拉普拉斯拉斯变换可用于求解常系数线性微分方程
laplace变换的原理和方法
其中 a 1， a 2 ， a n 及 b 0， b1 b m 均为实数，
A ( s ) ( s s 1 )( s s 2 ) ( s s n ) s i ( i 1, , n ) 是 A ( s ) 0 的根。
1、 A ( s ) 0 无重根 F (s) C1 s s1 C2 s s2 Ci s si Cn s sn
e
( s j ) t
) dt
1
2 j s j
[
1
s j
]
s
2 2
余弦函数
通理可得： F ( s ) L [cos t ] s s
2 2
6、单位脉冲函数
0 f (t ) (t ) t 0 t 0
(t )
且有
'
一般地，有 F
(n)
( s ) L [( t ) f ( t )], Re( s ) c
n
（3）积分性质
设 L [ f ( t )] F ( s )，则有 L [ f ( t ) dt ]
0 t
1 s
F (s)
t t t
L [ dt
dt
n
f ( t ) dt ]
m
C m 1 ( s s1 )
m 1
C1 s s1
C m 1 s s m 1
Cn s sn
C m 1 , C n 的计算同单根部分，
C 1 , C m 的计算公式：
C m lim ( s s 1 )
拉普拉斯变换
第十一章 拉普拉斯变换在高等数学中，为了把复杂的计算转化为较简单的计算，往往采用变换的方法。
拉普拉斯变换（简称拉斯变换）就是其中的一种。
拉斯变换是分析和求解常系数线性微分方程的常用方法。
用变拉普拉斯换分析和综合线性系统（如线性电路）的运动过程在工程上有着广泛的应用。
本章将扼要地介绍拉氏变换的基本概念、主要性质、拉氏逆变换及拉氏变换的简单应用。
第一节 变拉普拉斯换的概念定义 设函数)(t f 当0≥t 时有定义，且广义积分⎰+∞-0)(dt e t f st在s 的某一区域内收敛，则由此积分确定的参数为s 的函数dt e t f s F st -∞⎰=0)()(叫做函数)(t f 的变拉普拉斯换，记作)]([)(t f L s F =函数F （s ） 也可叫做)(t f 的像函数。
若F （s ）是)(t f 的拉)(t f 是F （s ）的拉氏逆变换（或叫做()s F 的像原函数），记作)]([)(1s f L t f -=在拉氏变换中，只要求)(t f 在),0[+∞内有定义即可。
为了研究方便，以后总假定在)0,(-∞内，)(t f ≡0。
另外，拉氏变换中的参数s 是在复数域中取值的，但我们只讨论s 是实数的情况，所得结论也适用于s 是复数的情况。
例1 求指数函数at e t f =)(（a a ,0≥是常数）的拉氏变换。
解 由拉氏变换定义有 ：dt e dt e e e L t a s st at at ⎰⎰+∞--+∞-==0)(0][此积分在s >a 时收敛，有⎰∞+---=)(1as dt e t a s 所以)(1][a s as e L at >-=例2 求单位阶梯函数⎩⎨⎧≥<=0,100)(t t t u ， 的拉氏变换。
解()[]⎰+∞-=0dt e t u L st此积分在0>s 时收敛，且有⎰∞+->=)0(1s sdt e st 所以 ()[])01>=s st u L （ 例3 求at t f =)(（a 为常数）的拉氏变换。
拉普拉斯变换的应用
毕业设计（论文）题目：拉普拉斯变换的应用院（系）数学科学学院专业信息与计算科学届别学号姓名指导老师摘要拉普拉斯变换是重要的定理.本文首先叙述拉普拉斯变换的相关定理及其推广，然后通过了举例子的方法来列举了拉普拉斯变换在广义积分、微分方程求解中应用, 以及拉普拉斯变换的延迟性质的应用关键词：拉普拉斯变换; 拉普拉斯变换应用；拉普拉斯变换的推广.ABSTRACTThe theorem of Laplace transform is important.This paper described the related theorem and its extension of the Laplace transformation, then an example through the way of enumerating the Laplace transformation applied in the generalized integral, differential equation, and delay the nature of the application of Laplace transformKeywords:Laplace transform; Laplace transform application; A generalization of Laplace transform.目录第一章拉普拉斯变换的概念及存在定理 (4)引言 (4)1.拉普拉斯变换的定义 (4)2.拉普拉斯变换的存在定理 (4)3.拉普拉斯变换的基本性质 (6)第二章拉普拉斯变换的推广及其逆变换 (7)1.拉普拉斯变换的推广 (7)2.拉普拉斯逆变换 (7)第三章拉普拉斯变换的应用 (9)1.利用拉普拉斯变换解微分方程（组） (9)2.用拉普拉斯变换解积分方程 (12)第四章利用拉普拉斯变换求解广义积分 (13)1.主要方法及证明 (13)2.计算⎰∞0)(dtttf型积分 (15)3.计算⎰∞>)0(),(tdxxtf型积分 (16)第五章延迟性质在拉普拉斯变换中的应用 (18)结语 (20)参考文献 (21)后记 (22)第一章 拉普拉斯变换的概念及存在定理引 言复变函数论产生于18世纪，它是数论、代数、方程等理论研究中的重要方法之一，以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个重要组成部分.在数学中为了把较复杂的运算转化为较简单的运算,常常采取一种变换手法,如数量乘积或商通过对数变换变成和或者差然后再作指数变换即得原来数量的乘积和商.所谓积分变换,就是通过积分运算,把一个函数变成另一个函数的变换,一般是化为含参数的积分.积分变换理论和方法不仅在数学许多分支中,而且在其他自然科学和各种工程技术领域中有广泛应用,已经成为不可缺少的运算工具 ,本论文主要总结归纳了拉普拉斯的变换几个重要方面的应用.通过本论文，不仅能使你对拉普拉斯的变换有更加深入的了解，而且能掌握其运用，增强自身的实际运用能力，使得自己对于拉普拉斯的变换有了真正意义上的掌握，而不是仅仅是停留在课本上的认识.1.拉普拉斯变换的定义：设函数ƒ(t)在[0，∞]上有定义，如果对于复参变量jw s +=β,积分dt e t f s F st -+∞⎰=0)()(在复平面s 的某一个区域内收敛，则称)(s F 为函数)(t f 的拉普拉斯变换，记为)]([￡)(s f s F =;对应地，称函数)(s f 为)(s F 的拉普拉斯逆变换，记为)]([￡)(-1s F t f =.同时，)(s F 和)(s f 分别被称为像函数和原函数.2.拉普拉斯变换的存在定理：若函数)(t f ）满足下列条件：(1)在0≥t 的任一有限区间上连续或者分段连续；(2)当∞→t 时，)(t f 具有有限的增长性，即存在常数0>M 及0≥c ，使得 ct Me t f ≤)( )0(∞<≤x （1） 成立（其中c 称为)(t f 的增长指数，或者称)(t f 的增长是不超过指数级的）.则)(t f 的拉普拉斯变换F(s)在半平面c s >)Re(上一定存在，拉普拉斯积分在c c >≥1Re 上绝对收敛而且一致收敛，并且)(s F 在c s >)Re(的半平面内解析.证 设jw s +=β,则t st e e β--=，由不等式（1），可得dt e M dt e t f s F t c st ⎰⎰+∞--+∞-≤=0)(0)()(β 又由c s >=β)Re(，即0>-c β，可知上式右端积分收敛，因此)(s F 在半平面c s >)Re(上存在.注1 上述拉普拉斯变换存在定理证明表明，一个函数即使它的绝对值随着t 的增大而增大，但只要不比某个指数函数增长得快，则它的拉普拉斯变换就存在，这一点可以从拉普拉斯的变换与傅里叶变换的关系中得到一种直观的解释.大多数物理和工程技术中常见的函数都满足存在定理的条件，因而拉普拉斯变换的应用范围较傅里叶更广泛.注2 存在定理中的条件是充分而非必要条件.例如，对于函数m t t f =)(来说，当1->m 时，拉普拉斯变换是存在的；但当21=m 时，t t f 1)(=却不满足存在定理中的条件(1)，因为这时)(t f 在0=t 时为无穷大，不满足在0≥t 的任一有限区间上连续或者分段连续的要求.同理，单位脉冲函数)(t δ也不满足定理中的条件，但)(t δ的拉普拉斯变换是存在的.注3 当满足拉普拉斯变换存在定理条件的函数)(t f 在0=t 处有界时，积分dt e t f t f st ⎰+∞-=0)()]([ψ中的下限取+0或者-0不会影响其结果。
如何通过拉普拉斯变换求解微分方程的特解
如何通过拉普拉斯变换求解微分方程的特解下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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拉氏变换的应用
小结：
利用拉氏变换解微分方程的步骤如下：
（1）对微分方程两边进行拉氏变换， 得出有关象函数的代数方程；
（2）由代数方程解出象函数； （3）对象函数取拉氏逆变换，求出象原函数，
这就是微分方程的解.
7
练习与作业
习题9.3
8
（1）对微分方程两边进行拉氏变换， 得出有关象函数的代数方程；
（2）由代数方程解出象函数； （3）对象函数取拉氏逆变换，求出象原函数，
这就是微分方程的解.
例17 求微分方程 y y t 满足初始条件 y0 1，y0 －2的解.
解 设Lyt Y p ,
对方程两边取拉氏变换，并应用初始条件，得
对方程组两边取拉氏变换，并应用初始条件得
p
X
p
1
Xp Y p
1 p
p
Y
p
1
3X p 2Y p
2 p
求解，得 X p Y p 1 ,
p
取拉氏逆变换，得原方程组的解为
xt yt et .
5
从上面的例子可以看出 ：
在用拉氏变换解微分方程的过程中,由于在取拉氏变换时， 方程和初始条件同时用到，所得的解就是满足初始条件的特解， 避免了先求通解，再求特解的过程，故用拉氏变换解微分方程 的初值问题特别方便．
－ 1
3 p2
1
,
这便是所求函数的拉氏变换，取它的逆变换便可以 得到所求方程的解：
yt
L1
1＋ p2
p p2
－ 1
3 p2
1
t
cost
3 s i nt
.
Байду номын сангаас
4
xt xt yt et
拉普拉斯变换及逆变换
第十二章 拉普拉斯变换及逆变换拉普拉斯(Laplace)变换就是分析与求解常系数线性微分方程得一种简便得方法,而且在自动控制系统得分析与综合中也起着重要得作用。
我们经常应用拉普拉斯变换进行电路得复频域分析。
本章将扼要地介绍拉普拉斯变换(以下简称拉氏变换)得基本概念、主要性质、逆变换以及它在解常系数线性微分方程中得应用。
第一节 拉普拉斯变换在代数中,直接计算328.957812028.6⨯⨯=N 53)164.1(⨯就是很复杂得,而引用对数后,可先把上式变换为164.1lg 53)20lg 28.9lg 5781(lg 3128.6lg lg ++-+=N然后通过查常用对数表与反对数表,就可算得原来要求得数N 。
这就是一种把复杂运算转化为简单运算得做法,而拉氏变换则就是另一种化繁为简得做法。
一、拉氏变换得基本概念定义12、1 设函数()f t 当0t ≥时有定义,若广义积分()pt f t e dt +∞-⎰在P 得某一区域内收敛,则此积分就确定了一个参量为P 得函数,记作()F P ,即dte tf P F pt ⎰∞+-=)()( (12、1)称(12、1)式为函数()f t 得拉氏变换式,用记号[()]()L f t F P =表示。
函数()F P 称为()f t 得拉氏变换(Laplace) (或称为()f t 得象函数)。
函数()f t 称为()F P 得拉氏逆变换(或称为()F P 象原函数),记作)()]([1t f P F L =-,即)]([)(1P F L t f -=。
关于拉氏变换得定义,在这里做两点说明:(1)在定义中,只要求()f t 在0t ≥时有定义。
为了研究拉氏变换性质得方便,以后总假定在0t <时,()0f t =。
(2)在较为深入得讨论中,拉氏变换式中得参数P 就是在复数范围内取值。
为了方便起见,本章我们把P 作为实数来讨论,这并不影响对拉氏变换性质得研究与应用。
拉普拉斯变换乘法
拉普拉斯变换乘法拉普拉斯变换乘法是拉普拉斯变换的一个重要概念，用于求解线性时不变系统的输出。
本文将介绍拉普拉斯变换乘法的定义、性质以及应用。
1. 定义设有两个函数f(t)和g(t)，它们的拉普拉斯变换分别为F(s)和G(s)。
则f(t)与g(t)的卷积定义为：t(f∗g)(t)=∫f(t−τ)g(τ)dτ相应地，拉普拉斯变换乘法可以定义为：∞F(s)G(s)=∫f(t)g(t)e−st dt2. 性质拉普拉斯变换乘法具有以下性质：性质1: 分配律对于任意常数a，有：a(f∗g)(t)=af(t)∗g(t)=f(t)∗ag(t)性质2: 结合律对于任意函数f(t)，g(t)和h(t)，有：(f∗(g∗ℎ))(t)=(f∗g)∗ℎ(t)性质3: 单位元素对于单位冲击函数δ(t)，有：f(t)∗δ(t)=f(t)∞F(s)∗δ(t)=∫F(s)⋅δ(t)e−st dt=F(s)⋅e−s⋅0=F(s)性质4: 倒数性质对于函数f(t)和g(t)，如果f(t)的拉普拉斯变换F(s)存在且F(s)≠ 0，则有：1 f(t)∗tf(t)=δ(t)1F(s)∗F(s)=δ(t)3. 应用拉普拉斯变换乘法在信号和系统领域有广泛的应用，特别是在线性时不变系统中。
下面介绍一些拉普拉斯变换乘法的应用。
3.1 解决微分方程拉普拉斯变换乘法可以用来解决线性常系数微分方程。
假设有一个微分方程：y″(t)+ay′(t)+by(t)=f(t)其中y(t)为未知函数，f(t)为输入信号。
可以将该微分方程转化为拉普拉斯域中的代数方程：Y(s)(s2+as+b)=F(s)解出Y(s)后，再进行拉普拉斯逆变换，就可以得到y(t)。
3.2 分析线性时不变系统拉普拉斯变换乘法还可以用来分析线性时不变系统的输入输出关系。
设系统的冲击响应为h(t)，输入信号为x(t)，则系统的输出为：y(t)=x(t)∗ℎ(t)如果知道系统的冲击响应h(t)的拉普拉斯变换H(s)，以及输入信号x(t)的拉普拉斯变换X(s)，可以利用拉普拉斯变换乘法直接得到输出信号的拉普拉斯变换：Y(s)=X(s)⋅H(s)再进行拉普拉斯逆变换，就可以得到系统的输出y(t)。
拉普拉斯求解微分方程
拉普拉斯求解微分方程拉普拉斯变换是一种非常重要的数学工具，广泛应用于工程和科学领域。
在微分方程的求解中，拉普拉斯变换可以将微分方程转化为代数方程，从而简化求解过程。
本文将以拉普拉斯求解微分方程为主题，介绍拉普拉斯变换的原理和应用。
一、拉普拉斯变换的原理拉普拉斯变换是一种从时域到频域的变换方法，可以将一个函数从时域转化为复数域。
对于一个函数f(t)，其拉普拉斯变换定义为：F(s) = L[f(t)] = ∫[0,∞] e^(-st) f(t) dt其中，s是复变量，t是时间变量，e^(-st)是拉普拉斯变换中的核函数。
通过拉普拉斯变换，我们可以将一个函数从时域转化为频域，从而可以更方便地进行分析和求解。
二、拉普拉斯变换的应用1. 求解微分方程拉普拉斯变换在求解微分方程时非常有用。
通过将微分方程转化为代数方程，可以简化求解过程。
例如，考虑一个线性常系数微分方程：a_n y^(n) + a_(n-1) y^(n-1) + ... + a_1 y' + a_0 y = f(t)其中，y是未知函数，f(t)是已知函数，a_n, a_(n-1), ..., a_1, a_0是常数。
我们可以对方程两边同时进行拉普拉斯变换，得到：a_n [s^n Y(s) - s^(n-1) y(0) - s^(n-2) y'(0) - ... - y^(n-1)(0)] + a_(n-1) [s^(n-1) Y(s) - s^(n-2) y(0) - ... - y^(n-2)(0)] + ... + a_1 [s Y(s) - y(0)] + a_0 Y(s) = F(s)其中，Y(s)是y(t)的拉普拉斯变换，y(0), y'(0), ..., y^(n-1)(0)是y(t)在t=0时的初始条件，F(s)是f(t)的拉普拉斯变换。
通过求解上述代数方程，可以得到Y(s)，然后再进行拉普拉斯逆变换，即可得到y(t)的解。
第二章 拉普拉斯变换
1. 常用函数的拉氏变换
(1) 指数函数
0
t0
f
(t
)
Aet
t0
（2.6）
式中，A和α为常数。
其拉氏变换为
L[ Aet ] Aetestdt A e( s)tdt A
0
0
s
（2.7）
可以看出，指数函数在复平面内将产生一个极点。
第二章 拉普拉斯变换
(2) 阶跃函数
f
(t
)
0 A
t0 t 0
因此，正弦函数的拉氏变换为
L[ Asin t] A (e jt e jt )estdt 2j 0
A 2j
s
1 j
A 2j
s
1 j
A s2 2
（2.17）
类似地， Acost（如图2.3(b)所示）的拉氏变换可以导出如下：
L[ Acost] As s2 2
（2.18）
(5) 脉动函数
A
f
t
图2.1 单位阶跃函数
第二章 拉普拉斯变换
单位阶跃函数 u(t)
0
t0
u(t) 1
t 0
（2.10）
其拉氏变换为
L[u(t)] estdt 1
0
s
（2.11）
实际上，发生于t 0 时的阶跃函数，相当于在时间 t 0时，
把一个定常信号突然加到系统上。高度为A的阶跃函数，即式 （2.8）中的 f (t) ，当其发生在 t 0 时，可以写成 f (t) Au(t) 。
从拉氏变换 F(s)求时间函数 f (t) 的逆变换过程称为拉普拉斯 逆变换，简称为拉氏逆变换，其运算符号为 L1。
L1[F (s)] f (t) 1
常微分方程拉氏变换法求解常微分方程课件
求解得到的代数方程，得到$F(s)$的表达式。
解出常微分方程的解
要点一
反变换求解
通过反拉氏变换将$F(s)$还原为$f(t)$，从而得到常微分方 程的解。
要点二
验证解的正确性
将得到的解代入原常微分方程进行验证，确保解的正确性。
06
总结与展望
总结
拉氏变换法的优势
拉氏变换法在求解常微分方程时 具有明显的优势，它可以将复杂 的微分方程转化为代数方程，大 大简化了求解过程。
通过逐一求解一阶常微分方程，拉氏变换法可以应用于高阶微分方程的求解。
拉氏变换法的缺点
计算量大
在应用拉氏变换法求解常微分方程时，需要进行复 杂的积分和代数运算，计算量较大。
对初值条件敏感
对于某些常微分方程，初值条件的微小变化可能导 致拉氏变换法的失效。
不易理解
拉氏变换法的概念较为抽象，不易被初学者理解。
与其他方法的结合
可以考虑将拉氏变换法与其他数值方法或解析方法结合，以更有效 地求解各种类型的微分方程。
实际应用价值
随着科学技术的不断发展，常微分方程在各个领域的应用越来越广 泛，因此拉氏变换法在实际应用中也将发挥更大的作用。
感谢观 看
THANKS
信号处理中，拉氏变换法可以用于分析信号的滤波、调制 和解调等过程，优化信号处理效果。
04
拉氏变换法的优缺点
拉氏变换法的优点
求解过程简化
拉氏变换法可以将复杂的常微分方程转化为简 单的代数方程，从而简化了求解过程。
适用于多种初值条件
拉氏变换法可以处理多种初值条件，使得该方 法具有更广泛的适用性。
可应用于高阶微分方程
拉氏变换法求解一阶常微分方程
完整版拉普拉斯变换表
完整版拉普拉斯变换表拉普拉斯变换是探究信号和系统之间关系的重要工具，它在工程和科学领域中得到广泛应用。
本文将为读者详细介绍完整的拉普拉斯变换表，并讨论其应用。
拉普拉斯变换表如下所示：1. 常数函数L{1} = 1/s2. 单位阶跃函数L{u(t)} = 1/s3. 单位冲激函数L{δ(t)} = 14. 指数函数L{e^at} = 1/(s-a)5. 正弦函数L{sin(ωt)} = ω/(s^2+ω^2)6. 余弦函数L{cos(ωt)} = s/(s^2+ω^2)7. 常数乘以函数L{c*f(t)} = c*F(s)8. 函数相加L{f(t)+g(t)} = F(s) + G(s)9. 函数乘以指数L{e^at*f(t)} = F(s-a)10. 函数的积分L{∫f(t)dt} = F(s)/s11. 函数的导数L{df(t)/dt} = sF(s)-f(0)12. 积分的拉普拉斯变换L{∫F(s)ds} = f(t)13. 周延函数L{f(t)} = F(s)|s=jω14. 高斯函数L{e^(-a^2t^2)} = √π/a*e^(-(s^2)/(4a^2))15. 狄利克雷函数L{D(t-a)} = e^(-as)16. 波尔图-特拉潘函数L{e^(-as)/s} = 1/(s+a)拉普拉斯变换表是通过将函数从时间域转换到复频域来描述信号的性质。
每个函数在拉普拉斯域中都具有一个对应的表达式，使得我们可以分析和处理各种复杂的信号和系统。
接下来，我们将讨论拉普拉斯变换的一些应用。
1. 系统分析拉普拉斯变换可用于对线性时不变（LTI）系统进行分析。
通过将输入信号和系统的响应转换到拉普拉斯域，我们可以通过观察系统函数的性质来预测系统的输出。
这对于控制系统和信号处理中的滤波器设计非常有用。
2. 解决微分方程拉普拉斯变换也可用于求解线性常微分方程（ODEs）。
通过将微分方程转换为代数方程，我们可以通过求解代数方程得到原始微分方程的解。
拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用总结归纳
精心整理目录引言 (1)1 拉普拉斯变换以及性质 (1)1.1拉普拉斯变换的定义 (1)1.2拉普拉斯变换的性质 (1)2 用拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤 (3)3 拉普拉斯变换在求解常微分方程中的应用 (3)3.1初值问题与边值问题 (3)3.2常系数与变系数常微分方程 (4)3.3含 函数的常微分方程 (5)3.4常微分方程组 (6)3.5拉普拉斯变换在求解非齐次微分方程特解中的应用 (6)3.6拉普拉斯变换在求解高阶微分方程中的推广 (9)4 拉普拉斯变换在求解偏微分方程中的应用 (10)4.1齐次与非齐次偏微分方程 (10)4.2有界与无界问题 (11)5 综合比较，归纳总结 (14)结束语 (15)参考文献 (15)英文摘要 (21)致谢 (16)拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用物理系0801班学生岳艳林指导老师韩新华摘 要：拉普拉斯变换在求解微分方程中有非常重要的作用，本文首先介绍拉普拉斯变换的定义及性质；其次给出拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤；然后重点举例拉普拉斯变换在求解常微分方程（初值问题与边值问题、常系数与变系数常微分方程、含δ函数的常微分方程、常微分方程组、拉普拉斯变换在求解微分方程特解中的应用、拉普拉斯变换在求解高阶微分方程的推广）与典型偏微分方程（齐次与非齐次偏微分方程、有界与无界问题）中的应用举例；最后综合比较、归纳总结拉普拉斯变换在求解微分方程中的优势以及局限性。
关键词：拉普拉斯变换；拉普拉斯逆变换；常微分方程；偏微分方程；特解 引言傅里叶变换和拉普拉斯变换是常用的积分变换，但对函数进行傅里叶变换时必须满足狄里希利和在+∞<<∞-t 内绝对可积，但是在物理、无线电技术等实际应用中，许多以时间t 为自变量的函数通常在0t <时不需要考虑或者没有意义，像这样的函数不能取傅里叶变换。
为避免上述两个缺点，将函数进行适当改造，便产生了拉普拉斯变换[1]。
第3章 拉普拉斯变换
4 (t ) 10 (t )
真分式
信号与系统
第3章 拉普拉斯变换
1. D( s) 0 的根为实根且无重根
N ( s) N ( s) F ( s) ( s Pn ) D( s ) ( s P 1 )( s P 2)
D( s) 0 的根 Pi 称为特征根，也是F ( s ) 的极点。
将上式展开为 n 个部分分式之和：
K1 K2 F (s) sP s P2 1
n Kn Ki s Pn i 1 s Pi
系数
Ki ( s Pi ) F ( s) s Pi
n i f (t ) Ki e Pt u (t ) i 1
第3章 拉普拉斯变换
e
t
f (t ) 1 2
F1 ( )e d
jt
1 f (t ) 2
F ( s)e( j )t d
s j
1 d ds j
F ( s )
1
j
j
f (t )e st dt
t
t
j
0
0
信号与系统
第3章 拉普拉斯变换
●拉氏变换的收敛域 （1）双边拉氏变换的收敛域
t0 t0
收敛域 收敛域
1
2
双边拉氏变换收敛域存在的条件是： 2 1
（2）单边拉氏变换的收敛域 单边拉氏变换收敛域必定存在，
拉普拉斯拉斯变换可用于求解常系数线性微分方程
拉普拉斯拉斯变换可用于求解常系数线性微分方程，是研究线性系统的一种有效而重要的工具。
拉普拉斯拉斯变换是一种积分变换，它把时域中的常系数线性微分方程变换为复频域中的常系数线性代数方程。
因此，进行计算比较简单，这正是拉普拉斯拉斯变换（简称：拉氏变换）法的优点所在。
拉普拉斯拉斯变换的定义一个定义在区间的函数,其拉氏变换定义为L[f(t)]=F(s)=式中：s=б+jω为复数，有时称变量S为复频域。
应用拉普拉斯拉斯变换进行电路分析有称为电路的复频域分析，有时称为运算法F(s)又称为f(t)的象函数，而f(t)称为F(s)的原函数。
通常用“L[ ]”表示对方括号内的函数作拉氏变换。
拉普拉斯变换的基本性质本节将介绍拉氏变换的一些基本性质，利用这些基本性质，可以很容易的求得一些较复杂的原函数的象函数，同时，这些基本性质对于分析线性非时变网络也是非常必要的。
一、唯一性定义在区间的时间函数与其拉氏变换存在一一对应关系。
根据可以唯一的确定其拉氏变换；反之，根据，可以唯一的确定时间函数。
唯一性是拉氏变换非常重要的性质，正是这个性质，才是我们有可能将时域中的问题变换为复频域中的问题进行求解，并使在复频域中求得的结果有可能再返回到时域中去。
唯一性的证明从略。
二、线性性质若和是两个任意的时间函数，其拉氏变换分别为和，和是两个任意常数，则有证根据拉氏变换的定义可根据拉氏变换的定义可得例求的拉氏变换。
解三、时域导数性质（微分性质）例应用时域导数性质求的象函数。
四、时域积分性质（积分规则）例：求单位斜坡函数及的象函数。
五、时域平移性质（延迟性质）作业：书后习题1、2、3、4。
课后记事：注意板书层次，因为内容很多，不要太乱。
常用时间函数的象函数一览表，见教材221页。
8-2、8-3拉普拉斯反变换和运算电路图（4学时）（教材第221页）教学目的：具有单根、复根、重根三种情况下用部分分式及分解定理求待定系数法，运算电路图的画法。
教学重点：具有单根、复根时求待定系数法，熟练掌握反变换的求法，熟练掌握运算电路图的画法。
拉普拉斯变换法在求解微分方程中的应用
拉普拉斯变换法在求解微分方程中的应用拉普拉斯变换法在求解微分方程中的应用微分方程是自然界中各种问题的数学表达式。
其中最常见的为线性微分方程，它们可以用拉普拉斯变换法求解。
拉普拉斯变换法不仅使求解微分方程变得容易，而且还具有广泛的应用。
一、拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换是一种函数变换方法，它能够将一个函数从时间域变换到频率域。
设函数f(t)在区间[0,∞)上有定义，并且成立：L{f(t)}=F(s)=∫_0^∞e^(-st)f(t)dt其中s为复变量，s可以取任意值。
函数F(s)就是函数f(t)的拉普拉斯变换。
二、拉普拉斯变换法的应用1.求解线性微分方程对于线性微分方程Lu(t)=f(t)（其中L为微分算子，u为未知函数，f为已知函数），可以将其转化为代数方程Lu(s)=F(s)。
因此，对于已知f(t)，只需要求出它的拉普拉斯变换F(s)，再求出L的逆变换L^-1，即可得到解u(t)。
2.求解常系数线性微分方程常系数线性微分方程具有形式为ay''(t)+by'(t)+cy(t)=f(t)的特定形式，其中a、b、c为常数。
利用拉普拉斯变换法，可以将它们转化为关于变量s的代数方程，可以更方便地求解。
3.求解偏微分方程偏微分方程是一类多元函数的微分方程，包括了一些重要的物理和工程问题。
利用拉普拉斯变换法将其转化为关于s的代数方程，再求出逆变换，可以得到偏微分方程的解。
三、总结拉普拉斯变换法是求解微分方程的一种常用方法，它可以将微分方程转化为代数方程来求解。
特别是对于常系数线性微分方程和偏微分方程，应用拉普拉斯变换法可以更方便地获得解析解。
因此，它在物理，工程学和应用数学中都有极为丰富的应用。
Laplace变换在常系数线性微分方程求解中的应用
Laplace变换在常系数线性微分方程求解中的应用作者：陈龙来源：《青年与社会》2019年第01期积分变换技术可以将某些难以分析的问题通过映射的方式映射到其他域内的表达式后在进行分析。
例如，Laplace变换可以将时域函数映射成复域函数，从而可以将某时域函数的微分方程映射成复域的多项式代数方程，使得原微分方程在诸多方面，如稳定性、解析解等方面更便于分析，这样的变换方法构成了经典自控制理论的基础。
文章首先引入Laplace变换与反变换的定义及基本性质，然后借助于MATLAB语言中的符号运算工具函数，利用Laplace变换实现常系数线性微分方程的求解。
一、常系数线性微分解析解的数学描述（一）常系数线性微分方程已知常系数线性微分方程的一般描述方法为：其中，a i（i=1，2，L，n），b j（j=1，2，L，n）均为常数。
（二）Laplace变换及反变换的定义与性质下面我们引入Laplace变换及反变换的定义与性质。
一个时域函数了（t）的Laplace变换可定义为：A[f（t）l=∫0∞f（t）-st dt=F（s）（2）其中，A[f（t）]为Laplace变换记号。
下面将不证明地列出一些Laplace变换的性质。
（1）线性性质若a与b均为标量，则A[af（t）]±bg（t）=aA[f（t）]±bA[g（t）]（3）（2）时域平移性质A[f（t-a）]=e-as F（s）（4）（3）s-域平移性质A[e-at f（t）]=F（s+a）（5）（4）微分性质A[df（t）/dt]=sF（s）-f（0+）一般地，n阶微分可以由下式求出若假设函数f（t）及其各阶导数的初值均为0，则式（7）可以简化成此性质事实上是微分方程映射成代数方程的关键式子。
下面利用MATLAB语言及符号运算工具箱求解线性常系数微分方程解析解的方法。
二、Laplace变换在常系数线性微分方程求解中的应用考虑式（1）中给出的常系数线性微分方程模型。
2.1拉氏变换及反变换(补充)
例2 ℒ [e−αt cosωt] = 例3
−αt
ω ℒ [e sinωt] = ( s + α )2 + ω 2
s +α ( s + α )2 + ω 2
机械工程控制基础
六、初值定理和终值定理
拉普拉斯变换及反变换
处无冲激， 初值定理 若ℒ [f(t)]=F(s)，且 f(t)在t = 0处无冲激， ， 在 处无冲激 则
n [t ] = ℒ [t n−1 ] s
n
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
n ℒ [t ] = ℒ [t n−1 ] s
n
1 当n 1 ℒ [t] = 2 ； ＝， s 2 2 当n 2，ℒ [t ] = 3 ； ＝ s
⋯ 依次 推 得 ℒ 类 ，
机械工程控制基础
常 用 函 数 的 拉 普 拉 斯 变 换 表 δ(t) δ(n)(t) u(t) t tn e-at te-at tne-at e-jwt 1 sn 1/s 1/s2
设ℒ [ f (t )] = F(s)
dn f (t) n n−1 − n−2 1) ′ 0−） ... − f (n−（ −） 0 − 0 ℒ [ n ] = s F(s) − s f（ ） s f （ − dt
1 d (sin ω t )] 例1 ℒ [cos ω t ] = ℒ [ ω dt s ω 1 = [s 2 − sin ωt 0 − ] = 2 2 s +ω2 ω s +ω
例
机械工程控制基础
四、时域平移
拉普拉斯变换及反变换
设ℒ [ f (t )] = F(s)
f(t)
平移
f(t-t0)
机械工程控制基础
拉普拉斯变换讲解
拉普拉斯变换拉普拉斯(Laplace)变换是分析和求解常系数线性微分方程的一种简便的方法，而且在自动控制系统的分析和综合中也起着重要的作用．本章将扼要地介绍拉普拉斯变换（以下简称拉氏变换）的基本概念、主要性质、逆变换以及它在解常系数线性微分方程中的应用．1拉氏变换的基本概念在代数中，直接计算是很复杂的，而引用对数后，可先把上式变换为，然后通过查常用对数表和反对数表，就可算得原来要求的数．这是一种把复杂运算转化为简单运算的做法，而拉氏变换则是另一种化繁为简的做法．1.1 拉氏变换的基本概念定义 设函数当时有定义，若广义积分在的某一区域内收敛，则此积分就确定了一个参量为的函数，记作，即（7-1）称（1-1）式为函数的拉氏变换式，用记号表示．函数称为的拉氏变换(Laplace) (或称为的象函数)．函数称为的拉氏逆变换（或称为象原函数），记作，即．关于拉氏变换的定义，在这里做两点说明：(1) 在定义中，只要求在时有定义．为了研究拉氏变换性质的方便，以后总假定在时，．（2）在较为深入的讨论中，拉氏变换式中的参数是在复数范围内取值．为了方便起见，本章我们把作为实数来讨论，这并不影响对拉氏变换性质的研究和应用．（3）拉氏变换是将给定的函数通过广义积分转换成一个新的函数，它是一种积分变换．一般来说，在科学技术中遇到的函数，它的拉氏变换总是存在的．例7-1 求一次函数（为常数）的拉氏变换．解．1.2 单位脉冲函数及其拉氏变换在研究线性电路在脉冲电动势作用后所产生的电流时，要涉及到我们要介绍的脉冲函数，在原来电流为零的电路中，某一瞬时(设为)进入一单位电量的脉冲，现要确定电路上的电流，以表示上述电路中的电量，则由于电流强度是电量对时间的变化率，即328.957812028.6⨯⨯=N 53)164.1(⨯164.1lg 53)20lg 28.9lg 5781(lg 3128.6lg lg ++-+=N N )(t f 0≥t dte tf pt ⎰∞+-0)(P P )(P F dte tf P F pt ⎰∞+-=)()()(t f )()]([P F t f L =)(P F )(t f )(t f )(t f )(P F )(P F )()]([1t f P F L =-)]([)(1P F L t f -=)(t f 0≥t 0<t 0)(=t f P P at t f =)(a t ，0≥⎰⎰⎰∞+-∞+-∞+-∞+-+-=-==00][)(][dte pa e p at etd pa dt ateat L pt pt ptpt2020][0p a e p a dt e papt pt =-=+=∞+-∞+-⎰)0(>p 0=t )(t i )(t Q ⎩⎨⎧=≠=.0,1,0,0)(t t t Q，所以，当时，；当时，．上式说明，在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够用来表示上述电路的电流强度．为此，引进一个新的函数，这个函数称为狄拉克函数．定义设，当0时，的极限称为狄拉克（Dirac ）函数，简称为函数．当时，的值为；当时，的值为无穷大，即．和的图形如图7-1和图7-2所示．显然，对任何，有，所以．工程技术中，常将函数称为单位脉冲函数，有些工程书上，将函数用一个长度等于的有向线段来表示（如图7-2所示），这个线段的长度表示函数的积分，叫做函数的强度．例1-2 求的拉氏变换．解 根据拉氏变换的定义，有，即．例1-3 求单位阶梯函数的拉氏变换．解，．t t Q t t Q dt t dQ t i t ∆∆∆)()(lim )()(0-+==→0≠t 0)(=t i 0=t ∞=-=-+=→→)1(lim )0()0(lim)0(00t t Q t Q i t t ∆∆∆∆∆⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤<=εεεδεt t t t ，，，00100)(ε→)(t εδ)(lim )(0t t εεδδ→=-δ0≠t )(t δ00=t )(t δ⎩⎨⎧=∞≠=0,0,0)(t t t δ)(t εδ)(t δ0>ε11)(0==⎰⎰∞+∞-dt dt t εεεδ1)(=⎰∞+∞-dt t δ-δ-δ1-δ-δ)(t δdte dt edt edt et t L pt ptptpt-→∞+-→-→∞+-⎰⎰⎰⎰=⋅+==εεεεεεεεδδ01lim0lim)1lim()()]([11lim 1)()1(lim 11lim 1][1lim 00000==''-=-=-=-→-→-→-→εεεεεεεεεεεp p p pt pe p e p e p p e 1)]([=t L δ⎩⎨⎧≥<=0,10,0)(t t t u p e p dt e dt et u t u L pt pt pt1]1[1)()]([00=-=⋅==∞+-∞+-∞+-⎰⎰)0(>p例1-4求指数函数（为常数）的拉氏变换． 解 ，即．类似可得；．习题1–1求1-4题中函数的拉氏变换1．．2．．3．4．是常数）．1.2 拉氏变换的性质拉氏变换有以下几个主要性质，利用这些性质，可以求一些较为复杂的函数的拉氏变换． 性质1 (线性性质) 若 ，是常数，且，，则． （7-2）证明．例7-5 求下列函数的拉氏变换：（1）； （2）．解（1）．（2）． 性质2（平移性质） 若，则（为常数）． （7-3）证明．位移性质表明：象原函数乘以等于其象函数左右平移个单位．ate tf =)(a dt e dt e e e L t a p ptat at ⎰⎰∞+--∞+-=⋅=0)(0][)(1a p a p >-=)(1][a p a p e L at >-=)0(][sin 22>+=p p t L ωωω)0(][cos 22>+=p p pt L ωωte tf 4)(-=2)(t t f =atte t f =)(ϕωϕω，()sin()(+=t t f 1a 2a )()]([11p F t f L =)()]([22p F t f L =)]([)]([)]()([22112211t f L a t f L a t f a t f a L +=+)()(2211p F a P F a +=dte tf a dt et f a dt et f a t f a t f a t f a L pt ptpt-∞+-∞+-∞+⎰⎰⎰+=+=+)()()]()([)]()([02211221102211)()()]([)]([22112211p F a p F a t f L a t f L a +=+=)1(1)(at e a t f --=t t t f cos sin )(=)(1}11{1]}[]1[{1]1[1)]1(1[a p p a p p a e L L a e L a e a L at at at +=+-=-=-=----412221]2sin 21[]cos [sin 222+=+⋅==p p t L t t L )()]([p F t f L =)()]([a p F t f e L at -=a ⎰⎰∞+--∞+--===)(0)()()()]([a p F dt e t f dt et f e t f e L t a p ptat atat e a例1-6 求 ，和． 解 因为，，，由位移性质即得性质3（滞后性质） 若，则． （7-4）证明=，在拉氏变换的定义说明中已指出，当时，．因此，对于函数，当（即）时，，所以上式右端的第一个积分为，对于第二个积分，令，则滞后性质指出：象函数乘以等于其象原函数的图形沿轴向右平移个单位（如图1-3所示）．由于函数是当时才有非零数值．故与相比，在时间上滞后了一个值，正是这个道理，我们才称它为滞后性质．在实际应用中，为了突出“滞后”这一特点，常在这个函数上再乘，所以滞后性质也表示为．例1-7 求．解 因为，由滞后性质得． 例1-8 求．解 因为，所以．例1-9 求下列函数的拉氏变换：（1） （2）解 （1）由图7-4容易看出，当时，的值是在的基础上加上了（），][at te L ]sin [t e L atω-]cos [t e L at ω-21][p t L =22][sin ωωω+=p t L 22][cos ωω+=p p t L 。
拉普拉斯变换LaplaceTransformations
第十三章 拉普拉斯变换(Laplace Transformations)本章介绍拉普拉斯变换的定义、性质和反变换的应用；运算电路图的画法；用拉普拉斯变换分析电路。
§13-1 拉普拉斯变换定义教学目的：拉普拉斯变换的定义。
教学重点：拉普拉斯正变换，拉普拉斯变换存在的条件。
教学难点: 用拉普拉斯变换定义求几个常见函数的拉氏变换。
教学方法：课堂讲授。
教学内容：一、引言拉普拉斯拉斯变换可用于求解常系数线性微分方程，是研究线性系统的一种有效而重要的工具。
拉普拉斯拉斯变换是一种积分变换，它把时域中的常系数线性微分方程变换为复频域中的常系数线性代数方程。
因此，进行计算比较简单，这正是拉普拉斯拉斯变换（简称：拉氏变换）法的优点所在。
二、拉普拉斯拉斯变换的定义一个定义在区间的函数)(t f ,其拉氏变换)(s F 定义为:⎰∞-==0)()]([)(t f t f L s F e -stdt式中：s=б+j ω为复数，有时称变量S 为复频率。
应用拉普拉斯拉斯变换进行电路分析有称为电路的复频域分析，有时称为运算法。
F(s)又称为f(t)的象函数，而f(t)称为F(s)的原函数。
通常用“L[ ]”表示对方括号内的函数作拉氏变换。
三、几个常见函数的拉氏变换 1．的拉氏变换)(t ε⎩⎨⎧≥<=.01;00)(t t t εs e sdt e dt e t t L s F st st st 1011)()]([)(00=∞⋅-=⋅===--∞∞-⎰⎰--εε 2．)(t δ的拉氏变换⎪⎩⎪⎨⎧==≠=⎰∞+∞-.01)(;00)(t dt t t t δδ§13-2 拉普拉斯变换的基本性质教学目的：本节将介绍拉氏变换的一些基本性质，利用这些基本性质，可以很容易的求得一些较复杂的原函数的象函数，同时，这些基本性质对于分析线性非时变网络也是非常必要的。
教学重点：拉普拉斯变换的性质。
教学难点: 用拉普拉斯变换的性质求得象函数。
拉普拉斯变换及其应用(补充内容)
2
拉普拉斯变换的基本性质
证：
自动控制原理
Automatic Control Theory
d L [ f (t )] L f (t ) dt st d e f (t )dt 0 dt e st df (t )
0
f (t )e
st 0
3
拉普拉斯反变换
自动控制原理
Automatic Control Theory
根据极点的不同特点，部分分式分解法有以下两种情况： （1）A(s)=0且无重根 若A(s)=0且无重根，则F(s)可展开成n个简单的部分分式之 和，即 ki kn k1 k2 F s s p1 s p2 s pi s pn 系数可由右式求出：
自动控制原理
Automatic Control Theory
原函数 f (t ) 积分的拉氏变换为:
F (s) f (t )dt t 0 L [ f (t )dt] s s
2
拉普拉斯变换的基本性质
4.位移性质 设
L [ f (t )] F ( s)
自动控制原理
Automatic Control Theory
st 1 est dt ( 1 e )0 s s
[ (1 e
1
)]
1 s
(1 (1 s)) 1
即
L [d (t )] 1
9
常用函数的拉氏变换
(5)正弦函数
自动控制原理
Automatic Control Theory
f (t ) sin k t
f ( n1) (0) 0 时,
df (t ) L [ ] sF ( s ) dt d 2 f (t ) 2 L [ ] s F (s) 2 dt d n f (t ) n L [ ] s F ( s) n dt
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拉普拉斯拉斯变换可用于求解常系数线性微分方程，是研究线性系统的一种有效而重要的工具。
拉普拉斯拉斯变换是一种积分变换，它把时域中的常系数线性微分方程变换为复频域中的常系数线性代数方程。
因此，进行计算比较简单，这正是拉普拉斯拉斯变换（简称：拉氏变换）法的优点所在。
拉普拉斯拉斯变换的定义一个定义在区间的函数,其拉氏变换定义为L[f(t)]=F(s)=式中：s=б+jω为复数，有时称变量S为复频域。
应用拉普拉斯拉斯变换进行电路分析有称为电路的复频域分析，有时称为运算法F(s)又称为f(t)的象函数，而f(t)称为F(s)的原函数。
通常用“L[ ]”表示对方括号内的函数作拉氏变换。
拉普拉斯变换的基本性质本节将介绍拉氏变换的一些基本性质，利用这些基本性质，可以很容易的求得一些较复杂的原函数的象函数，同时，这些基本性质对于分析线性非时变网络也是非常必要的。
一、唯一性定义在区间的时间函数与其拉氏变换存在一一对应关系。
根据可以唯一的确定其拉氏变换；反之，根据，可以唯一的确定时间函数。
唯一性是拉氏变换非常重要的性质，正是这个性质，才是我们有可能将时域中的问题变换为复频域中的问题进行求解，并使在复频域中求得的结果有可能再返回到时域中去。
唯一性的证明从略。
二、线性性质若和是两个任意的时间函数，其拉氏变换分别为和，和是两个任意常数，则有证根据拉氏变换的定义可根据拉氏变换的定义可得例求的拉氏变换。
解三、时域导数性质（微分性质）例应用时域导数性质求的象函数。
四、时域积分性质（积分规则）例：求单位斜坡函数及的象函数。
五、时域平移性质（延迟性质）作业：书后习题1、2、3、4。
课后记事：注意板书层次，因为内容很多，不要太乱。
常用时间函数的象函数一览表，见教材221页。
8-2、8-3拉普拉斯反变换和运算电路图（4学时）（教材第221页）教学目的：具有单根、复根、重根三种情况下用部分分式及分解定理求待定系数法，运算电路图的画法。
教学重点：具有单根、复根时求待定系数法，熟练掌握反变换的求法，熟练掌握运算电路图的画法。
教学难点：部分公式及分解定理求待定系数法，各种运算电路图的画法，注意电压、电流的方向。
教学方法：1、板书讲述具有单根情况下如何求反变换。
2、具有复根情况下如何求反变换。
3、具有重根情况下如何求反变换。
4、三种情况下推导、证明及应用举例。
5、元件伏安关系的复频域形式。
6、练习题见备课笔记。
教学过程：每讲完一种情况都让学生练习，以巩固学过的内容。
拉普拉斯反变换在应用拉氏变换分析问题时，首先要将时域中的参量变换为复频域中的参量，并求得用象函数表示的解答，然后，再对象函数形式的解答进行拉斯反变换，以求得时域中的解答。
求拉斯反变换最简单的方法是利用拉氏变换表，但一般必须进行一些数学处理，使其变为表中所列的形式。
在电路理论中，常见的响应函数的象函数往往是s的有理函数，可直接应用部分分式展开法。
将F(s)化为如下形式：式中：是被所除而得的商；是余式，其次数低于的次数。
一、有个单实根设的个单实根分别为，则可展开为式中：为待定系数。
若要求，将上式两边都乘，得令，则等式右端除外，其余各项均为零。
故同里可求得。
所以，确定待定系数的公式为由于，所以因为是的一个根，所以上式为型不定式，故可用洛比塔法则来确定的值所以，确定待定系数的另一公式为对应的原函数为例：。
二、有共轭复根的情况在式中，设有一对共轭复根，记为。
则在的展开式中将包含以下两项：其中由于实系数有理分式，故必为共轭复数。
若设则于是，对应的原函数将是例：求的原函数。
三、有重根的情况设有一个阶重根，其他均为单根，则的部分分式展开式为式中系数可按前面介绍的方法确定。
为了求得系数，可将上式两端同乘以，得到令，即可求得为了求出，可将上式两端对求一次导数，再令，即得以此类推，可求得又因为，所以，当各系数确定后，即可求得的原函数例：求的原函数。
解有一个三重根和一个单根，所以，可展开为式中所以其相应的原函数为广义欧姆定律的复频域形式在讨论各元件运算电路图的基础上，现在用运算法来分析RLC 串联电路，如下图(a),其为运算电路图如(b)图。
注意：图中的电压和电流的方向。
作业：书后习题4、5、6、7、8题。
课后记事：注意找出学生练习时的问题，及时解决。
8-4用拉普拉斯变换进行线性电路的分析（2学时）（教材第228页）教学目的：会用拉普拉斯变换进行线性电路的分析。
教学重点：熟练掌握用拉普拉斯变换进行线性电路的分析及步骤。
教学难点：跃变的问题，方向的问题，画输出曲线的问题。
教学方法：1、板书讲述用拉普拉斯变换进行线性电路的分析的步骤。
2、由浅入深举例讲述如何用拉普拉斯变换进行线性电路的分析。
3、应用基尔霍夫定律、节点电压法、回路法、戴维南定理求解电路。
4、注意跃变的问题，方向的问题，画输出曲线的问题及应用举例。
5、例题和练习题，见备课笔记。
教具：《电路》CAI课件，网络课件中的拉普拉斯变换部分，邱关源第四版教材及其他参考书。
教学过程：每讲完一种情况都让学生练习，以巩固学过的内容。
用拉普拉斯变换分析线性电路对于一个线性时域动态电路来说，将其中的每一个元件用其复频域电路图表示，而不改变各元件间的联接关系，可获得该线性动态电路的复频域电路图。
根据复频域电路图，便可用运算法进行分析，其一般步骤如下：（1）根据换路前一瞬间电路的工作状态，计算电感电流和电容电压的初始植，从而确定电路的复频域模型中反映初始状态的附加电压源的电压或附加电流源的电流。
若已给出初始值，则不必再进行计算。
（2）绘出电路的复频域电路图。
（3）应用以前介绍的各种电路分析方法，对电路的复频域电路进行分析，求出响应的象函数。
（4）对已求的象函数进行拉氏变换，求出时域响应。
下面通过几个例子来说明具体的分析方法。
例题1：所示电路中，原电路已达稳态，时开关由a倒向b。
试用运算法求时的。
答案：例题2：试求题图所示电路的零状态响应u(t)。
答案：u(t)=例题3：例已知如图所示电路的原始状态为。
求电路的全响应。
1Ω0.1H2Ω0.5F图a解首先画出电路的运算模型，如图b所示。
并按图中所示的回路方向写回路电流方程解方程得因为本题只求，所以不必再解出。
利用部分分式展开法可得所以作业：书后习题9、10、11、12、13、14、题。
课后记事：讲解要慢，要吸引学生的注意力，否则讲一遍学生没注意听，后面作题麻烦。
8-5网络函数及卷积（2学时）（教材第233页）教学目的：网络函数的定义及应用，加冲激函数，卷积。
教学重点：熟练掌握网络函数的应用，加冲激函数时的特殊情况，卷积。
教学难点：网络函数的定义和应用，驱动点函数，转移函数。
加冲激函数时的特殊情况，如何组成拉氏变换对。
卷积积分的推导和应用问题。
教学方法：1、板书讲述网络函数的定义和应用（求法），驱动点函数，转移函数的概念。
2、举例讲述加冲激函数时的特殊情况，如何组成拉氏变换对及应用。
3、卷积积分的推导和应用。
4、注意交代网络函数在自动控制中的应用及举例；加冲激函数的特殊性；卷积积分的应用公式。
5、例题和练习题，见备课笔记。
教具：《电路》CAI课件，网络课件中的拉普拉斯变换部分，邱关源第四版教材及其他参考书。
教学过程：每讲完一种情况都让学生练习，以巩固学过的内容。
一、网络函数的定义及类型定义：在零初始条件下，且电路的输入激励是单一的独立电压源或电流源时，电路的零状态响应r(t)的象函数R(s)与输入激励e(t)的象函数E(s)之比。
网络函数用H(s)表示，即H(s)=按激励与响应的类型，网络函数可以具有不同的形式。
1）如果响应与激励属于同一对端子，则网络函数称为策动点函数。
具体地说，电压响应的象函数与电流激励象函数之比称为策动点阻抗函数；电流响应的象函数与电压激励的象函数之比称为策动点导纳函数。
所以，有两种策动点函数。
2）如果响应与激励不属于同一对端子，则网络函数称为转移函数。
具体地说，如果激励为电压源，则当响应为电压时，其网络函数称为电压转移函数；当响应为电流时，其网络函数称为转移导纳函数。
如果激励为电流源，则当响应为电压时，其网络函数称为转移阻抗函数；当响应为电流时，其网络函数称为电流转移函数。
所以，共有四种转移函数。
例题3：题图所示电路中，已知：试求：（1）网络函数；（2）作出的零、极点分布图。
答案：其它略。
网络函数一个重要性质是：当激励为单位冲激信号δ(t)时，则因为E(s)=L[δ(t)]=1，所以R(s)=H(s)有h(t)=L-1[H(s)]= L-1[R(s)]=r(t)说明网络函数的原函数就是电路的激励响应。
二、网络函数的零点和极点由式可知，网络函数的分子、分母都是关于的多项式，故可展开为部分分式的形式。
式中：为常数。
因为，所以称为网络函数的零点。
而，所以称为网络函数的极点。
的零点和极点或为实数或为共轭复数，且的极点就是对应电路变量的固有频率。
三、卷积1、卷积的定义设有两个定义在区间的时间函数和，则下列积分式称为和的卷积积分，简称卷积。
通称用符号表示函数和的卷积，即1如果令则，于是有所以2、卷积定理设，则卷积的拉氏变换为，即可利用卷积定理来分析电路响应，设为外加激励的象函数，为网络函数，则网络响应为对求反变换即得到时域响应根据式可以写为式中：为外加激励函数的时域形式；为网络的冲激响应。