八年级数学将军饮马问题专题练习汇总(20200708010955)
难关必刷03轴对称之将军饮马模型(3种类型30题专练)(原卷版)-2024-2025学年八年级数学上
难关必刷03轴对称之将军饮马模型（3种类型30题专练）【模型梳理】如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？B军营河如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小？这个问题的难点在于PA+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段．【模型解析】作点A关于直线的对称点A’，连接PA’，则PA’=PA，所以PA+PB=PA’+PB当A’、P、B三点共线的时候，PA’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短）类型一：两定一动在OA 、OB 上分别取点M 、N ，使得△PMN 周长最小．此处M 、N 均为折点，分别作点P 关于OA （折点M 所在直线）、OB （折点N 所在直线）的对称点，化折线段PM +MN +NP 为P ’M +MN +NP ’’，当P ’、M 、N 、P ’’共线时，△PMN 周长最小．类型二：两定两动在OA 、OB 上分别取点M 、N 使得四边形PMNQ 的周长最小。
考虑PQ 是条定线段，故只需考虑PM +MN +NQ 最小值即可，类似，分别作点P 、Q 关于OA 、OB 对称，化折线段PM +MN +NQ 为P ’M +MN +NQ ’，当P ’、M 、N 、Q ’共线时，四边形PMNQ 的周长最小。
类型三：一定两动在OA 、OB 上分别取M 、N 使得PM +MN 最小。
此处M 点为折点，作点P 关于OA 对称的点P ’，将折线段PM +MN 转化为P ’M +MN ，即过点P ’作OB 垂线分别交OA 、OB 于点M 、N ，得PM +MN 最小值（点到直线的连线中，垂线段最短）BBBBBB【题型讲解】 类型一：两定一动 【例1】如图，在中，，是的两条中线，是上一个动点，则下列线段的长度等于最小值的是（ ）A ．B ．C ．D ．【变式】如图，点P 是∠AOB 内任意一点，∠AOB =30°，OP =8，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，则△PMN 周长的最小值为___________．类型二：两定两动【例2】如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =6．AB =12，AD 平分∠CAB ，点F 是AC 的中点，点E 是AD 上的动点，则CE +EF 的最小值为A ．3B ．4C ．D ．【变式】如图，在锐角三角形ABC中，BC =4，∠ABC =60°， BD 平分∠ABC ，交AC 于点D ，M 、N 分别是BD ，BC 上的动点，则CM +MN 的最小值是P OBAMN()E AFCDB()AB ．2C ．D ．4类型三：一定两动【例3】点P 是定点，在OA 、OB 上分别取M 、N ，使得PM+MN 最小。
初二数学将军饮马练习题
初二数学将军饮马练习题一、选择题1. 已知等差数列的前n项和为Sn，且该数列的公差为d，下列哪个等式成立？A. Sn = (n/2)(2a + (n-1)d)B. Sn = (n/2)(a + d)C. Sn = na + ndD. Sn = 2n + d2. 某数列前两项之和为7，公差为3，若该数列的前n项和恰好为200，则n的值为多少？A. 8B. 11C. 14D. 173. 菜市场里有一摊卖香蕉，第一天卖出1只，第二天卖出4只，第三天卖出7只，以此类推，第n天卖出的香蕉只数为an，则an等于下列哪个算式？A. an = 2n - 1B. an = 3nC. an = 3n - 2D. an = n^2 + 1二、填空题1. 若等差数列的首项为5，公差为2，第5项的值为______。
2. 若等差数列的前n项和为50，公差为3，求n的值，得到的n值为______。
三、解答题1. 某等差数列的首项为3，公差为4，请写出前10项的值。
2. 若等差数列的前n项和为Sn，首项为a，公差为d，试用公式表示Sn与n之间的关系。
3. 军事演习中，将军驾马自西向东行驶，每隔20分钟发射一枚导弹，导弹速度恒定为800米/分钟。
已知导弹发射后经过t分钟即可以抵达目标区域，请用公式表示导弹发射时间与导弹抵达目标的距离之间的关系。
四、应用题1. 某次数学测验中，小明的每题得分都比上一题多2分，小明一共做了10道题，最后一题得了40分，求小明的总分。
2. 甲乘积物品价格最初为300元，每年涨价5%。
乙乘积物品价格最初为500元，每年涨价3%。
若经过若干年之后，甲的产品价格与乙的产品价格相等，求相遇时经过的年数。
以上为初二数学将军饮马练习题的相关内容。
请认真审题、解答，如有问题请及时反馈。
初中数学几何《将军饮马》模型题汇编含答案解析
微专题将军饮马模型通关专练一、单选题1(2023·福建厦门·校考二模)如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别为BC、CD的中点，点P是对角线BD上的动点，则四边形PECF周长的最小值为()A.4B.4+22C.8D.4+42【答案】C【分析】作E关于BD的对称点E ，连接E F交BD于点O，根据轴对称性质及两点之间，线段最短，得到四边形PECF的周长最小，即OE+OF最小，再利用三角形三边关系解题即可．【详解】解：如图，作E关于BD的对称点E ，连接E F交BD于点O，故点P与点O重合时，四边形PECF的周长最小，即OE+OF最小，∵E和E 关于BD对称，则OE=OE ,EO+OF=E O+OF=4连接E P，同样E P=PE，EP+PF=E P+PF>E F而E F=E O+OF=4，即EP+PF>E F所以当P与O重合时，四边形PECF周长最小，即为4+2+2=8，故选：C．【点睛】本题考查正方形的性质、轴对称与最值问题等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．2(2023秋·八年级课时练习)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB与点D，∠A=30°，AE=6cm，那么CE等于()A.4cmB.2cmC.3cmD.1cm【答案】C【详解】∵ED⊥AB，∠A=30°，∴AE=2ED，∵AE=6cm，∴ED=3cm.∵∠ACB=90°，BE平分∠ABC，∴ED=CE，∴CE=3cm.故选C.3(2023·福建福州·八年级福州日升中学校考期中)如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，EF 垂直平分BC，点P为直线EF上的任一点，则AP+BP的最小值是()A.7B.6C.5D.4【答案】D【分析】根据题意知点B关于直线EF的对称点为点C，故当点P与点D重合时，AP+BP的最小值，求出AC长度即可．【详解】解：∵EF垂直平分BC，∴B、C关于EF对称，设AC交EF于D，∴当P和D重合时，AP+BP的值最小，最小值等于AC的长，AP+BP的最小值是4.故选：D．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，轴对称-最短路线问题的应用，解此题的关键是找出P的位置．4(2023秋·福建福州·八年级校考阶段练习)如图，等边△ABC中，BD⊥AC于D，QD=15，点P、Q 分别为AB、AD上的两个定点且BP=AQ=20，在BD上有一动点E使PE+QE最短，则PE+QE的最小值为()A.35B.40C.50D.60【答案】C【分析】作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小．最小值PE+PQ=PE+EQ′=PQ′．【详解】解：如上图，∵△ABC是等边三角形，∴BA=BC，∵BD⊥AC，∴AD=DC=AQ+QD=20+15=35cm，∴AB=AC=2AD=70，作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小．最小值为PE+ PQ=PE+EQ′=PQ′，∴QD=DQ′=15(cm)，∴AQ′=AD+DQ′=35+15=50(cm)∵BP=20(cm)，∴AP=AB-BP=70-20=50(cm)∴AP=AQ′=50(cm)，∵∠A=60°，∴△APQ′是等边三角形，∴PQ′=PA=50(cm)，∴PE+QE的最小值为50cm．故选：C．【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．5(2023春·福建龙岩·七年级龙岩初级中学校考阶段练习)如图，点P是直线l外一点，A，B，C，D都在直线上，下列线段最短的是()A.PAB.PCC.PBD.PD【答案】C【分析】根据点到直线的距离可直接进行排除选项．【详解】解：∵点P是直线l外一点，A，B，C，D都在直线上，∴PB<PC<PA<PD，∴线段最短的是PB；故选C．【点睛】本题主要考查点到直线的距离，熟练掌握点到直线的距离是解题的关键．6(2023秋·福建宁德·八年级统考期末)如图，在平面直角坐标系中，点A(-2，4)，B(4，2)，在x轴上取一点P，使点P到点A和点B的距离之和最小，则点P的坐标是()A.(-2，0)B.(0，0)C.(2，0)D.(4，0)【答案】C 【分析】作A 关于x 轴的对称点C ，连接AC 交x 轴于D ，连接BC 交交x 轴于P ，连接AP ，此时点P 到点A 和点B 的距离之和最小，求出C (的坐标，设直线CB 的解析式是y =kx +b ，把C 、B 的坐标代入求出解析式是y =x -2，把y =0代入求出x 即可．【详解】如图：作A 关于x 轴的对称点C ，连接AC 交x 轴于D ，连接BC 交交x 轴于P ，连接AP ，则此时AP +PB 最小，即此时点P 到点A 和点B 的距离之和最小，∵A (-2，4)，∴C (-2，-4)，设直线CB 的解析式是y =kx +b ，把C 、B 的坐标代入得：{2=4k +b -4=-2k +b，解得：k =1，b =-2，∴y =x -2，把y =0代入得：0=x -2，x =2，即P 的坐标是(2，0)，故选C ．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，一次函数的解析式，坐标与图形性质等知识点，关键是能画出P 的位置，题目比较典型，是一道比较好的题目．7(2023·福建·校联考零模)如图，等腰Rt △ABC 中，AB ⊥AC 于A ，AB =CA =DC =2，M 为△ABC 内一点，当MA +MB +MC 最短时，在直线BM 上有一点E ，连接CE ．12BE +CE 的最小值为()A.πB.263C.63D.6【答案】D 【分析】由M 为△ABC 内一点，当MA +MB +MC 最短时，得M 为△ABC 的费马点，以AC 为边向外作正三角形ACF ，据费马点的特征，直线BM 和直线BF 为同一条直线，由题意容易求得∠MBC =30°，以BF为边，B 为顶点向∠MBC 的外侧作∠FBG ，使∠FBG =30°，过E 作BG 的垂线，垂足为H ，显然12BE +CE =CE +EH ；再过点C 作BG 的垂线，垂足为H ，由垂线段最短，知12BE +CE =CE +EH ≥CH ；因为易得BC =22，又∠GBC =60°就容易求得CH 就是12BE +CE 的最小值．【详解】解：如下图以AC 为边向外作正三角形ACF ，以BF 为边，B 为顶点向∠MBC 的外侧作∠FBG ，使∠FBG =30°，过E 作BG 的垂线，垂足为H ，过点C 作BG 的垂线，垂足为H由∠FBG =30°，HE ⊥BG 知HE =12BE ∴12BE +CE =CE +EH ≥CH 下面计算CH∵AB =AC =2且AB ⊥AC∴BC =22；∵M 为△ABC 内一点，当MA +MB +MC 最短时∴M 为△ABC 的费马点由费马点的特点知BM 与BF 为同一条直线∵正三角形ACF∴∠CAF =60°又AB ⊥AC∴∠BAF =150°又AB =AC =AF∴∠ABF =15°又∠ABC =45°∴∠FBC =30°∴∠GBC =60°在RT △BCH 中CH =BC sin ∠GBC =BC sin60°=22⋅32=6∴12BE +CE 的最小值为6．故选：D ．【点睛】此题是几何最值问题--费马点和胡不归的综合．确定最短长度时，要据30°角所对直角边是斜边的一半把问题转化为“垂线段最短”来解决；计算最短值时要熟悉费马点的性质．8(2023秋·福建厦门·八年级统考期末)如图，在四边形ABCD 中，∠C =α°，∠B =∠D =90°，E ，F 分别是BC ，DC 上的点，当△AEF 的周长最小时，∠EAF 的度数为()A.αB.2αC.180-αD.180-2α【答案】D【分析】要使△AEF的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD 的对称点A ，A″，即可得出∠AA E+∠A″=α，即可得出答案．【详解】解：作A关于BC和CD的对称点A ，A″，连接A A″，交BC于E，交CD于F，∴AF=A″F，AE=A E，∴∠EA A=∠EAA ，∠FAD=∠A″，则A A″即为△AEF的周长最小值，∵∠C=α，∠ABC=∠ADC=90°∴∠DAB=180°-α，∴∠AA E+∠A″=180°-180°-α=α，∵∠EA A=∠EAA ，∠FAD=∠A″，∴∠EAA +∠A″AF=α，∴∠EAF=180°-α-α=180°-2α，故选：D．【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出E，F的位置是解题关键．9(2023秋·八年级单元测试)如图，点A，B在直线l的同侧，若要用尺规在直线l上确定一点P，使得AP+BP最短，则下列作图正确的是()A. B.C. D.【答案】C【详解】解：要得到满足题意的点，首先要作A点(或B点)关于直线l的对称点，然后将此对称点与B(A)点连接，所得连线与直线l的交点即为所求点，观察选项，只有C符合.故选：C．10(2023·福建·九年级专题练习)如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，BC=4，tan∠ABC=4，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为()A.6B.8C.10D.12【答案】C 【分析】连接AD ，根据等腰三角形三线合一的性质，得到AD ⊥BC ，利用正切的定义解得AD BD=4，再由垂直平分线的性质得到点C 关于直线EF 的对称点为点A ，根据轴对称-最短路线解题即可．【详解】解：连接AD ，∵△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，∴AD ⊥BC ，∵BC =4，∴BD =2，∴tan ∠ABC =AD BD =4，解得AD =8，∵EF 是线段AC 的垂直平分线，∴点C 关于直线EF 的对称点为点A ，∴AD 的长为CM +MD 的最小值，∴△CDM 的周长最短=(CM +MD )+CD =AD +12BC =8+12×4=10．故选：C ．【点睛】本题考查轴对称-最短路线问题、等腰三角形三线合一的性质、正切等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．二、填空题11(2023春·福建福州·九年级统考期中)在平面直角坐标系xOy 中，点B ，P ，Q 的坐标分别为5,0 ，a ,2 ，a +2,2 ，则△BPQ 周长的最小值为．【答案】25+2【分析】由题意，PB =(a -5)2+22，PQ =2，BQ =(a -3)2+22，推出当PB +BQ =(a -5)2+22+(a -3)2+22最小时，△BPQ 的周长最小，欲求PB +BQ 的最小值，相当于在x 轴上找一点E a ,0 ，使得点E 到F 5,2 ，G 3,2 的距离和最小．【详解】解：∵B 5,0 ，P a ,2 ，Q a +2,2 ，∴PB =(a -5)2+22，PQ =2，BQ =(a -3)2+22，∴当PB +BQ =(a -5)2+22+(a -3)2+22最小时，△BPQ 的周长最小，欲求PB +BQ 的最小值，相当于在x 轴上找一点E a ,0 ，使得点E 到F 5,2 ，G 3,2 的距离和最小，如图，作点G 关于x 轴的对称点L ，连接FL 交x 轴于点E ，此时EG +FE 的值最小，∵L 3,-2 ，EG +EF 的最小值=FL =22+42=25，∴△BPQ 的周长的最小值为25+2．故答案为：25+2．【点睛】本题考查轴对称最短问题，勾股定理，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．12(2023秋·福建南平·八年级统考期末)如图，∠AOB =22°，点M ，N 分别是边OA ，OB 上的定点，点P ，Q 分别是边OA ，OB 上的动点，记∠MQP =α，∠OPN =β，当MQ +QP +PN 最小时，则α与β的数量关系为．【答案】β-α=44°【分析】作M 关于OB 的对称点M ，N 关于OA 的对称点N ，连接M N 交OA 于P ，交OB 于Q ，则MQ +QP +PN 最小，易知∠OQM =∠OQM =∠NQP ，∠OPQ =∠APN =∠APN ，根据三角形的外角的性质和平角的定义即可得到结论．【详解】解：如图，作M 关于OB 的对称点M ，N 关于OA 的对称点N ，连接M N 交OA 于P ，交OB 于Q ，则MQ +QP +PN 最小，∴∠OQM =∠OQM =∠NQP ，∠OPQ =∠APN =∠APN ，∴∠PQN =12180°-α =∠AOB +∠MPQ =22°+12180°-β ，∴β-α=44°，故答案为：β-α=44°．【点睛】本题考查轴对称-最短问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．13(2023秋·福建莆田·八年级统考期中)如图，在锐角△ABC 中，∠ACB =50°，边AB 上有一定点P ,M ,N 分别是AC 和BC 边上的动点，当△PMN 的周长最小时，∠MPN 的度数是．【答案】80°【分析】根据对称的性质，易求得∠C +∠EPF =180°，由∠ACB =50°，易求得∠D +∠G =50°，继而求得答案；【详解】∵PD ⊥AC ，PG ⊥BC ，∴∠PEC =∠PFC =90°，∴∠C +∠EPF =180°，∵∠C =50°，∵∠D +∠G +∠EPF =180°，∴∠D +∠G =50°，由对称可知：∠G =∠GPN ，∠D =∠DPM ，L∴∠GPN +∠DPM =50°，∴∠MPN =130°-50°=80°，故答案为：80°．【点睛】此题考查了最短路径问题以及线段垂直平分线的性质，关键是注意掌握数形结合思想的应用．14(2023秋·福建厦门·八年级统考期末)如图，在△ABC 中，AB =BC ，AC =2cm ，S △ABC =3cm 2，边BC 的垂直平分线为l ，点D 是边AC 的中点，点P 是l 上的动点，则△PCD 的周长的最小值是．【答案】4【分析】连接BD ，由于AB =BC ，点D 是AC 边的中点，故BD ⊥AC ，再根据三角形的面积公式求出BD 的长，再根据直线l 是线段BC 的垂直平分线可知，点C 关于直线l 的对称点为点B ，故BD 的长为CP +PD 的最小值，由此即可得出结论．【详解】解：连接BD ，∵AB =BC ，点D 是BC 边的中点，∴BD ⊥AC ，∴S △ABC =12AC •BD =12×2×BD =3，解得BD =3，∵直线l 是线段BC 的垂直平分线，∴点C 关于直线l 的对称点为点B ，∴AB的长为CP+PD的最小值，AC=3+1=4．∴△CDP的周长最短=(CP+PD)+CD=BD+12故答案为：4．【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．15(2023秋·八年级课时练习)如图，在ΔABC中，AB=AC，点D，E都在边BC上，∠BAD=∠CAE，若BD=9，则CE的长为.【答案】9.【分析】根据等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质即可求解.【详解】因为△ABC是等腰三角形，所以有AB=AC,∠BAD=∠CAE,∠ABD=∠ACE,所以△ABD≅△ACE(ASA),所以BD=EC，EC=9.【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质.16(2023秋·福建三明·八年级统考期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点C在直线MN上，∠BCN=30°，点P为MN上一动点，连接AP，BP．当AP+BP的值最小时，∠CBP的度数为度．【答案】15【分析】如图，作B关于MN的对称点D，连接AD,BD,CD，AP+BP的值最小，则MN交AD于P，由轴对称易证∠CBP=∠CDP，结合∠BCN=30°证得△BCD是等边三角形，可得AC=CD，结合已知根据等腰三角形性质可求出∠CDP，即可解决问题．【详解】如图，作B关于MN的对称点D，连接AD,BD,CD，∵AP+BP的值最小，则MN交AD于P，由轴对称可知：CB=CD，PB=PD，∴∠CBD=∠CDB,∠PBD=∠PDB,∴∠CBP=∠CDP，∵∠BCN=30°，∴∠BCD=2∠BCN=60°，∴△BCD是等边三角形，∵AC=BC，∴AC=CD，∴∠CAD=∠CDA，∵∠ACB=90°，∠BCD=60°，∴∠CAD=∠CDA=12180°-∠ACB-∠BCD=15°，∴∠CBP=∠CDP=15°，故答案为：15．【点睛】本题考查等边三角形判定和性质、轴对称的性质、最短路径问题、等腰三角形的性质；熟练掌握相关性质的联系与运用，会利用最短路径解决最值问题是解答的关键．三、解答题17(2023秋·福建南平·八年级福建省南平第一中学校考期中)△ABC在平面直角坐标系中的位置如下图所示，点A(1,1)，点B(4,2)，点C(3,4)．(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点A1,B1,C1的坐标．(2)y轴上是否存在一点P，使得PA+PB的和最小．若存在，请你找出点P的位置．(保留作图痕迹)(3)求出△A1B1C1的面积．【答案】(1)画图见解析，A1-1,1，B1-4,2，C1-3,4(2)见解析(3)72【分析】(1)根据轴对称的性质即可在图中画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1，进而得点A1、B1、C1的坐标；(2)连接AB1或A1B，与y轴交点即为点P；(3)根据网格利用割补法计算即可．【详解】(1)解：如图，△A1B1C1即为所求；A1-1,1，B1-4,2，C1-3,4；(2)如图，点P 即为所求；(3)S △A 1B 1C 1=3×3-12×1×3-12×1×2-12×2×3=72．【点睛】本题考查了作图-轴对称变换，轴对称-最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．18(2023春·福建泉州·七年级福建省泉州第一中学校考期末)如图，在正方形网格上有一个△ABC (三个顶点均在格点上)．(1)作△ABC 关于直线HG 的轴对称图形△A 1B 1C 1(不写作法)；(2)画出△ABC 中BC 边上的高AD ；(3)在HG 上画出点P ，使PB +PC 最小．【答案】(1)作图见解析；(2)作图见解析；(3)作图见解析．【分析】(1)根据轴对称的性质作图即可；(2)根据三角形的高的概念过点A 作AD 垂直于线段CB 的延长线，垂足为D 即可；(3)连接CB 1，交HG 于点P ，点P 即为所求．【详解】(1)解：如图1，△A 1B 1C 1为所求作的三角形；(2)解：如图2，过点A作AD垂直于线段CB的延长线，垂足为D，则线段AD就是△ABC中BC边上的高；(3)解：如图3，根据两点之间，线段最短，连接CB1，交HG于点P，点P即为所求．【点睛】本题考查作轴对称图形，作高、以及最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．19(2023春·福建泉州·七年级福建省永春第一中学校考期末)(1)如图1，在△ABC中∠A=60º，BD、CE均为△ABC的角平分线且相交于点O.①填空：∠BOC=度；②求证：BC=BE+CD．(写出求证过程)(2)如图2，在△ABC中，AB=AC=m，BC=n，CE平分∠ACB．①若△ABC的面积为S，在线段CE上找一点M，在线段AC上找一点N，使得AM+MN的值最小，则AM+MN的最小值是．(直接写出答案)； ②若∠A=20°，则△BCE的周长等于．(直接写出答案)．【答案】(1)①120；②证明见解析；(2)①2sn(或m2-n24)；②m【详解】试题分析：(1)①根据三角形内角和定理得到∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB，则2∠BOC=360°-2∠OBC-2∠OCB，再根据角平分线的定义得∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，则2∠BOC=360°-∠ABC-∠ACB，易得∠BOC=90°+12∠A，由∠A=60º即可得∠BOC的值；②采用截长法在BC上截取BF=BE，连接OF，由边角边证得△EBO≌△FBO，再由角边角证得△DCO ≌△FCO，即可得证；(2)①当AM⊥BC时，AM+MN的值最小；②在CA上截取CD=CB,以E为圆心EC为半径画弧，与AC交于点F，通过构造全等三角形，利用等腰三角形的判定和性质即可求解.试题解析：(1)①在△OBC中，∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB，∴2∠BOC=360°-2∠OBC-2∠OCB，∵BD、CE均为△ABC的角平分线，∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，∴2∠BOC=360°-∠ABC-∠ACB，∴∠BOC=90°+12∠A，∵∠A=60º，∴∠BOC=90°+12×60º=120°；故答案为120°；②证明：由(1)①∠BOC=120°，∴∠BOE=∠COD=180°-120°=60°，在BC上截取BF=BE，连接OF，∵BD平分∠ABC，∴∠EBO=∠FBO，又∵BO=BO(公共边相等)∴△EBO≌△FBO(SAS)∴∠BOF=∠BOE=60°，∴∠COF=∠BOC-∠BOF=120°-60°=60°=∠COD，∵CE平分∠ACB，∴∠DCO=∠FCO，又∵CO=CO(公共边相等)∴△DCO ≌△FCO (ASA )∴CD =CF ，∴BC =BF +CF =BE +CD ；(2)①如图：当AM ⊥BC 时，与BC 交于点D ，过M 作MN ⊥AC 交AC 与点D ，∵CE 平分∠ACB ，∴DM =DN ，∴AD =AM +MD =AM +MN ,此时，AM +MN 的值最小，由S △ABC =12BC ·AD ，BC =n ，△ABC 的面积为S ，得AD =2s n，或∵AB =AC , AD ⊥BC , AB =AC =m ，BC =n ，∴BD =CD =n 2,在Rt △ACD 中，由勾股定理得AD =m 2-n 24；故答案为2s n(或m 2-n 24)；②如图：在CA 上截取CD =CB ,以E 为圆心EC 为半径画弧，与AC 交于点F ，∵AB =AC =m ，∠A =20°，∴∠B =∠C =80°,∵CE 平分∠ACB ,∴∠BCE =∠DCE =40°,∵CE =CE ,∴△BCE ≌△DCE ,∴∠CDE =∠B =80°,∠DEC =∠BEC =60°,BE =DE ,∴∠CDE =40°,∵EC =EF ,∴∠EFC =∠ECF =40°,∴∠DEF =∠CDE -∠DFE =40°,∴DE =DF ,∠AEF =∠DFE -∠A =40°-20°=20°,∴EF =AF ,∴BE =DF ,CE =AF ,∴△BCE 的周长=BC +CE +BE =CD +AF +DF =AC =m .点睛：此题考查了角平分线的定义和性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，最短路径问题等知识.解题的关键是添加正确的辅助线构造出全等三角形，对线段进行转化.20(2023秋·福建福州·八年级福建省福州第一中学校考期中)如图，△ABC 三个顶点的坐标分别为A 1,1 ，B 4,2 ，C 3,4 .(1)请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；(2)在x轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，请画出△PAB，并简要说明理由.【答案】(1)图见解析(2)图见解析【分析】(1)先根据轴对称性质找到A、B、C的对应点A1、B1、C1，再顺次连接即可画出图形；(2)作点B关于x轴对称的点B ，连接AB 交x轴于点P，连接AP，BP，即可得到结论；【详解】(1)解：如图，△A1B1C1即为所求；(2)解：作点B关于x轴对称的点B ，连接AB 交x轴于点P，连接AP，BP，则AP+BP=AP+B P=AB ，根据两点之间，线段最短，此时△PAB的周长最小，△PAB如图所示．【点睛】本题考查坐标与图形变换-轴对称、最短路径问题，能根据对称性质正确作出对称图形是解答的关键．21(2023春·福建三明·七年级统考期末)如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC(即三角形的顶点都在格点上)(1)在图中画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；(2)在直线l上找出点P，使得△PBC周长最小，在图中标出点P的位置；(3)已知点D在格点上，且△BCD和△BCA全等，请画出所有满足条件的△BCD(点D与点A不重合)．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】(1)找到△ABC关于直线l对称的点，再依次连接即可；(2)连接B1C，与直线l交于点P即可；(3)根据全等三角形的判定画图即可．【详解】(1)解：如图，△A1B1C1即为所求；(2)如图，点P即为所求；(3)如图，△BCD即为所求，共有3个．【点睛】此题主要考查了作图-轴对称变换，全等三角形的判定，最短路径，解题的关键是掌握相应的画图方法．22(2023秋·福建福州·八年级统考期中)如图，在平面直角坐标系中有一个△ABC．(1)写出△ABC各顶点的坐标；(2)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；(3)在y轴上作出点P，使得AP+BP的值最小．【答案】(1)A(-4，5)，B(-3，1)，C(-1，3)(2)见解析(3)见解析【分析】(1)按要求写出横纵坐标即可；(2)关于y轴对称的时候，x值变成相反数，其余不变；(3)连接B和A的对称点A1，该直线与y轴的交点就是AP+BP值的最小【详解】(1)A(-4，5)，B(-3，1)，C(-1，3)；(2)如图△A1B1C1就是所求的图形；(3)如图所作的点P即为所求．【点睛】本题考查图形的对称，平面直角坐标系，熟练掌握轴对称求最短距离的方法是解题的关键．23(2023春·福建泉州·七年级统考期末)如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，△ABC的三个顶点都在格点上．(1)在网格中画出△ABC向下平移4个单位得到的△A1B1C1；(2)在网格中画出△ABC关于直线m对称的△A2B2C2；(3)在直线m上画一点P，使得△ACP的周长最小．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】(1)根据平移的性质分别作出点A、B、C平移后的对应点A1、B1、C1，再顺次连接即可得△A1B1C1；(2)根据轴对称的性质分别作出点A、B、C关于直线m的对称点A2、B2、C2，再顺次连接即可得△A2B2C2；(3)连接A2C交直线m于点P即可．(1)解：如图，△A1B1C1即为所求.(2)解：如图，△A2B2C2即为所求.(3)解：如图，点P即为所求.由(2)作图可知，点A与点A2是关于直线m的对称点，∴PA=PA2，∴PC+PA=PC+PA2=A2C，∴PC+PA最小，∵△ACP的周长=AC+PC+PA，∴△ACP的周长最小．【点睛】本题考查平移作图，作轴对称图形，利用轴对称求最小值，熟练掌握平移性质、轴对称的性质是解题的关键．24(2023秋·福建福州·七年级福建省福州第十九中学校考期末)如图，已知点A，B，C，D是不在同一直线上的四个点，请按要求画出图形．(1)画直线AB和射线CB；(2)连接AC，过点C画直线AB的垂线，垂足为E；(3)在直线AB上找一点P，连接PC、PD，使PC+PD的和最短．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】(1)根据直线和射线的定义，即可求解；(2)根据垂线的定义，即可求解；(3)根据题意可得：PC+PD≥CD，从而得到当P、C、D三点共线时，PC+PD的和最短，即可求解．(1)解：直线AB和射线CB即为所求，如图所示；(2)如图，直线CE即为所求；(3)连接CD交AB于点P，如图所示，点P即为所求根据题意得：PC+PD≥CD，∴当P、C、D三点共线时，PC+PD的和最短．【点睛】本题主要考查了直线、射线、线段、垂线的定义，熟练掌握直线是两端都没有端点、可以向两端无限延伸、不可测量长度的线；射线是只有一个端点，它从一个端点向另一边无限延长不可测量长度的线；直线上两个点和它们之间的部分叫做线段；当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，即两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一直线的垂线，交点叫垂足是解题的关键．25(2023秋·福建南平·八年级统考期中)如图，在平面直角坐标中，△ABC各顶点都在小方格的顶点上．(1)画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1；写出△A1B1C1各顶点坐标A1；B1；C1(2)在y轴上找一点P，使PA+PB1最短，画出P点，并写出P点的坐标．(3)若网格中的最小正方形边长为1，则△A1B1C1的面积等于 .【答案】(1)见详解，A1(-2，-3)；B1(-3，-2)；C1(-1，-1)；(2)见详解，P(0，1)；(3)1.5．【分析】(1)直接利用轴对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案；(2)直接利用对称点求最短路线的性质得出答案;(3)根据格点求出三角形的面积.【详解】解：(1)如图所示：△A1B1C1为所求作的三角形；(2)如图，点P的坐标为：(0，1)．(3)S△ABC=2×2-12×1×2-12×1×2-12×1×1=1.5【点睛】【点睛】此题主要考查了轴对称变换，正确得出对应点位置是解题关键．。
关于将军饮马难题的练习10题
关于将军饮马难题的练习10题
1. 将军饮马难题是著名的逻辑难题之一，以下是10个练题帮助理解和解决这个难题。
2. 题目一：题目一：
- 将军饮马难题描述了将军通过一条连续的河流骑马前行的情景。
- 请阐述将军饮马难题的具体要求和条件。
3. 题目二：题目二：
- 给定一个车辆的行驶速度、将军饮马的速度以及将军饮马的间隔时间，请计算将军饮马时车辆与将军的距离。
4. 题目三：题目三：
- 假设将军饮马的路径有所改变，如何调整速度和时间间隔，才能保持将军和车辆的固定距离？
5. 题目四：题目四：
- 假设将军饮马时遇到突发情况，需要停下来处理，重新上路后可以追上车辆吗？
6. 题目五：题目五：
- 若车辆的速度变化，将军饮马的速度还能保持不变吗？请解释为什么？
7. 题目六：题目六：
- 假设将军饮马的速度变化，车辆的速度保持不变，将军和车辆之间的相对距离如何变化？
8. 题目七：题目七：
- 将军饮马难题中是否有其他影响将军和车辆距离的因素？请列举并解释。
9. 题目八：题目八：
- 假设将军饮马的速度快于车辆的速度，将军和车辆之间的相对距离会怎样变化？
10. 题目九：题目九：
- 将军饮马难题中的数学模型是什么？使用该模型可以解决哪些相关问题？
11. 题目十：题目十：
- 将军饮马难题中是否存在法律或道德层面的问题？请阐述你的观点和理由。
以上是关于将军饮马难题的练习10题，希望能帮助你更好地理解和解决这个难题。
2020年中考数学压轴题线段和差最值问题汇总--将军饮马问题及其11种变形汇总
2020年中考数学压轴题线段和差最值问题汇总---------将军饮马专题古老的数学问题“将军饮马”，“费马点”，“胡不归问题”，“阿氏圆”等都运用了化折为直的数学思想这类问题也是中考试题当中比较难的一类题目，常常出现在填空题压轴题或解答题压轴题中，那么如何破解这类压轴题呢？【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括：1.定起点的最短路径问题：即已知起始结点，求最短路径的问题．2．确定终点的最短路径问题：与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题．3.定起点终点的最短路径问题：即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径．4．全局最短路径问题：求图中所有的最短路径．【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”。
【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”．【出题背景】直线、角、三角形、菱形、矩形、正方形、圆、坐标轴、抛物线等．【解题思路】“化曲为直”题型一：两定一动，偷过敌营。
题型二：两定一动，将军饮马。
例1：如图， AM ⊥EF ，BN ⊥EF ，垂足为M 、N ，MN ＝12m ，AM ＝5m ，BN ＝4m ， P 是EF 上任意一点，则PA ＋PB 的最小值是______m ．分析：这是最基本的将军饮马问题，A ，B 是定点，P 是动点，属于两定一动将军饮马型，根据常见的“定点定线作对称”，可作点A 关于EF 的对称点A ’，根据两点之间，线段最短，连接A ’B ，此时A ’P ＋PB 即为A ’B ，最短．而要求A ’B ，则需要构造直角三角形，利用勾股定理解决． 解答：作点A 关于EF 的对称点A ’，过点A ’作A ’C ⊥BN 的延长线于C ．易知A ’M ＝AM ＝NC ＝5m ，BC ＝9m ，A ’C ＝MN ＝12m ，在Rt △A ’BC 中，A ’B ＝15m ，即PA ＋PB 的最小值是15m ．例2：如图，在等边△ABC 中，AB = 6，AD ⊥BC ，E 是AC 上的一点，M 是AD 上的一点，且AE = 2，求EM+EC 的最小值解：点C 关于直线AD 的对称点是点B ，连接BE ，交AD 于点M ，则ME+MD 最小， 过点B 作BH ⊥AC 于点H ，则EH = AH – AE = 3 – 2 = 1，BH = BC 2 - CH 2 = 62 - 32 = 3 3在直角△BHE 中，BE = BH 2 + HE 2 = (33)2 + 12 = 27DB CD CBP E D C B A E D C B AA （3对应练习题1．如图，在△ABC 中，AC=BC=2，∠ACB=90°，D 是BC 边的中点，E 是AB 边上一动点，则EC+ED 的最小值是 。
八年级上册数学最短路径问题(将军饮马)专项练习(含解析)
八年级上册数学最短路径问题（将军饮马）专项练习一、单选题1．已知点M(-4，2)，若点N是y轴上一动点，则M，N两点之间的距离最小值为（）A．-4B．2C．4D．-22．如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，EF是BC的垂直平分线，P是直线EF上的任意一点，则P A+PB的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．63．如图，正方体的棱长为2，B为一条棱的中点．已知蚂蚁沿正方体的表面从A点出发，到达B点，则它运动的最短路程为( )A．10B．4 C．17D．54．如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上．若AB＝6，BC＝9，则BF的长为（）A．4 B．2C．4.5 D．5m、(0,2)和(5,3)，则当ABC的周长5．如图，在ABC中，点A、B、C的坐标分别为(,0)最小时，m的值为（）A．0 B．1 C．2 D．36．如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠ACP的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．90°7．已知点A，B是两个居民区的位置，现在准备在墙l边上建立一个垃圾站点P，如图是4位设计师给出的规划图，其中PA＋PB距离最短的是（）A．B．C．D．8．如图，等腰ABC的底边BC长为4cm，面积为216cm，腰AC的垂直平分线EF交AC于点E，交AB于点F，D为BC的中点，M为直线EF上的动点．则CDM周长的最小值为（）A ．6cmB ．8cmC ．9cmD ．10cm9．如图，直线是一条河，A 、B 是两个新农村定居点．欲在l 上的某点处修建一个水泵站，直接向A 、B 两地供水．现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是（ ）A ．B ．C ．D ．10．如图，在ABC ∆中，10BC =，CD 是ACB ∠的平分线．若P ，Q 分别是CD 和AC 上的动点，且ABC ∆的面积为24，则PA PQ +的最小值是（ ）A ．125B ．4C ．245D ．511．在△ABC 中，AB=BC ，点D 在AC 上，BD=6cm ，E ，F 分别是AB ，BC 边上的动点，△DEF 周长的最小值为6 cm ，则ABC ∠=( )A ．20°B ．25°C ．30°D ．35°12．某平原有一条很直的小河和两个村庄，要在此小河边的某处修建一个水泵站向这两个村庄供水.某同学用直线（虚线）l 表示小河，,P Q 两点表示村庄，线段（实线）表示铺设的管道，画出了如下四个示意图，则所需管道最短的是（）.A ．B ．C ．D ．二、填空题13．如图，在ABC 中，15A ∠=︒，63AB =，点D ，E 分别在AB ，AC 上运动，连结BE 、ED ，则DE BE +的最小值为________．14．如图，在ABC 中，4AB =，6AC =，7BC =，EF 垂直平分BC ，点D 为直线EF 上的任意一点，则ABD △周长的最小值是__________．15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（0，6），点B 为x 轴上一动点，以AB 为边在直线AB 的右侧作等边三角形ABC ．若点P 为OA 的中点，连接PC ，则PC 的长的最小值为_____．16．已知∠AOB=45°，点P 在∠AOB 内部，点P 1与点P 关于OA 对称，点P 2与点P 关于OB 对称，连接P 1P 2交OA 、OB 于E 、F ，若P 1E=12，2，则EF 的长度是_____．17．如图，已知圆柱体底面圆的半径为2π，高为2，AB ，CD 分别是两底面的直径．若一只小虫从A 点出发，沿圆柱侧面爬行到C 点，则小虫爬行的最短路线的长度是________（结果保留根号）．18．如图，在平面直角坐标系中，已知()0,1A ，()4,2B ，PQ 是x 轴上的一条动线段，且1PQ =，当AP PQ QB ++取最小值时，点Q 坐标为______.三、解答题19．作图题：（不写作法，但必须保留作图痕迹）(1)如图，已知点M.N 和∠AOB ，求作一点P ，使P 到点M.N 的距离相等，且到∠AOB 的两边的距离相等．(2)要在河边修建一个水泵站，分别向张村.李庄送水（如图）． 修在河边l 什么地方，可使所用水管最短？试在图中确定水泵站的位置．20．如图，在平面直角坐标系中，ABC ∆的顶点均在格点上，请完成下列各题（用直尺画图）（1）画出ABC ∆关于y 轴对称的111A B C ∆，并直接写出111A B C ∆各顶点坐标． （2）在y 轴上画出点Q ，使QBC ∆的周长最小．21．如图，BA 、BC 是两条公路，在两条公路夹角内部的点P 处有一油库，若在两公路上分别建个加油站，并使运油的油罐车从油库出发先到一加油站，再到另一加油站，最后回到油库的路程最短，则加油站应如何选址？22．如图，在等边ABC 中，D 是直线BC 上一点，E 是边AC 上一动点，以DE 为边作等边DEF ，连接CF ．（提示：含30的直角三角形三边之比为32）+=；（1）如图1，若点D在边BC上，求证：CE CF CD（2）如图2，若点D在BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由；（3）图2中，若3==E从A运动到C停止，求出此过程中点F运动的路径长．ED AC23．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A、与y轴交于点B，且∠ABO＝45°，A（－6，0），直线BC与直线AB关于y轴对称.(1)求△ABC的面积；(2)如图2，D为OA延长线上一动点，以BD为直角边，D为直角顶点，作等腰直角△BDE，求证：AB⊥AE；(3)如图3，点E是y轴正半轴上一点，且∠OAE＝30°，AF平分∠OAE，点M是射线AF上一动点，点N是线段AO上一动点，判断是否存在这样的点M，N，使OM＋NM的值最小？若存在，请写出其最小值，并加以说明.参考答案1．C【详解】解：过直线外一点，到直线上的所有点的连线中，垂线段最短∴点N在y轴上的纵坐标为2，此时二者之间的距离最小值为0-（-4）=4 2．B【详解】解：如图：∵EF垂直平分BC，∴B、C关于EF对称，∴当AC交EF于P时，AP+BP的值最小，最小值等于AC的长为4，3．C【详解】解：如图，它运动的最短路程AB=()22+＝172+214．A【详解】解：∵点C′是AB边的中点，AB＝6，∴BC′＝3，由图形折叠特性知，C′F＝CF＝BC﹣BF＝9﹣BF，在Rt△C′BF中，BF2+BC′2＝C′F2，∴BF2+9＝（9﹣BF）2，解得，BF＝4，故选：A．5．C【详解】解：如图所示，做出B关于x轴对称点为B′，连接B′C，交x轴于点A'，此时△ABC周长最小过点C作CH⊥x轴，过点B'作B'H⊥y轴，交CH于H，∵B（0，2），∴B′（0，-2），∵C（5，3），∴CH= B′H=5，∴∠CB'H=45°，∴∠BB' A'=45°，∴∠OB'A'=∠OA'B'=45°，∴OB'=OA'=2，则此时A'坐标为（2，0）．m的值为2．6．A【详解】解：如图，连接BE，与AD交于点P，此时PE+PC最小，∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴PC=PB，∴PE+PC=PB+PE=BE，即BE就是PE+PC的最小值，∵△ABC是等边三角形，∴∠BCE=60°，∵BA=BC，AE=EC，∴BE⊥AC，∴∠BEC=90°，∴∠EBC=30°，∵PB=PC，∴∠PCB=∠PBC=30°，∴∠ACP =30°，7．D【详解】解：根据题意知，在墙l边上建立一个垃圾站点P，使PA＋PB距离最小，则作A或者B关于l的对称点，然后连接找到点P，则D选项符合要求．故选：D8．D【详解】解：连接AD，MA．∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC＝12BC•AD＝12×4×AD＝16，解得AD＝8 cm，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴MA＝MC，∴MC+DM＝MA+DM≥AD，∴AD的长为CM+MD的最小值，∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+12BC＝8+12×4＝10（cm）．9．D【详解】解：作点A 关于直线l 的对称点A '，然后连接A B '与直线l 交于一点，在这点修建水泵站， 根据轴对称的性质和连点之间线段最短的性质可以证明此事铺设的管道最短．10．C【详解】过点A 作AQ BC '⊥于点Q '，交CD 于点P ，过点P 作PQ AC ⊥，如图所示∵CD 平分ACB ∠，P 、Q 分别是CD 和AC 上的动点∴PQ PQ '=，Q 与Q '关于CD 对称∴此时，()AQ PA PQ '=+最小值∵10BC =，24ABC S ∆= ∴222424105ABC S AQ BC ∆⨯'=== ∴PA PQ +的最小值是245 11．C【详解】作点D 关于AB 的对称点G ，关于BC 的对称点H ，连接GH 交AB 于E ，交BC 于F ，连接BG 、BH ，此时△DEF 的周长最小，由轴对称得：BG=BD=BH=6cm ，∠GBA=∠DBA ，∠HBC=∠DBC ，∵△DEF 的周长=DE+DF+EF=GH=6cm ，∴△BGH 是等边三角形，∴∠GBH=60°， ∴∠ABC=12∠GBH=30°， 12．C【详解】根据题意，所需管道最短，应过点P 或点Q 作对称点，再连接另一点，与直线l 的交点即为水泵站M ，故选项A 、B 、D 均错误，选项C 正确，13．33 【详解】 解：作B 关于AC 的对称点B ′，过B ′作B ′D ⊥AB 交AC 于E ，连接AB ′，此时B ′E +ED =BE +ED 为最小值，此时∠B ′AB =2∠BAC =30°，B ′D =12AB ′=12AB =33， 即BE +ED 的最小值为33， 故答案为：33．14．10【详解】∵EF 垂直平分BC ，∴点B 与点C 关于EF 对称，如图，设AC 与EF 相交于点P ,∴当D 和P 重合时，AD BD +的值最小，最小值等于AC 的长，∵4AB =，6AC =，∴ABD △的周长的最小值是4610AB AC +=+=，故答案为：10．15．92【详解】解：如图，以AP 为边作等边三角形APE ，连接BE ，过点E 作EF ⊥AP 于F ，∵点A 的坐标为（0，6），∴OA ＝6，∵点P 为OA 的中点，∴AP ＝3，∵△AEP 是等边三角形，EF ⊥AP ，∴AF ＝PF ＝32，AE ＝AP ，∠EAP ＝∠BAC ＝60°， ∴∠BAE ＝∠CAP ，在△ABE 和△ACP 中，AE AP BAE CAP AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△ACP （SAS ），∴BE ＝PC ，∴当BE 有最小值时，PC 有最小值，即BE ⊥x 轴时，BE 有最小值，∴BE 的最小值为OF ＝OP ＋PF ＝3＋32＝92， ∴PC 的最小值为92， 16．56【详解】∵P ，P 1关于直线OA 对称，P 、P 2关于直线OB 对称，∴OP=OP 1=OP 2=2，∠AOP=∠AOP 1，∠BOP=∠BOP 2，∵∠AOB=45°， ∴∠P 1OP 2=2∠AOP+2∠BOP=2（∠AOP+∠BOP ）=90°， ∴△P 1OP 2是等腰直角三角形，∴P 1P 2=2212PO P O +=2， 设EF=x ，∵P 1E=12=PE ， ∴PF=P2F=32-x ， 由轴对称可得，∠OPE=∠OP 1E=45°，∠OPF=∠OP 2F=45°，∴∠EPF=90°， ∴PE 2+PF 2=EF 2，即（12）2+（32-x ）2=x 2， 解得x=56． 17．22【详解】将圆柱体的侧面沿AD 剪开并铺平，得长方形''AA D D ，取'D D 的中点C ，连接AC ，根据两点之间线段最短可得线段AC 就是小虫爬行的最短路线，如图：根据题意得212π2π2AB =⨯⨯=． 在Rt ABC ∆中，由勾股定理得22222228AC AB BC =+=+=，∴822AC18．()2,0【详解】解：如图把点4向右平移1个单位得到E （1，1），作点E 关于x 轴的对称点F （1，-1），连接BF ，BF与x轴的交点即为点Q，此时4P+PQ+QB的值最小.设最小BF的解析式为y=kx+b，则有142k bk b+=-⎧⎨+=⎩解得12kb=⎧⎨=-⎩∴直线BF的解析式为y=x-2，令y=0，得到x=2.∴Q（2.0）故答案为（2，0）.19．（1）见解析；（2）见解析.【分析】（1）根据题意可知只要作出∠AOB的角平分线、线段MN的垂直平分线，然后找到这两条线的交点即为所求；（2）作B点关于小河的对称点B′，连接B′A与小河的交点C，点C就是所求．【详解】解：（1）如图所示：作出∠AOB的角平分线、线段MN的垂直平分线，这两条线的交点即为所求P 点．（2）作点B关于河岸的对称点B′，连接B′A，交河岸于点C，CA+CB=AB′的长度之和最短，则修在河边l的点C处，可使所用水管最短．20．（1）作图见解析；()3,2A ；()4,3B -；()1,1C -；（2）作图见解析．【分析】（1）首先确定A 、B 、C 三点关于y 轴对称的对称点位置，然后再连接即可； （2）连接C 1B ，与y 轴的交点就是Q 点位置．【详解】解：（1）如图所示：A 1（3，2），B 1（4，-3），C 1（1，-1）；（2）如图所示：Q 即为所求．21．见解析【分析】利用关于直线对称点的性质得出 P 点关于AB 的对称点 P '，以及 P 点关于 CB 的对称点 P "，根据两点直接线段最短，连接 P ' P "即可得出．【详解】解：如图所示：C 、D 点即为所求．22．（1）见解析；（2）CE CF CD +=，理由见解析；（3）843- 【分析】（1）在CD 上截取CH CE =，易证CEH ∆是等边三角形，得出EH EC CH ==，证明()DEH FEC SAS ∆≅∆，得出DH CF =，即可得出结论；（2）过D 作//DG AB ，交AC 的延长线于点G ，由平行线的性质易证60GDC DGC ∠=∠=︒，得出GCD ∆为等边三角形，则DG CD CG ==，证明()EGD FCD SAS ∆≅∆，得出EG FC =，即可得出FC CD CE =+；（3）当点E 与A 重合时，CF 的值最小，最小值23AC ==，当CE CD =时，CF 的值最大，最大值224=+=，当点E 与C 重合时，CF 的值最小，最小值23=，点F 的运动路径从最小值23增大到4，再减小到23，由此可得结论．【详解】解：（1）证明：在CD 上截取CH CE =，如图1所示：ABC ∆是等边三角形，60ECH ∴∠=︒，CEH ∴∆是等边三角形，EH EC CH ∴==，60CEH ∠=︒，DEF ∆是等边三角形，DE FE ∴=，60DEF ∠=︒，60DEH HEF FEC HEF ∴∠+∠=∠+∠=︒，DEH FEC ∴∠=∠，在DEH ∆和FEC ∆中，DE FE DEH FEC EH EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DEH FEC SAS ∴∆≅∆，DH CF ∴=，CD CH DH CE CF ∴=+=+，CE CF CD ∴+=．（2）线段CE ，CF 与CD 之间的等量关系是FC CD CE =+．理由如下： ABC ∆是等边三角形，60A B ∴∠=∠=︒，过D 作//DG AB ，交AC 的延长线于点G ，如图2所示：//GD AB ，60GDC B ∴∠=∠=︒，60DGC A ∠=∠=︒，60GDC DGC ∴∠=∠=︒，GCD ∴∆为等边三角形，DG CD CG ∴==，60GDC ∠=︒，EDF ∆为等边三角形，ED DF ∴=，60EDF GDC ∠=∠=︒，EDG FDC ∴∠=∠，在EGD ∆和FCD ∆中，ED DF EDG FDC DG CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()EGD FCD SAS ∴∆≅∆，EG FC ∴=，FC EG CG CE CD CE ∴==+=+．（3）由（2）EGD FCD ∆≅∆，则∠FCD=∠DGC=60°=∠FCE ，∴CF 与BC 的夹角不变，即点F 的运动路径为线段，当点E 与A 重合时，CF 的值最小，最小值AC ==当CE CD =时，∵EF=DF ，∴CF 垂直平分ED ，∴∠CFE=30°， ∴∠CEF=90°，∵EF=ED=AC=∴CF=2=4，∴CF 的最大值为4，当点E 与C 重合时，CF 的值最小，最小值=，∴点F 的运动路径从最小值4，再减小到∴此过程中点F 运动的路径长2(48=-=-．23．（1）36；（2）证明见解析；（3）3，理由见解析.【分析】(1)根据直线与坐标轴的交点易得A,C 的坐标，从而得出AC=12，OB=6，根据三角形面积公式可求解；(2) 过E 作EF ⊥x 轴于点F ，延长EA 交y 轴于点H ，证△DEF ≌△BDO ，得出EF ＝OD ＝AF ，有EAF OAH OAB 45∠∠∠===︒，得出∠BAE ＝90°. (3)由已知条件可在线段OA 上任取一点N,再在AE 作关于OF 的对称点N ',当点N 运动时，´ON 最短为点O 到直线AE 的距离.再由OAE 30∠=︒，在直角三角形AO N '中,OM ON O N +=' 即可得解.【详解】解：（1）由已知条件得：AC=12，OB=6∴1126362ABC S =⨯⨯= （2）过E 作EF ⊥x 轴于点F ，延长EA 交y 轴于点H,∵△BDE 是等腰直角三角形，∴DE=DB, ∠BDE=90°, ∴EDF BDO 90∠∠+=︒∵BOD 90∠=︒∴BDO DBO 90∠∠+=︒∴EDF DBO ∠∠=∵EF x ⊥轴，∴DEF BDO ≅∴DF=BO=AO,EF=OD∴AF=EF∴EAF OAH OAB 45∠∠∠===︒∴∠BAE ＝90°（3）由已知条件可在线段OA 上任取一点N,再在AE 作关于OF 的对称点N ',当点N 运动时，´ON 最短为点O 到直线AE 的距离,即点O 到直线AE 的垂线段的长，∵OAE 30∠=︒，OA=6，∴OM+ON=3。
初二数学将军饮马练习题
初二数学将军饮马练习题1. 填空题(1) 已知数 axis 坐标轴上的点 A(3, 4)，则 A 点的横坐标是___，纵坐标是___。
(2) 设直线上 A 点坐标为 (-2, 5)，直线上 B 点坐标为 (3, 1)，则直线的斜率为 ___。
(3) 已知数直线的斜率为 2，经过点 (3, -1)，则直线的方程为 y = ___。
(4) 设直线 L 过 A(2, -3)、B(-1, 4)两点，则 L 的中点的坐标为(___,___)。
2. 选择题(1) 若直线上两点坐标分别为 A(-1, 3)、B(4, 5)，则直线的斜率为：A. 2B. 1/2C. 1D. -2(2) 若已知直线的斜率为 0.5，且直线过点 (2, 3)，则直线的方程为：A. y = 0.5x + 2B. y = 0.5x - 1C. y = 0.5x + 3D. y = -0.5x- 2(3) 航行 14 公里所需时间为 2 小时，航行了 70 公里所需时间为：A. 14 小时B. 4 小时C. 7 小时D. 100 小时3. 计算题(1) 求平面直角坐标系中两点 A(2, -1)、B(4, 3)之间的距离。
(2) 若点 P(-1, 2)在直线 y = 3x - 1 上，则 P 点到直线的距离为多少？(3) 直线 L 过点 A(2, 3)，斜率为 2。
求直线 L 的方程。
4. 应用题将军饮马是一种古代难题，题目如下：一位将军下令饮马，要求马匹从 A 地出发，沿着弯曲的小径前进，然后返回 A 地，使得马匹在行程中所经过的地点与出发前的次序完全相同。
如果马匹的速度是 a 米每秒，行程的时间是 t 秒，马匹在 t 秒内经过的距离为 S 米，请回答以下问题：(1) 在一段连续的时间内，马匹经过了多少个完整的周期？(2) t 秒内，马匹经过的完整的周期数为 k，求马匹的行程 S 和时间 t 之间的关系式。
(3) 若马匹在行程中共经过了 5 个完整的周期，并且行程距离为3000 米，求马匹速度 a 的值。
中考数学函数压轴题：将军饮马问题的应用----最短路径最小值问题专题训练.doc
最短路径最小值问题专题训练“将军饮马”这个问题早在古罗马时代就有了，传说古希腊亚历山大里亚城有一位久负盛 名的学者，名叫海伦。
有一天，有位罗马将军前來向他求教一个百思不得其解的问题：如 图，将军从A 地出发到河边饮马，然后再到B 地军营视察，显然有很多走法。
问走什么样 的路线最短呢？精通数理的海伦稍加思考，便作了完善的冋答。
这个问题后来被人们称作“将军饮马”问题广为流传。
河流事实上，不仅将军有这样的烦恼，运动着的车、船、飞机，包括人们每天走路都要 遇到这样的问题。
古今中外的任何旅行者总希望寻求最佳的旅行路线，尽量走近道，少走 冤枉路。
我们把这类求近道的问题统称“最短路线问题”。
另外，从某种意义上说，一笔 画问题也属于这类问题。
看来最短路线问题在生产、科研和日常牛•活中确实重要且应用广 泛。
这个问题在我们中考中也是常考的热点问题，因此，我们要掌握其分析解决的方法。
下面我就几个例题来具体分析解决。
【典例探究】将军饮马问题的应用(•梧州)如图,抛物线y=ax2+bx - 4 (aHO)与x轴交于A (4, 0)、B ( - 1, 0)两点，过点A的直线y二・x+4交抛物线于点C.(1)求此抛物线的解析式；(2)在直线AC上有一动点E,当点E在某个位置时，使ABDE的周长最小，求此时E点坐标；(3)当动点E在直线AC与抛物线围成的封闭线A-C-B-D-A上运动吋，是否存在使△ BDE 为直角三角形的情况，若存在，请直接写出符合要求的E点的坐标；若不存在，请说明理由.【分析】(1)利用待定系数法求出抛物线解析式；(2)先判断出周长最小时BE丄AC,即作点B关于直线AC的对称点F,连接DF,交AC于点E,联立方程组即可；(3)三角形BDE是直角三角形时，由于BD>BG,因此只有ZDBE二90°或ZBDE二90°,两种情况，利用直线垂直求出点E坐标.【解答】解：(1) •・•抛物线y=ax2+bx - 4 (aHO)与x轴交于A (4, 0)、B (- 1, 0)两点,16a+4b- 4=0a~ b- 4二0・・・严，[b二 _ 3・••抛物线解析式为尸/・3%・4,(2)如图1,由(1)得，抛物线解析式为y=x2 - 3x - 4①,・・・D (0,・4),•・•点C是直线y二・x+4②与抛物线的交点，・••联立①②解得，(舍)或(X=_ 2,[尸0 1尸6AC ( - 2, 6),VA (4, 0),・•.直线AC解析式为y= - x+4,•・•直线BF丄AC,且B ( - 1, 0),・・・直线BF解析式为y=x+l,设点F (m, m+1),AG (匹丄，时^),2 2•・•点G在直线AC上,-罗+4罟'111=4,・・・F (4, 5),VD (0, - 4),・•・直线DF解析式为y二2x・4,4・・•直线AC解析式为尸・x+4,・・・直线DF和直线AC的交点E (上殳—),13 13(3) TBD二VI?,由(2)有，点B到线段AC的距离为BG二丄BF二丄X5｛去宝2>BD,2 2 2A ZBED不可能是直角，VB (・ 1, 0), D (0,・4),・•・直线BD解析式为y=・4x+4,V ABDE为直角三角形，・••①ZBDE=90° ,・・・BE丄BD交AC于B,・・・直线BE解析式为y二丄x+丄，4 4•・•点E在直线AC： y二・x+4的图象上，・・・E (3, 1),② ZBDE=90° ,・・・BE丄BD交AC于D,・・・直线BE的解析式为y二丄x・4,4•・・点E在抛物线y=x2・3x・4上，・・・直线BE与抛物线的交点为（0, -4）和（丄色，-里），4 16・・.E （丄色,■里）,4 16即：满足条件的点E的坐标为E （3, 1）或（丄色，・里）.4 16【方法突破】对于这种涉及求线段和的最小值问题或是求在运动过程中三角形的周长的最小的问题通常都属于将军饮马问题.常见模型：在直线同一侧有两个点A,B,在直线上找一点使得所找点与已知A, B两点距离和最小，通常是过其中一个点作已知直线的对称点，然后连接另一点，与直线的交点即为所求的点。
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八年级数学将军饮马问题专题练习汇总
1.如图，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为_________。
2.如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为________。
3.如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AD=6，AB=7，BC=8。
点P是AB上一个动点,则PC+PD的最小值为_________。
4.如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，求EM+BM的最小值_____。
5.如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为______。
6.如图，正比例函数y=x的图象与反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象交于A 点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知△OAM的面积为1。
如果B为反比例函
数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上存在一点P，使PA+PB最小，则P点坐标为_______。
7.如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm
的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜
相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________cm．
拓展①：一定点、一动点到直线上一动点组成的线段距离和最短问题
如图，在锐角三角形ABC中，AB=6，∠BAC=60°。
∠BAC的角平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是
_________。
拓展②：一定点与两条直线上两动点组成的三角形周长和最短问题
如图，∠AOB=45°，角内有点P，PO=10，在角的两边上有两点
Q，R（均不同于O点），则△PQR的周长的最小值为
_________。
拓展③：一定点与两条直线上两动点组成的三角形周长和最短问题
在BC,CD上
如图,在四边形ABCD中,∠BAD=120°，
∠B=∠D=90°，
分别找一点M,N,使△AMN的周长最小,则此时∠AMN+∠
ANM=_______°
拓展④：三条直线上三个动点组成的线段距离和最短问题
如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°。
点P，Q，K分别
为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为
_______。
拓展⑤：利用平移性质构造模型，解决组成的四边形周长最短问题
1.在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x 轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点。
（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；
（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF周长最小时，求点E、F坐标。
2如图长方形ABCD中，AB=4,BC=8，点E为CD中点，点P\Q为BC边上两个动点，且PQ=2。
当BP=______时，四边形APQE周长最小。
混合训练
1.如图抛物线y=x2+2x﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上任意一点，若点D、E、F分别是BC、BP、PC的中点，连接DE，DF，则DE+DF的最小值为。
2.如图在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，），△AOB
3
3
的面积是。
过点A、O、B的抛物线的对称轴上是否存在点
C，使△AOC的周长最小？若存在，则点C的坐标为_______。
3.如图，∠AOB＝30°，OC＝5，OD＝12，点E，F分别是射线
OA，OB上的动点，求CF＋EF＋DE的最小值.
4.在平面坐标系中，已知A(1,-2)，B(4,0)，P(a,1),N(a+1,1),则当四边形PABN的周长最小时，过三点A,P,N的圆的圆心坐标是_______。