3.1.1倾斜角与斜率

直线的斜率公式：
综上所述，我们得到经过两点
P1 ( x1 , y1 ),
P2 ( x 2 , y 2 ) ( x1 x 2 ) 的直线的斜率公式：
y 2 y1 x 2 x1 y1 y 2 x1 x 2
k
(或 k
)
P2
P1
P1
P2
例1 如图，已知A(4,2)、B(-8,2)、C(0,-2)，求

Q ( x 2 , y1 )
P1 ( x1 , y1 )

o
x2
x1
x

y 2 y1 x1 x 2
k tan
y 2 y1 x1 x 2

y 2 y1 x 2 x1
0

k tan 0 0

1、当直线平行于x轴，或与x轴重合时， 上述公式还适用吗？为什么？
y
l
a
x o
注意： (1)直线向上方向； (2)x轴的正方向。
练习：下列图中标出的直线的倾斜角对不对？如 果不对，违背了定义中的哪一条？
y
y
y
y
o

x
o

x
o
（3）

x
o
（4）
x
（1）
（2）
2、直线倾斜角的范围：
当直线 l 与 x 轴平行或重合时，我 们规定它的倾斜角为 0 ，因此，直线 的倾斜角的取值范围为： a 180 0
直线AB、BC、CA的斜率，并判断这 些直线 的倾斜角是什么角？ y. B 解： . A . . . . . . . 22 0 o 直线AB的斜率 k x 84 .
AB
直线BC的斜率 k 直线CA的斜率 k ∵
k AB 0
BC

22
0 (8)

4 8

1 2
C
CA

锐角
y
y2
y1
P2 ( x 2 , y 2 )
如图，当α为锐角时，

P1 ( x1 , y1 )
P2 P1 Q ,
且 x1 x 2 , y 1 y 2
Q ( x 2 , y1 )

o
x1
x2
x
在 Rt P2 P1Q 中
QP 2 P1Q
k tan tan P2 P1Q
2 (2) 40

4 4
1
∵ k BC 0 ∵ k CA 0
∴直线AB的倾斜角为零度角。 ∴直线BC的倾斜角为钝角。 ∴直线CA的倾斜角为锐角
例 2： 过 点 P ( 0 , 2 )的 直线 l 与 线段 AB 相 交， 若 A ( 2 , 3 ) , B ( 3 , 2 ). 求 直线 l 的 斜率 的 范围 .
条直线的斜率。斜率通常用k表示，即：
k tan
倾斜角是90 °的直线没有斜率。


例如：直线
l 的倾斜角为
45 , 则斜率为：

k tan 45 1
直线 l 的倾斜角为
120 , 则斜率为：
k tan 120

3
当 在内 [0
y p
l

,1 8 0 ) 变化时，斜率k如何变化？
k
y 2 y1 x 2 x1
o
x
思考？
B 3 、已知直线上两点 A ( a 1 , a 2 ) 、 ( b1 , b 2 ) ，运 用上述公式计算直线AB的斜率时，与A、B的 顺序有关吗？
k AB

b2 a2 b1 a1

k BA
a 2 b2 a 1 b1
答：与A、B两点的顺序无关。

y 2 y1 x 2 x1
钝角
y
y2 y1
P2 ( x 2 , y 2 )
如图，当α为钝角时，
180 ,

且 x1 x 2 , y 1 y 2
tan tan( 180 tan
在 Rt P2 QP1中
tan P2 Q P1 Q

)

y p o

l
y p o

y p x
o

x
x
o
l
x
l
0°＜ ＜ 90°
= 90°
90°＜ ＜180° = 0°
k >0
k不存在
k<0
k=0
播放
基础自测
: 判断正误：
（ ）
①直线的倾斜角为α，则直线的斜率为 tan（ ）
②平行于x轴的直线的倾斜角是0或π。
③两直线的倾斜角相等,它们的斜率也相等（ ） ④因为平行于y轴的直线的斜率不存在，所以平 行于y轴的直线的倾斜角不存在 （ ）
对于平面直角坐标系内的一条直线 l 你 认为它的位置由哪些条件确定呢？
y
l
x o
两点确定一条直线
过一点能不能确定一条直线？
如图，在直角坐标系中， 过点P的不同直线的区别在哪里？
y
l2
l3

l1
倾斜程度不同 x
o
P
一、直线的倾斜角
1、直线倾斜角的定义：
当直线L与X轴相交时，我们取X轴作为基 准，X轴正向与直线L向上方向之间所成的角 叫做直线的倾斜角。
l3
x
4、如何才能确定直线位置？
y
l
a
x o
过一点且倾斜角为 a 能不能确定一条直线？
能
一点+倾斜角 确定一条直线
（两者缺一不可）
问题引入
日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？
坡度（比）

升高量 前进量
升 高 量 前进量
tan
描述直线倾斜程度的量——直线的斜率
定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这
按倾斜角去分类，直线可分几类？
y y y y
a
零度角
a
x x o o
锐角
x
x
o
o
直角
钝角
3、直线倾斜角的意义
体现了直线对x轴正方向的倾斜程度 在平面直角坐标系中，每一条直线都 有一个确定的倾斜角。
倾斜程度 倾斜角
倾斜角相同能确 定一条直线吗？ 相同倾斜角可作无 数互相平行的直线
y
l 2 l1
o
y
P1 ( x1 , y1 )
P2 ( x 2 , y 2 )
k
x1
y 2 y1 x 2 x1
o
x2
x
思考？
90 , tan 90 ( 不存在 )

k 不存在
2、当直线平行于y轴，或与y轴重合时， 上述公式还适用吗？为什么？
y
y2
P2 (来自百度文库x 2 , y 2 )
y1
P1 ( x1 , y1 )

4、斜率公式：k
y 2 y1 x 2 x1
(或 k
y1 y 2 x1 x 2
)
1、直线的倾斜角定义及其范围： 180 0 2、直线的斜率定义： k tan a ( a 90 ) 3、斜率k与倾斜角 之间的关系：
a 0 k tan 0 0 0 a 90 k tan a 0 a 90 tan a ( 不存在 ) k 不存在 90 a 180 k tan a 0
⑤直线的倾斜角越大,则直线的斜率越大
(
)
注意：
1、确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素 为：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不 可. 2、所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率.
3、倾斜角是从几何角度刻画直线的倾斜程度；而斜
率是从代数角度刻画直线的倾斜程度，斜率的绝对值
越大，直线的倾斜程度也越大.
例 3 ： 已 知 直 线 l 经 过 A (5 , 3 ), B ( 4 , y ), C （1 ，） 三 点 , 9 求 l的 斜 率 和 y 的 值 .
[
变式训练]
已 知 三 点 A ( a , 2 )， B (3, 7 ), C ( 2 , 9 a ) 在 同 一 条 直 线 上 ， 求 实 数 a的 值 .