正态分布及抽样误差
正态分布参考值抽样误差
百分位数法: 适用于偏态分布资料
例如白细胞数的95％参考值范围:因为白细胞数
25
20
15
10
5
0 3.8 4 4.2 4.4 4.6 4.8 5 5.2 5.4 5.6 5.8 红细胞计数（1012/L) 140名正常男子红细胞计数直方图
f(x)=(fi/n)
0.25
相 对 频 0.20 率
0.15
以频率为纵坐标
0.10
0.05
0.00
3.8 4 4.2 4.4 4.6 4.8 5 5.2 5.4 5.6 5.8
数值变量的参数估计
一、均数的抽样分布与抽样误差
抽样研究的目的就是要用样本信息来推断 总体特征。由于存在个体变异，样本均数 （X）往往不等于总体均数（），因此抽 样后各个样本均数也往往不等于总体均数， 且各个样本均数间也不一定都相等。这种 由抽样造成的样本均数与总体均数的差异 或各样本均数之间的差异称为抽样误差， 抽样误差是不可避免的。
红细胞计数（1012/L) 140名正常男子红细胞计数直方图
随着组段不断分细和观察人数的增多，直条顶端将逐渐接近于
一条光滑的曲线，如下图。这条曲线称为频率密度曲线，呈中
间高、两边低、左右对称，形状似座钟。类似于数学上的正态
分布曲线。
因为频率的总和等于1，故横轴上曲线下的面积等于1。
0.14 0.12
组中值 3.90 4.10 4.30 4.50 4.70 4.90 5.10 5.30 5.50 5.70 5.90
统计学中的抽样误差分布
统计学中的抽样误差分布在统计学中，抽样误差是指样本统计量与总体参数之间的差异。
当我们从总体中抽取一个样本，并用样本统计量来估计总体参数时，由于抽取的样本并不是总体的全部，因此存在抽样误差。
抽样误差的分布是统计学中一个重要的概念，它描述了抽样误差的概率分布情况。
本文将介绍统计学中的抽样误差分布。
一、抽样误差的产生原因抽样误差的产生主要有以下几个原因：1. 随机抽样：在统计学中，我们通常采用随机抽样的方法来获取样本。
由于样本是从总体中随机选择的，因此样本与总体之间的差异是不可避免的。
2. 样本大小：样本大小对抽样误差有影响。
样本越大，抽样误差越小；样本越小，抽样误差越大。
3. 总体分布的形状：总体分布的形状也会对抽样误差的分布产生影响。
当总体呈正态分布时，抽样误差往往服从正态分布。
二、抽样误差的分布在统计学中，常见的抽样误差分布有以下几种：1. 正态分布：当总体分布是正态分布，并且样本大小足够大时，根据中心极限定理，样本均值的抽样误差大致服从正态分布。
这也是许多统计推断方法的基础。
2. t分布：在实际应用中，当总体分布未知且样本大小较小的情况下，我们通常使用t分布来描述样本均值的抽样误差。
3. 二项分布：在二项分布中，我们关注的是成功与失败的次数。
当样本来自二项分布总体时，样本比例的抽样误差可以用二项分布来描述。
4. 指数分布：在某些情况下，我们关注的是事件发生的时间间隔。
当事件按照指数分布发生时，我们可以使用指数分布来描述事件发生时间的抽样误差。
三、抽样误差的影响抽样误差的分布对统计推断和决策具有重要影响：1. 置信区间：在统计推断中，我们常常需要给出一个参数的置信区间。
抽样误差的分布决定了置信区间的宽度，即置信水平的精度。
2. 假设检验：在假设检验中，我们常常需要计算p值来判断统计显著性。
抽样误差的分布决定了p值的计算方式。
3. 决策风险：在决策分析中，我们常常需要权衡风险和效益。
抽样误差的分布决定了决策的可靠性和风险程度。
正态分布参考值抽样误差
数值变量的参数估计
一、均数的抽样分布与抽样误差
抽样研究的目的就是要用样本信息来推断 总体特征。由于存在个体变异，样本均数 （X）往往不等于总体均数（），因此抽 样后各个样本均数也往往不等于总体均数， 且各个样本均数间也不一定都相等。这种 由抽样造成的样本均数与总体均数的差异 或各样本均数之间的差异称为抽样误差， 抽样误差是不可避免的。
100个样本均数频数分布直方图
样本均数的抽样分布具有以下特点：
1. 各样本均数未必等于总体均数；
2. 样本均数之间存在差异；
3. 样本均数的分布很有规律，围绕着总体 均数，中间多、两边少，左右基本对称， 也服从正态分布；
4. 样本均数的变异较之原变量的变异大大 缩小。
抽样，样 本量为n
总体均数为μ，标准差σ
频率密度 f(x)=(fi/n)/i
0.1
（i＝0.1）
0.08
0.06
0.04
0.02
0
3.8
4 4.2 4.4 4.6 4.8
5 5.2 5.4 5.6 5.8
这条所描述的分布，便近似于我们通常所说 的正态概率分布，简称正态分布。
正态分布是自然界最常见的一 种分布，例如，测量的误差、 人体的身高、体重、许多生化 指标的值（例如血压、血红蛋 白含量、红细胞数等等）等都 属于正态分布或近似正态分布。 还有些偏态资料可经数据转换 成正态或近似正态分布，例如 抗体滴度、血铅值等。
用 X 表示，或SE、SEM。
x
n
4.09 1.29(cm) 10
由于在实际抽样研究中往往未知，通
常用某一样本标准差s来替代，得标准误
的估计值 sX (通常也简称为标准误)，其计
算公式为：
概率与统计中的正态分布与抽样误差
概率与统计中的正态分布与抽样误差概率与统计是数学中重要的一个分支，它研究的是数据和随机现象之间的关系。
在概率与统计的研究中，正态分布是一个非常重要的概念。
正态分布是一种连续型的概率分布，常用于描述一组数据的分布情况。
在实际应用中，我们经常会遇到抽样误差的问题，而正态分布在抽样误差的分析中扮演着重要的角色。
一、正态分布的概念及性质正态分布，也被称为高斯分布，是一种在统计学和概率论中常见的连续型概率分布。
它的概率密度函数可以用以下的形式表示：（在这里可以插入正态分布的概率密度函数的公式，但请注意我不能给出具体的数学公式）正态分布的最重要的性质是其均值和标准差决定了它的形状。
均值确定了正态分布的中心位置，而标准差决定了曲线的宽度。
正态分布的曲线呈钟形，对称分布于均值左右。
二、正态分布在统计中的应用正态分布在统计中的应用广泛。
它在实际问题的建模和分析中起着至关重要的作用。
1. 中心极限定理中心极限定理是概率与统计中一个重要的定理，它指出当独立同分布的随机变量的样本容量足够大时，它们的样本平均值将近似地服从正态分布。
这个定理的应用使得我们能够利用样本数据对总体进行推断。
2. 抽样分布在统计推断中，我们需要通过样本数据来对总体进行估计。
抽样分布是指从总体中抽取多个样本，计算每个样本的统计量，然后将这些统计量的分布进行研究。
正态分布在抽样分布的分析中起着关键的作用。
3. 参数估计参数估计是指利用样本数据对总体的参数进行估计。
最常见的估计方法是点估计和区间估计。
在估计过程中，我们通常假设总体服从正态分布，并根据样本数据来计算得到参数的估计值。
4. 假设检验假设检验是统计推断的一个重要方法，用于判断某个假设是否成立。
在假设检验中，我们通常需要构建一个检验统计量，并根据其分布来进行推断。
正态分布在假设检验中经常被用作对总体分布的近似。
三、抽样误差与正态分布抽样误差是指由于从总体中随机抽取样本所引入的误差。
在真实的情况下，我们很难获得总体的所有数据，因此只能从总体中抽取样本来对总体进行研究和推断。
统计学中的抽样误差分布类型
统计学中的抽样误差分布类型统计学中的抽样误差是指由于选取抽样方法的随机性引起的样本与总体之间的差异。
在统计学中，我们常常利用抽样方法来研究总体的特征。
然而，由于抽样的随机性，样本很可能无法完全准确地反映总体的真实情况。
因此，了解抽样误差的分布类型对于正确解释样本数据的意义至关重要。
在统计学中，有多种类型的抽样误差分布。
本文将介绍其中的三种常见类型：正态分布、均匀分布和偏态分布，并探讨它们对样本数据的影响。
一、正态分布正态分布也被称为高斯分布，是抽样误差最常见的分布类型之一。
正态分布呈钟形曲线，以均值为中心对称，标准差决定了曲线的幅度。
在正态分布中，抽样误差呈现出对称的模式分布，均值为零。
这意味着样本数据中的大部分值都接近总体的真实值。
正态分布的特点使得它在许多应用中非常有用。
例如，在对人体身高进行抽样调查时，正态分布可以很好地描述不同个体的身高分布情况。
不过需要注意的是，当样本量较小时，正态分布的逼近效果可能会受到一定的影响。
二、均匀分布均匀分布是另一种常见的抽样误差分布类型。
均匀分布呈矩形形状，表示样本中每个值的概率是相等的。
在均匀分布中，抽样误差的分布是连续而平均的，不会出现严重的偏差。
均匀分布的特点在一些特定场景中非常适用。
例如，在调查抛硬币结果的分布时，当我们进行大量的抛硬币试验时，得到正面和反面的概率应该是接近均匀分布的。
然而需要注意的是，均匀分布并不适用于所有情况，特别是当总体分布是非均匀的时候。
三、偏态分布偏态分布是一种常见的非对称抽样误差分布类型。
在偏态分布中，曲线的形状倾斜向某一侧。
偏态分布可以进一步分为正偏态和负偏态两种类型。
正偏态分布指的是曲线的尾部偏向较大的一侧，而负偏态分布则相反。
偏态分布的特点使得它在某些情况下更适合描述抽样误差。
例如，在研究收入分布时，负偏态分布可能更符合实际情况，因为大多数人的收入可能集中在低收入水平。
然而，需要注意的是，偏态分布会导致样本数据的误差，因此在解释数据时需要谨慎。
正态分布及其应用、抽样误差
置信区间是一种表示抽样误差的方法，它表示总体参数的可能取值范围。置信区间越窄，说明样本统计量与总体 参数的偏差越小，即抽样误差越小。
减少抽样误差的方法
增加样本量
增加样本量可以减小每个样本的代表性误差，从而减 小抽样误差。
改进抽样方法
采用更科学的抽样方法，如分层抽样、系统抽样等， 可以提高样本的代表性，从而减小抽样误差。
重复抽样
通过多次抽取样本并计算其统计量，可以减小抽样误 差。
05
抽样误差的影响因素
总体与样本的差异程度
总体与样本的差异程度越大，抽样误 差越大。
当总体分布与样本分布差异较大时， 需要采取更严格的抽样方法来减小误 差。
样本容量大小
样本容量越大，抽样误差越小。
在实际应用中，需要根据研究目的和资源情况合理确定样本容量，以减小误差。
在市场调查中，抽样误差可能导致对市场趋势的误判。例如，如果某品牌在目标消费群体中的实际市场份 额为30%，而由于抽样误差，调查结果显示其市场份额为25%，那么该品牌可能会错过扩大市场份额的机 会。因此，市场调查需要综合考虑抽样误差和其他不确定性因素，以做出明智的决策。
质量控制
在质量控制中，抽样误差可能导致对 产品质量的误判。如果某批次产品的 不合格率高于标准，但实际是由于抽 样误差造成的，那么这可能导致不必 要的生产成本和产品退货。因此，质 量控制需要采用合适的抽样方案和统 计分析方法，以减小抽样误差的影响。
04
抽样误差的概念
定义与产生原因
定义
抽样误差是由于从总体中随机抽取样本而产生的误差，它反映了样本统计量与总体参数之间的偏差。
产生原因
由于每个样本都是随机抽取的，因此每个样本的统计量都可能不同，从而导致抽样误差的产生。
正态总体的常用抽样分布
特点
卡方分布在正态分布两侧有更多的面 积，即其尾部比正态分布更重。随着 自由度n的增加，卡方分布趋近于正 态分布。
04
抽样分布的应用
参数估计
1 2
参数估计
通过抽样分布，我们可以估计总体参数，如均值 和方差。常用的估计方法有矩估计和最大似然估 计。
置信区间
基于抽样分布，我们可以构建总体参数的置信区 间，从而对总体参数进行区间估计。
03
样本方差的数学期望等于总体方差，其方差随 着样本量的增加而减小。
样本偏度与峰度
样本偏度是总体偏度的无偏估计，用于衡量数据的对称性。 样本峰度是总体峰度的无偏估计，用于衡量数据分布的尖锐程度。 在正态分布中，偏度和峰度均为0，但在非正态分布中，偏度和峰度可能不为0。
03
其他常用抽样分布
t分布
中心极限定理
中心极限定理的基本思想
中心极限定理表明，无论总体分布是什么类型，只要样本量足够大，从该总体中随机抽取的样本均值将趋近于正 态分布。这意味着我们可以利用正态分布的性质来分析和推断样本均值。
中心极限定理的应用
中心极限定理在统计学中具有广泛的应用价值。例如，在制定置信区间、假设检验和回归分析等统计方法时，都 需要利用中心极限定理来处理样本数据和推断总体参数。因此，正确理解和应用中心极限定理对于统计推断的准 确性和可靠性至关重要。
THANKS
样本量大小的影响
样本量大小
样本量的大小对抽样分布的形状和稳 定性有显著影响。随着样本量增加， 抽样分布的形状逐渐接近正态分布， 且分布的离散程度逐渐减小。
样本量与精度
样本量越大，估计的精度越高，即估 计的参数值越接近真实值。因此，在 制定抽样计划时，应充分考虑样本量 的大小，以确保估计的精度满足要求。
正态分布及标准误(1)
算得某95%的可信区间，则： 总体参数有95%的可能落在该区间。 有95%的总体参数在该区间内。 该区间包含95%的总体参数。 该区间有95%的可能包含总体参数。 该区间包含总体参数，可信度为95%。
2021/4/22
46
概念辨析
标准差 个体变异 参考值范围 变量分布
标准误 抽样误差 可信区间 抽样分布
2021/4/22
47
作业：
简述标准差和标准误的区别和联系 简述参考值范围与均数的可信区间的区别和联
系
2021/4/22
48
2021/4/22
谢谢 再见
49
③正态分布有两个参数，即均数与标准差，常用 N(,)表示，用N（0，1）表示标准正态分布。其位置与均
数有关，形状与标准差有关。标准差大，离散程度大，正态 分布曲线则“胖”，反之，则“瘦”；
④正态分布的面积分布有一定的规律性。
2021/4/22
4
三 正态曲线下面积的分布规律
统计学家求出了标准正态分布从- 到（-u）的面积。 2021/实4/22际工作中经常要用的面积分布规律有以下三点： 5
2021/4/22 差异或各样本均数的差异。
20
抽样误差的定义
假如事先知道某地七岁男童的平均身高为119.41cm。为了估计七
岁男童的平均身高（总体均数），研究者从所有符合要求的七岁
男童中每次抽取100人，共计抽取了三次。
X 118.21cm
s=4.45cm
μ＝119.41cm σ= 4.38cm
– 参数估计(parameter estimation)
点估计 区间估计
– 假设检验(hypothesis testing)
2021/4/22
抽样误差措施
抽样误差措施1. 引言在研究和调查中，抽样是一种常用的数据收集方法。
尽管抽样方法具有高效、经济的优势，但由于抽样过程中的各种因素，导致样本与总体之间存在一定的差异，即抽样误差。
为了确保抽样结果的可靠性和准确性，需要采取一些措施来衡量并减少抽样误差。
本文将介绍常见的抽样误差措施及其应用，以帮助研究人员和调查员在实际工作中更好地处理抽样误差问题。
2. 抽样误差的定义与分类抽样误差是指样本统计量与总体参数之间的差异。
按照造成抽样误差的原因，可以将抽样误差分为以下两类：1.随机误差：由于抽样过程中的随机因素引起的误差，例如抽样误差是正态分布的随机误差。
2.系统误差：由于抽样方法本身的偏差或操作失误引起的误差，例如选择偏差、测量误差等。
3. 抽样误差的度量方法为了衡量抽样误差的大小以及研究样本的可靠性，可以采用以下度量方法：3.1 抽样误差率抽样误差率是指样本估计值与总体参数之间的差异在样本容量中占比的度量。
抽样误差率 = (样本估计值 - 总体参数值) / 总体参数值抽样误差率越小，说明样本估计值与总体参数值越接近，抽样误差越小，样本的可靠性越高。
3.2 标准误差标准误差是衡量样本统计量的抽样变异程度的度量。
它表示样本的离散程度，即抽样误差的大小。
标准误差越小，说明样本统计量的抽样误差越小，样本的可靠性越高。
3.3 置信区间置信区间是指样本估计值上下限的范围，用于表示总体参数的估计范围。
置信区间的宽度反映了样本估计值的不确定性。
置信区间越窄，说明样本估计值越接近总体参数值，抽样误差越小。
4. 抽样误差控制措施为了减少抽样误差，提高样本的可靠性，可以采取以下措施：4.1 增加样本容量增加样本容量可以减小抽样误差，尤其是对于较大的总体。
当样本容量增加时，随机误差相对减小，样本的统计特征更接近总体参数。
4.2 采用简单随机抽样简单随机抽样是一种消除选择偏差的有效方法。
通过随机选择样本，能够代表总体，使得样本的特征与总体参数更接近。
统计-正态分布 抽样误差
标准误(standard error，SE)
样本统计量的标准差称为标准误，用来衡量抽样误差的 大小。
标准误与个体变异 成正比，与样本含量n的平方根成反 比。
标准误理论值
X
n
18
标准误(standard error，SE)
实际工作中， 往往是未知的，一般可用样本标准 差s代替
20
t分布的概念
从正态分布N(,)的总体中随机抽样并计算多个样
本均数
为 X
X j ，它们服从总体均数为，总体标准差
X j -
的正态分布，则
X
也服从标准正态分布。
X 1 , X 2 , X 3 ,...,服从正态分布 N ( , X ) X1 - X 2 - X 3 - , , ,...,服从标准正态分布 (0,1)
140名成年男子的红细胞数的频数分布
3
正态分布的概念
频数分布概念 频数集中在均数周围，左右基本对称，离均数愈近 数据愈多，离均数愈远数据愈少 如果观察数不断增多，组距不断细分，直方图的边 线将逐渐接近一条光滑曲线 这条曲线数学上称为正态曲线—以均数为中心，两 侧对称并逐渐下降，永远不与横轴相交的一条钟型曲 线
第三讲 正态分布 抽样误差
1
一、正态分布及其应用
正态分布
正态分布的概念 正态曲线下面积的分布规律 标准正态分布
正态分布的应用
估计频数分布 估计参考值范围 质量控制 理论分布的基础
2
正态分布的概念
30
20
10
0 3.90 4.10 4.30 4.50 4.70 4.90 5.10 5.30 5.50 5.70 5.90
正态分布规律
正态分布规律正态分布规律表明，当n的值为整数时，并不是随机事件每次都落在一条横坐标轴上，而是落在各个位置上的可能性相等。
只有当n 的取值为奇数时，才是每次落在同一条横坐标轴上。
若样本中出现的频率都小于或等于1，则样本平均数就接近于正态分布曲线的横坐标，这个随机变量就服从正态分布。
从这个角度看，它们又可称为正态随机变量。
在抽样调查中，我们经常要用到这个概念。
正态分布曲线上有5个区间：两头小中间大，即≤95％、 95％－ 99％、≥100％、≥100％＋95％、 100％＋95％。
-正态分布是在正态总体内，用样本统计量来估计总体参数，所以需要将总体分成许多互不相等的部分，对每一个小部分，依据总体分布形态建立适当的样本统计量，以样本统计量估计总体参数，然后根据样本统计量对总体参数进行估计。
---抽样误差正态分布的基本概念，除了与样本数据有关外，还和抽样方法有密切联系，所以我们应该了解一下常用的抽样方法：随机抽样，是从研究总体n个单位中随机抽取n个单位，根据随机原则来安排样本，使得样本具有代表性。
（一）等距抽样也称机械抽样，它的特点是对每个单位在相邻的样本单位之间保持固定的间隔，抽取任意大小的样本单位。
（二）系统抽样它是先把总体按照一定的标志分类，然后再抽取各类中的一部分，组成样本，使总体中各类别单位数目相等，构成样本空间，故又称为类型样本。
---什么是抽样误差抽样误差：是指总体的平均数与其算术平均数之差。
(1)离散型误差：是指实际的抽样平均数与样本算术平均数之差；(2)连续型误差：是指实际的抽样平均数与总体算术平均数之差。
---样本的容量sample size：是指从研究的总体中随机抽取容量为n的样本所需要的全部观察单位的数目。
容量为n的样本：由n个观察单位组成的容量为n的样本；如果在样本中，每个观察单位的个数恰好等于总体的个数N，那么就称这种样本为等概率样本，记作SS=N(N)。
第三章 正态分布与抽样分布
图3-5 正态分布的概率
关于正态分布，有几个概率应记住： 关于正态分布，有几个概率应记住： 一般正态分布： 一般正态分布：
P（µ－1.96σ≤x＜µ+1.96σ）＝0.95 1.96σ≤x＜µ+1.96σ）＝ ）＝0.95 P（µ－2.58σ≤x＜µ+2.58σ）＝0.99 2.58σ≤x＜µ+2.58σ）＝ ）＝0.99 P（µ－σ≤x＜µ+σ）＝0.6826 σ≤x＜µ+σ）＝ ）＝0.6826 P（µ－2σ≤x＜µ+2σ）＝0.9545 2σ≤x＜µ+2σ）＝ ）＝0.9545 P（µ－3σ≤x＜µ+3σ）＝0.9973 3σ≤x＜µ+3σ）＝ ）＝0.9973
对于大样本资料，常将样本标准差S 对于大样本资料，常将样本标准差S 与样本均数配合使用，记为 X ± S ，用 与样本均数配合使用， 以说明所考察性状或指标的优良性与稳 定性。对于小样本资料， 定性。对于小样本资料，常将样本标准 误 SX 与样本均数 X 配合使用，记 配合使用， 为 X ± S ，用以表示所考察性状或指 标的优良性与抽样误差的大小。 标的优良性与抽样误差的大小。
学上已证明 总体的两个参数与x总体的两 总体的两个参数与x 个参数有如下关系： 个参数有如下关系：
µx = µ
σx =
σ
n
表 X 的抽样分布形式与原总体X分布形式的关系 的抽样分布形式与原总体X
2.2 均数标准误
均数标准误 σx = 的大小反映样本均数 X n 抽样误差的大小 标准误大， 的大小。 的抽样误差的大小。标准误大，说明各样本均 间差异程度大；反之，亦然。 数 X 间差异程度大；反之，亦然。 在实际工作中，总体标准差σ往往是未知的， 在实际工作中，总体标准差σ往往是未知的， σx 此时，可用样本标准差S 因而无法求得 。此时，可用样本标准差S估 S 于是， 计σ 。于是，以 估计 n 。记σx 为 n， S SX 称作样本标准误或均数标准误。 称作样本标准误或均数标准误。 是均数抽样 SX 误差的估计值。 误差的估计值。
不符合正态分布,平均值+3乘标准差_解释说明以及概述
不符合正态分布,平均值+3乘标准差解释说明以及概述1. 引言1.1 概述本文将讨论不符合正态分布时，使用平均值加上三倍标准差进行解释和说明。
在统计学中，正态分布是一种常见的连续概率分布，它具有对称的钟形曲线。
然而，在现实生活中，很多数据并不服从正态分布，其分布形态可能存在偏离和异常值。
1.2 文章结构本文共分为五个部分。
首先，在引言部分我们将概述文章的内容和目的。
其次，我们将介绍不符合正态分布的情况，包括正态分布简介和特征、异常分布形态以及原因和影响因素。
接下来，我们将详细解释平均值加上三倍标准差的规则，并通过举例来讲解其意义和应用。
然后，我们将探讨不符合正态分布与平均值加上三倍标准差之间的关系，包括如何影响计算结果以及如何在非正态分布情况下使用该规则。
最后，在结论与展望部分总结文章的主要观点，并提出未来研究方向建议。
1.3 目的本文旨在帮助读者理解当数据不符合正态分布时，如何使用平均值加上三倍标准差进行分析和解释。
通过深入探讨不符合正态分布的情况和其与平均值加上三倍标准差之间的关系，读者将能够更好地理解数据的分布特征，并能够在实际应用中灵活运用相关知识。
此外，本文还将为读者提供一些实际案例和经验总结，以帮助他们更好地应对非正态分布数据并做出准确的分析判断。
2. 不符合正态分布的情况2.1 正态分布简介和特征正态分布，又称为高斯分布，是统计学中常见的一种连续概率分布。
它以钟形曲线呈现，均值位于曲线中心，标准差决定了曲线的宽窄。
正态分布具有以下特征：对称性、单峰性、总体均值等于中位数和众数。
2.2 异常分布形态不符合正态分布的情况下，数据呈现出不同于正态分布的形态。
这可能是由于各种原因引起的异常情况。
在实际应用中常见的异常分布形态包括：偏斜分布：数据在某一方向上有明显偏移，即左偏或右偏。
双峰分布：数据存在两个明显的峰值，表示存在两个主要模式。
多峰分布：数据呈现出多个明显的峰值，表示存在多个主要模式。
高中数学概率与统计中的正态分布与抽样误差解析
高中数学概率与统计中的正态分布与抽样误差解析概率与统计是高中数学中的重要内容之一，其中正态分布和抽样误差是常见的考点。
本文将通过具体的题目举例，分析这两个概念的含义、应用以及解题技巧，以帮助高中学生和家长更好地理解和应用这些知识。
一、正态分布正态分布是概率与统计中最重要的分布之一，也称为高斯分布。
它的特点是呈钟形曲线，左右对称，均值和标准差完全决定了曲线的形状。
在实际应用中，正态分布广泛用于描述各种随机变量的分布情况，例如身高、考试成绩等。
我们以一个具体的题目来说明正态分布的应用。
假设某班级的学生数学成绩服从正态分布，平均分为80分，标准差为5分。
现在我们想要计算在这个班级中成绩在90分以上的学生所占的比例。
解题思路如下：1. 根据正态分布的性质，我们知道平均分左右对称，即成绩在90分以上的学生所占的比例等于成绩在70分以下的学生所占的比例。
2. 根据标准差的定义，我们知道约68%的学生成绩在平均分的一个标准差范围内，约95%的学生成绩在平均分的两个标准差范围内，约99.7%的学生成绩在平均分的三个标准差范围内。
3. 根据以上信息，我们可以计算出成绩在70分以下的学生所占的比例为68%+95%=163%。
4. 因此，成绩在90分以上的学生所占的比例为100% - 163% = 37%。
通过这个例子，我们可以看到正态分布在解决实际问题中的应用。
同时，我们也需要注意正态分布的性质，例如对称性和标准差的定义，以便更好地理解和应用这个概念。
二、抽样误差在实际调查和统计中，我们通常无法对整个总体进行全面调查，而是通过抽样来获取一部分样本数据，并通过这些样本数据来推断总体的特征。
然而，由于抽样的随机性和样本容量的限制，样本数据与总体数据之间存在误差，这就是抽样误差。
下面我们以一个实际问题来说明抽样误差的概念。
假设我们想要调查某市的居民对某项政策的满意度，总共有100万名居民。
由于时间和资源的限制，我们只能随机抽取1000名居民进行调查。
正态分布t分布资料
u=x-μ/σ
(五)标准正态分布曲线下的面积分布规律
标准正态分布曲线以u值为横轴变量，位置参数µ=0，形 状参数ơ=1，标准正态分布曲线与横轴之间的整体面积 为1或100%。标准正态分布曲线下面积的分布规律有如 下规律（图5） u=-1,u=1范围内的面积占正态曲线下总面积的68.27%， 即有68.27%的变量值分布在此范围内； u=-1.96,u=1.96 范围内的面积占正态曲线下总面积的 95.00%，即有95.00%的变量值分布在此范围内； u=-2.58,u=2.58范围内的面积占正态曲线下总面积99.00%， 即有99.00%的变量值分布在此范围内。
t 分布特征
呈单峰曲线，以0为中心，左右两侧对称。 t分布曲线是一簇，不同自由度有不同t分 布曲线。 越小， t分布曲线愈来愈平坦， 曲线中间愈低，曲线两侧尾部翘得愈高； 越大， t分布曲线愈接近标准正态分布曲 线， 当 t分布曲线就是标准正态分 布曲线。 ~
t界值
实际工作中 x 用 s x 估计，这时对 正态变量 x 采用的不是u变换，而是t 变换。如果从一个正态总体中，抽取样 本含量为n的许多样本，分别计算其样本 均数和标准误，然后再求出每一个t值， 这样可有许多t值，其频数分布是一种连 续型分布，这就是统计学上的t分布。
u
x
x
t
x
sx
填 空
1、正态分布曲线下µ+ 1.96ơ范围内的面积占正 态曲线下总面积的 ，即有 的变量 值分布在此范围内； 2、正态分布曲线下 范围内的面积占正态 曲线下总面积99.00%，即有99.00%的变量值分布 在此范围内 是正态分布曲线的 参数， 标准差ơ 3、均数µ 是正态分布曲线的 参数。
1000个样本的抽样误差
1000个样本的抽样误差
当我们需要做问卷调研来验证某个问题的假设时，我们总是不可避免的要询问一个问题，样本容量多少才够呢？
理论上样本量肯定是越多越好，最好多到和你想研究的整体的人数一样，这就是普查，最精确。
但普查是一项非常耗费资源的事情，想想我们的人口普查10年才会做一次。
而一般的研究，经费的限制不可能让我们去做普查，所以抽样调查就是平衡有效性和经济型最好的工具。
纵观各类抽样调查数据，我们经常会发现它的样本量基本都会大于1000。
在实际的研究过程中，1000也是经常出现的数字，似乎超过了1000样本就有了代表性，那为什么抽样调查的样本量经常被设定在1000左右呢？
其实1000也不是最准确的，更为精确的数字应该是1067。
抽样是门大学问，光讨论抽样原理的经典论着就有很多，为了能够快速让不具备数学知识的同学们理解为什么是1067，我们其实弄懂三个概念就行：正态分布（Normal Distribution），抽样误差（Sampling Error），置信水平（Confidence Level）。
什么是正态分布？正态分布是自然界最常见的连续概率分布，人类的身高、学生的成绩等等都服从正态分布，正因为它非常常见，所以通常被我们用做对未知变量的分布假设。
回到我们的主题上，对于我们要估计的整体，在没有特殊的要求下，我们会将它假设为一个服从正态分布的整体。
当抽样容量增加3倍时,抽样误差比原来
当抽样容量增加3倍时，抽样误差比原来
随着时代的飞速发展，大数据已经成为日常生活和商业活动的重要组成部分，人们总是为如何更好地利用这种资源而担心。
抽样是收集数据的一种重要方式，它可以从具有较大量数据的总体中抽取一部分样本来获取所需的信息，但是当抽样容量增加时，抽样误差也会发生变化。
随着抽样容量的增加，抽样误差会有所减少。
这是因为抽样可以提高数据的抽取精度。
当少量的样本被选出时，抽样误差会相对较大，这是由于只能从总体中选择少量的样本，可能会缺失一些重要的数据。
但是，当抽样容量增加时，抽样误差也会有所减少，从而平衡分布更趋于正态分布，这对收集正确的数据是有帮助的。
此外，抽样误差还可能由于其他因素而发生变化。
例如，抽样容量的增加可能会导致样本中有偏差。
这反映在各种不同抽样方法上，例如随机抽样、简单抽样和比例抽样等。
比例抽样特别值得注意，它根据抽样容量的不同，会衍生出不同数量的抽样误差。
抽样容量的增加的确可以显著减少抽样误差，但不能完全消除抽样误差。
这是因为不能确定采用大量样本时，是否会出现偏差。
如果抽样容量更大，在有限的样本集中，结果的准确性可能会受到影响。
总之，抽样容量的增加3倍，可以显著减少抽样误差，但不能完全消除抽样误差。
此外，要准确判断抽样容量是否够大，还需要考虑其他因素，例如样本的组合和分布，以确保最终的结果最为精确。
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-1.9
-1.6 -1.0 -0.5 0
0.0287 0.0274 0.0262 0.0250 0.0239
0.0548 0.0526 0.0505 0.0485 0.0465 0.1587 0.1539 0.1492 0.1446 0.1401 0.3085 0.3015 0.2946 0.2877 0.2810 0.5000 0.4920 0.4840 0.4761 0.4681 u 0
组 段
124～ 128～ 132～ 136～ 140～ 144～ 148～ 152～ 156～ 160～164
频 数
1 2 10 22 37 26 15 4 2 1 120
频率
0.0083 0.0167 0.0833 0.1834 0.3083 0.2167 0.1250 0.0333 0.0167 0.0083 1.0000
u
X
~ N (0,1)
则u服从标准正态分布。 u称为标准正态离差(standard normal deviate)
标准正态分布曲线下面积(u)
u
-3.0 -2.5 -2.0 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.0013 0.0013 0.0012 0.0011 0.0010 0.0062 0.0059 0.0055 0.0052 0.0049 0.0228 0.0217 0.0207 0.0197 0.0188
正态曲线下的面积规律
正态曲线下面积总和为1； 正态曲线关于均数对称；对称的区域内面积相等； 对任意正态曲线，按标准差为单位，对应的面积相等； -1.64～ +1.64内面积为90%； -1.96～ +1.96内面积为95%； -2.58～ +2.58内面积为99%。 小于-3的面积为 0.13%; 小于-2的面积为 2.28%; 小于- 的面积为15.87%。
正态分布的应用
估计频数分布 质量控制 确定临床参考值范围
估计频数分布
某项目研究婴儿的出生体重服从正态分布，其 均数为3150g，标准差为350g。若以2500g作为 低体重儿，试估计低体重儿的比例。
X轴与正态曲线所夹面积恒等于1 。 对称区域面积相等。
S(-, X)
-
S( +X,)＝S(-, -X)
X
正态曲线下的面积规律
对称区域面积相等。
S(-x1, -x2)
S(x1,x2)=S(-x2,-x1)
-x1 -x2
x2 x1
正态曲线下的面积规律
S(-, )=0.5 S(-, -1)=0.1587 S(-, -2)=0.0228 S(-, -3)=0.0013 S(-, +1)=0.8413 S(-, +2)=0.9772 S(-, +3)=0.9987 S(-, )=1
标准正态分布
标准正态分布(standard normal distribution)是均数为0， 标准差为1的正态分布。 记为N(0,1)。 标准正态分布是一条曲线。 概率密度函数：
(X )
1 2
e
u2 2
(-∞＜ u ＜+∞)
正态分布转换为标准正态分布
若 X～N(,2)，作变换：
-1
0
1
2
3
4
正态曲线下的面积规律
S(-, -3)=0.0013
S(-, -2)=0.0228
S(-3, -2)=0.0215
S(-2, -1)=0.1359
S(-, -1)=0.1587
S(-, -0)=0.5
S(-1,
)=0.3413
-3
-2 -
3
正态分布的背景－高尔顿钉板试验
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 6 7 8
x
这条曲线就是我们将要介绍的正态分布曲线。
4
频 率
0.40
0.30 0.20
0.10
0
124 132 140 148 156 164
图
某市120名12岁男童身高(cm)的频数分布
5
极差=160.9-125.9=35 分10组，组距=极差/10=35/10=3.5，组距取 4 下界 124 ，上界164
+ +2 +3
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
正态曲线下的面积规律
95%
2.5%
2.5%
-1.96
+1.96
正态曲线下的面积规律
90%
5%
5%
-1.64
+1.64
正态曲线下的面积规律
99%
0.5%
0.5%
-2.58
+2.58
思考
S(-1.96, +1.64)=?
0
x
方差相等、均数不等的正态分布图示
3
1
2
均数相等、方差不等的正态分布图示
2 1
3
正态分布的特征
正态分布有两个参数(parameter)，即位置参 数(均数)和变异度参数(标准差)。 高峰在均数处； 均数两侧完全对称。 正态曲线下的面积分布有一定的规律。
正态曲线下的面积规律
正态分布(Normal distribution)
法国概率论学者狄莫弗 德国数学家Gauss 最早用于物理学、天文学 Gaussian distribution
1
2
正态分布的背景－一个街头赌博游戏
为什么如此摆放奖品？ 平时，我们很少有人会去关心小球下 落位置的规律性，人们可能不相信它是 有规律的。 高尔顿钉板试验
6
合 计
身高的分布
7
正态分布的概率密度函数
如果随机变量X的概率密度函数
f (X)
1
2
பைடு நூலகம்
e
( X )2 2 2
(-∞＜ X ＜+∞)
则称 X 服从正态分布 , 记作 X ～ N(,2), 其中， 为分布的均数， 为分布的标准差。
正态分布图示
f(x)
.4
.3
.2
.1
-3
-2 -
+ +2 +3
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
正态曲线下的面积规律
1-S(- , +)=0.3174 1-S(-2 , +2)=0.0456 1-S(-3 , +3)=0.0026
-3
-2 -
+ +2 +3
-4
-3
-2