第四章连续时间傅里叶变换

2T1Sinc(
T1
)
4.1
非
1 x(t)
X ( j) 2T1
周
期
t
信
T1 0 T1
T1
0
号 的
1 x(t)
表 脉宽变宽时
示
t 2T1 0 2T1
X ( j) 4T1
22TT11
将X ( j)中的
代之以k 0
再乘以
1 T0
,即是相应周期信号的频谱。
ak
2T1 T0
Sa(k0T1)
2T1 T0
Sink0T1 k0T1
14
例5.理想低通滤波器
X
(
j)
1, 0,
W ，求其时域表达式。 W
解：由x(t) 1 X ( j)e jtd
2
4.1
非
周
期 信
x(t) 1
2
W e jtd SinWt W Sa(Wt) W Sinc(Wt )
W
t
号
的
W x(t)
表 示
X ( j)
1
W
t
W 0 W
0
15
4.1
例1. 实信号x(t) eatu(t), a 0，求傅立叶变换，画出其模、相位特性图。
4.1
非 周
解: X ( j) eate jtdt eate jt
0
a j
1
a j
t0~
期 信
则模：X ( j)
1 , 相位：S X ( j) tg1
号
a2 2
a
的
S X ( j)
表
X ( j)
示
若
2
x(t) dt
，则
X ( j)
存在
表明:能量有限的信号其傅立叶变换一定存在。
9
2. Dirichlet 条件
a. 绝对可积条件： x(t) dt
4.1
b. 在任何有限区间内，x(t)只有有限个极值点，且 x(t)
非 极值有限。
周
期 c. 在任何有限区间内， x(t) 只有有限个第一类间断点。
换 3. 若 xt xt 信号是实奇函数，则其傅里叶变换有
性
质
X ( j) X ( j)
结论：实奇信号的傅里叶
X ( j) X *( j)
变换是纯虚的奇函数
27
4. 若实函数用奇、偶函数之和表示 x(t) xe (t) xo (t)
4.3
连
由傅里叶变换的线性： X j Xe j Xo j
21
例4.周期性矩形脉冲的傅里叶变换。
4.2
周
期
解：由X ( j) 2 ak ( k0 )，先求ak
k
信
号
的
傅
立
叶
变
换
22
周期信号的傅立叶变换存在条件：
4.2
周
➢ 周期信号不满足无穷时间内的绝对可积条件；
期 信 ➢引入冲激信号后，周期信号的傅立叶变换是存在的；
号
的 ➢周期信号的频谱是离散的，其频谱密度，即傅立叶变
非 周 期 信
2）该信号在时域持续无限长，根据上例，在频域
可能无限窄，即傅立叶变换可能是冲激信号；
3）用频域的一个冲激信号 ，求对应时域信号。
号
的 表
解：由傅氏反变换公式：x(t) 1 X ( j)e jtd， 的时域信号为:
2
示
x t 1 e jtd 1
2
2
1
FT
2
FT
xt 1 2
—连续时间傅立叶变换
本节主要内容
非周期信号傅里叶变换公式推导 傅里叶变换的收敛条件 常见信号的傅里叶变换
3
一.从傅立叶级数到傅立叶变换
周期矩形脉冲:
x
t
1, 0,
t T1 T1 t T0 / 2
4.1
非 周
频谱系数为：
ak
2sink0T1
k0T0
T0ak
2sink0T1
k0
期
信
号
a
20
傅立叶反变换得：xt 1 2
2 0 e jt d e j0t
4.2
周
F
表明：周期性复指数信
期 信
e j0t 2 0 号的频谱是一个冲激。
F
号 的
e jk0t 2 k0
傅
立
F
x(t) ake jk0t 2 ak ( k0 )
叶
k
k
变 换
即周期信号的傅立叶变换为： X ( j) 2 ak ( k0 ) k
信
号 注意：这些条件只是傅立叶变换存在的充分条件，这两 的 组条件并不等价。 表
示
和周期信号的情况一样，当 x(t)的傅立叶变换存在，其傅
立叶变换在 x(t)的连续处收敛于信号本身,在间断点处收敛于左
右极限的平均值，在间断点附近会产生Gibbs现像。
10
三、 常用信号的傅立叶变换：
X j xt e jtdt
续 时
①对偶函数部分：
间 傅
xe t Xe j 傅里叶变换是一个实数
立 叶
且有 Xej ReX j
变
②对奇函数部分：
换
性 质
xo t Xo j 傅里叶变换是一个纯虚的奇函数
且有 Xoj j ImX j
28
例:求 u(t) 的频谱。
u(t)
4.3
解：u(t) ue (t) uo (t)
1
周
期
代入周期信号的傅立叶变换公式：X ( j) 2 ak ( k0 )
信
号 的
X
(
j
)
j
[
(
0
)
(
0
)]
傅 立 叶
例2.求x(t)
cos 0t
1 [e 2
j0t
e
j0t
]
变
的傅立叶变换。
k
X ( j)
j
0
0
0
j
换
解：a1
=a-1
=
1 2
，其他ak
=0，则
X ( j) [ ( 0) ( 0)] 20
期 信
~x (t) xt
号
的 表
考查T0ak 的变化: 它在T0 时可以是有限的。
示
由 T0ak T0 2 x t e jk0t dt T0 2
令 T0
6
得
lim
T0
T0
ak
x
t
e jk0t dt
令
X ( j)
4.1
即 X j x t e jtdt
非周期信号的傅立叶变换
连 续
ue (t)
1， 2
0
t
时 间 傅 立
1 u0 (t) 2 Sgn(t)
提示：符号函数sgn(t) 可看作
ue (t)
1/2
t
叶 是下述函数在α取极限趋近0时
26
2. 若 xt x t 信号是实偶函数，则
对偶函数 X j xt e jt dt
4.3
连 续
x te jtdt x e j d X - j
时 表明：偶信号的傅里叶变换是偶函数 X j X -j
间
傅 结论：实偶信号的傅里叶
立 叶
变换是实偶函数
变
对实信号 X - j X j X j 是关于的实偶信号
对偶情况如下图所示:
非 周 期 信 号 的 表 示
结论：信号在时域和频域之间有相反关系,即信号 在时域脉冲越窄,则其频谱主瓣越宽,反之亦然。
16
可以想象，如果
， 将趋向于一个冲激；反之时
域无限长时，频域可能是个冲激。
例6：求 xt 1的傅立叶变换 X j 。
4.1
分析：1）不满足收敛条件，不能由傅立叶变换公式求；
非 周 期 信
ak
1 T0
X
j
k0
1 T0
X
jk0
周期延拓后周期 信号的频谱系数
号 表明：1.而非周期信号的频谱是周期信号频谱的包络；
的 表
2.周期信号的频谱系数，是与它对应的非周期信号
示
频谱的等间隔样本，并与之成正比。
物理含X义( j，)因 而Tl0im称T其0a为k 频T0谱li密m, f0度0 函afk0数具有。频谱随频率分布的
期
信 号
应 h(t)才能完全描述一个LTI系统特性， (t) 才在
的 信号与系统分析中具有如此重要的意义。
表
示
(t)
X ( j)
1
t
0
13
0
例4.求矩形脉冲的傅里叶变换:
x(t
)
1, 0,
t T1 。 t T1
解：X ( j)
T1 e jt dt
T1
2SinT1
2T1SinT1 T1
2T1Sa(T1)
这表明,周期信号的傅立叶变换由一系列冲激组成,每一个冲激分别
位于信号各次谐波的频率处,其强度正比于傅立叶级数系数 ak 。
19
例1：求周期信号
x(t)
Sin0t
1 [e j0t 2j
e j0t ]
的傅里叶变换。
解：
x(t
)的频谱系数ak
为：a1
=
1 2j
，a-1
=
-1 2j
，其他ak
=0
4.2
第四章 连续时间傅立叶变换
主要内容
傅立叶级数与傅立叶变换之间的关系 连续时间傅立叶变换 傅立叶变换的性质 系统的频率响应
1
§4.0 引 言
在工程应用中有相当广泛的信号是非周期 信号，本章要解决的问题有两个：
1. 对非周期信号应该如何进行分解？ 2. 什么是非周期信号的频谱表示？
2
§ 4.1 非周期信号的表示
傅里叶逆变换
上式表明，非周期信号可以分解成无数多个频率连续
分布的、振幅为 1 X jd 的复指数信号之和。
8
2
傅立叶变换对公式：
X
j
x
t
e
jt
dt
4.1
非
x(t
)
1
2
X ( j)e jtd
二.傅立叶变换的收敛
周
期
和傅立叶级数的收敛条件一致，也有相应
信
号 的两组条件：
的
表
1.平方可积条件
x t e jt dt
傅
立 叶 变
X - j xte jt dt F xt 即得证。
在上述结论的基础上，有如下推论：
换 性
1. 若 xt 是实信号， xt xt 则
质
X - j X j
25
① 用直角坐标表示实信号频谱 X j
4.3
X j ReX j j ImX j
连
由 X - j X j ，傅里叶变换的实部和虚部分别为：
号
则模：X ( j) X ( j)
的
示信号的频谱。
表 示
x(t)
1
S X ( j) 0
2 1a
X ( j)
t
a
12
0
a
a
例3. x(t) (t)，求其傅里叶变换。
解：X ( j) (t)e jtdt 1
4.1
非
这表明 (t) 中包括了所有的频率成分,所有
周 频率分量的幅度、相位都相同。因此单位冲激响
17
§4.2周期信号的傅立叶变换
周期信号不满足收敛条件, 不能用4.1节非周期信 号的傅立叶变换公式求其傅里叶变换。
但是周期信号在时域的持续时间是无限长的，那么 其频域可能是一系列的冲激，而原点处的冲激对应的是 常数（课件4.1节例6所示），所以这里观察频移的冲激
2 0 对应的时域信号。
18
频移的冲激信号： X j 2 0
傅
立
换是一系列冲激。
叶
变
换
23
4.3 连续时间傅立叶变换的性质
4.3
讨论连续时间傅立叶变换的性质, 揭示信号时域、频域特
连 性间的关系,同时掌握和运用这些性质，以简化傅立叶变换对 续 的求取。
时 间
一.线性
傅
如果 xtFX j ytFY j
立
叶 变
则 axt bytaX j bYj
换 二.时移
7
根据周期信号的傅立叶系数表示：
~x t
ak e jk0t
k
1 T0
X
k
jk0
e jk0t
1
2
X
k
jk0 e jk0t0
4.1
非 周
当 T0
时，0
2
T0
d,
k0 ,
期 信 号 的
~x(t) 1 X je jtd 2
此时 ~x(t) xt
表 示
于是
x(t) 1 X ( j)e jtd 2
X ( j)
0 0 0
X ( j) 2 ak ( k0) k
例3. 求x(t) (t nT )的傅立叶变换。
n
4.2
周
解：ak
1 T
T
2
(t)e
j 2 T
kt
dt
1
T 2
T
T 2 (t)dt 1
T 2
T
期
信 号
X ( j) 2 ( 2 k)
T k
T
的
傅
立
叶
变
换
示
x(t )
1/ a
2
1
2a
t
0
a 0 a
2
a a
2
11
例2. x(t) ea t , a 0，求其傅里叶变换。
解：X ( j) 0 eate jtdt eate jtdt
0
4.1
非周0 eate jtdt
期
a
1
j
a
1
j
2a
a2 2
信
结论:实偶信号 的傅立叶变换是 实偶函数,如图
T0ak
2 0
0
的
表
示
b
40 T0ak
4 0
0
(a) T0 4T1
(b) T0 8T1
当T0 T0ak 包络的谱线间隔 ，被采样的间隔越来越小 。
4
周期趋近于无穷大时，即T0 时，原来 的周期方波就趋近于一个矩形脉冲，此时傅里
4.1
非 叶系数的采样间隔也越来越密集，因此，傅里
周 期
叶系数更加趋近于包络函数。
信
号
的 非周期信号傅里叶表示的基本思想：
表
示
把非周期信号当作一个周期信号在周期任意
大时的极限来看待，并且研究这个周期信号傅里
叶表示式的极限特性。
5
~x (t) :周期性矩形脉冲信号；
xt :等于一个周期内的~x (t) ，具有有限持续期。
4.1
非
当T0 时，周期性矩形脉冲信号将演变成为
周
非周期的单个矩形脉冲信号，即
性Hale Waihona Puke Baidu
质 如果 xt X j
表明：信号的时移只影响 它的相频特性，其相频特
则 xt t0 X je jt0 性会增加一个线性相移。
24
三.共轭对称性
4.3
如果 xt X j, 则 xt X - j
连 续
证明： X j xte jtdt 两边同取共轭
时 间
X j
xt
e
jt
dt
续 时
ReX j Re X - j ReX - j 实部偶函数
间 傅
ImX j Im X - j ImX - j 虚部奇函数
立
叶 ② 用极坐标表示实信号频谱：X j X je jX j
变
换
则由 X - j X j 得
性
质
X j X - j X - j 即模是偶函数
X j X - j X - j 即相位是奇函数