第5讲 导数及其应用答案

第五讲导数及其应用A 组一、选择题 1．【答案】C【解析】设()()()R x e x f e x g xx∈-=,，则()()()()()[]1-'+=-'+='x f x f e e x f e x f e x g x x x x ，∵()()1f x f x >-'，∴()()01>-'+x f x f ，∴()x g '，∴()x g y =在定义域上单调递增，∵()1+>xxe xf e ，∴()1>xg ，又∵()()1000=-=e f e g ，∴()()0g x g >，∴0>x ，∴不等式的解集为()0,+∞故选：C. 2．【答案】D.【解析】'()4xf x e a =-，由题意得，()f x 的单调性为先递减后递增，故0a >，即()f x 在(,ln )4a-∞上单调递减，在(ln ,)4a+∞上单调递增， 又∵(1)20f e =>，(0)10f a =-<，∴只需42(1)20f a a e e-=-≥⇒≥，即实数a 的取值范围是2[,1)e，故选D.3．【答案】A【解析】因x e y 31/31=,故切线的斜率231e k =,切线方程)6(3122-=-x e e y ，令0=x 得2e y -=；令0y =得3x =，故围成的三角形的面积为2223||321e e S =-⨯⨯=，应选A 。

4.【答案】A【解析】()sin y f x x π==，()'sin cos f x x x π=+，()'f ππ=-，曲线sin y x x =在点(,0)P π处的切线方程是()2y x x ππππ=--=-+，故选A.二、填空题5．【答案】1 【解析】依题意()'x x f x ae e -=-关于原点对称，1a =时()'f x 为奇函数，符合题意。

6．【答案】10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】1'()ln ()1ln 2f x x ax x a x ax x=-+-=+-，由题意1ln 20x ax +-=在(0,)+∞上有两个根，设()1ln 2g x x ax =+-，若0a ≤，则()g x 在(0,)+∞为增函数，()0g x =最多只能有一解，不合题意，故0a >，当0x →或者x →+∞时，()g x →-∞，1'()2g x a x =-，当1(0,)2x a ∈时，'()0g x >，1(,)2x a∈+∞时，'()0g x <，因此1()()2g x g a =最大，由题意111()1ln 20222g a a a a =+-⨯>，所以102a <<．三、解答题7．【答案】（1）30y +=；（2）当0a <时，()f x 的增区间为()0,1，()f x 的减区间为()1,)+∞，当21=a 时， ()f x 的增区间为),0(+∞，当210<<a 时，()f x 的增区间为()0,1，),21(+∞a，()f x 的减区间为)1,21(a ，当21>a 时，()f x 的增区间为)21,0(a ，),1(+∞，()f x 的减区间为)1,21(a ；（3）当0a >时，零点的个数为1.【解析】（1）先求(1)0f '=，然后点斜式求解；（2）讨论四种情况0a <，21=a ，210<<a ，21>a 分别令0)(>'x f 得增区间，0)(<'x f 得减区间；（3）当0a >时，零点的个数为1.试题解析： （1）当2=a 时，x x x x f 52ln )(2-+=，541)(-+='x x x f ，0)1(,3)1(='-=f f ，所以切线方程为30y +=.（2）)(x f 的定义域：{}0>x x ，xx a x x x a ax a ax x x f )2)(1(1)12(2)12(21)(2--=++-=+-+='，令0)(='x f ，ax x 21,121==， 当0a <时，令0)(>'x f ，得01x <<，令0)(<'x f ，得1x >，)(x f 的增区间为()0,1，)(x f 的减区间为),1(+∞.当21=a 时，0)(≥'x f 恒成立，)(x f 在),0(+∞上单调递增， 当210<<a 时，0)(>'x f ，01x <<或a x 21>；0)(<'x f ，121<<x a，所以)(x f 的增区间为()0,1，),21(+∞a ，)(x f 的减区间为)1,21(a. 当21>a 时，0)(>'x f ，1x >或ax 210<<，0)(<'x f ，121<<x a ，所以)(x f 的增区间为)21,0(a ，),1(+∞，)(x f 的减区间为)1,21(a.（3）当0a >时，零点的个数为1.8．【答案】（Ⅰ）b e =；（Ⅱ）()2212,21e e e ⎛⎤- ⎥-∞ +⎥⎝⎦． 【解析】（Ⅰ）由()ln ab xf x x=，得()()21ln ab x f x x -'=， 由题意得()1f ab ae '==， ∵0a ≠，∴b e =；（Ⅱ）令()()()()()21ln 2h x x f x g x x a e x ae x =-=-++，则任意1,x e ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，()f x 与()g x 有且只有两个交点，等价于函数()h x 在1,e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭有且只有两个零点，由()()21ln 2h x x a e x ae x =-++，得()()()x a x e h x x --'=， ①当1a e ≤时，由()0h x '>得x e >，由()0h x '<得1x e e<<， 此时()h x 在1,e e⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在(),e +∞上单调递增， ∵()()2211ln 022h e e a e e ae e e =-++=-<， ()()()()()242221112ln 2220222h e e a e e ae e e e e a e e e e ⎛⎫=-++=---≥--> ⎪⎝⎭，（或当x →+∞时，()0h x >亦可），∴要使得()h x 在1,e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上有且只有两个零点，则只需()()22221221111ln 022e e e a a eh ae e e e e e --++⎛⎫=-+=≥ ⎪⎝⎭，即()221221e a e e -≤+， ②当1a e e <<时，由()0h x '>得1x a e<<或x e >，由()0h x '<得a x e <<，此时()h x在(),a e 上单调递减，在1,a e ⎛⎫ ⎪⎝⎭和(),e +∞上单调递增． 此时()222111ln ln 0222h a a ae ae a a ae ae e a =---<--+=-<， ∴此时()h x 在1,e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭至多只有一个零点，不合题意， ③当a e >时，由()0h x '>得1x e e<<或x a >，由()0h x '<得e x a <<，此时()h x 在1,e e ⎛⎫⎪⎝⎭和(),a +∞上单调递增，在(),e a 上单调递减，且()2102h e e =-<， ∴()h x 在1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭至多只有一个零点，不合题意，综上所述，a 的取值范围为()2212,21e e e ⎛⎤- ⎥-∞ +⎥⎝⎦． 9．【答案】（1）1；（2）[1,)+∞；（3）24(,)1ee +∞-.【解析】（1）由题意，0x >，'22111()+x g x x x x-=-=，所以01x <<时，'()0g x <；当1x >时，'()0g x >.所以()g x 在(0,1)上是减函数，在(1,)+∞上是增函数，故()(1)1g x g ==极小值.（2）因为()()2ln m f x g x mx x x-=--，所以2'22[()()]mx x m f x g x x -+-=，由于()()f x g x -在[1,)+∞内为单调递增函数， 所以220mx x m -+≥在[1,)+∞上恒成立，即221xm x ≥+在[1,)+∞上恒成立， 故max22()11xm x≥=+，所以m 的取值范围是[1,)+∞. （3）构造函数2()()()()2ln m eF x f x g x h x mx x x x=--=---，当0m ≤时，由[1,]x e ∈得0m mx x -≤，22ln 0ex x--<，所以在[1,]e 上不存在一个0x ，使得000()()()f x g x h x ->.当0m >时，2'2222222()m e mx x m eF x m x x x x -++=+-+=.因为[1,]x e ∈，所以220e x -≥，20mx m +>，所以'()0F x >在[1,)+∞上恒成立， 故()F x 在[1,]e 上单调递增，max ()()4mF x F e me e==--， 所以要在[1,]e 上存在一个0x ，使得()0F x >，必须且只需40mme e-->， 解得241e m e >-，故m 的取值范围是24(,)1ee +∞-.另外：（3）当1x =时，(1)(1)(1)f g h -<， 当(1,]x e ∈时，由()()()f x g x h x ->，得222ln 1e x xm x +>-. 令222ln ()1e x x G x x +=-，则22'22(22)ln (242)()0(1)x x x ex G x x --+--=<-， 所以()G x 在(1,]e 上递减，min 24()()1eG x G e e ==-. 综上，要在[1,]e 上存在一个0x ，使得000()()()f x g x h x ->，必须且只需241em e >-. 10．【答案】（1）11y x e ⎛⎫=-⎪⎝⎭；（2）(23,12,4e e⎛⎤⎤ ⎦⎥⎝⎦【解析】（1）1a =时，()()()1ln 0,1f x x x x f x x '=->=-，则()11f e e'=-， ∴函数()f x 在(),1e e -处的切线方程为()()111y e x e e ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭，即11y x e ⎛⎫=-⎪⎝⎭． （2）()())()1000ax xf x a x ⎧->⎪⎪'=>⎨<，列表如下：设函数()f x 存在“K 区间”是[],m n（i ）当0m n <≤时，由上表可知a na m==，n m =-=，1=，代入a n a m ==，得11a n a m ⎧=--⎪⎨=-⎪⎩，欲使此关于,m n 的方程组在0m n <≤时有解，需使y a =与()210y x x x =-+≥的图象有两个交点，21y x x =-+在10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭是减函数，在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭是增函数，且1023,14x x yy ====，所以此时满足()f x 存在“H 区间”的a 的取值范围是3,14⎛⎤ ⎥⎝⎦． （ii ）当0m n a <<≤时，由上表可知，ln ln a m m m a n n n -=⎧⎨-=⎩，即1ln 21ln 2ma mna n⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，设()()2ln 1ln ,22x xg x g x x x -'==，当()0,x e ∈时，()0g x '>，()g x 为增函数， 当(),x e ∈+∞时，()0g x '<，()g x 为减函数，欲使此关于,m n 的方程1ln 21ln 2ma mn a n⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩有两解，需使1y a =与ln 2x y x =在(]0,a 有两个交点，所以有()()1a eg a g e a >⎧⎪⎨≤<⎪⎩，解得22e a e <≤． 所以此时满足()f x 存在“H 区间”的a 的取值范围是(22,e e ⎤⎦． （iii ）当a m n <<时，由上表可知，ln ln a m m ma n n n-=⎧⎨-=⎩，两式相减得，()ln ln 0a m n -=，此式不可能成立，所以此时()f x 不存在“H 区间”． 综上所述，函数()f x 存在“H 区间”的a 的取值范围是(23,12,4e e⎛⎤⎤⎦⎥⎝⎦．B 组一、 选择题1．【答案】D【解析】因k a S S k a a S k a S +=+=+=+=+==4,2,132321211,即2,1,1321==+=a a k a ,故题设21,1)1(2-==+k k ,所以1221)(23+-+=x x x x f ,由于)1)(23(23)(2/+-=-+=x x x x x f ,因此当)1,(--∞∈x 时,)(,0)(/x f x f >单调递增；当)32,1(-∈x 时,)(,0)(/x f x f <单调递减,所以函数)(x f 在1-=x 处取极大值2512211)1(=+++-=-f ,应选D.2．【答案】A【解析】令()()()()()()()(),''1'1x x x x g x e f x x g x e f x f x e e f x f x ----=-=-+-=--，由()()x f x f x e '->得()'0g x >，所以()g x 在定义域上递增，()2x x f x xe e >+即是()()()20x g x e f x x g -=->=，可得0x >，使得()2x x f x xe e >+成立的x 的取值范围是()0,+∞，故选A 。