1.1.2集合的列举法与描述法解析
1.1.2集合的表示方法
x
像这样， 将集合元素满足的特征性质或者条件用形式 写出来 表示集合的方法，叫做描述法. 其中，大括号内竖线左边的 是集合的代表元素， 竖线右边的 是集合的元素 满足的特征性质或者条件.
例2 . 用描述法表示下列集合： （1）大于2的整数组成的集合； （2）不等式 x 2 3 的解集； （3）所有直角三角形组成的集合. 解： （1） a a 2, 且 a Z （2）x （3）
（5）在直角坐标系中，由第一象限所 有点组成的.
解：（1）小于5的有理数组成的集合为：x
（2） x 1 2 不等式 的解集为：
பைடு நூலகம்
x 5, 且 x Q
x
x 1, 且 x R 或写成
x
x 1
x x 2 n , n N （3）所有的正偶数组成的集合为：
§1.1.2 集合的表示方法
一、复习引入：
1．集合的概念
某些确定的对象组成一个整体。 2．集合中元素有那些性质？ 确定性、互异性、无序性 3．空集、有限集和无 限集的概念 不含任何元素的集合叫做空集，含有有限个元素的集 合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集。
一．集合的表示法
集合的表示方法，常用的有列举法和描述法。
A 与 b A 也可已写成： b A 有限集、无限集、空集（ ） ：
集合与元素的关系：a 有限集：元素个数是有限个的集合。 无限集：元素个数有无限个的集合。 空集 （ ） ： 没有任何元素的集合。 集合的常用表示： 列举法 与 描述法
列举法： 将集合中的元素一一列举出来， 用一个大括号括起来表示集合的方法。
( x, y ) x 0, y 0 （5）第一象限所有点组成的集合为 ：
1.1.2集合的表示方法
条竖线“|”，在竖线后写出集合中元素所具有的 共同特征.
“小于7的所有实数的集合”
｛ x ∈R|x＜7｝
“小于7的所有整数的集合”
｛ x ∈Z|x＜7｝
“不小于7的所有有理数的集合”
｛ x ∈Q|x≥7｝
或｛ x |x＜7｝
注意：“x∈R可以简写成 x”，其他不能省略。
2
描述法
请用描述法表示下列集合：
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16
8.下列六种表示方法：
x＝1，
①{x＝1，y＝4}； ②x，y
y＝4
；③{1,4}； ④(1,4)；⑤{(1,4)}；
⑥{x，y|x＝1或y＝4}.
其中，能表示“一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合”
解析
因为A＝{x|3x－7<0，x∈N＋}，所以A＝{1,2}.
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16
{a|a≤－2}
7.已知集合A＝{x|2x＋a>0}，且1∉A，则实数a的取值范围是__________.
解析
∵1∉{x|2x＋a>0}，
∴2×1＋a≤0，即a≤－2.
1
2
3
1 2 3 4 5
3.集合{x∈N＋|x<5}的另一种表示法是
A.{0,1,2,3,4}
C.{0,1,2,3,4,5}
解析
B.{1,2,3,4}
√
D.{1,2,3,4,5}
1.1.2 集合的表示方法
表示 方法
列举 法
定义
表达 形式
把集合中的所有
元素一一列举出 来,并置于花括 号“{ }”内的
如{1,2, 3,4,5}
方法
适用 对象
①元素个数 不多;②元素 个数多但有 规律
表现 重点
集合 外延
特点
直观、 明了
用集合中元 描述 素的共同特
法 征表示集合 的方法
{x|P(x)}
元素的特征 清晰
集合 内涵
④集合{x|4<x<5}可以用列举法表示.
正确的是( C )
(A)①和④ (B)②和③
(C)②
(D)以上语句都不对
解析:①错误,③由集合中元素的互异性知错误,④集合是无限集,不能列举, 故错误,只有②正确.
2.(2018·福建三明三地三校联考)已知集合M={x∈Z|-2<x≤1},则M的元素个
数为( B )
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/172021/9/172021/9/172021/9/179/17/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月17日星期五2021/9/172021/9/172021/9/17 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/172021/9/172021/9/179/17/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/172021/9/17September 17, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/172021/9/172021/9/172021/9/17
1.2集合的表示法
1.2
（3）图示法
集合的表示方法
1，2，3，4
指南针，活字印刷术， 火药，造纸术
1.2
集合的表示方法
例1：由方程x2 -1=0的解的全体构成的集合， 可表示为
（1）列举法：{1，-1}。 （2）描述法：{x|x2 -1=0,x∈R} （3）图示法：如下
1，-1
1.2
集合的表示方法
有限集：含有有限个元素的集合，叫做有 限集。{1，2，3，4}
1.4.2
例1：
并集
已知：A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6， 7}，求A∪B。 解：A∪B={1，2，3，4} ∪{3，4，5，6，7} ={1，2，3，4，5，6，7}
1.4.2
例2：
并集
已知N={自然数}，Z={整数}，求N∪Z。
解：N∪Z={自然数} ∪{整数}={整数}
1.4.1
复习
交集
1、交集的概念和表示方法 2、交集的性质
1.4.1
作业
1.4.1 课后作业
交集
1.4.2
并集
引入 观察下列集合A，B，C有怎样的关系？ A={2，4，6}，B={4，8，12}， C={2，4，6，8，12}
容易看出来，集合C中的元素是由集合A和 集合B中的元素合并在一起构成的
1.5 充分条件与必要条件
例如： （1）如果四边形ABCD是正方形，则这个 四边形的四条边相等。 我们可以把这个命题写为： p：四边形ABCD为正方形，q：四边形的 四条边相等。 那么：p是q的充分条件，q是p的必要条件。
1.5 充分条件与必要条件
（2）如果x-1=0，那么x2-1=0。 分析：由x-1=0推出x2-1=0是正确的。 我们可以把命题写成： p： x-1=0，q： x2-1=0 则有：p是q的充分条件，q是p的必要条 件。
1.1.2集合的表示法
1.1.2 集合的表示法
学习目标：
（1）掌握集合的表示方法 （2）能选择自然语言、集合语言描述不同的
问题。 学习重点、难点：用列举法、描述法表示一
个集合。 学习方法：采用实例归纳、自主探究、合作
交流等方法。 择自然语言、集合语言描述不同的问题。 学习重点、难点：用列举法、描述法表示一
个集合。 学习方法：采用实例归纳、自主探究、合作
复习提问：
1.什么是集合？什么是元素？ 2.元素与集合的关系怎样表示？ 3.集合中的元素要满足什么条件？ 4.数集N、Z、Q、R的意义？
1.1.2 集合的表示法
1.列举法
创
把集合的元素一一列举出来，写在{}内，每个元素只写一
设
次，且不考虑元素的排列顺序，元素之间用逗号隔开，这种表示
{x|x是矩形}
6.2 等差数列
理 论 升 华.
整 体 建 构
等差数列的通项公式是什么？
集合表示 方法
列举法
适用范围
元素个数不多的有限集或元素个数较多 但呈现出一定的规律
性质描述法
无限集或元素较多的有限集
6.2 等差数列
自 我 反 思
学习方法
目 标 检 测
学习行为
学习效果
6.2 等差数列
继 续
脑 • 用性质描述法表示集合A，一般可记为：
思 考
A={x∈U|p}，其中u为元素的取值范围，p为元素的 特征性质。另外在实数集R中取值时，取值集合 x∈R可省略不写。
探 • 例如,小于5的实数组成的集合可表示为：{x|x<5,
索 新
x∈R}.通常情况下，若集合中的元素为实数，可将 x∈R省略不写.如上述集合可以表示为{x|x<5}.
1.1.2 集合的表示方法
1.1.2 集合的表示方法教材知识检索考点知识清单 1．列举法将集合中的元素____，写在____表示集合的方法． 2．描述法描述法的一般形式为 ，其意义是表示由集合I 中具r 有性质____的所有元素构成的集合．要点核心解读1.集合常用的表示方法有列举法、描述法(1)列举法，把集会中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法，叫列举法，例，如，A={指南针：，造纸，火药，印刷｝.列举法适合表示有限集，当集合中元素的个数较少时，用列举法表示这榉的集合较为方便，而且使人一目了然．(2)描述法，把集合中元素的公共 属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法，叫做描述法 ，它的一般形式为)},(|{x P x 竖线前面的x 表示集合中元素的一般形式，而后面的P(x)表示集合元素x 的公共属性，例如,n {z n A ∈=}.8<n 在不引起混淆的情况下，为了简便，有些集合用描述法表示时,可省去竖线及左边的部分，例如由所有圆组成的集合，可表示为{圆}．如表示由直线y=x 上所有的点构成的集合，可用下列三种方法： ①文学语言形式：直线y=x 上所有的点构成的集合； ②符号语言形式：};|),{(x y y x =③图形语言形式：在平面直角坐标系内画出直线x y =（图略）．2．对集合表示法的理解(1)列举法可以看清集合的元贰描述法可以看清集合元素的特征．(2)两种表示法里的“{ }”都有“全体”“集合”的含义，因此，{全体整数}中的“全体”二字是多余的，应改为{ 整数}．(3)除了用列举法和描述法来表示集合，还可以利用图形表示集合，也可以通过集合的运算来表示集合，例如 }2,1{=A ⋅}3,2{3．选择适当的方法表示集合的规律集合的常用表示方法：列举法和描述法，在集合的运算中经常用到，在具体解题中：要根据题目的特点，选用适当的方法表示集合．(1)对于有限集或元素间存在明显规律的无限集，可采用列举法．(2 )对于无明显规律的无限集，不能将它们一一列举出来，可以通过将集合中元素（只有这个集合才有）的共同特征描述出来，即采用描述法．(3)有些集合既可用列举法，又可用描述法．典例分类剖析考点1集合的表示方法[例1]用适当的方法表示下列集合： (1)所有非负偶数组成的集合；(2)所有小于20的既是奇数又是质数的正整数组成的集合；9)3(2-x 的一次因式组成的集合；(4)方程0)5)(2)(1(2=---x x x 的解组成的集合； (5)直角坐标系内第三象限的点组成的集合． [解析] };,8,6,4,2,0{},2|){1( 或N n n x x ∈=};3,3){3(};19,17,13,11,7,5,3){2(+-x x⋅<<-}0,0|),){(5(};5,5,2,1){4(y x y x[点拨]这里(1)中第二种表示法及(2)、(3)、(4)为列举法，而(1)中第一种表示法和(5)为描述法．实数的集合、点的集合是集合的两种重要形式，通过本例，读者要学会熟练地写出一定条件下的这两种形式的集合，为今后的学习奠定基础．母题迁徙1．分别用自然语言、图形语言、集合语言表示“直线y=x 上所有点构成的集合”． 考点2 列举法与描述法的转换[例2] (1)已知集合},16|{z xN x M ∈+∈=求M ； (2)已知集合},|16{N x z xC ∈∈+=求C ． [解析] 集合M 、C 中元素的形式不一致，要正确认识。
【教育资料】18-19 第1章 1.1 1.1.2 集合的表示方法学习专用
1.1.2集合的表示方法学习目标：1.掌握集合的两种表示方法——列举法、描述法．(重点)2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合．(重点、难点)[自主预习·探新知]1．列举法把集合中的所有元素都列举出来，写在花括号“{__}”内表示集合的方法.思考1：什么类型的集合适合用列举法表示？[提示]①元素个数少且有限时，全部列举，如{1,2,3,4}；②元素个数多且有限时，可以列举部分，中间用省略号表示，如“从1到1 000的所有自然数”可以表示为{1,2,3，…，1 000}；③元素个数无限但有规律时，也可以类似地用省略号列举，如：自然数集N 可以表示为{0,1,2,3，…}．2．集合的特征性质如果在集合I中，属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有性质p(x)，则性质p(x)叫做集合A的一个特征性质．3．描述法思考2：用列举法能表示不等式x－7<3的解集吗？为什么？[提示]不能．由不等式x－7<3，得x<10，由于比10小的数有无数个，用列举法是列举不完的，所以不能用列举法．[基础自测]1．思考辨析(1)集合0∈{x|x>1}．()(2)集合{x|x<5，x∈N}中有5个元素．()(3)集合{(1,2)}和{x|x2－3x＋2＝0}表示同一个集合．()[解析] (1)×.{x |x >1}表示由大于1的实数组成的集合，而0<1，所以(1)错误．(2)√.集合{x |x <5，x ∈N }表示小于5的自然数，为0,1,2,3,4，共5个，所以(2)正确．(3)×.集合{(1,2)}中只有一个元素为(1,2)，而{x |x 2－3x ＋2＝0}中有两个元素1和2，所以(3)错误．[答案] (1)× (2)√ (3)×2．方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝1，x －y ＝－3的解集是( ) 【导学号：60462019】A ．(－1,2)B ．(1，－2)C ．{(－1,2)}D ．{(1，－2)} C [由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1x －y ＝－3解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝2，用列举法可表示为{(－1,2)}，故选C.] 3．不等式x －3<2且x ∈N ＋的解集用列举法可表示为( )A ．{0,1,2,3,4}B ．{1,2,3,4}C ．{0,1,2,3,4,5}D ．{1,2,3,4,5}B [由x －3<2得x <5，又x ∈N ＋所以x ＝1,2,3,4.用列举法表示为{1,2,3,4}，故选B.]4．不等式4x －5<7的解集为________．{x |x <3} [由4x －5<7解得x <3，所以可表示为{x |x <3}．][合 作 探 究·攻 重 难](1)36与60的公约数组成的集合； (2)方程(x －4)2(x －2)＝0的根组成的集合；(3)一次函数y ＝x －1与y ＝－23x ＋43的图象的交点组成的集合．[思路探究] (1)(2)可直接先求相应元素，然后用列举法表示．(3)联立⎩⎨⎧ y ＝x －1，y ＝－23x ＋43→求方程组的解→写出交点坐标→用集合表示.[解] (1)36与60的公约数有1,2,3,4,6,12，所求集合为{1,2,3,4,6,12}．(2)方程(x －4)2(x －2)＝0的根是4或2，所求集合为{4,2}．(3)方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝1，2x ＋3y ＝4的解是⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝75，y ＝25，所求集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝⎛⎭⎪⎫75，25. [规律方法] 使用列举法表示集合时，需要注意以下几点1．用列举法书写集合时，先应明确集合中的元素是什么．如本题(3)是点集{(x ，y )}，而非数集{x ，y }．集合的所有元素用“{ }”括起来，元素间用分隔号“，”．2．元素不重复，元素无顺序，所以本题(2)中，{4,4,2}为错误表示．3．对于含较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但是必须把元素间的规律表述清楚后才能用省略号．4．适用条件：有限集或元素间存在明显规律的无限集．需要说明的是，对于有限集，由于元素的无序性，如集合{1,2,3,4}与{2,1,4,3}表示同一集合，但对于具有一定规律的无限集{1,2,3,4，…}，就不能写成{2,1,4,3，…}．[跟踪训练]1．用列举法表示下列集合：【导学号：60462019】(1)不大于10的非负偶数组成的集合；(2)方程x 2＝2x 的所有实数解组成的集合；(3)直线y ＝2x ＋1与y 轴的交点所组成的集合．[解] (1)因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是 {0,2,4,6,8,10}．(2)方程x 2＝2x 的解是x ＝0或x ＝2，所以方程的解组成的集合为{0,2}．(3)将x ＝0代入y ＝2x ＋1，得y ＝1，即交点是(0,1)，故交点组成的集合是{(0,1)}.(1)小于100的所有非负整数的集合．(2)数轴上与原点的距离大于6的点的集合．(3)平面直角坐标系中第二、四象限内的点的集合(4)方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝2，x －y ＝2的解的集合． (5)被5除余3的所有整数组成的集合．(6)不等式3x －6≤2x ＋7的解组成的集合．[思路探究] 先分析集合中元素的特征，再分析元素满足的条件，最后根据要求写出集合．[解] (1)小于100的所有非负整数的集合，用描述法表示为{x |0≤x <100，x ∈Z }．(2)数轴上与原点的距离大于6的点的集合，用描述法表示为{x ||x |>6}．(3)平面直角坐标系中第二、四象限内的点的集合，用描述法表示为{(x ，y )|xy <0}．(4)方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，x －y ＝2的解的集合，用描述法表示为 ⎩⎨⎧ (x ，y )⎪⎪⎪⎭⎬⎫⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，x －y ＝2或⎩⎨⎧ (x ，y )⎪⎪⎪⎭⎬⎫⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝0.(5)被5除余3的所有整数组成的集合为{x |x ＝5k ＋3，k ∈Z }．(6)解不等式3x －6≤2x ＋7得x ≤13，所以不等式3x －6≤2x ＋7的解组成的集合为{x |x ≤13}．[规律方法] 利用描述法表示集合应关注五点1．写清楚该集合代表元素的符号．例如，集合{x ∈R |x <1}不能写成{x <1}．2．所有描述的内容都要写在花括号内．例如，{x ∈Z |x ＝2k }，k ∈Z ，这种表达方式就不符合要求，需将k ∈Z 也写进花括号内，即{x ∈Z |x ＝2k ，k ∈Z }．3．不能出现未被说明的字母．4．在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写．例如，方程x 2－2x ＋1＝0的实数解集可表示为{x ∈R |x 2－2x ＋1＝0}，也可写成{x |x 2－2x ＋1＝0}．5．在不引起混淆的情况下，可省去竖线及代表元素，如{直角三角形}，{自然数}等．[跟踪训练]2．已知A ＝{x |3－2x >0}，则有( )【导学号：60462019】A ．3∈AB ．1∈AC ．32∈AD ．0∉AB [A ＝{x |3－2x >0}＝{x |x <32}，∴1∈A .]3．集合{2,4,6,8,10,12}用描述法表示为________．[答案] {x |x ＝2n ，n ∈N ＋，且n ≤6}[1．集合{x ||x |<2，x ∈Z }用列举法如何表示？提示：{－1,0,1}．2．集合{(x ，y )|y ＝x ＋1}与集合{(x ，y )|y ＝2x ＋1}中的元素分别是什么？这两个集合有公共元素吗？如果有，用适当的方法表示它们的公共元素所组成的集合，如果没有，请说明理由．提示：集合{(x ，y )|y ＝x ＋1}中的元素是直线y ＝x ＋1上所有的点；集合{(x ，y )|y ＝2x ＋1}中的元素是直线y ＝2x ＋1上所有的点，它们的公共元素是两直线的交点，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋1，y ＝2x ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，即它们的公共元素为(0,1)，用集合可表示为{(0,1)}．3．设集合A ＝{x |ax 2＋x ＋1＝0}，集合A 中的元素是什么？提示：集合A 中的元素是方程ax 2＋x ＋1＝0的解．集合A ＝{x |kx 2－8x ＋16＝0}，若集合A 中只有一个元素，求实数k 的值组成的集合．[思路探究] 明确集合A 的含义→对实数k 加以讨论→求出实数k 的值→用集合表示[解](1)当k＝0时，方程kx2－8x＋16＝0变为－8x＋16＝0，解得x＝2，满足题意；(2)当k≠0时，要使集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}中只有一个元素，则方程kx2－8x＋16＝0只有一个实数根，所以Δ＝64－64k＝0，解得k＝1，此时集合A＝{4}，满足题意．综上所述，k＝0或k＝1，故实数k的值组成的集合为{0,1}．母题探究：(变条件)若将本例中的条件“只有一个元素”换成“至多有一个元素”，求相应问题．[解]集合A至多有一个元素，即方程kx2－8x＋16＝0只有一个实数根或无实数根．∴k＝0或Δ＝64－64k≤0，解得k＝0或k≥1.故所求k的值组成的集合是{k|k≥1或k＝0}．[规律方法]识别集合含义的两个步骤1．一看代表元素：例如{x|p(x)}表示数集，{(x，y)|y＝p(x)}表示点集．2．二看条件：既看代表元素满足什么条件(公共特性)．[跟踪训练]4．选择适当的方法表示下列集合．(1)由方程x(x2－2x－3)＝0的所有实数根组成的集合．(2)大于1且小于7的有理数．(3)由直线y＝－x＋4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合．[解](1)方程x(x2－2x－3)＝0的实数根为－1,0,3，故可以用列举法表示为{－1,0,3)，当然也可以用描述法表示为{x|x(x2－2x－3)＝0}．(2)由于大于1且小于7的有理数有无数个，故不能用列举法表示该集合，但可以用描述法表示该集合为{x∈Q|1<x<7}．(3)用描述法表示该集合为M＝{(x，y)|y＝－x＋4，x∈N，y∈N}或用列举法表示该集合为{(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)}．[当堂达标·固双基]1．用列举法表示大于2且小于5的自然数组成的集合应为()A．{x|2<x<5，x∈N}B．A＝{2,3,4,5}C．{2<x<5} D．{3,4}D[大于2且小于5的自然数为3和4，所以用列举法表示其组成的集合为{3,4}．]2．下列集合表示的内容中，不同于另外三个的是()【导学号：60462019】A．{x|x＝1} B．{y|(y－1)2＝0}C．{x|x－1＝0} D．{x＝1}D[选项A、B、C都表示用描述法表示集合，集合中的元素是1，而选项D 中元素为等式x＝1.]3．若A＝{－2,2,3,4}，B＝{x|x＝t2，t∈A}，用列举法表示B＝________.{4,9,16}[由题意知，A＝{－2,2,3,4}，B＝{x|x＝t2，t∈A}，∴B＝{4,9,16}．]4．设集合A＝{x|x2－3x＋a＝0}，若4∈A，则集合A用列举法表示为________．{－1,4}[∵4∈A，∴16－12＋a＝0，∴a＝－4，∴A ＝{x |x 2－3x －4＝0}＝{－1,4}．]5．用适当的方法表示下列集合：【导学号：60462019】(1)方程组⎩⎨⎧ 2x －3y ＝14，3x ＋2y ＝8的解集； (2)所有的正方形；(3)抛物线y ＝x 2上的所有点组成的集合．[解] (1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －3y ＝14，3x ＋2y ＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2，故解集为{(4，－2)}． (2)集合用描述法表示为{x |x 是正方形}，简写为{正方形}．(3)集合用描述法表示为{(x ，y )|y ＝x 2}．。
1.1.2 集合的表示方法
1.1.2 集合的表示方法教材知识检索考点知识清单1．列举法将集合中的元素____，写在____表示集合的方法．2．描述法描述法的一般形式为 ，其意义是表示由集合I 中具r 有性质____的所有元素构成的集合．要点核心解读1.集合常用的表示方法有列举法、描述法(1)列举法，把集会中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法，叫列举法，例，如，A={指南针：，造纸，火药，印刷｝.列举法适合表示有限集，当集合中元素的个数较少时，用列举法表示这榉的集合较为方便，而且使人一目了然．(2)描述法，把集合中元素的公共 属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法，叫做描述法 ，它的一般形式为)},(|{x P x 竖线前面的x 表示集合中元素的一般形式，而后面的P(x)表示集合元素x 的公共属性，例如,n {z n A ∈=}.8<n 在不引起混淆的情况下，为了简便，有些集合用描述法表示时,可省去竖线及左边的部分，例如由所有圆组成的集合，可表示为{圆}．如表示由直线y=x 上所有的点构成的集合，可用下列三种方法：①文学语言形式：直线y=x 上所有的点构成的集合；②符号语言形式：};|),{(x y y x =③图形语言形式：在平面直角坐标系内画出直线x y =（图略）．2．对集合表示法的理解(1)列举法可以看清集合的元贰描述法可以看清集合元素的特征．(2)两种表示法里的“{ }”都有“全体”“集合”的含义，因此，{全体整数}中的“全体”二字是多余的，应改为{ 整数}．(3)除了用列举法和描述法来表示集合，还可以利用图形表示集合，也可以通过集合的运算来表示集合，例如 }2,1{=A ⋅}3,2{3．选择适当的方法表示集合的规律集合的常用表示方法：列举法和描述法，在集合的运算中经常用到，在具体解题中：要根据题目的特点，选用适当的方法表示集合．(1)对于有限集或元素间存在明显规律的无限集，可采用列举法．(2 )对于无明显规律的无限集，不能将它们一一列举出来，可以通过将集合中元素（只有这个集合才有）的共同特征描述出来，即采用描述法．(3)有些集合既可用列举法，又可用描述法．典例分类剖析考点1集合的表示方法[例1]用适当的方法表示下列集合：(1)所有非负偶数组成的集合；(2)所有小于20的既是奇数又是质数的正整数组成的集合；9)3(2-x 的一次因式组成的集合；(4)方程0)5)(2)(1(2=---x x x 的解组成的集合；(5)直角坐标系内第三象限的点组成的集合．[解析] };,8,6,4,2,0{},2|){1( 或N n n x x ∈=};3,3){3(};19,17,13,11,7,5,3){2(+-x x⋅<<-}0,0|),){(5(};5,5,2,1){4(y x y x[点拨]这里(1)中第二种表示法及(2)、(3)、(4)为列举法，而(1)中第一种表示法和(5)为描述法．实数的集合、点的集合是集合的两种重要形式，通过本例，读者要学会熟练地写出一定条件下的这两种形式的集合，为今后的学习奠定基础．母题迁徙1．分别用自然语言、图形语言、集合语言表示“直线y=x 上所有点构成的集合”． 考点2 列举法与描述法的转换[例2] (1)已知集合},16|{z x N x M ∈+∈=求M ； (2)已知集合},|16{N x z xC ∈∈+=求C ． [解析] 集合M 、C 中元素的形式不一致，要正确认识。
集合列举法和描述法-概述说明以及解释
集合列举法和描述法-概述说明以及解释1.引言概述部分的内容可以从整体上介绍集合列举法和描述法的概念和用途，同时提及其在本文中的重要性。
文章1.1 概述集合列举法和描述法是研究和分析问题时常用的两种方法。
在解决问题和进行研究中，我们需要有效地描述和分析问题的特征和属性，才能更好地理解问题的本质和找到解决方案。
集合列举法是一种通过列举问题中的所有可能情况和元素，从而形成一个全面的集合来描述和分析问题的方法。
它的核心思想是将问题中的不同情况一一列举，通过全面地考虑所有可能性，寻找规律和共性，从而得出对问题的深入理解和解决方案。
集合列举法的一个重要应用是在统计学中的概率问题，通过列举所有可能的事件，计算概率和推断结论。
描述法则是一种通过描述问题的特征和属性来分析问题的方法。
它关注问题的描述和定义，通过精确而准确地描述问题中的关键特征和属性，从而帮助我们更好地理解和分析问题。
描述法在各个领域都有广泛的应用，如科学研究中的现象描述、社会学中的人群描述等。
通过描述问题，我们可以深入地理解问题的本质和规律，从而指导我们的研究和分析。
本文将重点介绍集合列举法和描述法的定义、原理、应用和优缺点。
通过分析这两种方法的特点和用途，我们可以更全面地了解它们在问题解决和研究中的价值和局限性。
进一步，我们将对比和总结这两种方法的异同点，为读者提供更深入的认识，并展望未来对这两种方法的研究和应用的可能发展方向。
通过本文的阐述，相信读者能够对集合列举法和描述法有更清晰的认识，并在实际问题解决和研究中运用它们的优势，推动学术和科学的发展。
1.2 文章结构本文主要通过对集合列举法和描述法的介绍和比较，旨在探讨它们在研究和应用中的作用和优缺点。
文章结构主要分为引言、正文和结论三个部分。
在文章的引言部分，将首先对集合列举法和描述法进行概述，明确它们的定义、原理和基本特点。
随后，简要介绍文章的结构和目的，为后续的内容铺垫。
接下来的正文部分将围绕集合列举法和描述法展开详细的讨论。
高中数学1.1.1.2集合的表示(人教A版必修1)
【解析】1.(1)根据被除数=商×除数+余数，可知此集合可表 示为{x|x=5n+1,n∈N}. (2)3和4的最小正的公倍数是12，因此只要是12的倍数就是3和 4的公倍数，故此集合可表示为{x|x=12n,n∈N*}.
答案：(1){x|x=5n+1,n∈N}
(2){x|x=12n,n∈N *}
或表示为{三角形}.
【想一想】解答题2(1)(2)时易出现什么错误？ 提示：解答题2(1)(2)时易把代表元素写错，未写成一个点.
列举法和描述法的简单综合 【技法点拨】 1.表示集合的要求 根据要表示的集合元素的特点，选择适当方法表示集合，一般 要符合最简原则(关键词：最简原则). 2.用列举法、描述法表示集合的情形
提示：不正确.{x＞-2}可看作列举法表示的集合，表示含有一
个元素x＞-2的集合，若表示大于-2的实数集合，要用描述法
表示为{x|x＞-2}或{x∈R|x＞-2}.
3.用列举法表示比2大3的实数的集合为_______. 【解析】比2大3的实数是5，故所求集合为{5}.
答案：{5}
4.用描述法表示大于2且不大于5的实数的集合为______.
第2课时 集合的表示
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1.掌握集合的两种表示方法——列举法、描述法.
2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合.
1.本课重点是掌握集合的两种表示方法. 2.本课难点是对描述法的理解和运用.
1.请根据列举法的定义填空 一一列举 出来. (1)将元素_________ 花括号“{}”括起来. (2)用____________
【解析】此集合中的实数的特点是比2大但不比5大，故用描述
法表示为{x|2＜x≤5}. 答案：{x|2＜x≤5}
1.1.2集合的表示方法
(x, y) x 0, y 0
例如，所有偶数组成的集合（偶 数集）用列举法表示成：
{…－6，－4，－2，0，2，4，6，…} 用描述法表示成： {n︱n=2m,m∈Z}
∈
简洁地表示成： {2m︱m∈Z}
思考：所有的奇数组成的集合 （偶数集）用列举法表示成？
∈
用描述法表示成？
课后作业： 第8页习题A,B组题
在不发生误解的情况下，可以采用省略的写法.
∈
例如，小于100的自然数集可以表示为： 0, 1, 2, , 99
例1 学校的商店进了两批货，第一批有毛巾、洗衣 粉、饮用纯净水、果汁饮料和面包，共计5个品种.
第二批有饮用纯净水、果汁饮料、膨化食品及牙膏，
共计4个品种.试用列举法分别写出两批进货品种所
M x A P( x) .
例如，不大于5的自然数组成的集合，用描述法表示 为x N Nhomakorabeax5
例
用描述法表示以下集合:
⑴
数轴上所有坐标不小于0，不大于2的点所组成
的集合.
⑵ 解
直角坐标平面第一象限内所有点组成的集合. 如图2-1所示
∈
（1 ） x 0 x 2 （2 ）
图 2-1
组成的集合.
解 则
∈
A2 表示. 设第一、二批进货品种的集合分别用 A1、
A1 ={毛巾，洗衣粉，饮用纯净水，果汁饮料，面包}，
A2 ={饮用纯净水，果汁饮料，膨化食品，牙膏}.
思考： 用列举法表示下列集合： (1)由1～20以内的所有质数 组成的集合； (2)方程x－5=0的所有解 组成的集合； (3)小于100的所有自然数 组成的集合。
集合的表示法
高一数学 1.1.2《集合的表示方法》新人教A版必修1
1.1.2集合的表示方法教学目标：掌握集合的表示方法，能选择自然语言、图形语言、集合语言描述不同的问题. 教学重点、难点：用列举法、描述法表示一个集合.教学过程：一、复习引入：1．回忆集合的概念2．集合中元素有那些性质？3．空集、有限集和无限集的概念二、讲述新课：集合的表示方法1、大写的字母表示集合2、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法. 例如，24所有正约数构成的集合可以表示为{1，2，3，4，6，8，12，24} 注：（1）大括号不能缺失.(2)有些集合种元素个数较多，元素又呈现出一定的规律，在不至于发生误解的情况下，亦可如下表示：从1到100的所有整数组成的集合：{1，2，3， (100)自然数集N ：{1，2，3，4，…,n ,…}（3）区分a 与{a }：{a }表示一个集合，该集合只有一个元素.a 表示这个集合的一个元素.（4）用列举法表示集合时不必考虑元素的前后次序.相同的元素不能出现两次.3、特征性质描述法：在集合I 中，属于集合A 的任意元素x 都具有性质p(x)，而不属于集合A 的元素都不具有性质p(x),则性质p(x)叫做集合A 的一个特征性质，于是集合A 可以表示如下：{x ∈I | p (x ) }例如，不等式232>-x x 的解集可以表示为：}23|{2>-∈x x R x 或}23|{2>-x x x ， 所有直角三角形的集合可以表示为：}|{是直角三角形x x注：（1）在不致混淆的情况下，也可以写成：{直角三角形}；{大于104的实数}（2）注意区别：实数集，{实数集}.4、文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合.例1：集合}1|),{(2+=x y y x 与集合}1|{2+=x y y 是同一个集合吗？ 答：不是.集合}1|),{(2+=x y y x 是点集，集合}1|{2+=x y y =}1|{≥y y 是数集。
1.1.2 集合的表示方法
【解答】解：A={x∈Z||x|≤2}={﹣2，﹣1，0，1，2}， B={y|y=x2+1，x∈A}={5，2，1} B 的元素个数是 3 故选 C．
4．已知集合 A＝{x|51－2x∈N，x∈N}，则用列举法表示为________．
解析：根据题意，5－x 应该是 12 的因数，故其可能的取值为 1,2,3,4,6,12，从而可得到 对应 x 的值为 4,3,2,1，－1，－7.因为 x∈N，所以 x 的值为 4,3,2,1.
练习：已知集合 A={x∈R|ax2+2x+1=0}，其中 a∈R．
（1）1 是 A 中的一个元素，用列举法表示 A；
【解答】解：（1）∵1 是 A 的元素，∴1 是方程 ax2+2x+1=0 的一个根，
（2）若 A 中有且仅有一个元素，求实∴a数+2+1a=0的，组即 a成=﹣的3，集合 B；
（3）若 A 中至多有一个元素，试求 此a时的A取={x值|﹣范3x2围+2x．+1=0}．
解：(1)用列举法表示为{3，－3}，用描述法表示为{x|x2－9＝0}．集合中有 2 个元素， 是有限集．
(2)用列举法表示为{1,3,5,7,9}，用描述法表示为{x|x＝2k－1，k∈N＋且 1≤k≤5}．集合 中有 5 个元素，是有限集．
(3)用描述法表示为{x|x>5}．集合中有无数个元素，是无限集． (4)用描述法表示为{(x，y)|y＝x2}．抛物线上的点有无数个，因此该集合是无限集． (5)方程 x2＋x＋1＝0 无实数解，故该方程的解集为∅，是有限集．
（3）若 A≠∅ ，求实数 a 的取值范围．
（2）当 a=0 时，A={x|ax2﹣3x+2=0}={x|﹣3x+2=0}={ }．满足条件．只有一个 元素， 当 a≠0 时，若 A 是只有一个元素的集合，判别式△=9﹣8a=0，解得 a= ，此时
高一数学新人教B版必修1教学课件：第1章 集合 1.1.2 集合的表示方法.ppt
• 1．表示集合的方法常用___描__述__法_、___列__举__法_、____维__恩__图__法． • 2．把集合中元素的___公__共__属__性_描述出来，写在大括号内表示集合的方法叫描
述法．描述法有两种形式： • (1)一般形式：{x∈A|p(x)}．例如：不大于100的自然数构成的集合可表示为
{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}． • (2)方程x2＝x的实数根为0,1，设方程x2＝x的所有实数根构成的集合为B，则B
＝{0,1}． • (3)设由1～20的所有质数构成的集合为C，则C＝{2,3,5,7,11,13,17,19}．
『规律方法』 对于元素个数较少的集合或元素个数不确定但元素间存在 明显规律的集合，可采用列举法．应用列举法时要注意：①元素之间用“，” 而不是用“、”隔开；②元素不能重复．
• 3．如果在集合I中，属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集 合A的元素都不具有性质p(x)，则性质p(x)叫做集合A的一个__________．于 是，集合A可以用它的特征性质p(x)描述为{x∈I|p(x)}．它表示特集征合性A质是由集合I 中具有性质p(x)的所有元素构成的．
A．0∈A
B．2∉A
C．－2∈A
D．0∉A
• [解析] ∵A＝{x|x(x－2)＝0}＝{0,2}，∴0∈A,2∈A，－2∉A，故选A．
3．直线 y＝2x＋1 与 y 轴的交点所组成的集合为@ziyuanku (
A．{0,1}
B．{(0,1)}
C．{－12，0}
D．{(－12，0)}
[解析] 由xy＝＝02x＋1 ，得xy＝ ＝01 ，故选 B．
(2)解方程组2x－x＋y＝y＝18 ，得xy＝ ＝32 .
1.1.2集合的表示方法
当集合中元素不多时，我们常常把集合的元素一一列举出来， 写在大括号内表示这个集合，这种表示集合的方法称为例举法。
三、师生互动、提炼知识
解决问题 集合的表示方法-列举法
2.举例
（1）由1,2,3,4,5,6组成的集合，可以表示为
1,2,3,4,5,6
（2）中国古代四大发明组成的集合，可以表示为
5,7,9
（2）方程x-2=0的解的全体组成的集合；
2
（3）一次函数y=-x+1的图像与两坐标轴所有交点组成的集合。
（ 1,0），（0,1）
三、师生互动、提炼知识
解决问题 集合的表示方法-性质描述法
1.概念
一般地，若集合A中元素的特征性质用p表示，则属于集合A的 元素都具有p，不属于集合A的元素都不具有p.这时，集合A可以表
A （ x, y) y x
（4）所有偶数组成的集合.
A xR x 2n, nZ
三、师生互动、提炼知识 解决问题 集合的表示方法-性质描述法
一般地
当x的取值集合是实数时：
A x R x 6
A x x 6
A xR x 2n,nZ
A x x 2n, nZ
四、演练反馈
题组练习
题组一
指南针，造纸术，印刷 术，火药
（3）方程x2=9组成的集合，可以表示为
3,3
三、师生互动、提炼知识
解决问题 集合的表示方法-列举法
3.区别
0与 0
0表示一个集合，0是 0集合的一个元素。
三、师生互动、提炼知识
解决问题 集合的表示方法-列举法
4.例1 用列举法表示下列集合
（1）大于3且小于10的所有奇数组成的集合；
示为 A xU p
1.1.2 集合的含义与表示
思考：
1.你能用自然语言描述集合{2，4， 6，吗？ 2.你能用列举法表示不等式 x―7<3的解集吗？
2、描述法
就是用所含元素的共同特征表示集 合的方法。其一般形式为：
{ x | p(x) }
x为该集合的 代表元素 p(x)表示该集 合中的元素x 所具有的性 质
例如：x―7<3的解集可以表示为：
B
A
空集是任何集合的子集，即∅ ⊆A
空集是任何非空集合的真子集，即∅ ⊊A
练习：请写出集合{a，b，c}的所有子集 问题：子集能与原来的集合相同吗？
特别提醒：
元素与集合之间是属于(不属于)
关系
集合与集合之间是包含或相等
关系
练习:判断下列表示是否正确: (1)a {a};(×)
(×) (2) {a} ∈{a,b};
回忆一下，上一节课我们学了什么? 1、元素与集合： 2、集合中元素的三个性质： 3、集合与元素的关系：
4、有限集与无限集：
5、常见数集的符号表示：
1、列举法 就是将集合中的元素一一列举出来并放在 大括号内表示集合的方法 注意：1、元素间要用逗号隔开； 2、不管次序放在大括号内。 (4)一次函数y=x+3与y=-2x+6的图像的交 点组成的集合
请判断下列集合分别用了哪种表示方式：
(1)A={1,2,3} B={1,2,3,4,5}
(2)集合A为东莞中学全体学生；集合B为东莞中学高 一年级的学生
(3)集合C={x|x是两条边相等的三角形} D={x|x是等腰三角形}
（）C {0， B {x | x x 0} 4 1},
2
对于两个集合A和B，如果集合A中任意一 个元素都是B中的元素，就说这两个集合 有包含关系，称集合A为集合B的子集， 记作：A⊆B（或B⊇A）。
列举法描述法集合的表示方法
列举法描述法集合的表示方法
一。
集合是数学中一个非常重要的概念，它就像是一个装着各种元素的“大口袋”。
咱们先来说说列举法。
1.1 列举法那可真是简单直接，一目了然。
比如说一个集合里有数字 1、2、3，那就直接写成{1, 2, 3}，清清楚楚，明明白白。
就像咱把兜里的东西一股脑儿倒出来给人看，一点儿不藏着掖着。
1.2 再比如集合里有字母 a、b、c，那就是{a, b, c}。
这种方法简单粗暴，谁都能看懂。
二。
接下来是描述法。
2.1 描述法呢，就像是给集合画了一幅“画像”。
比如说{x x 是大于 5 的整数}，这就告诉咱，这个集合里装的都是大于 5 的整数。
2.2 再比如{y y = 2x + 1，x 是自然数}，这就像是给了个“配方”，按照这个“配方”能找到集合里的元素。
2.3 描述法能更准确地表达集合的特征，让咱一下子就明白这个集合里的元素是咋来的。
三。
这两种表示方法各有各的妙处。
3.1 列举法在元素比较少，而且容易写清楚的时候，那是相当好用，一眼就能看明白。
3.2 描述法在元素比较多，或者规律比较明显的时候，那就是“大显身手”啦，能把集合的特点说得清清楚楚。
集合的表示方法就像是我们手里的工具，得根据具体情况来选择，用对了才能事半功倍。
不管是列举法还是描述法，都是为了让我们更清楚地理解和处理集合这个数学概念。
就像俗话说的，“不管白猫黑猫，能抓住老鼠的就是好猫”，能把集合表示清楚的方法，就是好方法！。
新教材人教B版必修第一册 1.1.1.2第2课时 集合的表示方法 课件(51张)
个集合不相等.
(3)×.集合{x|1<x≤3}可表示为(1,3].
2.有下列说法:
①{1,2}与{2,1}不同;
②0∈{x|x2+x=0};
③方程 (x 1)(x 2)2 =0的所有解的集合可表示为{1，2，2}； ④集合 {x | 3 x 4} 是有限集.
其中正确的说法是
()
A.只有①和④
第2课时 集合的表示方法
必备知ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ·自主学习
导思
1.如何表示一个集合?在表示的过程中要注意什么问题? 2.列举法和描述法表示集合时有什么优缺点?
1.列举法 把集合中的元素_一__一__列__举__出来(相邻元素之间用逗号分隔),并写在大括号内, 以此来表示集合的方法.
【思考】 一一列举元素时,需要考虑元素的顺序吗? 提示:用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序. 例如:{a,b}与{b,a}表示同一个集合.
A.d∈M
B.d∈N
C.d∈P
D.d∈M且d∈N
2.若集合A={x|mx2+2x+m=0,m∈R}中有且只有一个元素,则m的取值集合是 ________ . 【思路导引】1.作为单选题,可以对a,b,c赋值来确定. 2.集合A有且只有一个元素,即方程有且只有一个解.
【思考】 (1)区间是数集的另一种表示方法,那么任何数集都能用区间表示吗? 提示:不是任何数集都能用区间表示,如集合{0}就不能用区间表示. (2)“∞”是数吗?以“-∞”或“+∞”作为区间一端时,这一端可以是中括号 吗? 提示:“∞”读作“无穷大”,是一个符号,不是数. 所以“-∞”或“+∞”作为区间一端时,这一端必须是小括号.
【补偿训练】
设a,b,c为非零实数,则x= |ab| bc abc 的所有可能取值构成的集合为
人教B版数学必修一(讲义)：第1章1.1.2 集合的表示方法
1.1.2 集合的表示方法1．列举法把集合中的所有元素都列举出来，写在花括号“{__}”内表示集合的方法. 思考1：什么类型的集合适合用列举法表示？[提示] ①元素个数少且有限时，全部列举，如{1,2,3,4}；②元素个数多且有限时，可以列举部分，中间用省略号表示，如“从1到1 000的所有自然数”可以表示为{1,2,3，…，1 000}；③元素个数无限但有规律时，也可以类似地用省略号列举，如：自然数集N 可以表示为{0,1,2,3，…}．2．集合的特征性质如果在集合I 中，属于集合A 的任意一个元素x 都具有性质p (x )，而不属于集合A 的元素都不具有性质p (x )，则性质p (x )叫做集合A 的一个特征性质．3．描述法思考2：用列举法能表示不等式x －7<3的解集吗？为什么？[提示] 不能．由不等式x －7<3，得x <10，由于比10小的数有无数个，用列举法是列举不完的，所以不能用列举法．1．集合{x |x 2－4x ＋3＝0}用列举法表示为( )A ．{1,3}B ．{x |x ＝1，x ＝3}C ．{x 2－4x ＋3＝0}D ．{x ＝1，x ＝3}A [解方程x 2－4x ＋3＝0得x ＝1或x ＝3，应用列举法表示解集为{1,3}．]2．已知集合M ＝{y |y ＝x 2}，用自然语言描述M 应为( )A ．满足y ＝x 2的所有函数值y 组成的集合B ．满足y ＝x 2的所有自变量x 的取值组成的集合C ．函数y ＝x 2图象上的所有点组成的集合D ．以上均不对A [由于集合M ＝{y |y ＝x 2}的代表元素是y ，而y 为函数y ＝x 2的函数值，则M 为满足y ＝x 2的所有函数值y 组成的集合．]3．不等式4x －5<7的解集为________．{x |x <3} [由4x －5<7解得x <3，所以可表示为{x |x <3}．]【例1】 (1)大于1且小于6的整数组成的集合A ；(2)方程x 2－9＝0的实数根组成的集合B ；(3)一次函数y ＝x ＋3与y ＝－2x ＋6的图象的交点组成的集合C .[解] (1)因为大于1且小于6的整数包括2,3,4,5，所以A ＝{2,3,4,5}．(2)方程x 2－9＝0的实数根为－3,3，所以B ＝{－3,3}．(3)由⎩⎨⎧ y ＝x ＋3，y ＝－2x ＋6得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝4， 所以一次函数y ＝x ＋3与y ＝－2x ＋6的图象的交点为(1,4)，所以C ＝{(1,4)}．使用列举法表示集合时，需要注意几点(1)用列举法书写集合时，先应明确集合中的元素是什么．如本题(3)是点集{(x ，y )}，而非数集{x ，y }．集合的所有元素用“{ }”括起来，元素间用分隔号“，”．(2)元素不重复，元素无顺序．(3)对于含较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但是必须把元素间的规律表述清楚后才能用省略号．(4)适用条件：有限集或元素间存在明显规律的无限集．需要说明的是，对于有限集，由于元素的无序性，如集合{1,2,3,4}与{2,1,4,3}表示同一集合，但对于具有一定规律的无限集{1,2,3,4，…}，就不能写成{2,1,4,3，…}．1．用列举法表示下列集合：(1)不大于10的非负偶数组成的集合；(2)方程x 2＝2x 的所有实数解组成的集合；(3)直线y ＝2x ＋1与y 轴的交点所组成的集合．[解] (1)因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是 {0,2,4,6,8,10}．(2)方程x 2＝2x 的解是x ＝0或x ＝2，所以方程的解组成的集合为{0,2}．(3)将x ＝0代入y ＝2x ＋1，得y ＝1，即交点是(0,1)，故交点组成的集合是{(0,1)}.【例2】 (1)小于100的所有非负整数的集合；(2)数轴上与原点的距离大于6的点的集合；(3)平面直角坐标系中第二、四象限内的点的集合；(4)方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝2，x －y ＝2的解的集合； (5)被5除余3的所有整数组成的集合；(6)不等式3x －6≤2x ＋7的解组成的集合．[思路探究] 先分析集合中元素的特征，再分析元素满足的条件，最后根据要求写出集合．[解] (1)小于100的所有非负整数的集合，用描述法表示为{x |0≤x <100，x ∈Z }．(2)数轴上与原点的距离大于6的点的集合，用描述法表示为{x ||x |>6}．(3)平面直角坐标系中第二、四象限内的点的集合，用描述法表示为{(x ，y )|xy <0}．(4)方程组⎩⎨⎧ x ＋y ＝2，x －y ＝2的解的集合，用描述法表示为 ⎩⎪⎨⎪⎧ (x ，y )⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫⎩⎨⎧ x ＋y ＝2x －y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ (x ，y )⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫⎩⎨⎧ x ＝2y ＝0. (5)被5除余3的所有整数组成的集合为{x |x ＝5k ＋3，k ∈Z }．(6)解不等式3x －6≤2x ＋7得x ≤13，所以不等式3x －6≤2x ＋7的解组成的集合为{x |x ≤13}．利用描述法表示集合应关注五点(1)写清楚该集合代表元素的符号.例如，集合{x ∈R |x <1}不能写成{x <1}. (2)所有描述的内容都要写在花括号内.例如，{x ∈Z |x ＝2k }，k ∈Z ，这种表达方式就不符合要求，需将k ∈Z 也写进花括号内，即{x ∈Z |x ＝2k ，k ∈Z }.(3)不能出现未被说明的字母.(4)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写.例如，方程x 2－2x ＋1＝0的实数解集可表示为{x ∈R |x 2－2x ＋1＝0}，也可写成{x |x 2－2x ＋1＝0}.(5)在不引起混淆的情况下，可省去竖线及代表元素，如{直角三角形}，{自然数}等.2．用描述法表示下列集合：(1)正偶数集；(2)使y ＝1x 2＋x －6有意义的实数x 的集合； (3)坐标平面内第一、三象限角平分线上的点的集合．[解] (1)正偶数集可表示为{x |x ＝2n ，n ∈N *}．(2)要使y 有意义，必须使分母不为0，即x 2＋x －6≠0，可得x ≠2且x ≠－3，故集合可表示为{x |x ∈R ，x ≠2且x ≠－3}．(3)第一、三象限的角平分线应是直线y ＝x ，故集合为{(x ，y )|y ＝x ，x ∈R ，y ∈R }.[1．集合{x ||x |<2，x ∈Z }用列举法如何表示？提示：{－1,0,1}．2．集合{(x ，y )|y ＝x ＋1}与集合{(x ，y )|y ＝2x ＋1}中的元素分别是什么？这两个集合有公共元素吗？如果有，用适当的方法表示它们的公共元素所组成的集合，如果没有，请说明理由．提示：集合{(x ，y )|y ＝x ＋1}中的元素是直线y ＝x ＋1上所有的点；集合{(x ，y )|y ＝2x ＋1}中的元素是直线y ＝2x ＋1上所有的点，它们的公共元素是两直线的交点，由⎩⎨⎧ y ＝x ＋1，y ＝2x ＋1，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1，即它们的公共元素为(0,1)，用集合可表示为{(0,1)}．3．设集合A ＝{x |ax 2＋x ＋1＝0}，集合A 中的元素是什么？提示：集合A 中的元素是方程ax 2＋x ＋1＝0的解．【例3】 集合A ＝{x |kx 2－8x ＋16＝0}，若集合A 中只有一个元素，求实数k 的值组成的集合．[思路探究] 明确集合A 的含义→对实数k 加以讨论→求出实数k 的值→用集合表示[解] (1)当k ＝0时，方程kx 2－8x ＋16＝0变为－8x ＋16＝0，解得x ＝2，满足题意；(2)当k ≠0时，要使集合A ＝{x |kx 2－8x ＋16＝0}中只有一个元素，则方程kx 2－8x ＋16＝0只有一个实数根，所以Δ＝64－64k ＝0，解得k ＝1，此时集合A ＝{4}，满足题意．综上所述，k ＝0或k ＝1，故实数k 的值组成的集合为{0,1}．(变条件)若将本例中的条件“只有一个元素”换成“至多有一个元素”，求相应问题．[解]集合A至多有一个元素，即方程kx2－8x＋16＝0只有一个实数根或无实数根．∴k＝0或Δ＝64－64k≤0，解得k＝0或k≥1.故所求k的值组成的集合是{k|k≥1或k＝0}．识别集合含义的两个步骤(1)一看代表元素：例如{x|p(x)}表示数集，{(x，y)|y＝p(x)}表示点集.(2)二看条件：即看代表元素满足什么条件(公共特性).3．选择适当的方法表示下列集合．(1)由方程x(x2－2x－3)＝0的所有实数根组成的集合；(2)大于1且小于7的有理数；(3)由直线y＝－x＋4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合．[解](1)方程x(x2－2x－3)＝0的实数根为－1,0,3，故可以用列举法表示为{－1,0,3}，当然也可以用描述法表示为{x|x(x2－2x－3)＝0}．(2)由于大于1且小于7的有理数有无数个，故不能用列举法表示该集合，但可以用描述法表示该集合为{x∈Q|1<x<7}．(3)用描述法表示该集合为M＝{(x，y)|y＝－x＋4，x∈N，y∈N}或用列举法表示该集合为{(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)}．1．本节课的重点是掌握用列举法和描述法表示集合，难点是对描述法表示集合的理解及两种表示法的灵活运用．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)列举法表示集合的注意点．(2)描述法表示集合的注意点．3．本节课的易混点是点集与数集，易错点是描述法表示集合中除代表元素以外的字母而未加说明.1．思考辨析(1)集合{0}∈{x |x >1}．( )(2)集合{x |x <5，x ∈N }中有5个元素．( )(3)集合{(1,2)}和{x |x 2－3x ＋2＝0}表示同一个集合．( )[解析] (1)×.{x |x >1}表示由大于1的实数组成的集合，而0<1，所以(1)错误．(2)√.集合{x |x <5，x ∈N }表示小于5的自然数，为0,1,2,3,4，共5个，所以(2)正确．(3)×.集合{(1,2)}中只有一个元素为(1,2)，而{x |x 2－3x ＋2＝0}中有两个元素1和2，所以(3)错误．[答案] (1)× (2)√ (3)×2．不等式x －3<2且x ∈N ＋的解集用列举法可表示为( )A ．{0,1,2,3,4}B ．{1,2,3,4}C ．{0,1,2,3,4,5}D ．{1,2,3,4,5}B [由x －3<2得x <5，又x ∈N ＋所以x ＝1,2,3,4.用列举法表示为{1,2,3,4}，故选B.]3．集合{2,4,6,8,10,12}用描述法表示为________．[答案] {x |x ＝2n ，n ∈N ＋，且n ≤6}4．用适当的方法表示下列集合：(1)方程组⎩⎨⎧ 2x －3y ＝14，3x ＋2y ＝8的解集； (2)所有的正方形；(3)抛物线y ＝x 2上的所有点组成的集合．[解] (1)解方程组⎩⎨⎧ 2x －3y ＝14，3x ＋2y ＝8，得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝－2，故解集为{(4，－2)}． (2)集合用描述法表示为{x |x 是正方形}，简写为{正方形}．(3)集合用描述法表示为{(x ，y )|y ＝x 2}．。
集合之间的表示法
1.1.2 集合的表示法
例6 分别用列举法和描述法表示方程x²-9=0的解集. 解 解方程x²-9=0,得x1=-3, x2=3.故方程的解组成的集合 用列举法表示为 {-3，3} ， 用描述法表示为 {x|x=-3或 x=3} .
1.1.2 集合的表示法
解 (1)中国古典长篇小说四大名著组成的集合用列举法表示为 ｛《水浒传》,《三国演义》,《西游记》,《红楼梦》｝ (2)大于-3且小于10的所有偶数为-2,0,2,4,6,8它们组成的 集合用列举法表示为{-2,0,2,4,6,8}.
1.1.2 集合的表示法
比3大的实数组成的集合能用列举法表示出来么？
小于6的正整数组成集合如何用列举法表示？ 四大发明组成的集合如何用列举法表示？ 太阳系八大行星组成的集合如何用列举法表示？ 由 “study”和“student”中的字母组成的集合如何用列举法表示？ 集合{1,2,3}与集合{3,2,1}是同一个集合么？
1.1.2 集合的表示法
例3 用列举法表示下列集合. (1)中国古典长篇小说四大名著组成的集合； (2) 大于-3且小于10的所有偶数组成的集合．
有些集合只能用列举法或描述法 表示,有些集合两种方法都适用,要根 据需要具体问题进行具体分析.
1.1.2 集合的表示法
练习 1. 用列举法表示下列集合：
(1)大于-5且小于9的所有奇数组成的集合；
(2)方程x²-2x-3=0的解集. 解：（1）用列举法表示为 {-3，-1，1，3，5，7}
（2）用列举法表示为 {--1，3} 2. 用描述法表示下列集合．
1.1.2
集合的表示法
1.1.2 集合的表示法
小于6的正整数组成一个集合, 大于3的实 数也组成一个集合.那么, 除了用这种自然语言 表示集合, 还可以用数学语言表示集合呢？
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思考：能用列举法描述下面集合吗？
数轴上离开原点的距离大于6的点的集合.
2.特征性质描述法
有一类集合如大于5的自然数所组成的集合、正偶数 构成的集合等，这类集合用列举法来表示比较繁琐， 这一类情况我们用集合中元素的特征性质来描述。
{x|x>5,x∈N} {x ∈R|x=2n,n ∈N+}
特征性质:一般地，如果在集合Ｉ中，属于集合A的任意 一个元素都具有性质p(x),而不属于集合A的元素都不具 有性质p(x),则性质p(x)叫做集合A的一个特征性质。 描述为{x∈Ｉ| p(x)}
例2:用特征性质描述法分别表示： (1)抛物线 y = x 2上点的纵坐标.
{ y| y
2}
2 =x }
⑵抛物线 y = x 2 上点的横坐标. {x| (3)抛物线 y = x 2 上的点.
y =x
{(x,y)| y =
( x, y) xy 0
说明： ⑴无限个元素的集合一般采用描述法 ⑵优点：形式简洁，充分体现集合中元素特征 ⑶注意以下几点： ①写清楚集合中的代表元素，如数或点等 ②说明集合中元素的共同性质，如方程、不 等式、函数或几何图形 ③不能出现末被说明的字母 ④多层描述时应当准确使用“且”“或” ⑤所有描述内容都要在括号内 ⑥用于描述的内容力求简洁准确。
3. 不大于100的自然数的全体构成的集合可以表示为
{0，1，2，3，…，100}
4. 自然数集N可以表示为
{0，1，2，3，…，n，…}
使用列举法必须注意：
⑴ 适用的情况：
①集合是有限集，元素又不太多 ②集合是有限集，元素较多，有一定的规律，可列 出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示 ③有规律的无限集
(1) x | x 1 , n N
n
x y 2 (2) x, y | x 2 y 4
(3) x,y | x 1,2, y 1,2
6 (4) x N N 3 x
图示法(Venn图)
幻灯片 7
幻灯片 8
例1.判断下列集合用列举法表示的是否正确 (1)由1~20以内的所有质数组成的集合表示为： {2,5,7,11,13,15,17,18,19} (2)方程 x {0,1,0}
2
x 的所有实数根组成的集合表示为：
(3)小于10所有自然数组成的集合表示为： {2,1,4,3,5, 6, 7,8, 9, 0}
{-6，5}
像这样把集合中的元素一一列举出来，写在大括号 内表示集合的方法叫做列举法. 列举法一般不考虑元素的前后顺序。
{a,b}与{b,a}表示同一集合。
例1、用列举法表示下列集合：
1. 由两个元素0，1构成的集合可以表示为 2. 24的正因数所构成的集合可以表示为
{0，1}.
{1，2，3，4，6，8，12，24}.
（3）所有奇数组成的集合表示为：x x 2k 1 （4）一次函数 y x 3 与 y 2 x 6 的图象的
交点组成的集合表示为：
y
1.1.2 集合的表示方法
列举法与特征性质描述法
一、温故：
1．回忆集合的概念
2．集合中元素有那些性质？ 3．空集、有限集和无限集的概念 4. 常用数集的表示方法 5.元素与集合的关系
列举法 例如:“地球上的四大洋”可以构成一个集合，其元素 分别为：太平洋、大西洋、北冰洋、印度洋 我们可以把这些元素一一列举出来表示成： {太平洋，大西洋，北冰洋，印度洋} 再如：方程( x 5)(x 6) 0 所有的实数根表示为
⑵用列举法表示集合时，不必考虑元素的前 后顺序，要注意不重不漏
再看两例
1、用列举法表示1到100连续自然数的平方；
{ 12, 22, 32, … , 1002 }
2、{x}，{x,y}，{(x,y)}的含义是否相同.
{x}表示单元素集合；
{x,y}表示两个元素集合；
{(x,y)}表示单元素集合，一个点.
练习1：用特征性质描述法表示下列集合
11,1 2 大于3的全体偶数构成的集合 3 在平面内，线段AB的垂直平分线
解：（ 1） x|x 1
(2)x | x 3, 且x 2n, n N
3 点P 平面||PA|=|PB|
练习2: 用列举法表示下列集合
常常画一条封闭的曲线，用它的内部表示一个集合．
例如
图1-1表示任意一个集合A； 图1-2表示集合{1，2，3，4，5} ．
A
图1-1
1,2,3, 5, 4.
图1-2
例2.判断下列集合用描述法表示的是否正确 （1）不等式 4 x 5 3 的解集表示为： y 4x 5 3
（2）由方程 x 2 9 0 所有实数根组成的集合 表示为： x 3,3
特征性质描述法（描述法）：
特征性质描述法（描述法）就是用确定的条 件表示某些对象是否属于这个集合的方法。集合 A可以用它的特征性质p(x)描述为
A x | p( x)
X为该集合的 元素的代号
p(x)表示该集合 中的元素x所具 有的性质
幻灯片 6
描述法 A x I | p( x)
例如：1、book中的字母的集合表示 为：
｛x|x是 book中的字母｝ 2、不等式x-3>2的所有解组成的集合：
｛x| x-3>2 ｝
具体方法：
在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值 （或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集 合中元素所具有的共同特征.它的形式为｛p∈D|p适合 的条件｝，其中p叫做代表元素，D为p的限制范围，其 含义为所有适合该条件的对象构成的集合.如果从上下 文的关系来看，p∈D是明确的，那么p∈D可以省略， 只写其元素p. 例如: A={x∈R|1≤x＜2}也可表示为A={x|1≤x＜2}； B={x∈Z|x=3k－1，k∈Z}也可表示为 B={x|x=3k-1,k∈Z}； C={x∈N|x>5}也可表示为C ={x|x>5, x∈N}; 所有直角三角形的集合可以表示为：{x|x是直角三角形}