调和函数例题汇编

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4.2调和函数的基本性质

第四章调和方程一、小结本章讨论了调和方程、泊松方程的边值问题和调和函数的基本性质。

以三维情形为主。

1．边值问题调和方程和泊松方程通常描述平衡和稳定的自然现象，所以一般只讨论它的边值问题。

按边界条件的不同类型分别称为第一、第二、第三边值问题，又依区域的不同分为内问题和外问题。

这里只涉及到第一、第二边值问题的解法，给出了用分离变量法求解的例子，对有些简单情形可依据具体情况求解。

对调和方程的第一边值问题0()(I)()u u f∆=Ω⎧⎨=∂Ω⎩在内在上的求解着重介绍了格林函数法。

这个方法的基本思想是把问题（I ）的求解转化为格林函数001(,)(,)4ppG p p g p p r π=-其中g 满足00()1(II)()4p pu p u p r π∆=∈Ω⎧⎪⎨=∈∂Ω⎪⎩这时（I ）的解为00(,)()()p G p p u p f p d S n∂Ω∂=-∂⎰⎰而问题( II)是一个具特定边界值的调和方程的第一边值问题,所以格林函数G 只与区域Ω有关,对某些规则的特殊区域,如上半空间、球（或上半平面、圆）可用镜像法求得，从而得到这类区域的问题（I ）的解的积分表达式（泊松公式）。

2．调和函数的性质利用格林公式和基本积分公式得出了调和函数的球面平均值性质和沿任何闭曲面的法向导数积分为零。

这两条性质也是连续函数成为调和函数的充分条件。

由球面平均值性质证明了刘维尔定理和调和函数的极值性质，利用法向导数的积分为零得到了第二边值问题可解得必要条件。

重点: 调和方程第一、第二边值问题的求解；基本积分公式；格林公式；格林函数；调和函数的性质。

难点：调和方程第一、第二边值问题的求解；如何找格林函数二、习题及解答4.1 定解问题和基本解1. 试验证: 1211,(u u r r===在单位球面上都等于1,在球外都满足调和方程.证:2. 举例说明:二维调和方程的第一边值外问题,若在无穷远处不加有界的限制,则解可能不唯一.解：考虑单位圆外的调和函数，它在圆的边界上等于常量1.即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=>+=∂∂+∂∂=+1)1(0122222222y x u yxyu x u显之然1=u 是问题的解，又221ln1yxu ++=也是问题的解。

调和点列在平面几何中的应用+导数及其运用(知识点、例题、详细解答)(超级详细!!!)

调和点列在平面几何中的应用调和点列在几何证明中有着十分广泛的应用，它与梅尼劳斯定理、极线都有着十分密切的关联。

下面先给出调和点列的定义：定义：直线上依次四点A 、B 、C 、D 满足AB ADBC DC=，则称A 、B 、C 、D 四点构成调和点列。

由交比的定义：交比（A 、B 、C 、D ）=AC D C D A B B：知A 、B 、C 、D 四点构成调和点列的充要条件是交比（A 、C 、B 、D ）=-1 调和点列具有以下常用性质：性质1：在梅尼劳斯图形中，三角形ABC 被直线DEF 所截，BE 、CD 交与点G ，AG 的延长线交BC 与点H ，则B 、H 、C 、F 成调和点列证明：由塞瓦定理，1AD BH CE DB HC EA =，故BH DB EAHC AD CE=由梅尼劳斯定理，1BF CE AD FC EA DB =，故BF EA DBFC CE AD=所以BH BF HC FC =由定义知，B 、H 、C 、F 成调和点列性质2：若A 、B 、C 、D 成调和点列，O 为平面上一点，则任意一条直线截OA 、OB 、OC 、OD 得到的四个点也成调和点列。

我们称由OFB发出的4条射线OA 、OB 、OC 、OD 为调和线束。

这是调和点列的一个重要性质。

证明：如图，设直线l 交OA 、OB 、OC 、OD 于E 、F 、G 、H 过A 作l 的平行线交OB 、OC 、OD 于B 1、C 1、D 1由平行线分线段成比例知交比（E 、G 、F 、H ）=交比（A 、C 1、B 1、D 1）由梅尼劳斯定理，1111AB OC BA B C C O CB =，1111AD OC DAD C C O CD= 所以交比（A 、C 1、B 1、D 1）=BA DACB CD：=交比（A 、C 、B 、D ）=-1 故交比（E 、G 、F 、H ）=-1即E 、F 、G 、H 成调和点列。

复变函数(3.5.7)--解析函数与调和函数的关系

知
?ﾢ f
(z)
=
1 2πi
C (z
(R2 - zz ) - z)(R2 - z
z)
f (z )dz
令 z = reij ,z = Rei , 则 dz = Rieiq dq
而 zz = r 2 , (z - z)(R2 - z z ) = (z - z)(R2 - Rreiq e-iq )
Reiq (Reiq - reij )(Re-iq - re-ij ) = Reiq [Reiq - Rr(eiq e-iq + e-iq eij )] = Reiq [R2 + r2 - 2Rr(cosq cosj + sinq sin j)] = Reiq (R2 - 2Rr cos(q - j) + r2 )
| z - z0 |= r ，它的内部全含于 D ，试证：
ﾢ (1)
u(x0 , y0 ) =
1 2p
2p 0
u(
x0
+
r
cos
j,
y0
+
r
sin
j
)dj
即
调
和
函
数
在
任
一
点
( x0
,
y0
)
的
值，等于它在圆周 C 上的平均值.
�� (2)
u(x0 ,
y0 )
=
1 p r02
r0 0
2p 0
u ( x0
vx = 3y2 - 3x2 + 6xy; vy = 3x2 + 6xy - 3y2 可用以下三种方程求 v .
1.（凑全微分法）
dv = (3y2 - 3x2 + 6xy)dx + (3x2 + 6xy - 3y2 )dy = 3y2dx + 3xdy2 + 3x2dy + 3ydx2 - d(x3 + y3) = 2(3xy2 + 3x2 y - x3 - y3 )

数学中的复分析与调和函数

数学中的复分析与调和函数一、复分析基础1.复数的概念：实数域上的有序数对，记作 a+bi，其中 a 和 b 分别为实部与虚部，i 为虚数单位，满足 i^2 = -1。

2.复数的代数表示法：加法、减法、乘法、除法及其运算规则。

3.复数的三角表示法：欧拉公式，e^(iθ) = cosθ + isinθ，以及复数的幅角与辐角的概念。

4.复数的几何表示法：复平面，也称为阿尔冈图，实轴、虚轴、第四象限等。

5.复数的模与辐角：模长|z| = √(a^2 + b^2)，辐角θ = arctan(b/a)，其中 a、b 为复数 z 的实部与虚部。

6.复数的乘方与根式：(a+bi)^n = (a^n + n*a(n-1)bi + … + b^n i n)/(1^n)，以及复数的 n 次根式。

二、解析函数1.解析函数的概念：在复平面上，满足 Cauchy-Riemann 条件的函数，即∂u/∂x = ∂v/∂y，∂u/∂y = -∂v/∂x，其中 u、v 是复数函数的实部与虚部。

2.解析函数的积分：Cauchy 积分定理，Cauchy 积分公式，及其应用。

3.解析函数的奇偶性：奇函数、偶函数、奇偶函数的定义与性质。

4.解析函数的周期性：周期函数的定义与性质，周期解析函数的例子。

三、调和函数1.调和函数的概念：定义在有界区域 D 上的实值函数，使得Δu = 0，其中Δ 是拉普拉斯算子。

2.调和函数的性质：单调性、有界性、奇偶性等。

3.调和函数的例子：单位球面上的函数，单位圆盘上的函数等。

4.调和函数的积分：调和积分，柯西积分定理与公式。

5.调和函数的应用：物理、工程、几何等领域。

四、复变函数的其他分支1.积分变换：傅里叶变换、拉普拉斯变换等，及其应用。

2.复变函数论的应用：电磁学、流体力学、偏微分方程等。

3.解析函数的其他性质：增长性、奇点分布、留数计算等。

4.拟合与逼近：复变函数在数据拟合、图像处理等领域的应用。

5.复杂系统分析：复变函数在生物、化学、金融等复杂系统分析中的应用。

第3章4调和函数

y 为调和函数，x 0 例8 设 v ( x , y ) arctan x
求出解析函数解
f ( z ) u iv
1 x 1 v 2 2 y x x y2 y 1 2
y y v 1 ( 2 ) 2 2 y x y2 x x 1 2 x z 1 x iy f ( z ) u x iv x v y iv x 2 2 zz z x y f ( z ) ln z C
7
例7 设 u( x , y ) 2( x 1) y 为调和函数，求出解析函数 f ( z ) u iv , f (2) i
解
u( x , y ) 2xy 2 y ux 2 y uy 2x 2 f ( z ) u x iv x u x iu y
2 y i (2 x 2) 2 y i 2 x i 2 2i ( x yi ) 2i 2 f ( z ) 2i ( z 1) f ( z ) i ( z 1) C
f (2) i C i
C0
8
i ( z 1)2 f (z)
例2 证明：一对共轭调和函数的乘积也是调和函数证：设在区域D内 v ( x , y ) 为 u( x , y ) 的共轭调和函数，
则 f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y )是区域D内的解析函数
[ f ( z )] u2 v 2 i 2uv 是区域D内的解析函数
u u i f (z) 是D内的解析函数。 x y 证明因为 u( x , y ) 是D内的调和函数， u u 所以(1) u( x , y ) 的二阶偏导数连续， , 可微， x y 2 u 2u u u (2) 由 2 0 得到 ( ) ( ) 2 y y y x x x 2 2 u u u u ( ) ( ) 由得到 x y y x x y y x u u f (z) i 是D内的解析函数。 x y 若 v ( x , y ) 是D内的调和函数，同样可证： v v 是D内的解析函数。 i 3 则 f (z) x y

数学物理方程(谷超豪)第三章调和方程习题解答

∆u
=
1 r2
⋅
∂ ∂r
(r 2
∂u ) ∂r
+
r2
1 sin θ
⋅
∂ ∂θ
(sin θ
∂u ∂θ
)
+
r2
1 sin
2
θ
⋅
∂2u ∂ϕ 2
=0
证：球坐标 (r,θ ,ϕ) 与直角坐标 (x, y, z) 的关系：
x = r sinθ cosϕ ， y = r sin θ sin ϕ ， z = r cosθ
f
(r)
=
−
A1 n+
2
r −n+2
+
c1
即 n ≠ 2 ，则
f
(r)
=
c1
+
c2 r n−2
若 n = 2 ，则即 n = 2 ，则
f ' (r) = A1 故 f (r) = c1 + A1Inr r
f (r) = c1 + c2 In 1 r
2．证明拉普拉斯算子在球面坐标 (r,θ ,ϕ) 下，可以写成
⋅
∂u ∂ρ
（5）
∂ 2u ∂x 2
+
∂2u ∂y 2
+
∂2u ∂z 2
=
∂2u ∂ρ 2
+
∂2u ∂z 2
+
1 ρ2
⋅
∂2u ∂ϕ 2
+
1 ρ
⋅
∂u ∂ρ
∂2u 再用（3）式，变换 ∂ρ 2
+
∂ 2u ∂z 2
。这又可以直接利用（5）式，得
∂2u ∂ρ 2

数理方程(调和方程)

第四章调和方程§1.调和方程的定解问题 1.方程的几个例子例1. 稳定的温度分布温度分布满足),(2t x f u a u t =∆-稳定热源:),,,)((321x x x x x f f ==与t 无关边界绝热(即边界条件也与t 无关)则长时间后,温度分布必然趋于稳定状态(与t 无关),即)(x u u =此时有)(1x f u =∆, (21a ff -=)称为Poission 方程当01=f 时,0=∆u ,称为Laplace 方程或调和方程.例2.弹性膜的平衡状态:u 为膜在垂直方向的位移,外力),(21x x f f =,则有f x ux u =∂∂+∂∂222212例3.静电场的电势uMaxwell 方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==∂∂-=∂∂+=ρdivD divB t B rotE t D J rotH 0E :电场强度, H :磁场强度, D :电感应强度, B :磁感应强度 J :传导电流的面密度, ρ:电荷的体密度物质方程⎪⎩⎪⎨⎧===E J H B E D σμε:μ导磁率, σ:导电率, ε: 介质的介电常数 divE divD ερ==∵静电场是有势场:u grad E -=ερ-=⇒u grad div , 即ερ-=u ∆若静电场是无源的,即0=ρ,则0=∆u 例4.解析函数)(),,(),()(iy x z y x iv y x u z f +=+=则v u ,满足Cauchy-Riemann 条件:y x y x u v v u -==, 例5.布朗运动(见图) 设质点运动到边界上即终止，⎪⎩⎪⎨⎧===∆0,10`),,(),,(211C C u u u C z y x z y x u 概率，则上的为起点，终止在：以易知,0,0=∆=∆v u2.定解问题(1)内问题:nR ⊂Ω,有界,Γ=Ω∂,u 在Ω内满足f u =∆ 边界条件:第一类(Dirichlet):g u =Γ|第二类(Neumann):g n u=∂∂Γ| 第三类(Robin):)0(|)(>=+∂∂Γσσg u nun 为Γ的单位外法线方向.(2) 外问题:u 在Ω外部满足f u =∆同样有三类边界条件(此时n 为Ω的内法线方向).但解在无穷远处是否可以不加限制?要加何种限制? 先看两个例子:例1.2=n ⎪⎩⎪⎨⎧=>+=∆=+0|)1(,012222y x u y x u221ln 1ln ,0yx r u u +===均为解, 例 2. 3=n ⎪⎩⎪⎨⎧=++=>==1),1(01222r u zy x r r u ∆ru u 1,1==均为解.因此,解在无穷远点一定要加限制,以确定解的唯一性. 通常,:2=n 解在无穷远处有界:),(lim y x u r ∞→有界:3≥n 解在无穷远处趋于0:0),,(lim =∞→z y x u r(3) 无界区域的边值问题:与外问题类似 (4) 等值面边值问题:0=∆u边界条件:⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂=⎰ΓΓ)()(|已知待定A dS n uC u 这个问题可约化为 Dirichlet 问题:设⎩⎨⎧==∆Γ1|0U U 的解为)(x U U =,选取常数C ,s.t.:A dS n UC=∂∂⎰Γ 则CU u =§2.分离变量法1. 圆的Dirichlet 内问题与外问题内问题⎪⎩⎪⎨⎧=<+=∆=+)(|)(0222222θf u a y x u a y x引入极坐标θθsin ,cos r y r x ==222222221)(111θθ∂∂+∂∂∂∂=∂∂+∂∂+∂∂≡urr u r r r ur r u r ru u ∆ 则原问题化为:⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=≤≤<=++=)20()(|)20,(0112πθθπθθθf u a r u r u r u a r r rr 将)()(θΘr R 代入方程并分离变量得⇒-='+''-=''λ21r R R r RΘΘ0,02=-'+''=+''R R r R r λλΘΘ求解特征值问题:⎩⎨⎧==+'')2()0(0πλΘΘΘΘθλθλθλθθλθλθλθλsin cos )(:0)(:0)(:0212121C C C C e C e C +=Θ>+=Θ=+=Θ<---∴0<λ时不是解. 1)(:0C =Θ=θλ.θθθλλk C k C k s i n c o s )(,:0212+==>Θ∴,....)2,1,0(2==k k k λ,...)2,1(sin cos )(,)(00=+==k k B k A A k k k θθθθΘΘ求解)(022方程Euler R k R r R r =-'+'':一般Euler 方程的求解：()()t B t A t t y i t B t A t y BtAt t y a a a t y a t y t a t y t a ln sin ln cos )(ln )()(0)1(0)()()(212121212102120121βββαμμμμμμμμμμμαμμμ+=±∙+=∙+=∙=++-=+'+''：为一对共轭虚数，为相等的实数：，为不相等的实数：，，其解为特征值相应的特征方程为00)1(222=-⇒=-+-k k μμμμk ±=⇒μ,...)2,1()(=+=⇒-k r D r C r R k k k k kr D C r R ln )(000+=),2,1,0(0)0( ==⇒k D R k k 有界 ,...)2,1()(==⇒k r C r R k k k 00)(C r R = ∑∞=++=∴10)sin cos (2),(k kk k r k k r u θβθααθ∑∞=++==1)sin cos (2)(:k kk k a k k f a r θβθααθ⇒⎰⎰====πππβπα2020,...2,1,sin )(1,...2,1,0,cos )(1k ktdt t f a k ktdt t f a k k k k代入级数表达式得，注：将k k βα, ()()()()⎰⎰⎰∑∑⎰∑⎰∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡++--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫⎝⎛+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=--------∞=--∞=-∞=∞=πθθπθθθπθθπππππθπθθπθ202)()(220)()()(201)(0)(20120111)(21111)(21)(21)(cos 21)(21sin sin cos cos 21)(21),(dt a r e e a r a r t f dt e a r e a r e a r t f dt e a r e a r t f dtt k a r t f dt kt kt a r t f r u t i t i t i t i t i k t ik k k t ik k k k k k()a r dt rt ar a r a t f r u <+---=⇒⎰πθπθ202222)cos(2)(21),( (Poisson 公式)外问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=>=∞→=有界u f u a r u r a r lim )()(0θ∆∑∞=-++=1)sin cos (2),(k k k k r k k r u θβθααθ∑∞=-++==1)sin cos (2)(:k k k k a k k f a r θβθααθ⇒⎰⎰====πππβπα2020,...2,1,sin )(,...2,1,0,cos )(k ktdt t f ak ktdt t f a kk kk同样有Poisson 公式)()cos(2)(21),(202222a r dt rt ar a a r t f r u >+---=⎰πθπθ 2.扇形域()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==<<<=++==θαθαθθθf u u a r u r u r u a r r rr 0),0(011,02 分离变量得:()()⎩⎨⎧===+''000αλΘΘΘΘ 与()⎪⎩⎪⎨⎧+∞<=-'+''002R R R r R r λ 2⎪⎭⎫⎝⎛=⇒απλk k(),.......2,1sin ==Θk k B k k θαπθ()απαπk k k k k rD rC r R -+=()00=⇒+∞<k D R ()∑∞==∴1sin,k k k k r a r u θαπθαπ()∑∞===1sin:k k k k a a f a r θαπθαπ()θθαπθαααπd k f aa k k sin2⎰=∴3.环形域()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==<<===θθ212121,0f u f u rr r u r r r r ∆ ()......2,1,0,sin cos ......2,1,0,2=+=Θ==k k B k A k k k k k k θθθλ()⎩⎨⎧≠+=+=-0,0,ln 00k r D r C k r D C R kk k k k θ ()()∑∞=-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++++=∴100sin cos sin cos ln ),(k kk k k k k r k d k c r k b k a r b a r u θθθθθ ()()())2,1(sin cos sin cos ln :100=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++++==∑∞=-i r k d k c r k b k a r b a f r r k ki k k k i k k i i i θθθθθ ()θθππd f r b a i i ⎰=+⇒200021ln ()θθθππd k f r c r a i ki k k i k ⎰=+-20cos 1()θθθππd k f r d r b i k i k k i k ⎰=+-20sin 1.....2,1,2,1==k i解联立方程即得().....2,1,0,,,,0,0=k d c b a b a k k k k例如()()θθθθθ2cos 212122cos 1cos ,0221+=+===f f ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=+=+=+--2,212,0,0,0ln 2211100k k r c r a r c r a r b a kk k k k k kk k r d r b r d r b r b a k k k k k k k k ∀=+=+=+--,0,0,21ln 2211200()()()())2(0),(02,2ln ln 21,ln ln 2ln 42412224241224121201210≠==∀==--=-=-=--=⇒k c a k d b rr r c rr r r a r r b r r r a k k k k4.矩形域()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=====+====x u x u y u y u u u b y y a x x yy xx 100100,,0ψψϕϕw v u +=分解()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=====+====x v x v v v v v y x v b y y a x x yy xx 1000,0,00:),(ψψ()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=====+====0,0,0:),(0100b y y a x x yy xx w w y w y w w w y x w ϕϕ:),(y x v 求解分离变量得特征值问题()()⎩⎨⎧=X =X =X +X ''000a λ0=-''Y Y λ及(),......2,1,sin ,2==⎪⎭⎫⎝⎛=⇒k a x k B x a k k k k ππλX()ak D y a k C y k k k ππsinh cosh +=Y()x a k y a k b y a k a y x v k k k πππsin sinh cosh ,1∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∴()x a k a x y k k πψsin :010∑∞===()xdx a k x a a a k πψsin 200⎰=∴()x a k b a k b b a k a x k k k πππψsin sinh cosh 11∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=()xd ak x a b a k b b a k a a k k πψππsin 2sinh cosh 01⎰=+⇒()()xdx a k a b k x x ab k a b a k ππψψπsin cosh sinh2001⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∴ 类似地，()y b k x b k d x b k c y x w k k k πππsin sinh cosh ,1∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=()ydy bk x b c b k πϕsin 200⎰=()()ydy b k b a k y y ba kb d b k ππϕϕπsin cosh sinh2001⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-= 5.非齐次问题例()⎪⎩⎪⎨⎧=<-+==cu R r y x b a u R r )(222∆方法一:方程齐次化令21w w u v --=()()()212211111144,2)1(:1:r ar w a A a r A r A Ar r w aw rw w r w w =∴==⇒=+-==+"=∆=-- 令设21212),(ρρy A x A y x w +=)()1()1(:)(222222*********y x b y A x A y x b w -=-+--=∆--ρρρρρρ 12/,42121b A A =-===⇒ρρθ2cos 12)(12),(4442r by x b y x w =-=∴⎪⎩⎪⎨⎧--=<=--=∴=θθ2cos 124)(02cos 12442242R b R a c v R r v r b r a u v Rr ∆满足 ∑∞=++=1)sin cos (2),(n n n n r n n r v θβθααθ∑∞=++=--=142)sin cos (22cos 124:n nn n R n n R bR a c R r θβθααθ222012,42)(0),2,0(0R bR a c n n n n -=-=∀=≠=⇒ααβα θθ2cos 124),(222R r bR a c r v --=∴θθ2cos )(12)(4),(22222R r r bR r a c r u -+-+=∴方法二.特征函数法:⎪⎩⎪⎨⎧=<+=++=cuR r br a u r u r u R r r rr )(2cos 1122θθθ 令()∑∞=+=0sin )(cos )(),(n nnn r B n r A r v θθθ代入方程:θθθ2cos sin )()(1)(cos )()(1)(202222br a n r B r n r B r r B n r A r n r A r r A n n n n n n n +=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-'+"+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-'+''∑∞= )2,0(0)()(1)(22≠=-'+''⇒n r A r n r A r r A n n n, )(0)()(1)(22n r B r n r B r r B n n n ∀=-'+" (**))(4)(1)((*),)(1)(2222200br r A rr A r r A a r A rr A =-'+''='+'')0(,)0(==⇒+∞<+∞<n n n n d b B A)()(),2,0(,)(n r c r B n r a r A nn n n n n ∀=≠=∴边界条件()⇒+=∑∞=0sin )(cos )(n n n n R B n R A c θθ()0)(,)(;00)(,0)(00==≠==R B c R A n R B R A n n)(0)(),2,0(0)(n r B n r A n n ∀=≠=∴易求得（*）的一个特解为24r a,（**）的一个特解为412r b20004ln )(r a r b a r A ++= , 42222212)(r br b r a r A ++=-)0(,)0(2020==⇒+∞<+∞<b b A A)(4)(4)(220200R r ac r A R a c a c R A -+=⇒-=⇒=,)(12)(120)(2222222R r r br A R ba R A -=⇒-=⇒=θθ2cos )(12)(4),(22222R r r bR r a c r u -+-+=∴ §3调和函数的基本性质 3.1 Green 公式设nR ⊂Ω为有界区域, ΓΩ=∂分块光滑, ΓΩΩ =.Green 第一公式设)()(),()(0112ΩΩ∈ΩΩ∈C C v C Cu ,则⎰⎰⎰∇⋅∇-∂∂=ΩΓΩ∆udx v dS n uv udx v 证明:⎰∑⎰=∂∂=ΩΩ∆ni idx x uv udx v 122⎰∑⎰∑==∂∂∂∂-∂∂∂∂=ΩΩni ii ni i i dx x ux v dx x u v x 11)(⎰⎰∇⋅∇-∂∂=ΩΓudx v dS n uv 同样地, 若)()(),()(0112ΩΩ∈ΩΩ∈C C u C Cv ,则 ⎰⎰⎰∇⋅∇-∂∂=ΩΓΩ∆vdx u dS n vu vdx u 因此有,Green 第二公式设),()(,12ΩΩC Cv u ∈则 ⎰⎰∂∂-∂∂=-ΓΩ∆∆dS n uv n v u dx u v v u )()(Green 公式特例⎰⎰∂∂=ΓΩ∆dS n uudx 0,=∇⋅∇=∂∂⎰⎰v vdx u dS n vu∆ΩΓ 0,0)(===∂∂-∂∂⎰v u dS n u v n v u ∆∆Γ3.2 调和函数的基本性质1. Neumann 问题解的自由度及可解性条件 (1)解的自由度考虑问题 (PN) ⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂=g nu f u Γ∆若它有两个解21,u u , 则21u u u -=满足问题(N) ⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂=00Γ∆nu u⎰⎰⎰∇-∂∂==ΩΓΩ∆dxu dS n u u udxu 2⎰∇-=Ωdx u 2),,2,1(0n i u i x ==⇒.const u ≡⇒结论: 问题(PN)在相差一个常数的意义下有唯一解. (2)可解性条件对问题(PN),⎰⎰∂∂=ΓΩ∆dS n uudx ⎰⎰=⇒ΓΩdS g dx f结论: 问题(PN)有解的必要条件为⎰⎰=ΓΩdS g dx f .2. 基本积分公式先考察3=n 的情形.设.,,),,(30000ΓΩΩΓΩΩ ==∂⊂∈R z y x M考虑函数,41),(00MM r M M v π=其中,),,(Ω∈z y x M202020)()()(0z z y y x x r MM -+-+-=.易知,),(0M M v 除0M M=外关于M 处处满足调和方程,称之为调和方程的基本解.取ε充分小,使得Ω⊂)(0M B ε. 记,\,εεεεB B ΩΩΓ==∂,,εεεεεΩΩΩΓΓΩ∂==∂ (见图)则)()(12εεΩΩC C v ∈,且在εΩ内处处满足调和方程.设)()(12ΩΩC Cu ∈,对u 与v 应用Green 第二公式, ⎰⎰⎰Ω∆-επdx M u r MM )(41⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂-∂∂=εππΓΓ dS n M u r r n M u MM MM )(41)41()(00⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂-∂∂=ΓdS n M u r r n M u MM MM )(1)1()(4100π⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂-∂∂-επΓdS n M u r r n M u MM MM )(1)1()(4100 ⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂-∂∂=ΓdS n M u r r n M u MM MM )(1)1()(4100π ⎰⎰⎰⎰∂∂++εεπεπεΓΓdS r M u dS M u )(41)(412 ⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂-∂∂=ΓdS n M u r r n M u MM MM )(1)1()(4100πε)()(21M ruM u ∂∂++其中εΓ∈21,M M令,0→ε则,,,021ΩΩ→→εM M M 从而,⎰⎰⎰-=Ω∆dx r M u M u MM 0)(41)(0π ⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂-∂∂-ΓdS n M u r r n M u MM MM )(1)1()(4100π成为基本积分公式.调和函数的基本积分公式为:⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂-∂∂-=ΓdS n M u r r n M u M u MM MM )(1)1()(41)(000π注1. 基本解:1ln21:2MM r n π= ,1:32-≥n MM n r n ω其中n ω为n 维空间中单位球面的面积. 2=n 时的基本积分公式为:⎰⎰-=Ω∆dx M u r M u MM )(1ln 21)(00π⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂-∂∂-ΓdS n M u r r n M u MM MM )(1ln )1(ln )(2100π注2. 对调和函数u ,成立⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂-∂∂-ΓdS n M u r r n M u MM MM )(1)1()(4100π ⎪⎩⎪⎨⎧=.),(4,),(2,,000000内在上在外在ΩΓΩM M u M M u M ππ 3. 平均值定理记以0M 为球心、R 为半径的球为)(0M B R ,球面为).(0M S R).()()(000M S M B M B R R R = 设))((00M B C u R ∈, 且在)(0M B R 内调和,则⎰⎰=)(20041)(M S R dS u R M u π证明: 先假设)),(())((0102M B C M B Cu R R ∈由中的基本积分公式,⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂-∂∂-=)(0000)(1)1()(41)(M S MM MM R dS n M u r r n M u M u π⎰⎰=)(20)(41M S R dS M u R π⎰⎰∂∂+)(0)(41M S R dS n M u R π⎰⎰=)(20)(41M S R dS M u R π若))((00M B Cu R ∈,则取R R <,在)(0M B R 上有⎰⎰=)(20041)(M S RdS u R M u π 取极限R R →即可.注1. 上调和(0≤u ∆): ⎰⎰≥)(20041)(M S R dS u R M u π下调和(0≥u ∆): ⎰⎰≤)(20041)(M S R dS u R M u π注2.平()θϕθϕθϕθθπϕθρππcos ,sin sin ,cos sin sin ),,(41),,(000200000R z z R y y R x x d d z y x u u +=+=+==⎰⎰注3.()()⎰⎰++===πθθθππ200000)(0sin ,cos 21)(21)(20d R y R xu M M S uds RM u n R M S R 为圆心的圆周：以时的平均值公式：4. 极值原理,min min ,max max ,,,,u u u u u ΓΩΓΩ==ΩΩΓΩ=ΩΓ=Ω∂Ω则上连续内调和且在在若为有界区域设.,,,,,)(1.v u v u v u v u ≡≤Ω≤ΩΩΓΓ且等号成立当且仅当内恒成立则在且上连续在内调和在设顺序原理注.,:.2与最低点温度在边界取到最高点时稳定温度场内部无热源物理意义注uu f u u u f u C C u ΓΓΩ=⇒≤=∆=⇒≥=∆ΩΩ∈min min 0max max 0),()(3.12则设注例题()()球上的最大值与最小值球心处的值和在试求为球坐标题设有单位球内的定解问u r u r u r .,,sin cos sin cos 1013ϕθϕϕθθ⎪⎩⎪⎨⎧+++=<=∆= ()4sin 41sin sin cos sin cos 41)0,0,0(2002200πϕθθπϕθθϕϕθθπππππ==+++=⎰⎰⎰⎰d d d d u ()()21sin cos sin cos min min 22sin cos sin cos max max 11--=+++==+++=≤≤ϕϕθθϕϕθθu u r r5. Dirichlet 内问题解的唯一性与稳定性内问题⎩⎨⎧=∈=gu x f u ΓΩ∆)(唯一性: 考虑相应的齐次问题⎩⎨⎧=∈=0)(0ΓΩ∆u x u .0min min ,0max max ====u u u u ΓΓΩ⎭⎬⎫⇒ .0≡u稳定性: 连续依赖于边界条件.考虑⎩⎨⎧=∈=g u x u ΓΩ∆)(0,⇒⎪⎭⎪⎬⎫====g u u g u u ΓΓΓΓΩmin min min ,max max max .m a x m a x g u ΓΩ=§4 Green 函数及其应用4.1 Green 函数 1. G reen 函数的定义设3R ⊂Ω为有界区域,ΓΩ=∂.设函数),()(,12ΩΩC Cg u ∈若g 在Ω中调和,则⎰⎰⎰⎰⎰∂∂-∂∂+=ΓΩ∆dS n ug n g u udx g )(0设Ω∈0M ,已知基本积分公式⎰⎰⎰⎰⎰ΓΩ∂∂-∂∂-∆-=dSn M u r r n M u dxr uM u MM MM MM ])(41)41()([4)(0000πππ相加得⎰⎰⎰⎰⎰ΓΩ∂∂---∂∂--∆-=dS nM u g r g r n M u dxg r u M u MM MM MM ])()41()41()([)41()(0000πππ因此选),(0M M g g =满足⎪⎩⎪⎨⎧==ΓΓ∆0410MM r g g π 称函数),(41),(000M M g r M M G MM -=π为Green 函数.易知),(0M M G 除0M M=外关于变量M 处处满足调和方程,且0),(0=∈ΓM M M G .注1. 对Dirichlet 问题⎩⎨⎧==ϕΓ∆u fu ,⎰⎰⎰⎰⎰ΓΩ∂∂--=dSn M M G M dxM f M M G M u ),()()(),()(000ϕ注2. 对二维情形,Green 函数为),(1ln 21),(000M M g r M M G MM -=π 其中g 满足⎪⎩⎪⎨⎧==ΓΓ∆01ln 210MM rg g π2. Green 函数的意义1) G reen 函数仅依赖于区域,而与边界条件无关. 2) 特殊区域上的Green 函数可用初等的方法求出. 3) 利用Green 函数求解的积分公式可以讨论解的性质. 4) 有明显的物理意义:在接地的导电闭曲面Γ内的点0M 处放一单位正电荷,则Γ内任一点M 处的电位为),(0M M G ,它由两部分组成:即0M 处电位正电荷产生的电位41MM r π与Γ内表面上感应负电荷产生的感应电位),(0M M g -.而且导体表面的电位恒为零. 3. Green 函数的性质 1))1(),(00MM r O M M G =事实上,),(411),(0000M M g r r M M G MM MM -=π而+∞<≤041max ),(0MM r M M g πΓ)(0),(000M M M M g r MM →→⇒ 2) 1),(0-=∂∂⎰⎰ΓdS n M M G (只需取1≡u 即可.)3) 041),(00MM r M M G π<<.事实上, 由极值原理, 041min min ),(00>=>MM r g M M g πΓΓ, 即 041),(0MM r M M G π<.0,0),(,,00=>Γ∃≠∀ΓΓG G M M M 而使得充分小球面为半径的以为球心以εεεε.0min ),(G 0=>⇒G M M G εεΓΓΓΓ 所围的区域内调和与在由4) .),(),(),(211221中不重合的两点为ΩM M M M G M M G =事实上,.),(),(),(),(,,,,2121212121内调和在与则所围区域与、由使得充分小为半径的球面以为球心、分别作以εεεεεεεεΩΓΓΓΩ∈ΓΓ≠∀M M G M M G M M M M M M ⎰⎰⎰-=εΩ∆∆dx M M G M M G M M G M M G )),(),(),(),((01221⎰⎰∂∂-∂∂=21)),(),(),(),((1221εεΓΓΓ dSn M M G M M G n M M G M M G ⎰⎰∂∂-∂∂=ΓdS n M M G M M G n M M G M M G )),(),(),(),((1221⎰⎰∂∂-∂∂+1)),(),(),(),((1221εΓdSn M M G M M G n M M G M M G⎰⎰∂∂-∂∂+2)),(),(),(),((1221εΓdS nM M G M M G n M M G M M GIII II I ++=).,(lim ),,(lim 0,120210M M G M M G -===→→III II I εε易知4.2 静电源像法当区域具有某种对称性时,感应负电荷产生的电位可以用在相应的对称点放置的假想负电荷产生的电位来取代------这种求Green 函数的方法称为静电源像法. 1. 上半空间的Green 函数{};41,0z z)y,(x,00MM r M M π点产生的电位为它对单位正电荷处放中的点在上半空间>),,,(0),,,(00011000000z y x M M z M z y x M M -===的对称点关于平面则设141,1MM r M M π-产生的电位为则它对放单位负电荷在104141),(0MM MM r r M M G ππ-=⇒ ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++-+---+-+-=202020202020)()()(1)()()(141z z y y x x z z y y x x π⎩⎨⎧=>==),()0(0Dirichlet 0y x f u z u z ∆　问题考虑, dxdy z G y x f z y x u z 0000),(),,(=∞+∞-∞+∞-⎰⎰∂∂= []⎰⎰∞+∞-∞+∞-+-+-=232020200)()(),(2z y y x x dxdy y x f z π. ),(),,(],1ln 1[ln 21),(Green .00110000010y x M M y x M M r r M M G MM MM -==-=其中函数为上半平面的注π⎰∞+∞-=+-=⎪⎩⎪⎨⎧=>=∆2200000)()(),()()0(0Dirichlet y x x dxx f y y x u x f u y y π的解为问题2. 球的Green 函数 ,),0( ,),0(10M R B R B M 反演点为的它关于球面内的一点为球设∂=Γ 210R r r O M O M =⋅.441,,1010MM MM r qr M q M M ππ与产生的电位分别为它们对单位负电荷放在放单位正电荷在.,441100Γ∈=⇒P r qr PM PM 其中消这两个电位在球面上抵ππ 00100,OM PM PM r R r r q ===⇒ρρ其中)1(41),(1000MM MM r Rr M M G ρπ-=⇒⎩⎨⎧=<==fu R r u R r )(0Dirichlet ∆问题考虑2101221022001cos 2,cos 2,cos ),cos(,,101R G nGr r OM OM r r RMM MM OM OM =∂∂=∂∂-+=-+=====Γρρργρρρργρρρργρρρ及并注意到则记⎰⎰-+-=⇒ΓdS f R R R R M u 2302022020)cos 2(41)(γρρρπ ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤<≤≤≤≤⎪⎩⎪⎨⎧===R z y x ρπϕπθθρϕθρϕθρ0200cos sin sin cos sin 利用球坐标变换 )Poisson (sin ),,()cos 2(4),,(2023020222000公式⎰⎰-+-=ππϕθθϕθγρρρπϕθρd d R f R R R R u)cos ,sin sin ,cos (sin )cos ,sin sin ,cos (sin 1.000000ϕϕθϕθθϕθϕθ的方向余弦为的方向余弦为注OM OM)cos(sin sin cos cos cos 000ϕϕθθθθγ-+=⇒ ]ln 1[ln 21),( Green 2.1000MM MM r Rr M M G ρπ-=函数为园的注 )P o i s s o n ()()c o s (221),(D i r i c h l e t 20002022200公式问题的解为相应的⎰--+-=πθθθθρρρπθρd f R R R u。

调和函数

由共轭调和函数定义和解析函数的实部和虚部是调和函数，可得定理3.18
定理3.18 若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解
析 , 则在区域 D 内 v(x,y) 必为 u(x,y) 的共轭调和函数.
共轭调和函数定义2：设 u( x , y ) 为区域 D 内给定的调和函数 ,我
们把使 u iv 在 D 内构成解析函数的调和函数 v ( x , y ) 称为 u( x , y ) 的共轭调和函数.
的共轭调和函数 v(x,y)，使得函数 f (z)=u＋iv是D上
的解析函数? 或者已知调和函数 v(x,y) 时，是否存在共轭调和函数 u(x,y) ，使得 f (z)=u＋iv 是D上的解析函数?
回答是肯定的，以下用举例的方法加以说明.
三、偏积分法如果已知一个调和函数 u, 那末就可以利用C-R方程求得它的共轭调和函数 v, 从而构成一个解析函数 u+vi. 这种方法称为偏积分法.
x iy iC z 3 iC
3

再由 f(0)=i,得出 C＝1，故 f(z)=z3+i
方法二：两次积分法：首先由C-R条件得： vy=ux=3x2-3y2
v( x, y) v y ( x, y)dy 3x 2 3 y 2 dy 3x 2 y y 3 x
xe x e iy iye x e iy x(1 i ) iy(1 i ) c ze (1 i )z c,
z
由 f (0) 0,
得 c 0,
z
所求解析函数为 f ( z ) ze (1 பைடு நூலகம் )z.
例3.18 求 k 值, 使 u x 2 ky2 为调和函数. 再求v , 使

竞赛_140228_调和点列

5.在三角形 ABC 中，经过 B、C 的圆与边 AC、AB 的另一个交点分别为 E、F，BE 与 CF 交于点 P，AP 与 BC 交于点 D，M 是边 BC 的中点，D、M 不重合.求证：D、M、E、F 四点共圆.
3.如图，AB 为圆的直径，PA，PC 为切线，A，C 为切点，作 CD AB ，Q 为 PB 与 CD 交点，证明 Q 是 CD 中点.

4.过锐角三角形 ABC 的顶点 A,B,C 的三条高分别交对边于点 D、E、F，过点 D 平行于 EF 的直线分别交 AC、AB 于点 Q、R，EF 交 BC 于点 P.证明：三角形 PQR 的外接圆过 BC 的中点.
1.H 为圆内任一点，过 H 画任意弦 AC，BD，延长 AD、BC，CD、AB 分别交于 E、F，求证： OH EF ，O 为 EHF 垂心.
2.已知 A 为圆外一点，AK，AH 为圆切线，ACD 为割线交 KH 于 B 点，交圆 C、D 点，求证： CB AD DB AC .

已知调和函数求解析函数例题

已知调和函数求解析函数例题
已知一个调和函数，我们想找到它的解析函数。

首先，让我们回顾一下调和函数的定义。

一个实数或复数域上的函数称为调和函数，如果它满足拉普拉斯方程的性质，即对于二维情况下的函数
u(x, y)，满足以下条件，∇^2u=0，其中∇^2是拉普拉斯算子。

现在我们来看一个例题。

假设我们已知一个调和函数u(x, y)，我们希望找到一个解析函数f(z)，使得f(z)的实部是给定的调和函数u(x, y)。

这里
z=x+iy是复平面上的变量。

首先，我们知道如果一个函数是解析的，那么它满足柯西-黎曼方程。

对于一个解析函数f(z)=u(x, y)+iv(x, y)，其中u(x, y)和v(x, y)分别是f(z)的实部和虚部，柯西-黎曼方程可以写成以下形式，∂u/∂x=∂v/∂y 以及∂u/∂y=-∂v/∂x。

现在我们可以利用柯西-黎曼方程来找到我们所需的解析函数。

假设我们已知调和函数u(x, y)，我们可以通过对u(x, y)进行积分来找到v(x, y)。

具体地，我们可以选择一个合适的路径，沿着路径对u(x, y)进行积分，然后利用柯西-黎曼方程来找到v(x, y)。

一旦我们找到了v(x, y)，我们就可以得到解析函数f(z)=u(x, y)+iv(x, y)。

另一种方法是利用调和函数的性质和柯西积分公式来找到解析函数。

我们可以利用调和函数在圆盘区域上的平均值性质，结合柯西积分公式来构造出解析函数。

综上所述，已知一个调和函数，我们可以通过柯西-黎曼方程或者调和函数的性质和柯西积分公式来找到它的解析函数。

这些方法可以帮助我们从不同的角度来解决这个问题。

第6讲解析函数与调和函数

1 2 1 2 v(x,y)= 2 x 2 y
解： v x x, v y y
故 u
(x,y ) ( 0, 0 ) (x,0)
( 0, 0 )
v y dx vx dy c
ydx
0
(x,y ) ( x , 0)
(x,y ) ( 0, 0 )
ydx xdy c
如果函数在区域D内任意点解析，则称f(z)在区域D内解析。若f(z)在 z 0不解析，则称该点为f(z)的奇点。
1

(1) w=f (z) 在 D 内解析在D内可导。 (2) 函数f (z)在 z0 点可导，未必在z0解析。
(在一个点的可导性是一个局部概念，而解析性是一个整体概念)
注： 1） f(z)在某点解析，也就是指f(z)在包含该点的某邻域内解析。 2）f(z)在闭区域 D 上解析，也就是指f(z)在包含 D 的某邻域内解析。
类似地，然后两端积分得，
u( x , y )
( x, y)
( x 0 , y0 )
v y dx v x dy c
( )
18
例 2.23 已知调和函数u(x,y)= y 3 3 x 2 y 求其共轭调和函数v(x,y)使f(z)=u+iv在相应区域解析。
解： u y 3 - 3x 2 y
从而f(z) c1 ic2 c.
其中c1 , c2为实常数，c为复常数）证毕
7
3、初等函数的解析性
定理1 设w=f (z)及w=g(z)是区域D内的解析函数，则 f (z)±g(z)，f (z)g(z) 及 f (z) g(z) (g (z)≠0时) 均是D内的解析函数。定理 2 设 w=f (h) 在 h 平面上的区域 G 内解析, h=g(z) 在 z 平面上的区域 D 内解析, h=g(z)的函数值集合 G，则复合函数w=f [g(z)]在D内处处解析。

数学物理方程(谷超豪) 第三章调和方程习题解答

证：柱坐标 (r ,θ , z ) 与直角坐标 ( x, y , z ) 的关系
x = r cosθ ，
利用上题结果知
y = r sin θ ，
z=z
∂ 2u ∂x
2
+
∂ 2u ∂y
2
=
∂ 2u ∂r
2
+
1 ∂ 2u r ∂θ
2 2
+
1 ∂u r ∂r
1 ∂ ∂u 1 ∂ 2u = (r ) + 2 r ∂r ∂r r ∂θ 2
2
=
∂ 2u ∂ρ 2 ∂ 2u ∂z
2
+
1
ρ 2 ∂ϕ 2
∂ 2u ∂ρ
2
⋅
∂ 2u
+
1 ∂u ⋅ ρ ∂ρ 1 ⋅ ∂ 2u ∂ϕ
2
（5）
+
+
=
+
∂ 2u ∂z
2
+
ρ
2
+
1 ∂u ⋅ ρ ∂ρ
再用（3）式，变换
∂ 2u ∂ρ 2
+
∂ 2u ∂z 2
。这又可以直接利用（5）式，得
∂ 2u ∂ρ 2
= cos ϕ
∂ ∂u ∂u sin ϕ ( cos ϕ − )− ⋅ ∂ρ ∂ρ ∂ϕ ρ sin ϕ ∂ ∂u ∂u sin ϕ ⋅ ( cos ϕ − ⋅ ) ρ ∂ϕ ∂ρ ∂ϕ ρ
∂ 2u ∂ρ 2 − 2 sin ϕ cos ϕ
= cos 2 ϕ
ρ
⋅
∂ 2u sin 2 ϕ ∂ 2 u + ⋅ + ∂ρ∂ϕ ρ 2 ∂ϕ 2
x = ρ cos ϕ ，

数学物理方法-2.1 调和函数和初等函数

指数和对数函数
指数函数
e z e x (cos y i sin y )
对数函数
指数函数是周期的 T＝2kπi, k为整数
指数函数的反函数：若两个复数z,w满足关系z=ew，称w是z的对数函数，记为 w Ln( z ) 主值
对数函数 Ln( z ) ln | z | i Arg( z ) 是多值的
第二章
解析函数
复变函数的导数解析函数调和函数初等函数平面场的复势
调和函数是解析函数的扩展、加深；初等函数是基本函数类型，是复变函数的基础。
复习：解析函数的判别法(CR条件)
条件1 的充分条件：u, v具有连续的一阶偏导数。
。
调和函数
拉普拉斯方程又称势函数
简单性质有限个调和函数的线性组合也是调和函数；解析函数的实部和虚部都是调和函数；但，两个调和函数u, v构成的复变函数f(z)=u+iv不一定构成解析函数。
幂函数的应用：写出复数(1+i)i的代数式。
三角函数、反三角函数
定义复变数z的正弦、余弦函数分别如下：
e iz e iz cos z 2 例：求函数cos(z)的模。
e iz e iz sin z 2i
三角函数的反函数，称为反三角函数设z=cosw或z=sinw，其反函数分别为：
例1： u(x, y)=e-ycosx，求一解析函数f(z)=u+iv
例2：u(x, y)=(x-y)(x2+4xy+y2) ，求一解析函数 f(z)=u+iv.
已知调和函数u或v，求解析函数f(z)的方法小结
方法一：曲线积分积分路径：从z0到z的任意路径方法二：逐步积分先根据CR条件的一个方程用记分方法求出v, 与另一个方程匹配，确定积分常数。（步骤清晰、容易理解）方法三：全微分根据CR条件第一点（可微条件），要求更高（能看出全微分）。

调和平均数秒杀专题

调和平均数秒杀专题行测调和平均数秒杀专题1、调和平均数的含义：相同的总量的两部分，某个指标不同，求将其两部分混在一起后的平均指标。

2、什么情况下能使用调和平均数？数学表达式C＝A×B，C不变，A等差，B调和。

即2个数相乘，积不变，其中一个因数等差，另外一个因数调和。

3、常见的调和平均数：10、12、15、20、30、60（扩大或者缩小相同的倍数也一样）例1：某种溶液的浓度为20%，加入水后溶液的浓度变为15%，如果再加入同样多的水，则溶液浓度变为：【江苏B2012】A. 13%B. 12.5%C. 12%D. 10%楚香凝解析：调和平均数20、15、（12），选C例2：一个容器内有若干克盐水。

往容器内加入一些水，溶液的浓度变为3%，再加入同样多的水，溶液的浓度为2%，问第三次再加入同样多的水后，溶液的浓度是多少？（）A、1.8% B、1.5% C、1% D、0.5%楚香凝解析：调和平均数30、20、（15），同时缩小为原来的1/10，选B4、利用调和平均数的四类常见题型：①等距离求平均速度 v=2*v1*v2/(v1+v2)例1：一个人骑自行车过桥，上桥的速度为每小时12公里，下桥的速度为每小时24公里。

上下桥所经过的路程相等，中间没有停顿。

问此人过桥的平均速度是多少？【天津2007】A. 14公里/小时B. 16公里/小时 C. 18公里/小时 D. 20公里/小时楚香凝解析：路程=速度*时间，路程不变，上桥时间t1、平均时间(t1+t2)/2 、下桥时间t2三个量呈等差，所以上桥速度12、平均速度V、下桥速度24三个量呈调和，利用公式可得平均速度=2*12*24/(12+24)=16,选B②等间隔路程求发车时间 T=2*T1*T2/(T1+T2)例2：某人沿电车线路匀速行走，每12分钟有一辆电车从后面追上，每4分钟有一辆电车迎面开来。

假设两个起点站的发车间隔是相同的，求这个发车间隔？【黑龙江2010】A. 2分钟 B. 4分钟 C. 6分钟 D. 8分钟楚香凝解析：路程=速度*时间，每两车之间路程不变，从后面追上属于追击问题，速度和（V 车-V人），从正面相遇属于相遇问题，速度和（V车+V人），三个量（V车-V人）、V车、（V车+V人）呈等差，所以追击时间12、发车间隔时间T、相遇时间4呈调和，利用公式可得T=2*12*4/(12+4)=6,选C③等费用求平均价格 p=2*p1*p2/(p1+p2)例3：商店购进甲、乙两种不同的糖所用的钱数相等，已知甲种糖每千克6元，乙种糖每千克4元。

3-3调和函数

2 2 2 0 2 x y
则称 x, y 为区域D内的调和函数.
定理3.12 （解析函数与调和函数的关系）
在区域D 内的解析函数,其实部和虚部都是调和函数.
数学学院
定理3.12 （解析函数与调和函数的关系）在区域D 内的解析函数,其实部和虚部都是调和函数. 证明

y
(z)
x
o
13
数学学院
例7 计算下列积分解
|z|1

ez dz . 3 z
2! f (z) f ( z0 ) dz 3 2 i |z|1 ( z z0 )
| z| 1

e 2 i z d z ( e ) 3 z 0 z 2!
i.
z
(e x y cos y e x x csin y e x sins y 1)dy
u
x x x (e e x 1)d x ( e y cos y e x csin y e sins y 1)dy 0 0 (0,0)
x x
du (e x cos y e x y sin y e x x cos y 1)dx
1
o

| z| 2

2 i 3 [ z 1](z3) 2 i . 1 3!
数学学院
例12
计算下列积分
(1)
| z| 2
解
| z| 2

z 1
cos z
5
dz; (2)
| z| 3

| z| 3

5 (4) 2 i [cos z ]z 1 2 i [ 4 cos z ]z 1 i . 4! 12 4! z e ez 2 i[ ] 2 i[ ] 2 z 1 2 z 1 ( z 1) ( z 1) | z i | 1 | z i | 1

基础会计实验调和函数

基础会计实验调和函数
题目：编写一个函数，计算调和函数的值。

调和函数是指形如 $H_n = \sum_{i=1}^n \frac{1}{i}$ 的数列。

其中$n$ 为正整数。

要求：
1. 函数名为 `harmonic_function`。

2. 函数接受一个正整数参数 `n`，表示第 n 项调和函数。

3. 函数返回值为第 n 项调和函数的值，保留小数点后四位。

4. 函数内部不能使用任何链接，只能使用基础的数学运算符和控制结构。

5. 输出结果要求优美的排版格式。

代码实现如下：
```python
def harmonic_function(n):
# 初始化累加器
sum = 0
# 循环计算调和函数
for i in range(1, n+1):
sum += 1/i
# 返回结果，保留小数点后四位
return round(sum, 4)
# 测试代码
print("第5项调和函数的值为：", harmonic_function(5)) print("第10项调和函数的值为：", harmonic_function(10)) print("第20项调和函数的值为：", harmonic_function(20)) ```
输出结果如下：
```
第5项调和函数的值为： 2.2833
第10项调和函数的值为： 2.9289
第20项调和函数的值为： 3.。

调和函数方差

随机过程习题2
(1) 若U1 , U2 , · · · 独立的均匀分布，对0 < t, x < 1 I (t, x) = 1 记 X (t) = 试求随机和Y =
n ∑ i=1 n
x ≤ t,
0 x>t
1∑ I (t, Uk ) 0 ≤ t ≤ 1 n
i=1
Xi 的分布。 1∑ I (t, Uk )) = n
i=1
n i=1 n 1∑ = EI (t, Uk ) n i=1 n 1∑ P (Uk ≤ t) = n i=1
解答：因为U1 , U2 , · · · i.i.dU (0, 1),那么有 E (X (t))
1 = nt n = t (0 ≤ t ≤ 1) 协方差函数 ∀0 ≤ t1 , t2 ≤ 1, Cov (Xt1 , Xt2 ) = E (Xt1 − EXt1 )(Xt2 − EXt2 ) = E (Xt1 − t1 )(Xt2 − t2 ) = 2 + (n2 − n)t1 t2 ) n 1 1 = t1 t2 − t1 t2 + t1 n n
1 t1 (1 − t2 ) 所以Cov (Xt1 , Xt2 ) = n (2) 令Z1 , Z2 为独立的正态分布随机变量，均值为0方差为σ 2 ，λ为实数，X (t) = Z1 cos(λt) + Z2 sin(λt) 试求X (t)的均值以及方差函数。解答：Z1 , Z2 ∼ N(0, σ 2 )
EX (t) = EZ1 cos(λt) + EZ2 sin(λt)
1
2
Cov (Xt1 , Xt2 )
= E (Xt1 − 0)(Xt2 − 0) = E (Z1 cos(λt1 ) + Z2 sin(λt1 )(Z1 cos(λt2 ) + Z2 sin(λt2 )

2.3调和函数

注：逆定理显然不成立，即
对区域D内的任意两个调和函数 u, v, f (z) u iv
不一定是解析函数 .
例如： f z z2 x2 y2 i2xy 是解析函数，
f z 2xy i x2 y2 不是解析函数。
定义2 若u与v是区域D内的调和函数且满足C-R程，
则称v为u的共轭调和函数 .
定理2：函数f (z) u(x, y) iv(x, y) 在区域D内解析
v为u的共轭调和函数 .
解析函数的虚部为实部的共轭调和数
已知共轭调和函数中的一个，可利用 C-R 方程求得另一个，从而构成一个解析函数。
例题1 已知一调和函数 u x, y x2 y2 xy ,
x

2y

x
c

x

1 2
x2

c
,
所以 v x, y 1 y2 2xy 1 x2 c . 于是
2
2
f
z

x2

y2

xy

i

1 2
y2

2xy

1 2
x2

c

f (z) 1 (2 i)z2 ic, 这里c是任意实常数。 2
即为所求解析函数。
求一解析函数f(z)=ห้องสมุดไป่ตู้+iv
解：（法一） ux 2x y , uy 2 y x
由 C-R 方程 vy ux 2x y v 2x y dy
2xy 1 y2 c x
2
vx 2y c x,