单纯形法 PPT课件
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运筹学课件 单纯形法的计算步骤
第二阶段：以第一阶段的最优解(不含人工变量)为初 始解，以原目标函数为目标函数。
例8 试用两阶段法求解线性规划问题
min z =-3x1+x2+x3
x1 2 x2 x3 11
s.t.
4 x1 2 x1
x2
2x3 3 x3 1
x1 , x2 , x3 0
0 0 -1 0 0
x2
3 5 11/5
Z0=0
Z1=15
x1
如果将x1换入基底，得 另一解，由可行域凸性 易知，有两个最优解必 有无穷多组最优解 当非基底变量的检验数 中有取零值，或检验数 中零的个数大于基变量 个数时，有无穷多解。
四、无（有）界解
max z=x1+x2 -2x1+x2 4 x1- x2 2 -3x1+x23 x1 ,x2 0
反之，若加了人工变量的问题解后最优解中仍含人工变量为 基变量，便说明原问题无可行解。例3的单纯形表格为：
Cj
3
-1
-1
0
0
-M
CB XB b
x1
x2
x3
x4
x5
x6
0 x4 1
1
-2
1
1
0
0
-M x6 13 -4
1
2
0
-1
1
-M x7 1 -2
0
[1] 0
0
0
j
3-6M M-1 3M-1 0
-M
x1 2 x2 x3 x4
11
4 2
x1 x1
x2
2
x3 x3
例8 试用两阶段法求解线性规划问题
min z =-3x1+x2+x3
x1 2 x2 x3 11
s.t.
4 x1 2 x1
x2
2x3 3 x3 1
x1 , x2 , x3 0
0 0 -1 0 0
x2
3 5 11/5
Z0=0
Z1=15
x1
如果将x1换入基底，得 另一解，由可行域凸性 易知，有两个最优解必 有无穷多组最优解 当非基底变量的检验数 中有取零值，或检验数 中零的个数大于基变量 个数时，有无穷多解。
四、无（有）界解
max z=x1+x2 -2x1+x2 4 x1- x2 2 -3x1+x23 x1 ,x2 0
反之，若加了人工变量的问题解后最优解中仍含人工变量为 基变量，便说明原问题无可行解。例3的单纯形表格为：
Cj
3
-1
-1
0
0
-M
CB XB b
x1
x2
x3
x4
x5
x6
0 x4 1
1
-2
1
1
0
0
-M x6 13 -4
1
2
0
-1
1
-M x7 1 -2
0
[1] 0
0
0
j
3-6M M-1 3M-1 0
-M
x1 2 x2 x3 x4
11
4 2
x1 x1
x2
2
x3 x3
运筹学课件1-4单纯形法计算步骤
b 21 4
9 4
3 x1 1 -1 3 4 -1 12
9 x2 3 1 9 0 1 0
0 x3 1 0 0 1 0 0
0 x4 0 1 0 -3 1 -9
θ 7 4
9/4 -
所以把x3换出为非基变量，x1为换入变量即新的基变量。
第20页
cj
CB 0 0
0 9 3
XB x3 x4 cj-zj x3 x2 cj-zj x1
cj-zj
x3 x1 x5 cj-zj
6
0 1 0
5
5/2 1/2 1
0
1 0 0
0
-1/2 1/2 -1
0
0 0 1
75 5
0
2
0
-3
0
5
x2
5
0
1
0
-1
1
第10页
cj CB 0 0 0 0 6 0 XB x3 x4 x5 b 90 75 80 105/2 75/2 5
6 x1 1 2 2
5 x2 3 1 2
9/4
-
3 9
9/4 25/4
1 0 0
25
第24页
cj CB 0 0 XB x3 x4 cj-zj b 21 4
3 x1 1 -1 3
9 x2 3 1 9
0 x3 1 0 0
0 x4 0 1 0 θ 7 4
0
9
x3
x2 cj-zj x1 x2 cj-zj
9
4
4
-1 12
0
1 0 0 1 0
1
0 0 1/4 1/4 -3
i 1
第1页
单纯形表求解线性规划问题
线性规划与单纯形法PPT课件
Max Z = 50 x1 + 30 x2
第3步 --表示约束条件
4x1+3x2 120（木工工时限制） 2x1+x2 50 （油漆工工时限制）
x1，x2≥0 （变量取非负值限制）
该计划的数学模型
max Z=50x1+30x2 4x1+3x2 120
s.t.
2x1+ x2 50 x1, x2 0
问如何组织生产才能使每月的销售收入最大？
• 第1步 -确定决策变量
是问题中要确定的未知量
xx •设
1 ——桌子的产量 2 ——椅子的产量
，表明规划中的用数量表 示的方案、措施，可由决 策者决定和控制。
z ——利润
x1
x2
第2步 --定义目标函数
Max Z = 50 x1 + 30 x2
第2步 --定义目标函数
线性规模解决的问题
• 给定一定数量的人力、物力、财力等资源， 研究如何充分利用，以发挥其最大效果
• 已给定计划任务，研究如何统筹安排，用最 少的人力、物力、财力去完成
2、线性规划问题的数学模型
线性规划数学模型三要素：
决策变量、目标函数、约束条件
➢ 每一个线性规划问题都有一组决策变量 (x1, x2, ……, xn) , 这组决策变量的值就代表 一个具体方案。
1、问题的提出
例1.1 生产计划问题（资源利用问题） 某家具厂生产桌子和椅子两种家具。 桌子售价50元/个，椅子销售价格30元/个。 需要木工和油漆工两种工种。 生产一个桌子需要木工4小时，油漆工2小时。 生产一个椅子需要木工3小时，油漆工1小时。 该厂每个月可用木工工时为120小时， 油漆工工时为50小时。
第1工厂投污水的水质要求 ：(2 x1) 2 500 1000
第3步 --表示约束条件
4x1+3x2 120（木工工时限制） 2x1+x2 50 （油漆工工时限制）
x1，x2≥0 （变量取非负值限制）
该计划的数学模型
max Z=50x1+30x2 4x1+3x2 120
s.t.
2x1+ x2 50 x1, x2 0
问如何组织生产才能使每月的销售收入最大？
• 第1步 -确定决策变量
是问题中要确定的未知量
xx •设
1 ——桌子的产量 2 ——椅子的产量
，表明规划中的用数量表 示的方案、措施，可由决 策者决定和控制。
z ——利润
x1
x2
第2步 --定义目标函数
Max Z = 50 x1 + 30 x2
第2步 --定义目标函数
线性规模解决的问题
• 给定一定数量的人力、物力、财力等资源， 研究如何充分利用，以发挥其最大效果
• 已给定计划任务，研究如何统筹安排，用最 少的人力、物力、财力去完成
2、线性规划问题的数学模型
线性规划数学模型三要素：
决策变量、目标函数、约束条件
➢ 每一个线性规划问题都有一组决策变量 (x1, x2, ……, xn) , 这组决策变量的值就代表 一个具体方案。
1、问题的提出
例1.1 生产计划问题（资源利用问题） 某家具厂生产桌子和椅子两种家具。 桌子售价50元/个，椅子销售价格30元/个。 需要木工和油漆工两种工种。 生产一个桌子需要木工4小时，油漆工2小时。 生产一个椅子需要木工3小时，油漆工1小时。 该厂每个月可用木工工时为120小时， 油漆工工时为50小时。
第1工厂投污水的水质要求 ：(2 x1) 2 500 1000
单纯形法和对偶问题PPT共64页
单纯形法和对偶问题
31、园日涉以成趣，门虽设而常关。 32、鼓腹无所思。朝起暮归眠。 33、倾壶绝余沥，窥灶不见烟。
34、春秋满四泽，夏云多奇峰，秋月 扬明辉 ，冬岭 秀孤松 。 35、丈夫志四海，我愿不知老。
谢谢你的阅读
❖ 知识路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
31、园日涉以成趣，门虽设而常关。 32、鼓腹无所思。朝起暮归眠。 33、倾壶绝余沥，窥灶不见烟。
34、春秋满四泽，夏云多奇峰，秋月 扬明辉 ，冬岭 秀孤松 。 35、丈夫志四海，我愿不知老。
谢谢你的阅读
❖ 知识路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
管理运筹学 第5章 单纯形法-PPT精品文档
**对于求目标函数最小值的情况，只需把 j ≤0改为 ≥j0
管理运筹学
9
§1 单纯形法的基本思路和原理
三、 基变换 通过检验，我们知道这个初始基本可行解不是最优解。下面介绍如何进
行基变换找到一个新的可行基，具体的做法是从可行基中换一个列向量，得 到一个新的可行基，使得求解得到的新的基本可行解，其目标函数值更优。 为了换基就要确定换入变量与换出变量。 1.
σ 1=50，σ 2=100，σ 3=0，σ 4=0，σ 5=0。
管理运筹学
8
§1 单纯形法的基本思路和原理
• 2.最优解判别定理
对于求最大目标函数的问题中，对于某个基本可行解，
如果所有检验数 ≤0，j 则这个基本可行解是最优解。下面
我们用通俗的说法来解释最优解判别定理。设用非基变量 表示的目标函数为如下形式
管理运筹学
6
§1 单纯形法的基本思路和原理
在本例题中我们就找到了一个基是单位矩阵。
1 0 0 B2 0 1 0
0 0 1
在第一次找可行基时，所找到的基或为单位矩阵或为由单位矩阵的各 列向量所组成，称之为初始可行基，其相应的基本可行解叫初始基本可行 解。如果找不到单位矩阵或由单位矩阵的各列向量组成的基作为初始可行 基，我们将构造初始可行基，具体做法在以后详细讲述。
管理运筹学
7
§1 单纯形法的基本思路和原理
二、 最优性检验
所谓最优性检验就是判断已求得的基本可行解是否是最优解。
1. 最优性检验的依据——检验数σ j 一般来说目标函数中既包括基变量，又包括非基变量。现在我们要求
只用非基变量来表示目标函数，这只要在约束等式中通过移项等处理就可
以用非基变量来表示基变量，然后用非基变量的表示式代替目标函数中基
管理运筹学
9
§1 单纯形法的基本思路和原理
三、 基变换 通过检验，我们知道这个初始基本可行解不是最优解。下面介绍如何进
行基变换找到一个新的可行基，具体的做法是从可行基中换一个列向量，得 到一个新的可行基，使得求解得到的新的基本可行解，其目标函数值更优。 为了换基就要确定换入变量与换出变量。 1.
σ 1=50，σ 2=100，σ 3=0，σ 4=0，σ 5=0。
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8
§1 单纯形法的基本思路和原理
• 2.最优解判别定理
对于求最大目标函数的问题中，对于某个基本可行解，
如果所有检验数 ≤0，j 则这个基本可行解是最优解。下面
我们用通俗的说法来解释最优解判别定理。设用非基变量 表示的目标函数为如下形式
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6
§1 单纯形法的基本思路和原理
在本例题中我们就找到了一个基是单位矩阵。
1 0 0 B2 0 1 0
0 0 1
在第一次找可行基时，所找到的基或为单位矩阵或为由单位矩阵的各 列向量所组成，称之为初始可行基，其相应的基本可行解叫初始基本可行 解。如果找不到单位矩阵或由单位矩阵的各列向量组成的基作为初始可行 基，我们将构造初始可行基，具体做法在以后详细讲述。
管理运筹学
7
§1 单纯形法的基本思路和原理
二、 最优性检验
所谓最优性检验就是判断已求得的基本可行解是否是最优解。
1. 最优性检验的依据——检验数σ j 一般来说目标函数中既包括基变量，又包括非基变量。现在我们要求
只用非基变量来表示目标函数，这只要在约束等式中通过移项等处理就可
以用非基变量来表示基变量，然后用非基变量的表示式代替目标函数中基
《图解法与单纯形法》课件
《图解法与单纯形法》ppt课件
• 图解法概述 • 单纯形法概述 • 图解法与单纯形法的比较 • 图解法与单纯形法的实际应用案例 • 总结与展望
01
图解法概述
图解法的定义
• 定义：图解法是一种通过图形和 图像来表达和解决问题的数学方 法。它利用几何图形、函数图像 等手段，将抽象的数学问题转化 为直观的视觉表达，便于理解和 分析。
04
图解法与单纯形法的实际应用案例
图解法应用案例
案例一：线性规划问题 案例三：下料问题
案例二：运输问题 案例四：生产计划问题
单纯形法应用案例
案例一
最小成本问题
案例三
资源分配问题
案例二
最大收益问题
案例四
投资组合优化问题
图解法与单纯形法结合应用案例
案例一
混合整数规划问题
案例二
多目标规划问题
案例三
图解法与单纯形法的未来发展方向
未来发展的方向之一是研究更加高效 、精确的算法，以提高线性规划问题 的求解速度和精度。
另一个发展方向是结合人工智能、机 器学习等技术，探索更加智能化的求 解方法，以解决更加复杂、多变的实 际问题。
THANK YOU
非线性规划问题
案例四
动态规Hale Waihona Puke 问题05总结与展望
图解法与单纯形法的总结
图解法与单纯形法是线性规划中常用的两种方法，它们在解决实际问题中具有广泛 的应用。
图解法是一种直观的方法，通过图形来展示线性规划问题的解，易于理解，但精度 不高。
单纯形法是一种数值方法，通过迭代计算来寻找线性规划问题的最优解，精度高， 但计算量大。
成本最小化问题
在企业的生产和经营过程中，需要最小化成本以获得 最大利润。
• 图解法概述 • 单纯形法概述 • 图解法与单纯形法的比较 • 图解法与单纯形法的实际应用案例 • 总结与展望
01
图解法概述
图解法的定义
• 定义：图解法是一种通过图形和 图像来表达和解决问题的数学方 法。它利用几何图形、函数图像 等手段，将抽象的数学问题转化 为直观的视觉表达，便于理解和 分析。
04
图解法与单纯形法的实际应用案例
图解法应用案例
案例一：线性规划问题 案例三：下料问题
案例二：运输问题 案例四：生产计划问题
单纯形法应用案例
案例一
最小成本问题
案例三
资源分配问题
案例二
最大收益问题
案例四
投资组合优化问题
图解法与单纯形法结合应用案例
案例一
混合整数规划问题
案例二
多目标规划问题
案例三
图解法与单纯形法的未来发展方向
未来发展的方向之一是研究更加高效 、精确的算法，以提高线性规划问题 的求解速度和精度。
另一个发展方向是结合人工智能、机 器学习等技术，探索更加智能化的求 解方法，以解决更加复杂、多变的实 际问题。
THANK YOU
非线性规划问题
案例四
动态规Hale Waihona Puke 问题05总结与展望
图解法与单纯形法的总结
图解法与单纯形法是线性规划中常用的两种方法，它们在解决实际问题中具有广泛 的应用。
图解法是一种直观的方法，通过图形来展示线性规划问题的解，易于理解，但精度 不高。
单纯形法是一种数值方法，通过迭代计算来寻找线性规划问题的最优解，精度高， 但计算量大。
成本最小化问题
在企业的生产和经营过程中，需要最小化成本以获得 最大利润。
《单纯形法计算步骤》课件
《单纯形法计算步骤》 PPT课件
单纯形法是一种常用的线性规划求解方法。
算法简介
单纯形法通过逐步迭代的方式逐步化问题的解。 它能够解决满足线性可行性和有解性条件的线性规划问题。
计算步骤
1
步骤一
对原问题进行初等变换化简，转化为标准
步骤二
形式。
构造初始可行基解系统。
3
步骤三
判断当前基解系统是否为最优解，若是则
当问题有多个最优解时，需 比较确定最终的最优解。
结论
强有力的求解方法
单纯形法是一种强有力的线性 规划求解方法。
相对简单易实现
它的计算步骤相对简单，容易 实现和应用。
计算复杂度
随问题规模增大，计算复杂度 也会增加，需考虑其他高效的 求解方法。
步骤四
4
输出。
找到目标函数最优化的进入变量。
5
步骤五
找到最优组合约束的离开变量。
步骤六
6
对基向量进行初等变换，更新基变量和非
基变量。
7
步骤七
重复步骤三到步骤六，直到找到最优解或 问题无解。
注意事项
1 维护线性可行性
2 选择变量
3 多个最优解
在每一步计算中，需要保持 线性可行性和有解性条件。
选择进入变量和离开变量时， 需要经过计算和判断。
单纯形法是一种常用的线性规划求解方法。
算法简介
单纯形法通过逐步迭代的方式逐步化问题的解。 它能够解决满足线性可行性和有解性条件的线性规划问题。
计算步骤
1
步骤一
对原问题进行初等变换化简，转化为标准
步骤二
形式。
构造初始可行基解系统。
3
步骤三
判断当前基解系统是否为最优解，若是则
当问题有多个最优解时，需 比较确定最终的最优解。
结论
强有力的求解方法
单纯形法是一种强有力的线性 规划求解方法。
相对简单易实现
它的计算步骤相对简单，容易 实现和应用。
计算复杂度
随问题规模增大，计算复杂度 也会增加，需考虑其他高效的 求解方法。
步骤四
4
输出。
找到目标函数最优化的进入变量。
5
步骤五
找到最优组合约束的离开变量。
步骤六
6
对基向量进行初等变换，更新基变量和非
基变量。
7
步骤七
重复步骤三到步骤六，直到找到最优解或 问题无解。
注意事项
1 维护线性可行性
2 选择变量
3 多个最优解
在每一步计算中，需要保持 线性可行性和有解性条件。
选择进入变量和离开变量时， 需要经过计算和判断。
线性规划ppt课件
a11x1+a12x2++a1nxn=b1
a21x1+a22x2++a2nxn=b2
(*)
am1x1+am2x2++amnxn=bm
x1, x2, , xn≥0
其中，bi≥0 (i=1,2,,m)
或者更简洁的，利用矩阵与向量记为
max z CT x
s.t. Ax b
(**)
x0
其中C和x为n维列向量，b为m维列向量， b≥0,A为m×n矩阵，m<n且rank(A)=m
⑵约束条件为 a11x1+a12x2++a1nxn≤b1 加入非a1负1x1变+a量12xx2n++1，+称a为1nx松n+弛xn+变1=量b1，有
⑶约束条件为 a11x1+a12x2++a1nxn≥b1 减去非a1负1x1变+a量12xx2n++1，+称a为1nx剩n -余xn变+1=量b1，有
⑷变量xj无约束。
令xj= xj - xj，对模型中的进行变量代换。
1.2 线性规划问题的求解——单纯形法 1.2.1 基本概念
可行解 满足约束条件（包括非负条 件）的一组变量值，称可行解。
所有可行解的集合称为可行域。
最优解 使目标函数达到最大的可行解 称为最优解。
基本解 对于有n个变量、m个约束方程的标准 型线性规划问题，取其m个变量。若这些变量在约 束方程中的系数列向量线性无关，则它们组成一组 基变量。确定了一组基变量后，其它n-m个变量称 为非基变量。
x0 必非最优解。
证 （1）显然
运筹学-单纯形法1课件
例2:
cj CB XB 0 x3 0 x4
σj 0 X3 1 x1
σj
maxZ x 1 x 2
s.t.
2x 1 x1
x2 x2
100 50
x1,x2 0
1
1
00
bi x1 x2 x3 x4
100 -2 1
1
0
50 [ 1 ] -1 0 1
11
0
0
200 0 -1 1 2
50 1 -1 0 1
唯一最优解；
• a4<0,a5<0, a6≥0
无穷多最优解；
• a6≥0,a4≤0, a5≤0, a4=0或a5=0
无界；
• a6≥0,a5>0,a2≤0, a3≤0
无可行解；
• a4≤0,a5≤0, x4或x2为人工变量, a6≥0 ；
非最优，继续换基: X3换入，x2换出
• x1为人工变量, a6>0 • a4>0,a4>a5;a6/a1>2→a1>0
0 -M -M
x5 x6 x7 θ
0 0 04 -1 1 0 1
0 0 13
-M 0 0 x2入, x6出
1 -1 0 1 -1 1 0 -
3 -3 1 1
3M -1/2
0 1/2
-4M 0 1/2 -1/2 0 1/3 -1/2 1/6
x1入, x7出 9 3/2
3/2 -M-3/2 -M+1/2 x3入, x1出
28.09.2024
11
练习: 列出初始单纯形表，并求解第2小题 的最优解
P55，2.2（1） 2.
28.09.2024
12
单纯形表
《单纯形方法》课件
04
最优解的确定
检查终止条件
在迭代过程中或迭代结束后，检查是 否满足终止条件。
确定最优解
如果满足终止条件，则当前最优解即 为所求的最优解；否则继续迭代。
CHAPTER 04
单纯形方法的案例分析
案例一：生产计划问题
总结词
线性规划问题，目标是最大化利润，约 束条件包括生产能力、市场需求等。
VS
详细描述
02 它包含了决策变量、约束条件和目标函数的系数 。
03 通过构建单纯形表格，可以方便地表示线性规划 问题的数学模型。
单纯形迭代
1
单纯形迭代是求解线性规划问题的主要方法之一 。
2
该方法通过不断迭代，逐步逼近最优解。
3
在每次迭代中，根据当前解的情况，通过一系列 计算找到下一个迭代点，直到达到最优解或满足 终止条件。
CHAPTER 02
单纯形方法的原理
线性规划问题
01
线性规划是数学优化技术的一种，用于在有限的资 源下，寻找一组变量的最优解。
02
线性规划问题通常表示为在一组线性不等式约束下 ，最小化或最大化一个线性目标函数。
03
线性规划问题广泛应用于生产计划、资源分配、投 资组合优化等领域。
单纯形表格
01 单纯形表格是用于描述线性规划问题的一种表格 形式。
改进的方法与策略
混合整数规划
将整数规划与线性规划相结合，以处理包含 整数约束的优化问题。
并行计算
利用多核处理器或多计算机系统，加快单纯 形方法的计算速度。
全局优化
通过引入新的算法和策略，以实现全局最优 解，而不仅仅是局部最优解。
自适应算法
根ห้องสมุดไป่ตู้问题的特性，动态调整算法参数，以提 高求解效率。
最优解的确定
检查终止条件
在迭代过程中或迭代结束后，检查是 否满足终止条件。
确定最优解
如果满足终止条件，则当前最优解即 为所求的最优解；否则继续迭代。
CHAPTER 04
单纯形方法的案例分析
案例一：生产计划问题
总结词
线性规划问题，目标是最大化利润，约 束条件包括生产能力、市场需求等。
VS
详细描述
02 它包含了决策变量、约束条件和目标函数的系数 。
03 通过构建单纯形表格，可以方便地表示线性规划 问题的数学模型。
单纯形迭代
1
单纯形迭代是求解线性规划问题的主要方法之一 。
2
该方法通过不断迭代，逐步逼近最优解。
3
在每次迭代中，根据当前解的情况，通过一系列 计算找到下一个迭代点，直到达到最优解或满足 终止条件。
CHAPTER 02
单纯形方法的原理
线性规划问题
01
线性规划是数学优化技术的一种，用于在有限的资 源下，寻找一组变量的最优解。
02
线性规划问题通常表示为在一组线性不等式约束下 ，最小化或最大化一个线性目标函数。
03
线性规划问题广泛应用于生产计划、资源分配、投 资组合优化等领域。
单纯形表格
01 单纯形表格是用于描述线性规划问题的一种表格 形式。
改进的方法与策略
混合整数规划
将整数规划与线性规划相结合，以处理包含 整数约束的优化问题。
并行计算
利用多核处理器或多计算机系统，加快单纯 形方法的计算速度。
全局优化
通过引入新的算法和策略，以实现全局最优 解，而不仅仅是局部最优解。
自适应算法
根ห้องสมุดไป่ตู้问题的特性，动态调整算法参数，以提 高求解效率。
第3章 线性规划的单纯形法《管理运筹学》PPT课件
当第一阶段求解结果表明问题有可行解时，第二阶段 是在原问题中去除人工变量，并从此可行解（第一阶段的 最优解）出发，继续寻找问题的最优解。
3.3 关于单纯形法的进一步讨论
根据以上思路，我们用二阶段法来求解下面例题： max z=3x1-x2-x3
x1-2x2+x3≤11 s.t. -4x1+x2+2x3≥3
,
C
CB CN
线性规划问题成为 max z=CBTXB+CNTXN+ CIT XI s.t. BXB+NXN+IXI=b XB，XN，XI≥0
3.2 单纯形法原理
这个线性规划问题可以用表3-1来表示：
表3-1称为初始单纯形表。可以看出，单纯形表中 直接包含了单纯形迭代所需要的一切信息。
3.2 单纯形法原理
3.1 线性规划的基本理论
1.可行区域的几何机构 考虑标准的线性规划问题：
min cT x
Ax b
s.t.
x
0
用Rn表示n维的欧式空间，这里x Rn，c Rn ，b Rn
，A Rmn . 不妨设可行区域 D {x Rn | Ax b, x 0} ，因此线性方程组 Ax b 相容，总可以把多余方程去掉，
3.2 单纯形法原理
1. 单纯形表的结构 设线性规划问题为 max z=CTX+CIT XI s.t. AX+XI=b X，XI≥0 设B是线性规划的一个可行基，为了表达简便，不妨
设这个基B包含在矩阵A中，即 A=[B，N]
3.2 单纯形法原理
变量X和目标函数系数向量C也相应写成：
X
XB XN
3.2 单纯形法原理
第三步：在基变量用非基变量表出的表达式中，观 察进基变量增加时各基变量变化情况，在进基变量增加 过程中首先减少到0的基变量成为“离基变量”.当进基 变量的值增加到使离基变量的值降为0时，可行解移动到 相邻的极点。
3.3 关于单纯形法的进一步讨论
根据以上思路，我们用二阶段法来求解下面例题： max z=3x1-x2-x3
x1-2x2+x3≤11 s.t. -4x1+x2+2x3≥3
,
C
CB CN
线性规划问题成为 max z=CBTXB+CNTXN+ CIT XI s.t. BXB+NXN+IXI=b XB，XN，XI≥0
3.2 单纯形法原理
这个线性规划问题可以用表3-1来表示：
表3-1称为初始单纯形表。可以看出，单纯形表中 直接包含了单纯形迭代所需要的一切信息。
3.2 单纯形法原理
3.1 线性规划的基本理论
1.可行区域的几何机构 考虑标准的线性规划问题：
min cT x
Ax b
s.t.
x
0
用Rn表示n维的欧式空间，这里x Rn，c Rn ，b Rn
，A Rmn . 不妨设可行区域 D {x Rn | Ax b, x 0} ，因此线性方程组 Ax b 相容，总可以把多余方程去掉，
3.2 单纯形法原理
1. 单纯形表的结构 设线性规划问题为 max z=CTX+CIT XI s.t. AX+XI=b X，XI≥0 设B是线性规划的一个可行基，为了表达简便，不妨
设这个基B包含在矩阵A中，即 A=[B，N]
3.2 单纯形法原理
变量X和目标函数系数向量C也相应写成：
X
XB XN
3.2 单纯形法原理
第三步：在基变量用非基变量表出的表达式中，观 察进基变量增加时各基变量变化情况，在进基变量增加 过程中首先减少到0的基变量成为“离基变量”.当进基 变量的值增加到使离基变量的值降为0时，可行解移动到 相邻的极点。
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相应的目标函数值Z也将随之减少。因此有可能找到一个 新的基本可行解，使其目标函数值有所改善。即进行基变 换，换一个与它相邻的基。再注意到 x1 前的系数－2比 x2
前的系数－1小，即
故应让
x1 每增加一个单位对Z的贡献比x2 大。
x1 从非基变量转为基变量，称为进基。又因为基
变量只能有三个，因此必须从原有的基变量 x3 ,
2
若LP问题有最优解的话，定在可行域的 某顶点处达到，又，一个顶点对应一个基本 可行解，一个自然的想法是：找出所有的基 本可行解。 因基本可行解的个数有限，通过“枚举法”， 从理论上讲总能找出所有的基本可行解。而 事实上随着m，n的增大，解的个数迅速增大， 致使此路行不通。
3
换一种思路：若从某一基本可行解（今后称 之为初始基本可行解）出发，每次总是寻找 比上一个更“好”的基本可行解，逐步改善， 直至最优。这需要解决以下三个问题： 1.如何找到一个初始的基本可行解。 2.如何判别当前的基本可行解是否已达到了 最优解。 3.若当前解不是最优解，如何去寻找一个改 善了的基本可行解。
x4 , x5
7
中选一个离开基转为非基变量，称为出基。谁出基？
又因为 x2 仍留作非基变量，故仍有 x2 0
（2）式变为
0 x3 15 x4 24 6 x1 0 x 5 x 0 1 5
x1
x1 5
24 6
24 再让 x1 从零增加，能取得的最大值为 x1 min{ ,5} 4. 6
X1 比 从目标函数值明显看出，
将（2）式
X 0 明显地得到了改善。
5 x2 x3 15 x 24 6 x1 2 x2 4 x1 x2 x5 5 i 1, ,5 xi 0
（2）
可行基 {x1 , x3 , x5 } 留在左边，非基变量 x2 ,
15 24 x5 5
5
min Z 2x1 x2 0x3 0x4 0x5
6x 1 x1 xi 0 5 x2 2 x2 x2 i 1, ,5 x3 x4 x5 15 24 5
当前可行基{
x3 , x4 , x5 }所对应的基本可行解
x4
移到右边
9
15 5 x2 x3 6x 24 2 x2 x4 1 x2 x1 x5 5 i 1, ,5 xi 0
用代入法得：
（3）
5 x2 x3 15 1 1 x1 4 x2 x4 3 6 2 1 x5 1 x2 x4 3 6 i 1, ,5 xi 0
第二章 单纯形法
2.1单纯形法原理
1
一、基础定理 定理1 若线性规划问题存在最优解，则问题的可行域是凸集。 定理2 线性规划问题的基本可行解对应线性规划问题可行域 （凸集）的顶点。 定理3 若线性规划问题最优解存在，则最优解一定在可行域顶
点处取得。
由此可看出，最优解要在基本可行解（可行域顶点）中找。
1 3 15 4 min , , 5 1/ 3 2 / 3 2
(对应可行域的 o(0,0) )
X 0 (0,0,15,24,5)T
显然不是最优。 因为从经济意义上讲， x1 0, x2 0
意味着该厂不安排生产，因此没有利润。
相应地，将
X 0 代入目标函数得 Z ( X 0 ) 0
从数学角度看，若让非基变量
x1 , x2 取值从零增加，
6
min Z 2x1 x2 0x3 0x4 0x5
0 主元素 5 2 6 A 1 1 2 1 5 0 1 1/ 3 1 1 2 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0
0 15 ×1/6 0 24 24 5 min , 4 6 1 1 5 0 0 Z 2 x1 x2 0x3 0 x4 0 x5 0 0 15 1/ 6 0 4 ×（-1） 0 1 5 11 ×（2） 0 0 0
按最小非负比值规则：
x1 x2 x3
5 0 1 1/ 3 0 2/3 0 1/ 3
1 0 0 1/ 6 0 1/ 6 0 1/ 3
x4 x5 b
0 15 0 4 1 1 0 8
目标函数系数行
按最小非负比值规则：
1 1 Z 8 x 2 x 4 3 3
4
二、思路解析
定义：如何从一个可行基找另一个可行基？称基变换。
定义：两个基本可行解称为相邻的，如果它们之间仅变换 一个基变量。对应的基称为相邻可行基。
例 LP问题
x1 minZ max 2 x1Z x22 0 x3x 2 0 x4 0 x5
x 15 5x 2 5 x 2 3 6x 6 2 x 1 2 x1 2 x 2 24 x 4 x 2 x1 x 2 5 x1 x1 0,5 1 , 2 , xi xi 0
（4）
10
代入目标函数得： Z 8
1 3
5 x2 x3 15 6x x4 24 1 2 x2 1 x5 5 x1 x x2 x2 4 x 0 i 1, ,示为：
x1 x2 x3 x4 x5 b
此时，
x4
已经从24降到了0，达到了非基的取值，变
成非基变量。从而得到新的可行基{x1 , x3 , x5 } 。 由此得到一个新的基本可行解： X1 (4,0,15,0,1)T
8
此基本可行解对应可行域的顶点(4,0)
目标函数值： Z ( X1) 2 4 8 Z ( X 0 ) 0.