第二节 直线和园的位置关系、和圆有关的比例线段

第二节 直线和圆的位置关系、

和圆有关的比例线段

知识网络

一、直线和圆的位置关系

1.()()()d r d r d r d r ⎧

⎪⎪⎪⎪

⎪>⎪

<⎨⎪

⎧=⎧⎪⎨⎪⎪⎩⎪

⎪=⎨⎧⎪⎪⎨⎪⎪

⎩⎩⎩

相离直线和圆的位置关系相交证：切线的判定判定定理（证垂直）相切性质定理及推论

切线的性质切线长定理

2.三角形、四边形与圆的位置关系（重点在三角形的内心与外心） 二、和圆有关的比例线段

⎧⎪

⎨⎪⎩

相交弦定理及推论

圆幂定理切割线定理及推论综合运用

一、选择题

1.【05台州】如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、 B 为切点，OP 交AB 于点D ，交⊙O 于

点C , 在线段AB 、PA 、PB 、PC 、CD 中，已知其中两条线段的长，但还无法．．计算出⊙O 直径的两条线段是

（A ）AB 、CD （B ）PA 、PC （C ）PA 、AB

（D ）PA 、PB

A

（第2题图）

2.【05连云港】如图，⊙O 的直径AB 与弦AC 的夹角为︒30，切线CD 与AB 的延长线交于

点D ，若⊙O 的半径为3，则CD 的长为

（A ）6 （B ）36 （C ）3 （D ）33

3.【05南通海门】 如图，已知AD 是△ABC 的外接圆的直径，AD =13 cm ，5

cos 13

B =

，则AC 的长等于

A ．5 cm

B ．6 cm

C ．10 cm

D ．12 cm

4.【05北京】如图，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，切点是A 、B 。如果OP ＝4，PA =23，那么∠AOB 等于（ ）

A. 90°

B. 100°

C. 110°

D. 120°

5.【05河北】已知⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d 。若直线l 与⊙O 有交点，

则下列结论正确的是 A ．d ＝r B ．d ≤r C ．d ≥r D ．d ＜r

6.【05武汉】已知圆的半径为6.5cm ，如果一条直线和圆心的距离为9cm ，那么这条直线和

这个圆的位置关系是（ ）.

（A ）相交 （B ）相切 （C ）相离 （D ）相交或相离 7.【05梅山】如图，

点C 是O 上一点，M 、N 分别是CA 、CB 上的点，满足

CM CN

CA CB

=若点C 在⊙O 上运动，当C 运动到优弧上(不含点A 、点B)时，MN 的长 A.变大 B.变小

C.不变

D.有可能变大，也有可能变小

8.【05重庆课改】如图，AB 与⊙O 相切于点B ，AO ＝6㎝ ，AB ＝4㎝，则⊙O 的半径为

A ．45㎝

B ．25㎝

C ．213㎝

D ．13㎝

二、填空题

（第

9题）

D

1.【05浙江】已知⊙O 的半径为8, 圆心O 到直线l 的距离是6, 则直线l 与⊙O 的位置 关系是 ．

2.【05武汉】如图，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BC 于D ，，垂足为E ，要

使DE 是⊙O 的切线，则图中的线段应满足的条件是 或 。

三、解答题

1.【05绵阳】如图7，已知BC 是⊙O 的直径，AH ⊥BC ，

垂足为D ，点A 为 BF 的中点，BF 交AD 于点E ，且BE EF =32，

AD =6.

(1) 求证：AE =BE ； (2) 求DE 的长； (3) 求BD 的长 .

【解】 (1) 连AF ，因A 为 BF 的中点，∴∠ABE =∠AFB ，

又∠AFB =∠ACB ，∴ ∠ABE =∠ACB .

∵ BC 为直径，∴∠BAC =90°，AH ⊥BC ，∴∠BAE =∠ACB ， ∴∠ABE =∠BAE ， ∴ AE =BE .

(2) 设DE =x (x >0)，由AD =6，BE EF =32，AE EH =BE EF ， 有(6-x )(6+x )=32，由此解得x =2， 即DE 的长为2 . (3) 由(1)、(2)有：BE =AE =6-2=4，

在RtΔBDE 中，BD =2224-=32.

2.【05资阳】如图6，已知AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为H .

(1) 求证：AH AB =AC 2

；

(2) 若过A 的直线与弦CD (不含端点)相交于点E ，与⊙O 相交于点F ，求证：AE AF =AC 2；

(3) 若过A 的直线与直线CD 相交于点P ，与⊙O 相交于点Q ，判断AP AQ =AC 2

是否成立(不必证明).

【解】(1) 连结CB ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90°. 而∠CAH =∠BAC ，∴△CAH ∽△BAC . ∴AC

AH AB AC =， 即AH AB =AC 2 . (2) 连结FB ，易证△AHE ∽△AFB ，

∴ AE AF =AH AB ， ∴ AE AF =AC 2 .

(也可连结CF ，证△AEC ∽△ACF )

(3) 结论AP AQ =AC 2

成立 .

3.【05乌鲁木齐】如图11，在△ABC 中，∠ABC ＝90，AB ＝6，BC ＝8。以AB 为直径的⊙O 交AC 于D ，E 是BC 的中点，连接ED 并延长交BA 的延长线于点F 。 （1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）求DB 的长；

（3）求S △FAD ∶S △FDB 的值 【解】（1）证明：连结BD 、DO

∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90° 又∵E 为BC 的中点 ∴DE ＝EB ， ∴∠EDB ＝∠EBD

∵OD ＝OB ，∴∠ODB ＝∠OBD

∵ABC ＝90°，∴∠EDB ＋∠OBD ＝90° 即OD ⊥DE

∴DE 是⊙O 的切线。

（2）在Rt △ABC 中，AB ＝6，BC ＝8 ∴AC ＝10

∵BC 2＝CD ∙AC ∴CD ＝

5

32，AD ＝518

又∵△ADB ∽△BDC ∴BD 2＝AD ∙CD ＝5

32∙518 ∴BD ＝524

（3）∵∠FDA ＝∠FBD ∠F ＝∠F

∴△FDA ∽△FBD ∴S △FAD ∶S △FDB ＝16

9)(

2=BD AD

4.【05丽水】如图，在⊙O 中，弦AB 与CD 相交于点P ，连结AC 、DB ． （1）求证：△PAC ∽△PDB ；

（2）当AC DB 为何值时，PAC PDB

S S =4．

【解】（1）证明：∵∠A=∠D，∠C=∠B，

∴△PAC∽△PDB；

（2）解：由（1

）△PAC∽△PDB，得

PAC PDB

S S =2

()AC DB

， 即2()AC DB =4， ∴AC

DB

=2.

D