正态分布及抽样误差

-1
0
1
2
3
4
正态曲线下的面积规律
S(-, -3)=0.0013
S(-, -2)=0.0228
S(-3, -2)=0.0215
S(-2, -1)=0.1359
S(-, -1)=0.1587
S(-, -0)=0.5
S(-1,
)=0.3413
-3
-2 -
正态曲线下的面积规律
正态曲线下面积总和为1； 正态曲线关于均数对称；对称的区域内面积相等； 对任意正态曲线，按标准差为单位，对应的面积相等； -1.64～ +1.64内面积为90%； -1.96～ +1.96内面积为95%； -2.58～ +2.58内面积为99%。 小于-3的面积为 0.13%; 小于-2的面积为 2.28%; 小于- 的面积为15.87%。
0
x
方差相等、均数不等的正态分布图示
3
1
2
均数相等、方差不等的正态分布图示
2 1
3
正态分布的特征
正态分布有两个参数(parameter)，即位置参 数(均数)和变异度参数(标准差)。 高峰在均数处； 均数两侧完全对称。 正态曲线下的面积分布有一定的规律。
正态曲线下的面积规律
-3
-2 -

+ +2 +3
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
正态曲线下的面积规律
1-S(- , +)=0.3174 1-S(-2 , +2)=0.0456 1-S(-3 , +3)=0.0026
-3
-2 -

+ +2 +3
-4
-3
-2
3
正态分布的背景－高尔顿钉板试验
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 6 7 8
x
这条曲线就是我们将要介绍的正态分布曲线。
4
频 率
0.40
0.30 0.20
0.10
0
124 132 140 148 156 164
图
某市120名12岁男童身高(cm)的频数分布
5
极差=160.9-125.9=35 分10组，组距=极差/10=35/10=3.5，组距取 4 下界 124 ，上界164
X轴与正态曲线所夹面积恒等于1 。 对称区域面积相等。
S(-, X)
-
S( +X,)＝S(-, -X)
X

正态曲线下的面积规律
对称区域面积相等。
S(-x1, -x2)
S(x1,x2)=S(-x2,-x1)
-x1 -x2

x2 x1
正态曲线下的面积规律
S(-, )=0.5 S(-, -1)=0.1587 S(-, -2)=0.0228 S(-, -3)=0.0013 S(-, +1)=0.8413 S(-, +2)=0.9772 S(-, +3)=0.9987 S(-, )=1

+ +2 +3
-4
-3
-2
-1
0
1
2
Biblioteka Baidu
3
4
正态曲线下的面积规律
95%
2.5%
2.5%
-1.96

+1.96
正态曲线下的面积规律
90%
5%
5%
-1.64

+1.64
正态曲线下的面积规律
99%
0.5%
0.5%
-2.58

+2.58
思考
S(-1.96, +1.64)=?
6
合 计
身高的分布
7
正态分布的概率密度函数
如果随机变量X的概率密度函数
f (X)
1
2
e

( X )2 2 2
(-∞＜ X ＜+∞)
则称 X 服从正态分布 , 记作 X ～ N(,2), 其中， 为分布的均数， 为分布的标准差。
正态分布图示
f(x)
.4
.3
.2
.1
-1.9
-1.6 -1.0 -0.5 0
0.0287 0.0274 0.0262 0.0250 0.0239
0.0548 0.0526 0.0505 0.0485 0.0465 0.1587 0.1539 0.1492 0.1446 0.1401 0.3085 0.3015 0.2946 0.2877 0.2810 0.5000 0.4920 0.4840 0.4761 0.4681 u 0
正态分布的应用
估计频数分布 质量控制 确定临床参考值范围
估计频数分布
某项目研究婴儿的出生体重服从正态分布，其 均数为3150g，标准差为350g。若以2500g作为 低体重儿，试估计低体重儿的比例。
组 段
124～ 128～ 132～ 136～ 140～ 144～ 148～ 152～ 156～ 160～164
频 数
1 2 10 22 37 26 15 4 2 1 120
频率
0.0083 0.0167 0.0833 0.1834 0.3083 0.2167 0.1250 0.0333 0.0167 0.0083 1.0000
u
X

~ N (0,1)
则u服从标准正态分布。 u称为标准正态离差(standard normal deviate)
标准正态分布曲线下面积(u)
u
-3.0 -2.5 -2.0 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.0013 0.0013 0.0012 0.0011 0.0010 0.0062 0.0059 0.0055 0.0052 0.0049 0.0228 0.0217 0.0207 0.0197 0.0188
正态分布(Normal distribution)
法国概率论学者狄莫弗 德国数学家Gauss 最早用于物理学、天文学 Gaussian distribution
1
2
正态分布的背景－一个街头赌博游戏
为什么如此摆放奖品？ 平时，我们很少有人会去关心小球下 落位置的规律性，人们可能不相信它是 有规律的。 高尔顿钉板试验
标准正态分布
标准正态分布(standard normal distribution)是均数为0， 标准差为1的正态分布。 记为N(0,1)。 标准正态分布是一条曲线。 概率密度函数：
(X )
1 2
e
u2 2
(-∞＜ u ＜+∞)
正态分布转换为标准正态分布
若 X～N(,2)，作变换：