Network Simplex Method网络单纯形法
运筹学单纯形法
只要取 x5=min{-，8/2，12}=4 就有上式成立。 x5=4时， x4=0，故决定用x5换x4 x1 =4- 1/4 x4 x5 =4-1/2 x4 +2 x3 x2 =2+1/8 x4–1/2 x3 代入得 z=14-3/2 x3 –1/8 x4 ，令x3 ，x4=0得z=14。新基可 行解为 X(3) =(4,2,0,0,4) T –为最优解，新顶点Q2 最优目标值z=14 。
§3.4 最优性检验和判别定理
线性规划解的四种可能： 1、有唯一解； 2、无穷多最优解； 3、无界解； 4、无可行解。 何时达最优解, 何种最优解？
将基本可行解X(0)和X(1)分别代入目标函数得
z z
(0)
= ∑ ci xi0
i =1 m
mቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(1)
= ∑ ci [ xi0 − θ aij ] + θ ci
§3.3 从初始基可行解转换为另一基可行解
0 0 记初始基可行解为X(0),有 X ( 0 ) = (x10 x 2 L x m 0 L 0
)
Pi xi0 = b 该解满足约束方程, 即 ∑
i =1
m
(1)
非基向量可以用基向量的线性组合表示
Pj = ∑ aij Pj
i =1 m
m
(2) (3)
Pj − ∑ aij Pj = 0
从实际例子中分析单纯形法原理的基本框架为 •第一步：将LP线性规划变标准型，确定一个初始可行解 （顶点）。 •第二步：对初始基可行解最优性判别，若最优，停止；否 则转下一步。 •第三步：从初始基可行解向相邻的基可行解（顶点）转 换，且使目标值有所改善—目标函数值增加，重复第二和 第三步直到找到最优解。
单纯形方法（SimplexMethod）
单纯形⽅法（SimplexMethod）最近在上最优理论这门课，刚开始是线性规划部分，主要的⽅法就是单纯形⽅法，学完之后做了⼀下⼤M算法和分段法的仿真，拿出来与⼤家分享⼀下。
单纯形⽅法是求解线性规划问题的⼀种基本⽅法。
线性规划就是在⼀系列不等式约束下求⽬标函数最⼤值或最⼩值的问题，要把数学中的线性规划问题⽤计算机来解决，⾸先要确定⼀个标准形式。
将所给的线性规划问题化为标准形式：s.t.是英⽂subject to 的简写，意思是受约束，也就是说第⼀个⽅程受到后⾯两个⽅程的约束。
对于求最⼤值问题可以将⽬标函数加负号转换为最⼩值问题。
对于求最⼤值问题可以将⽬标函数加负号转换为最⼩值问题。
其他的问题就是将实际问题中的不等式约束改为等式约束，主要⽅法是引进松弛变量和剩余变量，以及将⾃有变量转换为⾮负变量。
①对于不等式，引⼊松弛变量将其变为等式形式如下：②对于不等式，引⼊剩余变量将其变为等式形式如下：③若变量为⾃有变量（可取正、负或零，符号⽆限制），则引⼊两个⾮负变量将其表⽰如下：关于线性规划问题的解：确定了标准形式，我们就针对这个标准形式讨论⼀下线性规划问题的解。
线性规划问题的解能满⾜标准形式中约束条件的向量X的值，但只有最优解才能使⽬标函数值最⼩。
对于上⽂中的标准形式，约束矩阵A是⼀个m*n维矩阵，且m<n，所以⼀定可以从A中找到⼀个满秩m*m矩阵。
这个矩阵就称作矩阵A的⼀个基阵，矩阵A就可以写作 [B N] , 相应的解 x 也可以写成 x=(xB,xN)’，那么 Ax=b 就变为，左式两端同乘B矩阵的逆，得到。
由此引出下列名词：基阵：⾮奇异矩阵（满秩矩阵、可逆矩阵）B基向量：基阵B由m个线性⽆关的向量组成，称之为基向量基变量：向量xB各分量，与基向量对应的xB中的m个分量成为基变量⾮基变量：向量xN各分量基本解：令xN各分量为0，由得到的解称为基阵B对应的基本解基本可⾏解：当成⽴时，称基本解为基本可⾏解，因为只有满⾜所有分量不⼩于0，才符合标准形式中的约束条件（最后⼀条）。
单纯形法
cj 基 解
3 5 000 x1 x2 x3 x4 x5
0 x3 8 1 0
5 x2 6 0 1
第 0 x5 12 3 0
二
次
30 -3 0
迭 代
0
x3
4
5 x2 6
00 01
3 x1 4
10
1 00 0 1/2 0 0 -2 1
0 5/2 0 1 2/3 -1/3 0 1/2 0 0 -2/3 1/3
Simplex Method 第二章 单纯形法
SM
第2章 单纯形法
2.1 单纯形法的基本思想 2.2 单纯形法的计算过程 2.3 人工变量法 2.4 单纯形法补遗
2
第2章 单纯形法
2.1 单纯形法的基本思想
单纯形法有三种形式： ① 方程组形式 ② 表格形式 ③ 矩阵形式
2.1.1 方程组形式的单纯形法
2x2 0 +1x4 0 = 12 ②
3x1 + 4x2 0 0 +1x5 = 36 ③
条典
⑴ 当前基：m阶排列阵 ⑵ 目标方程中：一切基变量
的系数 σj = 0
满足条典的方程组称为典式(方程组)。 初始基本可行解
排列阵：
每行每列有且仅有一个元素 为1，其余元素全为0 的方阵。
X0 = (0, 0, 8, 12, 36)T z0 = 0
2.3 人工变量法
考虑标准型 (M)： 分别给每个约束方程硬性加入一个非负变量
a11x1 +a12x2+…+a1nxn +xn+1
a12x1 +a22x2+…+a2nxn
+xn+2
… … ………
单纯形法
单纯形法simplex method求解线性规划问题的通用方法。
单纯形是美国数学家G.B.丹齐克于1947年首先提出来的。
它的理论根据是：线性规划问题的可行域是n维向量空间Rn中的多面凸集，其最优值如果存在必在该凸集的某顶点处达到。
顶点所对应的可行解称为基本可行解。
单纯形法的基本思想是：先找出一个基本可行解，对它进行鉴别，看是否是最优解；若不是，则按照一定法则转换到另一改进的基本可行解,再鉴别；若仍不是，则再转换,按此重复进行。
因基本可行解的个数有限，故经有限次转换必能得出问题的最优解。
如果问题无最优解也可用此法判别。
根据单纯形法的原理，在线性规划问题中，决策变量（控制变量）x1，x2，…x n的值称为一个解,满足所有的约束条件的解称为可行解。
使目标函数达到最大值（或最小值）的可行解称为最优解。
这样，一个最优解能在整个由约束条件所确定的可行区域内使目标函数达到最大值（或最小值）。
求解线性规划问题的目的就是要找出最优解。
最优解可能出现下列情况之一：①存在着一个最优解；②存在着无穷多个最优解；③不存在最优解，这只在两种情况下发生，即没有可行解或各项约束条件不阻止目标函数的值无限增大（或向负的方向无限增大）。
单纯形法的一般解题步骤可归纳如下：①把线性规划问题的约束方程组表达成典范型方程组，找出基本可行解作为初始基本可行解。
②若基本可行解不存在，即约束条件有矛盾，则问题无解。
③若基本可行解存在，从初始基本可行解作为起点，根据最优性条件和可行性条件，引入非基变量取代某一基变量，找出目标函数值更优的另一基本可行解。
④按步骤3进行迭代,直到对应检验数满足最优性条件（这时目标函数值不能再改善），即得到问题的最优解。
⑤若迭代过程中发现问题的目标函数值无界，则终止迭代。
用单纯形法求解线性规划问题所需的迭代次数主要取决于约束条件的个数。
现在一般的线性规划问题都是应用单纯形法标准软件在计算机上求解，对于具有106个决策变量和104个约束条件的线性规划问题已能在计算机上解得。
单纯形法——精选推荐
单纯形法单纯形法的基本思想（Simplex method ）简要地讲就是，每次从单纯形上的⼀个顶点⾛到⼀个更好的顶点直到找到最⼩（⼤）值。
线性规划是由两部分组成的：线性的⽬标函数和线性的限制条件。
限制条件由等式和不等式组成。
每⼀个线性的等式在⼏何上就限制了可⾏解必须在⼀个超平⾯上。
每⼀个线性的不等式在⼏何上就限制了可⾏解必须在⼀个超平⾯的⼀边。
于是这些限制条件就限制了可⾏解必须在某个单纯形上，所谓单纯形就是很多超平⾯围成的区域。
由于⽬标函数也是线性的，所以如果最优解存在，⼀定有⼀个最优解是单纯形上的⼀个顶点。
所以⽬标变成了找单纯形上最好的顶点。
最好的顶点怎么找？最直接的办法就是逐个找。
聪明⼀点的办法是，每次找到的新的顶点都⽐原来的好。
单纯形法就是这类⽅法。
问题描述min z =CXs.t.AX =b X ≥0单纯形法基本思路：从⼀个初始的基本可⾏解出发，选中⼀条达到最优基本可⾏解的最佳途径。
确定初始的基本可⾏解约束⽅程AX =b 表⽰为：AX =(B N )X B X N=BX B +NX N =b得：X B =B −1b −B −1NX N 若令所有⾮基变量X N =0，则基变量X B =B −1b由此可得初始的基本可⾏解X =B −1b 0判断现⾏的基本可⾏解是否最优假如已经求得⼀个基本可⾏解X =B −1b 0将其代⼊⽬标函数，可求得相应的⽬标函数值z =CX =C B C NB −1b 0=C B B −1b其中，C B 和C N 分别表⽰基变量和⾮基变量所对应的⽬标函数系数⼦向量.怎么判断C B B −1b 是否已经达到最⼩值？min z =C BB −1b+(C N −C BB −1N )XN s.t.X B =B −1b −B −1NX N X B ,X N ≥0定理1 （最优化准则）如果σN ≥0，则基可⾏解x =B −1b 0为原问题的最优解.其中，σN =C N −C B B −1N =(σm +1,σm +2,⋯,σn )称为⾮基变量X N 的检验向量，它的各个分量称为检验数.若σN 的每⼀个检验数均⼤于等于0，即σN ≥0，则⽬前的基本可⾏解就是最优解.()()()()()()基本可⾏解的改建— 基变换先从检验数为负的⾮基变量中确定⼀个换⼊变量，使它从⾮基变量变成基变量，再从原来的基变量中确定⼀个换出变量，试它从基变量变成⾮基变量，由此可得到⼀个新的基本可⾏解.换⼊变量的确定—最⼤减⼩原则选取最⼩负检验数所对应的⾮基变量为换⼊变量，即若min {σj |σj <0,m +1≤j ≤n }=σm +k则选取对应的x m +k 为换⼊变量.由于σm +k <0且为最⼩，因此当x m +k 由零增⾄正值时，可使⽬标函数值最⼤限度的减⼩.换出变量的确定—最⼩⽐值原则如果确定确定x m +k 为换⼊变量，设p m +k 为A 中与x m +k 对应的系数列向量.现在需要在X B 中确定⼀个基变量为换出变量. 当x m +k 由零慢慢增加到某个值时，为保持解的⾮负性，可以按最⼩⽐值原则确定换出变量：θ=min {(B −1b )i(B −1p m +k )i|(B−1p m +k )i >0,1≤i ≤m }=(B −1b )l(B −1p m +k )l则选取对应的基变量x l 为换出变量.例⼦min z =−5x 1−2x 2−3x 3+x 4−x 5s.t.x 1+2x 2+2x 3+x 4=83x 1+4x 2+x 3+x 5=7x 1,x 2,x 3,x 4,x 5≥0解：已知A =1221034101，b =87，C =(−5,−2,−3,1,−1)1. 确定初始基本可⾏解基变量x 4，x 5，B =P 4P 5=1001，X B =x 4x 5T ，X N =x 1x 2x 3T ，B =1001，N =122341，C B =1−1，X N =−5−2−3b =87T令X N =0，则X B =B −1b =87T ，X =00087Tz =C B B −1b =11. 检验X 是否最优检验向量σN =C N −C B B −1N =(−3,0,−4)因为σ1和σ3均⼩于0，所以X =00087T 不是最优解.1. 基本可⾏解的改进（1）选取换⼊变量{[][]()[]()()[][]()()()()()()因为min {−3,−4}=−4，选取x 3为换⼊变量（2）选取换出变量B −1b =87T ，B −1P 3=21T >0，因为min {82,71}=82，选取x 4为换出变量.1. 求解改进了的基本可⾏解— 旋转运算对约束⽅程组的增⼴矩阵A b 施以初等⾏变换，使换⼊变量x 3所对应的系数向量P 2变换成换出向量x 4所对应的单位向量P 4，保持x 5的系数向量P 5为单位向量不变.122108341017⇒121112045230−1213基变量x 3，x 5，B =P 3P 5=1001，X B =x 3x 5T ，X N =x 1x 2x 4T ，B =1001，N =12112523−12，C B =−3−1，X N =−5−2−1b =43T令X N =0，则X B =B −1b =43T ，X =00403Tz =C B B −1b =−151. 转2，检验X 是否最优检验向量σN =C N −C B B −1N =(−1,4,2)因为σ1⼩于0，所以X =00403T 不是最优解.1. 转3，基本可⾏解的改进（1）选取换⼊变量因为σ1=−1，选取x 1为换⼊变量（2）选取换出变量B −1b =43T ，B −1P 3=1252T>0，因为min {41/2,35/2}=35/2，选取x5为换出变量.1. 转4，求解改进了的基本可⾏解对约束⽅程组的增⼴矩阵施以初等⾏变换，使换⼊变量x 1所对应的系数向量P 1变换成换出向量x 5所对应的单位向量P 5，保持x 3的系数向量P 3为单位向量不变.()()[]()()()[]()()[][]()()()()()()()()121112045230−1213⇒25135−151751650−152565基变量x3，x1，B=P3P1=10 01，X B=x3x1T，X N=x2x4x5T，B=1001，N=2535−1565−1525，C B=−3−5，X N=−21−1b=17565T令X N=0，则X B=B−1b=17565T，X=65017500Tz=C B B−1b=−8151. 转2，检验X是否最优检验向量σN=C N−C B B−1N=(265,95,25)因为所有检验系数均⼩于0，所以X=65017500T是最优解.参考资料()() ()[]()()[][]()()()()()()Processing math: 100%。
第二章 单纯形法
最小比值规则
当确定进基变量后, 当确定进基变量后,以进基变量的系数列向量 中的正数为分母, 中的正数为分母,以相应的方程右端常数为分子求 最小比值,所得到的最小比值的分母就是主元 主元. 最小比值,所得到的最小比值的分母就是主元.主 元所在的方程中的基变量就是离基变量 离基变量. 元所在的方程中的基变量就是离基变量.即:
bi bl min α ik > 0 = a ik a lk
令新的非基变量 x3 = x 4 = 0 ,得到新的 基本可行解: 基本可行解: T 经济含义—— 经济含义—— 分别生产甲,乙产品20 20个 分别生产甲,乙产品20个,此时可获得 利润200百元. 200百元 利润200百元.
几个名词
进基, 进基,进基变量 离基, 离基,离基变量 最大检验数规则 最小比值规则 主元/ 主元/主方程 迭代(旋转运算) 迭代(旋转运算)
增加单位产品甲比乙对目标函数 的贡献值大(600>400),故先把非 的贡献值大(600>400),故先把非 ), 变成基变量, 基变量 x1 变成基变量,称为让 x1 进基, 进基变量. 进基,同时称 x1 为进基变量.
R( A) = R( A, b ) = 3 < 5
则该函数约束等式方程组有无穷多组解. 则该函数约束等式方程组有无穷多组解.
分析目标函数表达式
max z = 6 x1 + 4 x 2 + 0 x3 + 0 x 4
非基变量的系数都是正数,若将它们转换 非基变量的系数都是正数, 为基变量,目标函数值则就会可能增加. 为基变量,目标函数值则就会可能增加. 经济含义:每分别多生产一个单位产品甲, 经济含义:每分别多生产一个单位产品甲, 目标函数值分别增加6 乙,目标函数值分别增加6,4,即利润分 别增加600 600元 400元 别增加600元, 400元.
单纯形法
定理2.2 定理
在已知一个基本可行 初始基本可行解）的前提下， 解（初始基本可行解）的前提下， 使用单纯形法求解线性规划时， 使用单纯形法求解线性规划时，若 每次迭代得出的基本可行解的基变 量均大于零（称为非退化）， ），则算 量均大于零（称为非退化），则算 法必有限步终止。 法必有限步终止。
P22
min z = 9 10 x1 +27 x3 s.t. x2 = 5 + x1 3x3 x4 = 6 2 x1 + 4 x3 x1 , x2 , x3 , x4 ≥ 0 T 是否为(2.9)的最优解 判断 (0,5,0,6) 是否为(2.9)的最优解
1 0 0 0 1 0
T
(2.9)
-2 1 7
0 0 1 0 -1/5 2/5 3/5 1/5
4 2 5 16 3 4 3 17
从表中知（ ， ， ， ， ） 从表中知（4，3，3，0，0）T为最优 略去松弛变量， 解，略去松弛变量，得：
x = (4,3)
T
——最优解 最优解Fra bibliotekz = 17
——最优值 最优值
§2.5
大M法 法
引入：问题提出， 引入：问题提出，当初始 基本可行解不知道时， 基本可行解不知道时，如何 求解？ 求解？ 先利用容许的运算使右列 为非负， 为非负，然后在中心部位人 工地添加一个单位子块。 工地添加一个单位子块。
最优解的读法： 最优解的读法： 单位子块中1所对应的变量取相应右列的值， 单位子块中 所对应的变量取相应右列的值，不在 所对应的变量取相应右列的值 单位子块位置中的变量取值为0。 单位子块位置中的变量取值为 。而右下端元素变号 即为LP的最优值 的最优值。 即为 的最优值。 单纯形法的步骤： 单纯形法的步骤：
运筹学术语(新版11)
翻译以下英文术语，并深入了解术语的含义。
1.optimal solution：最优解，使目标函数取得最大值的可行解。
P352.objective function：目标函数,指需优化的量，即欲达的目标，用决策变量的表达式表示。
P123.feasible region：可行域，指所有可行解的集合。
P284. simplex method：单纯形法：是一种迭代的算法，其核心思想是不仅将取值范围限制在顶点上，而且保证每换一个顶点，目标函数值都有所改善．P1175. BF solutions：基可行解，满足变量非负约束条件的基解称为基可行解。
P1816. sensitivity analysis：敏感性分析：指对系统或事物因周围条件变化显示出来的敏感程度的分析。
P1467. algorithm：算法，指系统的求解过程。
p1078. spanning tree：生成树，若有限图的生成子图是一棵树，则称为该图的生成树。
树指不含有圈的连通网。
P3799. states：状态，各阶段开始时的客观条件. P44510.directed arc：有向弧，指通过一条弧的流只有一个方向的弧。
P37611. unbounded：无界，指约束条件不能阻止目标函数值在有利的方向上（正的或者负的）增长。
P3512. CPF solution：顶点（角点）可行解，指位于可行域顶点的解。
P3713. functional constraints：约束条件，指决策变量取值时受到的各种资源条件的限制，通常表达为含决策变量的等式或不等式。
P3414 multiple optimal solutions：多个最优解的问题，指有无穷多解，每一个解都有相同的目标函数值的问题。
P12215. slack variable：松弛变量，添加x i到约束条件的不等式中使其变为等式的变量P10816. augmented solution：增广解，指原始变量（决策变量）取值再加入相应的松弛变量取值后而形成的解。
运筹学术语(新版11)
翻译以下英文术语，并深入了解术语的含义。
1.optimal solution：最优解，使目标函数取得最大值的可行解。
P352.objective function：目标函数,指需优化的量，即欲达的目标，用决策变量的表达式表示。
P123.feasible region：可行域，指所有可行解的集合。
P284. simplex method：单纯形法：是一种迭代的算法，其核心思想是不仅将取值范围限制在顶点上，而且保证每换一个顶点，目标函数值都有所改善．P1175. BF solutions：基可行解，满足变量非负约束条件的基解称为基可行解。
P1816. sensitivity analysis：敏感性分析：指对系统或事物因周围条件变化显示出来的敏感程度的分析。
P1467. algorithm：算法，指系统的求解过程。
p1078. spanning tree：生成树，若有限图的生成子图是一棵树，则称为该图的生成树。
树指不含有圈的连通网。
P3799. states：状态，各阶段开始时的客观条件. P44510.directed arc：有向弧，指通过一条弧的流只有一个方向的弧。
P37611. unbounded：无界，指约束条件不能阻止目标函数值在有利的方向上（正的或者负的）增长。
P3512. CPF solution：顶点（角点）可行解，指位于可行域顶点的解。
P3713. functional constraints：约束条件，指决策变量取值时受到的各种资源条件的限制，通常表达为含决策变量的等式或不等式。
P3414 multiple optimal solutions：多个最优解的问题，指有无穷多解，每一个解都有相同的目标函数值的问题。
P12215. slack variable：松弛变量，添加x i到约束条件的不等式中使其变为等式的变量P10816. augmented solution：增广解，指原始变量（决策变量）取值再加入相应的松弛变量取值后而形成的解。
石油英语词汇(S4)
石油英语词汇(S4)石油英语词汇(S4)石油英语词汇(S4)silic- 硅silica cement 二氧化硅胶结物；硅石水泥silica flour 硅粉silica gel adsorption 硅胶吸附silica gel drier 硅胶干燥器silica gel thin-layer chromatography 硅胶silica gel 硅胶silica glass 硅石玻璃silica sand 石英砂silica sinter 硅华silica tetrahedral sheet 片状硅四面体silica wool 石英棉silica 二氧化硅silica-alumina catalyst 硅铝催化剂silica-lime cement 石英砂石灰水泥silica-magnesia catalyst 硅镁催化剂silica-replaced fossil 硅交代化石silica-sand cement 石英砂水泥silicagel column 硅胶柱silicalite 硅质岩silicalock system 硅胶结体系silicane =silanesilicarenite 石英砂屑岩silicasol 硅溶胶silicastone 硅质沉积岩silicate control acid 防硅酸盐垢的酸silicate scale 硅酸盐垢silicate 硅酸盐silication 硅化siliceous cement 硅质胶结物siliceous earth 硅藻土siliceous limestone 硅质灰岩siliceous ooze 硅藻软泥siliceous organism 硅质生物siliceous proppant 硅质支撑剂siliceous reservoir rocks 硅质储集岩层siliceous sandstone 硅质砂岩siliceous sinter 硅华siliceous 含硅的；硅质的silicic acid 硅酸silicic 富硅质的siliciclastic 硅质碎屑的silicide 硅化物silicification 硅化作用silicified fossil 硅化化石silicilith 沉积石英岩silicilutite 泥屑石英岩silicilyte 沉积石英岩silicirudite 砾屑石英岩silicispongiae 硅质海棉纲silicite 硅质岩silicium carbide 碳化硅silicium 硅silico- 硅silico-aluminate 硅铝酸盐silicobiolith 硅质生物岩silicofluoric acid 硅氟酸silicoformer 硅变压整流器silicomanganese 硅锰；锰硅铁silicon bronze 硅青铜silicon carbide 碳化硅silicon cast iron 硅铸铁silicon chip 硅片silicon diode 硅二极管silicon dioxide 二氧化硅silicon ethyl 四乙基硅silicon rectifier stack 硅整流堆silicon rectifier welder 硅整流焊机silicon resin 硅树酯silicon rubber 硅橡胶silicon steel 硅钢silicon tetrafluoride 四氟化硅silicon 硅silicon-calcium ratio log 硅-钙比测井silicon-controlled rectifier 可控硅整流器silicon-dioxide cement 二氧化硅水泥；二氧化硅胶结物silicon-oxygen sheet 硅-氧片silicone foam 硅酮泡沫体silicone oil 硅油silicone resin 硅氧烷树脂silicone rubber 硅酮橡胶silicone 硅氧烷silicone-base oil 以硅油为主要成分的油silicone-nylon ipn 有机硅-尼龙互穿网格siliconized plate 硅钢片siliconizing 渗硅silicospiegel 硅镜铁silicrete 硅质层silicrosteel 阀门用硅铬钢silistor 半导体可变电阻器silit 碳化硅silk yarn covered wire 丝包线silk 丝；丝状物；光泽；降落伞；丝的silkiness 丝状sill basin 海槛盆地sill 底座大梁；岩床sill-like 席状silliciophite 杂蛋白蛇纹石sillimanite 硅线石sillite 辉绿玢岩silmanal 银锰铝汞磁合金silo 井siloxane 硅氧烷siloxen 硅氧烯siloxicon 氧碳化硅silt bacteria 淤泥菌silt barrier ring 防淤环silt content 含泥量silt contourite 粉砂质等深积岩silt index 粉砂指数silt remover 除泥器silt seam 淤泥层silt separator 除泥分离器silt suspending agent 淤泥悬浮剂silt test 含泥量测定silt 粉砂；淤泥silt-algae 粉砂藻类silt-sized particle 粉砂级颗粒siltage 粉砂体siltation 淤积silted-river lake 河淤塞湖silting deposit 冲击层silting 淤泥沉积silting-up 淤积siltite 粉砂岩siltpelite 粉砂泥岩siltrock 粉砂岩siltstone reservoir 粉砂岩储集层siltstone 粉砂岩silty breccia 粉砂质角砾岩silty clay 粉砂质粘土silty lutite 粉砂质泥屑岩silty sand 粉砂silty shale 粉砂质页岩silty 淤泥的silumin 硅铝明合金silurian 志留纪silvanite 木质堵漏剂silver bromide 溴化银silver catalyst 银催化剂silver chloride 氯化银silver halide 卤化银silver infiltrated bushing 渗银衬套silver iodide 碘化银silver nitrate 硝酸银silver nitrite 亚硝酸银silver sand 银白色细砂silver soldering 银焊silver 银silver-clad copper 包银铜silver-zinc battery 银锌电池silveriness 银白silvering 镀银；银色光泽silverware 银器silvestrene 枞萜；1-甲-3异丙烯基-1-环己烯silvinate 松香酸盐sima sphere 硅镁带sima 硅镁圈simanal 硅锰铝脱氧合金simandoux equation 西门图方程simatic crust 硅镁壳simatic 硅镁质的simblosite 蜂窝状结核similar coefficient 相似系数similar fault 相似断层similar fold 相似褶皱similar folding 相似褶皱作用similar fossil valley 相似古山谷similar triangles 相似三角形similar 相似的similar-type structure 相似形构造similarity coefficient 相似系数similarity theory 相似理论similarity transformation 相似变换similarity 相似性similicoronilithus 似花冠石similitude 相似；外表simmer 徐沸simonellite 西蒙内利烯simozonotriletes 凹环孢属simphor 一种水平井测井系统simplan 模拟平面波地震剖面simple arithmetic mean 简单算术平均数simple building unit 简单构造单元simple community 单一群落simple crosscorrelation 互相关simple entry book keeping 单式记帐simple harmonic motion 简谐运动simple harmonic oscillation 简谐振动simple harmonic wave 简谐波simple helix 单螺旋simple interest rate 单利simple license 普通许可证simple lineament 简单线性构造simple linear regression 简单线性回归simple majority vote 简单多数表决simple model reformulated gasoline 简化方案的新配方汽油simple multiples 全程多次波simple number 基数simple pendulum 单摆simple rate of return 简单收益率simple reproduction 简单再生产simple sample 单一样品simple scale constant 单一格值常数simple scan 单点扫描simple shear 单剪simple sugar 单糖simplex algorithm 单纯型算法simplex cementing collar 单级注水泥接箍simplex method 单纯形法simplex pump 单缸泵simplex tableau 单纯形表simplex 简单的simplicial method 单纯形法simpliciplicate 简单褶皱simplicity 简单simplification 简化；单一化simplified calculation 简化计算simplified facies-model 简化相模式simplified network model 简化网络模型simplified signal generator 简易信号发生器simplified solution 简化解simplified 简化的simpson's rule 辛普森法则simulacrum 像simulate contact-type flowmeter 模拟接触式流量计simulate thermal equilibrium 仿真热平衡simulate 模拟simulated condition 相似条件simulated data 模拟数据simulated dive 模拟潜水simulated domain 模拟区域simulated field condition 模拟现场条件simulated formation 模拟地层simulated leakage 模拟泄漏simulated line 仿真线simulated moving bed separator 模拟移动床分离器simulated program 仿真程序simulated section 模拟剖面simulated seismogram 模拟地震记录simulated service test 模拟使用试验simulated sonic log 模拟声波测井simulating signal 模拟信号simulating test 模拟试验simulation equation 模拟方程simulation job 模拟作业simulation layer 模拟层simulation package 模拟程序包simulation test 模拟试验simulation 模拟simulative 模拟的simulator program 模拟程序simulator 模拟程序；模拟系统；模拟模型；模拟电路；模拟器simulcast 同时联播simultaneity 同时发生simultaneous adjustment 联合平差simultaneous backprojection 联立反向投影simultaneous bullet gun perforator 联动子弹射孔器simultaneous carry 同时进位simultaneous computer 同时操作计算机simultaneous cross-folding 同时交叉褶皱作用simultaneous development 同时开发simultaneous differential equations 联立微分方程组simultaneous draw texturing machine 同时拉伸变形机simultaneous drilling 双筒钻井simultaneous equations 联立方程simultaneous event 同时事件simultaneous faulting 同期断裂作用simultaneous ignition 同步点火simultaneous injection well 多层注入井simultaneous injection 同时注入simultaneous logging 同时测井simultaneous lost circulation and blowout 边喷边漏simultaneous processing 同时处理simultaneous pumping 同时泵送simultaneous reception 同时接收simultaneous setting 同步坐封simultaneous shots 同步激发simultaneous 同时的simultaneous-operation computer 同时操作计算机sin 正弦sinaite 正长岩sine curve 正弦曲线sine function 正弦函数sine galvanometer 正弦电流计sine integral 正弦积分sine weighting 正弦加权sine 正弦sine-random generator 正弦-随机信号发生器sine-wave generator 正弦波发生器sine-wave oscillation 正弦振荡sine-wave oscillator 正弦波振荡器sinemurian 辛涅缪尔阶singapore 新加坡singing phenomenon 鸣振现象singing propeller 谐音推进器；蜂鸣推进器singing sand 鸣砂singing 鸣震single acting 单作用的single admission 单向入口single anchor leg mooring 单锚腿系泊single anchor leg storage 单锚腿储存single anticline 单背斜single arc system 单岛弧系single assembly 单个装置single beam laser recorder 单光束激光记录仪single beam microwave holography 单波束微波全息术single beam 单波束single bell joint 单铃状接头single bevel butt 单面斜口焊接single bevel groove 单斜面坡口single bottom construction 单底结构single buoy mooring system 单点系泊系统single buoy mooring 单浮筒系泊single buoy storage 单浮筒储存single cabin 单人舱single card microcomputer 单板机single cell 单细胞single chambered sphere 单室球形舱single channel 单通道single column run 单管试验single completion 单层完井single component 单组分single conductor cable 单芯电缆single conductor line 单芯电缆single construction 单项工程single core barrel 单管岩心筒single core cable 单芯电缆single core dynamic method 单岩心动力法single crystal 单晶single cycle 单循环；单冲程；单旋回single cylinder engine 单缸发动机single cylinder plunger pump 单缸柱塞泵single cylinder two stage air compressor 单缸双级空压机single deck floating roof tank 单盘浮顶油罐single diffracting point 单绕射点single dipping layer 单倾斜层single drive 单独传动single drum tilt rig 单滚筒倾斜钻机single drum 单滚筒single ender 单边排列single fault 单断层single fillet lap 单面圆角搭接single fillet welded 单面焊接的single flash 一次闪蒸single flighted screw 单导程螺杆single fold continuous profile 单次连续剖面single fold 单次覆盖single grip retrievable casing packer 单卡瓦可收回式套管封隔器single groove 单槽single hill 孤丘single hologram 单全息图single hull 单壳船体single instruction multiple data 单指令多数据single instruction stream 单指令流single j groove j形坡口single job 一次操作single joint 单根single knuckle joint 单试铰链节single layer coil 单层线圈single layer 单层single level address 一级。
Simplex Method
表格单纯形法 人工变量法
单纯形法
单纯形法的一般原理
线性规划问题的进一步讨论 改进单纯形法
2.1
• • • • • • 1 2 3 4 5 6
单纯形法的一般原理
引例 初始基可行解的确定 最优性检验 基变换 迭代（旋转运算） 解的判别定理
在上一讲中，我们已经知道，若LP问题有最优解，必在 某个顶点上达到。即在某个基本可行解上的达到最优解。 因此最容易想到的是：对LP问题，把所有基本可行解找出 来，然后逐个进行比较，求出最优解。我们称之为“枚举 法”。但此法在决策变量较多的时是不可行的，因为基本 m C n ，但随着m,n的增大迅速地增大，使得 可行解的个数 枚举法事实上不可行。如
1 2 3
(1 6)
1 引例
高斯消去法
• 将(1-6)式中x2的系数列向量变换为单位列向量。 其运算步骤是： • ③′=③/4；①′=①-2×③′;②′=②, • 并将结果仍按原顺序排列有：
1 x3 2 x1 x5 2 x4 16 4 x1 1 x2 3 x5 4
P x
j 1 j
n
j
b
xj 0
的系数构成的列向量Pj(j=1,2,…,n)中，通过直接观察，找出一 个初始可行基
1 1 B P , P2 , Pm 1 1
2 初始基可行解的确定
(2)加松弛变量
对所有约束条件为“≤”形式的不等式，利用化标准型的方 法，在每个约束条件的左端加上一个松弛变量。经过整理， 重新对xj及aij (i=1,2,…,m; j=1,2,…,n)进行编号，则可得下列 方程组（x1,x2,…,xm 为松弛变量）：m 1 am xn
单纯形法simplexalgorithm
单纯形法simplex algorithm数学最优化中，由George Dantzig发明的单纯形法(simplex algorithm)是线性规划问题的数值求解的流行技术。
有一个算法与此无关，但名称类似，它是Nelder-Mead法或称下山单纯形法，由Nelder和Mead发现(1965年)，这是用于优化多维无约束问题的一种数值方法，属于更一般的搜索算法的类别。
这二者都使用了单纯形的概念，它是N维中的N+1个顶点的凸包，是一个多胞体：直线上的一个线段，平面上的一个三角形，三维空间中的一个四面体，等等。
1.标准形式以下为线性规划的标准形式，假设有n个变量和m个约束。
所有其他形式的线性规划方程组都可以按照下列方式转化成标准形式：目标函数并非最大化：将所有取负。
约束条件中存在大于或等于约束：将约束两边取负。
约束条件中存在等式：将其转化为两个不等式(一个大于等于，一个小于等于)有的变量没有非负约束：加入新变量，并用替换原来的变量2.松弛形式可以将标准形式的线性规划转化为松弛形式，以方便运算。
在原来n个变量，m个约束的线型规划中，加入m个新的变量，将原来的不等式化为等式：当然，此时依然成立。
我们将这些变量称为非基变量，它们构成的集合记为B。
将这些变量称为基变量，它们构成的集合记为N。
简单地理解，基变量能够由非基变量唯一确定。
在这样的定义下，线性规划的松弛形式可以写为如下形式：因此，线性规划的松弛形式可以由v,c,A,b,N,B唯一确定，其中v是实数，c和b是长度为n+m的向量，A是(n+m)*(n+m)的矩阵。
N,B是整数集合，分别表示非基变量集合以及基变量集合。
3.转轴操作转轴操作是单纯形法中的核心操作，其作用是将一个基变量与一个非基变量进行互换。
可以将转轴操作理解为从单纯形上的一个顶点走向另一个顶点。
设变量属于B(基变量)，变量属于N(非基变量)，执行转轴操作pivot(d,e)之后，将变为非基变量，相应地将变为基变量。
求解线性规划的单纯形法(1)
◦ 确定移动的方向 ◦ 确定在何处停下 ◦ 确定新的基本可行解
求解线性规划的单纯形法
例：用单纯形法求解以下线性规划问题
求解线性规划的单纯形法 首先将模型转化成标准形式
求解线性规划的单纯形法
Q1：确定初始的基本可行解
• 选择原点：
– 令决策变量 x1= x2 = 0得：X0 = ( 0，0，3，4)T
xx33 = 1 -x2 ≥=0 → x2 ≤ 1/1
x4 = 2 -x2 ≥ 0 → x2 ≤ 2/1
离基（最小比值规则） ：
x2 ≤ min {1/1，2/1 } = 1 x2 = min {1/1，2/1 } = 1
x3为离基变量
X1 = ( 0, 1, 0, 1)T
求解线性规划的单纯形法
3
x1 + 2x2
+ x4 =4
初等数学 变换
新的BF解 x1 =0，x4 =0 x3 =？1 ，x2 =2
新方程
Z x1/2
+ 3x4 /2 =6
x1/2 + x3 - x4 / 2 1
x1/2 + 2x2 + x4 /2 =2
非最优解！
• 寻找新的基本可行解：
– 初等数学变换
非基变量 x1的系数 X*=（0, 2, 1, 0） 是正数！
x1 2
x1 2
－
x1 4
初等行变换
x3
0
确定x3为离基变量
Z*=7,X*=(2,1,0,0)
非基变量系 数>0，最优！
Z x1/2
+ 3x4 /2 =6
x1/2 + x3 - x4 / 2 1
单纯形法
目录第一章单纯形法的提出……………………………………………………………1.1 单纯形法提出背景……………………………………………………………第二章单纯形法的一般原理………………………………………………………2.1 单纯形法的基本思路…………………………………………………………2.2 确定初始基本可行解…………………………………………………………2.3 最优性检验……………………………………………………………………2.4 基变换…………………………………………………………………………2.5 解的判别定理…………………………………………………………………2.6 单纯形法求解线性规划问题的程序框图……………………………………第三章表格单纯形法………………………………………………………………3.1单纯型表求解…………………………………………………………………3.2 用单纯形法求解线性规划问题的举例………………………………………第四章人工变量及其处理方法……………………………………………………4.1大M法…………………………………………………………………………4.2两阶段法………………………………………………………………………4.3无最优解和无穷多最优解……………………………………………………4.4退化与循环……………………………………………………………………第五章单纯形法的矩阵表示………………………………………………………总结……………………………………………………………………………………参考文献………………………………………………………………………………第一章 单纯形法的提出1.1 单纯形法的提出背景单纯形法是1947年由George Bernard Dantzing(1914-2005)创建的，单纯形法的创建标志着线性规划问题的诞生。
线性规划问题是研究在线性约束条件下，求线性函数的极值问题。
然而，对这类极值问题，经典的极值理论是无能为力的，只有单纯形法才能有效解决这类极值问题的求解。
单纯形法
z z0 j x j
j m 1
n(1.2.21)称 j ( j m 1 ,, n ) 为检验数。
定理1.2.1 设（1.2.17）和（1.2.21）是最大
化线性规划问题关于当前基本可行解x*的两个典式。
若关于非基变量的所有检验数σ j≤0成立，则当前
基本可行解x*就是最优解。 将σ j≤0称为最大化问题的最优性准则。显然， 对于最小化问题最优性准则应是σ j≥0。
30x1 + x3 = 160 - 20x2 5x1 = 15 - x2 - x4 （1.2.6） x1 + x5 = 4 进一步分析，用消元法将（1.2.6）中x1的系数列向量 （30,5,1）T 化成(1.2.3)中x4的系数矩阵（0,1,0）T
的形式。得到：
x3 = 70 - 14x2 + 6x4 x1 = 3 - 1/5x2 - 1/5x4
(b'1, b'2, … , b'm ,0 , …, 0)T是当前基本可行解。若有一个非
基变量xm+t的检验数σ
m+t>0，且xm+t对应的系数列向量
P'm+t=(a'1,m+t,a'2,m+t,„，a'm,m+t)中，所有分量a'i,m+t≤0，则该 线性规划问题具有无界解（或称无最优解）。
1.2.2 单纯形表
x2= 5 - 1/14x3 + 3/7x4
x1 = 2 + 1/70x3 - 2/7x4
（1.2.11）
x5 = 2 - 1/70x3+ 2/7x4
将（1.2.11）代入目标函数式，得到用非基变 量x 3
《管理运筹学》求解线性规划的单纯形法
– 基变量在目标函数中的系数为0
– 非基变量在目标函数中的系数<=0.
（注意：目标函数形式 z = 2x1 + 3x2）
– 若目标函数为方程形式：
检验数
z - 2x1 - 3x2=0，则需非基变量的系数>=0
求解线性规划的单纯形法
Q3：如何找下一个相邻的基本可行解
• 迭代步骤1：确定移动的方向
确定进基变量
例：z = 2x1 + 3x2 – 选择 x1 ？Z的增长率=2 – 选择 x2 ？Z的增长率=3 – 3＞2，选择x2！
• 进基变量的选择：
检验数的 绝对值哦
~~~
– 选择非基变量的系数最大的！
求解线性规划的单纯形法
Q3：如何找下一个相邻的基本可行解
• 迭代步骤2：确定在何处停下 – 增加x2 的值， x1 =0
• 选择单元阵作为初始基：
1 1 1 0
A 1
2
0
1
(a1
,
a2
,
a3
,
a4
)
1 0
B
0
1
(a3
,
a4
)
令非基变量 x1= x2 = 0得：X0 = ( 0，0，3，4)T
求解线性规划的单纯形法
Q2：最优性检验
• 非最优：增加非基变量的值，可以使 得目标函数Z值增加
x1,
x2,
x3,
=1 +x4 =2 x4 ≥0
然后确定初始基本可行解
X0 = (0, 0, 1, 2)T z0 = 0
最优性检验：一切σj ≥ 0 ？
当前解 X0 非优； 须由X0 转化为另一个基本可行解 X1。 思路：让X0 中的一个非基变量进基，去替换原来的一个基变量（离基）。
Session5网络最优化问题
Session5 Network Optimization Problems 网络最优化问题
Network representation 网络表述
80 units produced F1 W1 60 units needed
DC
70 units produced
F2
W2
90 units needed
Session5 Network Optimization Problems 网络最优化问题
Minimum Cost Network Flow Model 最小费用流问题
最小费用流问题的构成：
节点(nodes)（供应点 、需求点 、转运点）
弧（arcs）
目标: 通过网络满足需求提供供应，
最小化流的总成本
一家折扣连锁零售店，现在和以前是如何使用微 型计算机去处理一个最小费用流问题。应用中公 司力图使得从供应商到加工中心，再从加工中心 到零售店的商流最优。其中的一些网络有超过 20,000条弧。
All Rights Reserved, Prof. Ren Jian Biao,2004
Session5 Network Optimization Problems 网络最优化问题
All Rights Reserved, Prof. Ren Jian Biao,2004
Session5 Network Optimization Problems
案例研究
BMZ Case Study BMZ案例研究
RO [ 60 ] NY [ 80 ]
网络最优化问题
[ 50 ]
[ 40 ] BO [ 70 ] ST
经典应用
Planning Vehicle Replacement at Phillips Petroleum 飞利浦石油的运输工具替换计划
第2章 单纯形法
换基运算即对当前方程组进行一系列初等变换，其目的是：
将主列化成单位向量，以符合典式。 （1）将主元化为1。
用主元的倒数乘以主方程，得到新方程（a），称为源方程。
（2）载将主列中其余元素全部消去，都化为0.
欲消去主列中哪行非0元素，就用其相反数乘以源方程（a）后，再
（0） ① ② ③
2015年9月10日星期四
2.1.4 可行基变换
1.转换规则——主元的确定
（2） 确定离基变量合主元的规则——最小比值规则
根据主列中ak中的一切正数aik＞0 i 1, 2, , m 按照式 bi bl =min |aik＞0 2 3b a a lk ik 确定最小比值，以及 对应的第l行（方程）为主行（主方程），主行中的原 基变量xr 就是离基变量，同时确定主列中的主行元素alk 为主元。
x3 6 -x1 0 x1 6 x4 8 0 x 18-2 x 0 x 18 2 1 1 5
2-1
故有：x1 min 6,18 2 =6 （2-2）
即有：x1 = min 6,18 2 =6 不能取x1 6 , 否则x3，x4，x5全都为正数，无一离基。所以式（2-2）只能取等式，
加给该非0元素所在行。反复这样，主列化成单位列向量。
15
山西大学经济与管理学院 范建平
2015年9月10日星期四
2.1.4 可行基变换
范例的可行基变换
(1)由于主元为1，已经符合要求；
将主方程①填写入新方程组 Ⅱ Ⅰ 中，仍置于原行序①处，作为 源方程，表上记号（如打√）， 以备正确识别、援用。
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Fatme Elmoukaddem Jignesh Patel Martin Porcelli
Outline
• Definitions • Economic Interpretation • Algebraic Explanation • Initialization • Termination
Network
• A network is a collection of nodes connected by arcs
• Each node has a demand for the commodity
– Nodes that are sources of the commodity have a negative demand
i
LP Formulation (2)
• Let A be the matrix indexed by the set of nodes x the set of arcs
– Ai,jk is either
• -1 if i=j • 1 if i=k • 0 otherwise
• A is known as the incidence matrix of the network
3
Algebraic Description (Step 1)
• We define c’ = c – yA. • c’ is the difference between the cost of an arc
and the value difference across the arc. • If ij T then c’ij = cij + yi – yj = 0. • If ij T and if c’ij < 0 then ij is candidate for
Transshipment Problem
• Find the cheapest way to ship prescribed amounts of a commodity from specified origins to specified destinations through a transportation network
• Let b be a column vector indexed by the set of nodes
– bi is the demand at i
Example
-5 1
4 5
3
12
7
43
33 1
9
5 5 -2
c 54739 1 5
x 12
x 13
x
entering arc. • Also if ij T then xij = 0, combining with above
we get c’x = 0 ( ij, either c’ij = 0 or xij=0).
Algebraic Description (Step 1)
-5 1
7
3
• If no such arc exists then c’ ≥ 0 and so c’x’ ≥ 0.
• Hence equation (1) implies cx’ ≥ cx for every feasible solution x’, and so x’ is optimal.
• If we find such an arc e, we it to the tree T.
x x
14 23
x 25
x 35
x 54
b 5133 2
LP Formulation
minimize cx cij xij subject to
ij
ij
xij 0
i
x ji xij bi
ji
ij
bi 0
3 1
0
12
1 43
33 0
0
2 5 -2
LP Formulation
• Let c be a row vector and x a column vector indexed by the set of arcs
– cij is the cost of shipping over ij – xij is the amount to ship over ij
• c is the cost (row) vector, b is the demand (column) vector, and A is the incidence matrix.
Algebraic Description (Step 1)
-5 1
7
3
4
-5 1
3
3
4
G: 1
3
5
T: 2
0
0
2 0
3
9
2
2
0
2
A
x
12 14 23 24 34
2
y
0 1 10 7
1 1 1 0 0 0
2
1
0
1 1
0
3 0 0 1 0 1
4
0
1
0
1
1
3 2 0 0
c 1 7 9 3 5
3 2
b
5
0
2
52
Optimality
• If no arc like ki exists, then your prices can not be undercut
– A competitor could break even at best
Algebraic Description (Step 1)
• Each step begins with a feasible tree solution x defined by a tree T.
– The sum of all the demands is zero
• Each arc has a cost to ship a unit of commodity over it
Example
-5 1
4 5
3
12
7 43
33 1
9
5 5 -2
Schedule
• A schedule describes how much of the commodity is shipped over each arc
0
2
3
1 7 9 3 5 c' 0 0 0 -3 8
Algebraic Description (Step 1)
• For any feasible solution x’ (i.e. Ax’ = b,
x’ ≥ 0), its cost is
cx’ = (c’ + yA)x’
– You want to ship as much as possible – You must also adjust the rest of your
schedule to conform with demand
Example
01
4 5
3
52
7 38
47 01
4
5
5
7 34
5 2 52
47 5
• A feasible tree solution x associated with a spanning tree T is a feasible solution with
– xij = 0 if ij is not an arc of T
Network Simplex Method
• Search through feasible tree solutions to find the optimal solution
cx’ = cx + c’x’
(1)
• So if c’x’ < 0 then x’ is a better solution than x.
Algebraic Description (Step 2)
• In step 2 we find an arc e = uv such that yu + cuv < yv (i.e. c’uv < 0).
• Has a nice economic interpretation
Economic Interpretation
• Given a spanning tree T and an associated feasible tree solution x
• Imagine you are the only company that produces the commodity
• What price should you sell the commodity for at each node?
– Assume that you ship according to x
Price Setting
• You want to set the price yi at node i
• Requirements
– The amount entering a node minus the amount leaving it is equal to its demand
– The amount shipped over any arc is nonnegative