Network Simplex Method网络单纯形法.ppt
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12(2)网络单纯形算法
A;
带有费用，容量供需量的网络图
定价
行i i的供应量
j的供应量
行j
i
）的检验数。
一个人工的初始基本可行解
z 对于每个b(j)<0，增加弧（1,j ）带有
最高的费用。
z 对于每个b(j)>0，增加弧（j,1）带有
最高的费用。
从节点1到4 发送2单位流，3单位到节点3，从节点2到1发送3单位流。
有一个节点叫做根节点。
从根节点到任意其他节点有一条唯一的路径（无方向）。
从节点1到5的路径是什么？
假设非树弧流量非0。
这将会怎么影响计算？
弧(4,3)流量多大？ 提示：节点4的供应为2。
一棵有供应和需求的树。
（假定其他弧流量是0。
）
考虑到流的上限，调整供应/需求量。
与前面的方法一样计算流。
例如，弧(4,3)的流量是多少？
的最优性条件。
这是带有弧费用的生成树。
如何选择节点势，使树的每个弧的检验数是0？
注意：弧(i,j)的检验数是c ij -πi +πj 假定π1=0。
看动画演示
首先，确定节点势，这样所有树弧的检验数是０。
下限弧(6,5)正在最小值，这是一条不符合最优性条件的弧，可以进基。
弧(5,4) 正在最大值。
满足最优性条件。
为生成树增加一条非基弧，形成一个基本回路。
调整基本回路中的流量这样供应/需求约束仍然满足。
假定弧(6,5)正处于上界流量。
调整基本回路的流量使供应/需求约束仍然满足。
《单纯形方法》课件
结论：单纯形方法在资源分配问题中具有广泛的应用前景，可以帮助企业实现资源的合理分配和优化利用，提 高生产效率和市场竞争力。
定义：通过选择一组资产，使得 在给定风险水平下，期望收益最 大化
方法：利用单纯形方法求解投资 组合优化问题
添加标题
添加标题
目标：实现投资组合的收益最大 化
添加标题
添加标题
实际应用：在金融领域中，用于 管理资产组合，降低风险并提高 收益
● a. 求解线性规划问题的有效方法 ● b. 广泛应用于经济、管理、工程等领域 ● c. 快速、准确、稳定，受到广泛认可
单纯形方法的应用前景： a. 在大数据时代，单纯形方法将更加高效 b. 在人 工智能领域，单纯形方法将与机器学习结合 c. 在未来，单纯形方法将不断 优化，提高求解速度和精度
● a. 在大数据时代，单纯形方法将更加高效 ● b. 在人工智能领域，单纯形方法将与机器学习结合 ● c. 在未来，单纯形方法将不断优化，提高求解速度和精度
单纯形方法在算法改进方面 的潜力
单纯形方法在优化领域的应 用前景
单纯形方法在实际问题中的 应用挑战
未来研究方向和可能的突破 点
汇报人：PPT
计算复杂度：对于大 规模问题，单纯形方 法的计算复杂度较高 ，可能需要较长的计 算时间。
单纯形方法在解决复杂问 题时的局限性
未来发展方向：与其他优 化算法的结合与改进
面临的挑战：提高算法的 稳定性和效率
未来展望：拓展应用领域， 推动相关领域的发展
单纯形方法的重要性： a. 求解线性规划问题的有效方法 b. 广泛应用于经济、 管理、工程等领域 c. 快速、准确、稳定，受到广泛认可
单纯形方法在资源分配问题中的应用：单纯形方法是一种线性规划方法，可以用于解决资源分配问题。通过构建和 求解线性规划模型，单纯形方法可以找到最优的资源分配方案，使得资源利用效率最高或满足特定的目标函数。
定义：通过选择一组资产，使得 在给定风险水平下，期望收益最 大化
方法：利用单纯形方法求解投资 组合优化问题
添加标题
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目标：实现投资组合的收益最大 化
添加标题
添加标题
实际应用：在金融领域中，用于 管理资产组合，降低风险并提高 收益
● a. 求解线性规划问题的有效方法 ● b. 广泛应用于经济、管理、工程等领域 ● c. 快速、准确、稳定，受到广泛认可
单纯形方法的应用前景： a. 在大数据时代，单纯形方法将更加高效 b. 在人 工智能领域，单纯形方法将与机器学习结合 c. 在未来，单纯形方法将不断 优化，提高求解速度和精度
● a. 在大数据时代，单纯形方法将更加高效 ● b. 在人工智能领域，单纯形方法将与机器学习结合 ● c. 在未来，单纯形方法将不断优化，提高求解速度和精度
单纯形方法在算法改进方面 的潜力
单纯形方法在优化领域的应 用前景
单纯形方法在实际问题中的 应用挑战
未来研究方向和可能的突破 点
汇报人：PPT
计算复杂度：对于大 规模问题，单纯形方 法的计算复杂度较高 ，可能需要较长的计 算时间。
单纯形方法在解决复杂问 题时的局限性
未来发展方向：与其他优 化算法的结合与改进
面临的挑战：提高算法的 稳定性和效率
未来展望：拓展应用领域， 推动相关领域的发展
单纯形方法的重要性： a. 求解线性规划问题的有效方法 b. 广泛应用于经济、 管理、工程等领域 c. 快速、准确、稳定，受到广泛认可
单纯形方法在资源分配问题中的应用：单纯形方法是一种线性规划方法，可以用于解决资源分配问题。通过构建和 求解线性规划模型，单纯形方法可以找到最优的资源分配方案，使得资源利用效率最高或满足特定的目标函数。
12网络单纯形法演示
注意：（i,j）的检 验数是：
cij-πi+πj
具有弧费用的生 成树。如何选择节 点势使树的检验 数为 0？
注意：（i,j）的检 验数是：
cij-πi+πj
计算生成树的单纯形乘子
计算生成树的单纯形乘子
在最小费用流问题 中有一个多余的约 束。
可以自主确定π１， 令π１＝０。
节点２的单纯形乘 子是什么？
弧 (2,6) 流 量 多大？
弧 (7,1) 的 流 量多大？
计算一棵生成树流
计算一棵生成树流
弧 (1,2) 流 量 多大？
注意：有两种 方法计算弧 (1,2) 的 流 量 ， 结果都是 4。这 是不是巧合？
计算生成树的单纯形乘子
计算生成树的单形乘子
具有弧费用的生 成树。如何选择节 点势使树的检验 数为 0？
15.053
网络单纯形法演示
计算一棵生成树流
一棵有供应和 需求的树。（假 定其他弧流量 是 0）。
弧 (4,3) 的 流 量 多大？
计算一棵生成树流
计算一棵生成树流
要计算流量， 重复观察树， 找出流量是 唯一确定的 弧。
弧(5,3)流量多 大？
弧 (3,2) 的 流 量多大？
计算一棵生成树流
计算一棵生成树流
将一条违背弧加入到生成树中构成回路
沿回路发送流量
将(2,1)加入树中。
回路是 什么？ 可以发 送多少 流量？
沿回路发送 2 单位流量。
下一棵 生成树 是什 么？
经过一轮迭代后
更新乘子
更新的生成树
在迭代中， 加入 T 中 一条弧，从 T 中去掉 一条弧。
当前乘子与检验数
如何使 c*=0 且 其他树 弧检验 数为 0？
cij-πi+πj
具有弧费用的生 成树。如何选择节 点势使树的检验 数为 0？
注意：（i,j）的检 验数是：
cij-πi+πj
计算生成树的单纯形乘子
计算生成树的单纯形乘子
在最小费用流问题 中有一个多余的约 束。
可以自主确定π１， 令π１＝０。
节点２的单纯形乘 子是什么？
弧 (2,6) 流 量 多大？
弧 (7,1) 的 流 量多大？
计算一棵生成树流
计算一棵生成树流
弧 (1,2) 流 量 多大？
注意：有两种 方法计算弧 (1,2) 的 流 量 ， 结果都是 4。这 是不是巧合？
计算生成树的单纯形乘子
计算生成树的单形乘子
具有弧费用的生 成树。如何选择节 点势使树的检验 数为 0？
15.053
网络单纯形法演示
计算一棵生成树流
一棵有供应和 需求的树。（假 定其他弧流量 是 0）。
弧 (4,3) 的 流 量 多大？
计算一棵生成树流
计算一棵生成树流
要计算流量， 重复观察树， 找出流量是 唯一确定的 弧。
弧(5,3)流量多 大？
弧 (3,2) 的 流 量多大？
计算一棵生成树流
计算一棵生成树流
将一条违背弧加入到生成树中构成回路
沿回路发送流量
将(2,1)加入树中。
回路是 什么？ 可以发 送多少 流量？
沿回路发送 2 单位流量。
下一棵 生成树 是什 么？
经过一轮迭代后
更新乘子
更新的生成树
在迭代中， 加入 T 中 一条弧，从 T 中去掉 一条弧。
当前乘子与检验数
如何使 c*=0 且 其他树 弧检验 数为 0？
Network Simplex Method网络单纯形法-精选文档54页
52
Optimality
• If no arc like ki exists, then your prices can not be undercut
– A competitor could break even at best
Algebraic Description (Step 1)
• Each step begins with a feasible tree solution x defined by a tree T.
• Requirements
– The amount entering a node minus the amount leaving it is equal to its demand
– The amount shipped over any arc is nonnegative
Example
-5 1
3 1
0
12
1 43
33 0
0
2 5 -2
LP Formulation
• Let c be a row vector and x a column vector indexed by the set of arcs
– cij is the cost of shipping over ij – xij is the amount to ship over ij
– You want to ship as much as possible – You must also adjust the rest of your
schedule to conform with demand
Example
01
4 5
3
52
Optimality
• If no arc like ki exists, then your prices can not be undercut
– A competitor could break even at best
Algebraic Description (Step 1)
• Each step begins with a feasible tree solution x defined by a tree T.
• Requirements
– The amount entering a node minus the amount leaving it is equal to its demand
– The amount shipped over any arc is nonnegative
Example
-5 1
3 1
0
12
1 43
33 0
0
2 5 -2
LP Formulation
• Let c be a row vector and x a column vector indexed by the set of arcs
– cij is the cost of shipping over ij – xij is the amount to ship over ij
– You want to ship as much as possible – You must also adjust the rest of your
schedule to conform with demand
Example
01
4 5
3
52
网络单纯形算法
5
基本流
基本结构包含生成树 T,弧的集合L,弧集U, T ∪L ∪U = A. 对每个 (i,j) ∈ L, xij= 0. 对每个 (i,j)∈U, xij= uij. 选择在T中的弧流,以便每个结点满足它的供应/需求约 束. 如果流也满足上下界限制,基本结构也是可行的. 基本结构也可能不可行. 实际上,这就是对偶单纯形算法 的正常情况下.
看动画.
10
另一种替换计算单纯形乘子的方法
令πi 是在T中从结点i到结点1 (根结点)的路径的代价. 如果 (j,k) 反向的,那么使用代 价-cjk. 什么是结点4的单纯形乘子? 什么是结点6的单纯形乘子?
11
最优化条件(又一次)
生成树解的最优化条件: 以下条件是最小代价流问题的最优解的条件,对于对 偶问题,π是最佳的. 1. 基本流 x 是可行的 2. π 是单纯形乘子向量 3. For 每个非树弧(i,j) a. 如果 cπij> 0, 那么 xij= 0 b. 如果cπij< 0, 那么 xij= uij 如果弧(5,6)满足最优条件, 在弧(5,6)上的流是什么?
16
生成树,部分生成树解
结点1是根结点. 树从 根结点"悬挂".
17
结点深度和前驱
,其他
18
线
在进行深度优先搜索 的时候,获得线. 在深度优先搜索中, 每个结点指向下一个 结点.
19
寻找圈
procedure IDENTIFY CYCLE; begin 设置 i : = k 且 j : = l; while i ≠j do begin
在单纯形方法中,我们如何避免成圈?(或者说如果环绕 圈发送的流总数是0,我们做什么?) 单纯形方法的最坏情况性能是什么? 在实践中,加速性能的好的启发式方法是什么?
最优化方法之单纯形法PPT课件
3 5
4 2
1 0
0 1
9 8
x3 9 3x1 0 x4 8 5x1 0
x1 3
x1 1.6
第5页/共76页
x1取min3,1.6 1.6,
即x4 0 x4出基
得到新基
3 5
1
0
• 迭代（求新的基本可行解）
3 4 1 0 9
5
2
0
1
8
主元素
3 4 1 0 9
1
25 0
s.t 3x1 4x2 x3 9
5x1 2x2 x4 8
x1, x2 , x3 , x4 0
• 找初始基可行解
系数的增广矩阵
取初始可行基为B1
1
0
0 1
3 4 1 0 9
A
5
2
0
1
8
得基可行解 X (0) (0 0 9 8)T
目标函数值 z(0) 0
• 判断是否最优解?能否找到另一个基可行解使目标函数 值下降?
x3
3 14
x4
3 2
x1
-
1 7
x3
2 7 x4 1
x2
3 2
5 14
x3
3 14
x4
x1
1
1 7
x3
-
2
7
x4
代入目标函数：
z
17.5
5 14
x3
25 14
x4
最优解： X * (1 1.5 0 0)T z* 17.5
第10页/共76页
X (0) (0 0 9 8)T z(0) 0
x1, x2 , x3 , x4 , x5 0
zj cj cBB1Pj cj
第五章 单纯形法ppt课件
➢ x2+x5＝250
→ 0＝250？
➢ 显然不能得到相应的解。
编辑版pppt
9
一、问题的提出
➢ 为什么令x2＝0，x5＝0时不能得到解？ ➢ 因为其余三个变量的系数列向量为
110
201
000
➢ 该矩阵是非可逆矩阵，即去掉x2和x5后的三个约束 方程线性相关，这种情况下得不到解。
编辑版pppt
10
编辑版pppt
24
二、单纯形法的基本思路和原理
➢ 3、那有没有办法在求出解之前保证我 们取得的基为可行基？
➢ 解决办法：保证右端项非负，找到一个 单位矩阵，必定是一个可行基。
编辑版pppt
25
二、单纯形法的基本思路和原理
➢ 如范例系数阵：
右端项非负
1 1 1 0 0 300 2 1 0 1 0 400 0 1 0 0 1 250
❖ 我们首先将最优解缩小在一个有限的❖ 回顾图解法，我们知道：最优解必定在可行域的顶 点上取得，而顶点的个数总是有限的。
❖ 多维线性规划问题的可行域也存在有限个顶点。
❖ 如果能够从一个顶点开始，通过某种方式向更优顶 点转移，总会找到最优点。
❖ 首先面临的问题： ❖ 如何通过代数方法找到第一个顶点？
存在3阶单位阵
编辑版pppt （初始可行基）
26
二、单纯形法的基本思路和原理
➢ 基本可行解为（0，0，300，400，250） ➢ 此可行基称为初始可行基。 ➢ 对应的解称为初始基本可行解。
➢ 初始基本可行解在上页矩阵中一目了然。
编辑版pppt
27
二、单纯形法的基本思路和原理 ➢第二步：最优性检验
不存在 (200,0,100,0,50) (300,0,0,-200,-50) (0,250,50,150,0) (0,400,-100,0,150) (0,300,0,100,-50)
Network Simplex Method网络单纯形法共54页文档
• If no such arc exists then c’ ≥ 0 and so c’x’ ≥ 0.
• Hence equation (1) implies cx’ ≥ cx for every feasible solution x’, and so x’ is optimal.
• If we find such an arc e, we it to the tree T.
Transshipment Problem
• Find the cheapest way to ship prescribed amounts of a commodity from specified origins to specified destinations through a transportation network
2 0
3
9
2
2
0
2
A
x
12 14 23 24 34
2
y
0 1 10 7
1 1 1 0 0 0
2
1
0
1 1
0
3 0 0 1 0 1
4
0
1
0
1
1
3 2 0 0
c 1 7 9 3 5
3 2
b
5
0
2
• What price should you sell the commodity for at each node?
– Assume that you ship according to x
Price Setting
• You want to set the price yi at node i
• Hence equation (1) implies cx’ ≥ cx for every feasible solution x’, and so x’ is optimal.
• If we find such an arc e, we it to the tree T.
Transshipment Problem
• Find the cheapest way to ship prescribed amounts of a commodity from specified origins to specified destinations through a transportation network
2 0
3
9
2
2
0
2
A
x
12 14 23 24 34
2
y
0 1 10 7
1 1 1 0 0 0
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1
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c 1 7 9 3 5
3 2
b
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• What price should you sell the commodity for at each node?
– Assume that you ship according to x
Price Setting
• You want to set the price yi at node i
图论动画-网络单纯形算法-46页PPT精选文档
T
L
-6
U
4
4
5
没有弧违反最
-4
优条件.
32
寻找圈
1
8
3
6
10
11
7 2
9
12
5
33
使用深度和前驱
01
8
23
6
10
11
7 2
9
12
54
depth(5) = 4;
depth(3) = 2;
用 pred(5) 替换结点5
34
使用深度和前驱
01
8
23
6
10
11
7 2
9 3 12 5
depth(9) = 3;
T L U
4
4, 0
5
下一个生成树
是什么？
21
旋转(pivot)之后
u14, x14
1
4,2
2
2, 1 4,3
3
3,0 5, 3
3,3 1, 0
更新的生成树
T L U
4
4, 0
5
在旋转中，一条
弧加入到 T， 而
另一条弧从 T 删
除.
22
更新乘子
0
-4
1
0
0
32
4
-2
0
34
4
2
0
5
3
-2
当前乘子和即约代价
4, $2 3, $5
2, $4
3, $4
3 1, $4
5, $5
最小代价流问题
-4 4
4, $2
5 -3
T L U
17
生成树流
《单纯形方法》课件
04
最优解的确定
检查终止条件
在迭代过程中或迭代结束后，检查是 否满足终止条件。
确定最优解
如果满足终止条件，则当前最优解即 为所求的最优解；否则继续迭代。
CHAPTER 04
单纯形方法的案例分析
案例一：生产计划问题
总结词
线性规划问题，目标是最大化利润，约 束条件包括生产能力、市场需求等。
VS
详细描述
02 它包含了决策变量、约束条件和目标函数的系数 。
03 通过构建单纯形表格，可以方便地表示线性规划 问题的数学模型。
单纯形迭代
1
单纯形迭代是求解线性规划问题的主要方法之一 。
2
该方法通过不断迭代，逐步逼近最优解。
3
在每次迭代中，根据当前解的情况，通过一系列 计算找到下一个迭代点，直到达到最优解或满足 终止条件。
CHAPTER 02
单纯形方法的原理
线性规划问题
01
线性规划是数学优化技术的一种，用于在有限的资 源下，寻找一组变量的最优解。
02
线性规划问题通常表示为在一组线性不等式约束下 ，最小化或最大化一个线性目标函数。
03
线性规划问题广泛应用于生产计划、资源分配、投 资组合优化等领域。
单纯形表格
01 单纯形表格是用于描述线性规划问题的一种表格 形式。
改进的方法与策略
混合整数规划
将整数规划与线性规划相结合，以处理包含 整数约束的优化问题。
并行计算
利用多核处理器或多计算机系统，加快单纯 形方法的计算速度。
全局优化
通过引入新的算法和策略，以实现全局最优 解，而不仅仅是局部最优解。
自适应算法
根ห้องสมุดไป่ตู้问题的特性，动态调整算法参数，以提 高求解效率。
最优解的确定
检查终止条件
在迭代过程中或迭代结束后，检查是 否满足终止条件。
确定最优解
如果满足终止条件，则当前最优解即 为所求的最优解；否则继续迭代。
CHAPTER 04
单纯形方法的案例分析
案例一：生产计划问题
总结词
线性规划问题，目标是最大化利润，约 束条件包括生产能力、市场需求等。
VS
详细描述
02 它包含了决策变量、约束条件和目标函数的系数 。
03 通过构建单纯形表格，可以方便地表示线性规划 问题的数学模型。
单纯形迭代
1
单纯形迭代是求解线性规划问题的主要方法之一 。
2
该方法通过不断迭代，逐步逼近最优解。
3
在每次迭代中，根据当前解的情况，通过一系列 计算找到下一个迭代点，直到达到最优解或满足 终止条件。
CHAPTER 02
单纯形方法的原理
线性规划问题
01
线性规划是数学优化技术的一种，用于在有限的资 源下，寻找一组变量的最优解。
02
线性规划问题通常表示为在一组线性不等式约束下 ，最小化或最大化一个线性目标函数。
03
线性规划问题广泛应用于生产计划、资源分配、投 资组合优化等领域。
单纯形表格
01 单纯形表格是用于描述线性规划问题的一种表格 形式。
改进的方法与策略
混合整数规划
将整数规划与线性规划相结合，以处理包含 整数约束的优化问题。
并行计算
利用多核处理器或多计算机系统，加快单纯 形方法的计算速度。
全局优化
通过引入新的算法和策略，以实现全局最优 解，而不仅仅是局部最优解。
自适应算法
根ห้องสมุดไป่ตู้问题的特性，动态调整算法参数，以提 高求解效率。
Network Simplex Method网络单纯形法54页PPT文档
– The sum of all the demands is zero
• Each arc has a cost to ship a unit of commodity over it
Example
-5 1
4 5
3
12
7 43
33 1
9
5 5 -2
Schedule
• A schedule describes how much of the commodity is shipped over each arc
Transshipment Problem
• Find the cheapest way to ship prescribed amounts of a commodity from specified origins to specified destinations through a transportation network
• What price should you sell the commodity for at each node?
– Assume that you ship according to x
Price Setting
• You want to set the price yi at node i
• A feasible tree solution x associated with a spanning tree T is a feasible solution with
– xij = 0 if ij is not an arc of T
Network Simplex Method
• Search through feasible tree solutions to find the optimal solution
• Each arc has a cost to ship a unit of commodity over it
Example
-5 1
4 5
3
12
7 43
33 1
9
5 5 -2
Schedule
• A schedule describes how much of the commodity is shipped over each arc
Transshipment Problem
• Find the cheapest way to ship prescribed amounts of a commodity from specified origins to specified destinations through a transportation network
• What price should you sell the commodity for at each node?
– Assume that you ship according to x
Price Setting
• You want to set the price yi at node i
• A feasible tree solution x associated with a spanning tree T is a feasible solution with
– xij = 0 if ij is not an arc of T
Network Simplex Method
• Search through feasible tree solutions to find the optimal solution
12网络单纯形法演示
去掉弧(2,1)，将 T 分成两部分
更新的乘子与检验数
给树的一端节点增 加Δ不会影响除 (2,1) 外 树 弧 的 检 验 数。为什么？
Δ应多 大才能 使 (2,1) 的检验 数为 0？
更新的乘子与检验数
这个树解 是最优解 么？
将一条违背弧加入到生成树中构成回路
沿回路发送流量
将弧(3,4)加入生成树中
回路是 什么？ 可以发 送多大 流量？
沿回路发送 1 单位流量。
下一棵 生成树 是什 么？
下一棵生成树解
更新乘子
更新的生成树
当前乘子
如何修 改乘子 呢？
更新乘子
更新乘子
当前乘子
Δ应该 多大？
最优解
更新的乘子
当前生 成树是 否最优 解？
这是最优解
没有弧 违背最 优性条 件。
注意：（i,j）的检 验数是：
cij-πi+πj
具有弧费用的生 成树。如何选择节 点势使树的检验 数为 0？
注意：（i,j）的检 验数是：
cij-πi+πj
计算生成树的单纯形乘子
计算生成树的单纯形乘子
在最小费用流问题 中有一个多余的约 束。
可以自主确定π１， 令π１＝０。
节点２的单纯形乘 子是什么？
将一条违背弧加入到生成树中构成回路
沿回路发送流量
将(2,1)加入树中。
回路是 什么？ 可以发 送多少 流量？
沿回路发送 2 单位流量。
下一棵 生成树 是什 么？
经过一轮迭代后
更新乘子
更新的生成树
在迭代中， 加入 T 中 一条弧，从 T 中去掉 一条弧。
当前乘子与检验数
如何使 c*=0 且 其他树 弧检验 数为 0？
Network Simplex Method网络单纯形法
– For all ji in T, yi = yj + cji – If the price was lower then you would lose
money – If the price was higher then a competitor could
Network Simplex Method
Fatme Elmoukaddem Jignesh Patel Martin Porcelli
Outline
• Definitions • Economic Interpretation • Algebraic Explanation • Initialization • Termination
Network
• A network is a collection of nodes connected by arcs
• Each node has a demand for the commodity
– Nodes that are sources of the commodity have a negative demand
• Has a nice economic interpretation
Economic Interpretation
• Given a spanning tree T and an associated feasible tree solution x
• Imagine you are the only company that produces the commodity
– The sum of all the demands is zero
• Each arc has a cost to ship a unit of commodity over it
money – If the price was higher then a competitor could
Network Simplex Method
Fatme Elmoukaddem Jignesh Patel Martin Porcelli
Outline
• Definitions • Economic Interpretation • Algebraic Explanation • Initialization • Termination
Network
• A network is a collection of nodes connected by arcs
• Each node has a demand for the commodity
– Nodes that are sources of the commodity have a negative demand
• Has a nice economic interpretation
Economic Interpretation
• Given a spanning tree T and an associated feasible tree solution x
• Imagine you are the only company that produces the commodity
– The sum of all the demands is zero
• Each arc has a cost to ship a unit of commodity over it
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– The sum of all the demands is zero
• Each arc has a cost to ship a unit of commodity over it
43
33 1
9
5 5 -2
Schedule
• A schedule describes how much of the commodity is shipped over each arc
Network Simplex Method
Fatme Elmoukaddem Jignesh Patel Martin Porcelli
Outline
• Definitions • Economic Interpretation • Algebraic Explanation • Initialization • Termination
• What price should you sell the commodity for at each node?
– Assume that you ship according to x
Price Setting
• You want to set the price yi at node i
x 35
x 54
b 5133 2
LP Formulation
minimize cx cij xij subject to
ij
ij
xij 0
i
x ji xij bi
ji
ij
bi 0
i
LP Formulation (2)
• Let A be the matrix indexed by the set of nodes x the set of arcs
• Let b be a column vector indexed by the set of nodes
– bi is the demand at i
Example
-5 1
4 5
3
12
7
43
33 1
9
5 5 -2
c 54739 1 5
x 12
x 13
x
x x
14 23
x 25
Network
• A network is a collection of nodes connected by arcs
• Each node has a demand for the commodity
– Nodes that are sources of the commodity have a negative demand
1 1 1 1 0 0 0 0
2
1
0
0 1 1 0
0
3 0 1 0 1 0 1 0
4
0
0
1
0
0
0
1
5 0 0 0 0 1 1 1
LP Formulation (2)
minimize cx subject to
ij xij 0
Ax b
bi 0
i
Tree Solution
• A spanning tree of a network is a network containing every node and enough arcs such that the undirected graph it induces is a tree
• Has a nice economic interpretation
Economic Interpretation
• Given a spanning tree T and an associated feasible tree solution x
• Imagine you are the only company that produces the commodity
• A feasible tree solution x associated with a spanning tree T is a feasible solution with
– xij = 0 if ij is not an arc of T
Network Simplex Method
• Search through feasible tree solutions to find the optimal solution
– Ai,jk is either
• -1 if i=j • 1 if i=k • 0 otherwise
• A is known as the incidence matrix of the network
Example
-5 1
4 5
3
12
7
43
33 1
9
5 5 -2
12 13 14 23 25 35 54
– For all ji in T, yi = yj + cji – If the price was lower then you would lose
money – If the price was higher then a competitor could
3 1
0
12
1 43
33 0
0
2 5 -2
LP Formulation
• Let c be a row vector and x a column vector indexed by the set of arcs
– cij is the cost of shipping over ij – xij is the amount to ship over ij
• Requirements
– The amount entering a node minus the amount leaving it is equal to its demand
– The amount shipped over any arc is nonnegative
Example
-5 1
Transshipment Problem
• Find the cheapest way to ship prescribed amounts of a commodity from specified origins to specified destinations through a transportation network
• Each arc has a cost to ship a unit of commodity over it
43
33 1
9
5 5 -2
Schedule
• A schedule describes how much of the commodity is shipped over each arc
Network Simplex Method
Fatme Elmoukaddem Jignesh Patel Martin Porcelli
Outline
• Definitions • Economic Interpretation • Algebraic Explanation • Initialization • Termination
• What price should you sell the commodity for at each node?
– Assume that you ship according to x
Price Setting
• You want to set the price yi at node i
x 35
x 54
b 5133 2
LP Formulation
minimize cx cij xij subject to
ij
ij
xij 0
i
x ji xij bi
ji
ij
bi 0
i
LP Formulation (2)
• Let A be the matrix indexed by the set of nodes x the set of arcs
• Let b be a column vector indexed by the set of nodes
– bi is the demand at i
Example
-5 1
4 5
3
12
7
43
33 1
9
5 5 -2
c 54739 1 5
x 12
x 13
x
x x
14 23
x 25
Network
• A network is a collection of nodes connected by arcs
• Each node has a demand for the commodity
– Nodes that are sources of the commodity have a negative demand
1 1 1 1 0 0 0 0
2
1
0
0 1 1 0
0
3 0 1 0 1 0 1 0
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0
0
1
0
0
0
1
5 0 0 0 0 1 1 1
LP Formulation (2)
minimize cx subject to
ij xij 0
Ax b
bi 0
i
Tree Solution
• A spanning tree of a network is a network containing every node and enough arcs such that the undirected graph it induces is a tree
• Has a nice economic interpretation
Economic Interpretation
• Given a spanning tree T and an associated feasible tree solution x
• Imagine you are the only company that produces the commodity
• A feasible tree solution x associated with a spanning tree T is a feasible solution with
– xij = 0 if ij is not an arc of T
Network Simplex Method
• Search through feasible tree solutions to find the optimal solution
– Ai,jk is either
• -1 if i=j • 1 if i=k • 0 otherwise
• A is known as the incidence matrix of the network
Example
-5 1
4 5
3
12
7
43
33 1
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5 5 -2
12 13 14 23 25 35 54
– For all ji in T, yi = yj + cji – If the price was lower then you would lose
money – If the price was higher then a competitor could
3 1
0
12
1 43
33 0
0
2 5 -2
LP Formulation
• Let c be a row vector and x a column vector indexed by the set of arcs
– cij is the cost of shipping over ij – xij is the amount to ship over ij
• Requirements
– The amount entering a node minus the amount leaving it is equal to its demand
– The amount shipped over any arc is nonnegative
Example
-5 1
Transshipment Problem
• Find the cheapest way to ship prescribed amounts of a commodity from specified origins to specified destinations through a transportation network