高等数学下 复旦大学出版 习题九

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习题九

1. 求函数u =xy 2+z 3-xyz 在点（1，1,2）处沿方向角为πππ

,,343

αβγ===的方向导数。 解：

(1,1,2)(1,1,2)

(1,1,2)cos cos cos u u u u

y l x z αβγ∂∂∂∂=++∂∂∂∂

22(1,1,2)(1,1,2)(1,1,2)πππ

cos

cos cos 5.(2)()(3)343

xy xz y yz z xy =++=--- 2. 求函数u =xyz 在点（5,1,2）处沿从点A （5,1,2）到B （9，4，14）的方向导数。

解：{4,3,12},13.AB AB ==

AB

的方向余弦为

4312cos ,cos ,cos 131313

αβγ=

== (5,1,2)

(5,1,2)

(5,1,2)(5,1,2)

(5,1,2)(5,1,2)

2105

u yz x u xz y u xy

z

∂==∂∂==∂∂==∂ 故

4312982105.13131313

u l ∂=⨯+⨯+⨯=∂ 3. 求函数222

21x y z a b ⎛⎫

=-+ ⎪⎝⎭

在点处沿曲线22221x y a b +=在这点的内法线方向的方向导数。

解：设x 轴正向到椭圆内法线方向l 的转角为φ，它是第三象限的角，因为

2222220,x y b x y y a b a y

''+==-

所以在点处切线斜率为

2.b y a a '

==-

195

法线斜率为cos a b

ϕ=.

于是tan sin ϕϕ== ∵

2222,,z z x y x a y b

∂∂=-=-∂∂

∴

2222z l

a b ⎛∂=-

-=

∂⎝ 4.研究下列函数的极值： (1)z =x 3+y 3－3(x 2+y 2); (2)z =e 2x (x +y 2+2y ); (3)z =(6x －x 2)(4y －y 2); (4)z =(x 2+y 2)2

2()

e x

y -+;

(5)z =xy (a －x －y ),a ≠0.

解：（1）解方程组2

2

360

360

x y z x x z y y ⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩ 得驻点为（0,0）,(0,2),(2,0),(2,2).

z xx =6x －6, z xy =0, z yy =6y －6

在点（0，0）处，A =－6，B =0，C =-6，B 2－AC =－36<0，且A <0,所以函数有极大值z (0,0)=0. 在点（0，2）处，A =－6，B =0，C =6，B 2－AC =36>0，所以(0,2)点不是极值点. 在点（2，0）处，A =6，B =0，C =－6，B 2－AC =36>0，所以(2,0)点不是极值点.

在点（2，2）处，A =6，B =0，C =6，B 2－AC =－36<0，且A >0,所以函数有极小值z (2,2)=-8.

(2)解方程组22

2e (2241)0

2e (1)0x x x

y

z x y y z y ⎧=+++=⎪⎨=+=⎪⎩ 得驻点为1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭

.

22224e (21)4e (1)2e x xx x xy x

yy z x y y z y z =+++=+=

在点1

,12⎛⎫- ⎪⎝⎭

处,A =2e,B =0,C =2e,B 2-AC =-4e 2<0,又A >0,所以函数有极小值e 1,122z ⎛⎫

=--

⎪⎝⎭

.

(3) 解方程组2

2

(62)(4)0

(6)(42)0x y

z x y y z x x y ⎧=--=⎪⎨=--=⎪⎩ 得驻点为（3,2）,(0,0),(0,4),(6,0),(6,4).

Z xx =－2(4y -y 2),

Z xy =4(3－x )(2－y )

196

Z yy =－2(6x －x 2)

在点（3，2）处，A =－8，B =0，C =－18，B 2－AC =－8×18<0,且A <0，所以函数有极大值z (3,2)=36.

在点（0，0）处，A =0，B =24，C =0，B 2－AC >0，所以(0,0)点不是极值点. 在点（0，4）处，A =0，B =-24，C =0，B 2－AC >0，所以(0,4)不是极值点. 在点（6，0）处，A =0，B =-24，C =0，B 2－AC >0，所以(6,0)不是极值点. 在点（6，4）处，A =0，B =24，C =0，B 2－AC >0，所以(6,4)不是极值点.

(4)解方程组2

2

22()22()22

2e

(1)02e

(1)0x y x y x x y y x y -+-+⎧--=⎪⎨--=⎪⎩

得驻点P 0(0,0),及P (x 0,y 0),其中x 02+y 02=1，

在点P 0处有z =0，而当（x ,y ）≠(0,0)时，恒有z >0， 故函数z 在点P 0处取得极小值z =0.

再讨论函数z =u e -u

由

d e (1)d u z u u -=-，令d 0d z u

=得u =1, 当u >1时，d 0d z u <；当u <1时，d 0d z u

>, 由此可知，在满足x 02+y 02=1的点（x 0,y 0）的邻域内，不论是x 2+y 2>1或x 2+y 2<1,均有

22

22()1()e e x y z x y -+-=+≤.

故函数z 在点（x 0,y 0）取得极大值z =e -

1

(5)解方程组(2)0

(2)0x y

z y a x y z x a y x =--=⎧⎨=--=⎪⎩

得驻点为 12(0,0),,33a a P P ⎛⎫

⎪⎝⎭

z xx =-2y , z xy =a -2x -2y , z yy =-2x .

故z 的黑塞矩阵为 222222y a x y H a x y x ---⎡

⎤

=⎢

⎥---⎣⎦ 于是 122033(),().023

3a

a a H P H P a a

a ⎡⎤--

⎢⎥⎡⎤

==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥--⎢⎥⎣⎦ 易知H （P 1）不定，故P 1不是z 的极值点，

H （P 2）当a <0时正定，故此时P 2是z 的极小值点，且3,2733a a a z ⎛⎫= ⎪⎝⎭,

H （P 2）当a >0时负定，故此时P 2是z 的极大值点，且3,27

33a a a z ⎛⎫= ⎪⎝⎭.