向量五心终极版本(老师)
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4、数形结合
教学重点：灵活应用向量性质处理三角形中与有关向量的问题
教学难点：针对性地运用向量性质来处理三角形中与向量有关的问题
教学过程：
1、课前练习
已知O是△ABC内的一点，若 ，则O是△ABC的〔 〕
A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
在△ABC中，有命题① ；② ；③若 ，则△ABC为等腰三角形；④若 ，则△ABC为锐角三角形，上述命题中正确的是〔 〕
（2）三角形的重心在“欧拉线”上，且为外——垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍。
“欧拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题.
例11．设O、G、H分别是锐角△ABC的外心、重心、垂心.求证
证明按重心定理G是△ABC的重心
按垂心定理 由此可得 .
补充练习
1．已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点P满足
A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
5、平面上的三个向量 、 、 满足 ， ，求证：△ABC为正三角形。
6、在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM＝2，求
【解析】由题意得 ，∴当 时， 表示 的平分线所在直线方向的向量，故动点 的轨迹一定通过 的内心，如图⑹.
四、“外心”的向量风采
【命题7】已知 是 所在平面上一点，若 ，则 是 的外心．
【解析】若 ，则 ，∴ ，则 是 的外心，如图⑺。
【命题7】已知 是平面上的一定点， 是平面上不共线的三个点，动点 满足 ， ，则动点 的轨迹一定通过 的外心。
A、①② B、①④ C、②③ D、②③④
2、知识回顾
三角形的重心、内心、垂心、外心及简单的三角形形状判断方法
向量的有关性质
上述两者间的关联
3、利用向量基本概念解与三角形有关的向量问题
例1、已知△ABC中，有 和 ,试判断△ABC的形状。
练习1、已知△ABC中， ， ，B是△ABC中的最大角，若 ，试判断△ABC的形状。
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
2．已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足： ，则P为 的（C）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
3．已知O是平面上一 定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足：
，则P的轨迹一定通过△ABC的（C）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
三、“内心”的向量风采
【命题5】已知 为 所在平面上的一点，且 ， ， ．若 ，则 是 的内心．
【解析】∵ ， ，则由题意得 ，
∵ ，
∴ ．∵ 与 分别为 和 方向上的单位向量，
∴ 与 平分线共线，即 平分 ．
同理可证： 平分 ， 平分 ．从而 是 的内心，如图⑸.
【命题6】已知 是平面上一定点， 是平面上不共线的三个点，动点 满足 ， ，则动点 的轨迹一定通过 的内心．
4、运用向量等式实数互化解与三角形有关的向量问题
例2、已知O是△ABC所在平面内的一点，满足 ，则O是△ABC的〔 〕
A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
5、运用向量等式图形化解与三角形有关的向量问题
例3、已知P是△ABC所在平面内的一动点，且点P满足 ，则动点P一定过△ABC的〔 〕
A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
向量与三角形内心、外心、重心、垂心、旁心知识的交汇
一、五心的概念介绍
（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；
（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；
（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；
（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。
= ( + +2 ),则点P一定为三角形ABC的 （ B ）
边中线的中点 边中线的三等分点（非重心）
C.重心 边的中点
1.B取AB边的中点M，则 ，由 = ( + +2 )可得
3 ，∴ ，即点P为三角形中AB边上的中线的一个三等分点，且点P不过重心，故选B.
2．在同一个平面上有 及一点Ｏ满足关系式： ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ，则Ｏ为 的（D）
二、“垂心”的向量风采
【命题3】 是 所在平面上一点，若 ，则 是 的垂心．
【解析】由 ，得 ，即 ，所以 ．同理可证 ， ．∴ 是 的垂心．如图⑶.
【命题4】已知 是平面上一定点， 是平面上不共线的三个点，动点 满足 ， ，则动点 的轨迹一定通过 的垂心．
【解析】由题意 ，由于 ，
即 ,所以 表示垂直于 的向量，即 点在过点 且垂直于 的直线上，所以动点 的轨迹一定通过 的垂心，如图⑷.
若O是 的外心则
故
4．O是内心 的充要条件是
引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记 的单位向量为 ，则刚才O是 内心的充要条件可以写成 ，O是 内心的充要条件也可以是 。若O是 的内心，则
故 ;
是 的内心;
向量 所在直线过 的内心(是 的角平分线所在直线)；
三、经典例题训练题
例10．若O、H分别是△ABC的外心和垂心. 求证 .
A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
2、若△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，且 ，则 等于〔 〕
A、 B、0 C、1 D、
3、已知O是△ABC所在平面上的一点，A、B、C、所对的过分别是a、b、c若 ，则O是△ABC的〔 〕
A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
4、已知P是△ABC所在平面内与A不重合的一点，满足 ，则P是△ABC的〔 〕
，则 。
证点G是 的重心，知 O，
得 O，有 。又M，N，G三点共线（A不在直线MN上），
于是存在 ，使得 ，
有 = ，
得 ，于是得 。
例讲三角形中与向量有关的问题
教学目标：1、三角形重心、内心、垂心、外心的概念及简单的三角形形状判断方法
2、向量的加法、数量积等性质
3、利用向量处理三角形中与向量有关的问题
练习2、已知O为平面内一点，A、B、C平面上不来自百度文库线的三点，动点P满足 ，则动点P 的轨迹一定通过△ABC的〔 〕
A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
例4、已知O是△ABC所在平面内的一点，动点P满足 ，则动点P一定过△ABC的〔 〕
A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
练习3、已知O是△ABC所在平面内的一点，动点P满足 ，则动点P一定过△ABC的〔 〕
4．已知△ABC，P为三角形所在平面上的动点，且动点P满足：
，则P点为三角形的（D）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
5．已知△ABC，P为三角形所在平面上的一点，且点P满足： ，则P点为三角形的（B）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
6．在三角形ABC中，动点P满足： ，则P点轨迹一定通过△ABC的： （ B ）
A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
例5、已知点G是的重心，过G作直线与AB、AC分别相交于M、N两点，且 ，求证：
6、小结
处理与三角形有关的向量问题时，要允分注意数形结合的运用，关注向量等式中的实数互化，合理地将向量等式和图形进行转化是处理这类问题的关键。
7、作业
1、已知O是△ABC内的一点，若 ，则O是△ABC的〔 〕
【解析】由于 过 的中点，当 时， 表示垂直于 的向量（注意：理由见二、4条解释。），所以 在 垂直平分线上，动点 的轨迹一定通过 的外心，如图⑻。
三、三角形性质总结
1．O是 的重心 ;
若O是 的重心，则 故 ;
为 的重心.
2．O是 的垂心 ;
若O是 (非直角三角形)的垂心，则
故
3．O是 的外心 (或 )
8. 的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H， ，则实数m =1
9.点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足 ，则点O是 的（B）
（A）三个内角的角平分线的交点（B）三条边的垂直平分线的交点
（C）三条中线的交点（D）三条高的交点
10.如图1，已知点G是 的重心，过G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且 ，
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
7.已知非零向量 与 满足( + )· =0且 · = , 则△ABC为( )
A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形
解析：非零向量与满足( )·=0，即角A的平分线垂直于BC，∴AB=AC，又 = ，∠A= ，所以△ABC为等边三角形，选D．
证明若△ABC的垂心为H，外心为O，如图.
连BO并延长交外接圆于D，连结AD，CD.
∴ ， .又垂心为H， ， ，
∴AH∥CD，CH∥AD，
∴四边形AHCD为平行四边形，
∴ ，故 .
著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”——外心、重心、垂心的位置关系：
（1）三角形的外心、重心、垂心三点共线——“欧拉线”；
(5) 旁心——三角形两条外角平分线和一条内角平分线的交点
二、“重心”的向量风采
【命题1】已知 是 所在平面上的一点，若 ，则 是 的重心．如图⑴.
【命题2】已知 是平面上一定点， 是平面上不共线的三个点，动点 满足 ， ，则 的轨迹一定通过 的重心.
【解析】由题意 ，当 时，由于 表示 边上的中线所在直线的向量，所以动点 的轨迹一定通过 的重心，如图⑵.
教学重点：灵活应用向量性质处理三角形中与有关向量的问题
教学难点：针对性地运用向量性质来处理三角形中与向量有关的问题
教学过程：
1、课前练习
已知O是△ABC内的一点，若 ，则O是△ABC的〔 〕
A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
在△ABC中，有命题① ；② ；③若 ，则△ABC为等腰三角形；④若 ，则△ABC为锐角三角形，上述命题中正确的是〔 〕
（2）三角形的重心在“欧拉线”上，且为外——垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍。
“欧拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题.
例11．设O、G、H分别是锐角△ABC的外心、重心、垂心.求证
证明按重心定理G是△ABC的重心
按垂心定理 由此可得 .
补充练习
1．已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点P满足
A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
5、平面上的三个向量 、 、 满足 ， ，求证：△ABC为正三角形。
6、在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM＝2，求
【解析】由题意得 ，∴当 时， 表示 的平分线所在直线方向的向量，故动点 的轨迹一定通过 的内心，如图⑹.
四、“外心”的向量风采
【命题7】已知 是 所在平面上一点，若 ，则 是 的外心．
【解析】若 ，则 ，∴ ，则 是 的外心，如图⑺。
【命题7】已知 是平面上的一定点， 是平面上不共线的三个点，动点 满足 ， ，则动点 的轨迹一定通过 的外心。
A、①② B、①④ C、②③ D、②③④
2、知识回顾
三角形的重心、内心、垂心、外心及简单的三角形形状判断方法
向量的有关性质
上述两者间的关联
3、利用向量基本概念解与三角形有关的向量问题
例1、已知△ABC中，有 和 ,试判断△ABC的形状。
练习1、已知△ABC中， ， ，B是△ABC中的最大角，若 ，试判断△ABC的形状。
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
2．已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足： ，则P为 的（C）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
3．已知O是平面上一 定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足：
，则P的轨迹一定通过△ABC的（C）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
三、“内心”的向量风采
【命题5】已知 为 所在平面上的一点，且 ， ， ．若 ，则 是 的内心．
【解析】∵ ， ，则由题意得 ，
∵ ，
∴ ．∵ 与 分别为 和 方向上的单位向量，
∴ 与 平分线共线，即 平分 ．
同理可证： 平分 ， 平分 ．从而 是 的内心，如图⑸.
【命题6】已知 是平面上一定点， 是平面上不共线的三个点，动点 满足 ， ，则动点 的轨迹一定通过 的内心．
4、运用向量等式实数互化解与三角形有关的向量问题
例2、已知O是△ABC所在平面内的一点，满足 ，则O是△ABC的〔 〕
A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
5、运用向量等式图形化解与三角形有关的向量问题
例3、已知P是△ABC所在平面内的一动点，且点P满足 ，则动点P一定过△ABC的〔 〕
A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
向量与三角形内心、外心、重心、垂心、旁心知识的交汇
一、五心的概念介绍
（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；
（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；
（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；
（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。
= ( + +2 ),则点P一定为三角形ABC的 （ B ）
边中线的中点 边中线的三等分点（非重心）
C.重心 边的中点
1.B取AB边的中点M，则 ，由 = ( + +2 )可得
3 ，∴ ，即点P为三角形中AB边上的中线的一个三等分点，且点P不过重心，故选B.
2．在同一个平面上有 及一点Ｏ满足关系式： ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ，则Ｏ为 的（D）
二、“垂心”的向量风采
【命题3】 是 所在平面上一点，若 ，则 是 的垂心．
【解析】由 ，得 ，即 ，所以 ．同理可证 ， ．∴ 是 的垂心．如图⑶.
【命题4】已知 是平面上一定点， 是平面上不共线的三个点，动点 满足 ， ，则动点 的轨迹一定通过 的垂心．
【解析】由题意 ，由于 ，
即 ,所以 表示垂直于 的向量，即 点在过点 且垂直于 的直线上，所以动点 的轨迹一定通过 的垂心，如图⑷.
若O是 的外心则
故
4．O是内心 的充要条件是
引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记 的单位向量为 ，则刚才O是 内心的充要条件可以写成 ，O是 内心的充要条件也可以是 。若O是 的内心，则
故 ;
是 的内心;
向量 所在直线过 的内心(是 的角平分线所在直线)；
三、经典例题训练题
例10．若O、H分别是△ABC的外心和垂心. 求证 .
A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
2、若△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，且 ，则 等于〔 〕
A、 B、0 C、1 D、
3、已知O是△ABC所在平面上的一点，A、B、C、所对的过分别是a、b、c若 ，则O是△ABC的〔 〕
A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
4、已知P是△ABC所在平面内与A不重合的一点，满足 ，则P是△ABC的〔 〕
，则 。
证点G是 的重心，知 O，
得 O，有 。又M，N，G三点共线（A不在直线MN上），
于是存在 ，使得 ，
有 = ，
得 ，于是得 。
例讲三角形中与向量有关的问题
教学目标：1、三角形重心、内心、垂心、外心的概念及简单的三角形形状判断方法
2、向量的加法、数量积等性质
3、利用向量处理三角形中与向量有关的问题
练习2、已知O为平面内一点，A、B、C平面上不来自百度文库线的三点，动点P满足 ，则动点P 的轨迹一定通过△ABC的〔 〕
A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
例4、已知O是△ABC所在平面内的一点，动点P满足 ，则动点P一定过△ABC的〔 〕
A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
练习3、已知O是△ABC所在平面内的一点，动点P满足 ，则动点P一定过△ABC的〔 〕
4．已知△ABC，P为三角形所在平面上的动点，且动点P满足：
，则P点为三角形的（D）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
5．已知△ABC，P为三角形所在平面上的一点，且点P满足： ，则P点为三角形的（B）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
6．在三角形ABC中，动点P满足： ，则P点轨迹一定通过△ABC的： （ B ）
A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
例5、已知点G是的重心，过G作直线与AB、AC分别相交于M、N两点，且 ，求证：
6、小结
处理与三角形有关的向量问题时，要允分注意数形结合的运用，关注向量等式中的实数互化，合理地将向量等式和图形进行转化是处理这类问题的关键。
7、作业
1、已知O是△ABC内的一点，若 ，则O是△ABC的〔 〕
【解析】由于 过 的中点，当 时， 表示垂直于 的向量（注意：理由见二、4条解释。），所以 在 垂直平分线上，动点 的轨迹一定通过 的外心，如图⑻。
三、三角形性质总结
1．O是 的重心 ;
若O是 的重心，则 故 ;
为 的重心.
2．O是 的垂心 ;
若O是 (非直角三角形)的垂心，则
故
3．O是 的外心 (或 )
8. 的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H， ，则实数m =1
9.点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足 ，则点O是 的（B）
（A）三个内角的角平分线的交点（B）三条边的垂直平分线的交点
（C）三条中线的交点（D）三条高的交点
10.如图1，已知点G是 的重心，过G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且 ，
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
7.已知非零向量 与 满足( + )· =0且 · = , 则△ABC为( )
A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形
解析：非零向量与满足( )·=0，即角A的平分线垂直于BC，∴AB=AC，又 = ，∠A= ，所以△ABC为等边三角形，选D．
证明若△ABC的垂心为H，外心为O，如图.
连BO并延长交外接圆于D，连结AD，CD.
∴ ， .又垂心为H， ， ，
∴AH∥CD，CH∥AD，
∴四边形AHCD为平行四边形，
∴ ，故 .
著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”——外心、重心、垂心的位置关系：
（1）三角形的外心、重心、垂心三点共线——“欧拉线”；
(5) 旁心——三角形两条外角平分线和一条内角平分线的交点
二、“重心”的向量风采
【命题1】已知 是 所在平面上的一点，若 ，则 是 的重心．如图⑴.
【命题2】已知 是平面上一定点， 是平面上不共线的三个点，动点 满足 ， ，则 的轨迹一定通过 的重心.
【解析】由题意 ，当 时，由于 表示 边上的中线所在直线的向量，所以动点 的轨迹一定通过 的重心，如图⑵.