矩阵代数概述
矩阵代数的基本概念与应用
矩阵代数的基本概念与应用矩阵代数是现代数学的一个重要分支，是数学、物理、工程等领域中不可或缺的工具。
在计算机图像、多维数据分析、神经网络及人工智能等领域，矩阵代数的应用越来越广泛。
一、矩阵的定义及运算矩阵是一个由数个数构成的矩形排列，即由$m$行$n$列的数排成一个$m\times n$的矩形，通常用大写字母表示，如$A$，$B$等。
矩阵的加法：设$A=(a_{ij})$,$B=(b_{ij})$是同型矩阵，则$A+B=(a_{ij}+b_{ij})$。
矩阵的数乘：设$k$是一个实数，则$kA=(ka_{ij})$。
矩阵的乘法：设$A=(a_{ij})$是$m\times n$矩阵，$B=(b_{ij})$是$n\times p$矩阵，则$AB=C$是$m\times p$矩阵，其中$c_{ij}=\sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj}$。
矩阵的转置：设$A=(a_{ij})$是$m\times n$的矩阵，则$A^T=(a_{ji})$是$n\times m$的矩阵。
二、矩阵的行列式及特征值矩阵的行列式：设$A=(a_{ij})$是$n$阶矩阵，则$A$的行列式$\det(A)=\sum_{\sigma\in S_n}(-1)^{\sigma}a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\cdots a_{n\sigma(n)}$，其中$S_n$表示$n$个元素的置换群。
矩阵的特征值和特征向量：设$A=(a_{ij})$是$n$阶矩阵，若存在一个非零向量$x=(x_1,x_2,\cdots,x_n)^T$和一个标量$\lambda$，使得$Ax=\lambda x$，则称$\lambda$是$A$的一个特征值，$x$是对应于$\lambda$的特征向量。
三、矩阵的求逆矩阵的逆：设$A$是$n$阶方阵，若存在一个$n$阶方阵$B$，使得$AB=BA=I$，则称$B$是$A$的逆矩阵，$A$可逆。
第一章 矩阵代数
c11 c12
Adj
A
c21
c22
cn1 cn2
c1n c11 c21
c2n
c12
c22
cnn c1n c2n
cn1
cn2
cnn
例
1 2 3
A 1 3
5
1 5 12
3 5 1 5 1 3
5 12
B
1 0 0 3 1 4
（ii）假设我们将第二行乘上-3而得到：
有：
1 2 3
C
0
12
6
3 1 4
1 0 01 2 3
0
3
0
0
4
2
C
0 0 1 3 1 4
（iii）假设我们在第二行上加上7倍的第三行而得到：
1 2 3
D
21
11
30
3 1 4
有
1 0 01 2 3
32
A13
1
4
12 2 10
c13 (1)13 A13 1 10 10
26 A32 3 3 6 18 12
c32 (1)32 A32 (1) (12) 12
• 定理 令 A 为 n n矩阵，有
n
A aijcij 对于每个i, (由i行展开) j 1
n
aijcij 对于每个j, (由j列展开) i 1
例 找出下列矩阵的逆：
1 2 1
A
0
1
1
2 1 4
首先应该保证 A 0 ，下面我们使用标记A B ，表明B
是通过对A 施以基本行（列）运算而得到的。
线性代数中的矩阵：概念与基本性质
线性代数中的矩阵：概念与基本性质矩阵是线性代数中最基本、也是最常用的概念之一。
它是由若干个按照规定大小和次序排列的数构成的矩形阵列，常用大写字母表示。
下面将介绍矩阵的概念与基本性质。
一、矩阵的定义设有m行n列的数a_ij排成一个m×n的矩形阵列，则称这个m×n的阵列为一个矩阵，记作A=(a_ij)，其中1≤i≤m，1≤j≤n。
在矩阵A中，a_ij称为矩阵A的第i行第j列的元素，第i行的元素排列在一起，构成了矩阵A的第i行，第j列的元素排列在一起，构成了矩阵A的第j列。
二、矩阵的基本性质1、矩阵的加法设矩阵A=(a_ij)与B=(b_ij)的大小及相对应的元素都相同，则A 与B的和C=A+B的元素c_ij=a_ij+b_ij，1≤i≤m，1≤j≤n。
矩阵加法具有结合律、交换律和分配律。
2、矩阵的数乘设k是一个数，矩阵A=(a_ij)，则kA的元素为(k·a_ij)，1≤i≤m，1≤j≤n。
矩阵数乘同样具有分配律和结合律。
3、矩阵的乘法设矩阵A=(a_ij)的大小为m×p，矩阵B=(b_ij)的大小为p×n，矩阵C=(c_ij)的大小为m×n，则称C=AB，如果c_ij=a_i1b_1j+a_i2b_2j+…+a_ipb_pj，1≤i≤m，1≤j≤n。
在矩阵C中，第i行第j列的元素c_ij是矩阵A的第i行的元素和矩阵B的第j列的元素的乘积和。
矩阵乘法不具有交换律。
4、矩阵的转置设矩阵A=(a_ij)的大小为m×n，则称A的转置矩阵为A^T=(b_ij)，大小为n×m，其中b_ij=a_ji。
矩阵的转置具有分配律和结合律。
5、矩阵的逆设方阵A的大小为n×n，如果存在一个n×n的方阵B，使得AB=BA=E，其中E是n阶单位矩阵，那么称矩阵A是可逆的。
矩阵B称为矩阵A的逆矩阵，记作A^(-1)。
如果矩阵A是可逆的，则其逆矩阵唯一。
大学线性代数2矩阵代数知识点总结
2矩阵代数1. 设A，B为可以相乘的矩阵，AB的每一列都是A的各列的线性组合，以B的对应列的元素为权。
同样，AB的每一行都是B的各行的线性组合，以A的对应行的元素为权。
例如，AB的第m列是以B的第m列为权的A的各列的线性组合；AB的第n行是以A的第n行为权的B的各行的线性组合。
2. 矩阵乘法恒等式：I m A = A = AI n3. 逆矩阵的概念仅对方阵有意义。
4. 若A可逆，则对每一R n中的b，方程Ax=b有唯一解x=A-1b5. 初等矩阵：将单位矩阵进行一次初等行变换所得的矩阵。
6. 对mxn矩阵A进行初等行变换所得的矩阵，等于对单位矩阵进行相同行变换所得初等矩阵与A相乘的结果。
设对单位矩阵I m进行初等行变换所得初等矩阵为E，对A进行相同初等行变换的结果可写为EA。
因为初等行变换可逆，所以必有另一行变换将E变回I。
设该“另一行变换”对应初等矩阵为F，结合上一行，F对E的作用可写为FE=I。
因此，每个初等矩阵均可逆。
7. 当n阶方阵A行等价于I n时，A可逆。
此时，将A变为I n的一系列初等行变换同时将I n变为A-1。
8. 求A-1：将增广矩阵[A I] 进行行化简，若A可逆，则[A I] ~ [I A-1]将 [A I] 行变换为[I A-1]的过程可看作解n个方程组：Ax=e1, Ax=e2, ... Ax=e n这n个方程组的“增广列”都放在A的右侧，就构成矩阵[A e1 e2 ... e n] = [A I]如果我们只需要A-1的某一列或某几列，例如需要A-1的j列，只需解方程组Ax=e j，而不需要求出整个A-1。
[注：根据此条可以导出利用克拉默法则求逆矩阵的公式]9. 可逆矩阵定理对于n阶方阵，以下命题等价：a) A可逆b) A与n阶单位矩阵等价c) A有n个主元位置d) 方程Ax=0仅有平凡解e) A各列线性无关f) 线性变换x|->Ax是一对一的g) 对R n中任意b，Ax=b至少有一个解（有且仅有唯一解？）h) A各列生成R ni) 线性变换x|->Ax将R n映上到R nj) 存在nxn阶矩阵B，使AB=BA=Ik) A T可逆l) A的列向量构成R n的一个基m) ColA=R nn) dim(Col(A))=no) rank(A)=np) Nul(A)=0q) dim(Nul(A))=0r) det(A)≠0 <=> A可逆s) A可逆当且仅当0不是A的特征值t) A可逆当且仅当A的行列式不等于零再次强调，以上命题仅对n阶方阵等价。
矩阵代数ppt课件
对于一个给定的矩阵A，如果存在一 个非零向量x，使得Ax = λx成立，则 称x为矩阵A的对应于特征值λ的特征 向量。
特征值与特征向量的计算
定义法
根据特征值和特征向量的定义，通过解方程组Ax = λx来计算特征值和特征向量。
幂法
通过计算矩阵A的幂来逼近特征值和特征向量，即通过计算A^n x来逼近Ax = λx的解。
04
矩阵分解
矩阵的三角分解
总结词
三角分解是一种将一个矩阵分解为一个 下三角矩阵和一个上三角矩阵之和的方 法。
VS
详细描述
三角分解也称为LU分解，它将一个矩阵A 分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩 阵U的乘积，即A = LU。这种分解对于解 决线性方程组和计算行列式值等数学问题 非常有用。
矩阵的QR分解
谱分解法
将矩阵A进行谱分解，即A = Σλi Pi，其中Σ为对角矩阵，λi为特征值，Pi为特征向量所构 成的特征矩阵。通过谱分解可以方便地计算出矩阵A的特征值和特征向量。
特征值与特征向量的性质
特征值的唯一性
一个矩阵的特征值是唯一的，但对应于同一特征值的特征向量不一定唯一。
特征向量的正交性
对应于不同特征值的特征向量是正交的，即如果λ1≠λ2，那么对应于λ1和λ2的特征向量x1和x2是正交 的。
总结词
矩阵的加法、数乘、乘法运算规则
详细描述
矩阵的加法运算规则是对应行和列的元素相加，数乘运算规则是对应元素乘以一 个常数，乘法运算规则是按照一定的规则对应元素相乘。
矩阵的逆与行列式
总结词
矩阵的逆、行列式的定义与性质
详细描述
矩阵的逆是一个特殊的矩阵，与原矩阵相乘为单位矩阵，行列式反映了矩阵的某些重要性质。
线性代数之矩阵总汇
线性代数之矩阵总汇⼀. 矩阵介绍1. 矩阵的定义由m × n个数a ij (i=1，2，...，m；j=1，2，...，m)排成的m⾏n列的数表成为m⾏列矩阵，简称m × n矩阵，为了表⽰是⼀个整体通常写法总是加⼀个括弧，并使⽤⼤写⿊体字符表⽰它，记作：A =a 11a 12⋯a 1n a 21a 22⋯a 2n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅a m 1a m 2⋯a mn这m × n个数称为矩阵A的元素，简称为元，数a y 位于矩阵A的第i⾏第j列，简称为矩阵A的(i，j)元。
⽽元素是实数的矩阵成为实矩阵，元素是复数的矩阵成为复矩阵2. 矩阵的分类n 阶⽅阵(n 阶矩阵)⾏数和列数都等于n 的矩阵称为n 阶矩阵或n 阶⽅阵，n 阶矩阵A 记作A n ⾏矩阵(⾏向量)只有⼀⾏的矩阵，称为⾏矩阵，⼜称⾏向量，⾏矩阵记作：A =(a 1,a 2,⋯,a n )列矩阵(列向量)只有⼀列的矩阵，称为列矩阵，⼜称列向量，列矩阵记作:B =b 1b 2⋅⋅⋅b n 同型矩阵%两个矩阵的⾏数和列数都相等，就称它们是同型矩阵零矩阵元素全部都为零的矩阵称为零矩阵，记作O,注意不同型的零矩阵是不同的对⾓矩阵除主对⾓线的元素之外其余位置元素都为0的矩阵叫对⾓矩阵，如：A =10000200003004数量矩阵主对⾓线的元素都相等，其余位置元素都为0的矩阵叫数量矩阵，如：E =20000200002002单位矩阵主对⾓线的元素为1，其余位置的元素为0的矩阵叫做单位矩阵,通常单位矩阵使⽤E 来表⽰，如:E =10000100001001数量矩阵和单位矩阵都是对⾓矩阵的⼀种特例，因此数量矩阵和单位矩阵也叫对⾓矩阵。
单位矩阵⼜是数量矩阵的⼀种特例，所以单位矩阵⼜可以叫做数量矩阵对称矩阵设矩阵A 为n 阶⽅阵，满⾜A T =A ，即a ij =a ji (i ,j =1,2,⋯,n )那么A 成为对称矩阵，简称为对称阵，对称矩阵的特点是它的元素以主对⾓线为对称轴对应相等3. 矩阵的应⽤1. ⽰例⼀：求解多元⼀次⽅程组()()()()()a11x1+a12x2+⋯+a1n x n=b1a21x1+a22x2+⋯+a2n x n=b2⋯⋯⋯a m1x1+a m2x2+⋯+a mn x n=b m 可以提取出如下⼏个矩阵:A=x1x2⋮x nB=a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋮a m1a m2⋯a mnC=b1b2⋮b nD=a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋮a m1a m2⋯a mn其中A称为未知数矩阵，B为系数项矩阵，C为常数项矩阵，D为增⼴矩阵2.实例⼆：航线问题四个城市间的单向航线如图所⽰，若1表⽰冲i市到j市有1条单向航线,0表⽰从i市到j市没有单项航线。
大一线性代数矩阵知识点总结
大一线性代数矩阵知识点总结矩阵是线性代数中的重要概念，它是一种方便表示和处理线性变换的数学工具。
在大一线性代数课程中，我们将学习矩阵的相关知识，本文将对一些重要的矩阵知识点进行总结。
1. 矩阵的定义和表示方式- 矩阵是由m行n列元素排列成的矩形阵列，用大写字母表示，如A、B等。
- 矩阵可以用方括号表示，如A=[a_ij]，其中a_ij代表矩阵A 的第i行第j列的元素。
2. 矩阵的运算- 矩阵的加法：对应元素相加。
- 矩阵的数乘：矩阵中的每个元素乘以相同的数。
- 矩阵的乘法：矩阵A的列数等于矩阵B的行数时，可以进行乘法运算，结果的行数等于A的行数，列数等于B的列数。
3. 矩阵的特殊类型- 零矩阵：所有元素都为0的矩阵，用0表示。
- 方阵：行数等于列数的矩阵。
- 单位矩阵：主对角线元素为1，其它元素为0的方阵，用I 表示。
4. 矩阵的转置- 矩阵的转置就是将矩阵的行与列对调得到的新矩阵，用A^T表示。
5. 矩阵的行列式- 行列式是一个标量，表示一个方阵所围成的平行四边形的有向面积。
- 行列式常用符号为|A|或det(A)，其中A为方阵。
6. 逆矩阵- 对于一个可逆矩阵A，存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I为单位矩阵。
- A的逆矩阵记为A^{-1}。
7. 矩阵的特征值和特征向量- 对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量x和标量λ，使得Ax=λx，其中λ为标量，则称λ为A的特征值，x为对应于特征值λ的特征向量。
8. 矩阵的特征分解- 对于一个可对角化的矩阵A，存在一个对角矩阵D和一个可逆矩阵P，使得A=PDP^{-1}，其中D为对角矩阵，P为特征向量矩阵。
9. 矩阵的秩- 矩阵的秩是指矩阵中非零行的最大个数，用rank(A)表示。
10. 线性方程组与矩阵- 线性方程组可以用矩阵的形式表示，例如AX=B，其中A是系数矩阵，X是未知数矩阵，B是常数矩阵。
以上是大一线性代数矩阵知识点的简单总结。
矩阵在线性代数中起着重要的作用，它不仅可以用于表示线性变换，还可以用于解决线性方程组和求解特征值等问题。
矩阵代数简单介绍
线性代数复习1.1 矩阵的概念给定数域K 上nK 个数ij a ),,,2,1;,,2,1(n j m i ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=把它们按一定次序排成一个n 行K 列的长方形数表⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=nK n n KK a a a a a a a a a A 212222111211 ，称为数域K 上的一个n 行K 列的矩阵，简称为K n ⨯矩阵。
其中ij a 称为矩阵的第i 行、第j 列的元素。
1k ⨯矩阵（只有一行）称为k 维行向量；1⨯n 矩阵（只有一列）称为n 维列向量。
零矩阵、方阵、对角矩阵、单位阵所有元素为零的矩阵称为零矩阵，记为0。
00,0==+A A A 。
如果矩阵的行、列数都是n ，则称A 为n 阶方阵；n 阶方阵A 的元素按次序构成的n 阶行列式，称为矩阵A 的行列式，记为|A|。
在n 阶方阵中，若主对角线两侧的元素全为零，则称之为对角矩阵，记为Λ；若对角矩阵的主对角线元素全为1，则称之为单位阵，记为I ；特别地，I λ称为数量矩阵1.2 矩阵的运算 ●矩阵的加、减运算以及数乘运算当矩阵A 和B 的行数和列数相等时，它们可以进行加、减运算；A ＋B 等于所有对应位置的元素相加、减。
数乘运算就是数k 乘矩阵A 中所有元素得到的矩阵。
AB B A +=+，)()(C B A C B A ++=++，A O A =+，OA A =-+)(，A A )()(kl l k =，AA A l k l k +=+)(，B A B A k k k +=+)(，A A =1，OA =0，A A -=-)1(．●矩阵相乘记sm ij a A ⨯=)(，ns ij b B ⨯=)(，nm ij c C ⨯=)(，且ABC =，那么A 和B 相乘得到的矩阵C 的元素可用公式表示为∑==sk kjikij b ac 1，),,1;,,1(n j m i ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=。
注意，在一般情况下矩阵乘法不满足交换律和消去律，即BAAB ≠；ACAB A =≠且0不能推出CB =。
线性代数中的矩阵理论及其应用
线性代数中的矩阵理论及其应用线性代数是近年来非常热门的学科，它广泛应用于物理和工程等领域，包括机器学习、图像和信号处理、网络分析和优化，数学建模等等。
而矩阵理论是线性代数中的重要分支，是许多应用的基础。
本文将介绍矩阵理论的基本概念和应用，以及其中一些重要的定理和算法。
一、矩阵的基本概念在矩阵理论中，矩阵是指一个由m行n列元素组成的矩形阵列，通常用A=[aij]表示，其中i代表行号，j代表列号，aij代表矩阵A中的第i行第j列的元素。
当m=n时，矩阵A称为方阵，元素aij对应于A的第i个行向量和第j个列向量的内积。
对于矩阵A和B，它们的和C=A+B是一个矩阵，其中C的每个元素都等于对应位置上A和B的元素之和。
同样地，矩阵的差和数乘分别为D=A-B和E=kA，其中D的每个元素都等于对应位置上A和B的元素之差，E的每个元素都等于A的对应元素乘以k。
此外，矩阵的转置AT是一个矩阵，其中AT的第i行第j列的元素等于A的第j行第i列的元素。
二、矩阵的应用矩阵理论的应用非常广泛，以下介绍一些常见的应用。
1.线性方程组的求解线性方程组的求解是矩阵理论的基础应用之一。
对于一个n元线性方程组Ax=b，其中A是一个n行n列的矩阵，x和b都是n 维列向量，x的每个元素都代表方程组的一个未知数，b的每个元素都代表方程组的一个常数项。
则方程组的解为x=A-1b，其中A-1是矩阵A的逆矩阵。
若A没有逆矩阵，则方程组无解或有无穷解。
2.特征值和特征向量特征值和特征向量也是矩阵理论中的重要概念之一。
对于一个n阶方阵A，若存在一个非零向量x，以及一个标量λ，使得Ax=λx，则λ是矩阵A的一个特征值，x是对应的特征向量。
特征值和特征向量可以用来描述矩阵的几何特性和运动轨迹，以及在状态空间中的扭曲和伸缩等现象。
3.奇异值分解奇异值分解（SVD）是矩阵理论中的另一个重要概念，可以用来分析矩阵的结构和性质。
对于一个m行n列的矩阵A，它的奇异值分解为A=UΣVT，其中U是一个m行m列的正交矩阵，VT是一个n行n列的正交矩阵，Σ是一个m行n列的矩形对角矩阵。
矩阵代数知识点总结
矩阵代数知识点总结一、矩阵的基本概念1.1 矩阵的定义矩阵是一个由数域中的元素排成的矩形阵列。
通常记作一个大写字母加括号，如A=(a_ij)，其中a_ij表示矩阵的第i行第j列的元素。
1.2 矩阵的元素对于一个m×n的矩阵A=(a_ij)，其中1≤i≤m，1≤j≤n，a_ij称为矩阵A的元素。
1.3 行向量和列向量行向量指的是只有一行的矩阵，列向量指的是只有一列的矩阵。
1.4 矩阵的维数矩阵A的维数通常表示为m×n，其中m表示矩阵行数，n表示矩阵列数。
1.5 零矩阵所有元素均为零的矩阵称为零矩阵，通常用0表示。
1.6 方阵如果一个矩阵的行和列相等，则称该矩阵为方阵。
1.7 对角矩阵具有形如a_ii=0(i≠j)的矩阵称为对角矩阵。
1.8 单位矩阵对角矩阵的对角元素都为1的矩阵称为单位矩阵，通常用I表示。
1.9 转置矩阵若A=(a_ij)是一个m×n的矩阵，其转置矩阵记作A^T=(b_ij)，其中b_ij=a_ji，即A的第i行第j列的元素等于A^T的第j行第i列的元素。
1.10 矩阵的运算矩阵的运算包括矩阵的加法、减法、数乘以及矩阵的乘法。
1.11 矩阵的加法对于两个维数相同的矩阵A=(a_ij)和B=(b_ij)，它们的和记作C=A+B，其中c_ij=a_ij+b_ij。
1.12 矩阵的减法同样是维数相同的矩阵A和B，它们的差记作C=A-B，其中c_ij=a_ij-b_ij。
1.13 矩阵的数乘对于一个维数为m×n的矩阵A=(a_ij)，以及一个实数k，它们的数乘记作B=kA，即b_ij=ka_ij。
1.14 矩阵的乘法对于一个维数为m×n的矩阵A=(a_ij)和一个维数为n×p的矩阵B=(b_ij)，它们的乘积记作C=AB，其中c_ij=∑(a_ik * b_kj)，即C的第i行第j列的元素等于A的第i行与B的第j列对应元素的乘积之和。
线性代数中矩阵的基本概念与运算
线性代数中矩阵的基本概念与运算线性代数是数学中的一个分支，其中矩阵的概念和运算是非常基本的。
本文将简单介绍矩阵的基本概念和运算。
矩阵的基本概念矩阵是一个方形或长方形的数表，其中的数被排列在行和列中。
一个矩阵通常用大写字母来表示，如下所示：$$A =\begin{bmatrix}a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \\a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{m,1} & a_{m,2} & \cdots & a_{m,n}\end{bmatrix}$$其中 $m$ 表示矩阵的行数，$n$ 表示矩阵的列数，$a_{i,j}$ 表示第 $i$ 行第 $j$ 列的元素。
对于一个 $m \times n$ 的矩阵，我们可以简单地把它看做是$n$ 个列向量的组合，每个列向量是一个 $m$ 维的向量。
也就是说，$A$ 可以被写成如下形式：$$A = [a^{(1)}, a^{(2)}, \cdots, a^{(n)}]$$其中 $a^{(i)}$ 表示矩阵 $A$ 的第 $i$ 列向量。
矩阵的加法和减法两个同规格的矩阵可以进行加法和减法运算。
对于两个 $m\times n$ 的矩阵 $A$ 和 $B$，它们的和可以表示为：$$C = A + B =\begin{bmatrix}a_{1,1}+b_{1,1} & a_{1,2}+b_{1,2} & \cdots & a_{1,n}+b_{1,n} \\a_{2,1}+b_{2,1} & a_{2,2}+b_{2,2} & \cdots & a_{2,n}+b_{2,n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{m,1}+b_{m,1} & a_{m,2}+b_{m,2} & \cdots &a_{m,n}+b_{m,n}\end{bmatrix}$$同理，它们的差可以表示为：$$D = A - B =\begin{bmatrix}a_{1,1}-b_{1,1} & a_{1,2}-b_{1,2} & \cdots & a_{1,n}-b_{1,n} \\a_{2,1}-b_{2,1} & a_{2,2}-b_{2,2} & \cdots & a_{2,n}-b_{2,n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{m,1}-b_{m,1} & a_{m,2}-b_{m,2} & \cdots & a_{m,n}-b_{m,n}\end{bmatrix}$$需要注意的是，在进行矩阵加法和减法运算时，这些矩阵必须是同规格的，也就是说它们的行数和列数都必须相等。
高等代数 -矩阵
高等代数-矩阵矩阵（matrix）是一种代数对象，它是由元素排列成矩形形式的矩阵，通常用方括号括起来。
例如，一个3×3的矩阵A可以表示为：A = [a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33]其中，a11, a12, ..., a33是矩阵A的元素。
一个m×n的矩阵可以表示成一个m 行n列的矩形矩阵，其中第i行第j列的元素记作aij。
这样，一个矩阵可以用一个二维数组表示。
矩阵加法运算：设A和B是两个m×n的矩阵，它们的和A+B定义为一个m×n的矩阵C，其中C中每个元素都等于对应的A和B矩阵中相应元素之和，即Cij = Aij + Bij矩阵数乘运算：设A是一个m×n的矩阵，k是一个实数或复数，则kA定义为一个m×n的矩阵B，其中B中每个元素都等于对应的A中相应元素乘以k，即Bij = kAij矩阵乘法运算：设A是一个m×n的矩阵，B是一个n×p的矩阵，则它们的乘积AB定义为一个m×p的矩阵C，其中C中第i行第j列的元素为Cij = ∑AikBkj (k=1,2,...,n)其中，∑表示对k从1到n的求和。
矩阵的逆：设A是一个n×n的方阵，若存在另一个n×n的方阵B，使得AB=BA=I，其中I是n×n的单位矩阵，则称B是A的逆矩阵，记作B=A-1。
只有可逆矩阵才有逆矩阵，而且逆矩阵是唯一的。
矩阵的转置：设A是一个m×n的矩阵，它的转置AT是一个n×m的矩阵，其中AT中第i 行第j列的元素等于A中第j行第i列的元素，即ATij = Aji矩阵的秩：一个矩阵的秩指的是它的行向量组或列向量组张成的线性空间的维数。
即一个矩阵的秩指的是它的非零行向量或非零列向量的极大线性无关组数。
矩阵代数知识简介
矩阵代数知识简介矩阵：由mn个元素排列起来的长方形阵列称为矩阵。
记作a ij是第i行和第j列的元素，其中i = 1, 2, …, m；j = 1, 2, …,n。
A表示的是mn阶矩阵。
它包括m行n列，共有mn个元素。
方阵：若矩阵的行数等于其列数，即m = n, 则称此矩阵为方阵。
当A为方阵时，i = j的元素，即a11, a22, …, a nn，称作主对角线元素。
当m = n = 1时，A减化为一个标量。
行向量：仅有一行的矩阵称作行向量。
列向量：仅有一列的矩阵称作列向量。
单位矩阵：一个方阵，若其主对角线元素都为1，其余元素都为零，则称此矩阵为单位矩阵，记为I。
对角矩阵：若n阶方阵中的元素满足条件当i j时，a ij = 0，（i, j = 1, 2, …, n），则称为对角矩阵。
由此可知，单位矩阵是对角矩阵的一个特例。
零矩阵：元素全为零的矩阵称作零矩阵，记为0。
对称矩阵：若n阶方阵A中的元素满足条件a ij = a ji，(i j，i, j = 1, 2, …, n), 则称A为n阶对称矩阵。
矩阵相等：如果两个矩阵A = (a ij)mn和B = (b ij)mn同阶且所有对应元素相等，即a ij = b ij，(i = 1, 2, …, m；j = 1, 2, …, n), 则称矩阵A与B相等，记为A = B。
矩阵加法与减法：两个同阶矩阵A = (a ij)mn和B = (b ij)mn对应元素相加（减）得到的矩阵称作A与B的和（差）。
记为A + B（或A - B）。
矩阵加法的性质：若A、B、C、0都是mn阶矩阵，则(1) A + B = B + A （交换律）(2) A +（B + C）=（A + B）+ C （结合律）(3) A - A = 0 或A + 0 = A标量与矩阵相乘：标量k与矩阵A相乘是k与A的所有元素相乘，记为k A，即k A = k (a ij)mn = (ka ij)mn标量与矩阵相乘的性质（k, l是自然数）：(1) k A = A k(2) k (A + B) = k A + k B(3) k l A = k (l A)(4) (-1) A = - A矩阵的乘法：设矩阵A = (a ij)mr，B = (b ij)rn，则规定A和B的乘积是A B = C = (c ij)mn，其中即两个矩阵的乘法要求左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数，积的元素是由左边矩阵的行元素乘以右边矩阵的相应列元素，并将所有积相加得到。
线性代数 矩阵
线性代数矩阵
矩阵是线性代数中最基础和最重要的概念，它由零个或更多的数（称为元素）组成，这些数组成几行几列的矩形。
矩阵可以用数学符号表示，以方括号中的符号表示，例如：A是1x3的矩阵：A =
[1,2,3]。
矩阵在多种不同的计算中都很有利用价值，其中一些如下：
1. 加法：通过矩阵加法，可以求出两个矩阵之和，例如：A + B = [a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3]，其中a1，a2，a3代表A矩阵的元素，b1，b2，b3代表B矩阵的元素。
2. 乘法：矩阵乘法是一种非常常用的计算，给定A，B两个M×N 矩阵，可以求出两个矩阵的积AB=C，其中C的元素可以通过把A的行元素乘以B的列元素求和得出，例如：A，B是2x2的矩阵，A = [a1, a2, a3, a4]，B = [b1, b2, b3, b4]，那么A×B将得到：[a1×b1 + a2×b2, a1×b3 + a2×b4, a3×b1 + a4×b2, a3×b3 + a4×b4]。
3. 逆矩阵：一个方阵（n×n矩阵）的逆矩阵，被用来代表多个不同的量，将矩阵的每个元素变为它的倒数，并按此方式重新排列就可以得到逆矩阵（若可能），例如：A是2x2的矩阵：A= [a,b,c,d]，那么A的逆矩阵B= [d/ad-bc, -b/ad-bc, -c/ad-bc, a/ad-bc]。
矩阵是线性代数中一个新生的概念，但是它已经在各种领域中被大量使用了，也常常被用作数学模型，为各种问题提供解决方案。
线性代数 矩阵的概念
矩阵矩阵的概念⏹矩阵的概念⏹方阵的行列式矩阵的概念111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a 简记为.ij n m ij n m a a A A 元的矩阵n m A ,定义由m ×n 个数排列成m 行n 列的数表叫做m n 矩阵.这记作个数，称为A 的元素, 简称为元.m ×n 矩阵的概念矩阵的概念注意：矩阵和行列式是两个完全不同的概念, 行列式表示一个数, 而矩阵一个数表.●元素是实数的矩阵称为实矩阵. ●元素是复数的矩阵称为复矩阵.矩阵的概念例如654254012是一个实矩阵,42242549944427321i 是一个复矩阵,334221 是一个矩阵,41 4是一个矩阵.11矩阵的概念●如果A, B 都是m ×n 矩阵, 就说A 与B 是同型的.●如果A m ×n 矩阵的所有的元都是零的矩阵称为零矩阵,记为0mxn .例如00000000是一个零矩阵.42矩阵的概念在m n 矩阵A =(a ij )中, 当m =n 时,称为n 阶方阵, 简记为(a ij )n .111212122212,n n n n nn a a a a a a A a a a在n 阶方阵A=(a ij )n 中, 连接元素a 11,a 22,…,a nn 的直线称为方阵A 的主对角线, 这里a 11,a 22,…,a nn 称为主对角元素.矩阵的概念132609422是一个3阶方阵.例如矩阵的概念●只有一行的矩阵 ,,,,21n a a a A 称为行矩阵(或行向量).,21n a a a B 称为列矩阵(或列向量).●只有一列的矩阵●介绍几种特殊形状的矩阵矩阵的概念（3）形如O O 不全为0若全为1若全为k ●称这样的矩阵为对角矩阵.●称这样的矩阵为n 阶单位矩阵,记为: .nE ●称这样的矩阵为数量矩阵,k 为数字.12000000n 的方阵,21001E 3100010001E 100010001n E矩阵的概念 nn n n a a a a a a ...00...0 (22211211)nn n n a a a a a a 21222111000为上三角形矩阵.为下三角形矩阵.形如形如O O 上、下三角形矩阵矩阵的概念定义设n 阶方阵:则称与此n 阶方阵A 相对应的n 阶行列式：为方阵A 的行列式,记为A (或det A ). nn n n a a a A :222211111212......::...n n a a a a a a 方阵的行列式111212122212......:::...n n n n nn a a a a a a a a a。
代数-矩阵
矩阵的概念矩阵就是一个用圆括号或方括号括起来的数表．与行列式不同，矩阵的行数和列数不一定相等．行数和列数相等的矩阵称为方阵． A B =：矩阵A 和矩阵B 必须具有相同的行数和相同的列数，且对应元素均相等．如111000 0⎛⎫⎛⎫≠ ⎪ ⎪ 1⎝⎭⎝⎭，而行列式相等只是意味着两个值相等． 只有两个矩阵具有相同的行数和列数时，才能进行矩阵的加法运算．矩阵的数乘kA 表示对矩阵A 中的每一个元素都乘以k ．注意：是每一个元素，而不是某一行或某一列．矩阵的乘法A B 必须要求A 的列数等于B 的行数．矩阵的幂kA 要求矩阵A 必须是方阵．矩阵的乘法一般不满足交换律，对于某些矩阵，即使A B 与B A 都有意义，它们仍不一定相等，即A B B A ≠．例如：0A 0 0⎛⎫=⎪ 1⎝⎭，0B 0 1⎛⎫= ⎪ 0⎝⎭，00A B B A 0 00 1⎛⎫⎛⎫=≠= ⎪ ⎪ 0 0⎝⎭⎝⎭．如()A =1 0 4，B 1⎛⎫⎪=1 ⎪ ⎪0 ⎝⎭，A B 与B A 都有意义，但A B 为11⨯矩阵，而B A 为33⨯矩阵，显然不相等．一般的，A B B A ≠，()k k k A B A B ≠，222()2A B A A B B +≠++，22()()A B A B A B +-≠-．但并不等于说对任意的两个矩阵A 与B ，必有A B B A ≠．例如，若20,02a b A B cd ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，就有22222ab A B B A B cd ⎛⎫===⎪⎝⎭．当A B B A =时，称A B 可交换(或A 与B 可交换)，这时上面四个式子都成为等式．但对于n 阶矩阵,A B ，一般来说A B B A ≠，但总有||||||||A B A B B A == （行列式是数，可以交换）．矩阵的乘法不满足消去律，即0A ≠时，有AB AC =，但B C ≠．只有当A 为非奇异矩阵，即||0A ≠时，若0A B =，则必有0B =；若A B A C=，则必有B C =．由0A B =，不能推出0A =或0B =．等价地说，0A ≠且0B ≠，有可能使0A B =，如上例．当A 为n 阶方阵时，nkA kA =．例1 设4阶矩阵234(,,,)A r r r α=，234(,,,)B r r r β=，其中234,,,,r r r αβ是4维列向量，且||4A =，||1B =，则||A B +=＿ ．解析 本题考查矩阵运算与行列式的性质．由于234(,2,2,2)A B r r r αβ+=+，所以234234234234|||222|8||8(||||)8(41)40A B r r r r r r r r r r r r αβαβαβ+=+ =+ = + =+=小结：很多同学容易把矩阵运算与行列式的性质混淆，注意矩阵运算有()()()A B A B +=+，但行列式运算||||||A B A B +≠+．例 2 设A 是3阶方阵，*A 是A 的伴随矩阵，A 的行列式1||2A =，求行列式1*|(3)2|A A --的值．解析 本题同样考查矩阵运算与行列式的性质． 由于1*1||A A A -=，故*111||2A A AA--==，故1*1111131122816|(3)2||(3)|||||()||23332727A A A AAAAA--------=-=-=-=-=-⨯=-小结：不少考生把||||n kA k A =错误地写成||||kA k A =，把111()kA Ak--=错误地写成11()kA kA--=．7.2 关于关于A 的行列式等于0的问题0A =是考研中常见的一种题型，也是考生比较畏惧的一种题型．当A 为n 阶方阵时，由0A ≠不能推出0A ≠．如11011A ⎛⎫=≠⎪⎝⎭，但有0A =． 下面举两例说明：例1 设A 是n 阶非0矩阵，满足2A A =，且A E ≠，证明行列式0A =．证法一（反证法）：若||0A ≠，那么A 可逆．用1A-左乘2A A =的两端，得121A AA AA E --===与A E ≠矛盾，故||0A =．证法二（用秩）：据已知有()0A A E -=，那么()()r A r A E n +-≤ 因为A E ≠，即0A E -≠，那么秩()1r A E -≥从而秩()r A n <，故0A =．证法三（用0A x =有非零解）：据已知有()0A A E -=，即A E -的列向量是齐次方程组0A x =的解，又因0A E -≠，所以0A x =有非零解，从而0A =．误解一：据已知有()0A A E -=，又A E ≠，即0A E -≠，故0A =，从而0A =．注：由0,0A B B =≠，错误的得到0A =．误解二：据已知有()0A A E -=，故0A A E -=．又A E ≠，即0A E -≠，故0A E -≠，从而0A =．注：由0A ≠，错误的以为0A ≠．例2 设A 为n 阶矩阵，满足TA A E =，0A <，证明0A E +=．证明：因为()()T T T A E A A A A E A A E A A A E +=+=+=+=+ 所以 (1)0A A E -+=，又因0A <，于是10A ->，故必有 0A E +=小结： A 、B 是方阵，由||0A B =，又||0B ≠，得||0A =7.3矩阵的秩矩阵的秩是指矩阵中非零子式的最高阶数．矩阵的秩既是矩阵的行秩也是矩阵的列秩．下面是由矩阵秩的定义得到的一些结论：()r A r A =⇔中有．r 阶子式不为0，任何．．1r +阶子式(若还有)必全．为0（不是说所有的r 阶子式都不为0）；()r A r A <⇔中r 阶子式全．为0； ()r A r A ≥⇔中有．r 阶子式不为0；特别的，()00r A A =⇔=；0()1A r A ≠⇔≥ 关于矩阵的秩易混淆的几条性质：1. 0()m in{,}m n r A m n ⨯≤≤；m in{(),()}(,)()()r A r B r A B r A r B ≤≤+，()()()r A B r A r B ±≤+；若m n n t A B O ⨯⨯=，则()()r A r B n +≤，()()()m n n t r A B r A r B n ⨯⨯≥+-；()()()()}r A B r A r A B r B ≤≤且()m in{(),()}r A B r A r B ⇒≤，2. ()()A O r r A r B OB ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()()()()()AO r A r B r r A r B r C CB ⎛⎫+≤≤++ ⎪⎝⎭43、伴随矩阵伴随矩阵是线代中比较重要的概念，也是一个常考的点．1112121222123n n n n n a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，A 的伴随矩阵1121112222*123n n nnn A A A AA A A A A A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 在求伴随矩阵的时候切记：一是伴随矩阵是由行列式||A 的各个元素的代数余子式构成的，(1)i jij ij A M +=-，要注意符号；二是注意代数余子式在伴随矩阵中的排列顺序．涉及伴随矩阵的计算或证明问题一般可从公式**||A A A A A E ==及伴随矩阵的相关结论着手分析．以下结论可以直接使用：(),()1()1,0() 1.n r A n r A r A n r A n *=⎧⎪==-⎨⎪<-⎩若若若*1*()n kA k A -=， 2**()(2)n A AA n -= , ≥**A A A A A E ==；*1A A A -=；1*n A A-=；**()()T T A A =；*11*1()()A AA A--==例1. 设A 为n 阶非零矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，当*T A A =时，证明0A ≠．证明 由**||A A A A A E ==，及*T A A =，有*||TA A A A A E ==．若0A =，则0TA A =，设A 的行向量为(1,2,...,)i i n α=，则0(1,2,...,)T i i i n αα==，即0i α=，于是0A =，与已知矛盾，故0A ≠．例2. 设矩阵33()ij A a ⨯=满足*TA A =，其中*A 是A 的伴随矩阵，若111213,,a a a 为三个相等的正数，则11a =＿．解析 题设与A 的伴随矩阵有关．由**||A A A A A E ==，及*T A A =，有,,1,2,3ijij aA i j ==，且2||||||||0TA AA E A A A =⇒=⇒=或||1A =，而211111212131311||30A a A a A a A a =++=≠，于是||1A =，且113a =．44、逆矩阵若,A B 为n 阶可逆矩阵，A B +未必可逆．如12,42A B ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭均可逆，而1224A B ⎛⎫+=⎪⎝⎭不可逆． 对于1()A B -+没有运算规则，注意111()A B AB---+≠+．关于矩阵的逆运算与转置运算还有一些性质需要大家注意区别一下： 逆运算： 111()A Aλλ--=，111()A B BA---=；转置运算：()T TA A λλ=， ()TTTA B B A =．例 设100023000-45000-67A ⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪ ⎪ ⎝⎭，E 为4阶单位矩阵，且1()()B E A E A -=+-，则1()E B -+=？解析 对于1()E B -+没有运算法则，通常用单位矩阵恒等变形的技巧化为乘积的形式．1111111111()[()()][()()()()]1121[()()][2()]()23234E B E E A E A E A E A E A E A E A E A E A E A E A ----------+=++-=++++-⎛⎫⎪-⎪ =+++-=+=+= ⎪ - ⎪ - ⎝⎭本题是考生失误较多的一个考题，这里涉及的思路方法应很好体会． 逆矩阵的计算一般有四种方法：（1）伴随矩阵法1*1||A A A -=；（2）通过恒等变形，利用定义进行计算，即找出B ，使A B E =或B A E =； （3）用初等变换求逆矩阵．1A E E A -−−−−→初等行变换（ ）（ ），1E A E A -⎛⎫⎛⎫−−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭初等列变换在用初等变换法求逆矩阵的整个过程中，如果置E 于A 之右A E （ ），则必须只用行初等变换，而不能用列初等变换．如果置E 于A 之下A E ⎛⎫⎪⎝⎭，则必须只用列初等变换，而不能用行初等变换．这点务必注意．（4）分块矩阵法：111AO A O O B OB ---⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 111OA O BB O AO ---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭45、初等变换与初等矩阵初等变换是一个非常重要的概念，它可以简化许多问题，但是考生在应用初等变换上还不是很熟练，有时候根本就不知道初等变换是用来干什么的．首先建议学员一定要弄清楚概念，它具有什么性质．进行行变换就是左乘初等矩阵，列变换就是右乘初等矩阵．初等矩阵均可逆，且其逆是同类型的初等矩阵．例如：1001001010010,100100-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦1100100102000,201001-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦1100100310310,001001-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦即 1111(),()().ijij i i ij ij E E E k E E k E k k---===-，（）例 设122,331A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则1,P A P B P -==其中答案：001100010⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦分析：利用初等矩阵．矩阵A 的一、二两行互换后再二、三两行互换，然后一、二两列互换后再二、三两列互换，即是矩阵B ，即10001001010000110010000101000101010A B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，可见，010100001100001100001010010P ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦．46、矩阵方程对于矩阵方程，经恒等变形之后有三种可能的形式：;;A X B X A B A X C B ===，如果矩阵,A C 是可逆的，则依次有1111;;X A B X B A X A B C ----===，然后经计算就可求出X ．这里一定要注意在乘逆矩阵时是左乘还是右乘．因为矩阵乘法没有交换律，所以在恒等变形时，运算法则一定要正确，注意是用左分配律()A B A C A B C +=+还是右分配律()B C A B A C A +=+．例 已知X XA B =+，其中1111A ⎛⎫=⎪ ⎝⎭，1234B ⎛⎫= ⎪ ⎝⎭，则X =＿．解析 由X X A B =+，得()X E A B -=．因为0110E A -⎛⎫-= ⎪- ⎝⎭可逆，所以有111201120121()3410341043X B E A -- - ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ - ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.注意：在本题中，不要把X X A B =+错误地变形为()E A X B -=，而得到10112()134X E A B - 3 4⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ 0 1 2⎝⎭⎝⎭⎝⎭，这是一个特别要防止的错误．47、线性相关性m 个向量12,,,m ααα 线性相关是指有m 个不全为零的数12,,,m k k k ，使得11220m m k k k ααα+++= 成立，否则，称12,,,m ααα 线性无关．对于向量组12s ,,...,ααα恒有12s 00...00ααα+++=．所以判断向量组12s,,...,ααα是否线性相关，其实就是问除上述情况之外，能否再找到另一组12,,...,s k k k 使得1122...0s s k k k ααα+++=成立．而判断12s ,,...,ααα线性无关就是判断是否对任一组非零常数12,,...,s k k k 均有1122...0s s k k k ααα+++≠．向量组的线性相关（无关）是一个抽象概念，在理解时需仔细体会“有一组”与“任一组”．“有一组”只要求存在，而“任一组”要求全部，强调任意性．许多错误往往发生在此．证明向量线性相关的方法有很多种：n 维向量12s ,,...,ααα线性相关⇔存在不全为0的数12,,...,s k k k ，使得1122...0s s k k k ααα+++=成立；⇔齐次方程组1212(,,...,)0...s s x x x ααα⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭有非零解； ⇔向量组的秩12(,,...,)s r s ααα<；⇔向量组中某个向量i α可以用其余向量12-1,1,,...,,...,i i s ααααα+线性表出．特别的，如果12s ,,...,ααα中有一个为零向量，则该向量组线性相关；但反之不成立． 例设A 是n 阶矩阵，α是n 维列向量，若10m A α-≠，0mA α=，证明向量组α，A α，2A α，21,,m A Aαα- 线性无关证明（用定义、同乘）设211230m m k k A k A k A αααα-++++= （1） 由于0mA α=知10m A α+=，20m Aα+=，用1m A-左乘（1）式两端，并把0mA α=，10m Aα+=，20m Aα+=， 代入（1），有110m k Aα-=因为10m Aα-≠，故1k =0．把10k =代入（1）式，同理可知120m k A α-= 从而20k =．类似可得30k =， ，0m k =，所以α，A α，21,,m A Aαα- 线性无关．分析用定义证明向量的线性无关性是很常用的方法．部分考生在设出211230m m k k A k A k Aαααα-++++= 之后，不知如何往下做，没有想到可用1m A -左乘等式的两端，使问题得到解决．48、线性表出线性表出也是常考的一类题型，考察的形式多结合线性相关、线性无关．应结合它们的定义与线性表出的概念，以及他们之间的联系来解题．要注意区分线性表出和线性相关的区别．如果向量b 可以写成给定向量组12,,,m ααα 的线性组合的形式，即存在一组数12,,,m λλλ ，使1122m m b λαλαλα=+++ ，则向量b 是向量组12,,,m ααα 的线性组合，也称向量b 能由向量组12,,,m ααα 线性表示．这里并没有像线性相关的定义那样要求系数12,,,m λλλ 不全为零，也就是说任意的系数都可以，如120000m ααα=+++ ，我们说零向量可以由12,,,m ααα 线性表出．如果向量b 可以由向量组12,,,m ααα 线性表出，那么向量组12,,,,m b ααα 线性相关．如果向量组12,,,m ααα 线性相关，则至少可以找到一个向量i α可以由其余向量线性表出，注意不是向量组中的每一个向量都可以由余下的向量线性表出．如果向量组12,,,m ααα 线性无关，而向量组12,,,,m b ααα 线性相关，那么向量b 一定可以由向量组12,,,m ααα 线性表出．若向量组12,,,s ααα 可以由向量组12,,,t βββ 线性表出，则1212(,,,)(,,,)s t r r αααβββ≤向量组12,,,s ααα 可以由向量组12,,,t βββ 线性表出，若s t >，则向量组12,,,s ααα 线性相关；若向量组12,,,s ααα 线性无关，则s t ≤．例设12,,,s ααα 是n 维向量组，12(,,,),s r r ααα= 则（）不正确． （A ）如果r n =，则任何n 维向量都可以用12,,,s ααα 线性表示； （B ）如果任何n 维向量都可以用12,,,s ααα 线性表示，则r n =； （C ）如果r s =，则任何n 维向量都可以用12,,,s ααα 唯一线性表示； （D ）如果r n <，则存在n 维向量不能用12,,,s ααα 线性表示． 分析利用“用秩判断线性表示”的有关性质．当r n =时，任何n 维向量添加进12,,,s ααα 时，秩不会增大，从而（A ）正确． 如果（B ）的条件成立，则任何n 维向量组12,,,t βββ 都可以用12,,,s ααα 线性表示，从而1212(,,,)(,,,).t s r r n βββααα≤≤ 如果取12,,,n ηηη 是一个n 阶可逆矩阵的列向量组，则得到1212(,,,)(,,,)n s n r r n ηηηααα=≤≤ ，从而12(,,,),s r n ααα= （B ）正确．（D ）是（B ）的逆否命题，也正确．当r s =时，不能保证任何n 维向量可用12,,,s ααα 线性表示（如r n <时），因此（C ）不正确．49、向量组的等价和矩阵的等价向量组的等价是指两个向量组能够互相线性表出，如果向量组12,,,s ααα 和12,,,t βββ 等价，那么有1212(,,,)(,,,)s m r r αααβββ= ；但反之不成立．而矩阵的等价是指其中一个矩阵经过有限次的初等变换能化作另一个矩阵，矩阵A 与B 等价的充要条件是,A B 是同型矩阵，且()()r A r B =．如果两个向量组所含向量个数相同且等价，则可推知两个矩阵等价．即向量组12,,,m ααα 与12,,,m βββ 等价⇒矩阵12(,,,)m ααα 与12(,,,)m βββ 等价， 但是向量组12,,,s ααα 与12,,,t βββ （s t ≠）等价时，矩阵12(,,,)s ααα 与12(,,,)t βββ 不等价．例设n 维列向量组12,,,()m m n ααα< 线性无关，则n 维列向量组12,,,m βββ 线性无关的充要条件为(A) 向量组12,,,m ααα 可由向量组12,,,m βββ 线性表出 (B) 向量组12,,,m βββ 可由向量组12,,,m ααα 线性表出 (C) 向量组12,,,m ααα 与向量组12,,,m βββ 等价 (D) 矩阵12(,,,)m A ααα= 与矩阵12(,,,)m B βββ= 等价解析简记向量组12,,,m ααα 为I ，向量组12,,,m βββ 记为II ，(I)r m =，(II)r m ≤，那么：II 线性无关(II)r m ⇔=，(A)若I 可由II 线性表出，则(I)(II)r r ≤．又I 线性无关，有(I)(II)m r r m =≤≤，从而(II)r m =，即II 线性无关，充分性成立．那么，当m n <时，条件必要吗？设1100α⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2010α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，1100β⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2001β⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则向量组12,αα与向量组12,ββ均线性无关，但向量组12,αα不能由向量组12,ββ线性表出，故(A)仅为充分条件，不是必要条件．(B)若II 可由I 线性表出，则(II)(I)r r m ≤=，即有12(,,,)m r m βββ≤ ，12,,,m βββ 的线性无关性不能确定，故(B)不充分．而由(A)的反例可知(B)也不是必要条件． (C)由(A)，(B)知(C)只是充分条件．(D)如果矩阵12(,,,)m A ααα= 与矩阵12(,,,)m B βββ= 等价，则1212()(,,,)(,,,)()m m r A r r r B αααβββ=== ，因为12,,,m ααα线性无关，故12(,,,)m r m ααα= ，故12(,,,)m r m βββ= ，故向量组12,,,m βββ 线性无关，充分性成立．反之，若向量组12,,,m ααα 与12,,,m βββ 均线性无关，故1212(,,,)(,,,)m m r r m αααβββ== ，从而()()r A r B =，即矩阵,A B 等价，必要性成立，故选(D)．分析由于两个等价的概念不清，本题错误率很高． 小结：1. 向量b能由向量组12,,,s ααα 线性表出的充要条件是1212(,,,)(,,,,)s s r r b αααααα=2. 向量组12,,,t βββ 能由向量组12,,,s ααα 线性表出的充要条件是121212(,,,)(,,,,,,,)s s t r r ααααααβββ=3. 向量组12,,,t βββ 和向量组12,,,s ααα 等价的充要条件是12121212(,,,)(,,,)(,,,,,,,)s t s t r r r αααβββαααβββ==57、矩阵的相似、合同、等价（1）等价：矩阵A 经有限次初等变换变成矩阵B ，则称A 与B 等价； 矩阵等价的充要条件：,A B A B ≅⇔是同型矩阵且()()r A r B =⇔存在可逆矩阵P 和Q ，使P A Q B =（2）相似：设,A B 是n 阶矩阵，如果存在可逆矩阵P ，使1P AP B -=，则称A 与B 相似，记为：~A B相似矩阵的性质：如果~A B ，,E A E B λλ⇒-=-从而,A B 有相同的特征值11nnii iii i a b==⇒=∑∑ (,A B 有相同的迹)A B ⇒=()()r A r B ⇒=注意：这些都是必要条件，可排除哪些矩阵不相似，亦可用来确定相似矩阵的一些参数．若其中有一个不成立，说明A 与B 不相似．例 1 已知420,,201a A B b ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭若~A B ，则由迹相等知：42(1)b +=+-，得3.b =-由行列式相等知：1222a --=-，得-5a =．并且，由于B 是对角矩阵，2与-1就是B 的特征值，则根据特征值相等知，2与-1也是A 的特征值．（3）合同：两个n 阶实对称矩阵A 和B ，如存在可逆矩阵C ，使得TC A C B =，则称矩阵A 和B 合同．两个实对称矩阵合同的充要条件：二次型Tx A x 与Tx B x 有相同的正、负惯性指数； 两个实对称矩阵合同的充分条件：A 与B 相似．例2 设1030,,0204A B ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则有A 和B 合同． 证明因为有可逆矩阵C ⎤=⎢⎣，使10300204TC A C B ⎤⎤⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎢⎣⎣，或者，由二次型22122T x A x x x =+与221234T x B x x x =+有相同的正惯性指数2p =及相同的负惯性指数0q =，所以合同．注意：A 和B 不相似，因为相似的必要条件是特征值相同，显然不满足．58、正交变换化二次型为标准型的方法正交变换化二次型为标准型是历年常考的一个知识点，考生在这块主要的错误就是有时候忘记单位化，再有这块内容的计算量比较大，所以一有疏忽就容易出错误，下面将介绍具体解题步骤，考生应按照步骤进行，仔细计算．（1）写出二次型矩阵A （注意A 是对称矩阵）（2）求矩阵A 的特征值（求解||0E A λ-=）（3）求矩阵A 的特征向量（对每一个i λ，求()0i E A x λ-=的基础解系） （4）改造特征向量1,,n γγ （Schimidt 正交化、单位化） （5）构造正交矩阵()1,,n P γγ= ，则经坐标变换x P y =，得2221122TTn n x A x y y y y y λλλ=Λ=+++注意：1. 特征值的顺序与正交矩阵P 中对应的特征向量的顺序是一致的．2. 在进行Schimidt 正交化时，只有当属于某个特征值的特征向量多于一个时，需对这几个特征向量进行Schimidt 正交化．59、正定二次型（正定矩阵）正定二次型是常考点，考生主要掌握定义，因为定义在这块中是最好的证明方法，也是最常用的证明方法．若对任意的n 维实向量0x ≠，恒有0Tx A x >，则A 是正定矩阵．注意：正定矩阵必须是对称矩阵，因此在论证之前应注意A 是否为对称矩阵．若不是对称矩阵，根本谈不上讨论它的正定性．正定矩阵的性质和判别：1. 充要条件：实对称矩阵A 是正定矩阵A ⇔合同于E ⇔存在可逆矩阵C ，使得TA C C =（从而0A >）⇔A 的正惯性指数n = ⇔A 的特征值全大于0⇔存在正交矩阵Q ，使得121,0,1,2,...,...T i n Q A Q Q A Q i n λλλλ-⎛⎫⎪⎪==>= ⎪ ⎪⎝⎭⇔A 的各阶顺序主子式全大于0从而得到判别实对称矩阵（实二次型）是否正定的常用方法有三种：用定义，顺序主子式法，特征值法2. 必要条件：n 阶实对称矩阵A 是正定矩阵⇒0,1,2,,ii a i n >=0A ⇒>从而有：（1）有一个0ii a ≤⇒ A 不是正定矩阵；（2）0A ≤⇒A 不是正定矩阵例1 220251012A - ⎛⎫⎪=- - ⎪ ⎪ - ⎝⎭是否为正定矩阵．解析（顺序主子式法） 12∆=，222625-∆==- ，310∆=，顺序主子式全大于0，故A 正定．例2 A 为m n ⨯实矩阵，E 为n 阶单位矩阵，已知矩阵TB E A A λ=+，试证：当0λ>时，矩阵B 为正定矩阵．证明（定义法）ⅰ、因为()()()()T T T T T T T T TB E A A E A A E A A B λλλ=+=+=+=，所以B 是n 阶实对称矩阵．ⅱ、构造二次型Tx B x ，有()()()T T T T T T T Tx B x x E A A x x x x A A x x x A x A x λλλ=+=+=+因为0.x ∀≠Tx x 0>，()()0TA x A x ≥，所以，当0λ>时，0x ∀≠，恒有T x B x =()()T Tx x A x A x λ+0>即二次型Tx B x 正定，故B 是正定矩阵.（特征值法）B 的对称性证明略．设μ是矩阵TA A 的任一特征值，x 是相应的特征向量，即,0,T A A x x x μ=≠用Tx 左乘上式的两端得，()().T TA x A x x x μ=由0,x ≠必有0,()()0T Tx x A x A x >≥，故0μ≥因为TB E A A λ=+的特征值是λμ+，可见当0λ>时必有0λμ+>，即B 的特征值全部大于0，所以B 是正定矩阵．以下为概率内容60、连续型随机变量，则是否成立？答：成立．因为连续型随机变量在一点处的概率为零，所以对于连续型随机变量去掉或者添加有限个点，其概率是不变的，如注意：离散型随机变量无此性质，因为离散型随机变量在一点处的概率不一定为零，离散型随机变量落在某一区间上的概率为对任意的．所以，其它两个概率类似可推．说明：X 为连续型随机变量，则；X 为离散型随机变量，则61、判断下面随机变量的分布若随机变量的分布函数是严格单调的连续函数，则随机变量服从区间内的均匀分布．事实上，由于是严格单调的连续函数，知它有唯一反函数，故对于任意的，有因此随机变量的分布函数为所以 ，所以服从内的均匀分布．62、设随机变量都服从正态分布，则一定服从正态分布？答：不是．我们举一个反例：假设随机变量服从标准正态分布，则易见随机变量Z ()()P Z x P Z x ≤=<()()()()P a X b P a X b P a X b P a X b <<=≤<=<≤=≤≤()()()b aF b F a f x d x =-=⎰,()()()a b P a X b F b F a <<≤=-有()()()()()()()()P a X b P a X b P X a P X b F b F a P X a P X b ≤<=<≤+=-==-+=-=()0P X a ==()()(0)P X a F a F a ==--X ()F x ()Y F X =(0,1)()y F x =()G x (,)y ∈-∞+∞{}{}{},0()()01,1y Y y F x y X G y y y φ≤⎧⎪≤=≤=≤<<⎨⎪≥⎩Ω 若， 若 若()Y F X ={}()()()H y P Y y P F x y =≤=≤{}(),0()01(),1P y P X G y y P y φ≤⎧⎪=≤<<⎨⎪≥⎩Ω 若， 若 若0,0(())011,1y F G y y y y ≤⎧⎪==<<⎨⎪≥⎩ 若 若 若1,01()0,y h y <<⎧=⎨⎩其它()Y F X =(0,1)X Y 和X Y +X也服从标准正态分布．事实上，随机变量的分布函数为：是标准正态分布的分布函数．这样，随机变量都服从正态分布，然而不服从正态分布． 但是，当都服从正态分布且相互独立时，一定服从正态分布．推广：设随机变量相互独立，且，则63、证明下面命题若是离散型随机变量，其概率分布为：，是连续型随机变量，并且与相互独立，则也一定是连续型随机变量．证明:已知离散型随机变量的概率分布为：，设连续型随机变量的概率密度与分布函数为，以表示随机变量的分布函数，则由全概率公式和独立性，有所以因此随机变量有概率密度，从而是连续型随机变量．说明：本题证明了一个结论：若是离散型随机变量，是连续型随机变量，并且相互独立，则可以根据全概率公式与独立性求得的分布函数与密度函数，得出它也是连续型随机变量．注意：其中离散型随机变量的取值必须是有限个，如果取可列个值，则该结论未必成立．Y X =-Y X =-{}{}{}()F y P Y y P X y P X y =≤=-≤=≥-222211()xxy yed x ed x y Φ+∞+----∞===X Y X =-和0X Y +≡X Y 和X Y +12,,,n X X X 2(,)i i i X N μσ 22111,nn ni i i i i i i i i c X N c c μσ===⎛⎫⎪⎝⎭∑∑∑ X {}(1,2,,)k k P X a p k n === Y X X Y +X {}(1,2,,)k k P X a p k n === Y ()()f y F y 与()G z Z X Y =+{}{}{}11(),,nnk k k k k G z P X Y z P Xa X Y z P Xa Y z a ===+≤==+≤==≤-∑∑{}{}11()nnk k k k k k P Xa P Y z a p F z a ====≤-=-∑∑11()()()()nnk k k k k k g z G z p F z a p f z a ==''==-=-∑∑Z X Y =+()g z X Y Z X Y =+X X50、向量组的秩、矩阵的秩与极大线性无关组 向量组的极大线性无关组有两种定义方式：一是在向量组A 中能选出r 个向量线性无关且任意r +1个向量线性相关；二是在向量组A 中能选出r 个向量线性无关，且向量组A 中的任一个向量都能由这r 个向量线性表出．注意：向量组的极大线性无关组往往是不唯一的，其成员可以不一样，但这些极大线性无关组之间是等价的，每个极大线性无关组中向量的个数是相同的，由原向量组唯一确定．向量组的秩为r 就是指该向量组的极大线性无关组中含有r 个向量． 矩阵的秩就是矩阵的行向量组或列向量组的秩．即：记1212(,,,)TT s T tA ββαααβ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则1212()(,,,)(,,,)s t r A r r αααβββ=== 两个向量组的极大线性无关组中向量的个数．周二51、基础解系基础解系的概念及求法是齐次线性方程组的核心问题，是线性代数中一个非常重要的概念，对于这块内容的考察也是一个重点，但是我们在答疑或者是改卷过程中发现还是有很多同学概念混淆．定义：设12,,,p x x x 是0A x =的解向量，如果（1）12,,,p x x x 线性无关；（2）0A x =的任一个解向量可由12,,,p x x x 线性表示，则称12,,,p x x x 是0A x =的一个基础解系． 基础解系就是解向量组的极大线性无关组．若0m n A x ⨯=且()r A r =，则n 元齐次线性方程组0A x =的解集的秩为n -r ，即0A x =的基础解系中含有n -r 个解向量．例 齐次方程组12341234123412342340234503456045670x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩的基础解系是＿．(A) (3,0,1,0),(2,3,0,1)T T-- (B) 12(1,2,1,0)(2,3,0,1)T T k k -+- (C) 31(2,3,0,1),(1,,0,)22TT--(D) (3,4,1,2),(3,5,1,1)T T---解析 严格根据定义，判断基础解系要从是不是解向量，是否线性无关及基础解系所含向量的个数三个方面来思考．(B)中的形式就不对，应首先排除．(C)中的两个解向量线性相关，也排除．(A)中的第一个向量只满足第一个方程，不是解向量，也排除．故选（D ）．周三52、如何确定自由变量并赋值？（求解基础解系）很多考生在这块也容易犯错误，因为选取不同的自由变量、采用不同的赋值方法可能得到不同的基础解系．考生首先要理解清楚概念，按照下面的步骤就一定能得到齐次线性方程组0A x =的基础解系．下面介绍确定自由变量并赋值的基本步骤：（1）对系数矩阵作初等行变换化其为阶梯形（注意：只能做初等行变换）（2）由秩()r A 确定自由变量的个数为()n r A -（3）从矩阵A 中挑出线性无关的()r A 列，则其余的()n r A -列对应的变量就是自由变量（4）每次给一个自由变量赋值为1，其余的自由变量赋值为0（注意共需赋值()n r A -次）．通过上面步骤解得()n r A -个解向量，即是该齐次线性方程组的基础解系．求解非齐次线性方程组A x b =的特解，一般在第（4）步中对所有自由变量赋值为0，得到的解向量就是非齐次线性方程组的一个特解．对于求解含参数的齐次线性方程组，方法是对系数矩阵作初等行变换化为阶梯形，然后对阶梯形方程组由下往上依次求解，就可以得到原方程组的解．该方法是最一般的方法，不论方程的个数与未知数的个数是否相同都可使用，应熟练掌握．例 齐次方程组124523452345302202340x x x x x x x x x x x x + +-=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩的基础解系是＿．解析 系数矩阵110212102134A 0 3 -1⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪ ⎝⎭进行初等行变换化为阶梯型11021210 0 3 -1⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ 0 0 1 3⎝⎭，由()3r A =，知()532n r A -=-=．选取35,x x 为自由变量．令351,0x x ==，得421110,,22x x x ==-=，令350,1x x ==，得4215153,,22x x x =-==，故基础解系是1211155(,,1,0,0),(,,0,3,1)2222TTηη=-=-． 注意：由于自由变量的选取不唯一，从而齐次线性方程组的基础解系也可以不唯一． 此题也可选取25,x x 为自由变量，令251,0x x ==，得1431,0,2x x x =-==-，令250,1x x ==，得13410,5,3x x x ===-，故基础解系是()()121,1,2,0,0,10,0,5,3,1TTξξ=--=-周四53、特征向量与线性方程组的解矩阵的特征向量与解线性方程组似乎没有直接联系，其实两者还是有关联的．这就是ξ是A 属于特征值0的特征向量⇔ξ是0A x =的非零解ξ是A 属于特征值λ的特征向量⇔ξ是A x x λ=即()0E A x λ-=的非零解这是由特征值和特征向量的定义直接推过来的，大家容易忽略，但在考研题中会经常用到，学员应熟练使用．例 设矩阵21222313233123A a a a a a a - ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭有特征向量1(1,2,1)T ξ=，1(1,1,1)T ξ=-，3(1,2,2)T ξ=-，求线性方程组A x b =的通解，其中(1,2,2)Tb =-．解析 由题设123,,ξξξ均是A 的特征向量，故有12122231313233123112211A a a a a a a ξλ - ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= =⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (1)， 22122232313233123-1-11111A a a a a a a ξλ - ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= = ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （2）， 32122233313233123-1-12222A a a a a a a ξλ - ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= =⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （3） 由（1）解得10λ=，即有10A ξ=．由（2）解得20λ=，即有20A ξ=．由（3）解得31λ=-，即有33A ξξ=-．注意到方程组为A x b =，其中3b ξ=，由33A ξξ=-可推出33()A b ξξ-==，所以3ξ-是A x b =的一个特解．由10A ξ=，20A ξ=知12,ξξ是0A x =的两个解．由12(,)2r ξξ=知，12,ξξ是0A x =的两个线性无关的解．由0A ≠知，()1r A ≥，故0A x =的基础解系由3()2r A -≤个线性无关的解向量组成．现12,ξξ是0A x =的两个线性无关的解向量，故12,ξξ是0A x =的一个基础解系．从而A x b =的通解为31122k k ξξξ-++，其中12,k k 为任意常数．周五54、A x b =与0A x =的解之间的关系()(,)r A r A b <A x b ⇔=无解，这时不能判断0A x =的解的情况；()(,)r A r A b n ==A x b ⇔=有唯一解 ⇒()r A n =0A x ⇔=只有零解； ()(,)r A r A b n =<A x b ⇔=有无穷多解⇒()r A n <0A x ⇔=有非零解；后两种情况，即只知道0A x =的解的情况是不能推断出A x b =的解的情况的．）A x b =的解的性质（1）,αβ为A x b =的解，则αβ-为0A x =的解.证 因为()0A A A b b αβαβ-=-=-=，故αβ-是0A x =的解.（2）设12,,,s ααα 为A x b =的解，则111(1)s s s k k k k αα++++= 仍为A x b =的解.需要注意：若12,x x 是A x b =的两个解，则1122k x k x + (12,k k 为任意常数)一般不是A x b =的解，因为112211221212()()A k x k x k A x k A x k b k b k k b b +=+=+=+≠周六55、关于公共解关于公共解，有以下几种处理方法：（1）把（Ⅰ）和（Ⅱ）联立起来直接求解；（2）令（Ⅰ）的通解和（Ⅱ）的通解相等，找出参数的范围；（3）把（Ⅰ）的通解代入（Ⅱ）中，找出其中也满足（Ⅱ）解，即为公共解． 例 设有两个4元齐次线性方程组（Ⅰ）122400x x x x +=⎧⎨-=⎩ （Ⅱ）12323400x x x x x x -+=⎧⎨-+=⎩1、求线性方程组（Ⅰ）的基础解系；2、试问方程组（Ⅰ）和（Ⅱ）是否有非零公共解？若有，则求出所有的非零公共解；若没有，则说明理由．如：（Ⅰ）的基础解系为 1(0,0,1,0)T ξ=，2(1,1,0,1)T ξ=-，那么它的通解11222212(,,,)Tk k k k k k ξξ+=-要是（Ⅱ）的解，就因该满足（Ⅱ）的方程，故2212120k k k k k k --+=⎧⎨-+=⎩， 解出122k k =，所以其公共解是：2222(0,0,1,0)(1,1,0,1)(1,1,2,1)T T T k k k +-=-周日56、求A 相似标准型的方法（对可对角化的矩阵）n 阶矩阵A 有n 个线性无关的特征向量⇔矩阵A 可对角化． n 阶矩阵A 有n 个互不相等的特征值 ⇒矩阵A 可对角化．（原因：属于不同特征值的特征向量线性无关）．矩阵A 可对角化⇔每一个特征值i λ的重数与其线性无关的特征向量的个数相等； 相似对角化是一个重要的考察点，这部分牵涉的计算量比较大，所以考生一定要细心．基本步骤如下：（1）求A 的特征值12,,,,s λλλ 设i λ是i n 重根；（2）对每个特征值i λ，求()0i E A x λ-=的基础解系，设为12,,,;ii i in X X X（3）令12111212122212(,,,,,,,,,,,,),sn n s s sn p X X X X X X X X X = 则11122(,,,,,,,),s s PA P diag λλλλλλ-= 其中有i n 个i λ(1,2,,)i s = ．注意：有一个特征值i λ的线性无关的特征向量的个数小于i λ的重数⇒A 不可对角化．例 判断矩阵320131571A - ⎛⎫⎪=- - ⎪ ⎪- -⎝⎭是否与对角矩阵相似？解 由特征方程2320120||131131(2)(1)0571171E A λλλλλλλλλλλ- - -= - =- - =--= - +- - +，得特征值122λλ==（二重根），31λ=．对于122λλ==，解方程1123120()1110573x E A x x x λ- ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-= - = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ - ⎝⎭⎝⎭，因为(2)2r E A -=，故属于122λλ==的线性无关的特征向量的个数等于对应的齐次线性方程组的基础解系所含向量的个数即1，不等于根的重数2，故A 不可对角化，即A 不与对角形矩阵相似．。
集合的矩阵运算与矩阵代数
集合的矩阵运算与矩阵代数1.集合的矩阵运算1.1 集合的矩阵表示集合的矩阵表示是指将集合中的元素按照一定的顺序排列成一个矩阵，矩阵中的元素代表集合中的元素。
矩阵表示可以直观地展示集合之间的关系，并方便进行矩阵运算。
1.2 集合的矩阵运算集合的矩阵运算包括集合的并集、交集、差集、对称差集、补集等运算。
这些运算可以通过矩阵运算来实现。
例如，集合的并集可以表示为矩阵的并集，集合的交集可以表示为矩阵的交集，集合的差集可以表示为矩阵的差集，集合的对称差集可以表示为矩阵的对称差集，集合的补集可以表示为矩阵的补集。
2.矩阵代数2.1 矩阵代数の基本矩阵代数是研究矩阵的运算和性质的数学分支。
矩阵代数的基本概念包括矩阵的加法、减法、乘法、转置、逆矩阵、行列式等。
矩阵代数的运算规则与实数运算规则类似，但也有自己的特点。
例如，矩阵的乘法不满足交换律，即矩阵A和B的乘积AB不一定等于矩阵B和A的乘积BA。
2.2 矩阵代数的应用矩阵代数在数学、物理、工程、经济等领域有着广泛的应用。
例如，在数学中，矩阵代数用于解线性方程组、计算行列式、研究矩阵的特征值和特征向量等。
在物理中，矩阵代数用于表示张量、变换矩阵等。
在工程中，矩阵代数用于分析电路、机械结构等。
在经济中，矩阵代数用于分析市场均衡、经济增长等。
3.集合的矩阵运算与矩阵代数的关系集合的矩阵运算和矩阵代数有着紧密的联系。
矩阵代数的理论和方法可以用于解决集合运算的问题。
例如，矩阵的并集、交集、差集、对称差集、补集等运算都可以通过矩阵代数来实现。
同时，集合的矩阵运算也可以用来研究矩阵代数的理论和方法。
例如，集合的矩阵运算可以用来证明矩阵代数的一些定理和公式。
4.集合的矩阵运算与矩阵代数的应用集合的矩阵运算和矩阵代数在数学、物理、工程、经济等领域有着广泛的应用。
例如，在数学中，集合的矩阵运算和矩阵代数用于解线性方程组、计算行列式、研究矩阵的特征值和特征向量等。
在物理中，集合的矩阵运算和矩阵代数用于表示张量、变换矩阵等。
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矩阵代数概述一、基本定义定义1：矩阵：一个矩阵就是一个矩阵数组，更准确地讲，一个m*n 维矩阵就有m 行和n 列。
正整数m 被称为行维数，n 被称为列维数。
111212122212n n ij m m mn a a a a a a A a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤==⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦定义2：方阵方阵具有相同的行数和列数。
一个方阵的维数就是其行数和列数定义3：向量（1）一个1*m 的矩阵被称为一个（m 维）行向量，并可记为：[]12,,...,m x x x x ≡（2）一个n*1的矩阵被称为一个（n 维）列向量，并可记为：12n y y y y ⎡⎤⎢⎥⎢⎥≡⎢⎥⎢⎥⎣⎦定义4：对角矩阵当一个方阵A 的非对角元素都为零时，它就是一个对角矩阵。
我们总能将一个对角矩阵写成：1122000000ij mn a a A a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤==⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦定义5：单位矩阵和零矩阵（1）用I （或为了强调维数而用I n ）表示的n*n 单位矩阵就是对角位置都是1，而其它位置都是0的对角阵；10002000n I I n ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=≡⎢⎥⎢⎥⎣⎦（2）一个用0表示的m*n 零矩阵，就是所有元素都为零的m*n 矩阵。
它并不一定是方阵。
二、矩阵运算1. 矩阵加法两个都是m*n 维的矩阵A 和B 可通过对应元素相加而相加：A+B=[a ij ]+[b ij ]。
更准确地，有：111112121121212222221122n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b A B a b a b a b +++⎡⎤⎢⎥+++⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦数值例子：说明：不同维数的矩阵不能相加2. 数乘给定任意一个实数k （常被称为一个数量），数乘被定义为kA=[ka ij ]数值例子：3. 矩阵乘法为了使矩阵A 乘以矩阵B ，得到AB ，A 的列维数和B 的行维数必须相同。
因此，令A 为一个m*n 矩阵，而B 为一个n*p 矩阵，于是，矩阵乘法被定义为：1n ik kj k AB a b =⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∑ 换句话说，新矩阵AB 的第（i,j ）个元素，等于A 中第i 行的每个元素与B 中第j 列对应元素的乘积之和。
如下简图可以使这个过程更一目了然：11221...n ik kj i j i j in nj k a b a b a b a b ==+++∑数值例子：略我们可以将一个矩阵与一个向量相乘。
如果A 是一个n*m 矩阵，而y 是一个m*1向量，那么Ay 就是一个n*1的向量；如果x 是一个1*n 的向量，那么xA 就是一个1*m 的向量。
矩阵加法、数乘和矩阵乘法可以用各种方式组合，而且这些运算还满足几个熟悉的基本数值运算规则。
在如下性质表中，A ，B 和C 都具有运算所需要的适当的维数，而α和β则是实数。
这些性质中的大多数都很容易从定义得到说明。
矩阵乘法的性质：(1)( α+β)A= αA+βA;(2) α(A+B)= αA +αB;(3) (αβ)A=α(βA);(4) α(AB)= (αA)B(5)A+B=B+A;(6)(A+B)+C=A+(B+C);(7)(AB)C=A(BC);(8)A(B+C)=AB+AC;(9)(A+B)C=AC+BC;(10)IA=AI=A;(11)A+0=0+A=A;(12)A-A=0;(13)A0=0A=0;(14)即使AB 和BA 都有定义，仍然会AB ≠BA对于最后一个性质：如果A 是一个n*m 矩阵，而B 是一个m*p 矩阵，那么AB 就有定义，而BA 只有在n=p 时，才有定义；如果A 是一个m*n 矩阵，而B 是一个n*m 矩阵，那么AB 和BA 都有定义，但除非A 和B 都是方阵，否则它们具有不同的维数。
即便A 和B 都是方阵，除非在特殊情况下，否则AB ≠BA 仍成立。
定义6：转置令A=[a ij ]表示一个m*n 矩阵，用A'（读作A 撇）表示A 的转置，是将A 的行和列互换后得到的n*m 矩阵。
我们可以把它写成A'=[a ji ]。
数值例子：略转置的性质：(1) (A')'=A(2) ( αA)'= αA'，α为任意数;(3) (A+B)'=A'+B';(4) (AB)'=B'A'，A 和B 分别是m*n 和n*p 矩阵;(5) x'x=∑x i 2，x 是一个n*1向量;(6) 如果A 是一个各行分别由1*k 的向量a 1,a 2,...,a n 给出的n*k 矩阵，所以可以写成：12n a a A a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦于是：A'=(a 1' a 2' ... a n ')定义7：对称矩阵一个方阵是一个对称矩阵的充分必要条件是：A'=A如果X 是任何一个n*k 矩阵，那么X'X 总有定义并是一个对称矩阵，通过应用转置的第一和第四条性质即可看出。
分块矩阵的乘法令A 表示一个行由1*k 向量a 1,a 2,...,a n 给出的一个n*k 矩阵，令B 表示一个行由1*m 向量b 1,b 2,...,b n 给出的n*m 矩阵：12n a a A a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ，12n b b B b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 那么：1ni ii A B a b =''=∑ 上式中，a'i b i 对每个i ，都是一个k*m 矩阵。
因此，A'B 可写成n 个k*m 矩阵之和。
作为一个特殊情形，有：1ni i i A A a a =''=∑式中，a'i a i 对所有的i ，都是一个k*k 矩阵。
定义8：迹一个矩阵的迹是只对方阵定义的一个很简单的运算。
对任何一个n*n 矩阵A ，用tr(A)表示矩阵A 的迹，它是其主对角线元素之和。
从数学上看，即：()1n ii i tr A a ==∑迹的性质：(1)tr(In)=n;(2)tr(A')=tr(A);(3)tr(A+B)=tr(A)+tr(B);(4)对任意数量α，都有tr(αA)= αtr(A);(5)tr(AB)=tr(BA)，A 是m*n 矩阵，而B 是n*m 矩阵定义9：逆对方阵而方，逆矩阵是一个很重要的概念对一个n*n 矩阵A ，如果A -1A=AA -1=I n ，则A -1表示矩阵A 的逆，在这种情形下，A 就是可逆的或非奇异的。
否则，它就是不可逆的，或奇异的。
逆的性质：(1) 如果逆存在，它是唯一的;(2) 如果α≠0，且A 是可逆的，则(αA)-1=(1/α)A -1;(3) 如果A 和B 都是n*n 可逆矩阵，则(AB)-1=B -1A -1;(4) (A')-1= (A -1)';关于矩阵的逆的计算，这里从略。
三、线性独立与矩阵的秩对一组具有相同维数的向量而言，知道其中一个向量是否可表示成其余向量的线性组合很重要。
定义10：线性独立令{x 1,x 2,...,x r }是一组向量，若： α1x 1+α2x 2+...+αr x r =0当且仅当α1=α2=...=αr =0时，它们才是线性独立的向量。
如果上式对一组不全为零的系数成立，那么{x 1,x 2,...,x r }就是线性相关的。
{x 1,x 2,...,x r }线性相关的说法，等于说其中至少有一个向量可写成其他向量的线性组合。
定义11：秩(1)令A 是一个n*m 矩阵。
用rank(A)表示矩阵A 的秩，即A 线性独立的最大列数；(2)如果A 是一个n*m 矩阵，且rank(A)=m ，那么A 就具有列满秩；如果A 是一个n*m 矩阵，那么它的秩最大为m 。
如果一个矩阵的列构成一个线性独立集，那么它就是列满秩。
比如3*2矩阵：132600⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 的秩最大为2，但实际上，它的秩为1，因为第二列是第一列的2倍。
秩的性质：(1)rank(A')=rank(A);(2)如果A 是一个n*k 矩阵，则rank(A)≤min(n,k);(3)如果A 是一个k*k 矩阵，且rank(A)=k ，则A 是满秩的。
四、二次型与正定型矩阵定义12：二次型令A 为对称矩阵。
与矩阵A 相关的二次型，就是对所有n*1向量x 定义的实值函数： ()2112n nii iij i j i i j i f x x Ax a x a x x ==>'==+∑∑∑ 定义13：正定和半正定(1)对于一个对称矩阵A ，如果对除x=0外的所有n*1向量x ，都有x'Ax>0，那么我们说A 是正定的；(2)对于一个对称矩阵A ，如果对所有n*1向量x ，都有x'Ax ≥0，那么我们说A 是半正定的。
如果一个矩阵是正定或半正定的，那它就自动被假定为对称的。
正定和半正定的性质(1)正定矩阵的主对角元素都严格为正，而半正定矩阵的主对角元素都非负；(2)如果A 是正定矩阵，则A -1存在并正定；(3)如果X 是一个n*k 矩阵，则X'X 和XX'都是半正定的；(4)如果X 是一个n*k 矩阵，且rank(X)=k ，则X'X 是正定的，因此也是满秩的。
五、幂等矩阵定义14：幂等矩阵令A 为n*n 对称矩阵，当且仅当AA=A 时，我们称A 为一个幂等矩阵。
如100000001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦就量个幂等矩阵，直接相乘就可验证。
幂等矩阵的性质：令A 为n*n 幂等矩阵：(1)rank(A)=tr(A);(2)A 是半正定矩阵我们可以构造一些很一般的幂等矩阵。
令X 表示一个rank(X)=k 的n*k 矩阵。
定义： P ≡X(X'X)-1X'M ≡I n -X(X'X)-1X'=I n -P于是，P 和M 是对称的幂等矩阵，且rank(P)=k 和rank(M)=n-k 。
这些秩很容易通过利用性质(1)得到：tr(P) =tr[(X'X)-1X'X]（根据迹的性质5）=tr(I k )=k （根据迹的性质1）。
接下来，很容易得到：tr(M)=tr(I n )-tr(P)=n-k六、线性形式和二次型的微分对于一个给定的n*1向量a ，考虑对所有n*1向量x 由f(x)=a'x 定义的线性函数。
f 对x 的导数是1*n 阶偏导数向量，也就是：()f x a x∂'=∂ 对于一个n*n 对称矩阵A ，定义二次型g(x)=x'Ax ，于是：∂g(x)/∂x=2x'A 是一个1*n 向量。