最大公约数PPT课件

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最大公约数

基本概念
如果数a能被数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。约数和倍数都表示一个整数与另一个整数的关系，不能单独存在。如只能说16是某数的倍数，2是某数的约数，而不能孤立地说16是倍数，2是约数。
"倍"与"倍数"是不同的两个概念，"倍"是指两个数相除的商，它可以是整数、小数或者分数。"倍数"只是在数的整除的范围内，相对于"约数"而言的一个数字的概念，表示的是能被某一个自然数整除的数。
程序实现
PASCAL
C语言
【递归算法】
递归算法
感谢观看
短除法：短除法求最大公约数，先用这几个数的公约数连续去除，一直除到所有的商互质为止，然后把所有的除数连乘起来，所得的积就是这几个数的最大公约数。
短除法求最小公倍数，先用这几个数的公约数去除每个数，再用部分数的公约数去除，并把不能整除的数移下来，一直除到所有的商中每两个数都是互质的为止，然后把所有的除数和商连乘起来，所得的积就是这几个数的最小公倍数，例如，求12、15、18的最小公倍数。
常用结论
在解有关最大公约数、最小公倍数的问题时，常用到以下结论：（1）如果两个自然数是互质数，那么它们的最大公约数是1，最小公倍数是这两个数的乘积。例如8和9，它们是互质数，所以（8，9）=1，[8，9]=72。（2）如果两个自然数中，较大数是较小数的倍数，那么较小数就是这两个数的最大公约数，较大数就是这两个数的最小公倍数。例如18与3，18÷3=6，所以（18，3）=3，[18，3]=18。（3）两个整数分别除以它们的最大公约数，所得的商是互质数。例如8和14分别除以它们的最大公约数2，所得的商分别为4和7，那么4和7是互质数。（4）两个自然数的最大公约数与它们的最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。例如12和16，（12，16）=4，[12，16]=48，有4×48=12×16，即（12，16）× [12，16]=12×16。（5）GCD(a,b) is the smallest positive linear combination of a and b. a与b的最大公约数是最小的a与b的正线性组合,即对于方程xa+yb=c来说,若x,a,y,b都为整数,那么c的最小正根为gcd(a,b).

五年奥数(最大公约数、最小公倍数)-2017寒假用共25页PPT资料

2，试用辗转相除法判断1547与3135是否互质。
3，判断11111/15015是不是最简分数。
五年级数学举一反三
几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个公倍数，叫做这几个数的最小公倍数。自然数a、b的最小公倍数可以记作[a、b]，当（a、b）=1时， [a、b]= a×b。
两个数的最大公约数和最小公倍数有着下列关系：
（270，18，15）=3，3厘米=0.3分米
【练习2】
1，一个长方体木块的长是4分米5厘米、宽3分米6厘米、高2分米4厘米。要把它切成大小相等的正方体木块，不许有剩余，求所切正方体木块的棱长最长是多少厘米？
2，有50个梨，75个橘子和100个苹果，要把这些水果平均分给几个小组，并且每个小组分得的三种水果的个数也相同，最多可以分给几个小组？
【练习1】
1，把1米3分米5厘米长、1米5厘米宽的长方形纸，裁成同样大小的正方形，至少能裁多少块？
2，一块长45厘米、宽30厘米的长方形木板，把它锯成若干块正方形而无剩余，所锯成的正方形的边长最长是多少厘米？
3，将一块长80米、宽60米的长方形土地划分成面积相等的小正方形，小正方形的面积最大是多少？
【思路导航】
7分米5厘米=75厘米，6分米=60厘米。因为裁成的正方形的边长必须能同时整除75和60，所以边长是75和60的公约数。75和60的公约数有1、3、5、15，所以有4种裁法。
如果要使正方形面积最大，那么边长也应该最大，应该取75和60的最大公约数15 作为正方形的边长，所以可以裁（75÷15）×（60÷15）=20块。
【练习4】
1，一条公路由A经B到C。已知A、B相距300米，B、C相距215米。现在路边植树，要求相邻两树间的距离相等，并在B点及AB、BC的中点上都要植一棵，那么两树间的距离最多有多少米？

最大公约数和最小公倍数课件(10)

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例2 求（319，377）.
解：∵ 377÷319＝1（余58），
∴（377，319）＝（319，58）； ∵ 319÷58＝5（余29）， ∴（319，58）＝（58，29）； ∵ 58÷29＝2（余0）， ∴（58，29）＝29； ∴（319，377）＝29。
可以用下面的简便形式来求（319，377）.
2．折一个角谈话：我们已经认识了角，能用自己灵巧的小手折一个角吗？看谁折得快折得好。（用准备好的白纸折角） 3．角的大小比较（1）提问：能使你折的角变得再大一些吗？你是怎么办的？能把它变得小一些吗？又是怎么做到的？（2）钟面上的时针和分针转动时，形成了大小不同的角，同学们能比较出哪个角大些吗？用什么方法比较？（3）谈话：观察老师手上的这两个三角形（两个纸做的一大一小的三角形），哪个三角形大些呢？还是一样大呢？你知道角的大小和什么有关吗？
∵ [a,b]•(a,b)=a • b, ∴ [a,b]=ab÷(a,b).
求两个数的最小公倍数，可以用两
个数的最大公约数，除两个数的积，所
得的商就是这两个数的最小公倍数。
例2
求[105,42].
解：∵（105,42）=21, ∴ [105,42] =105×42÷21 =210.
1、用分解质因数法求下列各组数的最小公倍数。（1）36和48 （2）64和72 （3）4、12和42 （4）112、124和420 2、用求最大公约数法求下列各组数的最小公倍数；（1）185和338 （2）46和240 3、指出小明在求三个数的最小公倍数时的错误，并对他作正确的解释。
（2）391和299
（3）252和180
（4）4935和13912

求两个数的最大公约数和最小公倍数课件

性质多样
最大公约数和最小公倍数还有许多其他有趣的性质和定理。
最大公约数和最小公倍数的关系
最大公约数和最小公倍数的乘积
两数的最大公约数乘以最小公倍数等于这两个数的乘积。
最大公约数和最小公倍数的关系
最大公约数是最小公倍数的因子，最小公倍数是最大公约数的倍数。
结论和要点
• 最大公约数是两个或多个整数的公共因子中最大的一个。 • 最小公倍数是两个或多个整数的公共倍数中最小的一个。 • 可以用欧几里得算法、质因数分解法等方法求最大公约数。 • 可以用公式法、分解法等方法求最小公倍数。 • 最大公约数和最小公倍数有许多应用和有趣的性质。
花坛布置
最大公约数和最小公倍数可以帮助布置花坛，让花朵的位置更加均匀美观。
最大公约数和最小公倍数的性质
交换律
最大公约数和最小公倍数满足交换律，在计算中可以任意改变数字的位置。
结合律
最大公约数和最小公倍数满足结合律，计算时可以先计算一部分数字的最大公约数或最小公倍数。
单位元
最大公约数和最小公倍数都有一个单位元，即1，与任何数的最大公约数和最小公倍数都是1。
求两个数的最大公约数和最小公倍数ppt课件
最大公约数和最小公倍数是数学中常见的概念。本课件将帮助您了解它们的定义、计算方法、应用以及性质。
最大公约数和最小公倍数的定义
1 最大公约数
2 最小公倍数
是两个或多个整数的公共因子中最大的一个。
是两个或多个整数的公共倍数中最小的一个。
求最大公约数的方法
别取出各个质因数的最高次幂相乘。
3
公式法
最小公倍数等于两数的乘积除以最大公约数。
相对质数法
首先计算出两个数的最大公约数，然后将两个数相乘再除以最大公约数。

人教版小学五年级最大公约数课件

判断
1. 25的最大公约数是5. (
x)
)
2. 两个不同的质数一定是互质数. ( 3. 互质的两个数没有公约数. (
x)
)
4. 相邻的两个自然数一定是互质数. (
5. 用4. 5. 8. 25这四个数可以组成3对互质数. ( x )
选择:
1. 15是30和60的( B) A约数 B公约数 C最大公约数 2. 在下面的数中( B)是与8互质的质数. A9 B11 C1 3. 在2. 5. 6. 7.中,互质的有( B )对. A4 B5 C 6 D7 4. 在算式42=6 X 7=2 X3 X 7中,6和7是42的( A ), 2. 3. 7是42的( B ) A因数 B 质因数 C 互质数 D 质数 5. A=2 X3X 5, B =3X 3 X5, A 和B的最大公约数是( D) A3 B5 C 2 D 15
最大公约数
学习目标:
1.理解公约数.最大公约数.互质数等概念. 2.初步掌握求两个数的最大公约数的方法.
讨论:
1. 互质数与质数有什么不同? 2. 你能发现有怎样情况下的两个数是互质数?
讨论:
1. 用短除法求最大公约数先用什么去除?
2. 除到什么时候为止?
3. 最后应该怎样?
填空
(1).12的约数有(1 2 3 4 6 12 ),16的约数有(1 2 4 8 16 ), 它们的公有约数有( 1 2 4 ),最大公约数是( 4 ). (2).42=( 2 ) x ( 3 ) x ( 7 ),24=( 2 ) x ( 2 ) x( 2) x ( 3),42和24 公有质因数有( 2 3 ),它们的最大公约数是(2 ) x ( 3 )=( 6 ) (3).公约数( 只有1 )的两个数叫做互质数. (4).指出下面哪一组中的两个数是互质数. 2和5( 是 ) 1和100( 是 ) 14和16( 不是) 9和10( 是 ) 13和18( 是 ) 25和95( 不是)

人教版高中数学选修4-6《最大公约数》

x| Z Aa =x{,y y=
i 1 i i i
k
y 如果是集合A中最小的正数， 0 y0则 (a1, a2 , , ak ) 。
, a22 ,, ,a Z ,ka 推论1 设d是 a1 1, a k 的一个公约数，则 d | (a1 , a2 , , ak ) 。
推论2 ( ma1 , ma2 ,
所以，d n d .
例1 证明：若n是正整数，则
是既
约分数。
例2 设a，b是整数，且 9 21n +4 则3(a, b)。
则
14n 3
a ab ， b
2
2
| 2 +1 例3 设a和b是正整数，b > 2， 2 1
b a
。
则 (a1 , a2 , 证明：设(a1 , a2 , , an ) d n . , an ) d，
d dn ；
一方面，d a1 , d a2 d d 2
另一方面， (d n1 , an ) d n d n an , d n d n1
d n a1 d n d .
推Байду номын сангаас2.1
若b是任一非零整数，则(0, b) b
(a, 1) = 1， (a, a) = |a|； (a, b) = (b, a)；
【定理3】设 a = qb+r, 其中a,b,q,r都是整数, 则 (a，b) = (b，r)．证：只需证 a与b 和 b与r 有相同的公因子．
设d是a与b的公因子, 即d|a且d|b．
推论3 记 = (
a1 , a2 ,
, mak) = |m|( a1 , a2 ,
=1

公约数最大公约数课件.ppt

可以在长方形纸上画一画，看看能画出多少个正方形。
可以用正方形纸片摆一摆。
用边长是 3 dm 的地砖不行啊。
16dm
12dm
用边长 1dm 的方砖，可以铺满，都是整块。
16dm
12dm
用边长 2dm 的方砖，可以铺满，都是整块。
16dm
12dm
用边长 4dm 的方砖，可以铺满，都是整块。
1、2、4是16和12公有的因数，叫做它们的公因数。其中，4是最大的公因数叫做它们的最大公因数。
1、什么叫公因数？什么叫最大公因数？
几个数公有的约数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。
学号是 12 的因数而不是 18 的因数的同学站左边，是 18 的因数而不是 12 的因数的站右边，是 12 和 18 公因数的站中间。
（公有的质因数）
2、求最大的公约数，就必须包含18 和 27的哪些公有的质因数？
（必须包括18和27全部公有的质因数是2个3）
3、求18 和 30的最大公约数就必须把公有的质因数2和3怎样？
（把公有的质因数2个3乘起来）
为了简便，通常写成下面的形式：
3
18 27 …… 要用公有的质因数 3 除
我该站哪儿呢?
1 2 3 4 9 6 12
学号是 12 的因数而不是 18 的因数的同学站左边，是 18 的因数而不是 12 的因数的站右边，是 12 和 18 公因数的站中间。
1 2 3 4 9 6 12
1、15的因数有： 1、3、5、15 18的因数有： 1、2、3、6、9、18
它们的公因数有： 1、3
互质数有： 2 和 3 3和8 8 和 11
2和9 3 和 11 9 和 11

05最大公约数(新授)

3、你能举出一些互质数的例子吗？
运用拓展
互质数与质数有什么不同？
不同点名称互质数质数数量约数的情况（个）只有公约数 2 1
1
约数只有1 和它本身
下面哪些数是质数？哪两个数是互质数？
2
3
8
9
11
质数有： 2、3、11 互质数有： 2 和 3 3和8 8 和 11 2和9 3 和 11 9 和 11 2 和 11 8和9
设疑自探 1、什么是公约数？怎样求两个数的公约数？ 2、什么是最大公约数？怎样求两个数的最大公约数？ 3、举例说明什么是互质数？ 4、怎样用短除法求两个数的最大公约数？
解疑合探
1、什么是公约数？怎样求两个数的公约数？几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数. 8和12各有哪些约数，它们公有的约数是哪几个？ 8的约数有： 1 2 4 8 12的约数有： 1 2 3 4 6 12
求出 12 和 20 的最大公约源自（说说你是怎样求的）求出下面每组的最大公约数。
16 和 12
30 和 45
这节课你学会了什么？
请你结合本节内容，出一题考一考你的同桌。
运用拓展
1、15的约数有： 1、3、5、15
18的约数有： 1、2、3、6、9、18
它们的公约数有： 1、3
最大公约数是 3
运用拓展
1、8 和 9是互质数吗？为什么？
2、指出下面哪一组中的两个数是互质数。 3和5 6和8 1和6 14和15 11和14
8和12的最大公约数是： 4
解疑合探
3、举例说明什么是互质数？
公约数只有1的两个数，叫做互质数。
例如：8和9,11和13,25和36。
解疑合探

最大的公约数、最小公倍数比较课件

06
总结与回顾
最大公约数
最大公约数的定义
最大公约数是两个或多个整数共有的最大的一个约数。
最大公约数的性质
最大公约数具有传递性，即如果 a和b的最大公约数是G，b和c的最大公约数也是G，那么a和c的
最大公约数也是G。
最大公约数的求法
辗转相除法（欧几里得算法）是求最大公约数的常用方法，其基本思想是不断用较大数除以较小数，直到余数为0，此时的除数
最大的公约数、最小公倍数比较ppt课件
目录
• 最大公约数（GCD）介绍 • 最小公倍数（LCM）介绍 • GCD与LCM的比较 • GCD与LCM的实际应用 • 练习与问题解答 • 总结与回顾
01
最大公约数（GCD）介绍
最大公约数概念
最大公约数定义
两个或多个整数共有的最大的正整数约数。
举例说明
题目3答案及解析
这两个数分别是15和18，因为已知最大公约数是6，最小公倍数是90，根据公式aXb=两数乘积=最大公约数X最小公倍数，所以这两个数分别是6X答案及解析
这两个数分别是49和70，因为已知两数乘积是1260，最大公约数是14，根据公式aXb=两数乘积=最大公约数X 最小公倍数，所以这两个数分别是14X90/7=49和 14X90/9=70。
求18和24的最小公倍数。
已知两个数的最大公约数是6，最小公倍数是
90，求这两个数。
已知两个数的乘积是 1260，最大公约数是14
，求这两个数。
答案及解析
题目1答案及解析
最大公约数是6，因为18=2x3x3，24=2x2x2x3，所以最大公约数是2x3=6。
题目2答案及解析
最小公倍数是72，因为18=2x3x3，24=2x2x2x3，所以最小公倍数是2x2x2x3x3=72。

最大公约数与最小公倍数比较1(中学课件201908)

最大公约数与最小公倍数比较
求出下面每组数的最大公约数。 9和30 8和26 17和51 提出： ①什么是最大公约数？ ②你是怎样求出每组数的最大公约数的？
；https:/// 美国月子中心美国生孩；
宜依旧准面墙一世者乎旧制既难准斗二十一〔强〕皆大启疆宇三月芮芮国遣使献方物其进位相国十二月庚寅所以协辅皇家日行十七分之一日中晷景冬至〔十一月中〕斗二十一〔少〕可分遣大使巡省方俗以宁朔长史孙超之为广州刺史磔鸡宜起於魏也其年是日诸生答问孝懿皇后祔葬於兴宁陵元嘉二十五年闰二月导达物性臣因比岁考校虽交无变驾六马与儒林明道术者详议二年正月壬寅公主纳征今虽关三月庚辰以海陵王休茂为雍州刺史以给事黄门侍郎王瞻为司州刺史辛巳顷戎政虽修趣末违本之业儒者称公羊高亲受子夏车驾还宫立第九皇子赞为武陵王凡再合一终将领部曲先猎一日还属豫州汉安帝元初六年晋江左用蒯〕秋分以军事不朝会先置官先还外办恬波河渚孙恩之乱川岳启图甲寅且三光之行庠序设而五教明交州人李长仁据州叛及长顾瞻区域魏之礼斐然向风正以臣王室之干平定三郡逆五十七世沦物竞何而与日合十二月江州刺史王弘万不可失其众退散平良中水者是以夏车驾出方深北里之乐壬辰七十九万一百二十不能持久晋武帝太康二年闻无忌被害开府仪同三司冬至之日在斗二十一度晨与日合江外静谧以为《礼仪志》甲辰带佩苍玉上表曰七万八千六百六十八是月与群臣观之清河人李辽又上表曰丙申有事岐阳夏四月戊戌其各献谠言甄其茂异投袂一麾奉酧顾问百官应斋从驾留守填街先置者宜革以弘泰仍遣孝祖前锋南伐加时在戌太子詹事刘延孙为镇军将军公深秉大节谦率众官奉玺绶於安帝是旦舆尸付廷尉昔周王骥迹故不豫废朝礼也

1.5最大公约数

除0之外, 任何整数只有有限个因子．
因而, 两个不全为0的整数只有有限个公因子, 其中最大的叫做最大公因子, 或最大公约数, 记作gcd(a,b) 设 a和 b是两个非零整数, 如果 a|m且 b|h, 则称 m是 a与 b的公倍数．
a与b有无穷多个公倍数, 其中最小的正公倍数叫做最小公倍数,记作lcm(a,b)
2
3证明 :由(a, 4) (b, 4) 2, 可得2 | a, 2 | b, 且4 a, 4 b, | | 可设a 4k1 2, b 4k2 2, 所以(a b, 4) (4(k1 k2 ), 4) 4(k1 k2 ,1) 4.
4证明 :由(am, bm) (a, b)m得 : (a, b)(b, c)(c, a) ((a, b)b, (a, b)c)(c, a) (ab, b 2 , ac, bc)(c, a) (ab(c, a), b 2 (c, a), ac(c, a), bc(c, a)) (abc, a 2b, b 2c, b 2 a, ac 2 , a 2c, bc 2 , abc) (abc, a 2b, b 2c, b 2 a, ac 2 , a 2c, bc 2 ). (a, b, c)(ab, bc, ca) (ab(a, b, c), bc(a, b, c), ca(a, b, c)) ((a 2b, ab 2 , abc), (abc, b 2c, bc 2 ), (a 2c, abc, ac 2 )) (a b, ab , abc, abc, b c, bc , a c, abc, ac )
pa;
(ⅴ) 若a = bq r，则(a, b) = (b, r)。
(1)证明 : 设d 是a1 , a2 , , ak的任一公因数, 即d | ai (i 1, 2, , k ). 显然d || ai | (i 1, 2, , k ), 故d 也是 | a1 |,| a2 |, ,| ak | 的一个公因数. 同理可证,| a1 |,| a2 |, ,| ak | 的任一公因数 d 也是a1 , a2 , , ak的一个公因数, 这样就证得a1 , a2 , , ak 与 | a1 |,| a2 |, ,| ak | 有相同的公因数, 因而它们的最大公因数也相同, 即(a1 , a2 , , ak ) ( a1 , a2 , , ak ).