第3讲等腰(直角)三角形存在性处理策略

第三讲等腰（直角）三角形的存在性问题处理策略

一、两圆一线与两线一圆

二、代数解法（SSS法）前提：三边的平方是常数或者是关

于某个参数的二次式，根据边或直角分类

三、几何解法（SAS法）

1等腰三角形的存在性问题

前提：三角形有一个不变的内角θ

步骤：①用同一个参数表示该不变角相邻的两条边；②以

腰为标准分三类列方程。具体如下：

情形一、当定角θ为顶角时，如图3-2-6，有a=b;

情形二1等腰三角形的存在性问题、当定角θ为底角且b为腰时，如图3-2-7，有cosθ=a/2b；情形三、当定角θ为底角且a为腰时，如图3-2-8，有cosθ=b/2a.

2直角三角形存在性问题

法1:若直角三角形有一个不变的锐角θ,可狠抓不变角θ,利用其三角函数列式计

法2:依托直角三角形,作“横平竖直”辅助线,造“一线三直角”,利用相似求解

3等腰直角三角形存在性问题

方法:一般构造“一线三直角”全等,即“K 字型”全等

值得一提的是,以上问题,有时还可以结合导角、相似等转化手段进行求解

例1、在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=12,点P是这个菱形内部或边上的一点,若以点P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形，则P、D(两点不重合)两点间的最短距离是_________。

变式1、在菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=12,点P是这个菱形外部的一点,若以点P、B、D为顶点的三角形是Z直角三角形，则P、C(两点不重合)两点间的最短距离是_________。例2、已知点A(3,0),B(0,4),在坐标轴上找一点C，使△ABC为等腰三角形，求所有点C的坐标..变式1、已知点A(3,0),B(0,4),在坐标轴上找一点C，使△ABC为直角三角形，求所有点C的坐标..

例3、如图，二次函数y=a（x2﹣2mx﹣3m2）（其中a，m是常数，且a＞0，m＞0）的图象与x轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于C（0，﹣3），点D在二次函数的图象上，CD∥AB，连接AD，过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，AB

平分∠DAE．

（1）用含m的代数式表示a；

（2）求证：为定值；

（3）设该二次函数图象的顶点为F，探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，连接GF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．

以下是几何解法

（一、）显性的不变角

（二、例4已知矩形ABCD的三个顶点B(4,0),C(8,0),D(8,8),抛

物线y=ax2+bx+c过A、C两点．

（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；

（2）动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q

从点C出发，沿线段CD向终点D运动．速度均为每秒1个单

位长度，运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．

①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G．当t为何值时，线段EG最长？

②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得

△CEQ是等腰三角形？请直接写出相应的t值．

例5在△ABC中，AB=AC,点P、D分别是BC、AC边上的点，

且∠APD=∠B,若AB=10,BC=16,当△APD为直角三角形时，求

BP的长

变式：在△ABC中，AB=AC,点P、D分别是BC、AC边上的点

（点P不与B、C重合），且∠ABD=∠B,若AB=10,BC=16,

当△APD为等腰三角形时，求BP的长

（二）隐形的不变角

（三）例6、如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，

BC=6，点P以每秒1个单位的速度从A向C运动，同时点Q

以每秒2个单位的速度从A→B→C方向运动，它们到C点后都停止运动，设点P，Q运动的时间为t秒．

（1）在运动过程中，求P，Q两点间距离的最大值；

（2）经过t秒的运动，求△ABC被直线PQ扫过的面积S与时间t的函数关系式；

（3）P ，Q 两点在运动过程中，是否存在时间t ，使得△PQC 为等腰三角形？若存在，求出此时的t 值；若不存在，请说明理由

例7在平面直角坐标系中，已知点A(1,0)与直线l ：y=x 3

4,点B 在x 轴正半上，且位于点A 的右侧，过点B 作x 轴的垂线，交直线l 于点C,再过点C 作直线l 的垂线，交x 轴于点D 在BC 上取点E ，使BE=BA,连接OE,并延长，交

CD 于点F,当△CEF 为等腰三角形时，求点C 的

坐标..

练习

1、直线y=-x+4与x 轴交于点B,点C 在直线AB 上，在平面直角坐

标系中求一点，使得以O 、A 、C 、D 为顶点的四边形是菱形。

2、将两块全等的直角三角形纸片△ABC 和△DEF 叠放在一起，其中

∠ACB=∠E=90°，BC=DE=6,AC=FE=8,将△DEF 绕点D 旋转，点D 与AB 的中点重合,DE 、DF 分别交AC 于点M 、N 。若△DMN 为等腰三角形，求此时重叠部分△DMN 的面积。 3、如图，抛物线y=ax 2+bx +c （a ≠0）与直线y=x +1相交于A （﹣1，0），B （4，m ）两点，且抛物线经过点C （5，0）．

（1）求抛物线的解析式； （2）点P 是抛物线上的一个动点（不与点A 、点B 重合），过点P 作直线PD ⊥x 轴于点D ，交直线AB 于点E ．

①当PE=2ED 时，求P 点坐标；

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