2019-2020年小学奥数六年级《数的整除性规律》经典专题点拨教案

2019-2020年小学奥数六年级《数的整除性规律》经典专题点拨教

案

【能被2或5整除的数的特征】（见小学数学课本，此处略）

【能被3或9整除的数的特征】一个数，当且仅当它的各个数位上的数字之和能被3和9整除时，这个数便能被3或9整除。

例如，1248621各位上的数字之和是

1+2+4+8+6+2+1=24

3｜24，则3｜1248621。

又如，372681各位上的数字之和是

3+7+2+6+8+1=27

9｜27，则9｜372681。

【能被4或25整除的数的特征】一个数，当且仅当它的末两位数能被4或25整除时，这个数便能被4或25整除。

例如，173824的末两位数为24，4｜24，则4｜173824。

43586775的末两位数为75，25｜75，则25｜

43586775。

【能被8或125整除的数的特征】一个数，当且仅当它的末三位数字为0，或者末三位数能被8或125整除时，这个数便能被8或125整除。

例如，32178000的末三位数字为0，则这个数能被8整除，也能够被125整除。

3569824的末三位数为824，8｜824，则8｜3569824。

214813750的末三位数为750，125｜750，则125｜214813750。

【能被7、11、13整除的数的特征】一个数，当且仅当它的末三位数字所表示的数，与末三位以前的数字所表示的数的差（大减小的差）能被7、11、13整除时，这个数就能被7、11、13整除。

例如，75523的末三位数为523，末三位以前的数字所表示的数是75，523-75=448，448÷7=64，即

7｜448，则7｜75523。

又如，1095874的末三位数为874，末三位以前的数字所表示的数是1095，1095-874=221，221÷13=17，即

13｜221，则13｜1095874。

再如，868967的末三位数为967，末三位以前的数字所表示的数是868，967-868=99，99÷11=9，即

11｜99，则11｜868967。

此外，能被11整除的数的特征，还可以这样叙述：

一个数，当且仅当它的奇数位上数字之和，与偶数位上数字之和的差（大减小）能被11整除时，则这个数便能被11整除。

例如，4239235的奇数位上的数字之和为

4+3+2+5=14，

偶数位上数字之和为2+9+3=14，

二者之差为14-14=0，0÷11=0，

即11｜0，则11｜4239235。

附送：

2019-2020年小学奥数六年级《数的组成》经典专题点拨教案

【数字组数】

例1 用1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字组成质数，如果每个数字都要用到，并且只能用一次，那么这九个数字最多能组成______个质数。

（1990年全国小学数学奥林匹克决赛试题）

讲析：自然数1至9这九个数字中，2、3、5、7本身就是质数。于是只剩下1、4、6、8、9五个数字，它们可组成一个两位质数和一个三位质数：41和689。所以，最多能组成六个质数。

例2 用0、1、2、……9这十个数字组成五个两位数，每个数字只用一次，要求它们的和是一个奇数，并且尽可能的大。那么，这五个两位数的和是______。

（1991年全国小学数学奥林匹克决赛试题）

讲析：组成的五个两位数，要求和尽可能大，则必须使每个数尽可能大。所以它们的十位上分别是9、8、7、6、5，个位上分别是0、1、2、3、4。但要求五个两位数和为奇数，而1+2+3+4=10为偶数，所以应将4与5交换，使和为：

（9+8+7+6+4）×10+（1+2+3+5）=351。

351即本题答案。

例3 一个三位数，如果它的每一个数字都不超过另一个三位数对应数位上的数字，那么就称它被另一个三位数“吃掉”。例如，241被342吃掉，123被123吃掉（任何数都可以被与它相同的数吃掉），但240和223互不被吃掉。现请你设计出6个三位数，它们当中任何一个数不被其它5个数吃掉，并且它们的百位上数字只允许取1、2；十位上数字只允许取1、2、3；个位上数字只允许取1、2、3、4。

这6个三位数是_______。

（第五届《从小爱数学》邀请赛试题）

讲析：六个三位数中，任取两个数a和b，则同数位上的数字中，a 中至少有一个数字大于b，而b中至少有一个数字大于a。

当百位上为1时，十位上可从1开始依次增加1，而个位上从4开始依次减少1。即：114，123，132。当百位上为2时，十位上从1开始依次增加1而个位上只能从3开始依次减少1。即：213，222，231。经检验，这六个数符合要求。

例4 将1、1、2、2、3、3、4、4这八个数字排成一个八位数，使得两个1之间有一个数字；两个2之间有两个数字；两个3之间有三个数字；两个4之间有四个数字。那么这样的八位数中的一个是______。

（1991年全国小学数学奥林匹克初赛试题）

讲析：两个4之间有四个数字，则在两个4之间必有一个数字重复，而又要求两个1之间有一个数，于是可推知，这个重复数字必定是1，即412134或421314。然后可添上另一个2和3。

经调试，得23421314，此数即为所答。

【条件数字问题】

例1 某商品的编号是一个三位数，现有五个三位数：874，765，123，364，925。其中每一个数与商品编号，恰好在同一位上有一个相同的数字，那么这个三位数是_______

（1993年全国小学数学奥林匹克决赛试题）

讲析：将五个数按百位、十位、个位上的数字分组比较，可发现：百位上五个数字都不同；十位上有两个2和两个6；个位上有两个4和两个5。故所求的数的个位数字一定是4或5，百位上一定是2或6。经观察比较，可知724符合要求。

例2 给一本书编页码，共用了1500个数字，其中数字“3”共用了_______个

（首届《现代小学数学）》邀请赛试题）

讲析：可先求出1500个数字可编多少页。

从第一页到第9页，共用去9个数字；从第10页到第99页，共用去2×90=180（个）数字；余下的数字可编（1500-189）÷3=437（页）

所以，这本书共有536页。

l至99页，共用20个“3”，从100至199页共用20个“3”，从200至299页共用20个“3”，从300至399页共用去120个“3”，从400至499页共用去20个“3”，从500到536页共用去11个“3”。所以，共用去211个数字3。

例3 在三位数中，数字和是5的倍数的数共有_______个。

（全国第四届“华杯赛”决赛口试试题）

讲析：可把三位数100至999共900个数，从100起，每10个数分为一组，得

（100，101、......109），（110、111、......119），......（990、991、 (999)