(完整版)综合法和分析法习题

直接证明与间接证明测试题

一、选择题

1．下列说法不正确的是（）

Ａ．综合法是由因导果的顺推证法

Ｂ．分析法是执果索因的逆推证法

Ｃ．综合法与分析法都是直接证法

Ｄ．综合法与分析法在同一题的证明中不可能同时采用

2．用反证法证明一个命题时，下列说法正确的是（）

Ａ．将结论与条件同时否定，推出矛盾

Ｂ．肯定条件，否定结论，推出矛盾

Ｃ．将被否定的结论当条件，经过推理得出的结论只与原题条件矛盾，才是反证法的正确运用

Ｄ．将被否定的结论当条件，原题的条件不能当条件

3．若a b c

，，是不全相等的实数，求证：222

++>++．

a b c ab bc ca

证明过程如下：

a b c∈R

∵，222

，，

+≥，222

+≥，

b c bc

c a ac

∴≥，222

a b ab

+

又a b c

∵不全相等，∴以上三式至少有一个“=”不成立，∴将以上三式相加得，，

222

2()2()

++>+++，222

a b c ab b c ac

∴．此证法是（）

a b c ab bc ca

++>++

Ａ．分析法Ｂ．综合法Ｃ．分析法与综合法并用Ｄ．反证法

41>．

+>+

11，即证75111

，3511>∵，∴原不等式成立．

以上证明应用了（ ）

Ａ．分析法

Ｂ．综合法 Ｃ．分析法与综合法配合使用 Ｄ．间接证法

5．以下数列不是等差数列的是（ ）

Ａ． Ｂ．π2π5π8+++，，

Ｄ．204060，，

6．使不等式

116a <成立的条件是（ ） Ａ．a b > Ｂ．a b <

Ｃ．a b >，且0ab <

Ｄ．a b >，且0ab >

二、填空题

7．求证：一个三角形中，至少有一个内角不小于60°，用反证法证明时的假设为“三角形的 ”．

8．已知00a b m n >>==，，m 与n n 的关系为 ．

9．当00a b >>，时，①11()4a b a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥；②22222a b a b +++≥；

；④2ab a b

+ 以上4个不等式恒成立的是 ．（填序号）

10．函数()sin 2sin [02π]f x x x x =+∈，，

的图象与直线y k =有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是 ．

11．设函数()lg f x x =，若0,a b <，且()()f a f b >，则ab ∈ ．

12．已知平面αβγ，，满足l αγβγα

β⊥⊥=，，，则l 与γ的位置关系为 ．

三、解答题

13．已知(01)a b c ∈，，，．求证：(1)(1)(1)a b b c c a ---，，不能同时大于14

．

14．已知数列{}n a 为等差数列，公差1d =，数列{}n c 满足221()n n n c a a n *+=-∈N ．判断数列{}n c 是否为等差数列，并证明你的结论．

15．若下列方程：24430x ax a =-+=，22(1)0x a x a +-+=，2220x ax a +-=，至少有一个方程有实根，试求实数a a 的取值范围．

答案

1.答案：Ｄ

2.答案：Ｂ

3.答案：Ｂ

4.答案：Ａ

5.答案：Ｃ

6.答案：Ｄ

7.答案：三个内角都小于60°

8.答案： m n ≤ 9.答案：①②③

10.答案：13k <<

11.答案：(01)，

12.答案：l γ⊥

13.证明：假设三式同时大于14，即1(1)4a b ->，1(1)4b c ->，1(1)4c a ->， 三式同向相乘，得1(1)(1)(1)64

a a

b b

c c --->

． ① 又211(1)24a a a a -+⎛⎫-= ⎪⎝⎭≤， 同理1(1)4b b -≤，1(1)4

c c -≤． 所以1(1)(1)(1)64

a a

b b

c c ---≤， 与①式矛盾，即假设不成立，故结论正确．

14.答案：是．证明：由条件1(1)n a a n =+-，

则2211221n n n c a a n a +=-=--+．

所以12n n c c +-=-，

所以数列{}n c 为等差数列．

15.解：设三个方程均无实根，则有2122223164(43)0(1)4044(2)0a a a a a a ⎧∆=--+<⎪∆=--<⎨⎪∆=--<⎩，，，