必修4之《辅助角公式》 ()
(完整版)必修4之《辅助角公式》
高一数学期末复习————必修4之《辅助角公式》一．知识点回顾对于形如y=asinx+bcosx 的三角式，可变形如下： y=asinx+bcosx =++++a b x aa b x b a b 222222(sin cos )··。
记a a b 22+=cos θ，ba b 22+=sinθ，则cos cos sin ))y x x x θθθ+=+由此我们得到结论：asinx+bcosx=a b x 22++sin()θ，（*cos ,θ=sin θ=来确定。
通常称式子（*）为辅助角公式，它可以将多个三角式的函数问题，最终化为y=Asin(ϕ+ωx )+k 的形式。
二．训练1.化下列代数式为一个角的三角函数（1）1sin 2αα+； （2cos αα+；（3）sin cos αα- （4）sin()cos()6363ππαα-+-．（5）5sin 12cos αα+ （6）sin cos a x b x +2．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x (x ∈R)的最小值等于 ( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．－ 53.若函数()(1)cos f x x x =，02x π≤<，则()f x 的最大值为 ( )A ．1B ．2C 1D 24.（2009安徽卷理）已知函数()cos (0)f x x x ωωω=+>，()y f x =的图像与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的单调递增区间是( )A.5[,],1212k k k Z ππππ-+∈ B.511[,],1212k k k Z ππππ++∈C.[,],36k k k Z ππππ-+∈ D.2[,],63k k k Z ππππ++∈5. 如果函数y=sin2x+acos2x 的图象关于直线x=-π8对称，那么a= ( )（A ）2 （B ）-2 （C ）1 （D ）-1 6．函数y ＝cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的最大值是________．7.已知向量(cos(),1)3a x π=+r ,1(cos(),)32b x π=+-r , (sin(),0)3c x π=+r ,求函数()h x =2a b b c ⋅-⋅+r r r r 的最大值及相应的x 的值. （本题中可以选用的公式有21cos 21cos ,sin cos sin 222a αααα+==）。
三角函数复习之辅助角公式讲义
三角函数复习之辅助角公式讲义辅助角公式是指在三角函数的计算中，使用一些特定角度的三角函数值来计算其他角度的三角函数值的公式。
这些特定角度被称为辅助角。
在三角函数的求解和计算中，辅助角公式是非常实用的工具。
下面是一些常用的辅助角公式。
1.正弦函数的辅助角公式：sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinBsin(A-B) = sinAcosB - cosAsinB这两个公式可以通过将A+B或A-B展开并运用三角函数的和差角公式得到。
这两个公式可用于计算任意两个角度的正弦函数值。
2.余弦函数的辅助角公式：cos(A+B) = cosAcosB - sinAsinBcos(A-B) = cosAcosB + sinAsinB这两个公式可以通过将A+B或A-B展开并运用三角函数的和差角公式得到。
这两个公式可用于计算任意两个角度的余弦函数值。
3.正切函数的辅助角公式：tan(A+B) = (tanA + tanB) / (1 - tanAtanB)tan(A-B) = (tanA - tanB) / (1 + tanAtanB)这两个公式可以通过将A+B或A-B展开并运用三角函数的和差角公式以及两个角度的正切函数值来推导得到。
这两个公式可用于计算任意两个角度的正切函数值。
4.余切函数的辅助角公式：cot(A+B) = (cotAcotB - 1) / (cotA + cotB)cot(A-B) = (cotAcotB + 1) / (cotA - cotB)这两个公式可以通过将A+B或A-B展开并运用三角函数的和差角公式以及两个角度的余切函数值来推导得到。
这两个公式可用于计算任意两个角度的余切函数值。
辅助角公式在实际问题中有广泛的应用。
例如，在求解三角函数方程或证明三角恒等式时，辅助角公式可以帮助简化计算。
此外，辅助角公式还可以用于求解三角函数的特殊值，如求解sin15°、cos75°等。
辅助角公式(高一必修四新授课)
两角和与差的正弦、余弦、正切公式的化归
-辅助角公式
教学目标：
知识与技能：熟练利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式化归以及辅助角公式的应用。
过程与方法：讲练结合法
情感、态度及价值观：会用联系变化的观点看待事物，增强解决问题的能力。
教学重点：熟练掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式和辅助角公式的应用。
教学难点：在应用辅助角公式进行化归求值的过程中，涉及两角和与差的正弦、余弦、正切公式的使用。
教学过程：
一、讲解新知：
课本6、化简
解：原式
解：原式
解：原式
知识点讲解：
辅助角公式：
有原式
或原式
其中，叫辅助角。
或
二、当堂训练：
课本6、化简
课本13、化简
答案：课本6、化简原式
课本13、化简原式原式
原式原式
三、课堂小结
四、课后作业。
高中数学三角函数辅助角公式
高中数学三角函数辅助角公式
高中数学三角函数辅助角公式是一种在三角函数中用于求解角度的公式。
它是用来求解直角三角形的非直角角的，是由弧度，两个直角角以及三角函数的函数关系来推导而来的。
三角函数辅助角公式是三角函数的基本应用，它由弧度的定义引出，是由两个直角角和三角函数的函数关系来推导出来的。
其主要用于求解非直角三角形的角度。
其具体表达式为：
α + β + γ = π
sinα = cosβcosγ
cosα = sinβsinγ
tanα = cotβcotγ
其中α、β、γ分别为三个角的角度，π为圆周率。
三角函数辅助角公式主要用于求解三角形的角度，可以帮助我们更好地理解直角三角形的特性。
它可以用来解决许多复杂的问题，比如：求解梯形、平行四边形等多边形的角度，计算三角形内角和，计算三角形的面积等。
三角函数辅助角公式的应用很广泛，它可以用来解决许多复杂的问题，是学习三角函数的必备工具。
因此，学习者一定要把它熟练掌握，有效地运用，以便更好地解决问题。
三角函数辅助角公式推导过程是什么
三角函数辅助角公式推导过程是什么
三角函数辅助角公式推导过程是什么
辅助角公式是一种高等三角函数公式，下面小编整理了三角函数辅助角公式公式及推导过程，供大家参考！
1 三角函数辅助角公式是什幺辅助角公式是一种高等三角函数公式，使用代数式表达为asinx+bcosx=√(a2+b2)sin[x+\\arctan(b/a)] （a>0）。
虽然该公式已经被写入中学课本，但其几何意义却鲜为人知。
设要证明的公式为asinA+bcosA=√(a +b )sin(A+M) (tanM=b/a)
以下是证明过程：
设asinA+bcosA=xsin(A+M)
∴asinA+bcosA=x((a/x)sinA+(b/x)cosA)
由题,（a/x) +(b/x) =1,sinM=a/x,cosM=b/x
∴x=√(a +b )
∴asinA+bcosA=√(a +b )sin(A+M) ,tanM=sinM/cosM=b/a
1 三角函数辅助角公式推导过程三角函数辅助角公式推导：
asinx+bcosx=√(a2+b2)[asinx/√(a2+b2)+bcosx/√(a2+b2)]
令a/√(a2+b2)=cosφ，b/√(a2+b2)=sinφ
asinx+bcosx=√(a2+b2)(sinxcosφ+cosxsinφ)=√(a2+b2)sin(x +φ)
其中，tanφ=sinφ/cosφ=b/a，φ的终边所在象限与点(a,b)所在象限相同. 简单例题：
（1）化简5sina-12cosa
5sina-12cosa
=13(5/13sina-12/13cosa)。
高中数学必修4辅助角公式
高中数学必修4辅助角公式
学习高中数学必修4要学会对辅助角的公式进行归纳整理，高中数学必修4辅助角公式有哪些呢？下面是店铺为大家整理的高中数学必修4辅助角公式，希望对大家有所帮助!
高中数学必修4辅助角公式1.两角和差公式 (写的都要记) sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA ?
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB
cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)
tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)
高中数学必修4辅助角公式2.用以上公式可推出下列二倍角公式tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2]
cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2 -1=1-2(sina)^2
(上面这个余弦的很重要)
sin2A=2sinA*cosA
高中数学必修4辅助角公式3.半角的只需记住这个
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA)
高中数学必修4辅助角公式4.用二倍角中的余弦可推出降幂公式(sinA)^2=(1-cos2A)/2
(cosA)^2=(1+cos2A)/2
高中数学必修4辅助角公式5.用以上降幂公式可推出以下常用的化简公式
1-cosA=sin^(A/2)*2
1-sinA=cos^(A/2)*2。
必修4之《辅助角公式》
必修4之《辅助角公式》(总2页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--高一数学期末复习————必修4之《辅助角公式》一．知识点回顾对于形如y=asinx+bcosx 的三角式，可变形如下： y=asinx+bcosx =++++a b x a a b x b a b 222222(sin cos )··。
记aa b 22+=cos θ，b a b 22+=sinθ，则cos cos sin ))y x x x θθθ=+=+由此我们得到结论：asinx+bcosx=a b x 22++sin()θ，（*）其中θ由cos ,θ=sin θ=来确定。
通常称式子（*）为辅助角公式，它可以将多个三角式的函数问题，最终化为y=Asin(ϕ+ωx )+k 的形式。
二．训练1.化下列代数式为一个角的三角函数（1）1sin 2αα； （2cos αα+；（3）sin cos αα- （4）sin()cos()6363ππαα-+-．（5）5sin 12cos αα+ （6）sin cos a x b x +2．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－x －cos ⎝⎛⎭⎫π6＋x (x ∈R)的最小值等于 ( ) A ．－3 B ．－2 C ．－1 D ．－53.若函数()(1)cos f x x x =+，02x π≤<，则()f x 的最大值为 ( )A ．1B ．2C 1D 24.（2009安徽卷理）已知函数()cos (0)f x x x ωωω=+>，()y f x =的图像与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的单调递增区间是( )A.5[,],1212k k k Z ππππ-+∈ B.511[,],1212k k k Z ππππ++∈C.[,],36k k k Z ππππ-+∈ D.2[,],63k k k Z ππππ++∈5. 如果函数y=sin2x+acos2x 的图象关于直线x=-π8对称，那么a= ( ) （A ）2 （B ）-2（C ）1 （D ）-1 6．函数y ＝cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的最大值是________．7.已知向量(cos(),1)3a x π=+,1(cos(),)32b x π=+-, (sin(),0)3c x π=+,求函数()h x =2a b b c ⋅-⋅+的最大值及相应的x 的值. （本题中可以选用的公式有21cos 21cos ,sin cos sin 222a αααα+==）。
辅助角公式
辅助角公式Revised on November 25, 2020推导对于f(x)=asinx+bcosx(a>0)型函数，我们可以如此变形，设点(a,b)为某一角φ(-π/2<φ<π/2)终边上的点，则，因此就是所求辅助角公式。
又因为，且-π/2<φ<π/2，所以，于是上述公式还可以写成该公式也可以用余弦来表示（针对b>0的情况），设点(b,a)为某一角θ(-π/2<θ<π/2)终边上的点，则，因此同理，，上式化成若正弦和余弦的系数都是负数，不妨写成f(x)=-asinx-bcosx，则再根据得记忆很多人在利用辅助角公式时，经常忘记反正切到底是b/a还是a/b，导致做题出错。
其实有一个很方便的记忆技巧，就是不管用正弦还是余弦来表示asinx+bcosx，的位置永远是你用来表示函数名称的系数。
例如用正弦来表示asinx+bcosx，则反正切就是b/a（即正弦的系数a在分母）。
如果用余弦来表示,那反正切就要变成a/b（余弦的系数b在分母）。
疑问为什么在推导辅助角公式的时候要令辅助角的取值范围为(-π/2,π/2)其实是在分类讨论a>0或b>0的时候，已经把辅助角的终边限定在一、四象限内了，此时辅助角的范围是(2kπ-π/2,2kπ+π/2)(k是整数)。
而根据三角函数的周期性可知加上2kπ后函数值不变，况且在(-π/2,π/2)内辅助角可以利用反正切表示，使得公式更加简洁明了。
提出者，原名李心兰，字竟芳，号秋纫，别号壬叔。
出身于读书世家，其先祖可上溯至南宋末年汴梁（今）人李伯翼。
生于1811年 1月22日，逝世于1882年12月9日，人，是中国近代着名的数学家、天文学家、力学家和，创立了二次的幂级数展开式。
[1]（就是现在的）他研究各种，和对数函数的幂级数展开式，这是李善兰也是19 世纪中国数学界最重大的成就。
[1]在19世纪把西方近代知识翻译为中文的传播工作中﹐李善兰作出了重大贡献。
必修四第三章辅助角公式
作业：
必修四教材 第137页 第13题 (1) (2) (3) (4)
a2 b2
a2 b2
(其中 tan = b ) 一般地，0
a
2
说明：
利用辅助角公式可以将形如 asin x bcosx 的
式子 ，转化为一个角的一种三角函数形式。便于后面 求三角函数的最小正周期、最大（小）值、单调区间 等。
课堂练习： 化简：（1） 2sin 2 cos （2） 2sinx - 6 cos x
（ 2 sin cos cos sin ）
3
3
2sin
3
思考：2 b cos x 如何化简呢
辅助角公式
asin x bcos x a2 b2 sin(x )
其中 cos a ,sin b .
探究：
1.公式的逆用
sin cos
12 4
cos sin
12 4
sin(
12
)
4
sin
3
3 2
sincos cos sin
4
4
sin( )
4
2.将下面式子化为只含正弦的形式：
2 sin 2 cos
2
2
sin( )
（3）sin 2x cos2x
延伸拓展：
化简： 2 3 sin x cos x 2 cos2 x 1
解：原式 3 sin 2x cos 2x
（ 2 3 sin 2x 1 cos 2x）
2
2
（ 2 sin2x cos cos2x sin ）
6
辅助角公式及应用课件
利用代数方法推导
总结词
通过代数方法，我们可以将三角函数问 题转化为代数问题，从而推导出辅助角 公式。
VS
详细描述
利用代数方法，我们可以将三角函数问题 转化为代数问题。通过设置方程并求解， 我们可以得到辅助角公式的一般形式。这 种方法需要一定的代数基础和技巧，但适 用范围较广，可以处理各种复杂的三角函 数问题。
等。
在三角函数求值中的应用
辅助角公式可以用于求解某些特定类型的三角函数值，例如求正弦、余弦或正切值 。
通过使用辅助角公式，可以将复杂的三角函数问题转化为更易于解决的形式，从而 快速准确地找到答案。
辅助角公式还可以用于求解一些特殊角度的三角函数值，例如30度、45度或60度等 。
在三角函数图像变换中的应用
辅助角公式及应用课 件
汇报人：
202X-01-04
目录
CONTENTS
• 辅助角公式简介 • 辅助角公式的推导 • 辅助角公式的应用 • 辅助角公式的注意事项 • 辅助角公式的扩展 • 习题与解答
01
辅助角公式简介
辅助角公式的定义
辅助角公式是三角函数中用于将一个复杂的三角函数式转化 为易于处理的形式的公式。它通过引入一个辅助角，将原函 数表示为简单三角函数的组合。
辅助角公式可以用于对三角函 数图像进行平移、伸缩或翻转 等变换操作。
通过使用辅助角公式，可以将 图像变换问题转化为数学表达 式，从而更方便地进行图像处 理和操作。
辅助角公式还可以用于研究三 角函数图像的性质和特点，例 如周期性、对称性或极值点等 。
04
辅助角公式的注意 事项
公式的适用范围
适用角度范围
公式的误差分析
近似误差
辅助角公式在应用过程中会产生近似误差，主要来源于将复杂的 三角函数转化为简单的三角函数。
北师大版高中数学必修四辅助角公式
整体思想 数形结合 转化思想
例1：试将以下各式化为
思想方法： 把下列各式化为一个角的三角函数形式
(1)求函数的最大值及取得最大值时x的值的集合.
探究一：数学实验 直观感知
求因函为数 上述公式整引入体了思辅助想角 ，数的所周形以期把，结上最述合大公值式和转叫最做化小辅值思助. 角想公式
例3:如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为 的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形，记∠COP= ，问当角 取何值
(1)找出S与α之间的函数关系; (2)由得出的函数关系,求S的最大值。
解 ： 在 R t Δ O B C 中 ， O B = c o s α ,B C = s i n α 在 R tΔ O A D 中 ， D A =tan 60o=3 O A
学应用数学应用
所 以 O A =33D A =3B C =3sin α 3 33
一般地，能否将 asinxbcosx化为一个角的三角函数
形式
从三角函数的定义出发进行推导
•
在平面直角坐标系中,以a为 横坐标,b为纵坐标描一点 P(a,b)如图1所示,则总有一 个角 ,它的终边经过点P.设
的终边
y
• P(a,b)
r
OP=r,r= a2 ,由b2 三角函数 的定义知
O 图1
x
sinb b
情感与价值观： 时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积。
求函数
的周期，最大值和最小值.
设OP=r,r=
,由三角函数的定义知
探究二：实例探究 引发思考
(2)该函数图像数可学由y=与sin音x的图乐像美经过！怎样的变化得到.
的形式
作业
课本P137页A组11题， B组第12题
《辅助角公式》 讲义
《辅助角公式》讲义一、引入在三角函数的学习中，我们常常会遇到形如＼（a\sin x ＋b\cos x\）这样的式子。
为了更方便地对其进行分析和处理，我们引入了一个非常重要的公式——辅助角公式。
二、什么是辅助角公式辅助角公式的一般形式为：＼（a\sin x ＋ b\cos x ＝＼sqrt{a^2 ＋b^2} ＼sin(x ＋＼varphi)＼），其中\（＼varphi\）满足\（＼tan\varphi＝＼frac{b}｛a}＼）。
这个公式的作用在于将两个不同的三角函数\（＼sin x\）和\（＼cos x\）合并成一个单一的三角函数\（＼sin(x ＋＼varphi)＼），从而简化计算和分析。
三、辅助角公式的推导为了推导辅助角公式，我们可以利用三角函数的和角公式：＼（＼sin(＼alpha ＋＼beta) ＝＼sin\alpha\cos\beta ＋＼cos\alpha\sin\beta\）令＼（a\sin x ＋ b\cos x ＝ R\sin(x ＋＼varphi)＼）则＼（R\sin(x ＋＼varphi) ＝ R(＼sin x\cos\varphi ＋＼cosx\sin\varphi) ＝ R\cos\varphi\sin x ＋ R\sin\varphi\cos x\）所以＼（R\cos\varphi ＝ a\），＼（R\sin\varphi ＝ b\）两边平方相加可得：＼（R^2(＼cos^2\varphi ＋＼sin^2\varphi) ＝a^2 ＋ b^2\）因为\（＼cos^2\varphi ＋＼sin^2\varphi ＝ 1\），所以＼（R ＝＼sqrt{a^2 ＋ b^2}＼）则\（＼tan\varphi ＝＼frac{＼sin\varphi}｛＼cos\varphi} ＝＼frac{b}｛a}＼）这样就得到了辅助角公式：＼（a\sin x ＋ b\cos x ＝＼sqrt{a^2 ＋b^2} ＼sin(x ＋＼varphi)＼），其中\（＼varphi\）满足\（＼tan\varphi＝＼frac{b}｛a}＼）四、辅助角公式的应用（一）化简三角函数表达式例 1：化简\（＼sqrt{3}＼sin x ＋＼cos x\）首先，＼（R ＝＼sqrt{（＼sqrt{3}）＾2 ＋ 1^2} ＝ 2\）＼（＼tan\varphi ＝＼frac{1}｛＼sqrt{3}｝＝＼frac{＼sqrt{3}｝｛3}＼），所以\（＼varphi ＝＼frac{＼pi}｛6}＼）则\（＼sqrt{3}＼sin x ＋＼cos x ＝ 2\sin(x ＋＼frac{＼pi}｛6}）＼）例 2：化简＼（5\sin x 12\cos x\）＼（R ＝＼sqrt{5^2 ＋（－12)＾2} ＝ 13\）arctan\frac{12}｛5}＼）则＼（5\sin x 12\cos x ＝ 13\sin(x ＼arctan\frac{12}｛5}）＼）（二）求三角函数的最值例 3：求函数＼（y ＝ 2\sin x ＋ 2\sqrt{3}＼cos x\）的最大值和最小值先将其化为辅助角公式的形式：＼（R ＝＼sqrt{2^2 ＋（2\sqrt{3}）＾2} ＝ 4\）＼（＼tan\varphi ＝＼sqrt{3}＼），所以\（＼varphi ＝＼frac{＼pi}｛3}＼）则＼（y ＝ 4\sin(x ＋＼frac{＼pi}｛3}）＼）因为\（＼sin(x ＋＼frac{＼pi}｛3}）＼）的最大值为＼（1\），最小值为\（－1\）所以＼（y\）的最大值为＼（4\），最小值为\（－4\）（三）求解三角函数方程例 4：求解方程＼（3\sin x ＋ 4\cos x ＝ 2\）将左边化为辅助角公式：＼（R ＝＼sqrt{3^2 ＋ 4^2} ＝ 5\）arctan\frac{4}｛3}＼）则＼（3\sin x ＋ 4\cos x ＝ 5\sin(x ＋＼arctan\frac{4}｛3}）＼）原方程变为＼（5\sin(x ＋＼arctan\frac{4}｛3}）＝ 2\）＼（＼sin(x ＋＼arctan\frac{4}｛3}）＝＼frac{2}｛5}＼）则＼（x ＋＼arctan\frac{4}｛3} ＝ k\pi ＋（－1)＾k\arcsin\frac{2}｛5}＼），＼（k\in Z\）＼（x ＝ k\pi ＋（－1)＾k\arcsin\frac{2}｛5} ＼arctan\frac{4}｛3}＼），＼（k\in Z\）五、使用辅助角公式的注意事项（一）正确确定辅助角\（＼varphi\）要根据\（＼tan\varphi ＝＼frac{b}｛a}＼）来确定\（＼varphi\）的值，同时要注意\（＼varphi\）所在的象限。
必修之《辅助角公式》
高一数学期末复习 必修 4之《辅助角公式》一.知识点回顾对于形如y=asinx+bcosx 的三角式，可变形如下:t =sine,贝9 y 寸 a 2 b 2 (sin xcoscosxsin ) V?sin(x)、a 2 b 2a),(*)其中 e 由 =-cos<a b丁b ，sin 来确定。
通常称式子(*)为辅助角公式，它可以将多个三角式的函 数问题，最终化为y=Asin( x )+k 的形式 .训练1.化下列代数式为一个角的三角函数(1) -sin 2 cos ； 2 (2) . 3sin cos(3) sin cos (5) 5sin 12cos (4)si n(— 6 3cos(3).2 .函 数 y = 2si n _ — x - —cos 7 + x (x € R)的最小值等于( )A .— -3B . — 2C.—1 D. — , 53.若函数 f (x) (13 tan x) cosx ， 0x2， 则f (x)的最大值为( )A . 1B . 2C.3 1D. .3 2(6) asinx bcosxy=as in x+bcosx 、a 2 b 2 (sin x •a a 2b 2cosx •占)。
记 d=cose ，由此我们得到结论: asinx+bcosx= a 2 b 2 sin(x4. (2009安徽卷理)已知函数f(x) 、_3sin x cos x( 0) , y f(x)的图像与直线y 222的两个相邻交点的距离等于 ，则f(x)的单调递增区间是(A ) 2 (B ) 2 (C ) - (D )--n函数y = cos x + cos x + 3 的最大值是7.已知向量 a (cos(x ),1), b (cos(x ),-)3 3 2(本题中可以选用的公式有 cos 2 ——C0S ——,si nacos-si n2 ) A.[k 于存k Z B.C.[k -,k -], k ZD. 11E Z 討Z5. 如果函数 y=sin2x+acos2x 的图象关于直线x=8对称，那么a=6. c (sin(x),0),求函数 h(x)=ac 2的最大值及相应的x 的值.。
必修4 辅助角公式
(2)正切的和差角公式
tan( ) tan tan 1 tan tan
tan( ) tan tan 1 tan tan
1、已知 的值是
tan(
)
2，tan(
5
4
)
1 4
，那么
tan( )
4
解： ( ) ( )
作业：
课本 第137页 第13题 (1) (2) (3) (4)
化 asin x b cos x 为一个角的三角函数形式
asin x bcos x
a2
b2
a
sin x
a2 b2
a
令
cos sin
a2 b2 b
a2 b2
b
cos x
a2 b2
a2 b2 sin x cos cos xsin
4
4
42
2
2.将下面式子化为只含正弦的形式：
2 sin 2 cos sin cos cos sin sin( )
2
2
4
4
4
试一试：
将下面式子化为只含正弦的形式：
(1) 3 sin 1 cos
2
2
(2) sin 3 cos
(3)sin cos
函数，转化为一个角的一种三角函数形式。便于后面 求三角函数的最小正周期、最大（小）值、单调区间 等。
典型例题
已知：函数y 3sin 2x 3 3 cos 2x 1
(1)求此函数的值域和周期； (2)求此函数的单调递增区间； (3)求此函数图象的对称轴； (4)求此函数图象的对称中心；
辅助角公式
学案
一、知识回顾：
两角和与差的正余弦公式：
二、新课探究：
1、利用和差角公式计算下列各式的值：
练习：
2、求证：cos2sin()
6
π
ααα
=+
3、将sin cos
a x
b x
+化为一个角的正弦形式。
P(a,b)总有一个角φ的终边经过点P ，设
由三角函数定义可知： b= a=
辅助角公式推导
对于一般形式ααcos sin b a +（a 、b 不全为零），如何将表达式化简为只含有正弦的三角比形式 其中辅助角φ
由
cos __________
sin ___________
φφ== 确定，即辅助角φ（通常02φπ≤≤）
的终边经过点P (,)a b
------------------我们称上述公式为辅助角公式，其中角φ为
辅助角。
4、 将下列各式化为一个角的正弦形式
5、
求函数sin y x x =+的周期、最大值与最小值。
课堂检测： 思考：
6、求函数44sin cos cos y x x x x =+-的最小正周期、最大值与最小值；并写出该函数在[0,]π上的单调递增区间。
辅助角公式总结
辅助角公式总结辅助角公式在三角函数的学习中可是个相当重要的家伙！它能帮我们把形如 $a\sin x + b\cos x$ 的式子化简成一个单一的三角函数形式，让解题变得轻松不少。
先来说说辅助角公式的表达式：$\sqrt{a^2 + b^2}\sin(x + \varphi)$ ，其中 $\tan\varphi = \frac{b}{a}$ 。
咱们拿个具体的例子来瞅瞅。
比如说，$3\sin x + 4\cos x$ ，这时候咱们就可以用辅助角公式啦。
先算出 $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ ，然后$\tan\varphi = \frac{4}{3}$ ，所以 $\varphi$ 约等于 $53^{\circ}$ 。
于是，$3\sin x + 4\cos x = 5\sin(x + 53^{\circ})$ 。
我记得之前给学生讲这部分内容的时候，有个学生特别迷糊，怎么都弄不明白。
我就跟他说：“你就把这公式想象成一个魔法盒子，把两个三角函数扔进去，它就能给你变出一个更厉害的！” 那孩子听了之后，眼睛瞪得大大的，好像突然来了兴趣。
再说说辅助角公式的应用吧。
在求三角函数的最值、周期、单调区间等问题时，它可真是大显身手。
比如说，求函数 $y = 2\sin x +2\sqrt{3}\cos x$ 的最大值。
用辅助角公式一化简，变成 $4\sin(x +\frac{\pi}{3})$ ，一下子就能看出最大值是 4 啦。
还有啊，在解三角形的时候，辅助角公式也能帮上忙。
比如已知三角形的两边和夹角，要求第三边的长度。
通过正弦定理和余弦定理把式子变成含有三角函数的形式，再用辅助角公式化简，就能更方便地求出结果。
我曾经在课堂上出了一道题：已知函数 $f(x) = \sin x + \sqrt{3}\cos x$ ，求它在区间 $[0, 2\pi]$ 上的最小值。
有个学生很快就用辅助角公式算出了结果，还得意洋洋地跟旁边的同学炫耀。
辅助角和同角三角函数公式解析
辅助角和同角三角函数公式解析三角函数作为数学中的重要分支之一，广泛应用于物理、工程、计算机科学等领域。
在三角函数的研究中，辅助角和同角三角函数公式被广泛运用于简化计算和推导。
本文将对辅助角和同角三角函数公式进行详细解析。
一、辅助角辅助角指的是在三角函数的计算中引入一些可以简化计算的角度，使得计算更加便利。
最常见的辅助角是90°减去某个角度或两个角度的和。
以下是一些常见的辅助角公式：1. 余角公式：当两个角度a和b满足a + b = 90°时，称它们互为余角。
根据余角公式可得：sin(a) = cos(90° - a)cos(a) = sin(90° - a)tan(a) = cot(90° - a)cot(a) = tan(90° - a)sec(a) = csc(90° - a)csc(a) = sec(90° - a)2. 余切角公式：当两个角度a和b互为余切角时，有：cot(a) = tan(90° - a)cot(b) = tan(90° - b)根据这些公式，我们可以通过计算某个角a的余角来简化计算。
3. 相关角公式：在三角函数中，相关角公式也被视为一种辅助角。
相关角指的是两个角度互为补角或互为同角。
以下是相关角公式：sin(a) = sin(b)cos(a) = cos(b)tan(a) = tan(b)对于这些相关角，我们可以利用其中一个角度的三角函数值来求解另一个角度的三角函数值，从而简化计算过程。
二、同角三角函数公式同角三角函数公式是指在三角函数计算中，不同三角函数之间的关系式。
下面是一些常见的同角三角函数公式：1. 倍角公式：在同角三角函数中，倍角公式指的是将一个角的两倍表示成同一三角函数的形式。
以下是倍角公式的示例：sin(2a) = 2sin(a)cos(a)cos(2a) = cos^2(a) - sin^2(a) = 2cos^2(a) - 1 = 1 - 2sin^2(a)tan(2a) = (2tan(a))/(1-tan^2(a))通过倍角公式，我们可以将一个角度的计算转化为同一三角函数的乘积或平方的形式，便于简化计算过程。
辅助角公式及应用课件
复数方法是一种有效的推导辅助角公式的方法。通过将三角函数表示为复数形式，我们 可以利用复数的基本运算规则和三角函数的性质来推导辅助角公式。这种方法能够直观 地揭示辅助角公式的内在逻辑和数学结构，有助于深入理解辅助角公式的应用和推广。
CHAPTER 03
辅助角公式的应用
在三角函数化简中的应用
详细描述
三角函数的和差化积公式是推导辅助角公式的关键工具之一。通过利用这些公式，我们可以将两个或多个三角函 数的和或差转化为单一的三角函数形式，从而简化问题。例如，我们可以将正弦函数和余弦函数的和或差转化为 正切函数或余切函数，进一步推导出辅助角公式。
利用三角函数的倍角公式推导
总结词
通过三角函数的倍角公式，我们可以将一个角的三角函数值转化为两个角之和或差的三角函数值，从 而推导出辅助角公式。
辅助角公式及应用课件
CONTENTS 目录
• 辅助角公式简介 • 辅助角公式的推导 • 辅助角公式的应用 • 辅助角公式的扩展 • 辅助角公式的注意事项
CHAPTER 01
辅助角公式简介
辅助角公式的定义
01
辅助角公式是三角函数中用于将 一个复杂的三角函数式转化为简 单三角函数式的一组公式。
02
误差大小
误差的大小取决于角度、参数的选择 以及使用的近似方法。
THANKS
[ 感谢观看 ]
辅助角公式的局限性
近似性
辅助角公式通常基于近似 计算，因此结果的精度可 能受到限制。
适用性
辅助角公式可能不适用于 某些特定问题或复杂情况 。
计算复杂性
对于一些复杂问题，辅助 角公式的计算可能较为繁 琐。
辅助角公式的误差分析
误差来源
误差控制
必修4辅助角公式
02 辅助角公式的推导过程
利用三角函数的和差化积公式推导
总结词
通过三角函数的和差化积公式，我们可以将复杂的三角函数式转化为单一的三角函数形式，从而简化计算。
详细描述
利用三角函数的和差化积公式，我们可以将两个或多个三角函数的和差形式转化为单一的三角函数形式。例如， 利用正弦和差化积公式，我们可以将表达式$sin(x+alpha)-sin(x)$转化为 $2cos(x+frac{alpha}{2})sin(frac{alpha}{2})$，从而简化计算。
算精度来减小。
近似误差
由于辅助角公式是利用近似值进 行计算的，因此存在近似误差。 这种误差的大小取决于公式的近
似程度和角度的范围。
范围限制误差
由于辅助角公式适用于特定范围 内的角度，因此当角度超出这个 范围时，公式可能不准确，导致
误差。
辅助角公式的适用范围与局限性
适用范围
辅助角公式适用于解决一些特定类型 的三角函数问题，如求三角函数的值、 化简三角函数表达式等。
利用三角函数的倍角公式推导
总结词
通过三角函数的倍角公式，我们可以将一个角的三角函数转化为两个角相等的三 角函数形式，从而简化计算。
详细描述
利用三角函数的倍角公式，我们可以将一个角的三角函数转化为两个角相等的三角 函数形式。例如，利用正弦的倍角公式，我们可以将表达式$sin(2x)$转化为 $2sin(x)cos(x)$，从而简化计算。
03 辅助角公式的应用实例
三角函数图像的变换
辅助角公式在三角函数图像变换中的应用，可以将正弦、余 弦、正切函数等三角函数图像进行平移、伸缩、翻转等变换 ，从而得到新的三角函数图像。
例如，利用辅助角公式可以将正弦函数图像向右平移，得到 余弦函数图像；也可以将正弦函数图像进行伸缩变换，得到 周期不同的三角函数图像。
辅助角公式通用课件
随着数学与其他学科的交叉融合 ，辅助角公式将会在更多领域发
挥其重要的作用。
未来研究的方向与展望
对于辅助角公式的深入研究，可以进一步探索其与其他数学知识的联系 和区别，促进数学知识的系统化。
可以尝试推广辅助角公式，将其应用于更广泛的数学问题中，以拓展数 学的应用领域。
可以结合现代数学技术和方法，研究辅助角公式的计算方法和算法，提 高其计算效率和精度。
角）的三角函数值。
辅助角公式在解决三角函数问题 时具有广泛的应用，可以简化计
算过程，提高解题效率。Fra bibliotek辅助角公式的推导过程涉及到三 角函数的诱导公式和和差公式等 基础知识，需要学生熟练掌握。
辅助角公式的应用前景展望
随着数学教育的普及和提高，辅 助角公式将会被更广泛地应用于
解决实际问题中。
在物理、工程、经济等领域，辅 助角公式也有着广泛的应用前景 ，可以用于解决各种涉及三角函
实际应用案例
通过实际应用案例，可以深入理解辅助角公式的应用场景和优势，如物理、工 程、经济等领域的问题解决。
05 辅助角公式的习题与解答
辅助角公式的常见习题
习题1
01
已知角α的终边在第二象限，求α的集合。
习题2
02
已知sinα=-√3/2，求α在哪个象限。
习题3
03
已知cosα=1/2，求α的值。
02 辅助角公式的推导与证明
三角函数的和差化积公式
三角函数的和差化积公式是三角函数 中非常重要的公式之一，它可以将两 个三角函数的和差形式转化为积的形 式，从而简化计算。
这个公式在解决三角函数问题时非常 有用，可以大大简化计算过程。
具体来说，对于任意两个角度α和β， 三角函数的和差化积公式为： sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ。
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高一数学期末复习————必修4之《辅助角公式》
一．知识点回顾
对于形如y=asinx+bcosx 的三角式，可变形如下： y=asinx+bcosx =
++++a b x a a b
x b a b
222
2
2
2
(sin cos )·
·。
记
a a b
2
2
+=cos
θ，
b a b 22
+=sin
θ，则cos cos sin ))y x x x θθθ=+=+
由此我们得到结论：asinx+bcosx=a b x 22++sin()θ，（*
cos ,θ=
sin θ=来确定。
通常称式子（*）为辅助角公式，它可以将多个三角式的函数问
题，最终化为y=Asin(ϕ+ωx )+k 的形式。
二．训练
1.化下列代数式为一个角的三角函数 （1
）1sin 2αα+； （2
cos αα+；
（3）sin cos αα- （4
）sin()cos()6363
ππ
αα-+-．
（5）5sin 12cos αα+ （6）sin cos a x b x +
2．函数
y ＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3
－x －cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6
＋x (x ∈R)的最小值等于
( )
A ．－3
B ．－2
C ．－1
D ．－ 5
3.若函数()(1)cos f x x x =，02
x π
≤<，则()f x 的最大值为
( )
A ．1
B ．2
C 1
D 2
4.（2009安徽卷理）已知函数()cos (0)f x x x ωωω=+>，()y f x =的图像与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的单调递增区间是( )A.5[,],1212k k k Z ππππ-+∈ B.511[,],1212k k k Z ππππ++∈C.[,],36k k k Z ππππ-+∈ D.2[,],63k k k Z ππππ++∈
5. 如果函数y=sin2x+acos2x 的图象关于直线x=-π
8
对称，那么a= ( )
（A ）2 （B ）-2 （C ）1 （D ）-1
6．函数y ＝cos x ＋cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x ＋π3的最大值是________．
7.已知向量(cos(),1)3a x π=+,1
(cos(),)32
b x π
=+-,
(sin(),0)3
c x π
=+,求函数()h x =2a b b c ⋅-⋅+的最大值及相应的x 的值.
（本题中可以选用的公式有21cos 21
cos ,sin cos sin 222
a αααα+=
=）。