第36-37课时：第四章 三角函数——数学巩固练习(4)

高三数学巩固练习题（四）

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将你认为正确的答案填在后面的表格中）

1．已知4

(,0),cos ,tan 225

x x x π∈-==则

A ．247

B ．247-

C ．724

D ．724-

2．函数R x y 是)0)(sin(πϕϕ≤≤+=上的偶函数，则ϕ= A ．0

B ．

4

π

C ．

2

π D ．π

3．已知()f x 是定义域为R 的奇函数，方程()0f x =的解集为M ，且M 中有有限个元素，则

A ．M 可能是∅

B ．M 中元素个数是偶数

C.M 中元素个数是奇数

D.M 中元素个数可以是偶数，也可以是奇数 4．甲、乙两人同时从A 地赶往B 地，甲先骑自行车到中点后改为跑步，而乙则是先跑步到中点后改为骑自行车，最后两人同时到达B 地．又知甲骑自行车比乙骑自行车的速度快，并且两人骑车速度均比跑步速度快．若某人离开A 地的距离S 与所用时间t 的函数关系可用图①~④中的某一个来表示，则甲、乙两人的图象只可能分别是

A ．甲是图①，乙是图②

B ．甲是图①，乙是图④

C ．甲是图③，乙是图②

D ．甲是图③，乙是图④ 5．等比数列{}n a 的首项11a =-,前n 项和为,n S 若

32

31

510=S S ，则公比q 等于 A ．

12 B ．1

2

- C ．2 D ．2- 6．=++++++++∞→)(lim 11413122242322n

n

n C C C C n C C C C

A ．3

B ．3

1

C ．

6

1

D ．6

7．数列{}n a 的通项公式是32(1)(32)

2

n n n n n n a ----++--=()n N *∈，则

12lim()n n a a a →∞

+++ 等于

A ．

1124

B ．

1724

C ．

1924

D ．

2524

8．给定正数,,,,p q a b c ，其中p q ≠，若,,p a q 成等比数列，,,,p b c q 成等差数列,则一元二次方程220bx ax c -+=

A ．无实数根

B ．有两个相等的实数根

C ．有两个同号的相异的实数根

D ．有两个异号的相异的实数根

9．已知函数21

()()2x x f x e e e

-=+(1x <,且e 为大于1的常数），则

A ．1113()()22f f --<

B ．1113()()22f f -->

C ．113()(2)2f f --<

D ．113

()(2)2f f -->

10．若()(),f x f x π+=-且()()f x f x -=,则()f x 可以是 A.sin 2x B.cos x C.sin x D.sin x

11．设3

2

2cos =

θ，则θθ44cos sin +的值是__________________； 12．设正数数列{a n }前n 项和为S n ，且存在正数t ，使得对所有自然数n ，有

2

n

n a t tS +=

，则通过归纳猜测可得到S n = n 2t . 13．如果)4

(,4

1)4

(,5

2)(π

απββα+=-=+tg tg tg 那么的值是

22

3 ．

14．某品牌彩电为了打开市场，促进销售，准备对某特定型号的彩电降价，现有

四种降价方案：

方案①：先降价%a ，再降价%b ； 方案②：先降价%b ，再降价%a ；

方案③：先降价%2b a +，再降价%2b

a +；

方案④：一次性降价()%a b +。

其中0a >，0b >，且a b ≠。

上述四种方案中，降价幅度最小的是方案________③_____________.

三、解答题（本大题共5小题，共44分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15．（本小题满分8分）已知)2,0(,πβα∈ 且满足

)cos(sin sin βαα

β

+=. （1）求证α

α

αβ2sin 1cos sin tan +=；

（2）求βtan 的最大值，并求当βtan 取得最大值时，)tan(βα+的值.

解：（1）βαβααββαα

β

sin sin cos cos sin sin ),cos(sin sin 2-=∴+=

2分 βαααβββ

αααββtan sin cos sin tan ,cos sin sin cos sin cos sin 22-=-=∴

即 4分 αα

αβ2sin 1cos sin tan +=∴

5分 （2）1

tan 2tan cos sin 2cos sin sin 1cos sin tan 2

222+=+=+=αα

αααααααβ

7分

0tan ),2

,0(>∴∈απ

α

2

21tan 1

tan 21tan ≤

+

=

∴α

αβ 9分

当且仅当22

tan ,tan 1tan 2==ααα即取最大值，最大值为422

21=

此时2tan tan 1tan tan )tan(=-+=

+β

αβ

αβα

12分

16．（本小题满分8分）已知锐角三角形ABC 中，3sin()5A B +=，1

sin()5

A B -=。

（Ⅰ）求证：B A tan 2tan =；

（Ⅱ）设3AB =，求AB 边上的高。

（Ⅰ）证明：,5

1

)sin(,53)sin(=-=+B A B A

.2tan tan 5

1sin cos ,

52

cos sin .51sin cos cos sin ,53sin cos cos sin =⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧

=

=⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+∴B A B A B A B A B A B A B A 所以.tan 2tan B A =

（Ⅱ）解：ππ<+

3

)tan(,

53)sin(-=+∴=+B A B A 即

4

3

tan tan 1tan tan -=-+B A B A ，将B A tan 2tan =代入上式并整理得 .01tan 4tan 22=--B B

解得262tan ±=

B ，舍去负值得2

6

2tan +=B ， .62tan 2tan +==∴B A 设AB 边上的高为CD.