -1 ≥ 0,
解析: (1)不等式组 -1 ≤ 0,
所围成的平面区域如图所示.
3
3
7
A.1
B.
C.
D.
2
4
4
- ≥ 0,
2 + ≤ 2,
(2)若不等式组
表示的平面区域是一个三角形,则
≥ 0,
+ ≤
a 的取值范围是( D )
2023年高考数学(理科)一轮复习课件——推理与证明
常用结论
1.合情推理包括归纳推理和类比推理，其结论是猜想，不一定正确，若要确定 其正确性，则需要证明.
2.在进行类比推理时，要从本质上去类比，只从一点表面现象去类比，就会犯 机械类比的错误.
3.分析法是执果索因，实际上是寻找使结论成立的充分条件；综合法是由因导 果，就是寻找已知的必要条件.
4.用反证法证题时，首先否定结论，否定结论就是找出结论的反面的情况，然 后推出矛盾，矛盾可以与已知、公理、定理、事实或者假设等相矛盾.
B.3(2n＋2) D.(n＋2)(n＋3)
索引
解析 由已知中的图形可以得到： 当n＝1时，图形的顶点个数为12＝3×4， 当n＝2时，图形的顶点个数为20＝4×5， 当n＝3时，图形的顶点个数为30＝5×6， 当n＝4时，图形的顶点个数为42＝6×7，…… 由此可以推断：第n个图形的顶点个数为(n＋2)(n＋3).
，则8 771用算筹应表
示为( ) C
中国古代的算筹数码
A.
B.
C.
D.
索引
解析 由算筹的定义，得
所以8 771用算筹应表示为
.
索引
(2)“正三角形的内切圆半径等于此正三角的高的31”，拓展到空间，类比平面
几何的上述结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的( C )
1
1
A.2
B.3
1
1
索引
感悟提升
1.归纳推理问题的常见类型及解题策略 (1)与数字有关的等式的推理.观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号. (2)与式子有关的推理.观察每个式子的特点，注意纵向对比，找到规律. (3)与图形变化有关的推理.合理利用特殊图形归纳推理出结论，并用赋值检验 法验证其真伪性. 2.类比推理常见的情形有：平面与空间类比；低维与高维类比；等差与等比数 列类比；运算类比(加与乘，乘与乘方，减与除，除与开方).数的运算与向量运 算类比；圆锥曲线间的类比等. 3.演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问 题，应当首先明确什么是大前提和小前提.
推理与证明复习课课件
赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆
成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1
堆只有1层，就一个球；第2,3,4,…堆最底层
（第一层）分别按图4所示方式固定摆放，
从第二层开始，每层的小球自然垒放在下
一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，
以f(n)表示第n堆的乒乓球总数，1则0
f(3)= n(n 1);(n 2)
(n≥2)第2个数是
1 (n2 n 2) 2
.
设第n行第2个数为an, a3 a2 2
a4 a3 3
1
2
2
3
4
a5 a4 4
4
7
7
4
5 11 14 11 5
an an1 n 16 16 2 25 16 6
迭加可得an
5 ……… ……
(06广东,14)在德国不来梅举行的第48届世乒
由 (1, 2) ( p, q) (5,0)
得
p 2q 5 p 1 2 p q 0 q 2
(1, 2) ( p, q) (1, 2) (1, 2) (2,0)
运算“ ”为(a：,b) (c,d) (ac bd,bc ad);
运算“ ”为(：a,b) (c,d) (a c,b d),
设p,q∈R，若 (1,2) ( p,q) (5,0) ，则
(1,2) ( p,q) ( B )
A.(4，0) B.(2，0) C. (0，2) D.(0，-4)
推理与证明(复习课)
课时安排：两课时
课型： 复习课
教学目标: 一、知识与技能:
了解合情推理和演绎推理的含义,两者的联系与区别; 了解直接证明的两种方法----分析法与综合法;了解间接证 明的一种基本方法---反证法; 二、过程与方法:
推理与证明复习课-P
推理与证明复习课 PPT
• 1. 合情推理 • （1）归纳推理：由部分到整体、由个别到一般的
推理。 • （2）类比推理：由特殊到特殊的推理。 • （3）合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已
有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进 行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它 们统称为合情推理。
• 2. 演绎推理 • （1）演绎推理：由一般到特殊的推理 • （2）框图表示： Q P1
P1 P2
· ·
···· ··
得到一个明显成立的条件
（3）文字语言：要证····只需证····即证····
5. 用分析法证明数学问题时的书写格式
“要证(欲证)”“只需证”“只需证”，直到出现一 个明显成立的条件 P, 再说明所要证明的数学问题 成立。
6. 归谬：矛盾的几种类型 （1）与公理、定理、定义矛盾 （2）与已知条件矛盾 （3）自相矛盾 （4）与假设矛盾
包括：
• 大前提——已知的一般原理； • 小前提——所研究的特殊情况； • 结论——根据一般原理，对特殊情况做出的
判断。
3. 综合法
（1）实质：由因导果
（2）框图表示： P Q1
……
Qn Q
Q1 Q2
P表示条件，Q表示结论 （3）文字语言：因为……所以……或由……得……
4. 分析法
（1）实质：执果索因
• 7. 数学归纳法
• 两点关注：
（1）“先看项”，弄清等式两边的构成规律， 等式两边各有多少项，初始n0是多少。 （2）由n=k到n=k+1时，除等式两边变化的 项外还要利用n=k时的式子，即利用假设， 正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得 以证明。
知识应用 课堂练习展示
小结与作业
欢迎指导，谢谢大家！
模块复习课 第3课时 推理与证明
由两类对象具有某些类似 特征和其中一类对象的某 些已知特征推出另一类对 象也具有这些特征的推理
特点
由部分到整体、由个别到一般 的推理
由特殊到特殊的推理
一般 步骤
(1)通过观察个别情况,发现某些 相同性质; (2)从已知的相同性质中推出一 个明确的一般性命题(猜想)
(1)找出两类事物之间的相 似性或一致性; (2)用一类事物的性质去推 测另一类事物的性质,得出 一个明确的命题(猜想)
×2 015x2 014,f3(x)=-cos x+ex+2 016×2 015×2 014x2 013,f4(x)=sin x +ex+2 016×2 015×2 014×2 013x2 012,f5(x)=cos x+ex+2 016×2 015 ×2 014×2 013×2 012x2 011,由此可以发现,fn(x)的前两项的和成周期
由已知f(x)在点x=2处取得极值c-16,
得 ������'(2) = 0, ������(2) = ������-16,
即 12������ + ������ = 0, 8������ + 2������ + ������ = ������-16,
即
12������ + ������ = 0, 解得 4������ + ������ = -8.
从待证结论出发,一 步一步寻求结论成 立的充分条件,最后 达到题设的已知条 件或已被证明的事 实的方法,是一种从 结果追溯到产生这 一结果的原因的思 维方法
要证明某一结论 Q 是正 确的,但不直接证明,而是 先去假设 Q 不成立(即 Q 的反面非 Q 是正确的),经 过正确的推理,最后得出 矛盾,因此说明假设非 Q 是错误的,从而断定结论 Q 是正确的,这种证明方 法叫做反证法
18-19 第2章 阶段复习课 第2课 推理与证明
填
自然数
究
k＋1
专
体
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阶段复习课 第二课 推理与证明
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部分 整体 个别 一般
特殊 特殊
专
体
题
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强
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题
心
型
速
一般 特殊
《推理与证明》复习课
《推理与证明》复习课《论语》中有“学而时习之”，“可温故而知新”的名言警句，针对《推理和证明》这一章我们要作一个复习巩固，以便理解和掌握基本知识、基本方法，提高化解“推理、证明”问题的能力．下面就“推理”、“证明”和“简单应用”分三部分进行归纳回顾 一、合情推理和演绎推理合情推理和演绎推理是两种重要的推理，对于有关数学问题的探索和论证具有重要的意义和作用．在两种推理的形式上，合情推理，如归纳是由部分到整体，个别到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理在思维过程的方向上与归纳推理相反，即是由一般到特殊的推理，它在逻辑上的依据是“三段论法”，三段论法观点三部分组成，（1）一般的判断（大前提），大前提是具有一般性的原理，如公理、定理、定义、性质等；（2）特殊的判断（小前提），小前提是包含在大前提所指事物的特殊事物，如命题中给出的已知条件；（3）结论（结论是根据两个前提推出的判断）.1、（考查合情推理）由数列1,10,100,1000,,猜测该数列的第n 项可能是（ ）A 、10nB 、110n -C 、110n +D 、11n2、（考查归纳推理）{}n a 是由非负整数组成的数列，满足()()121120,3,22n n n n a a a a a a +--===++，3,4,5,,n =求3a3、（考查演绎推理三段论问题）三段论“（1）只有船准时起航，才能准时到达目的港；（2）这艘船是准时到达目的港的，（3）所以这艘船是准时起航的”中的“小前提”是（ ） A 、（1） B 、（2） C 、（1）（2） D 、（3）4、（考查演绎推理三段论问题）北京2008年奥运会奖牌直径为70毫米，厚6毫米.奖牌正面为国际奥委会统一规定的图案——插上翅膀站立的希腊胜利女神和希腊潘纳辛纳科竞技场.“凡是获前三名的都有奖牌，50米手枪慢射项目中我国选手谭宗亮获第三名，因此也有奖牌.”以上三段论推理（ ）A 、完全正确B 、推理形式不正确C 、不正确，两个“自然数”概念不一致D 、不正确，两个“整数”概念不一致 点评：对于推理问题一定要分清是合情推理还是演绎推理，对于合情推理的这类问题也可用检验法进行检验.由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的，但它由特殊到一般的，由具体到抽象的认识功能，对于科学的发现却是十分有用的.三段论演绎推理的一种重要形式，要理解和掌握好有关“三段论”的概念和性质，学会运用“三段论”解决有关问题.二、直接证明与间接证明演绎推理的应用具体体现在直接证明和间接证明、数学归纳法等载体中，证明主要有直接证明和间接证明两类．直接法证明的方法主要是综合法和分析法二种；间接法的一种基本方法是反证法，法证法就是从结论的反面出发，推出矛盾的证明方法.5、（考查综合法）已知0,0a b >>≥6、（考查分析法）已知a b c >>，求证1110a b b c c a++>---。
推理与证明复习课
（结论）
（大前提） （小前提）
函数y 2x 5的图象是一条直线
（结论）
第12页/共20页
第13页/共20页
概念 综分 合析 法法
直接证明
分析法 解题方向比较明确， 利于寻找解题思路；
综合法 条理清晰，易于表述。
通常以分析法寻求 思路，再用综合法有条理地
表述解题过程
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直接证明
归纳推理
由部分到整体、特殊到一般的推理; 以观察分析为基础,推测新的结论; 具有发现的功能; 结论不一定成立.
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类比推理
由特殊到特殊的推理; 以旧的知识为基础,推测新的结果； 具有发现的功能; 结论不一定成立.
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推理案例2
可能存在生命
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类比推理的一般步骤：
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大前提 小前提 结论
大前提 小前提 结论
大前提 小前提 结论
演绎推理（练习）
（1） 一条边的平方等于其它两条边的平方和的三角形是直角三角形 （大前提）
ABC的三边长依次为3，4，5，而52 42 32 （小前提）
ABC是直角三角形 （2）
一次函数y kx b(k 0)的图象是一条直线 函数y 2x 5是一次函数
综合法和分析法的推证过程如下： 综合法
已知条件 结论
分析法 结论 已知条件
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综合法 (顺推证法、由因导果法)
利用已知条件和某些数学定义、定理、 公理等，经过一系列的推理论证，最后推导 出所要证明的结论或所要解决的问题的结果。
条件
条件 定义 定理 公理 推理论证
结论
P Q1
Q1 Q2
高中数学 模块复习课 第2课时 推理与证明课件 a选修12a高二选修12数学课件
专题二
演绎推理(yǎn yì tuī lǐ)及其应用
【例 2】已知函数
1 2
f(x)= x +aln
2
x(a∈R).
(1)若 f(x)在[1,e]上是增函数,求 a 的取值范围;
2
3
(2)若 a=1,1≤x≤e,求证:f(x)< x3.
12/8/2021
第十一页，共三十六页。
专题整合
专题
2
2Байду номын сангаас
2
12/8/2021
第十八页，共三十六页。
C+ccos A)
专题整合
专题
(zhuāntí)归
纳
高考(ɡāo
kǎo)体验
专题四 反证法及其应用
【例4】 已知直线ax-y=1与曲线x2-2y2=1相交于P,Q两点,证明不存在实
数(shìshù)a,使得以PQ为直径的圆恰好经过坐标原点O.
证明:假设存在实数 a,使得以 PQ 为直径的圆经过坐标原点 O,
(2)分析法是从待证的结论出发,一步一步地寻找结论成立的充分条件,最
后达到题设的已知条件或已被证明的事实.
12/8/2021
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自主梳理
知识(zhī
网络
shi)
要点
(yàodiǎn)
梳理
思考(sīkǎo)
辨析
4.反证法
(1)反证法是一种间接证明的方法.
(2)反证法中,必须首先否定结论,即肯定结论的反面,当结论的反面呈现多样
|x|+|y|=20的不同整数解(x,y)的个数为 (
A.76
B.80
)
C.86 D.92