第23讲 相似三角形的综合应用(求线段长度、比值、函数解析式)
《相似三角形》最全讲义(完整版)
相似三角形基本知识知识点一：放缩与相似形1. 图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。
2. 把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。
⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。
⑶我们可以这样理解相似两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩到的．⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形．3. 相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。
注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是 1.知识点二：比例线段有关概念及性质（1）有关概念1、比：选用同一长度单位量得两条线段。
a、 b 的长度分别是m、n，那么就说这两条线段am 的比是a：b＝m：n（或 b n ）2、比的前项，比的后项：两条线段的比a：b中。
a叫做比的前项，b叫做比的后项。
说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。
ac3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如 b dac4、比例外项：在比例 b d（或a：b＝c：d）中a、d叫做比例外项。
ac5、比例内项：在比例 b d（或a：b＝c：d）中b、c 叫做比例内项。
ac6、第四比例项：在比例 b d（或a：b＝c：d）中， d 叫a、b、 c 的第四比例项。
ab7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为 b a（或a:b ＝b:c 时，我们把b叫做 a 和 d 的比例中项。
8. 比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即 a c（或a：b=c：d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线bd 段。
（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位）2）比例性质acad bc1. 基本性质 :bd（两外项的积等于两内项积）a cb d2. 反比性b d a c （ 把比的前项、后项交换 ）3.更比性质 （交换比例的内项或外项 ） ：a b，（交换内项 ） cdcd c，（交换外项 ） db a d b．（同时交换内外项 ） ca4.合比性质 ：a c abc d（分子加（减）分母 ,分母不变） b d b d注意 ：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间注意：（1） 此性质的证明运用了“设 k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法． （2） 应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．（3） 可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成 立．AC1）定义：在线段 AB 上，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和BC （AC>BC ），如果AB2）黄金分割的几何作图 ：已知：线段 AB.求作：点 C 使 C 是线段 AB 的黄金分割点发生同样和差变化比例仍成立．如：acbd5. 等比性质： 如果badc a ab c cd abcd分子分母分别相加，比值不变.）e m(b d f fnn 0） ，那么知识点三： 黄金分割BC ，AC，AB 被点 C 黄金分割，点 C 叫做线段 AB 的黄金分割2即 AC 2=AB ×BC ，那么称线段点，AC 与 AB 的比叫做黄金比。
相似三角形的简单运用课件
证明定理
利用相似三角形的性质，可以证明一些几何定理。
在几何学中，有些定理的证明需要利用相似三角形的性质，比如勾股定理、射影定理等。通过 相似三角形的性质，可以证明这些定理，进一步揭示了几何图形之间的内在关系。
03
相似三角形在生活中的应用
建筑设计
建筑设计中的比例与尺度
利用相似三角形原理，建筑师可以精 确地计算出建筑物的比例和尺度，确 保建筑外观和内部结构的协调性和美 感。
03 面积比等于相似比的平方
即$frac{S}{S'} = (frac{a}{a'})^2$。
判定条件
01 角角角判定
两个三角形对应的角分别相等，则这两个三角形 相似。
02 边边角判定
两个三角形对应的两边成比例且夹角相等，则这 两个三角形相似。
03 三边判定
两个三角形三边分别成比例，则这两个三角形相 似。
建筑测量
建筑结构分析
通过相似三角形原理，建筑师可以分 析建筑结构的稳定性、承载能力和抗 震性能，确保建筑的安全性和可靠性 。
在建筑测量中，相似三角形可用于确 定建筑物的高度、宽度、长度等参数 ，提高测量的准确性和效率。
地图绘制
地图比例尺
地图绘制中，利用相似三角形原 理可以确定地图的比例尺，从而 将实际地理尺寸缩小或放大到地 图上，为人们提供准确的地理信
计算太阳的角度
总结词
通过相似三角形原理，利用太阳和地面上的物体来计算太阳的角度。
详细描述
首先选择一个地面上的物体，并测量其高度和影子的长度。然后观察太阳下物体的影子，并记录下影 子的长度。接着，在影子的顶端放置一个直角三角形，使其与太阳和地面形成一个相似三角形。最后 ，利用三角函数计算出太阳的角度。
相似三角形的应用ppt课件
相似三角形的应用ppt课件contents •相似三角形基本概念与性质•相似三角形在几何问题中应用•相似三角形在三角函数中应用•相似三角形在物理问题中应用•相似三角形在建筑设计中应用•总结与展望目录01相似三角形基本概念与性质定义AAA 相似SAS 相似SSS 相似定义及判定方法01020304两个三角形如果它们的对应角相等，则称这两个三角形相似。
如果两个三角形的三组对应角分别相等，则这两个三角形相似。
如果两个三角形有两组对应边成比例且夹角相等，则这两个三角形相似。
如果两个三角形的三组对应边都成比例，则这两个三角形相似。
相似比与对应边长成比例关系相似比两个相似三角形的对应边之间的比值称为相似比。
对应边长成比例关系在相似三角形中，任意两边之间的比值等于其他两边之间的比值，即a/a'=b/b'=c/c'，其中a、b、c和a'、b'、c'分别是两个相似三角形的对应边长。
相似三角形面积比关系面积比公式两个相似三角形的面积之比等于它们对应边长之比的平方，即(S1/S2)=(a/a')^2=(b/b')^2=(c/c')^2，其中S1和S2分别是两个相似三角形的面积，a、b、c和a'、b'、c'分别是它们的对应边长。
应用举例利用相似三角形的面积比关系可以解决一些实际问题，如测量高度、计算距离等。
02相似三角形在几何问题中应用利用相似三角形对应边成比例的性质，通过已知线段长度求解未知线段长度。
结合图形变换（如平移、旋转等）和相似三角形的性质，构造新的相似三角形，进而求解线段长度。
通过相似三角形的性质，建立比例关系，求解未知线段长度。
利用相似三角形求线段长度利用相似三角形证明角相等或互补通过相似三角形的性质，证明两个角相等或互补。
利用相似三角形对应角相等的性质，证明两个角相等。
结合图形变换和相似三角形的性质，构造新的相似三角形，证明两个角互补。
《相似三角形的性质》PPT课件
1
1
2
2
∴ ∠ = ∠ BAC, ∠ ′ ′ = ∠ B’AC’
∴ ∠= ∠ ′ ′
∴ △ ∽△ ′ ′ ′
AB
A′B′
=
AD
A′ D′
=k
相似三角形对应角平分线的比等于相似比。
01
归纳
相
似
∴ △ ∽△ ′ ′ ′
∴
AB
A′B′
=
AD
A′ D′
=k
相似三角形对应高的比等于相似比。
01
探究与思考
如图，△∽△^′ ^′ ^′，相似比为，它们中线的比是多少？
解：分别作△ 和 △ ′ ′ ′ 的对应中线AD和A’D’
∵ △ ∽△ ′ ′ ′
02
练一练
1∶3
1.相似三角形对应边的比为1∶3,那么相似比为_________,对
1Байду номын сангаас3
1∶3
应角平分线的比为______.对应高的比为_________.
1∶3
1∶3
对应中线的比为______.对应周长的比为__________.
1∶9
对应面积的比为_________.
2.把一个三角形变成和它相似的三角形，
似
三
角
形
对应周长的比等于相似比
对应面积的比等于相似比的平方
02
练一练
HOMEWORK PRACTICE
1、理解并掌握相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的
比都等于相似比，相似三角形对应线段的比等于相似比。
2、理解并掌握相似三角形周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
相似三角形及其应用课件
利用相似三角形转化长度和角度
01
通过相似三角形的性质，将复杂几何问题中的长度和角度转化
为简单问题，便于求解。
构造相似三角形
02
针对一些几何问题，通过构造相似三角形，将问题转化为简单
的计算问题。
相似三角形与勾股定理结合
03
利用相似三角形和勾股定理的结合，求出一些难以直接测量的
距离。
相似三角形在实际问题中的应用案例
相似三角形在建筑设计中的应用
总结词：优化设计
详细描述：在建筑设计中，相似三角形的原理也被广泛运用。设计师可以通过使 用相似三角形来优化设计，例如，通过使用相似三角形来调整建筑物的比例和布 局，以实现更好的视觉效果和功能性。
相似三角形在按比例缩放中的应用
总结词：保持原貌
详细描述：在按比例缩放中，相似三角形的原理同样发挥了重要作用。例如，在制作不同尺寸的图像 或物品时，使用相似三角形的原理可以确保图像或物品的形状和比例不会改变，保持其原貌。这对于 制作不同尺寸的图像或物品非常重要，例如制作不同尺寸的广告牌或海报等。
利用相似三角形的判定定理证明三角形相似
总结词
相似三角形的判定定理有多个，包括 “AA”、“SSS”、“SAS”、“ASA” 、“AAS”等，这些定理可以用来证明两 个三角形相似。
VS
详细描述
在证明两个三角形相似时，可以根据不同 的情境选择合适的判定定理。例如， “AA”定理适用于两个三角形对应角相 等的场合；“SSS”定理适用于三个对应 边相等的场合；“SAS”定理适用于两边 对应成比例且夹角相等的场合；“ASA” 定理适用于两角对应相等且夹边相等的场 合；“AAS”定理适用于两角对应相等且 其中一角的对边对应相等的场合。
用“∽”表示相似三角形。
相似三角形的综合运用
相似三角形的综合运用相似1。
定义:我们把具有相同形状的图形称为相似形。
2。
相似多边形的特性：相似多边的对应边成比例，对应角相等。
3.相似三角形的判定●(1)平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
●（2）如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似.●（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似。
●（4)如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。
4。
相似三角形的性质●（1）对应边的比相等，对应角相等.●（2）相似三角形的周长比等于相似比。
●（3）相似三角形的面积比等于相似比的平方.●（4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比.5。
三角形中位线定义: 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
三角形中位线性质: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半.6。
梯形的中位线定义：梯形两腰中点连线叫做梯形的中位线.梯形的中位线性质：梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半。
7.相似三角形的应用：１、利用三角形相似,可证明角相等；线段成比例（或等积式）；２、利用三角形相似，求线段的长等3、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度。
如求河的宽度、求建筑物的高度等。
知识考点:会综合运用相似三角形的有关概念、定理解答有关问题。
另外,直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似的性质运用，是近几年中考的热点题型。
【精典例题】：【例1】如图，已知，在边长为1的正方形ABCD 的一边上取一点E ，使AE ＝41AD ，从AB 的中点F 作HF ⊥EC 于H 。
(1)求证：FH ＝FA; （2)求EH ∶HC 的值。
证明：（1)连结EF ，FC ，在正方形ABCD 中，AD ＝AB ＝BC ，∠A ＝∠B ＝900∵AE ＝41AD ，F 为AB 的中点，∴BCFBAF AE = ∴△EAF ∽△FBC,∴∠AEF ＝∠BFC,∠EFA ＝∠CFB ∴∠EFC ＝900，21=FC EF 又∵∠EFC ＝∠B ＝900 ∴△EFC ∽△FBC∴∠HEF ＝∠BFC ，∠ECF ＝∠BCF ∴∠AEF ＝∠HEF,∠AFE ＝∠HFE ∴△EAF ≌△HEF ∴FH ＝FA （2）由（1）得21=FC EF ，由（1）易证△EHF ∽△EFC,从而可得EC EH EF ⋅=2，同理CE CH FC ⋅=2，于是EH ∶HC ＝2EF ∶2FC ＝1∶4 变式：如图，在矩形ABCD 中，65=BC AB ，点E 在BC 上，点F 在CD 上，且EC ＝61BC ，FC ＝53CD,FG ⊥AE 于G ，求证：AG ＝4GE 。
《相似三角形的应用》 讲义
《相似三角形的应用》讲义一、相似三角形的定义和性质相似三角形是指对应角相等，对应边成比例的两个三角形。
如果两个三角形相似，那么它们的对应边的比叫做相似比。
相似三角形具有以下重要性质：1、对应角相等：相似三角形的对应角大小相等。
2、对应边成比例：相似三角形的对应边的长度之比等于相似比。
3、周长比等于相似比：两个相似三角形的周长之比等于它们的相似比。
4、面积比等于相似比的平方：相似三角形的面积之比等于相似比的平方。
这些性质是解决相似三角形应用问题的基础，我们需要熟练掌握并能够灵活运用。
二、相似三角形在测量中的应用1、测量高度在实际生活中，我们经常需要测量一些物体的高度，如大树、高楼等。
当直接测量高度有困难时，可以利用相似三角形的原理来解决。
例如，要测量一棵大树的高度，可以在与大树底部水平的地面上选择一点 A，然后在 A 点处直立一根标杆 CD，测量出标杆的长度 CD 以及标杆顶端 D 与树顶 E 的仰角∠DAE 和∠DBC。
由于标杆与地面垂直，大树也与地面垂直，所以三角形 ADE 和三角形 ABC 相似。
根据相似三角形对应边成比例，可得：AB ／ AD ＝ BC ／ DE已知 AB、AD、BC 的长度，就可以求出大树的高度 DE。
2、测量距离相似三角形还可以用于测量无法直接到达的两点之间的距离。
比如，要测量一条河的宽度。
可以在河的一侧选择一点 A，在对岸选择一点 B，然后在 A 点所在的岸边选择另一点 C，使得 AC 与河岸垂直。
再在 AC 上选择一点 D，使得∠ADB ＝∠ABC。
此时三角形ABD 和三角形 ABC 相似。
通过测量 AC、AD 的长度以及∠ADB 的度数，就可以根据相似三角形的性质求出河的宽度 AB。
三、相似三角形在几何证明中的应用在几何证明题中，常常会遇到需要证明两个三角形相似的情况。
这时，我们需要根据已知条件寻找三角形相似的条件。
常见的证明三角形相似的方法有：1、两角对应相等的两个三角形相似。
相似三角形的性质ppt课件
新知讲解
探究
如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，它们对应周长的比
是多少？ A
A'
B
C
B'
C'
新知讲解
因为 △ABC ∽△A'B'C'，相似比为 k，那么
AB BC CA k， A'B' B'C ' C ' A'
因此 AB＝k A'B'，BC＝kB'C'，CA＝kC'A'， 从而
新知讲解
解：1
CD C ' D'
AB A' B '
,C 'D'
8 cm
2
CABC C A' B'C '
AB 1 20 A'B' 2 CA'B'C'
CA'B'C' =40 cm
3
SABC S A' B'C '
AB A' B'
2
,
1 4
SABC 64
SABC 16 cm2
∴BC∥AD，BC＝AD.
∴△BEF∽△DAF. ∵BE＝ 1 EC，
2
∴BE∶DA＝BE∶BC＝1∶3.
∴△BEF的周长与△AFD的周长之比为1∶3. (2)由(1)可知△BEF与△AFD的相似比为 1
3
∴S△BEF∶S△AFD＝1∶9. 又∵S△BEF＝6 cm2，∴S△AFD＝54 cm2.
课堂总结
∴ AE : EC=2:3， 则 AE : AC =2 : 5， ∴ S△ADE : S△ABC = 4 : 25，∴ S△ABC = 25.
相似三角形性质的实际应用课件浙教版数学九年级上学期(完整版)
新知讲解
【例6】数学兴趣小组测校园内一棵树高，有以下两种方法： AB（精确到）.
分析：解决此类问题，可以先构造 △CDE和△ABE，然后证明这两个三角 形相似，找出比例线段，带入求值即可.
新知讲解
【例6】数学兴趣小组测校园内一棵树高，有以下两种方法： 方法一：如图，镜子放在离树(AB)8m的点E处，然后沿着直线BE 后退 到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=2.8m， 观察者目高CD=1.6m.求树高AB（精确到）.
一、利用相似三角形测
量高度或宽度 二、例题讲解
教师板演区
学生展示区
作业布置
【知识技能类作业】必做题
1.如图，数学兴趣小组利用硬纸板自制的Rt△ABC来测量操场旗杆MN 的高度，他们通过调整测量位置，使边AC与旗杆顶点M在同一直线上， 已知AC＝0.8米，BC＝0.5米，目测点A到地面的距离AD＝1.5米，到 旗杆的水平距离AE＝20米，则旗杆MN的高度为( C ). A．12米 B．12.5米 C．14米 D．15米
课堂练习
【知识技能类作业】 必做题：1.如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高
度，已知标杆BE高1.5 m，测得AB＝1.2 m，BC＝12.8 m，则建筑物 CD的高是( A ) A．17.5 m B．17 m C．16.5 m D．15 m
课堂练习
2.如图，为测量楼高AB，在适当位置竖直放置一根高2 m的标杆MN， 并在同一时刻测得它们落在地面上的影长AC＝20 m，MP＝2.5 m， 则楼高AB为( B ). A．15 m B．16 m C．18 m D．20 m
相似三角形及比例线段课件讲解
解
:
1.
a b
148mm 220mm
37 55
;2. b
a
22cm 148cm
220mm 148mm
55 . 37
• 结论：
• 1.两条线段的比就是长度的比，它是一个正
数,它没有单位.
• 2.两条线段的比是有顺序的;
• 3.两条线段比与所选的长度单位无关.
• 4.求两条线段比时.如果单位不同.那么必须
那么 a c a c k bd b d
等比性质可以推广到任意有限多个相等 比.
等比性质：
如果 a c ... m k (b d ... n 0), bd n
那么 a c ... m k . b d ... n （不可逆）
AB
（即2）A引B入比k ,则值Ak的B=表k·示CD方。法或：C如D果把1CABD表示成比值k,
x y
y
x
，
y
x y
，
x5y .
5x 2y
2. 4和9两数的比例中项是
.
3.线段a和c的积是625，则a和c的比例中
项是
.
４.若
x 3
y 7
9z ，且x
y
z
38，
则x ，y ， z .
5.若3a 2b 5c，a b c 31，
则a ，b ，c .
6.若a、b、c、 d成比例，且a=2，
如果
MA NF
NF = MB
，
那么 NF2= MA·MB.
练习2—1： 如果 AE·BF=AF·BE，
那么
AE AF =
BE BF
，
AE BE =
AF BF
，对比调例内仍项成，立！
相似三角形的性质及其应用课件浙教版九年级数学上册(完整版)
三角形的重心分每一条中线成1：2的两条线段.
课堂练习
【知识技能类作业】 必做题：
1.（1）两个相似三角形的相似比为1:2, 则对应高的比为__1_：__2____， 则对应中线的比为__1__：__2___. （2）两个相似三角形对应中线的比为1:4 ，则对应高的比为_1_：__4__ .
A'
D'
C'
新知讲解
解：∵△ABC∽△A'B'C'，∴∠B=∠B'， AB BC . A'B' B'C'
∵ AD，A'D'分别是△ABC与△A'B'C'的中线，
∴BD= 1 BC，B'D'= 1 B'C'，
2
2
BD
BC
AB .
A
B'D' B'C' A'B'
∴△ABD∽△A'B'D'，
AD A'D'
1 2
.
证明：如图，连结DE.
∵BD，CE是△ABC的两条中线，∴
DE
∥=
1 2
BC.
∴∠EDB=∠DBC，∠DEC=∠ECB，
∴△DEP∽△BCP.
DB PP
EP CP
DE BC
1 2
.
新知讲解
例2中，如果再作BC边上的中线，这条中线与AC边上的中线BD的交 点也必定分BD成1：2的两条线段，也就是点P. 这就证明了三角形的三条中线相交于一点.
作业布置
选做题： 3.如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH的一边在 BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为( B). A．15 B．20 C．25 D．30
华东师大版数学九年级上第23章图形的相似 23.3.2相似三角形的判定 课件 (21张PPT)
D 1
E
4C O
3
A
F
2 B
证明： ∵OA＝OB ∴∠3＝∠2 ∵DF＝FB ∴∠1＝∠2 ∵DC∥AB ∴∠3＝∠4 ∴∠1＝∠4 又∵∠DEO＝∠DEC ∴△DEO∽ △CED
课堂总结
相似三角形4种判定方法的综合应用。 （1）先看题中是否有平行条件，如果有平行，就去找“A”型
或“X”型相似。 （2）找是否有两角对应相等。 （3）若没有一组角对应相等，就看三边是否对应成比例。 （4）识别掌握常见的基本图形是寻找和发现相似的有效途径。
证明：∵
AB 6 1 , BC 8 1 , AC 10 1 , AB 18 3 BC 24 3 AC 30 3
∴ AB BC AC AB BC AC
∴△ABC∽△A'B'C'(三边对应成比例的两个三角形相似)
新知讲解
识别相似
看已知条件
选方法
找出识别方法中所 需的条件
相似三角形的判定定理2： 两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似。
如果相等的角不 是成比例的两边 的夹角，那么这 两个三角形还相 似吗？画画看， 看看是不是不一
定相似？
新知讲解
A
D
A'
B
C
B'
C'
已知：△A’B’C’ ∽△ABC 在△ABC中，以B为圆心，BA长为半径画弧，交AC于D， 连结BD，则BD＝BA.求证△A’B’C’ 和△BCD是否相似
那么，除此之外，是否还有其他的办法来判定 两个三角形相似呢？
新知讲解
观察，如果有一点E在边AC上移动，那么点E在什么位置时能使△ADE与
△ABC相似呢？
C
相似三角形的判定性质的综合运用
相似三角形的判定性质的综合运用一，知识网络知能点1、相似三角形的判定（一）如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．知能点2、相似三角形的判定（二）如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．知能点3、相似三角形的判定（三）如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．二，教学过程（一）半期考试总结，解答疑问。
（二）典型例题讲解例1、已知等腰三角形△ABC 和等腰三角形△DEF，∠A=∠D=50°，这两个等腰三角形一定相似吗？答：____________.（2）运用两个角对应相等判定两个三角形相似是最常用的判定之一，尤其注意公共角、对顶角，常见的基本图形如下：①如图1，如果∠CDE=∠A，则有△ABC∽△DEC；②如图2，如果∠CDA=∠CAB，则有△ABC∽△DAC；例2、图中的两个三角形是否相似？为什么？例3、下面图中的两个三角形是否相似？为什么？例4、如图，在4×4的正方形方格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上。
（1）填空：∠ABC= °，BC= ； （2）判断△ABC 与△DEF 是否相似，并证明你的结论。
例5、如图，在△ABC 中，AC>AB ，点D 在AC 边上（点D 不与A 、C 重合），若再增加个条件就能使△ABD ∽△ACB ，则这个条件可以是_______。
DCBA例6、如图，∠ACB ＝∠ADC ＝90°，AC ＝6，AD ＝2。
问当AB 的长为多少时，这两个直角三角形相似？例7如图，梯形A B C D 中，90AB DC B E ∠=∥，，为B C 上一点，且AE ED ⊥．若12712B C D CB E EC ===，，∶∶，求A B 的长．例8、如图，AD是直角△ABC斜边上的高，DE⊥DF，且DE和DF分别交AB、AC于E、F。
相似三角形应用举例课件
优化建筑布局
在建筑布局设计中，可以利用相 似三角形原理来优化空间布局， 提高建筑的使用效率和舒适度。
航海中的应用
确定航向
导航定位
在航海过程中，可以利用相似三角形 原理来计算船只与目标之间的角度， 从而确定正确的航向。
在导航定位过程中，可以利用相似三 角形原理来计算船只的位置和航速， 确保航行安全和准确到达目的地。
相似三角形应用举例课件
目录
CONTENTS
• 相似三角形的基本概念 • 相似三角形在生活中的应用 • 相似三角形在数学问题中的应用 • 相似三角形在实际问题中的解决策略 • 相似三角形的综合应用举例
01 相似三角形的基本概念
CHAPTER
相似三角形的定义
01
02
03
相似三角形
如果两个三角形对应的角 相等，则这两个三角形相 似。
如果两个三角形有一个对 应的角相等和一组对应的 边成比例，则这两个三角 形相似。
02 相似三角形在生活中的应用
CHAPTER
测量中的应用
测量建筑物高度
利用相似三角形原理，通过测量 建筑物的影长或其他已知高度的 物体，可以计算出建筑物的高度。
测量河流宽度
在河流两岸分别设置标杆，利用相 似三角形原理，可以计算出河流的 宽度。
示例
证明两条线段相等，可以通过构造两个三角形，使它们相似，然后利用对应边成比例的性 质来证明线段相等。
在代数问题中的应用
01
总结词
利用相似三角形的性质，解决代数方程或不等式问题。
02 03
详细描述
在代数问题中，有时需要通过解方程或不等式来求解未知数。通过构造 相似三角形，可以利用相似三角形的性质，如对应边成比例、对应角相 等，来转化方程或不等式，从而简化求解过程。
九年级数学相似三角形的性质及应用(教师版)知识点+典型例题+详细答案
相似三角形的性质及应用【学习目标】1、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算；2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）.【要点梳理】要点一、相似三角形的性质1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比.相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.3. 相似三角形周长的比等于相似比∽，则由比例性质可得：4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方∽，则分别作出与的高和，则2 1122=1122ABCA B CBC AD k B C k A DSk S B C A D B C A D '''''''⋅⋅⋅⋅=='''''''''⋅⋅△△要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.要点二、相似三角形的应用1.测量高度测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.要点诠释：测量旗杆的高度的几种方法：平面镜测量法影子测量法手臂测量法标杆测量法2.测量距离测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。
1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长.2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长. 要点诠释： 1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离; 2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比; 3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）;4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角．【典型例题】类型一、相似三角形的性质1. △ABC∽△DEF，若△ABC的边长分别为5cm、6cm、7cm，而4cm是△DEF中一边的长度，你能求出△DEF的另外两边的长度吗？试说明理由.【答案】设另两边长是xcm，ycm，且x＜y. (1)当△DEF中长4cm线段与△ABC中长5cm线段是对应边时，有， 从而x=cm，y=cm. (2)当△DEF中长4cm线段与△ABC中长6cm线段是对应边时，有， 从而x=cm，y=cm. (3)当△DEF中长4cm线段与△ABC中长7cm线段是对应边时，有， 从而x=cm，y=cm. 综上所述，△DEF的另外两边的长度应是cm,cm或cm，cm或cm，cm三种可能.2.如图所示，已知△ABC中，AD是高，矩形EFGH内接于△ABC中，且长边FG在BC上，矩形相邻两边的比为1：2，若BC=30cm，AD=10cm.求矩形EFGH的面积.【答案】∵四边形EFGH是矩形，∴EH∥BC，∴△AEH∽△ABC.∵AD⊥BC，∴AD⊥EH，MD=EF.∵矩形两邻边之比为1：2，设EF=xcm，则EH=2xcm.由相似三角形对应高的比等于相似比，得，∴，∴，∴.∴ EF=6cm，EH=12cm.∴举一反三1、如图，在和中，，，，的周长是24，面积是48，求的周长和面积.【答案】在和中，， . 又∵∽，相似比为. 的周长为，的面积是.2、有同一三角形地块的甲、乙两地图，比例尺分别为1∶200和1∶500，求：甲地图与乙地图的相似比和面积比.【答案】设原地块为△ABC，地块在甲图上为△A1B1C1，在乙图上为△A2B2C2. ∴△ABC∽△A1B1C1∽△A2B2C2 且，， ∴， ∴.3、如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，按如图那样折叠，使点A与点B 重合，折痕为DE，则S△BCE：S△BDE等于（） A. 2：5 B．14:25 C．16:25 D. 4:21【答案】B.【解析】由已知可得AB=10，AD=BD=5，设AE=BE=x, 则CE=8-x, 在Rt△BCE中，x2-(8-x)2=62,x=, 由△ADE∽△ACB得， S△BCE：S△BDE=（64-25-25）：25=14:25，所以选B.4、在锐角△ABC中，AD,CE分别为BC,AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别等于18和2，DE=2,求AC 边上的高.【答案】过点B 做BF⊥AC,垂足为点F ，∵AD,CE 分别为BC,AB 边上的高，∴∠ADB=∠CEB=90°，又∵∠B=∠B，∴Rt△ADB∽Rt△CEB,∴,BD AB BD BEBE CBAB CB ==即,且∠B=∠B，∴△EBD∽△CBA,∴221189BED BCADE AC SS⎛⎫=== ⎪⎝⎭△△,∴13DE AC =,又∵DE=2，∴AC=6，∴11862ABC AC BF S =⋅=∴△，B F=.5、已知：如图，在△ABC 与△CAD 中，DA∥BC，CD 与AB 相交于E 点，且AE︰EB=1︰2，EF∥BC 交AC 于F 点，△ADE 的面积为1，求△BCE 和△AEF 的面积．【答案】∵DA∥BC， ∴△ADE∽△BCE． ∴S △ADE :S △BCE =AE 2:BE 2． ∵AE︰BE=1:2， ∴S △ADE :S △BCE =1:4． ∵S △ADE =1， ∴S △BCE =4． ∵S△ABC:S△BCE=AB:BE=3:2，∴S△ABC=6． ∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC． ∵AE:AB=1:3，∴S△AEF:S△ABC=AE2:AB2=1:9．∴S△AEF==．6、如图，已知中，，，，，点在上，(与点不重合)，点在上.(1)当的面积与四边形的面积相等时，求的长. (2)当的周长与四边形的周长相等时，求的长.【答案】(1)∵，∽. (2)∵的周长与四边形的周长相等.=6，∽.类型二、相似三角形的应用3. 如图，我们想要测量河两岸相对应两点A、B之间的距离(即河宽) ，你有什么方法？【答案】如上图，先从B点出发与AB成90°角方向走50m到O处立一标杆，然后方向不变，继续向前走10m到C处，在C处转90°，沿CD方向再走17m到达D处，使得A、O、D在同一条直线上．那么A、B之间的距离是多少？ ∵AB⊥BC，CD⊥BC ∴∠ABO=∠DCO=90° 又∵∠AOB=∠DOC ∴△AOB∽△DOC. ∴ ∵BO=50m，CO=10m，CD=17m ∴AB=85m 即河宽为85m．4. 如图：小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m，已知小明的身高是1.6 m，他的影长是2 m．(1)图中△ABC与△ADE是否相似?为什么?(2)求古塔的高度．【答案】(1)△ABC∽△ADE．∵BC⊥AE，DE⊥AE，∴∠ACB=∠AED=90°∵∠A=∠A，∴△ABC∽△ADE(2)由(1)得△ABC∽△ADE∴∵AC=2m，AE=2+18=20m，BC=1.6m，∴∴DE=16m即古塔的高度为16m。
2024年度课件相似三角形的应用
案例分析：动态几何问题
题目描述
解题思路
给出一个动态几何问题的具体案例，如动 点在图形上运动导致图形形状或位置发生 变化的问题。
分析动点运动过程中相似三角形的变化情 况，运用图形变换思想找出动点运动规律 或相关几何量的变化规律。
解题步骤
解题反思
详细列出解题步骤和计算过程，包括如何 运用图形变换思想进行求解的具体操作。
2024/2/3
6
相似比和对应边比例关系
相似比
相似三角形的对应边之间的比值称为相似比。通常用字母k表示，即k=较长边/ 较短边。
对应边比例关系
在相似三角形中，任意两个对应边的比值都等于相似比。即如果△ABC∽△DEF， 那么AB/DE=BC/EF=CA/FD=k。同时，这个比例关系也可以用来求解未知边长 或角度。
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实际问题中代数模型构建
2024/2/3
提取实际问题中的关键信息
在解决实际问题时，首先需要从问题中提取出关键信息，如已知 条件、未知量、相似关系等。
建立代数模型
根据提取出的关键信息，可以建立相应的代数模型来描述问题。这 些模型可能包括方程、不等式等。
模型求解与解释
通过对代数模型的求解，可以得到问题的解或答案。同时，需要对 解进行合理解释，以符合实际问题的背景和需求。
2024/2/3
对解题过程进行总结和反思，讨论解题过程 中遇到的困难和解决方法，以及图形变换思 想在解题中的重要作用。
27
06
总结回顾与拓展延伸
2024/2/3
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知识点总结回顾
相似三角形的定义及性质
对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫 做相似三角形。相似三角形具有一些重要的 性质，如相似比、面积比等。