向量五心终极版本(老师)
教师应具备五心心得体会
作为一名教师，肩负着培养下一代的重要使命。
在教育工作中，教师应具备五心，即爱心、耐心、责任心、细心和上进心。
以下是我对这五心的心得体会。
一、爱心爱心是教师最基本、最重要的品质。
教师只有热爱学生，才能更好地教育他们。
爱心体现在对学生的关爱、关心和尊重。
关爱学生，就是要关心他们的生活、学习和成长，帮助他们解决困难，让他们感受到温暖；关心学生，就是要关注他们的思想动态，引导他们树立正确的价值观；尊重学生，就是要尊重他们的个性和兴趣，鼓励他们发挥特长。
在实际教学中，我深知爱心的重要性。
有一次，班上的一位同学因家庭原因心情低落，成绩下滑。
我主动与他沟通，了解他的困难，给予他关心和鼓励。
在课堂上，我关注他的表现，适时给予表扬，让他逐渐找回自信。
最终，他的成绩有了明显提升。
这次经历让我深刻体会到，爱心是教育的灵魂。
二、耐心教育是一项长期、艰巨的任务，需要教师具备足够的耐心。
耐心体现在对学生的宽容、理解和包容。
面对学生的错误，我们要耐心引导，帮助他们改正；面对学生的困惑，我们要耐心解答，引导他们找到解决问题的方法。
在实际教学中，我深知耐心的重要性。
有一次，班上的一位同学在学习上遇到了困难，我耐心地为他讲解，一遍又一遍地指导他。
经过一段时间的努力，他的成绩终于有了起色。
这次经历让我明白，耐心是教育成功的基石。
三、责任心教师的责任心体现在对教育事业的忠诚和对学生的负责。
我们要认真备课、上课，关注每一个学生的成长，努力提高教育教学质量。
同时，要关心学生的身心健康，及时发现和解决他们的问题。
在实际教学中，我深知责任心的重要性。
有一次，班上的一位同学突然生病，我立刻联系家长，了解病情，并安排同学照顾他。
在课后，我还特意去家访，关心他的康复情况。
这次经历让我体会到，责任心是教师应尽的义务。
四、细心教师的工作需要细心，体现在对教学内容的把握、对学生的观察和对问题的处理。
我们要认真备课，确保教学内容准确无误；要细心观察学生的表现，及时发现他们的需求；要细心处理问题，为学生提供帮助。
向量与三角形的五心
重心将顶点与对边中点连线，且 三条中线都经过重心。
重心在几何问题中的应用
010203Fra bibliotek面积分割
重心将三角形面积分为三 个相等的部分。
力的平衡
在静态平衡状态下，作用 于三角形上的力矩与重心 位置密切相关。
三角形不等式
通过重心可以推导三角形 不等式，用于解决几何问 题。
重心定理
定理内容
三角形的重心将中线分为 2:1的比例。
内心定理
• 内心定理：三角形的内心将三角形的三边分别延长，与相对角 的延长线相交于一点，这三个交点与内心构成的三个线段相等 。
05
向量与三角形的外心
外心定义与性质
外心定义
外心是三角形三边的垂直平分线的交点。
外心性质
外心到三角形三个顶点的距离相等，即外接圆的半径。外心到三角形三边的垂直平分线的交点。
证明方法
利用向量加法的平行四边 形法则和向量的共线性。
应用场景
在几何、物理和工程领域 中，重心定理都有广泛的 应用。
03
向量与三角形的垂心
垂心定义与性质
垂心定义
三角形垂心是三条高线的交点，也是三角形三个顶点向对边 所作的高线的交点。
垂心性质
三角形的垂心具有一些特殊的性质，如垂心到三角形三边的 距离相等，且等于对边上的高的长度。此外，三角形的垂心 也是三角形三个内角平分线的交点。
• 三角形的内心：内心是三角形三条内角平分线的交点，向量形式上表示为$\overrightarrow{I} = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}| |\overrightarrow{c}|}$ ，其中$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$、$\overrightarrow{c}$是三角形三边的向量。
向量五心
向量”五心”问题 中一些常用的结论：（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；（2）||||||||||||a b a b a b -≤±≤+ ，特别地，当 a b 、同向或有0 ⇔||||||a b a b +=+≥||||||||a b a b -=- ；当 a b 、反向或有0 ⇔||||||a b a b -=+ ≥||||||a b a b -=+ ；当 a b 、不共线⇔||||||||||a b a b a b -<±<+ (这些和实数比较类似). （3）在ABC ∆中，①若()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，则其重心的坐标为123123,33x x x y y y G ++++⎛⎫ ⎪⎝⎭。
如若⊿ABC 的三边的中点分别为（2，1）、（-3，4）、 （-1，-1），则⊿ABC 的重心的坐标为_______（答：24(,)33-）； ②1()3PG PA PB PC =++ ⇔G 为ABC ∆的重心，特别地0PA PB PC P ++=⇔ 为ABC ∆的重心； ③PA PB PB PC PC PA P ⋅=⋅=⋅⇔ 为ABC ∆的垂心； ④向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠ 所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)；⑤||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔ ABC ∆的内心；（3）若P 分有向线段12P P 所成的比为λ，点M 为平面内的任一点，则121MP MP MP λλ+=+ ，特别地P 为12PP 的中点122MP MP MP +⇔= ； （4）向量 PA PB PC 、、中三终点A B C 、、共线⇔存在实数αβ、使得P A P B P C αβ=+ 且1αβ+=.如平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点)1,3(A ,)3,1(-B ,若点C 满足=−→−OC −→−−→−+OB OA 21λλ,其中R ∈21,λλ且121=+λλ,则点C 的轨迹是_______（答：直线AB ）。
向量与三角形的五心
7、设ABC的外心为O, 取点M , 使OA OB OC OM , 求证 : (1)点M 是ABC的垂心; (2)此三角形的外心、重心、垂心在一直线上.
A O GM
证明 : 如图, 设OA a, OB b, OC c, B C P O是ABC的外心,| OA || OB || OC |, 即 | a || b || c | .
OA AB OA AC 2 解 :由已知得( ) | AB | | AC | OB BA OB BC 2 OC CA OC CB 2 ( ) ( ) 0, | BA | | BC | | CA | | CB |
心.
OA AB OA AC OB BA OB BC OC CA OC CB 即: 0, | AB | | AC | | BA | | BC | | CA | | CB |
(1) AM OM OA (a b c) a b c,
2 2 2 2
BC OC OB c b, AM BC (b c)(c b) c b | c | | b | 0, AM BC ,即AM BC ,同理BM AC , CM AB, 点M 是ABC的垂心.
| AO | | AB | cos AO, AB | AO | | AC | cos AO, AC , | AB | | AC | cos AO, AB cos AO, AC ,
C O A
而两向量的夹角 [0, ], O在A的平分线上,
B
同理 : 点O同时在ABC的三个内角平分线上, 即点O是ABC的内心.
即AO在 AB与 AC方向上的投影相等, 可知O到AB、AC的距离相等, O在ABC的B
三角形五心的向量表示
三角形五心的向量表示J DZ 小飞在空间中，如果一个向量所在直线平行于一个平面或在一个平面内，则称这个向量平行于该平面.我们把平行于同一平面的一组向量称为共面向量，不平行于同一平面的一组向量称为不共面向量.定理1（平面向量基本定理）：如果向量,a b 不共线，那么向量r 与向量,a b 共面的充要条件是λµ=+r a b ，（1）其中,λµ是被向量,a b 和r 唯一确定的数量.推论1：三个向量a b c 、、共面的充要条件是存在三个不全为零....的实数λµν、、，使λµν++=a b c 0.（2）推论2：三个向量a b c 、、其中无二者共线，则共面的充要条件是存在三个全不为零....的实数λµν、、，使λµν++=a b c 0.（3）推论3：如果三个不共面向量a b c 、、满足：λµν++=a b c 0，其中,,R λµν∈，那么0λµν===.推论4：平面O 、A 、B 三点不共线，则点C 在平面OAB 上的充要条件是OC OA OB λµ=+������������，（4）其中,λµ是被向量OA ����，OB ����和OC ����唯一确定的数量.【注意】《共面向量·推论4》与《共线向量·推论4》是有区别的。
《共线向量·推论4》：平面O 、A 、B 三点不共线，则点C 在直线AB 上的充要条件是OC OA OB λµ=+������������，其中,λµ是被向量OA ����，OB ����和OC ����唯一确定的数量，且1λµ+=.定理2(平面向量基本定理的面积表示)：已知ABC ∆，则点M 在平面ABC 上的充要条件是.AMC ABMABC ABCS S AM AB AC S S ∆∆∆∆=+�������������i i （5）其中ABM S ∆、AMC S ∆和ABC S ∆是有向面积。
完整版三角形的五心向量结论证明
三角形的五心向量结论证明1. O是RP2R的重心UJU uuir umr rOp OP, OP3 0(其中a,b,c 是PP2P3 三边)P2 PP3uu uur uur r证明：充分性：OR OF2 OP30 O是PP2F3的重心uuu uir uur r uur uur uur uuur uur若OR OP，OP3 0 ，则O R OP2 OR，以OR，OF2OP1P3 ' P2，设OP3与RP2交于点P3，则F3为RF2的中点，有即O,R, P,p四点共线，故PP2P3的中线，同理,uur uuuOP3 OP3 ，为邻边作平行四边形uurOP1uur uuur,OP2OP3，得PO, P2O亦为PP2P3的中线，所以，O为的重心。
2•在ABC中，给uurADuur uuuAB AC ,等于已知AD是ABC 中BC边的中线；————uur* △ ABC中AB AC 一定过BC的中点，通过△ABC的重心luuAPuuBP*PUG1 uuu(AB31 uuu-(BA31 uur -(PAuurAC),uurBC),P为VABC的重心uur uirPB PC)uuu uu uur uur uur urir uur uur uur uur uuu uuu uuu uurPG PA AG PB BG PC CG 3PG (AG BG CG) (PA PB PC)-G是厶ABC的重心uur uuu uuu r UU uur uuu r 亦uur uuu uuu uuu-GA GB GC = 0 AG BG CG : =0，即3PG PA PB PCG ABC的重心（P是平面上任意点）.证明（反之亦然（证略））uurPBuirPC).uur 1 uur 由此可得PG (PA3S*若O是ABC的重心，则BOC S AOC S AOB1SS ABC3uuu umrAPgBC 0 2. uuu uuirBPgAC 0则0是厶ABC 的垂心证明：由 OA '\BC 3 = 003 +CA J ,得 -0?)3 = OB \COC -OA )2 ,所以.■ .' ■''"。
必修4-向量-三角形的五心
PA BC ( PD DA) BC
P A
DA BC
B
D
C
2 2 1 5 1 ( AC AB ) ( AC AB ) ( AB AC ) 2 2 2
问题4 : 在ABC中,已知AB 3, AC 2, 点H , P分别是ABC的垂心和外心, 求 PH BC .
三角形“五心”向量形 式的充要条件 设O为ABC所在平面上一点，角 A、B、C所对边长 分别 为a、b、c，则：
2 2 2
（ 1）O为ABC的外心 OA OB OC ；
（2）O为ABC的重心 OA OB OC 0
（3）O为ABC的垂心 OA OB OB OC OC OA;
问 题2 : 点P为ABC的 外 心 , | AB | 3, | AC | 2, 求 AP BC的 值.
P A
r 2 uuu r2 1 uuu 5 ( AC - AB ) B 2 2
D
C
问题3 : 在ABC 中, AB 3, AC 2, P是 BC中垂线上任一点, 则 PA BC ____ .
（4）O为ABC的内心 a OA b OB c OC 0
（5）O为ABC的A的旁心 a OA b OB c OC
问题1 : 在ABC中, AB 3, AC 2, P是BC中点, 则 AP BC ____ .
r 2 uuu r2 1 uuu 5 ( AC - AB ) 2 2
PH BC ( PA AH ) BC
PA BC AH BC PA BC PA ( AC AB)
A
AP AC AP AB
高考数学专题突破：三角形的五心与向量【精编版】
高考数学专题突破：三角形的五心与向量一、 外心1.定义：三角形的三条边的垂直平分线交于一点,这点称为三角形的外心(外接圆圆心)．三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等，都等于三角形的外接圆半径．AB CO2.性质：① 锐角三角形的外心在三角形内；直角三角形的外心在斜边中点；钝角三角形的外心在三角形外． ②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合。
③OA=OB=OC=R④∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA⑤S△ABC=abc/4R⑥||||||==(或222O O O ==)⑦C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S A OB A OC BOC =∠∠∠=∆∆∆：：：：故0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++二、内心1.定义：三角形的三条内角平分线交于一点,这点称为三角形的内心(内切圆圆心)．三角形的内心到三边的距离相等,都等于三角形内切圆半径．IK H E F AB C M2.性质： 内切圆半径r 的计算：设三角形面积为S ，r=2S/(a+b+c)特别的，在直角三角形中,有 r =12(a +b －c )． ②∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90 °+∠C/2 ∠AOC = 90 °+∠B/2③S△ABC=[(a+b+c)r]/2 (r 是内切圆半径)④O 是内心ABC ∆的充要条件是0|CB ||CA ||BC ||BA |AC |AB |=-⋅=-⋅=-⋅引进单位向量，使条件变得更简洁。
如果记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ，则刚才O 是ABC ∆内心的充要条件可以写成 0)e e (O )e e (O )e e (O 322131=+⋅=+⋅=+⋅ ⑤O 是ABC ∆内心的充要条件也可以是0OC c OB b OA a =++⑥若O 是ABC ∆的内心，则c b a S S S A OB A OC BOC ：：：：=∆∆∆ 故 0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或;⑦||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔ ABC ∆的内心; ⑧向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠ 所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)；三、垂心2.性质：①锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外② 垂心O 关于三边的对称点，均在△ABC 的外接圆上 ③△ABC 中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AO·OD=BO ·OE=CO ·OF④ H 、A 、B 、C 四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。
第五节：“五心问题”(奔驰定理)
点），则 是
的（
外心
三．同步量化习题
） 内心
重心
垂心
1.已知 是平面上一定点，
是平面上不共线的三个点，动点 满足
，则 的轨迹一定通过
外心
内心
2. 已 知 是 平 面 上 一 定 点 ，
的（ ）
重心
垂心
是平面上不共线的三个点，动点
， 满足
新编高三一轮复习资料（彤樾）
重心
垂心
3. 已知 是 外心
所在平面上的一点，若 内心
；
若动点 满足
，则动点 的轨迹一定经过
的垂心.
（4） 为
的内心（三角形内角平分线的交点）
；
向量
所在直线过
的内心，是
的角平分线所在的直线.
(5) 为
中 的旁心
.
2、奔驰定理的相关考点
若为
内任意一点，有
，则
求面积比之间的关系类题目.） ② 为重心， ② 为内心， ③ 为外心，
④ O 是 ABC 的垂心 ������������������������������: ������������������������������: ������������������������������ = ������������������ ������ : ������������������ ������ : ������������������ ������ ������������������ ������ • ���→��������� + ������������������ ������ • ���→��������� + ������������������ ������ • ���→��������� = →0
向量与三角形五心证明及知识运用(精华版AAA)精品资料
则实数 m =
7．（06
陕西）已知非零向量A→B与A→C满足(|AA→→BB|
A→C +|A→C|
)·B→C=0
且|AA→→BB|
·|AA→→CC|
1 =2
,
则
△ABC 为( )
A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形
C．等腰非等边三角形 D．等边三角形
8．已知 ABC 三个顶点
A、B、C ，若
2
AB
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(4)若存在常数
,满足
MG
MA
AB
AC
0,则点 G 可能
AB cosB AC cosC
通过 ABC的__________.
例 5、若 O 点是 ABC的外心, H 点是 ABC的垂心,
且 OH m(OA OB OC) ,求实数 m 的值.
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AP (
AB
AC
), 0
1．
AB AC
P为 ABC的内心 ;
BP t(
BA BA
BC BC
)，t 0
2. D、E 两点分别是 ABC的边 BC、CA上的中点,且
DP PB DP
PC P为
ABC的外心 ;
EP PC EP PA
3.
AP
BP
1 3 1 3
( AB (BA
AC ),
BC )，
P为
ABC的重心 ;
4.
AP
BC
0
P为
ABC的垂心 .
BP AC 0
5．已知 A、B、C 是平面上不共线的三点，O 是三角形 ABC 的重心，动点 P 满 u
(完整版)三角形的五心向量结论证明
三角形的五心向量结论证明1. O 是123PP P ∆的重心⇔1230OP OP OP ++=(其中,,a b c 是123PP P ∆三边)证明：充分性: 1230OP OP OP ++=⇒O 是123PP P ∆的重心若1230OP OP OP ++=，则123OP OP OP +=-，以1OP，2OP 为邻边作平行四边形132'OPP P ，设3OP 与12PP 交于点3P '，则3P '为12PP 的中点，有'123OPOP OP +=，得'33OP OP =-，即'33,,,O P P P 四点共线，故3P P 为123PP P ∆的中线，同理，12,PO P O 亦为123PP P ∆的中线，所以，O 为的重心。
* △ABC 中AC AB +一定过BC 的中点，通过△ABC 的重心1(),31()3AP AB AC P ABC BP BA BC ⎧=+⎪⎪⇒⎨⎪=+⎪⎩为的重心， *1()3PG PA PB PC =++⇔G 为△ABC 的重心(P 是平面上任意点).证明 PG PA AG PB BG PC CG =+=+=+⇒3()()PG AG BG CG PA PB PC =+++++∵G 是△ABC 的重心∴GA GB GC ++=0⇒AG BG CG ++=0，即3PG PA PB PC =++ 由此可得1()3PG PA PB PC =++.(反之亦然(证略))*若O 是ABC ∆的重心，则ABC AOB AOC BOC S 31S S S ∆∆∆∆===P 12PP 3O PABC∆()1,2AD AB AC =+ABC ∆2.在中，给等于已知AD 是中BC 边的中线;2. 00AP BC P ABC BP AC ⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩为的垂心* 点O 是123PP P ∆的垂心⇔122331OPOP OP OP OP OP ⋅=⋅=⋅ 证明：O 是123PP P ∆的垂心⇔312OPPP ⊥, 31232132310()0OP PP OP OP OP OP OP OP OP ⋅=⇔⋅-=⇔⋅=⋅同理123OP P P ⊥⇔3112OP OP OP OP ⋅=⋅ 故当且仅当122331OP OP OP OP OP OP ⋅=⋅=⋅.* O 是△ABC 所在平面内一点222222→→→→→→+=+=+ACOB BA OC BC OA则O 是△ABC 的垂心 证明：由，得，所以。
向量五心
A. 外心 B. 内心 解：由已知得：
(O A O B ) (O B O A ) = (O B O C ) (O C O B ) = (O C O A ) (O A O C ) = 0
OB OA OC OB =OA OC = 0
| O A | | O B | | O C | . 所以 O 点是△ABC 的外心. 选 A .
同理 OA CB ， OB AC . 故选 A . 11：已知 O 是△ABC 所在平面上的一点，若 ( O A O B ) A B = ( O B O C ) B C = ( O C O A ) C A = 0，则 O 点是 △ABC 的( ) C. 重心 D. 垂心
AB AC
三角形五“心”向量形式的充要条件 设 O 为 ABC 所在平面上一点，角 A , B , C 所对边长分别为 a , b , c ，则 （1） O 为 ABC 的外心 O A O B O C . （2） O 为 ABC 的重心 O A O B O C 0 . （3） O 为 ABC 的垂心 O A O B O B O C O C O A . （4） O 为 ABC 的内心
4： 已知 O 是平面上的一定点，A、B、C 是平面上 不共线的三个点，动点 P 满足
OP OA ( AB | A B | cos B AC | A C | cos C ) , [0, ) , 则动点 P 的轨迹一定通过△ABC 的(
)
A. 重心
B. 垂心
C. 外心
D. 内心
2
2
2
2
2
2
12 ：已知 O 是△ABC 所在平面上的一点，若 aO A bO B cO C = 0 ，则 O 点是△ABC 的( A. 外心 B. 内心 C. 重心
专题15 三角形的五心与向量-名师揭秘2020年高考数学(理)一轮总复习之三角函数、三角形、平面向量(解析版)
1专题15 三角形的五心与向量一【知识点】1.三角形的重心：三角形各边中线的交点2. 三角形的垂心：三角形各边高线的交点3. 三角形的内心：三角形各个内角平分线的交点4. 三角形的外心：三角形各边垂直平分线的交点5. 三角形的中心：正三角形四心合一为中心 二．【学习目标】1．理解三角形五心的概念． 2．掌握五心的向量表示．3．掌握五心的向量表示的轨迹问题． 三．【题型方法】 （一）三角形的内心例1. O 是平面上一定点，,,A B C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足：,[0,)||||AB AC OP OA AB AC λλ⎛⎫=++∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，则P 的轨迹一定通过ABC ∆的( ) A ．内心 B ．垂心 C ．重心 D ．外心【答案】A 【解析】Q ||AB AB u u u r u u u r 、AC ACu u u v u u u v 分别表示向量AB u u u v 、AC u u u v 方向上的单位向量 ∴AB AC AB AC +u u u v u u u vu u u v u u u v 的方向与BAC ∠的角平分线一致 又Q ()||||AB ACOP OA AB AC λ=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ， ∴()||||AB ACOP OA AP AB AC λ-==+u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ∴向量AP uu u r的方向与BAC ∠的角平分线一致 ∴一定通过ABC ∆的内心故选：A ．2练习1. 已知ABC ∆满足()0AB AC BC AB ACu u u v u u u vu u uv u u u v u u u v +⋅=，12AB AC AB AC ⋅=u u u r u u u ru u u r u u u r ，则ABC ∆为( ) A ．顶角为120︒的等腰三角形 B ．等腰直角三角形 C ．有一个内角为60︒的直角三角形 D ．等边三角形【答案】D【解析】设,AB AC AD AE AB AC==u u u r u u u ru u u v u u u vu u u v u u u v ，则AD AE AF +=u u u r u u u r u u u r，而1AD AE ==u u u r u u u r ，所以AF 是BAC ∠的角平分线，又0AF BC AF BC ⋅=⇒⊥u u u r u u u u u u v r u u u v，所以ABC ∆为等腰三角形，cos 11cos 21232AB AC AB AC AB AC BA AB A C BAC C CBA π⋅⋅⋅=⇒=∠∠=⇒∠⋅=⇒u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r ，所以ABC ∆是等边三角形.练习2.O 是平面内的一定点，A,B ，C 是平面内不共线的三个点，动点P 满足则P 点的轨迹一定通过三角形ABC 的（ ）A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心 【答案】A 【解析】∵、分别表示向量、方向上的单位向量，∴的方向与∠BAC 的角平分线重合，又∵可得到 λ（）∴向量的方向与∠BAC 的角平分线重合，∴一定通过△ABC 的内心故选：A ．（二）三角形的重心例2.已知ABC ∆中，向量()()AP AB AC R λλ=+∈u u u r u u u r u u u r，则点P 的轨迹通过ABC ∆的（ ）3A ．垂心B ．内心C ．外心D ．重心【答案】D【解析】设D 为BC 中点，则2AB AC AD +=u u u r u u u r u u u r2AP AD λ∴=u u u r u u u r，即P 点在中线AD 上可知P 点轨迹必过ABC ∆的重心 本题正确选项：D 练习1．过的重心作直线，已知与、的交点分别为、，，若，则实数的值为（ ）A ．或B ． 或C ．或D ．或【答案】B 【解析】设,因为G 为的重心，所以,即.由于三点共线，所以，即.因为，，所以，即有，解之得或.故选B.练习2.已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若= , 则O 点是△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心【答案】C【解析】作BD ∥OC ，CD ∥OB ，连结OD ，OD 与BC 相交于G ，则BG ＝CG ，（平行四边形对角线互相平分），∴，又∵，可得：，∴，∴A，O，G在一条直线上，可得AG是BC边上的中线，同理：BO，CO的延长线也为△ABC的中线．∴O为三角形ABC的重心．故选：C．练习3.已知是所在平面上的一定点，若动点满足，，则点的轨迹一定通过的( )A．内心B．外心C．重心D．垂心【答案】C【解析】∵＝设它们等于t，∴而表示与共线的向量,而点D是BC的中点，所以即P的轨迹一定通过三角形的重心．故选：C．4练习4.已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三点，动点P 满足，，则点P 的轨迹一定通过的__________心．【答案】重.【解析】设D为BC 的中点，则，于是有，，P，D三点共线，又D是BC的中点，所以AD是边BC的中线，于是点P 的轨迹一定通过的重心．例4.是平面上不共线的三点，为所在平面内一点，是的中点，动点满足，则点的轨迹一定过____心（内心、外心、垂心或重心）．【答案】重心【解析】∵动点P 满足[（2﹣2λ）（1+2λ）]（λ∈R），且，∴P、C、D三点共线，又D是AB的中点，∴CD为中线，∴点P的轨迹一定过△ABC的重心．故答案为重心．（三）三角形的外心5例3. 已知点为外接圆的圆心，且，则的内角等于( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】因为，所以点为的重心，延长交于，则为的中点，又为外接圆的圆心，所以，则，同理可得，为等边三角形，，故选B.练习1.已知，点，为所在平面内的点，且，，，则点为的( )A．内心B．外心C．重心D．垂心【答案】B【解析】因为，所以，即又因为，所以，即所以即所以,所以，同理所以为的外心。
(完整版)用向量表示三角形的五心
用向量表示三角形的五心如图，ABC ∆中，E 是AC 上一点，F 是AB 上一点，且ln EC AE l m FB AF ==,（通分总可以把异分母分数化为同分母分数）.连接BE 、CF 交于点D ，确定点D 的位置. 解:设.,b AC a AB == DF CD DE BD μλ==,由定比分点的向量表达式,得b a m l m a m l m b AB ml m AC AF AC AD b n l n a AC nl n AB AE AB AD μμμμμμμμμμμλλλλλλλλ++++=++++=+⋅+++=++=++++=+⋅+++=++=11))(1())(1(11)(1111))(1(11)(1111 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++++=+∴n m l m n l n l n m l m μλμλλμμλ解得11))(1())(1(11 代入得:b nm l n a n m l m AD +++++= 设O 是平面上任意一点,则有.,,OA OC b OA OB a OA OD AD -=-=-= 上式可化为:OC nm l n OB n m l m OA n m l l OD ++++++++= (*) 由(*)式出发,可得三角形五心的向量表达式.(1).若BE 、CF 是∆ABC 两边的中线,交点D 是三角形的重心.则1,1====FBAF l m EC AE l n )(31OC OB OA OD ++=(2)若BE 、CF 是∆ABC 两内角的平分线，交点D 是三角形的内心.则ab BC AC FB AF l m ac BC AB EC AE l n ======, 代入(*)式得:.OC cb ac OB c b a b OA c b a a OD ++++++++=(3)若BE 、CF 是∆ABC 两边上的高，交点D 是三角形的垂心. A B C D E F则Aa B bFBAF l m A a C c C a A c EC AE l n cos cos ,cos cos cos cos ===⋅⋅==同理. OC Cc B b A a C cOB C c B b A a B b OA C c B b A a A a OD cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos ++++++++=∴ (4)若BE 、CF 的交点D 是∆ABC 的外心,即三边中垂线的交点,则有:DA=DB=DC. 根据正弦定理有:A C A A C C BDC A ADBC CBE C BE EBA A BE EC AE l n 2sin 2sin cos sin cos sin )(21sin sin )(21sin sin sin sin sin sin =⋅⋅=∠-⋅∠-⋅=∠⋅∠⋅==ππ 同理AB FB AF l m 2sin 2sin == OC CB AC OB C B A B OA C B A A OD 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin ++++++++=∴(1) 重心O:0=++OC OB OA(2) 内心O:0=++OC c OB b OA a(3) 垂心O:0cos cos cos =++OC Cc OB B b OA A a (4) 外心O:02sin 2sin 2sin =⋅+⋅+⋅OC C OB B OA A(5) A 对的旁心O:0=++-OC c OB b OA a ; B 对的旁心O:0=+-OC c OB b OA aC 对的旁心O:0=-+OC c OB b OA a . E。
向量五心终极版本(老师)
向量与三角形内心、外心、重心、垂心、旁心知识的交汇一、五心的概念介绍(1)重心——中线的交点:重心将中线长度分成2:1; (2)垂心——高线的交点:高线与对应边垂直;(3)内心——角平分线的交点(内切圆的圆心):角平分线上的任意点到角两边的距离相等; (4)外心——中垂线的交点(外接圆的圆心):外心到三角形各顶点的距离相等。
(5) 旁心——三角形两条外角平分线与一条内角平分线的交点 二、 “重心”的向量风采【命题1】 已知G 就是ABC △所在平面上的一点,若0GA GB GC ++=u u u r u u u r u u u r,则G 就是ABC △的重心.如图⑴、A'A【命题2】 已知O 就是平面上一定点,AB C ，，就是平面上不共线的三个点,动点P 满足()OP OA AB AC λ=++u u u r u u u r u u u r u u u r,(0)λ∈+∞，,则P 的轨迹一定通过ABC △的重心、【解析】 由题意()AP AB AC λ=+u u u r u u u r u u u r ,当(0)λ∈+∞，时,由于()AB AC λ+u u u r u u u r 表示BC 边上的中线所在直线的向量,所以动点P 的轨迹一定通过ABC △的重心,如图⑵、 二、“垂心”的向量风采【命题3】 P 就是ABC △所在平面上一点,若⋅=⋅=⋅,则P 就是ABC △的垂心.【解析】 由PA PB PB PC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ,得()0PB PA PC ⋅-=u u u r u u u r u u u r ,即0PB CA ⋅=u u u r u u u r ,所以PB CA u u u r u u u r⊥.同理可证PC AB u u u r u u u r ⊥,PA BC u u u r u u u r⊥.∴P 就是ABC △的垂心.如图⑶、【命题4】 已知O 就是平面上一定点,A B C ，，就是平面上不共线的三个点,动点P 满足cos cos AB AC OP OA AB B AC C λ⎛⎫ ⎪=++ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r,(0)λ∈+∞，,则动点P 的轨迹一定通过ABC △的垂心. 【解析】 由题意cos cos AB AC AP AB B AC C λ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,由于0cos cos AB AC BC AB B AC C ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r, 即0cos cos AB BC AC BCBC CB AB B AC C⋅⋅+=-=u u u r u u u r u u u r u u u ru u u u r u u u u r u u u r u u u r,所以AP u u u r 表示垂直于BC uuu r 的向量,即P 点在过点A 且垂直于BC 的直线上,所以动点P 的轨迹一定通过ABC △的垂心,如图⑷、 三、“内心”的向量风采【命题5】 已知I 为ABC △所在平面上的一点,且AB c =,AC b =,BC a = .若0aIA bIB cIC ++=u u r u u r u u r,则I 就是ABC △的内心.AB ⋅u u u r ∴bc AB AC AI a b c AB AC ⎛⎫ ⎪=+ ⎪++⎝⎭u u u r u u u r u u r u u u r u u u r .∵AB AB u u u r u u ur 与AC ACu u u r u u u r 分别为AB u u u r 与AC u u u r 方向上的单位向量, ∴AI u u r与BAC ∠平分线共线,即AI 平分BAC ∠.同理可证:BI 平分ABC ∠,CI 平分ACB ∠.从而I 就是ABC △的内心,如图⑸、【命题6】 已知O 就是平面上一定点,AB C ，，就是平面上不共线的三个点,动点P 满足图⑴ 图⑵图⑶ ABO CABAB AC OP OA AB AC λ⎛⎫ ⎪=++ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,(0)λ∈+∞，,则动点P 的轨迹一定通过ABC △的内心. 【解析】 由题意得AB AC AP AB AC λ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,∴当(0)λ∈+∞，时,AP u u u r 表示BAC ∠的平分线所在直线方向的向量,故动点P 的轨迹一定通过ABC △的内心,如图⑹、四、“外心”的向量风采【命题7】 已知O 就是ABC △所在平面上一点,若222OA OB OC ==u u u u r u u u u r u u u u r,则O 就是ABC △的外心.【解析】 若222OA OB OC ==u u u r u u u r u u u r ,则222OA OB OC ==u u u r u u u r u u u r ,∴OA OB OC ==u u u r u u u r u u u r,则O 就是ABC△的外心,如图⑺。
教师具有的“五心”
如何与家长沟通一、要有一颗“爱心”从刚刚踏进这个学校开始，就要求每一位老师都要具有“五心”。
我觉得首先要有一颗“爱心”。
那就是一颗爱学生之心，一颗发自肺腑的，对学生充满热情的心。
从心理上级讲，人对于事物是比较敏感的，只有出自真心的关爱，才有让学生和家长真正接受。
所以，我们要让家长感觉到老师是出自真心在关心他的孩子，而不是在应付他，不是因为孩子出了一些问题，让家长来收拾“烂摊子”。
真挚的感情可以拉近彼此的心灵，让交流和沟通更容易也更愉快。
二、要有一颗“公平的心”作为带班老师，对于学生，必须是公正地评价，一视同仁。
不能因为学生的家庭条件、成绩好坏而有所不同。
在公正的前提下，正确地评价学生，实事求是的向学生家长反映情况，（有些话一定要委婉的方式），只要你是从事实出发，家长对你也会有一个良好的印象，在与你的沟通中，会更加容易和信服。
三、要有一颗“体谅的心”即体谅学生，体谅家长。
作为带班老师，我们要让家长知道，他们的孩子在学校的真实表现，但也要根据不同的情况，以不同的方式与家长沟通。
对于表现好的学生，我们大可公开表扬，这对于家长和学生都是一种鼓励，能够促使他们朝着更好的方向发展。
而对于表现差的学生，我们不仅要注意场合，还要注意沟通的方式，尽量站在家长的角度想想，注意评议的婉转，既要使家长能够清楚了解自己孩子的表现，又要他冷静的看待孩子的问题，为接下来，对于孩子的教育打好基础。
我们也可以通过书信、便条、短信、电话或家长接送孩子时简短的交流孩子的学习情况，甚至是单独约见或家访的方式，来与这些家长沟通，但一定要注客观的评价。
四、要有一颗“耐心”大多数的家长文化水平较高，个人涵养都很高，但也有少数不讲理、素质相对较差的家长，对于家中唯一的孩子，都比较溺爱，什么都听孩子的。
孩子想不学就不学，也不加干涉，认为孩子不喜欢就算了，以后再学。
其实不然，现在正是孩子学习语言的关键期，错过了这个时期，再来学习反而会事倍功半。
同时，孩子兴趣下降，家长不应该先放弃，要鼓励孩子，为孩子指引一条正确的道路。
三角形五心的向量表达式
三角形五星的向量表达式1若P是△ABC的重心PA+PB+PC=02若P是△ABC的垂心PA•PB=PB•PC=PA•PC(内积）3若P是△ABC的内心aPA+bPB+cPC=0(abc是三边）4若P是△ABC的外心|PA|²=|PB|²=|PC|²（AP就表示AP向量|AP|就是它的模）5AP=λ（AB/|AB|+AC/|AC|),λ∈[0,+∞)则直线AP经过△ABC内心6AP=λ（AB/|AB|cosB+AC/|AC|cosC),λ∈[0,+∞)经过垂心7AP=λ（AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC),λ∈[0,+∞）或AP=λ(AB+AC),λ∈[0,+∞)经过重心8.若aOA=bOB+cOC,则0为∠A的旁心,∠A及∠B,C的外角平分线的交点【以下是一些结论的有关证明】1.O是三角形内心的充要条件是aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量充分性：已知aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量，延长CO交AB于D，根据向量加法得：OA=OD+DA,OB=OD+DB,代入已知得：a(OD+DA)+b(OD+DB)+cOC=0,因为OD与OC共线，所以可设OD=kOC,上式可化为(ka+kb+c)OC+(aDA+bDB)=0向量,向量DA与DB共线，向量OC与向量DA、DB不共线，所以只能有：ka+kb+c=0，aDA+bDB=0向量,由aDA+bDB=0向量可知：DA与DB的长度之比为b/a,所以CD为∠ACB的平分线，同理可证其它的两条也是角平分线。
必要性：已知O是三角形内心,设BO与AC相交于E，CO与AB相交于F，∵O是内心∴b/a=AF/BF，c/a=AE/CE过A作CO的平行线，与BO的延长线相交于N，过A作BO的平行线，与CO的延长线相交于M，所以四边形OMAN是平行四边形根据平行四边形法则，得向量OA=向量OM+向量ON=(OM/CO)*向量CO+(ON/BO)*向量BO=(AE/CE)*向量CO+(AF/BF)*向量BO=(c/a)*向量CO+(b/a)*向量BO∴a*向量OA=b*向量BO+c*向量CO∴a*向量OA+b*向量OB+c*向量OC=向量02.已知△ABC为斜三角形,且O是△ABC所在平面上的一个定点,动点P满足向量OP=OA+入{(AB/|AB|＾2*sin2B)+AC/(|AC|＾2*sin2C)},求P点轨迹过三角形的垂心OP=OA+入{(AB/|AB|＾2*sin2B)+AC/(|AC|＾2*sin2C)},OP-OA=入{(AB/|AB|＾2*sin2B)+AC/(|AC|＾2*sin2C)},AP=入{(AB/|AB|＾2*sin2B)+AC/(|AC|＾2*sin2C)},AP•BC=入{(AB•BC/|AB|＾2*sin2B)+AC•BC/(|AC|＾2*sin2C)}, AP•BC=入{|AB|•|BC|cos(180°-B)/(|AB|＾2*sin2B)+|AC|•|BC| cosC/(|AC|＾2*sin2C)},AP•BC=入{-|AB|•|BC|cos B/(|AB|＾2*2sinB cos B)+|AC|•|BC| cosC/(|AC|＾2*2sinC cosC)},AP•BC=入{-|BC|/(|AB|*2sinB)+|BC|/(|AC|*2sinC)},根据正弦定理得：|AB|/sinC=|AC|/sinB,所以|AB|*sinB=|AC|*sinC ∴-|BC|/(|AB|*2sinB)+|BC|/(|AC|*2sinC)=0，即AP•BC=0，P点轨迹过三角形的垂心3.OP=OA+λ(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))OP-OA=λ(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))AP=λ(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))AP与AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC共线根据正弦定理：|AB|/sinC=|AC|/sinB,所以|AB|sinB=|AC|sinC,所以AP与AB+AC共线AB+AC过BC中点D，所以P点的轨迹也过中点D，∴点P过三角形重心。
平面向量中的三角形四心问题教师版
平面向量中的三角形四心问题向量是高中数学中引入的重要概念，是解决几何问题的重要工具。
本文就平面向量与三角形四心的联系做一个归纳总结。
在给出结论及证明结论的过程屮，可以体现数学的对称性与推论的相互关系。
—、重心(barycenter)三角形重心是三角形三边屮线的交点。
重心到顶点的距离与重心到对边屮点的距离之比为2： lo结论1：若G为AAB俩在平面内一点，贝^A + GB + GC = Z结论2：・・•I ・■•I •若P为AABEf在平面内一点，贝^G = -(PA+PB+PQoG是AABC^］重心• I ・・'・—•・•....... ••「■ 1 • I •I •・，•—♦证明:PG = -(PA + PB+ PC) « (PG-PA) + (PG-PB) + (PG-PC) = 0«GA + GB + GC = 0oG是AABC^J重心三角形的三条高线的交点叫做三角形的垂心。
结论3：若H为AA3CW在平面内一点，贝麻•丽=而•就=万乙•页OH 是△朋血垂心证明:阪•屈二= 0 A0 HB・ AC = Oo//B 丄AC 同理，有HA丄CB,HC丄故H为三角形垂心结论4：____ 7________ ? ____ _ 9 ____ 9 ____ 7 ____ ?若H为AAB俩在平面内一点，贝^A~ +BC~ =HB~ + AC =HC~ +AB~ oH是AA3制垂心___ ? ___ 9 ____ 9 ___ 7 ___ 7 ___ _ _______ ________ 7 ____ _ ______证明：^HA -vBC = HB「+ CA「得,HA「+ (HB - HC『=HB~ + (HC- HAf<^HBHC = HCHA同理可证得页•而=而就1 =说页由结论3可知命题成立三、夕卜心(c i rcumcenter)三角形三条边的垂直平分线(屮垂线)的相交点。
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边中线的中点 边中线的三等分点（非重心）
C.重心 边的中点
1.B取AB边的中点M，则 ，由 = ( + +2 )可得
3 ，∴ ，即点P为三角形中AB边上的中线的一个三等分点，且点P不过重心，故选B.
2．在同一个平面上有 及一点Ｏ满足关系式： ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ，则Ｏ为 的（D）
4、运用向量等式实数互化解与三角形有关的向量问题
例2、已知O是△ABC所在平面内的一点，满足 ，则O是△ABC的〔 〕
A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
5、运用向量等式图形化解与三角形有关的向量问题
例3、已知P是△ABC所在平面内的一动点，且点P满足 ，则动点P一定过△ABC的〔 〕
A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
A、①② B、①④ C、②③ D、②③④
2、知识回顾
三角形的重心、内心、垂心、外心及简单的三角形形状判断方法
向量的有关性质
上述两者间的关联
3、利用向量基本概念解与三角形有关的向量问题
例1、已知△ABC中，有 和 ,试判断△ABC的形状。
练习1、已知△ABC中， ， ，B是△ABC中的最大角，若 ，试判断△ABC的形状。
练习2、已知O为平面内一点，A、B、C平面上不共线的三点，动点P满足 ，则动点P 的轨迹一定通过△ABC的〔 〕
A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
例4、已知O是△ABC所在平面内的一点，动点P满足 ，则动点P一定过△ABC的〔 〕
A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
练习3、已知O是△ABC所在平面内的一点，动点P满足 ，则动点P一定过△ABC的〔 〕
【解析】由题意得 ，∴当 时， 表示 的平分线所在直线方向的向量，故动点 的轨迹一定通过 的内心，如图⑹.
四、“外心”的向量风采
【命题7】已知 是 所在平面上一点，若 ，则 是 的外心．
【解析】若 ，则 ，∴ ，则 是 的外心，如图⑺。
【命题7】已知 是平面上的一定点， 是平面上不共线的三个点，动点 满足 ， ，则动点 的轨迹一定通过 的外心。
【解析】由于 过 的中点，当 时， 表示垂直于 的向量（注意：理由见二、4条解释。），所以 在 垂直平分线上，动点 的轨迹一定通过 的外心，如图⑻。
三、三角形性质总结
1．O是 的重心 ;
若O是 的重心，则 故 ;
为 的重心.
2．O是 的垂心 ;
若O是 (非直角三角形)的垂心，则
故
3．O是 的外心 (或 )
证明若△ABC的垂心为H，外心为O，如图.
连BO并延长交外接圆于D，连结AD，CD.
∴ ， .又垂心为H， ， ，
∴AH∥CD，CH∥AD，
∴四边形AHCD为平行四边形，
∴ ，故 .
著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”——外心、重心、垂心的位置关系：
（1）三角形的外心、重心、垂心三点共线——“欧拉线”；
（2）三角形的重心在“欧拉线”上，且为外——垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍。
“欧拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题.
例11．设O、G、H分别是锐角△ABC的外心、重心、垂心.求证
证明按重心定理G是△ABC的重心
按垂心定理 由此可得 .
补充练习
1．已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点P满足
4．已知△ABC，P为三角形所在平面上的动点，且动点P满足：
，则P点为三角形的（D）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
5．已知△ABC，P为三角形所在平面上的一点，且点P满足： ，则P点为三角形的（B）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
6．在三角形ABC中，动点P满足： ，则P点轨迹一定通过△ABC的： （ B ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
2．已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足： ，则P为 的（C）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
3．已知O是平面上一 定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足：
，则P的轨迹一定通过△ABC的（C）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
(5) 旁心——三角形两条外角平分线和一条内角平分线的交点
二、“重心”的向量风采
【命题1】已知 是 所在平面上的一点，若 ，则 是 的重心．如图⑴.
【命题2】已知 是平面上一定点， 是平面上不共线的三个点，动点 满足 ， ，则 的轨迹一定通过 的重心.
【解析】由题意 ，当 时，由于 表示 边上的中线所在直线的向量，所以动点 的轨迹一定通过 的重心，如图⑵.
8. 的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H， ，则实数m =1
9.点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足 ，则点O是 的（B）
（A）三个内角的角平分线的交点（B）三条边的垂直平分线的交点
（C）三条中线的交点（D）三条高的交点
10.如图1，已知点G是 的重心，过G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且 ，
A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
5、平面上的三个向量 、 、 满足 ， ，求证：△ABC为正三角形。
6、在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM＝2，求
A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
2、若△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，且 ，则 等于〔 〕
A、 B、0 C、1 D、
3、已知O是△ABC所在平面上的一点，A、B、C、所对的过分别是a、b、c若 ，则O是△ABC的〔 〕
A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
4、已知P是△ABC所在平面内与A不重合的一点，满足 ，则P是△ABC的〔 〕
向量与三角形内心、外心、重心、垂心、旁心知识的交汇
一、五心的概念介绍
（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；
（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；
（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；
（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。
三、“内心”的向量风采
【命题5】已知 为 所在平面上的一点，且 ， ，得 ，
∵ ，
∴ ．∵ 与 分别为 和 方向上的单位向量，
∴ 与 平分线共线，即 平分 ．
同理可证： 平分 ， 平分 ．从而 是 的内心，如图⑸.
【命题6】已知 是平面上一定点， 是平面上不共线的三个点，动点 满足 ， ，则动点 的轨迹一定通过 的内心．
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
7.已知非零向量 与 满足( + )· =0且 · = , 则△ABC为( )
A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形
解析：非零向量与满足( )·=0，即角A的平分线垂直于BC，∴AB=AC，又 = ，∠A= ，所以△ABC为等边三角形，选D．
4、数形结合
教学重点：灵活应用向量性质处理三角形中与有关向量的问题
教学难点：针对性地运用向量性质来处理三角形中与向量有关的问题
教学过程：
1、课前练习
已知O是△ABC内的一点，若 ，则O是△ABC的〔 〕
A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
在△ABC中，有命题① ；② ；③若 ，则△ABC为等腰三角形；④若 ，则△ABC为锐角三角形，上述命题中正确的是〔 〕
，则 。
证点G是 的重心，知 O，
得 O，有 。又M，N，G三点共线（A不在直线MN上），
于是存在 ，使得 ，
有 = ，
得 ，于是得 。
例讲三角形中与向量有关的问题
教学目标：1、三角形重心、内心、垂心、外心的概念及简单的三角形形状判断方法
2、向量的加法、数量积等性质
3、利用向量处理三角形中与向量有关的问题
若O是 的外心则
故
4．O是内心 的充要条件是
引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记 的单位向量为 ，则刚才O是 内心的充要条件可以写成 ，O是 内心的充要条件也可以是 。若O是 的内心，则
故 ;
是 的内心;
向量 所在直线过 的内心(是 的角平分线所在直线)；
三、经典例题训练题
例10．若O、H分别是△ABC的外心和垂心. 求证 .
A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
例5、已知点G是的重心，过G作直线与AB、AC分别相交于M、N两点，且 ，求证：
6、小结
处理与三角形有关的向量问题时，要允分注意数形结合的运用，关注向量等式中的实数互化，合理地将向量等式和图形进行转化是处理这类问题的关键。
7、作业
1、已知O是△ABC内的一点，若 ，则O是△ABC的〔 〕
二、“垂心”的向量风采
【命题3】 是 所在平面上一点，若 ，则 是 的垂心．
【解析】由 ，得 ，即 ，所以 ．同理可证 ， ．∴ 是 的垂心．如图⑶.
【命题4】已知 是平面上一定点， 是平面上不共线的三个点，动点 满足 ， ，则动点 的轨迹一定通过 的垂心．
【解析】由题意 ，由于 ，
即 ,所以 表示垂直于 的向量，即 点在过点 且垂直于 的直线上，所以动点 的轨迹一定通过 的垂心，如图⑷.