解析几何中参数范围问题的求解策略
解析几何中求参数取值范围的5种常用方法
解析几何中求参数取值范围的5种常用方法解析几何中求参数取值范围的5种常用方法及经典例题详细解析：一、利用曲线方程中变量的范围构造不等式曲线上的点的坐标往往有一定的变化范围，如椭圆 x2a2 + y2b2 = 1上的点P（x，y）满足-a≤x≤a，-b≤y≤b，因而可利用这些范围来构造不等式求解，另外，也常出现题中有多个变量，变量之间有一定的关系，往往需要将要求的参数去表示已知的变量或建立起适当的不等式，再来求解.这是解决变量取值范围常见的策略和方法.例1 已知椭圆 x2a2 + y2b2 = 1 （a>b>0），A，B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P（x0，0）求证:-a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a分析:先求线段AB的垂直平分线方程，求出x0与A，B横坐标的关系，再利用椭圆上的点A，B满足的范围求解.（x1≠x2）代入椭圆方程，作差得: y2-y1x2-x1 解: 设A，B坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），=-b2a2 •x2+x1 y2+y1又∵线段AB的垂直平分线方程为y- y1+y22 =- x2-x1 y2-y1 （x-x1+x22 ）令y=0得 x0=x1+x22 •a2-b2a2又∵A，B是椭圆x2a2 + y2b2 = 1 上的点∴-a≤x1≤a，-a≤x2≤a，x1≠x2 以及-a≤x1+x22 ≤a∴ -a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a例2 如图，已知△OFQ的面积为S，且OF•FQ=1，若 12 < S <2 ，求向量OF与FQ的夹角θ的取值范围.分析:须通过题中条件建立夹角θ与变量S的关系，利用S的范围解题.解: 依题意有∴tanθ=2S∵12 < S <2 ∴1< tanθ<4又∵0≤θ≤π∴π4 <θ< p>例3对于抛物线y2=4x上任一点Q，点P（a，0）都满足|PQ|≥|a|，则a的取值范围是（）A a<0B a≤2C 0≤a≤2D 0<2< p>分析:直接设Q点坐标，利用题中不等式|PQ|≥|a| 求解.解: 设Q（ y024 ，y0）由|PQ| ≥a得y02+（ y024 -a）2≥a2 即y02（y02+16-8a）≥0∵y02≥0 ∴（y02+16-8a）≥0即a≤2+ y028 恒成立又∵ y02≥0而 2+ y028 最小值为2 ∴a≤2 选（ B ）二、利用判别式构造不等式在解析几何中，直线与曲线之间的位置关系，可以转化为一元二次方程的解的问题，因此可利用判别式来构造不等式求解.例4设抛物线y2 = 8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线L与抛物线有公共点，则直线L的斜率取值范围是（）A [-12 ，12 ]B [-2，2]C [-1，1]D [-4，4]分析:由于直线l与抛物线有公共点，等价于一元二次方程有解，则判别式△≥0解:依题意知Q坐标为（-2，0），则直线L的方程为y = k（x+2）由得 k2x2+（4k2-8）x+4k2 = 0∵直线L与抛物线有公共点∴△≥0 即k2≤1 解得-1≤k≤1 故选（C）例5 直线L: y = kx+1与双曲线C: 2x2-y2 = 1的右支交于不同的两点A、B，求实数k的取值范围.分析:利用直线方程和双曲线方程得到x的一元二次方程，由于直线与右支交于不同两点，则△>0，同时，还需考虑右支上点的横坐标的取值范围来建立关于k的不等式.解：由得（k2-2）x2 +2kx+2 = 0∵直线与双曲线的右支交于不同两点，则解得 -2<-2< p>三、利用点与圆锥曲线的位置关系构造不等式曲线把坐标平面分成三个区域，若点P（x0，y0）与曲线方程f（x，y）=0关系：若P 在曲线上，则f（x0，y0）=0;若P在曲线内，则f（x0，y0）<0;若P在曲线外，则f（x0，y0）>0;可见，平面内曲线与点均满足一定的关系。
解析几何中参数取值范围问题求解策略
解析几何中参数取值范围问题求解策略
田宝运; 牛本富
【期刊名称】《《中学数学研究》》
【年(卷),期】2003(000)009
【摘要】解析几何中求参数范围问题,一直是高中数学教学的重点与难点,也是各类考试的热点.它所涉及的内容丰富、综合性强.本文就解析几何中如何确定参数取值范围,给出以下几种解答策略,供参考.策略一、分层讨论法对参数的一切可取值,按一定的逻辑分类,进行分析、讨论,最后总结归纳使问题得到解决,这是一种最基本的确定参数取值范围的方法.例1 试就 k 的变化范围讨论方程 x^2/(4-k)+(k-
2)y^2=1+k 所表示的曲线形状.解:(1)当 k>4时,原方程化为x^2/(4-
k)(1+k)+y^2/(k+1/k-2)=1.(*)
【总页数】3页(P26-28)
【作者】田宝运; 牛本富
【作者单位】山东省沂南县第一中学276300
【正文语种】中文
【中图分类】G633.603
【相关文献】
1.例谈解析几何参数取值范围问题的求解方法 [J], 吴建涛
2.解析几何中参数取值范围问题求解策略 [J], 田宝运;牛本富
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4.以数释形精入微以形助数达直观——例析解析几何取值范围问题的基本求解策略 [J], 蔡海涛
5.也谈解析几何参数取值范围问题的求解策略 [J], 尚兴琴
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解析几何中参数取值范围问题（精）
解析⼏何中参数取值范围问题（精）解析⼏何中参数取值范围问题⼀．学习⽬标：1、掌握求参数取值范围的基本思路与⽅法，会解决⼀些简单的求参数取值问题；2、了解双参数问题的求解思路。
⼆．思想⽅法技巧1．利⽤数形结合思想求解：挖掘参数的⼏何意义，转化为直线斜率、距离等问题求解； 2．通过建⽴参数的不等式求解：（1）利⽤题设中已有的不等关系建⽴不等式；（2）利⽤判别式建⽴不等式（3）利⽤图形特征建⽴不等式 3．双参数问题求解策略：建⽴参数的不等式、⽅程的混合组，通过消元转化为⼀元不等式，或转化为求函数值域问题求解。
4、分类讨论思想的运⽤三．基础训练1．已知两点A （－3，4）．B （3，2），过点P （2，－1）的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是（）A ．[1,3]-B ．(1,3)-C ．(,1][3,)-∞-?+∞D ．(,1)(3,)-∞-?+∞2．直线y kx =与双曲线221169x y -=不相交，则k 的取值范围是 3．已知直线l 过点），（02-，当直线l 与圆x y x 222=+有两个交点时，其斜率k 的取值范围是（）（A ）），（2222-（B ）），（22-（C ）），（4242-（D ）），（8181-⼆．典型例题1．若直线y=x+b 与曲线21y x -=恰有⼀个公共点,则有b 的取值范围是。
2．双曲线1422=+ky x 的离⼼率为e ，且e ∈(1，2)则k 的范围是________。
3．若直线y x b =+与曲线224(0)x y y +=≥有公共点，则b 的取值范围是（）A ． [2,2]-B ． [0,2]C ．D ． [-4．直线y=kx －2与焦点在x 轴上的椭圆1522=+my x 恒有公共点，求m 的取值范围5．已知椭圆C ：2214x y += 和直线:2l y x m =+，椭圆C 上存在两个不同的点A 、B 关于直线l 对称，求m 的取值范围三．巩固练习1．若平⾯上两点A （-4，1），B （3，-1），直线2+=kx y 与线段AB 恒有公共点，则k 的取值范围是。
解析几何中的取值范围问题
解析几何中的取值范围问题
在解析几何中，取值范围问题是非常重要的一个部分。
一般来说，我们需要根据题意来确定自变量的取值范围，进而求解函数的值域或图像。
下面是一些常见的取值范围问题的解决方法:
1. 明确函数的定义域：在求解函数值域时，我们需要明确函数的定义域。
通常情况下，函数的定义域是求解域的子集，但也可能会出现定义域不包含求解域的情况。
2. 分析函数的导数：在求解函数值域时，我们可以利用函数的导数来确定其值域。
一般情况下，函数的导数在区间端点处取值为零，但在一些特殊情况下，导数可能不为零。
3. 利用不等式来确定取值范围：在解析几何中，我们经常利用不等式来确定自变量的取值范围。
例如，利用均值不等式、柯西不等式、排序不等式等。
4. 利用几何图形来确定取值范围：在解析几何中，几何图形是非常重要的一部分。
我们可以通过几何图形来直观理解自变量的取值范围，进而求解函数的值域或图像。
在实际应用中，取值范围问题是非常常见的。
因此，我们需要熟练掌握各种取值范围问题的解决方法，并能够灵活运用这些方法来解决实际的问题。
拓展:
在解析几何中，还有一种非常重要的取值范围问题，那就是参数方程的取值范围问题。
一般来说，参数方程的取值范围取决于参数的取值。
我们需要根据题意来确定参数的取值范围，进而求解参数方程的值域或图像。
在求解参数方程的值域或图像时，我们可以利用参数方程的导数和不等式等方法来确定其取值范围。
解析几何中求参数取值范围的5种常用方法
解析几何中求参数取值范围的5种常用方法解析几何中求参数取值范围的5种常用方法及经典例题详细解析：一、利用曲线方程中变量的范围构造不等式曲线上的点的坐标往往有一定的变化范围，如椭圆 x2a2 + y2b2 = 1上的点P（x，y）满足-a≤x≤a，-b≤y≤b，因而可利用这些范围来构造不等式求解，另外，也常出现题中有多个变量，变量之间有一定的关系，往往需要将要求的参数去表示已知的变量或建立起适当的不等式，再来求解.这是解决变量取值范围常见的策略和方法.例1 已知椭圆 x2a2 + y2b2 = 1 （a>b>0），A，B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P（x0，0）求证:-a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a分析:先求线段AB的垂直平分线方程，求出x0与A，B横坐标的关系，再利用椭圆上的点A，B满足的范围求解.（x1≠x2）代入椭圆方程，作差得: y2-y1x2-x1 解: 设A，B坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），=-b2a2 •x2+x1 y2+y1又∵线段AB的垂直平分线方程为y- y1+y22 =- x2-x1 y2-y1 （x-x1+x22 ）令y=0得 x0=x1+x22 •a2-b2a2又∵A，B是椭圆x2a2 + y2b2 = 1 上的点∴-a≤x1≤a，-a≤x2≤a，x1≠x2 以及-a≤x1+x22 ≤a∴ -a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a例2 如图，已知△OFQ的面积为S，且OF•FQ=1，若 12 < S <2 ，求向量OF与FQ的夹角θ的取值范围.分析:须通过题中条件建立夹角θ与变量S的关系，利用S的范围解题.解: 依题意有∴tanθ=2S∵12 < S <2 ∴1< tanθ<4又∵0≤θ≤π∴π4 <θ< p>例3对于抛物线y2=4x上任一点Q，点P（a，0）都满足|PQ|≥|a|，则a的取值范围是（）A a<0B a≤2C 0≤a≤2D 0<2< p>分析:直接设Q点坐标，利用题中不等式|PQ|≥|a| 求解.解: 设Q（ y024 ，y0）由|PQ| ≥a得y02+（ y024 -a）2≥a2 即y02（y02+16-8a）≥0∵y02≥0 ∴（y02+16-8a）≥0即a≤2+ y028 恒成立又∵ y02≥0而 2+ y028 最小值为2 ∴a≤2 选（ B ）二、利用判别式构造不等式在解析几何中，直线与曲线之间的位置关系，可以转化为一元二次方程的解的问题，因此可利用判别式来构造不等式求解.例4设抛物线y2 = 8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线L与抛物线有公共点，则直线L的斜率取值范围是（）A [-12 ，12 ]B [-2，2]C [-1，1]D [-4，4]分析:由于直线l与抛物线有公共点，等价于一元二次方程有解，则判别式△≥0解:依题意知Q坐标为（-2，0），则直线L的方程为y = k（x+2）由得 k2x2+（4k2-8）x+4k2 = 0∵直线L与抛物线有公共点∴△≥0 即k2≤1 解得-1≤k≤1 故选（C）例5 直线L: y = kx+1与双曲线C: 2x2-y2 = 1的右支交于不同的两点A、B，求实数k的取值范围.分析:利用直线方程和双曲线方程得到x的一元二次方程，由于直线与右支交于不同两点，则△>0，同时，还需考虑右支上点的横坐标的取值范围来建立关于k的不等式.解：由得（k2-2）x2 +2kx+2 = 0∵直线与双曲线的右支交于不同两点，则解得 -2<-2< p>三、利用点与圆锥曲线的位置关系构造不等式曲线把坐标平面分成三个区域，若点P（x0，y0）与曲线方程f（x，y）=0关系：若P 在曲线上，则f（x0，y0）=0;若P在曲线内，则f（x0，y0）<0;若P在曲线外，则f（x0，y0）>0;可见，平面内曲线与点均满足一定的关系。
解析几何中有关参数范围问题的求解策略
由 ＝（ ｆ ＋ １ ｙ
ｙ －＋ ＝ｘｍ 得 到关于 Ｘ的一元二次方程 利用 Ａ＝ 得 ｍ＝ ． 上所得 ， ２ ／ ＋ ≤ｍ＜２ ／ ＋ Ｏ ６综 一 、 １ 、 １
戥 ｍ
ｙ
Ｊ
２ ＝ ２ 从 而 弦 Ａ 的 中点 Ｍ （ ｃ ｋ一 ｃ， Ｂ
， ）， 此 及 一 由
问题 的 求解 策 略
高 瑞 芳
（ 西 煤化 高级 技 Ｔ学 校 ， 汾 山西 介 休
设Ｂ Ｃ Ｃ、 Ａ这两条直线的斜率分别为 ｋ 、２ １ ｋ ，则由斜 率的 摘 要： 针对技 校学生 的特 点 ， 运用函数思想 、 方程 思想 、 定义可知 ， 直线 ｎ） ｙ ２ ０的斜率 ｋ应满足 ｋ １或 ｋ １＋ ＋ ＝ （ ≥ｋ ≤
点Ｍ 直 上 一 一 ｋ 孚 一ｊ ｃｋ，２ 在 线１得：ｋ １ （Ｚ １ ２ ３ ， 下 ＝ ） — － ＿ ｃ Ｋ ｋ ＋
代入 （）式得 ：２ （３ｋ ２ ＞０ １ ｋ—２ｋ－ ＋ ） ｊ 一
１
一
＜ ｋ ２ ０ ＋ ）
＼
、
户
＿一 ＼
｝
２ ＋） ｋ ２＜０，
一
、
运用数形结合探求参数范围
３已 】 知抛物线的顶点在原点， 以双曲 善 线ｘ 一
＝ １的左 准线 为 准线 。
【 Ｉ为 值 ， 线 ＝ ＋ 与 椭 斋 ＋ 例１ 何 时 直 ｙ ｘ 半 圆 ａ ｒ －ｍ
； ＝ （ ） １ｙ 只有一个公共点？ ≥１
分析 ： 因为椭圆 立 ＋ ２ ０
ｃ
数形结合思想等方法进行讲授 ， 是提高解析 几何 教学质量 的一种手段。
Ｊ
ｋ ，． （２３ （ ２． １ ÷ ｋ － ２ 。 一 ，）Ｂ３ ）． ＝ 。 Ａ ， 。 ｋ ２ ÷ ＝
解析几何中有关参数范围问题的求解策略
ｚ＝ １ ＋ｌ ＋ … ０ １ ＋２ ０．
旦． 凡
或 Ｊ ＝４ ｓ ．
＝丁 １
，
由 公 式 ３ 得 ， ＝
… … 鲁：
一
Ｓ ． ＝ １． １
的通 项 公 式 ．
综 上 ，口 ｔ的 通 项 为 （ ｛ Ｉ ｎ＝ １或 口 ＝ Ｔ ３ ２
一
解 条得 ・ ＝ ） ① 由件 孚 了 （ Ｓ ， 例 ５ ｛ ｝是等差数列 ， ＋口 ＋口ｌ ０， ４ 口 ６＋… ５＝１ ０， ０＋口ｌ ０ 孚孚 ＋ ② 口ｊ＋口２ ＋… ＋口” ＝３ 求 口ｌ Ｉ ＋… ＋口２的值． ２ ６ 解 设 Ａ ＝口 ｊ＋口 ６＋… ＋口５＝ １ 其 中 ＝ Ｉ ０， 出式得 一． 公 ２ ≥＝４亍 ３３ 一３ ③ ５＋６＋… ＋ｌ ；４ ＝口２ ＋… ＋口 ＝３ ， 中 ５． ＋口 ” ０其
Ｓ ＝ （ｎ ４ ）×了 Ｓ ３
，
其中 Ａ＝
Ａ ＋Ａ’ Ａ
ｌ＋Ａ
１． ５ 故 ｌ ｏ＋口Ｉ＋… ＋口０＝ １ Ｉ ２ ５
运用 ＋ ）÷ 相 同． 公式 ３要 注意公式 中互个式 子 中所 含项数 （ ×． （当 孚 ÷ ，＝了２６ １ Ｊ ＾； 时 一 ＋ｎ ）ｓ ＝ ｓ ６ 丁， ｎ２
解析几何中有关参数范 围问题的求解策略
王蓼 中
（ 肃省案 泰县第二 中学 甘 解析几何 Ｌ 的参 数范 围问题 屉一 类 综 合性 强 、 ｆ Ｊ ・
变 量 多 、 及 知 以 广 的 题 目 ， 而 也 是 解 几 中 的 一 涉 因 ．
解析几何中有关参数范围问题的求解策略
（ 求 抛 物 线 ｃ 的 Ｉ） 方程 ； （ 若 直线 ｚ ’一１ Ⅱ） ：，
＝
ｙ ＝６一ｂ ２ｙ ２ ２ ； ｝ ２ ＝６一ｂ
，
。
ｋ 一１ （ ≠０ 垂 直 平 （ ）ｋ ）
图２
从 而 由 一ｎ ｌ ０ 一０ ２ ， ≤ ≤ ， ≤ ≤Ⅱ 可得
＜ ＜ 二 。 。
．
・
． ．
ｍ ：２
＋１ 。
由
ｆ 一 ＋ ， ＝）１ 到 于 的 于 点 Ｊ（ Ｏ，）， 明 ：一旦 ＋ ｎ １≥ ， 关 一 （） ， 得 ＰＸ ０ 证 【 ｙ＝
，
元二次方程 ， 由其判别式等于 ０求得 ｍ＝６ ， 。 综上所得 ， —２ ≤ｍ＜１ ４ 或 ｍ＝６ １ ＋２ ３ 。 二、 构造含参不等式探求参数范 围 例 ２ 已知抛 物线 Ｃ 的顶 点 在 原 点 ， 双 曲线 以 ＼ ／
Ｉ ，
一
分 析 ： 证 Ｘ满 足 关 于 参 数 。 ｂ的 不 等 式 ， 欲 ０ 、 须 从 题 中找 出 不 等 关 系 。 由 椭 圆 的 性 质 可 知 ， 圆 上 椭 的 点 的 坐 标 满 足 如 下 条件 ： ≤ ≤ ， 一ｏ ａ 因此 问 题 转 化 为 寻 求 Ｘ与 的关 系 。 ｏ 简解 ： 由题 设 知 ， Ｐ在 线 段 Ａ 的 垂 直 平 分 线 点 Ｂ
图１
１ ｙ≥ １ 为 半 条 曲 （ ）
线， 若利用方程观点研究这类问题 ， 则需将之转化成 根 的分 布 问题 ， 样 做 较 麻 烦 且 易 出 错 。若 用 数 形 这 结合 的思想 来研 究 ， 则直 观 易解 。如 图 １ ｚ、２ ｆ ，１ ｚ、３ 是 直 线 系 ， 一 ＋ｍ 中 的三 条 直 线 ， 三 条 直 线 是 ， ＝ 这 直 线 系 中的 直 线 与 半 椭 圆 交 点 个 数 的 “ 线 ” 在 Ｚ 界 ， 与 ｆ之 间 的直 线 （ ｚ， 含 ｚ 及 １都 是 与 半 椭 圆 ２ 含 １不 ２ ） 只有 一 个 公 共 点 的 直线 ， ｍ 是 这 些 直 线 在 ｙ轴 上 而 的截 距 ， 由此 可 求 ｍ 的范 围 。 简 解 ：Ｉ （ ２ ３，） Ｚ过 一 ４ １ ，
解析几何中的范围问题的解法
解析河北迁安一中 汪昌武 邮编 064400在解析几何中，求参数的取值范围是高考重点考查内容之一。
求参数的取值范围的关键是构建不等关系，现就构造不等关系提供如下方法： 1． 判别式法例1． 曲线()222:10x C y a a-=>与直线:1l x y +=相交于不同两点B A 、。
求双曲线离心率的取值范围。
解：双曲线222:1x C y a-=与直线:l x y + 211220x x a ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭依条件得得22021a a <<≠且 又c e a a=== )2e ⎛∴∈⋃+∞⎝⎭说明：解本题的关键是抓住直线与圆锥曲线有两个不同交点，构造关于a 的不等关系，从而达到求e 得范围的目的。
2． 重要不等式法 例2．椭圆()222210x y a b ab+=>>两焦点为12,F F ，M 是椭圆上一点，且满足120F M F M =。
求椭圆离心率e 的范围。
解：由120F M F M = 得122F M F π∠=，在12Rt F M F 中，22212||||4F M F M c+= 又有椭圆定义 12||||2F M F M a +=()212222212||||4||||22F M F M c F M F M a+∴=+≥=，12e ∴≤<。
说明：解本题的关键是构造a ，b ，c 基本量的不等关系。
3． 比对法例3．求使抛物线()2:10C y ax a =-≠上有不同两点关于直线:0l x y +=对称。
求实数a 的取值范围。
解：设()11,A x y ， ()22,B x y 是C 上关于:0l x y +=对称的两点，易知0a >，()00,M x y 是A ，B 的中点。
则有2111y ax =-，2221y ax =- 两式相减得()()121212y y a x x x x -=-+ 又12121y y x x -=- 且 1202x x x +=021ax ∴=， 012x a=， 012y a=-。
高考解析几何题求参数取值范围的九种途径
高考解析几何题求参数取值范围的九种途径解析几何中确定参数的取值范围是一类转为常见的探索性问题，历年高考试题中也常出现此类问题。
由于不少同学在处理这类问题时无从下手，不知道确定参数范围的函数关系或不等关系从何而来，下面通过一些实例介绍这类问题形成的几个背景及相应的解法，期望对同学们的备考有所帮助。
背景之一：题目所给的条件利用题设条件能沟通所求参数与曲线上点的坐标或曲线的特征参数之间的联系，建立不等式或不等式组求解。
这是求范围问题最显然的一个背景。
例1：椭圆),0(12222为半焦距c b c a by a x >>>=+的焦点为F 1、F 2，点P(x , y )为其上的动点，当∠F 1PF 2为钝角时，点P 的横坐标的取值范围是___。
解：设P(x 1, y )，∠F 1PF 2是钝角⇔cos ∠F 1PF 2 =||||2||||||212212221PF PF F F PF PF ⋅-+222212221)(||||||0y c x F F PF PF ++⇔<+⇔<2)(c x -+22224y x c y +⇔<+22222222222)(x ab ac x a a b x c -⇔<-+⇔<)(2222222b c c a x b c -<⇔-< 2222b c ca xbc c a -<<--⇔。
说明：利用∠F 1PF 2为钝角，得到一个不等式是解题的关键。
把本题特殊化就可以得到某年全国高考题理科第14题：椭圆14922=+y x 的焦点为F 1、F 2，点P 为其上的动点，当∠F 1PF 2为钝角时，点P 横坐标的取值范围是__________。
（答案为 x 553(-∈，)553）背景之二：曲线自身的范围圆、椭圆、双曲线及抛物线都有自身的范围，如椭圆a by a x (12222=+>b>0)中，x ,10],,[],,[<<-∈-∈e b b y a a ，利用这些范围是确定参数范围的途径之一。
解析几何中有关参数范围问题的求解策略
解析几何中有关参数范围问题的求解策略解析几何中的参数范围问题是历年高考中的重点考查内容，但这一类题综合性强、变量多、涉及知识面广，是一个难点问题．这类问题往往运用函数思想、方程思想、数形结合思想等，将问题转化为求函数的值域或最值等来解决．一、运用数形结合探求参数范围例1m为何值时，直线y=-x+m与半椭圆(y≥ 1)只有一个公共点？分析因为椭圆(y≥1)为半条曲线，若利用方程观点研究这类问题则需转化成根的分布问题，较麻烦且易出错，若用数形结合的思想来研究直观易解．如图1， l1、l2、l3是直线系y=-x+m中的三条直线，这三条直线是直线系中的直线与半椭圆交点个数的“界线”，在 l1与 l2之间的直线（含l1，不含 l2）及 l3都是与半椭圆只有一个公共点的直线，而m 是这些直线在y轴上的截距，由此可求m的范围．简解 l1过（-，1），∴1=+m ，∴m=-+1 ．l2过（，1），∴1=-+m ，∴m=+1由y=-x+m(y≥ 1)得到关于x的一元二次方程.利用△=0得m=6. 综上所得，1-≤ m<1+或m=6.二．构建函数关系探求参数范围例2 （2005高考题广西卷）P、Q、M、N四点都在椭圆上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点．已知与共线，与共线，且．求四边形PMQN的面积的最小值和最大值．分析显然，我们只要把面积表示为一个变量的函数，然后求函数的最值即可,即“最值问题，函数思想”．解如图2，由条件知MN和PQ是椭圆的两条弦，相交于焦点F（0,1），且PQ⊥MN，直线PQ、NM中至少有一条存在斜率，不妨设PQ的斜率为k，又PQ过点F（0,1），故PQ方程为y=kx+1.将此式代入椭圆方程得.设P、Q两点的坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2) ,则从而亦即，⑴当故四边形面积.令因为所以⑵当综合⑴、⑵知，四边形PMQN面积的最大值为2，最小值为16/9.三．构造含参不等式探求参数范围例3 （2001春季高考题）已知抛物线y2=2px(p>0)，过M（a,0）且斜率为1的直线L与抛物线交于不同的两点A、B，|AB|≤ 2p．（1）求a的取值范围；（2）若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求△NAB面积的最大值．分析这是一道直线与圆锥曲线位置关系的问题，对于（1），可以设法得到关于a的不等式，通过解不等式求出a的范围，即：“求范围，找不等式”．或者将a表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出a的范围；对于（2）首先要把△NAB的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值．解(1)直线L的方程为：y=x-a,将y=x-a 代入抛物线方程y2=2px,设直线L与抛物线两交点的坐标分别为A（x1,y1）,B(x2,y2)，则，，．又y1=x1-a,y2=x2-a ,，又解得.(2) 令AB中点为Q ，=,即△NAB面积的最大值为.例4 (2000年高考题)已知梯形ABCD中，|AB|=2|CD|，点E满足，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点，当时，求双曲线离心率e的取值范围．分析显然，我们只要找到e与λ的关系，然后利用解不等式或求函数的值域即可求出e的范围．解如图3，建立坐标系，这时CD⊥y轴，因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称．依题意，记A(-C,0)，C(c/2 ,h)，E(x0,y0),其中c=|AB|/2 为双曲线的半焦距，h是梯形的高．由,即(x0+c,y0)=λ(c/2 -x0,h-y0)，得.设双曲线的方程为,则离心率e=c/a。
数学解析几何中参数取值范围求解技巧
解析几何中参数取值范围求解技巧 云南省文山州砚山一中，〔663100〕 马兴奎趣题引入动圆P 与定圆B ：0315222=-++x y x 内切，且动圆P 经过一定点A 〔5，0〕，〔Ⅰ〕求动圆圆心P 的轨迹方程；〔Ⅱ〕假设点D 〔0，3〕，M 、N 在动点P 的轨迹上，且DM λ=，求实数λ的取值范围.解决此题就要利用到本讲的解法技巧求解。
技巧精髓直线和圆锥曲线的相交问题是解析几何的重要研究对象,也是高考的热点问题,解题所涉及的知识点较多,综合性强,难度大,本将就一类直线和圆锥曲线相交问题求参数取值范围的解法进行探究,介绍一种较为方便的处理方法。
一﹑从圆锥曲线的存在范围出发，产生不等量关系,确定参数的取值范围。
二﹑从直线和二次曲线的位置关系出发，利用判别式的符号，确定参数的取值范围。
三﹑ 利用点与曲线的位置关系，产生不等量关系,确定参数的取值范围。
四、利用题中其他变量的范围，借助于方程产生参变量的函数表达式,确定参数的取值范围.五、从圆锥曲线的内蕴性质中，挖掘不等量关系,确定参变量的取值范围名题面对面[例1] 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，给定两点A 〔1，0〕、B 〔0，2〕，点C 满足OC = αOA +βOB ，其中α ，R ∈β，且.122=+βα 〔Ⅰ〕求点C 的轨迹方程；〔Ⅱ〕过点D 〔2，0〕的直线l 和点C 的轨迹交于不同的两点M 、N ，且M 在D 、N 之间，且DM λ=的取值范围求λ,。
[绿色通道]〔Ⅰ〕设点),(y x C ，由βα+= 即 )2,0()0,1(),(βα+=y x∴⎩⎨⎧==βα2y x 即⎪⎩⎪⎨⎧==2y xβα 代入122=+βα得点C 的轨迹方程为1422=+y x 。
此题第〔II 〕问可用多个切入点求解：由DM λ=得⎩⎨⎧=-=-2121)2(2y y x x λλ，突破口1：利用)2(221-=-x x λ选择消y ，消元中注意把21-x 和22-x 视为一个整体，否那么会陷入解题困境。
解析几何中求参数取值范围的5种常用方法
解析几何中求参数取值范围的5种常用方法及经典例题详细解析：一、利用曲线方程中变量的范围构造不等式曲线上的点的坐标往往有一定的变化范围，如椭圆x2a2 + y2b2 = 1上的点P（x，y）满足-a≤x≤a，-b≤y≤b，因而可利用这些范围来构造不等式求解，另外，也常出现题中有多个变量，变量之间有一定的关系，往往需要将要求的参数去表示已知的变量或建立起适当的不等式，再来求解.这是解决变量取值范围常见的策略和方法.例1 已知椭圆x2a2 + y2b2 = 1 （a>b>0），A，B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P（x0，0）求证:-a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a分析:先求线段AB的垂直平分线方程，求出x0与A，B横坐标的关系，再利用椭圆上的点A，B满足的范围求解.解: 设A，B坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），（x1≠x2）代入椭圆方程，作差得: y2-y1x2-x1 =-b2a2 •x2+x1 y2+y1又∵线段AB的垂直平分线方程为y- y1+y22 =- x2-x1 y2-y1 （x-x1+x22 ）令y=0得x0=x1+x22 •a2-b2a2又∵A，B是椭圆x2a2 + y2b2 = 1 上的点∴-a≤x1≤a，-a≤x2≤a，x1≠x2 以及-a≤x1+x22 ≤a∴ -a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a例2 如图，已知△OFQ的面积为S，且OF•FQ=1，若12 < S <2 ，求向量OF与FQ的夹角θ的取值范围.分析:须通过题中条件建立夹角θ与变量S的关系，利用S的范围解题.解: 依题意有∴tanθ=2S∵12 < S <2 ∴1< tanθ<4又∵0≤θ≤π∴π4 <θ< p>例3对于抛物线y2=4x上任一点Q，点P（a，0）都满足|PQ|≥|a|，则a的取值范围是（）A a<0B a≤2C 0≤a≤2D 0<2< p>分析:直接设Q点坐标，利用题中不等式|PQ|≥|a| 求解.解: 设Q（y024 ，y0）由|PQ| ≥a得y02+（y024 -a）2≥a2 即y02（y02+16-8a）≥0∵y02≥0 ∴（y02+16-8a）≥0即a≤2+ y028 恒成立又∵ y02≥0而2+ y028 最小值为2 ∴a≤2 选（B ）二、利用判别式构造不等式在解析几何中，直线与曲线之间的位置关系，可以转化为一元二次方程的解的问题，因此可利用判别式来构造不等式求解.例4设抛物线y2 = 8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线L与抛物线有公共点，则直线L的斜率取值范围是（）A [-12 ，12 ]B [-2，2]C [-1，1]D [-4，4]分析:由于直线l与抛物线有公共点，等价于一元二次方程有解，则判别式△≥0解:依题意知Q坐标为（-2，0），则直线L的方程为y = k（x+2）由得k2x2+（4k2-8）x+4k2 = 0∵直线L与抛物线有公共点∴△≥0 即k2≤1 解得-1≤k≤1 故选（C）例5 直线L: y = kx+1与双曲线C: 2x2-y2 = 1的右支交于不同的两点A、B，求实数k 的取值范围.分析:利用直线方程和双曲线方程得到x的一元二次方程，由于直线与右支交于不同两点，则△>0，同时，还需考虑右支上点的横坐标的取值范围来建立关于k的不等式.解：由得（k2-2）x2 +2kx+2 = 0∵直线与双曲线的右支交于不同两点，则解得-2<-2< p>三、利用点与圆锥曲线的位置关系构造不等式曲线把坐标平面分成三个区域，若点P（x0，y0）与曲线方程f（x，y）=0关系：若P 在曲线上，则f（x0，y0）=0;若P在曲线内，则f（x0，y0）<0;若P在曲线外，则f（x0，y0）>0;可见，平面内曲线与点均满足一定的关系。
高中数学必备知识点 解析几何中求参数取值范围的5种常用方法
一、利用曲线方程中变量的范围构造不等式曲线上的点的坐标往往有一定的变化范围，如椭圆 x2a2 + y2b2 = 1上的点P（x，y）满足-a≤x≤a，-b≤y≤b，因而可利用这些范围来构造不等式求解，另外，也常出现题中有多个变量，变量之间有一定的关系，往往需要将要求的参数去表示已知的变量或建立起适当的不等式，再来求解.这是解决变量取值范围常见的策略和方法.例1 已知椭圆 x2a2 + y2b2 = 1 （a>b>0），A，B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P（x0，0）求证:-a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a分析:先求线段AB的垂直平分线方程，求出x0与A，B横坐标的关系，再利用椭圆上的点A，B满足的范围求解.解: 设A，B坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），（x1≠x2）代入椭圆方程，作差得: y2-y1x2-x1 =-b2a2 •x2+x1 y2+y1又∵线段AB的垂直平分线方程为y- y1+y22 =- x2-x1 y2-y1 （x-x1+x22 ）令y=0得x0=x1+x22 •a2-b2a2又∵A，B是椭圆x2a2 + y2b2 = 1 上的点∴-a≤x1≤a，-a≤x2≤a，x1≠x2 以及-a≤x1+x22 ≤a∴ -a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a例2 如图，已知△OFQ的面积为S，且OF•FQ=1，若 12 < S <2 ，求向量OF与FQ的夹角θ的取值范围.分析:须通过题中条件建立夹角θ与变量S的关系，利用S的范围解题.解: 依题意有∴tanθ=2S∵12 < S <2 ∴1< tanθ<4又∵0≤θ≤π∴π4 <θ< p>例3对于抛物线y2=4x上任一点Q，点P（a，0）都满足|PQ|≥|a|，则a 的取值范围是（）A a<0B a≤2C 0≤a≤2D 0<2< p>分析:直接设Q点坐标，利用题中不等式|PQ|≥|a| 求解.解: 设Q（ y024 ，y0）由|PQ| ≥a得y02+（ y024 -a）2≥a2 即y02（y02+16-8a）≥0∵y02≥0 ∴（y02+16-8a）≥0即a≤2+ y028 恒成立又∵ y02≥0而 2+ y028 最小值为2 ∴a≤2 选（ B ）二、利用判别式构造不等式在解析几何中，直线与曲线之间的位置关系，可以转化为一元二次方程的解的问题，因此可利用判别式来构造不等式求解.例4设抛物线y2 = 8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线L与抛物线有公共点，则直线L的斜率取值范围是（）A [-12 ，12 ]B [-2，2]C [-1，1]D [-4，4]分析:由于直线l与抛物线有公共点，等价于一元二次方程有解，则判别式△≥0解:依题意知Q坐标为（-2，0），则直线L的方程为y = k（x+2）由得 k2x2+（4k2-8）x+4k2 = 0∵直线L与抛物线有公共点∴△≥0 即k2≤1 解得-1≤k≤1 故选（C）例5 直线L: y = kx+1与双曲线C: 2x2-y2 = 1的右支交于不同的两点A、B，求实数k的取值范围.分析:利用直线方程和双曲线方程得到x的一元二次方程，由于直线与右支交于不同两点，则△>0，同时，还需考虑右支上点的横坐标的取值范围来建立关于k的不等式.解：由得（k2-2）x2 +2kx+2 = 0∵直线与双曲线的右支交于不同两点，则解得 -2<-2< p>三、利用点与圆锥曲线的位置关系构造不等式曲线把坐标平面分成三个区域，若点P（x0，y0）与曲线方程f（x，y）=0关系：若P在曲线上，则f（x0，y0）=0;若P在曲线内，则f（x0，y0）<0;若P在曲线外，则f（x0，y0）>0;可见，平面内曲线与点均满足一定的关系。
2013年高中数学教学论文-在解析几何中求参数范围的9种方法
2013年高中数学教学论文-在解析几何中求参数范围的9种方法D22221m y m x --=1 ②将①式代入②，解得222251)1(m m m x --=由22m x≥且012>-m，得<<⇒>-m m55051255，又m 0≠∴ )0,55(-∈m (0,)55说明：P 到x 轴、y 轴距离之比为2，所以P不能在x 轴上，由此得到m 0≠，这一隐含条件容易忽视。
例4：（2004年全国卷Ⅲ理科21题 文科22题）设椭圆1122=++y m x 的两个焦点是F 1(－c, 0)与F 2(c, 0) (c > 0)，且椭圆上存在一点P ，使得直线PF 1与PF 2垂直。
(1)求实数m 的取值范围；(2)设l 相应于焦点F 2的准线，直线PF 2与l 相交于Q ，若32||2-=PF QF ，求直线PF 2的方程。
解：(1)依题设有m ＋1>1,即m > 0，c =m ,设点P 的坐标为(x 0, y 0)，由PF 1⊥PF 2 ，得m y x cx y c x y =+⇒-=+⋅-202000001 ① 将①与112020=++y m x 联立，解得xmy m m 1,12020=-=由此得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>≤≤+≤-≤01101102m m m m m 1≥⇒m故m 1[∈, +∞)(2)答案为y =±(23-) (x-2) ( 解答略) 背景之三：二次方程有解的条件直线和圆锥曲线的关系，是解析几何中最常见的关系，它们联立消元后所得的判别式非负是直线和圆锥曲线有公共点的充要条件；若有限制条件，则还应考虑根的分布情况等，这是确定参数取值范围的一个常见背景。
例5：（全国高考题）给定双曲线x ２－22y = 1，过点B(1，1)能否作直线 l ，使l 与所给双曲线交于P 1及P 2，且点B 是线段P 1P 2的中点？这样的直线l 如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由。
解析几何中求参数取值范围的方法
解析几何中求参数取值范围的方法几何中的求解参数取值范围是高中数学学习中需要重点掌握的知识点，这不论是在平常的考试或者是高考中都占有较大的比分值。
本文从数形结合、建立不等式、几何图形的性质以及函数与方程思想四个方面对几何中求参数取值范围进行了一定的分析，以期为广大高中生提供参考。
解析几何在高中的学习知识中，涉及的范围广，且大部分具有难度性，所以学生在学习参数取值这方面的知识有一定的困难性。
这类问题考查的综合知识点强，给解题带来了很多困难。
所通过对几何中参数取值范围的解答进行归纳和总结，找出其中的方法对问题进行解决，从而激发学生的学习思维，掌握解题技巧，提高数学成绩。
数形结合求参数取值范围数与形在一定条件下是可以转化的，这也是数学中比较常见的解题方法。
以这样的方式可以使较为抽象的数学题变得更加浅显易懂，利于我们快速的掌握几何中参数取值范围。
在求解中，其基本思路就是数形的结合，重点把握点、线、面三者的性质和关系。
例如：在F ( 0)可以转化为3/2*sin e +1/cos B +2，所以将F (e)可看为两个点，分别为 A (cose , sin e)和B-2，-1），且线的斜率是3/2 倍，求K 的取值范围？解题分析：利用三角函数的解题思路，数形结合的即可进行解答。
首先将A （cos 9 , sin 9 ）看做是一个单位圆，且为单位圆X2+Y2=1 上的?拥悖?B（-2，-1）为单位圆外的一点，进行作图即可得出。
如图1所示，得出当K 的取值范围在[KBA1 ，KBA2] ，kBA1 等于0，假设出直线方程BA2 为：y+仁k （x+2）,最后结果K的是4/3，且在区域为[0, 2] 时，K 的取值范围为[0，4/3]。
对于数形这类知识点的解答，其基本思路一定要明确已知的条件，从题中的条件和结论出发，运用圆的公式和定理进行表达，画出相符合的图形，最后得出确定的答案。
建立不等式求参数取值范围几何题中出现的不等式称之为几何不等式，可以利用题中设定的不等式关系，根据相关公式运用不等式求参数的取值范围。
(no.1)2013年高中数学教学论文 在解析几何中求参数范围的9种方法
本文为自本人珍藏 版权所有 仅供参考从高考解几题谈求参数取值范围的九个背景解析几何中确定参数的取值范围是一类转为常见的探索性问题，历年高考试题中也常出现此类问题。
由于不少考生在处理这类问题时无从下手，不知道确定参数范围的函数关系或不等关系从何而来，本文通过一些实例介绍这类问题形成的几个背景及相应的解法，期望对考生的备考有所帮助。
背景之一：题目所给的条件利用题设条件能沟通所求参数与曲线上点的坐标或曲线的特征参数之间的联系，建立不等式或不等式组求解。
这是求范围问题最显然的一个背景。
例1：椭圆),0(12222为半焦距c b c a by a x >>>=+的焦点为F 1、F 2，点P(x , y )为其上的动点，当∠F 1PF 2为钝角时，点P 的横坐标的取值范围是___。
解：设P(x 1, y )，∠F 1PF 2是钝角⇔cos∠F 1PF 2 =||||2||||||212212221PF PF F F PF PF ⋅-+222212221)(||||||0y c x F F PF PF ++⇔<+⇔<2)(c x -+22224y x c y +⇔<+22222222222)(x ab ac x a a b x c -⇔<-+⇔<)(2222222b c c a x b c -<⇔-< 2222b c ca xbc c a -<<--⇔。
说明：利用∠F 1PF 2为钝角，得到一个不等式是解题的关键。
把本题特殊化就可以得到2000年全国高考题理科第14题：椭圆14922=+y x 的焦点为F 1、F 2，点P 为其上的动点，当∠F 1PF 2为钝角时，点P 横坐标的取值范围是__________。
（答案为 x 553(-∈，)553） 例2：（2000年全国高考题理科第22题）如图，已知梯形ABCD 中，AB =2CD ，点E 分有向线段AC 所成的比为λ，双曲线过点C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点。
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解析几何中参数范围问题的求解策略
解析几何中确定参数的取值范围是一类转为常见的探索性问题，历年高考试题中也常出现此类问题。
很多同学在处理这类问题时无从下手，不知道确定参数范围的函数关系或不等关系从何而来，下面我通过一些实例介绍这类问题形成的几个背景及相应的解法，希望同学们能有所收获。
背景之一：题目所给的条件
利用题设条件能沟通所求参数与曲线上点的坐标或曲线的特征参数之间的联系，建立不等式或不等式组求解。
这是求范围问题最显然的一个背景。
例1、椭圆),0(1
22
22为半焦距c b c a b
y a x >>>=+的焦点为F 1、F 2，点
P (x , y )为其上的动点，当∠F 1PF 2为钝角时，点P 的横坐标的取值范围是___。
例2、已知梯形ABCD 中，AB =2CD ，点E 分有向线段AC 所成的比为λ，
双曲线过点C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点。
当4
3
32≤≤λ时，求双曲线离心
率e 的取值范围。
背景之二：曲线自身的范围
圆、椭圆、双曲线及抛物线都有自身的范围，如椭圆a b
y a x (122
22=+>b >0)
中，x ,10],,[],,[<<-∈-∈e b b y a a ，利用这些范围是确定参数范围的途
径之一。
例3、设点P 到点M (－1，0)、N (1，0)距离之差为2m ，到x 轴、y 轴距离之比为2，求m 的取值范围。
例4、设椭圆
11
22
=++y m x 的两个焦点是F 1(－c , 0)与F 2(c , 0) (c > 0)，且椭圆上存在一点P ，使得直线PF 1与PF 2垂直。
(1)求实数m 的取值范围；
(2)设l 相应于焦点F 2的准线，直线PF 2与l 相交于Q ，若
32|
|2-=PF QF ，
求直线PF 2的方程。
背景之三：二次方程有解的条件
直线和圆锥曲线的关系，是解析几何中最常见的关系，它们联立消元后所得的判别式非负是直线和圆锥曲线有公共点的充要条件；若有限制条件，则还应考虑根的分布情况等，这是确定参数取值范围的一个常见背景。
例5、给定双曲线x ２
－2
2
y = 1，过点B (1，1)能否作直线l ，使l 与所给双曲
线交于P 1及P 2，且点B 是线段P 1P 2的中点？这样的直线l 如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由。
例6、已知直线1:+=kx y l 与双曲线12:2
2=-y x C 的右支交于不同的两点A 、B 。
(1)求实数k 的取值范围；
(2)是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由。
背景之四：已知变量的范围
利用题中给出的某个已知变量的范围，或由已知条件求出某个变量的范围，然后找出这个变量与欲求的参变量之间的关系，进而求解。
1、双参数中知道其中一个参数的范围；
例7、已知双曲线的中心在原点，右顶点为A (1, 0)，点P 、Q 在双曲线的右支上，点M (m , 0)到直线AP 的距离为1。
(1)若直线AP 的斜率为k ，且]3,3
3
[||∈k ，求实数m 的取值范围； (2)当12+=
m 时，APQ ∆的内心恰好是点M ，求此双曲线的方程。
例8、给定抛物线x y C 4:2=，F 是C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点。
(1)设l 的斜率为1，求与的夹角的大小；
(2)设]9,4[,∈=λλ若，求l 在y 轴上截距m 的变化范围。
2、双参数中的范围均未知 例9、设双曲线)0(1:
2
22
>=-a y a
x C 与直线1:=+y x l 相交于不同的两点A 、B 。
(1)求双曲线C 的离心率e 的取值范围；
(2)设直线l 与y 轴的交点为P ，且12
5
=，求a 的值。
例10、直线1+=kx y 与双曲线122=-y x 的左支交于A 、B 两点，直线l 经过点)0,2(-和AB 的中点，求直线l 在y 轴上的截距b 的取值范围。
背景之五：点在圆锥曲线内部或外部的充要条件
如果我们规定圆锥曲线包含焦点的区域称为圆锥曲线的内部，同时坐标平面被圆锥曲线所划分的另一部分称为圆锥曲线的外部，则不难写出点在内（外）部的充要条件同，以这些充要条件为背景的范围问题利用上述不等式即可获解。
例11、已知椭圆13
4:2
2=+y x C ，试确定m 的取值范围，使得对于直线m x y l +=4:，椭圆C 上有不同的两点P ，Q 关于该直线对称。
背景之六：三角形两边之和大于第三边
椭圆或双曲线上一点与它们的两个焦点的构成一个三角形，具有这一背景的问题往往可以利用三角形两边之和大于第三边产生的不等式来确定参数的范围。
例12、已知双曲线),(12222+
∈=-R b a b
y a x 的左、右两个焦点分别为F 1、
F 2，左准线为l ，在双曲线的左支上存在点P ，使|PF 1|是P 到l 的距离d 与|PF 2|
的等比中项，求离心率e 的取值范围。
背景之七：参数的几何意义
解析几何是一门数与形相结合的学科，其中许多的变量都有十分明显的几何意义，以此为背景的范围问题只要抓住了参数的几何意义都可以达到目的。
例13、椭圆C 的上准线是抛物线y x 42-=的准线，且C 经过这条抛物线的焦点，椭圆的离心率2
1
=e ，求椭圆的长半轴a 的范围。
背景之八：平均值不等式
解析几何的本质是用代数方法研究图形的几何性质。
利用代数基本不等式是求范围的又一方法。
例14、已知直线l 过定点A (3, 0)，倾斜角为α，试求α的范围，使得曲线
2:x y C =的所有弦都不能被直线l 垂直平分。
背景之九：目标函数的值域
要确定变量k 的范围，可先建立以k 为函数的目标函数)(t f k =，从而使这种具有函数背景的范围问题迎刃而解。
例15、),(y x P 是椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 上任一点，F 1、F 2是两个焦
点，求|PF 1|·|PF 2|的取值范围。
例16、如图，P 是抛物线2
2
1:x y C =
上一点，直线l 过点P 且与抛物线C 交于另一点Q 。
(1)若直线l 与过点P 的切线垂直，求线段PQ 中点M 的轨迹方程；
(2)若直线l 不过原点且x 轴交于点S ，与y 轴交于点T ，试求|
||
|||||SQ ST SP ST +的取值范围。