平均变化率与瞬时变化率详解
变化率简介
变化率简介变化率是学习导数的前提，它在描述各种变化规律的过程中起着非常重要的作用，速度和加速度就是两个典型例子.新教材人教A 版中，对于变化率主要从以下两个方面介绍：1、平均变化率；2、瞬时变化率.一、平均变化率函数()y f x =在区间00[,]x x x +∆或（00[,]x x x +∆）上的平均变化率是商yx∆∆，其中x ∆是自变量x 在0x 处的改变量，可正可负，但不能为0，y ∆是函数值相应的改变量，即00()()y f x x f x ∆=+∆-（y ∆为正、负、零均可）所以00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆，下面通过举例来进一步加深对概念的理解。
例1、求332-=x y 在0x 到x x ∆+0之间的平均变化率.解：当自变量从0x 到x x ∆+0之间变化时，函数的平均变化率为：x f∆∆=∆-∆+=x x f x x f )()(00xx x x ∆---∆+=]33[]3)(3[2020 x x xx x x ∆+=∆∆+∆⋅=36)(3602评注：此类题目只需要紧扣定义式，注意运算过程就可以了. 评注：⑴函数平均变化率的求法可分两步：①求y ∆；②求yx∆∆.⑵不论0x 、x ∆中的哪一个变化，都会引起函数平均变化率的变化。
拓展：函数()y f x =的平均变化率的几何意义为其图象上割线的斜率。
即：函数()y f x =的图象为曲线C ，曲线C 上有一点00(,)P x y 及邻近一点00(,)Q x x y y +∆+∆，则割线PQ 的斜率0000y y y yk x x x x+∆-∆==+∆-∆。
利用平均变化率的几何意义，可解决一些实际问题，举例如下：例2、某电视机厂有甲、乙两条生产流水线，产量S （单位：台）与时间t （单位：天）的关系如图所示，问：（1）0t 天内，甲、乙两条生产线的平均日产量哪个大？（2）在接近0t 天时，甲、乙两条生产线谁的日产量大？0,)x y y ∆+∆解析：（1） 0t 天内，甲、乙两条生产线的平均日产量，即函数1()S f t =与2()S f t =在0[0,]t 内的平均变化率，其都为直线OA 的斜率，所以0t 天内，甲、乙两条生产线的平均日产量相同。
帮你认识变化率
帮你认识变化率导数的概念这一节内容中谈到了两个变化率，一个是平均变化率，还有一个是瞬时变化率，这两个变化率有着什么样的特点呢？一、平均变化率与瞬时变化率1．平均变化率事物的变化率往往是相关的两个量的变化量的比值。
如：气球的膨胀率为半径的变化量比体积的变化量；位移的变化率为位移变化量比时间变化量。
如果某个问题中的函数关系用()f x 表示，那么问题的变化率可用式子2121()()f x f x x x --表示，我们把这个式子称为函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率，简记作f x ∆∆。
（1）平均变化率是指函数值的“增量”（即“改变量”）f ∆与相应的自变量的“增量”x ∆的比，这也给出了平均变化率的求法。
（2）平均变化率的几何意义为函数()f x 图象上两点11(,())x f x 、22(,())x f x 的割线的斜率。
（3）某段时间内的平均速度v （即平均变化率），描述的是在这段时间内运动速度的平均状态。
2．瞬时变化率在实际问题中，非匀速直线运动的瞬时速度、化学反应速度、物体温度变化速度以及几何曲线切线的斜率等实质上都是瞬时变化率。
（1）瞬时速度：平均速度实际就是平均变化率，当t ∆趋近于0时，总存在一个常数0v 与商00()()S t t S t t+∆-∆无限接近。
这个常数反映了物体在某时刻运动的快慢。
（2）切线斜率：实质就是当x ∆趋近于0时，曲线()y f x =在00[,]x x x +∆上的平均变化率与一个常数A 无限接近，常数A 就是曲线在此位置的切线的斜率。
我们对上面分析的两个方面进行抽象、归纳、延伸，即撇开这些量的实际意义，捉住它们在数量关系上的共性，就是瞬时变化率的概念。
3．必须注意的几个问题（1）正确理解曲线的切线的定义，即：过曲线()y f x =上的一点P 作曲线的割线PQ ，当Q 点沿着曲线无限趋近于P 点时，若割线PQ 趋近于某一确定的直线PT ，则这一确定的直线PT 称为曲线()y f x =在点P 处的切线。
平均变化率与瞬时变化率详解课件
定义与计算
瞬时变化率定义
瞬时变化率是指在某一时刻，函数值随自变量变化的快慢程度。通常用导数来 表示函数的瞬时变化率。
瞬时变化率的计算
对于函数$f(x)$，其瞬时变化率可以通过求导数$f'(x)$来计算。即，如果$f(x)$ 在$x=x_0$处的导数为$f'(x_0)$，则$f'(x_0)$即为在$x=x_0$处的瞬时变化率 。
，可以获得股票价格的预测结果，对于投资决策和风险管理具有重要意义。
机械故障预测
总结词
机械故障预测是基于机械设备运行过程中的数据，通 过分析变化率等信息，来预测设备可能出现的故障时 间和类型。
详细描述
机械故障预测是机械工程领域中的一个重要应用案例 。通过对机械设备运行过程中的数据进行分析，可以 提取出设备的运行特征和故障征兆，从而预测设备可 能出现的故障时间和类型。其中，变化率是一个重要 的指标，它可以反映设备的运行状态和磨损程度。通 过对变化率的计算和分析，可以获得机械故障预测结 果，对于提高设备运行效率和安全性具有重要意义。
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THANKS
拐点和极值
函数的拐点可能是导函数的零 点，但并非所有导函数的零点
都是函数的拐点。
导数的计算方法
定义法
根据导数的定义计算导 数。
求导公式
利用常见函数的导数公 式进行计算。
复合函数求导
复合函数的导数可以利 用链式法则和乘法法则
进行计算。
高阶导数
高阶导数的计算需要利 用低阶导数的计算方法
，并逐阶求导。
04
瞬时变化率的性质
瞬时变化率非负性
对于单调递增函数，其瞬时变化率大于等于0；对于单调递减函数，其瞬时变化 率小于等于0。
平均变化率与瞬时变化率
本题说明:△y与△t中仅比较一个量的变化是 不行的.
问题情境2
现有某市10年3月和4月某天日最高气温记载.
时间
3月18日 4月18日 4月20日
日最高气温
T (℃) 30
20
10 A (1, 3.5)
2
02
10
20
3.5℃ 18.6℃ 33.4℃
C (34, 33.4) 温差15.1℃ 温差14.8℃
kPQ
(1 x)2 1 (1 x) 1
2 x
当x无限趋近于0时, kPQ无限趋近于常数2 所以点P(1,1)处的切线斜率为2.
利 用 割 线 求 切 线，你学会了吗？
二、物理意义——瞬时速度
在物理学中，我们学过平均速度v s t
平均速度反映了在某一段时间内运 动的快慢程度,那么,如何刻画在某一时 刻运动的快慢程度呢?
生活中的数学欣赏
银杏树
雨后春笋
树高:15米 树龄:1000年
高:15厘米 时间:两天
问题情境1
想一想
(1)在经营某商品中，甲挣到10万元，乙挣 到2万元，如何比较和评价甲，乙两人的经 营成果？
(2)在经营某商品中，甲用5年时间挣到10万 元，乙用5个月时间挣到2万元，如何比较 和评价甲，乙两人的经营成果？
h(65) h(0) 10 49
v h 0 t
1) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态是否 准确?
2) 既然不能描述运动员的运动状态,那我们应该用 什么来描述呢?
3) 如何求运动员的瞬时速度?
如我们要计算2秒时的瞬时速度
先引入一个变量Δt，计算从2s到(2+△t)s这段 时间内平均速度
v h h(2 t) h(2) 13.1 4.9t
第1课 平均变化率与瞬时变化率(教师版)
第1课 平均变化率与瞬时变化率一、平均变化率 1.引例（1）气球膨胀率：我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?①气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是334)(r r V π=。
如果将半径r 表示为体积V 的函数，那么343)(πV V r =， ②当V 从0增加到1时,气球半径增加了33(1)(0)0.62()4r r dm π-=≈，气球的平均膨胀率为3(1)(0)30.62(/)104r r dm L π-=≈- ③当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是1212)()(V V V r V r --（2）高台跳水：在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系22618h t t =-++.用运动员在某些时间段内的平均速v 度粗略地描述其运动.思考计算：01t ≤≤的平均速度v在01t ≤≤这段时间里，(1)(0)4(/)10h h v m s -==-；2. 函数的平均变化率（1）定义：对于函数()y f x =，给定自变量的两个值1x 和2x ，当自变量x 从1x 变为2x 时，函数值从()1f x 变为()2f x ，把2121()()f x f x y x x x -∆=∆-称为函数()y f x =从1x 到2x 的平均变化率．习惯上用x ∆表示21x x -，即x ∆=21x x -，可把x ∆看作是相对于x 1的一个“增量”，可用1x x +∆代替x 2；类似地y ∆=()()21f x f x -．于是，平均变化率可表示为yx∆∆. （2）平均变化率的几何意义设(())A x f x 11，，(())B x f x 22，是曲线()y f x =上任意不同的两点，函数()y f x =的平均变化率hto211121()()()()f x f x f x x f x y x x x x-+∆-∆==∆-∆为割线AB 的斜率，如右图所示． 【例1】已知函1()f x x x=+，分别计算()f x 在自变量x 从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快． 【解析】自变量x 从1变到2时，函数()f x 的平均变化率为 f （2）－f （1）2－1＝2＋12－（1＋1）1＝12；自变量x 从3变到5时，函数()f x 的平均变化率为 f （5）－f （3）5－3＝5＋15－⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋132＝1415.因为12<1415，所以函数1()f x x x =+在自变量x 从3变到5时函数值变化得较快．归纳：计算平均变化率的步骤：①求自变量的增量21x x x ∆=-； ②求函数的增量()()21y f x f x ∆=-；③求平均变化率2121()()f x f x y x x x -∆=∆- 二、瞬时变化率 1. 瞬时速度:（1）引例：在上例“高台跳水”中，22618h t t =-++，计算运动员在03t ≤≤这段时间里的平均速度，并思考以下问题： ①运动员在这段时间内使静止的吗？②你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数22618h t t =-++的图像，结合图形可知，(3)(0)h h =， 所以(3)(0)0(/)30h h v m s -==-，虽然运动员在03t ≤≤这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． （2）定义：我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度 ③运动员在1t =的瞬时速度v 是多少？ 运动员在[1,1]t +∆的平均速度为22(1)(1)2(1)6(1)216122(/)h h t h t t v t m s t t t∆+∆--+∆++∆+⨯-⨯====-⋅∆+∆∆∆所以运动员在1t =的瞬时速度为00limlim(22)2(/)t t hv t m s t ∆→∆→∆==-⋅∆+=∆2. 瞬时变化率：一般地，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是0000()()limlimx x f x x f x yx x∆→∆→+∆-∆=∆∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='，即00000()()()lim limx x f x x f x yf x x x ∆→∆→+∆-∆'==∆∆ 【例2】如果某物体的运动路程s 与时间t 满足函数2)2(1(s t s =+的单位为m ，t 的单位为)s ，求此物体在1.2s 末的瞬间速度．【解析】224[()1]2()()21 1.2 1.2.82s t t t ∆∆-==+++∆+∆2，004.82limlim() 4.8t t t st ∆→∆→∆∆=∆+=，即 1.2| 4.8t s =='，故物体在1.2 s 末的瞬时速度为4.8 /m s . 【例3】已知函数()2f x x x =-+(1) 求函数()f x 在1x =-附近的平均变化率 (2) 求函数()f x 在1x =-的瞬时变化率 解：(1)(1)(1)y f x f ∆=-+∆--22(1)(1)[(1)(1)]x x =--+∆+-+∆---+-2()3x x =-∆+⋅∆所以，函数()f x 在1x =-附近的平均变化率为2()33y x xx x x∆-∆+⋅∆==-∆∆∆ （2）函数()f x 在1x =-的瞬时变化率为00(1)limlim(33)x x yf x x ∆→∆→∆'-=-∆==∆【例4】将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第xh 时，原油的温度（单位：C ）为2()715(08)f x x x x =-+≤≤，计算第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．解：在第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率就是'(2)f 和'(6)f 根据导数定义，0(2)()f x f x fx x+∆-∆=∆∆ 22(2)7(2)15(27215)3x x x x+∆-+∆+--⨯+==∆-∆所以00(2)limlim(3)3x x ff x x ∆→∆→∆'==∆-=-∆同理可得:(6)5f '=在第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率分别为3-和5，说明在2h 附近，原油温度大约以3/C h 的速率下降，在第6h 附近，原油温度大约以5/C h 的速率上升．第1课 平均变化率与瞬时变化率同步作业1．已知函数21y x =+，则在2x =，0.1x ∆=时，y ∆的值为( ) A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43 D ．0.44【答案】B【解析】2()(21)0.4120.1y +==+2Δ+1-2．一运动物体的运动路程()s t 与时间x 的函数关系为2()2s t t t =-+，则()s t 从2到2t +∆的平均速度为( )A ．t -2ΔB ．t --2ΔC ．t +2ΔD ．()t t -2Δ2Δ【答案】B【解析】因为s (2)＝－22＋2×2＝0，所以s (2＋Δt )＝－(2＋Δt )2＋2(2＋Δt )＝－2Δt－(Δt )2， 所以s （2＋Δt ）－s （2）2＋Δt －2＝－2－Δt .3．一个物体的运动方程为1s t t =-+2，其中s 的单位是：m t ，的单位是：s ，那么物体在t =3s 时的瞬时速度为( )A ．7 m/sB ．6 m/sC ．5 m/sD ．8 m/s 【答案】C【解析】：因为221(3)(3)(133)5t t t s t t∆=∆=∆∆-+∆++--++∆所以()005l i 5i /ml m()t t st t ∆→∆→=+=∆∆∆m s4.若函数f (x )＝－x 2＋10的图象上一点331,24⎛⎫⎪⎝⎭及邻近一点331,24x y ⎛⎫+∆+∆ ⎪⎝⎭，则y x ∆∆＝( )A ．3B ．－3C ．－3－()2x ∆ D ．－x ∆－3【答案】D【详解】()233322y f x f x x ⎛⎫⎛⎫∆=+∆-=-∆-∆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()233x x y x x x-∆-∆∆∴==--∆∆∆.故选：D. 5. 一直线运动的物体，从时间t 到t t ∆+时，物体的位移为s ∆，则tst ∆∆→∆0lim为( )A ．从时间t 到t t ∆+一段时间内物体的平均速度B ．在t 时刻时该物体的瞬时速度C ．当时间为t ∆时物体的速度D ．在时间t t ∆+时刻物体的瞬时速度 6．（多选）一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h (单位：m)与时间t (单位：s)之间的函数表达式为h (t )＝2t 2＋2t ，则下列说法正确的是( ) A ．前3 s 内球滚下的垂直距离的增量Δh ＝24 m ；B ．在时间[2，3]内球滚下的垂直距离的增量Δh ＝12 m ；C ．前3 s 内球的平均速度为6 m/s ；D ．在时间[2，3]内球的平均速度为12 m/s. 【答案】ABD【解析】前3 s 内，Δt ＝3 s ，Δh ＝h (3)－h (0)＝24(m)，此时平均速率为Δh Δt ＝243＝8(m/s)，故A 正确,C 不正确；在时间[2，3]内，Δt ＝3－2＝1(s)，Δh ＝h (3)－h (2)＝12(m)，故平均速度为ΔhΔt＝12(m/s)，所以BD 正确．综上，A ＢＤ都正确．7．2019年4月5日，某地上午9：20的气温为23.4 ℃，下午1：30的气温为15.9 ℃，则在这段时间内气温的平均变化率为__________℃/min. 【答案】－0.03【解析】从上午9：20到下午1：30，共250 min ，这段时间内气温的变化量为15.9－23.4＝－7.5(℃)(即气温下降7.5 ℃)，所以在这段时间内气温的平均变化率为－7.5250＝－0.03(℃/min)．8.一做直线运动的物体，其位移()s m 与时间()t s 的关系是23s t t =-，则该物体的初速度是________． 【答案】3 m/s【解析】2000(0)(0)00333lim lim lim() /t t t t t V s t tt ∆→∆→∆→+=∆-==-+⨯=∆+-∆23ΔΔΔm s 初，故物体的初速度为3 m/s.9.如图所示，函数y ＝f (x )在[x 1，x 2]，[x 2，x 3]，[x 3，x 4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是________． 【答案】[x 3，x 4]【解析】由平均变化率的定义可知，函数y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]，[x 2，x 3]，[x 3，x 4]上的平均变化率分别为：f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1，f （x 3）－f （x 2）x 3－x 2，f （x 4）－f （x 3）x 4－x 3，结合图象可以发现函数y ＝f (x )的平均变化率最大的一个区间是[x 3，x 4]．10.某河流在一段时间min x 内流过的水量为3m y ，已知y 是x 的函数，且()y f x ==x 从1变到8时，y 关于x 的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？【详解】当x 从1变到8时，y 关于x 的平均变化率为()()()381211m /min 8177f f --==-，它表示时间从1min 增加到8min 的过程中，每增加1min ，水流量平均增加31m 7． 11.求函数2()24y f x x x +==在3x =处的瞬时变化率．解：()()()y x x ⨯⨯22Δ23Δ43Δ2343＝＋＋＋－＋()()x x x x x 2212Δ2Δ4Δ2Δ16Δ＝＋＋＝＋， 所以Δy Δx ＝2（Δx ）2＋16Δx Δx＝2Δx ＋16.所以函数2()24y f x x x +==在3x =处的瞬时变化率为00limlim()16216x x yx x ∆→∆→∆+∆==∆12．已知()0)(f x kx b k =+≠在区间[－2，6]上的平均变化率为2，且函数图象过点(0)2，，试求该一次函数的表达式．【解析】因为函数()f x 的图象过点(0，2)，所以b ＝2，即f (x )＝kx ＋2. 因为Δy Δx ＝f （6）－f （－2）6－（－2）＝2，即（6k ＋2）－（－2k ＋2）8＝2，解得k ＝2，所以该一次函数的表达式为f (x )＝2x ＋2. 13.求函数()2x f x =与1()12g x x =-在区间[1,](0)a a a -<上的平均变化率，并比较它们的大小.【详解】()2x f x =在区间[1,](0)a a a -<上的平均变化率为11()(1)222(1)a a a f f a f a x a a --∆--==-=∆--； 1()12g x x =-在区间[1,](0)a a a -<上的平均变化率为： 111(1)1()(1)122(1)12a a g g a g a x a a ⎛⎫⎡⎤---- ⎪⎢⎥∆--⎝⎭⎣⎦===∆--. 0,11a a <∴-<-111222a --∴<=，()2x f x ∴=在区间[1,](0)a a a -<上的平均变化率比1()12g x x =-在区间[1,](0)a a a -<上的平均变化率小.。
导数——平均变化率与瞬时变化率
导数——平均变化率与瞬时变化率本讲教育信息】⼀. 教学内容：导数——平均变化率与瞬时变化率⼆. 本周教学⽬标：1、了解导数概念的⼴阔背景，体会导数的思想及其内涵．2、通过函数图象直观理解导数的⼏何意义．三. 本周知识要点：（⼀）平均变化率1、情境：观察某市某天的⽓温变化图2、⼀般地,函数f（x）在区间[x1，x2]上的平均变化率平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化”．（⼆）瞬时变化率——导数1、曲线的切线如图，设曲线c是函数的图象，点是曲线 c 上⼀点作割线PQ，当点Q 沿着曲线c⽆限地趋近于点P，割线PQ⽆限地趋近于某⼀极限位置PT我们就把极限位置上的直线PT，叫做曲线c在点P 处的切线割线PQ的斜率为，即当时，⽆限趋近于点P的斜率．2、瞬时速度与瞬时加速度1）瞬时速度定义：运动物体经过某⼀时刻（某⼀位置）的速度，叫做瞬时速度.2）确定物体在某⼀点A处的瞬时速度的⽅法：要确定物体在某⼀点A处的瞬时速度，从A点起取⼀⼩段位移AA1，求出物体在这段位移上的平均速度，这个平均速度可以近似地表⽰物体经过A点的瞬时速度.当位移⾜够⼩时，物体在这段时间内的运动可认为是匀速的，所得的平均速度就等于物体经过A点的瞬时速度．我们现在已经了解了⼀些关于瞬时速度的知识，现在已经知道物体做直线运动时，它的运动规律⽤函数表⽰为s＝s（t），也叫做物体的运动⽅程或位移公式，现在有两个时刻t0，t0+Δt，现在问从t0到t0+Δt这段时间内，物体的位移、平均速度各是：位移为Δs＝s（t0+Δt）－s（t0）（Δt称时间增量）平均速度根据对瞬时速度的直观描述，当位移⾜够⼩，现在位移由时间t来表⽰，也就是说时间⾜够短时，平均速度就等于瞬时速度.现在是从t0到t0+Δt，这段时间是Δt. 时间Δt⾜够短，就是Δt⽆限趋近于0．当Δt→0时，位移的平均变化率⽆限趋近于⼀个常数，那么称这个常数为物体在t＝ t0的瞬时速度同样，计算运动物体速度的平均变化率，当Δt→0时，平均速度⽆限趋近于⼀个常数，那么这个常数为在t＝ t0时的瞬时加速度．3、导数3、导数设函数在（a,b）上有定义，．若⽆限趋近于0时，⽐值⽆限趋近于⼀个常数A，则称f（x）在x＝处可导，并称该常数A为函数在处的导数，记作．⼏何意义是曲线上点（）处的切线的斜率．导函数（导数）：如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每⼀个，都对应着⼀个确定的导数，从⽽构成了⼀个新的函数，称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数，也可记作．【典型例题】例1、⽔经过虹吸管从容器甲中流向容器⼄，t s后容器甲中⽔的体积（单位：），计算第⼀个10s内V的平均变化率．解：在区间[0，10]上，体积V的平均变化率为即第⼀个10s内容器甲中⽔的体积的平均变化率为．例2、已知函数，，分别计算在区间[－3，－1]，[0，5]上函数及的平均变化率．解：函数在[－3，－1]上的平均变化率为在[－3,－1]上的平均变化率为函数在[0，5]上的平均变化率为在[0，5]上的平均变化率为例3、已知函数，分别计算函数在区间[1，3]，[1，2]，[1，1.1]，[1，1.001]上的平均变化率．解：函数在区间[1，3]上的平均变化率为函数在[1，2]上的平均变化率为函数在[1，1.1]上的平均变化率为函数在[1，1.001]上的平均变化率为例4、物体⾃由落体的运动⽅程s＝s（t）＝gt2，其中位移单位m，时间单位s，g＝9.8 m/s2. 求t＝3这⼀时段的速度.解：取⼀⼩段时间［3，3+Δt］，位置改变量Δs＝g（3+Δt）2－g·32＝（6+Δt）Δt，平均速度g（6+Δt）当Δt⽆限趋于0时，⽆限趋于3g＝29.4 m/s．例5、已知质点M按规律s＝2t2+3做直线运动（位移单位：cm，时间单位：s），（1）当t＝2，Δt＝0.01时，求.（1）当t＝2，Δt＝0.01时，求.（2）当t＝2，Δt＝0.001时，求.（3）求质点M在t＝2时的瞬时速度.分析：Δs即位移的改变量，Δt即时间的改变量，即平均速度，当Δt越⼩，求出的越接近某时刻的速度.解：∵＝4t+2Δt∴（1）当t＝2，Δt＝0.01时，＝4×2+2×0.01＝8.02 cm/s．（2）当t＝2，Δt＝0.001时，＝4×2+2×0.001＝8.002 cm/s．（3） Δt0，（4t+2Δt）＝4t＝4×2＝8 cm/s例6、曲线的⽅程为y＝x2+1，那么求此曲线在点P（1，2）处的切线的斜率，以及切线的⽅程．解：设Q（1+，2+），则割线PQ的斜率为：斜率为2∴切线的斜率为2．切线的⽅程为y－2＝2（x－1），即y＝2x．【模拟试题】1、若函数f（x）＝2x2+1，图象上P（1,3）及邻近点Q（1+Δx,3+Δy），则＝（）A. 4B. 4ΔxC. 4+2ΔxD. 2Δx2、⼀直线运动的物体，从时间到时，物体的位移为，那么时，为（）A. 从时间到时，物体的平均速度；B. 在时刻时该物体的瞬时速度；C. 当时间为时物体的速度；D. 从时间到时物体的平均速度3、已知曲线y＝2x2上⼀点A（1，2），求（1）点A处的切线的斜率.（2）点A处的切线⽅程.4、求曲线y＝x2+1在点P（－2，5）处的切线⽅程．5、求y＝2x2+4x在点x＝3处的导数．6、⼀球沿⼀斜⾯⾃由滚下，其运动⽅程是s＝s（t）＝t2（位移单位：m，时间单位：s），求⼩球在t＝5时的瞬时速度7、质点M按规律s＝2t2+3做直线运动（位移单位：cm，时间单位：s），求质点M在t＝2时的瞬时速度．【试题答案】1、B2、B3、解：（1）时，k＝∴点A处的切线的斜率为4.（2）点A处的切线⽅程是y－2＝4（x－1）即y＝4x－24、解：时，k＝∴切线⽅程是y－5＝－4（x+2），即y＝－4x－3.5、解：Δy＝2（3+Δx）2+4（3+Δx）－（2×32+4×3）＝2（Δx）2+16Δx，＝2Δx+16∴时，y′|x＝3＝166、解：时，瞬时速度v＝（10+Δt）＝10 m/s.∴瞬时速度v＝2t＝2×5＝10 m/s.7、解：时，瞬时速度v＝＝（8+2Δt）＝8cm/s。
瞬时变化率
（1） 物体在时间区间[2，2.1]上的
平均速度；
（2） 物体在t=2(s)时的瞬时速度.
O s(2)
__
解:
Δs 1 v = = 2g + g(Δt) Δt 2
s(2+t)
s
(1)将 Δ t=0.1 代入上式，得 : __
v = 2.05g = 20.5m / s.
s
解:
__
Δs 1 v = = 2g -13.149； 当△t=0.001时， v=-13.1049； 当△t=0.0001时，v =-13.10049； 当△t=0.00001时，v =-13.100049；
当△t=0.000001时，v =-13.1000049； …...
观察 当 t 趋近于0时，平均速 度 v 有什么样的变化？ 我们发现，当Δt 趋近于0时，即 无论t从小于2的一边，还是从大于2 的一边趋近于2时，平均速度都趋近 于一个确定的值-13.1 .
探究
函数y=f(x)在x=x0处的瞬 时变化率又怎么表示？
抽象概括
对于一般的函数y f
x ，在自变量
x从x0变化到x1的过程中，设x x1 x0 , y f ( x1 ) f ( x0 ), 则函数的平均变化率 f y f ( x1 ) f ( x0 ) 是 x x1 x0
h(t) = -4.9t +6.5t +10
2
知道了瞬时速度的概念， 那么在高台跳水运动中，如 何求（比如，t=2)运动员的 瞬时速度？
通过列表看出平均速度的变化趋势 ：
△t>0时，在[2,2+ △t]这段时间内
h 2 - h 2 + Δt 4.9Δt 2 +13.1Δt v= = -4.9Δt - 13.1 = 2 - 2 + Δt -Δt
1 函数的平均变化率、瞬时速度、导数的概念
求函数在某点处的导数
例2．求函数 f (x)=3x2+ax+b在x=1处的导数
一作差：
下结论
求物体运动的瞬时速度
例3．一个物体的运动方程为s=(2t+1)2，其中s的单位是米，t 的单位是秒，求该物体在1秒末的瞬时速度.
【归纳】求物体的瞬时速度的心得体会. 提示：Δt 趋近于0，是指时间间隔Δt
（3）从平均速度到瞬时速度 平均变化率的物理意义是把位移s看成时间t的函数s=s(t )，
在时间段[t1，t2]上的平均速度，即 v s(t2 ) s(t1) . t2 t1
lim y lim f x0 x f x0
x x0
x0
x
求函数的平均变化率
例1．已知函数f(x)=3x+1，计算f(x)在－3到－1之间和在1 到1+Δx之间的平均变化率．
越来越短，能越过任意小的时间间隔，但 始终不能为0．Δt，Δs在变化中都趋近于0，
s 但t 趋近于一个常数，这是极限思想，
即求函数 s(t)在某一点处的导数.
平均速度与瞬时速度的求解 【典例】一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s(t )＝ 3t－t2. （1）求此物体的初速度； （2）求此物体在t＝2时的瞬时速度； （3）求t＝0到t＝2时的平均速度．
C (34, 33.4)
30
B (32, 18.6) 20
10 A (1, 3.5)
2
02
10
20
30
34 t(d)
情景 2：在爬山过程中，我们都有这样的感觉：当 山坡平缓时，步履轻盈；当山坡陡峭时，气喘吁吁， 那么，我们如何反映山坡的平缓与陡峭程度呢？
1．函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率
高中数学第2章导数及其应用1平均变化率与瞬时变化率1-1平均变化率1-2瞬时变化率北师大版选择性必修
对点训练❷ 一辆汽车按规律s＝2t2＋3做直线运动，求这辆 汽车在t＝2时的瞬时速度．(时间单位：s，位移单位：m)
[解析] 设这辆汽车在 t＝2 附近的时间改变量为 Δt，则位移的改变 量 Δs＝[2(2＋Δt)2＋3]－(2×22＋3)＝8Δt＋2(Δt)2，则ΔΔst＝8＋2Δt.当 Δt 趋 于 0 时，平均变化率ΔΔst趋于 8.
第二章 导数及其应用
§1 平均变化率与瞬时变化率 1．1 平均变化率 1．2 瞬时变化率
素养目标•定方向 必备知识•探新知 关键能力•攻重难 课堂检测•固双基
素养目标•定方向
1．理解函数的平均变化率和瞬时变化率的概念． 2．会求物体运动的平均速度并估计瞬时速度． 3．会求函数在某点附近的平均变化率．
练一练： 1．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是( B )
A．1 C．2
[解析]
B．－1 D．－2 ΔΔxy＝f33－－f11＝1－2 3＝－1.
2．一质点的运动方程是s＝5－3t2，则在一段时间[1,1＋Δt]内相应的
平均速度为( D )
A．3Δt＋6
B．－3Δt＋6
C．3Δt－6
[规律方法] 求函数平均变化率的步骤 (1)求自变量的改变量 Δx＝x2－x1. (2)求函数值的改变量 Δy＝f(x2)－f(x1)． (3)求平均变化率ΔΔxy＝fxx22－ －fx1x1.
对点训练❶ 球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率
28π 为___3___.
[解析]
因为 Δy＝43π×23－43π×13＝283π，
28π 所以ΔΔyx＝2－3 1＝283π.
题型二
瞬时变化率(瞬时速度)的求法
典例 2 以初速度 v0(v0>0)竖直上抛的物体，t 秒时的高度 s 与 t 的 函数关系为 s＝v0t－12gt2，求物体在时刻 t0 处的t)－12g(t0＋Δt)2－v0t0－12gt20＝(v0－gt0)Δt－
2.1平均变化率与瞬时变化率（讲义+典型例题+小练）（解析版）
2.1平均变化率与瞬时变化率（讲义+典型例题+小练）一、平均变化率设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ∆，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆；比值xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ∆+0之间的平均变化率；例1：1．若函数()2f x x t =-，当1x m ≤≤时，平均变化率为2，则m 等于（ ）A ．5B ．2C ．3D ．1【答案】D 【解析】 【分析】直接利用平均变化率的公式求解. 【详解】 解：由题得.故选：D2．求函数y ＝x 3在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率.【答案】320x ＋3x 0·Δx ＋(Δx )2【解析】 【分析】利用函数的解析式求出区间两个端点的函数值；利用平均变化率公式求出即可. 【详解】当自变量从x 0到x 0＋Δx ，函数的平均变化率为00()()f x x f x x +∆-∆＝3300()x x x x +∆-∆ ＝23233000033()()x x x x x x x x +⋅∆+∆+∆-∆ ＝2300233()()x x x x x x⋅∆+∆+∆∆ ＝320x ＋3x 0·Δx ＋(Δx )2.举一反三：1．求函数223y x x =-+在区间23,212⎡⎤⎢⎥⎣⎦和252,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的平均变化率.【答案】在区间23,212⎡⎤⎢⎥⎣⎦和252,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的平均变化率分别为2312和2512.【解析】【分析】根据题意，由平均变化率的定义求出函数在两个区间上的平均变化率，即可得答案． 【详解】解：根据题意，函数2223(1)2y x x x =-+=-+，在区间23[12，2]的平均变化率为2223[(21)2][(1)2]23122312212y x -+--+==-， 在区间[2，25]12的平均变化率为2225[(1)2][(21)2]25122512212y x -+--+==-． 2．小球在光滑斜面上向下滚动，从开始滚动算起时间t 内所经过的距离为()2s t at =，求小球在时间段[]2,2h +内的平均速度. 【答案】4a ah + 【解析】 【分析】利用平均速度的定义直接可求. 【详解】因为小球在t 内所经过的距离为()2s t at =，所以在时间段[]2,2h +内的平均速度为()()()222222422s h s a h a a ah h h+-+⨯==++--.3．如图，直线l 为经过曲线上点P 和Q 的割线．(1)若(1,2)P ，(5,7)Q ，求l 的斜率；(2)当点Q 沿曲线向点P 靠近时，l 的斜率变大还是变小？ 【答案】(1)54(2)斜率变大 【解析】 【分析】（1）直接根据两点的斜率公式计算可得；（2）根据直线的倾斜角的变化及直线的斜率与倾斜角的关系判断即可； (1)解：因为(1,2)P ，(5,7)Q ，所以725514l k -==-； (2)解：当Q 沿曲线向点P 靠近时，直线的倾斜角α（锐角）在变大，又tan k α=，所以直线l 的斜率变大了；二．瞬时变化率设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ∆，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆；当x ∆、△y 都趋向0时。
02 瞬时变化率与平均变化率
1 02 瞬时变化率与平均变化率
一．平均变化率——割线的斜率
平均变化率，是y 的增量与x 的增量的比。
例题：函数f (x )＝－2x ＋10在区间[－3，－1]内的平均变化率为________．
【解析】Δy Δx ＝f (－1)－f (－3)(－1)－(－3)
＝－2. 二．瞬时变化率——切线的斜率
可以通过减小自变量的该变量，用平均变化率“逼近”瞬时变化率。
形象地理解为函数图像上某点处切线的斜率。
例题：一个物体的运动方程为s ＝1－t ＋t 2，其中s 的单位是m ，t 的单位是s ，那么物体在3 s 末的瞬时速度是________m/s.
【解析】
t t t
t t t t t t t t t t t t S ∆++-=∆∆+∆⋅+∆-=∆+--∆++∆+-=∆∆21)(2)1()()(1222 当t ∆趋于0时，即为：瞬时速度t 21+-.因此物体在3 s 末的瞬时速度是5321=⨯+-m/s
你能区分瞬时变化率与平均变化率了吗？。
刻画曲线在某一区间上的平均变化趋势1.平均变化率→瞬时变化率设变量
s OA1 OA0 s(t0 t) s(t0 )
在时间段t 内，物体的平均速度为
v s(t0 t) s(t0 ) s
t
t
要精确地描述非匀速直线运动，就要知道物
(4.9t 13.1) 13.1
方便记作
v(2) lim h(2 t) h(2)
t 0
t
lim (4.9t 13.1) 13.1 t 0
2. 平均速度→瞬时速度 (1) 平均速度
一辆汽车在10秒内行驶了150米,则其平均速度为
v
经过的路程 所有的时间
f (x) x2 7x 15 (0 x 8)
解：第2 h和第6 h时，原油温度的瞬时变化率
就是 f '(2)和f '(6)
由导数定义 y f (2 x) f (2)
x
x
(2 x)2 7(2 x) 15 (22 7 2 15) x
lim f (x0 x) f (x0 ) lim f
x0
x
x0 x
我们称它为函数 y = f (x)在点x=x0处的导数，
记为 f (x0 ) 或 y xxo
f
(x0 )
lim
x0
f x
lim
x0
f
( x0
x) x
f
(x0 )
说明：
V (t0 ) S(t0 ), k切 f (x0 )
例2 将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种 不同产品，需要对原油进行冷却和加热。如果 第 x h时，原油温度(单位℃)为
北师大版高中数学选择性必修2第1章1.均变化率与瞬时变化率课件
Δ 2 − 1
=
Δ
2 − 1
用它来刻画函数值在区间[1 ，2 ]上变化的快慢。
对一般的函数y f x来说，怎样表示其平均变化率，有怎样的几何意义
函数的平均变化率的几何意义是函数图象上过
1 ， 1 ， 2 ， 2 两点的直线的斜率(如
求函数 在点 = 0 处的瞬时变化率的步骤：
Δ
Δ
(1)求Δ = 0 + Δ − 0 ；(2)计算 ，并化简，直到当Δ = 0时有意义为止；
(3)将Δ = 0代入化简后的即得瞬时变化率．
函数y＝f(t)，当自变量t由t改变到t+Δt时，y的变化为(
A．f(t+Δt)
对一般的函数 = 来说，当自变量x从1 变为2 时，函数值从 1 变为 2 ，
它在区间[1 ，2 ]的平均变化率=
2 − 1
2 −1
。
通常我们把自变量的变化2 − 1 称作自变量x的改变量，记作Δ，函数值的变化
2 − 1 称作函数值y的改变量，记作Δ．这样，函数的平均变化率就可以表示为函
Δ＝ 1 − 0 ，则该函数的平均变化率为
Δ
Δ
=
1 − 0
1 −0
0 +Δ − 0
Δ
=
，
如果当Δ趋于0时，平均变化率趋于某个值，那么这个值就是 在点0 的瞬时变化
率．瞬时变化率刻画的是函数在某一点处变化的快慢．
平均变化率与瞬时变化率有什么关系？
( = 2 − 5)/
高度的改变量
平均速度
1
(ℎ = (22 − 52 )/
ℎ
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数学选修2-2知识导航 1.1.1平均变化率1.1.2瞬时变化率
1.1 导数的概念1.1.1 平均变化率1.1.2 瞬时变化率——导数知识梳理1.函数f(x)在区间［x 1,x 2］上的平均变化率为___________.2.设物体运动的路程与时间的关系是s=f(t),当Δt 趋近于0时,函数f(t)在t 0+Δt 之间的平均变化率tt f t t f ∆-∆+)()(00趋近于常数.我们把这个常数称为t 0时刻的____________. 3.函数y=f(x)在x 0处的导数f′(x 0)的几何意义,就是曲线y=f(x)在(x 0,f(x 0))处切线的斜率,即k=f ′(x 0)=_____________.知识导学要学好本节内容,最重要的是理解平均变化率和瞬时变化率的概念.本节的重点是导数的定义及其几何意义,难点是利用割线逼近的方法求曲线在某点处的导数,及两种变化率之间的关系.疑难突破1.正确理解平均变化率和瞬时变化率的关系.剖析:平均变化率和瞬时变化率都是反映事物变化程度的量,平均变化率表示的是曲线在某区间上的变化趋势;瞬时变化率表示的是曲线上某一点处的变化趋势.2.怎样理解导数的定义及几何意义?剖析:导数是函数在某一点处的瞬时变化率，导数的几何意义就是曲线y=f(x)在点P(x 0,f(x 0))处的切线的斜率.导数的概念就是变量变化速度在数学上的一种抽象,深刻理解导数的定义是本节的关键.典题精讲【例1】 已知f(x)=x 2,求曲线y=f(x)在x=3处的切线斜率.思路分析：为求得过点(3,9)处的切线斜率,我们从经过点(3,9)的任意一条直线(割线)入手.解：设P(3,9),Q(3+Δx,(3+Δx)2),则割线PQ 的斜率为k PQ =x x ∆-∆+9)3(2=6+Δx. 当Δx 无限趋近于0时,k PQ 无限趋近于常数6,从而曲线y=f(x)在点P(3,9)处的切线斜率为6. 绿色通道：利用割线逼近切线的方法,求曲线在某一点处的切线斜率的方法是一种比较直观的解题方法.变式训练：已知f(x)=2x 2,求曲线y=f(x)在x=1处的切线斜率.思路分析:为求得过点(1,2)处的切线斜率,我们从经过点(1,2)的任意一条直线(割线)入手. 解:设P(1,2),Q(1+Δx,2(1+Δx)2),则割线PQ 的斜率为k PQ =xx ∆-∆+2)1(22=4+2Δx. 当Δx 无限趋近于0时,k PQ 无限趋近于常数4,从而曲线y=f(x)在点P(1,2)处的切线斜率为4.【例2】 已知f(x)=x 2+3.(1)求f(x)在x=1处的导数;(2)求f(x)在x=a 处的导数.思路分析：函数在某一点处的导数实际上就是相应函数图象在该点切线的斜率,深刻理解概念是正确解题的关键.解:(1)因为xx x f x f x y ∆+-+∆+=∆-∆+=∆∆)31(3)1()1()1(22=2+Δx ， 当Δx 无限趋近于0时,2+Δx 无限趋近于2,所以f(x)在x=1处的导数等于2.(2)因为xa x a x a f x a f x y ∆+-+∆+=∆-∆+=∆∆)3(3)()()(22=2a+Δx ， 且当Δx 无限趋近于0时,2a+Δx 无限趋近于2a,所以f(x)在x=a 处的导数等于2a. 绿色通道：本题主要考查对导数概念的理解程度,及应用定义解题的熟炼程度.变式训练：已知f(x)=3x+5,求当x=2时的导数.思路分析：函数在某一点处的导数的几何意义就是函数图象在该点切线的斜率. 解:因为3)523(5)2(3)2()2(=∆+⨯-+∆+=∆-∆+=∆∆xx x f x f x y . 所以f(x)在x=2时的导数为3.【例3】 已知曲线y=3x 2-x,求曲线上一点A(1,2)处的切线的斜率及切线方程.思路分析：求曲线上某点的切线斜率就是求函数在那一点的导数值.解:因为x xx x x y ∆+=∆-⨯-∆+-∆+=∆∆35)113()1()1(322, 当Δx 趋近于0时,5+3Δx 就趋近于5,所以曲线y=3x 2-x 在点A(1,2)处的切线斜率是5. 切线方程为y-2=5(x-1),即5x-y-3=0.绿色通道：根据导数的定义将切线的斜率求出,再根据点斜式方程求出切线方程,这是用导数求某点处切线的一般方法.变式训练：已知曲线y=331x 上一点P(2,38),求点P 的切线斜率及点P 处的切线方程. 思路分析：先求出某点处的切线斜率,即求该函数在某点处的导数，然后利用导数定义求解.解:因为xx x y ∆⨯-∆+=∆∆33231)2(31 xx x x x x x x ∆∆+∆+∆=∆∆+∆⨯+∆⨯=323223124])()(2323[31=4+2Δx+231x ∆， 当Δx 趋近于0时,4+2Δx+2 31x ∆就趋近于4， 所以曲线y=331x 上点P(2,38)处的切线斜率为4，切线方程为)2(438-=-x y ，即03164=--y x 问题探究问题：某钢管厂生产钢管的利润函数为P(n)=-n 3+600n 2+67 500n-1 200 000,其中n 为工厂每月生产该钢管的根数,利润P(n)的单位是元.(1)求边际利润函数P′(n)=0时n 的值;(2)解释(1)中n 的实际意义.导思：这是一道有关边际函数的实际应用题,由于利润函数已给出，只需先求边际利润函数P′(n),再根据P′(n)=0解出n 的值即可.探究：(1)因为nn n n n n n n y ∆-∆++∆++∆+-=∆∆1200000)(67500)(600)(23 =(-3n 2+1 200n+67 500)+Δn.当Δn 无限趋近于0时,-3n 2+1 200n+67 500+Δn 无限趋近于-3n 2+1 200n+67 500.∴P′(n)=-3n 2+1 200n+67 500.由P′(n)=0,即-3n 2+1 200n+67 500=0.解得n=450或n=-50(舍).即当边际利润函数P′(n)=0时,n 的值为450.(2)P′(n)=0时,n 的值为450表示的实际意义是当工厂生产450根钢管时,利润增加量为零.。
平均变化率与瞬时变化率PPT课件
p
1
(3)得出结论：切线斜率为2 第8页/共26页
3
x
问题一般化：如何求曲线上一点的切线?
(1)概念:曲线的割线和切线y=f(x)
y
Q
割 线
T 切线
P o
结论:当Q点无限逼近P点时,此时 x 直线PQ就是P点处的切线.
第9页/共26页
(2)如何求割线的斜率? y=f(x)
y
Q
o
P
x
kPQ
f
(x x) f (x) (x x) x
20
30 34 t(d)
第2页/共26页
问题情境3
过山车是一项富有刺激性的娱乐工具。那 种风驰电掣、有惊无险的快感令不少人着 迷。
第3页/共26页
交流与讨论
容易看出点B,C之间的曲线较点
A,B之间的曲线更加“陡峭”.
如何量化陡峭程度呢？
●C
k yC yB xC xB
y
该比值近似量化B,C之间
这一段曲线的陡峭程度.
称该比值为曲线在B,C
之间这一段的平均变化
ห้องสมุดไป่ตู้
●B
率.
●A
o
x
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建构数学理论
1.平均变化率的定义：
一般地，函数 在区间
[ x , x ] f上(的x平)均变化率为
12
y f (x2 ) f (x1)
x
x2 x1
说明:(1)平均变化率的实质就是:两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))连
h（t） 10 4.9t2 6.5t
计算运动员在0 t 65 这段时间里的平均速度， 49
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计算运动员在0 t 65 这段时间里的平均速度， 49
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3.1 3
0.1
课后小结
1、平均变化率的计算：yx
f (x2 ) f (x1) x2 x1
2、平均变化率的几何意义：
曲线 y f (x)上两点 (x1, f (x1))、 (x2, f (x2)) 连线的斜率
回顾小结:
1 平均变化率的定义:
一般地,函数 f (x)在 [x1, x2] 区间上的平均变化率为:
f (x2 ) f (x1) x2 x1
y B(x2,f(x2))
A(x1,f(x1)) x2-x1
0
=△x
f(x2)-f(x1) =△y
x
f (x2 ) f (x1) y
x2 x1
x
2 平均变化率的几何意义：
曲线 y f (x)上两点 (x1, f (x1))、(x2, f (x2 )连) 线的斜率.
情景二：甲：用5年获利10万 乙：用5个月获利2万.
(2)求函数平均变化率的计算步骤。 (3)函数平均变化率的几何意义。
平均变化率
一般地,函数 f (x) 在 [x1, x2] 区间上
的平均变化率为: f (x2 ) f (x1)
x2 x1
数学 应用
某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示,试分
1.求服药30min内，30-40min，80-90min这3段 时间内，药物质量浓度的平均变化率，并回答：哪段时 间血液中药物的质量浓度变化最快？
2、如何刻画药物质量浓度变化的快慢？
例2 、已知函数f(x)=2x+1，g(x)= -2 x，分别计算函 数f(x)及g(x)在区间[-3,-1],[0,5]上的平均变化率。
为直线的斜率k．
（练习册37页变式探究）已知函数f (x) x2 2x 求 f (x从) a到b的平均变化率： （1）a=1，b=2； （2）a=3，b=3.1
(1) f (2) f (1) (22 2*2) (12 2*1) 5
21
1
(2) f (3.1) f (3) (3.12 2*3.1) (32 2*3) 8.1
普通高中课程标准实验教科书 数学（选修）1－1，3－1变化率与导数（北京师范大学出版社）
情景引入一
银杏树
雨后春笋
树高:15米 树龄:1000年 高:1.5米 时间:一年
问题：哪一株植物生长速度快？
情景引入二
在经营某商品中，甲用5年时 间挣到10万元，乙用5个月时间挣 到2万元，如何比较和评价甲，乙 两人的经营成果，你认为哪个人获 利速度最快？
别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重
的平均变化率，分析增重快慢 实际意义 婴儿出生后，体
重的增加是先快
W(kg) 11
后慢 解：婴儿从出 1 30
婴儿从第6个月到第12个月的平均变化率是：
3.5
03
6
12 T(月)
11 8.6 0.4 12 6
课后欣赏
青蛙扔进一锅热水 青蛙扔进一锅冷水水后慢慢加热
作业：p57 2 (1)(2)
当堂训练
（课本53页练习）某人服药物情况可以用血液中的药物 质量浓度c(单位:mg/mL)来表示，它是时间t(单位:min) 的函数，表示为c=c(t).下表给出了c(t)的一些函数值：
t 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
c(t) 0.84 0.89 0.94 0.98 1.00 1.00 0.97 0.90 0.79 0.63 0.41
自主学习
1.（用三分钟时间）自主学习课本 P51页的实例分析1，思考我们用什么 量来衡量物体运动快慢？
2. （用五分钟时间）自主学习课本 P51-52页的实例分析2，思考我们用什 么量来衡量体温的变化快慢？
合作探究
阅读课本P52页的抽象概括，并四个人一 组合作探究如下问题：
(1)情景一:银杏:树高15米,树龄:1000年 雨后春笋:高1.5米,生长1年;
解：函数f（x）在区间[-3，-1]上的平均变化率为
f (1) f (3) [2 (1) 1] [2 (3) 1]
(1) (3)
2
2
同理, 函数f（x）在区间[0，5]上的平均变化率为 2；
函数g（x）在区间[-3，-1]上的平均变化率为-2；
函数g（x）在区间[0，5]上的平均变化率为-2． ［结论］：一次函数y = kx + b在区间[p , q]上的平均变化率