矩阵代数概述

矩阵代数概述

一、基本定义

定义1：矩阵：

一个矩阵就是一个矩阵数组，更准确地讲，一个m*n 维矩阵就有m 行和n 列。正整数m 被称为行维数，n 被称为列维数。

11121212221

2n n ij m m mn a a a a a a A a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤==⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦

定义2：方阵

方阵具有相同的行数和列数。

一个方阵的维数就是其行数和列数

定义3：向量

（1）一个1*m 的矩阵被称为一个（m 维）行向量，并可记为：

[]12,,...,m x x x x ≡

（2）一个n*1的矩阵被称为一个（n 维）列向量，并可记为：

12n y y y y ⎡⎤⎢⎥

⎢⎥≡⎢⎥⎢⎥⎣⎦

定义4：对角矩阵

当一个方阵A 的非对角元素都为零时，它就是一个对角矩阵。我们总能将一个对角矩阵写成：

1122000000ij mn a a A a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤==⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦

定义5：单位矩阵和零矩阵

（1）用I （或为了强调维数而用I n ）表示的n*n 单位矩阵就是对角位置都是1，而其它位置都是0的对角阵；

10002000n I I n ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=≡⎢⎥⎢⎥⎣⎦

（2）一个用0表示的m*n 零矩阵，就是所有元素都为零的m*n 矩阵。它并不一定是方阵。

二、矩阵运算

1. 矩阵加法

两个都是m*n 维的矩阵A 和B 可通过对应元素相加而相加：

A+B=[a ij ]+[b ij ]。更准确地，有：

11111212112121

22222211

22n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b A B a b a b a b +++⎡⎤⎢⎥+++⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦

数值例子：

说明：不同维数的矩阵不能相加

2. 数乘

给定任意一个实数k （常被称为一个数量），数乘被定义为kA=[ka ij ]

数值例子：

3. 矩阵乘法

为了使矩阵A 乘以矩阵B ，得到AB ，A 的列维数和B 的行维数必须相同。因此，令A 为一个m*n 矩阵，而B 为一个n*p 矩阵，于是，矩阵乘法被定义为：

1n ik kj k AB a b =⎡⎤=⎢⎥⎣⎦

∑ 换句话说，新矩阵AB 的第（i,j ）个元素，等于A 中第i 行的每个元素与B 中第j 列对应元素的乘积之和。如下简图可以使这个过程更一目了然：

11221...n ik kj i j i j in nj k a b a b a b a b ==+++∑

数值例子：略

我们可以将一个矩阵与一个向量相乘。如果A 是一个n*m 矩阵，而y 是一个m*1向量，那么Ay 就是一个n*1的向量；如果x 是一个1*n 的向量，那么xA 就是一个1*m 的向量。

矩阵加法、数乘和矩阵乘法可以用各种方式组合，而且这些运算还满足几个熟悉的基本数值运算规则。在如下性质表中，A ，B 和C 都具有运算所需要的适当的维数，而α和β则是

实数。这些性质中的大多数都很容易从定义得到说明。

矩阵乘法的性质：

(1)( α+β)A= αA+βA;

(2) α(A+B)= αA +αB;

(3) (αβ)A=α(βA);

(4) α(AB)= (αA)B

(5)A+B=B+A;

(6)(A+B)+C=A+(B+C);

(7)(AB)C=A(BC);

(8)A(B+C)=AB+AC;

(9)(A+B)C=AC+BC;

(10)IA=AI=A;

(11)A+0=0+A=A;

(12)A-A=0;

(13)A0=0A=0;

(14)即使AB 和BA 都有定义，仍然会AB ≠BA

对于最后一个性质：如果A 是一个n*m 矩阵，而B 是一个m*p 矩阵，那么AB 就有定义，而BA 只有在n=p 时，才有定义；如果A 是一个m*n 矩阵，而B 是一个n*m 矩阵，那么AB 和BA 都有定义，但除非A 和B 都是方阵，否则它们具有不同的维数。即便A 和B 都是方阵，除非在特殊情况下，否则AB ≠BA 仍成立。

定义6：转置

令A=[a ij ]表示一个m*n 矩阵，用A'（读作A 撇）表示A 的转置，是将A 的行和列互换后得到的n*m 矩阵。我们可以把它写成A'=[a ji ]。

数值例子：略

转置的性质：

(1) (A')'=A

(2) ( αA)'= αA'，α为任意数;

(3) (A+B)'=A'+B';

(4) (AB)'=B'A'，A 和B 分别是m*n 和n*p 矩阵;

(5) x'x=∑x i 2，x 是一个n*1向量;

(6) 如果A 是一个各行分别由1*k 的向量a 1,a 2,...,a n 给出的n*k 矩阵，所以可以写成：

12n a a A a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

于是：A'=(a 1' a 2' ... a n ')

定义7：对称矩阵

一个方阵是一个对称矩阵的充分必要条件是：A'=A

如果X 是任何一个n*k 矩阵，那么X'X 总有定义并是一个对称矩阵，通过应用转置的第

一和第四条性质即可看出。

分块矩阵的乘法

令A 表示一个行由1*k 向量a 1,a 2,...,a n 给出的一个n*k 矩阵，令B 表示一个行由1*m 向量b 1,b 2,...,b n 给出的n*m 矩阵：

12n a a A a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ，12n b b B b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 那么：1n

i i

i A B a b =''=∑ 上式中，a'i b i 对每个i ，都是一个k*m 矩阵。因此，A'B 可写成n 个k*m 矩阵之和。作为一个特殊情形，有：

1n

i i i A A a a =''=∑

式中，a'i a i 对所有的i ，都是一个k*k 矩阵。

定义8：迹

一个矩阵的迹是只对方阵定义的一个很简单的运算。

对任何一个n*n 矩阵A ，用tr(A)表示矩阵A 的迹，它是其主对角线元素之和。从数学上看，即：

()1n ii i tr A a ==∑

迹的性质：

(1)tr(In)=n;

(2)tr(A')=tr(A);

(3)tr(A+B)=tr(A)+tr(B);

(4)对任意数量α，都有tr(αA)= αtr(A);

(5)tr(AB)=tr(BA)，A 是m*n 矩阵，而B 是n*m 矩阵

定义9：逆

对方阵而方，逆矩阵是一个很重要的概念

对一个n*n 矩阵A ，如果A -1A=AA -1=I n ，则A -1表示矩阵A 的逆，在这种情形下，A 就是可逆的或非奇异的。否则，它就是不可逆的，或奇异的。

逆的性质：

(1) 如果逆存在，它是唯一的;

(2) 如果α≠0，且A 是可逆的，则(αA)-1=(1/α)A -1;

(3) 如果A 和B 都是n*n 可逆矩阵，则(AB)-1=B -1A -1;