直线与圆的切线结论
圆与直线的切点与切线计算方法
圆与直线的切点与切线计算方法在几何学中，圆与直线的切点与切线是一个重要的概念。
切点是指直线与圆相交的点，而切线则是从切点出发与圆相切的直线。
本文将介绍如何计算圆与直线的切点以及相应的切线方程。
一、圆与直线的切点计算要计算圆与直线的切点，我们首先需要知道圆的方程和直线的方程。
圆的方程通常表示为(x-a)² + (y-b)² = r²，其中(a, b)表示圆心的坐标，r表示半径的长度。
直线的方程一般表示为y = mx + c，其中m为直线的斜率，c为常数。
下面我们来讲解两种情况下的切点计算方法。
1. 直线与圆相交（两个切点）当直线与圆相交时，即存在两个切点。
这种情况下，我们可以通过解方程组来求解切点的坐标。
首先，将直线方程代入圆的方程，得到一个关于x的二次方程。
然后，通过求解二次方程可以得到x的两个解。
将这两个解带入直线方程，即可求得对应的y坐标，得到两个切点的坐标。
2. 直线与圆相切（一个切点）当直线与圆相切时，即只存在一个切点。
这种情况下，我们可以通过判断直线到圆心的距离是否等于半径来确定切点的坐标。
首先，计算直线的斜率m。
然后，利用圆心坐标(a, b)和直线方程可以得到直线上过圆心的一条直线的方程。
接着，通过计算直线到圆心的距离（可以用点到直线的距离公式）和圆的半径的比较，确定是否存在切点。
如果直线到圆心的距离等于半径，那么切点即为圆心的坐标，否则不存在切点。
二、切线的计算方法切线是从切点出发与圆相切的直线。
切线的斜率可以通过切点处的圆的切线是圆上切点的切线垂直的来计算。
切线的斜率等于直线与圆的切点处切线的斜率的负倒数，即m = -1/m_t，其中m是直线的斜率，m_t是切点处切线的斜率。
知道切点的坐标和切线的斜率后，我们可以利用点斜式或一般式来表示切线的方程。
总结：圆与直线的切点计算方法可以通过解方程组或计算直线到圆心的距离来确定。
切线的斜率可以通过切点处切线的斜率的负倒数得到。
直线与圆相切的判定
直线与圆相切的判定《圆》一章是初中几何中的重要内容，在中考中占有突出地位。
而直线和圆的位置关系中，相切这一特殊位置关系最为重要。
要掌握“切线证明”的思路和方法，首先要搞清切线的判定方法有哪些？切线的判定方法有：① 直线ｌ与⊙O有且只有一个交点时，直线ｌ与⊙O相切。
② 圆心O到ｌ的距离d=r,则直线ｌ与⊙O相切。
③ 经过半径外端点并且垂直于半径的直线是圆的切线。
综合起来有两类：⑴已知垂直，证明半径或作垂线证半径。
⑵已知半径，证垂直或连半径垂直。
现在分别举例说明：第一类：已知垂直，只需证半径。
如果所给直线不知过不过圆上某点，其证明方法是“作垂直，证半径”。
第二类：已知半径，证垂直即可。
例3 如图，BC是⊙O的直径，A是弦BD延长线上一点，切线DE平分AC于E。
求证：AC是⊙O的切线；分析：OC已是半径，证明OC⊥AC即可知AC是⊙O的切线证明：边接OD、OE。
∵BO = OC，CE = AE，∴OE∥AB∴∠1 = ∠B，∠2 = ∠3。
∵OB=OD∴∠2 = ∠B，∠3 = ∠1。
∵DO = OC，OE = OE，∴△DOE≌△COE。
∴∠OCE = ∠ODE。
∵DE是⊙O的切线，∴∠ODE = 90 ，∠OCE = 90 。
∴AC是⊙O的切线。
（当所证切线过了圆上一点，其证明方法是“连半径，证垂直”。
）例4 如图AB是⊙O的直径，AE是平分∠BAF交⊙O于点E，过点E作直线CD⊥AF与AF延长线交于点D，且交AB延长线于点C。
求证：CD与⊙O相切于点E。
证明：连结OE∵OA = OE，AE平分∠BAF，∴∠1 = ∠2 = ∠3。
∴OE∥AD。
∵AD⊥CD，∴OE⊥CD。
∴CD与⊙O相切于点E。
（有时连半径还不行，要把半径变为直径才能解决问题。
）。
切线的判定和性质
切线的判定和性质
切线的性质与判定
1.主要性质
（1）切线和圆只有一个公共点；
（2）切线和圆心的距离等于圆的半径；
（3）切线垂直于经过切点的半径；
（4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点；
（5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心；
（6）从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
其中（1）是由切线的定义得到的，（2）是由直线和圆的位置关系定理得到的，（6）是由相似三角形推得的，也就是切割线定理。
2.判定
切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
圆的切线垂直于这个圆过切点的半径。
直线与圆的位置关系及切线的性质与判定(编)
直线与圆的位置关系及切线的性质与判定【知识点一】：直线与圆的位置关系（1）直线和圆的三种位置关系：①相离：一条直线和圆没有公共点．②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．（2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和⊙O相交⇔d＜r②直线l和⊙O相切⇔d＝r③直线l和⊙O相离⇔d＞r．【典例分析】1．如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是（）A．8≤AB≤10B．8＜AB≤10C．4≤AB≤5D．4＜AB≤52．如图，在平面直角坐标系中，x轴上一点A从点（﹣3，0）出发沿x轴向右平移，当以A为圆心，半径为1的圆与函数y＝x的图象相切时，点A的坐标变为（）A．（﹣2，0）B．（﹣，0）或（，0）C．（﹣，0）D．（﹣2，0）或（2，0）3．如图，∠ABC＝80°，O为射线BC上一点，以点O为圆心，OB长为半径作⊙O，要使射线BA与⊙O相切，应将射线BA绕点B按顺时针方向旋转（）A．40°或80°B．50°或100°C．50°或110°D．60°或120°第1题图第2题图第3题图4．如图，在平面直角坐标系中，已知⊙O的半径为2，动直线AB与x轴交于点P（x，0），直线AB与x轴正方向夹角为45°，若直线AB与⊙O有公共点，则x的取值范围是（）A．﹣2≤x≤2B．﹣2＜x＜2C．0≤x≤2D．﹣2≤x≤25．如图，已知⊙P的半径为2，圆心P在抛物线y＝x2﹣1上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为．6．如图，半圆的圆心与坐标原点重合，半圆的半径1，直线l的解析式为y＝x+t．若直线l与半圆只有一个交点，则t的取值范围是．第4题图第5题图第6题图7．如图Rt△ABC中，∠ABC＝90°，P是斜边AC上一个动点，以BP为直径作⊙O交BC于点D，与AC的另一个交点E，且＝，连接DE．（1）若＝140°，求∠C的度数．（2）求证AB＝AP．8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AC＝6，BC＝8，OA＝2，求线段DE的长．【知识点二】：切线的性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线的性质可总结如下：如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．（3）切线性质的运用运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题．【典例分析】1．如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E、F、G三点，且AB∥CD，BO＝3，CO＝4，则OF的长为（）A．B．C．D．52．AB为⊙O的直径，延长AB到点P，过点P作⊙O的切线，切点为C，连接AC，∠P＝40°，D为圆上一点，则∠D的度数为（）A．25°B．30°C．35°D．40°3．如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的半径为1，则BD的长为（）A．1B．2C．D．第1题图第2题图第3题图4．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，AD＝CD，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠E ＝50°，则∠ACD等于（）A．40°B．50°C．55°D．60°5．如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形AOBC的顶点C，与BC 相交于点D．若⊙P的半径为5，点A的坐标是（0，8）．则点D的坐标是（）A．（9，2）B．（9，3）C．（10，2）D．（10，3）6．如图，已知一次函数y＝﹣x+2的图象与坐标轴分别交于A、B两点，⊙O的半径为1，P是线段AB上的一个点，过点P作⊙O的切线PM，切点为M，则PM的最小值为（）A．2B．C．D．第4题图第5题图第6题图7．如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连接PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为．8．如图，▱ABCD的两边AB、BC分别切⊙O于点A、C，若∠B＝50°，则∠DAE＝．第7题图第8题图9．如图，以BC为直径的⊙O交△ABC的边AB于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E，且AC＝BC．（1）求证：DE⊥AC；（2）若BC＝4cm，AD＝3cm，求AE的长．10．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D．连接BC并延长，交AD 的延长线于点E．（1）求证：AE＝AB；（2）若AB＝20，BC＝16，求CD的长．11．如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，CD与⊙O相切于点C，过点A作AD⊥DC，连接AC，BC．（1）求证：AC是∠DAB的角平分线；（2）若AD＝2，AB＝3，求AC的长．12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E．（1）求证：∠A＝∠ADE；（2）若AD＝8，DE＝5，求BC的长．13．已知直线l与⊙O相切，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D．（1）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC＝30°，求∠BAC的大小；（2）如图②，当直线l与⊙O相交于点E，F时，若∠DAE＝18°，求∠BAF的大小．【知识点三】：切线的判定（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（2）在应用判定定理时注意：①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”．【典例分析】1．如图，AB为⊙O的直径，AC平分∠BAD交⊙O于点C，CD⊥AD，垂足为点D．求证：CD是⊙O的切线．2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BD是角平分线，以点D为圆心，DA为半径的⊙D与AC相交于点E （1）求证：BC是⊙D的切线；（2）若AB＝5，BC＝13，求CE的长．3．如图，四边形ABCD中，AB＝AD＝CD，以AB为直径的⊙O经过点C，连接AC、OD交于点E．（1）求证：OD∥BC；（2）若AC＝2BC，求证：DA与⊙O相切．4．已知：AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使AB＝AC，连接AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．（1）求证：DC＝BD；（2）求证：DE为⊙O的切线．5．如图，AB是⊙O的直径，点P在AB的延长线上，弦CD⊥AB，联结OD、PC，∠ODC＝∠P，求证：PC是⊙O的切线．6．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB的平分线CO交AB边于点O，以点O为圆心，OB为半径作⊙O．（1）请判断AC与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若BO＝1，∠BAC＝30°，求△AOC的面积．7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O经过点D．（1）求证：BC是⊙O切线；（2）若BD＝5，DC＝3，求AC的长．8．已知如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F 为BC的中点，连接EF．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，∠EAC＝60°，求AD的长．。
切线的三个性质
切线的三个性质
一、切线的性质与切线的判定
1.切线性质：
①圆的切线垂直于经过切点的半径。
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
2.切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
二、切线的判定定理与切线的性质定理的区别
切线的判定定理是在未知相切而要证明相切的情况下使用；切线的性质定理是在已知相切而要推得一些其他结论时使用，两者在使用时不要混淆。
三、常用辅助线
①判定切线时“连圆心和直线与圆的公点”或“过圆心作这条直线的垂线”；
②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”。
切线的性质
切线必须同时满足两条：①经过半径 外端；②垂直于这条半径．
如图，如果直线l是⊙O的切线，切点为A， 那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢？
∵ l是⊙O的切线，切点为A
O
l A
∴ l ⊥OA
切线的性质定理：圆的
切线垂直于过切点的半径。
数学语言：
O l A
∵ l是⊙O的切线，切点为A
∴ l ⊥OA
A P
C B
O
如图，已知：在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一 点，以O为圆心，OB为半径的圆交AB于点E，切AC 与点D。求证：DE∥OC
C 证明：连接ＢＤ． ∵∠ＡＢＣ＝９０°，ＯＢ为⊙Ｏ的半径 ∴ＣＢ是⊙Ｏ的切线 ∵ＡC是⊙Ｏ的切线，Ｄ是切点 ∴ＣＤ＝ＣＢ，∠１＝∠２ ∴ＯＣ⊥ＢＤ ∵ＢＥ是⊙Ｏ的直径 ∴∠ＢＤＥ＝９０°，即ＤＥ⊥ＢＤ ∴ＤＥ∥ＯＣ A E D O
勾股（逆）定理 切 线 判 定
∴C(-2,0), P(0,-4) 数据“放入”图中。猜想直线 又∵ D(0,1) OC=2, OP=4 ,OD=1, DP=5 PC 与⊙ D∴ 相切。怎么证？联 又∵在Rt△COD中, CD2=OC2+OD2=4+1=5 想证明切线的两种方法。点 在Rt△COP中, CP2=OC2+OP2=4+16=20 C 在圆上，即证：∠ DCP=90° 在△ CPD中, CD2+CP2=5+20=25, DP2=25 2 2 2 ∴ CD +CP =DP 利用勾股及逆定理可得。
即：△CDP为直角三角形,且∠DCP=90° ∴PC为⊙D的切线.
已知,如图,D(0,1),⊙D交y轴于A、B两点,交x轴负 半轴于C点,过C点的直线:y=－2x－4与y轴交于P. ⑵判断在直线PC上是否存在点E，使得S△EOC= 4S△CDO,若存在，求出点E的坐标；若不存在， 请说明理由.
切线的判定和性质应用
●
●
A
1
P
2
从圆外一点引圆的两条切线，它们 的切线长相等，这一点和圆心的连线 平分两条切线的夹角。
O
B
∵ PA、PB分别切 o于点A、B ∴ PA=PB, 1=2.
A
定义：与三角形各边都相切的圆
内心：三条角平分线的交点
c
F
b
E
性质：三角形的内心到三角形 各边的距离相等
B
r
O
D
a
C
三角形内切圆的半径、边长和三角形的 面积的关系。 正确区分三角形的内心和外心。
经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。
学 无 止 境
继 续 努 力
细 节 决 定 成 败 过 程 决 定 结 果
切线的判定和性质应用
直线与圆有唯一公共点 直线与圆相切
判 定
d=r
直线与圆相切
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
性质：
圆的切线垂直于经过切点的半径
平行、全等、分角和为90°等
●
已知切点时：作出过切点的半径，然后证明垂直。 如何证明垂直，方法并不唯一。 未知切点时：作出圆心到直线垂线，证明d=r. 注意性质和判定的综合应用。
外心
A已Βιβλιοθήκη ：点Ｏ是 ABC的外心 BOC ＝ 110则 A＝＿＿ ＿＿
O B C
已知：点Ｏ是 ABC的内心 BOC ＝ 110则 A＝＿＿ ＿＿
E
正 的内切 圆半径与 外切圆的 半径之 比是＿＿＿ 半径为 4cm的正六 边形的边 心距是＿＿ 面积是 ＿＿＿ F
Ｏ
G
经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
2S 三角形的内切圆的半径 r= L
切线的判定定理
切线的判定定理切线判定有两种方法，分属于几个类型。
切线的判定方法1：明确切点时，连接圆心和切点，再证垂直．题型一：已知角平分线，证切线的方法。
例：如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AC平分∠BAD，AD⊥DC，垂足为D，OE⊥AC，垂足为E．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）若OE=√3cm，AC=2√13cm，求DC的长（结果保留根号）．方法指导：∵AC平分∠BAD ∴∠BAC=∠DAC ∵OA=OC ∴∠BAC=∠OCA ∴∠DAC=∠OCA ∴OC∥AD∵AD⊥DC ∴OC⊥CD ∴DC是⊙O的切线题型二：利用圆的半径相等和互余定理，证切线。
例：如图在Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC、AB，分别交于点D、E，且∠CBD=∠A；（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若AD：AO=6：5，BC=2，求BD的长．方法指导：连接OD。
∵OA＝OD ∴∠A＝∠ADO ∵∠CBD=∠A ∴∠ADO＝∠CBD ∵∠C=90°∴∠CBD+∠CDB＝90°∴∠ADO+∠CBD＝90°∴BD与⊙O相切。
1．如图，PB为⊙O的切线，B为切点，过B作OP的垂线BA，垂足为C，交⊙O于点A，连接PA、AO，并延长AO交⊙O于点E，与PB的延长线交于点D．（1）求证：PA是⊙O 的切线；（2）若OC/AC=2/3，且OC=4，求PA的长和tanD的值．2．如图，AB为⊙O的直径，AD为弦，∠DBC=∠A．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）连接OC，如果OC恰好经过弦BD的中点E，且tanC=1/2，AD=3，求直径AB的长．题型三：已知垂径定理，证切线的方法。
例：已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB与CD交于E，CE=DE，过B作BF∥CD，交AC的延长线于点F，求证：BF是⊙O的切线．方法指导：∵AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，CE=DE∴AB⊥CD∵BF∥CD ∴AB⊥BF ∴BF是⊙O的切线．题型四：已知直角三角形斜边的中线，证切线的方法。
证明圆的切线的七种常用方法-圆的切线证明7种方法
证明圆的切线的七种常用方法证明一条直线是圆的切线的方法及辅助线的作法1、连半径、证垂直：当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称“连半径，证垂直”2、作垂直，证半径：当直线和圆的公共点没有明确时，可以过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称“作垂直，证半径”类型一、有公共点：连半径，证垂直方法1、勾股定理逆定理法证垂直1．如图，AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上一点，点C为圆⊙O上一点，PC＝8，PB ＝4，AB＝12，求证：PC是⊙O的切线．方法2、特殊角计算法证垂直2、如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP＝AC．（1）求∠P的度数；（2）求证：P A是⊙O的切线；（3）若PD＝5，求⊙O的直径．方法3、等角代换法证垂直3、如图，已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 为BC 的中点，以AC 为直径的⊙O 交AB 于点E 。
求证：DE 是⊙O 的切线；方法4、平行线性质法证垂直4、如图，已知平行四边形OABC 的三个顶点A 、B 、C 在以O 为圆心的半圆上，过点C 作CD ⊥AB ，分别交AB 、AO 的延长线于点D 、E ，AE 交半圆O 于点F ，连接CF ．且︒=∠30E ，点B 是的中点（1）判断直线DE 与半圆O 的位置关系，并说明理由；（2）求证CF=OC（2）若半圆O 的半径为6，求DC 的长．方法5 全等三角形法证垂直5、如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，且四边形AOCD 是平行四边形，过点D 作⊙O 的切线，交OC 的延长线于点F ，连接BF ，求证：BF 是⊙O 的切线。
A B O D CF类型二、无公共点：做垂直，证半径方法6 角平分线的性质法证半径6．如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，E 为AB 上的一点，DE ＝DC ，以D 为圆心，DB 长为半径作⊙D ，AB ＝5，EB ＝2．（1）求证：AC 是⊙D 的切线；（2）求线段AC 的长．方法7 全等三角形法证半径7．已知四边形ABCD 中，∠BAD ＝∠ABC ＝90°，CD BC AD =+，以AB 为直径的⊙O 。
直线与圆中的二级结论
直线与圆中的二级结论
在数学中，直线与圆的关系是一个经典的问题，其中包含了许多重要的二级结论。
以下是其中的一些：
直线与圆相切的性质：如果一条直线与圆只有一个公共点，那么这条直线被称为圆的切线。
切线与半径在切点处垂直，并且切线到圆心的距离等于半径。
切线的判定定理：如果一条直线在圆的外部分与圆相交于两点，那么这条直线不是圆的切线。
圆心到直线的距离公式：如果一条直线的一般式为Ax + By + C = 0，一个圆的圆心坐标为(h, k)，半径为r，那么圆心到直线的距离公式为d = |Ah + Bk + C| / √(A^2 + B^2)。
直线与圆相交的弦长公式：如果一条直线与圆相交于两点，那么这两点之间的线段被称为弦。
弦的长度可以通过圆心到直线的距离和圆的半径计算出来，公式为弦长 = 2 ×√(半径^2 - 圆心到直线的距离^2)。
圆与圆的位置关系：对于两个圆，它们可以有三种位置关系：相交、相切或相离。
这些位置关系可以通过比较两个圆的圆心距和它们的半径之和或半径之差来确定。
圆中的垂径定理：如果一条直径的两个端点为A和B，那么线段AB的中点M是圆的中心，且线段AB垂直于半径OM。
以上就是直线与圆中的一些二级结论。
这些结论都是经过严格的证明得出的，可以作为解题的重要依据。
在解决与直线和圆相关的问题时，合理运用这些结论可以大大简化解题过程。
直线与圆的关系3切线的性质
A E
B O
C
D
AB是⊙O的直径,AE平分∠BAC交⊙O于点 E,过点E作⊙O的切线交AC于点D,试判断 △AED的形状,并说明理由.
Δ
Δ
Δ ×
AB是⊙O的直径,CD切⊙O于C， AE⊥CD，BC延长后与AE的延长线交于F， AF=BF，求∠A的度数。
A O B C E F D
小测一下
如图，AB是⊙O的弦，过点A作 ⊙O的切线AC，如果∠BAC=55°， 则∠AOB的度数是( C ) A. 55° B. 90° A C. 110° D. 120° O C B
L
切线的性质定理: 圆的切线垂直于过切点的半径
.
O
L A
∵ l是⊙O的切线，切点为A ∴ l ⊥OA
如图, ⊙O切PB于 点 B,PB=4,PA=2,
3 则⊙O的半径多少
B
x x
x 2
？
2
x 4
2
2
O
A
P
如图，AB、AC分别切⊙O于B、C，若∠A=600 ，点P是圆上异于B、C的一动点，则∠BPC
A
D O
C
B
如图，AB是⊙O的直径，P为AB 延长线上的一点，PC切⊙O于点C， 若PB=2，AB=6，则PC= 4 。 C A O B P
D
如图，AB为⊙O的直径， C为⊙O上一点，AD和过 2 3 C点的切线互相垂直， A 垂足为D. 求证：AC平分∠DAB.
C
1 O B
如图，AB是⊙O的直径, ⊙O交BC于点D,过点D 作⊙O的切线DE交AC于点E,且DE⊥AC，由上 述条件，你能推出的正确结论有_________. ∠ADB=90° ∠B= ∠C AB=AC CD=DB ∠C= ∠EDA ∠EDA= ∠B ∠CAD= ∠BAD
圆的切线的二级结论及其证明
圆的切线的二级结论及其证明结论一：过圆x 2＋y 2＝r 2上一点(x 0，y 0)的切线方程：x 0⋅x ＋y 0⋅y ＝r 2 标准方法：由题意可知切线过(x 0，y 0)，只需要求得斜率k 即可方法一：由初中阶段圆的切线知识可知，切线与过切点的半径互相垂直而过切点的半(直)径的斜率为y 0x 0∴切线的斜率k ＝－x 0y 0∴切线方程为 y －y 0＝－x 0y 0(x －x 0) 即y 0y －y 02＝－x 0x ＋x 02点(x 0，y 0)在圆上∴x 02＋y 02＝r 2移项可得x 0⋅x ＋y 0⋅y ＝r 2方法二：圆心到直线的距离为r设直线为y －y 0＝k (x －x 0)，即kx －y －kx 0＋y 0＝0圆心到该直线的距离d ＝|－kx 0＋y 0|k 2＋1＝r (注意目标：解出k ) k 2x 02－2kx 0y 0＋y 02＝r 2(k 2＋1) (解出k 恐怕不太容易)整理可得： (x 02－r 2)k 2－2x 0y 0k ＋y 02－r 2＝0 (由k 的唯一性可知这货的∆＝0)∴k ＝x 0y 0x 02－r2 ∴切线方程为： y －y 0＝x 0y 0x 02－r2(x －x 0) 整理为： x 02y －r 2y ＋y 0r 2＝x 0y 0x (这怎么能是答案呢？但真的是)∵点(x 0，y 0)在圆上∴x 02＋y 02＝r 2∴x 02 ＝r 2－y 02代入上式：(r 2－y 02)y －r 2y ＋y 0r 2＝x 0y 0x整理即为结论方法三：使用代数方法，联立直线和圆，应该有唯一解，即一个交点，求出k 当k 不存在时，切点就是(±r ，0)，易得切线即为x ＝±r ，符合结论⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝r 2y －y 0＝k ()x －x 0 x 2＋(x －x 0)2k 2＋2y 0(x －x 0)k ＋y 02－r 2＝0(k 2＋1)x 2－2k 2x 0x ＋2ky 0x ＋k 2x 02－2kx 0y 0＋y 02－r 2＝0(k 2＋1)x 2－2(k 2x 0－ky 0)x ＋k 2x 02－2kx 0y 0＋y 02－r 2＝0(k 2＋1)x 2－2k (kx 0－y 0)x ＋(kx 0－y 0)2－r 2＝0∆＝[2k (kx 0－y 0)]2－4(k 2＋1)[(kx 0－y 0)2－r 2]＝4k 2(kx 0－y 0)2－4k 2(kx 0－y 0)2＋4k 2r 2－4(kx 0－y 0)2＋4r 2＝4k 2r 2－4(kx 0－y 0)2＋4r 2＝0∴k 2r 2－(kx 0－y 0)2＋r 2＝0 (观察可知，只有k 是未知的，其余x 0、y 0、r 均为常量)整理可得：(r 2－x 02)k 2＋2x 0y 0k ＋r 2－y 02＝0有k 的唯一性可知，上面关于k 的一元二次方程有唯一解k ＝k 1＝k 2＝x 0y 0x 02－r 2 ∴切线方程为：y －y 0＝x 0y 0x 02－r 2 (x －x 0) x 02y －x 02y 0－r 2y ＋y 0r 2＝x 0y 0x －x 02y 0x 02y －r 2y ＋y 0r 2＝x 0y 0x ①∵x 02＝r 2－y 02代入①式：(r 2－y 02)y －r 2y ＋y 0r 2＝x 0y 0xr 2y －y 02y －r 2y ＋y 0r 2＝x 0y 0x－y 02y ＋y 0r 2＝x 0y 0x－y 0y ＋r 2＝x 0x即：x 0⋅x ＋y 0⋅y ＝r 2方法四：对x 2＋y 2＝r 2两侧求导2x ＋2yy '＝0∴k ＝y '＝－x 0y 0，同方法一点评：由于圆具有最丰富的特性，因此其切线的求法方法也比较多，利用几何特性、代数表达都可以，以上三个方法，方法一、二必须掌握，但仅仅限于圆的问题，椭圆就不可以了；方法三是对椭圆、双曲线、抛物线切线的热身；计算让人头晕目眩，不过到了椭圆、双曲线时，不得不采用；方法四有点擦边球，大题不能采用，但最简单。
圆和直线的位置关系知识点
圆和直线的位置关系知识点圆和直线的位置关系是数学中非常重要的知识点，它们广泛应用于各种领域，如图形设计、建筑、物理和工程学等。
本文将探讨圆和直线之间的位置关系，包括相交、相切和不相交等情况。
一、圆和直线的相交从几何的角度来看，如果一条直线与圆相交，则该直线经过圆的两个点。
这两个点被称为圆与直线的交点。
如图1所示，直线AB与圆O相交于点C和点D。
图1 圆与直线相交我们可以得出如下结论：1. 如果直线的斜率等于圆心到直线的垂线的斜率，则圆与直线相切。
2. 如果直线的斜率大于或小于圆心到直线的垂线的斜率，则圆与直线相交。
二、圆和直线的相切当直线与圆只有一个公共点时，我们称圆和直线相切。
在图2中，直线和圆相切于点E。
图2 圆与直线相切这里我们介绍一个重要的结论：相切的直线是圆的切线。
圆的切线定义为与圆相切的直线。
如图3所示，圆O的切线为直线PO。
图3 圆的切线三、圆和直线不相交如果直线经过圆的中心，但不与圆相交，那么该直线被称为圆的直径。
圆的直径是圆的最长距离，它被定义为通过圆心且两端点在圆上的直线。
如图4所示，直线MN为圆O的直径。
图4 圆的直径另外，如果一条直线不经过圆的中心，并且距离圆心的距离等于圆的半径，则该直线被称为圆的割线。
如图5所示，直线EF是圆O的割线。
图5 圆的割线四、结论在本文中，我们介绍了圆和直线之间的三种位置关系：相交、相切和不相交。
我们还提到了相切的直线是圆的切线，圆的直径是圆的最长距离，圆的割线距离圆心的距离等于圆的半径。
这些知识点在数学中非常重要，对于理解圆形和直线在几何学、物理学和工程学中的应用有着重要的作用。
直线与圆切线长定理弦切角
直线与圆切线长定理弦切角直线与圆的位置关系一、直线与圆的位置关系1. 直线与圆的三种位置关系如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么（1）直线l和圆O相交d2. 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
要点：（1）经过半径外端；（2）垂直于这条半径。
3. 切线判定的三种方法（1）切线的定义：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线（2）圆心到直线的距离等于半径（3）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 4.切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径由于过已知点有且只有一条直线与已知直线垂直，所以经过圆心垂直于切线的直线一定过切点；反过来，过切点垂直于切线的直线一定经过圆心，因此可以得到两个推论：推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系，总结出如下结论：如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个，就可推出第三个（1）垂直于切线（2）过切点（3）过圆心5. 关于切线的性质主要有五个①切线和圆只有一个公共点②切线和圆心的距离等于圆的半径③切线垂直于过切点的半径④经过圆心垂直于切线的直线必过切点⑤经过切点垂直于切线的直线必过圆心 6.辅助线规律（1）直线与圆有公共点时，辅助线的作法是“连结圆心和公共点”，再证直线与半径垂直（2）当直线与圆并没明确有公共点时，辅助线的作法是“过圆心向直线作垂线”，再证圆心到直线的距离等于半径例题讲解例1：已知Rt△ABC的斜边AB＝6 cm，直角边AC＝3 cm.（1）若以C为圆心，2 cm长为半径的圆和AB的位置关系是_________；（2）若以C为圆心，4 cm长为半径的圆和AB的位置关系是_________；（3）若以C为圆心的圆和AB相切，则半径长为_________；（4）若以C为圆心的圆与边AB有一个交点，则圆的半径r的取值范围____________；（5）若以C为圆心的圆与边AB没有交点，则圆的半径r的取值范围______________. 变式练习：1. 已知∠AOB＝30°，M为OA边上一点，以M为圆心、2 cm为半径作⊙M.若点M在OA边上运动，则当OM=_______________ cm时，⊙M与OB相切.第1题第2题第3题2. 如图直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝30°，半径为1cm的⊙P的圆心在射线OA 上，且与点O的距离为6cm．如果⊙P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么秒种后⊙P与直线CD相切．3. 如图，⊙O的半径为1，圆心O在正三角形的边AB上沿图示方向移动，当⊙O移动到与AC边相切时，OA的长为______． 4. 如图，直线y3x＋3与x轴、y分别相交与A、B两点，圆心P的坐标为(1，0)，圆3P与y轴相切与点O.若将圆P沿x轴向左移动，当圆P与该直线相交时，横坐标为整数的点P′的个数是（） A．2B．3C．4D． 5如果⊙M与y轴相交，那么m的取值范围是_____________．5. 在直角坐标系中，⊙M的圆心坐标为(m,0)，半径是2，如果⊙M与y轴相切，那么m=_____；6. 在平面直角坐标系xOy中，以点(－3，4)为圆心，4为半径的圆（）A．与x轴相交，与y轴相切 B．与x轴相离，与y轴相交 C．与x轴相切，与y轴相交 D．与x轴相切，与y轴相离7. ⊙O的半径r=5 cm，点P在直线l上，若OP＝5 cm，则直线l与⊙O的位置关系是______. 8. 以三角形的一边长为直径的圆切三角形的另一边，则该三角形为_________.9. 如图，P为正比例函数y3x上的一个动点，⊙P的半径为3，设点P的坐标为(x，y) 2(1)求⊙P与直线x＝2相切时点P的坐标；(2)请直接写出⊙P与直线x＝2相交、相离时x的取值范围.10. 如图，形如量角器的半圆O的直径DE＝12cm，形如三角板的△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC=12cm.半圆O以2cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点D、E始终在直线BC上.设运动时间为t(s)，当t=0(s)时，半圆O在△ABC的左侧，OC＝8cm.问：当t为何值时，△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切？．．11. 如图，在□ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝15㎝．已知⊙O的半径等于3㎝，AB，AD分别与⊙O相切于点E，F．⊙O在□ABCD内沿AB方向滚动，与BC边相切时运动停止．试求⊙O滚过的路程．A二、切线长定理：1. 切线长：在经过圆外一点的切线上，这点和切点之间的线段长，叫做这点到圆的切线长． 2. 切线长和切线的区别切线是直线，不可度量；而切线长是切线上一条线段的长，而圆外一已知点到切点之间的距离，可以度量．3. 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角． 4. 两个结论：圆的外切四边形对边和相等；圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长．三、弦切角定理：1. 弦切角要注意两点：①角的顶点在圆上；②角的一边是过切点的弦，角的边一边是以切点为端点的一条射线．2. 弦切角定理：弦切角等于它所夹的弦对的圆周角，该定理也可以这样说：弦切角的度数等于它所夹弧的度数的一半． 3. 弦切角定理的推论：推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角相等．例1：已知PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C三点，若PO=13cm，PED的周长为24cm，APB40，求：（1）⊙O的半径；（2）EOD的度数．例2：如图，⊙O的直径AB=12cm，AM和BN是⊙O的两条切线，DC切⊙O于E，交AM 于D，交BN于C，设AD x,BC y．（1）求y与x的函数关系，并说明是什么函数？（2）若x、y是方程2t30t m0的两根，求x、y的值．（3）求COD的面积．M2巩固练习1. 下列直线是圆的切线的是（）A．与圆有公共点的直线 B．过圆直径外端点的直线C．垂直于圆的半径的直线 D．到圆心的距离等于半径的直线2. 如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（） A．点(0，3)B．点(2，3) C．点(5，1)D．点(6，1)第2题第3题第4题3. 如图，在△ABC中，AB10，AC8，BC6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA，CB分别相交于点P，Q，则线段PQ长度的最小值是（） A．4.75B．4.8C．5D．4. 如图，PA、PB切⊙O于点A、B，点C是⊙O上一点，且∠ACB=65°，则∠P=M与轴相交于点A(2，5. 如图，与轴相切于点C，则圆心M的坐标是． 0)，B(8，0)，6. 木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径r.用角尺的较短边紧靠⊙O，并使较长边与⊙O相切于点C.假设角尺的较长边足够长，角尺的顶点B，较短边AB＝8cm.若读得BC 长为acm，则用含a的代数式表示r为 .7. 如图，AB为⊙O的直径，BC切⊙O于B，AC交⊙O于P，CE=BE，E在BC上. 求证：PE是⊙O的切线．B8. 已知：如图，是O上一点，半径OC的延长线与过点的直线交于点，OC BC，1AC OB．（1）求证：AB是O的切线；（2）若ACD45°，OC2，求弦CD2的长．9. 如图，⊙O直径AB=4，P在AB的延长线上，过P作⊙O切线，切点为C，连接AC。
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y
M ( x0 , y0 )
(a,b)
O
x
结论三：
过圆x y Dx Ey F 0上一点( x0 , y0 )的切线 x x0 y y0 方程为：
M ( x0 , y0 )
O
x
要点梳理
忆一忆知识要点
1．直线与圆的位置关系 位置关系有三种： 相离 、 相切 、 相交 ． 判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法： >0⇔相交 判别式 ＝0⇔相切 (1)代数法： ――→ 2 Δ＝b －4ac<0⇔相离 (2)几何法： 利用圆心到直线的距离 d 和圆半径 r 的大小关系： d<r⇔相交，d＝r⇔相切，d>r⇔相离．
一、过圆上一点的切线方程：
结论一： 过圆 x y r 上一点 M ( x0 , y0 ) 切线 2 y 方程是 x0 x y0 y r
2 2 2
M ( x0 , y0 )
O
x
结论二：
过圆( x a) ( y b) r 上一点( x0 , y0 )的切
2 2 2
( x0 a)( x a) ( y0 b)( y b) r . 线方程为：
要点梳理
忆一忆知识要点
3．求过点 P(x0，y0)的圆 x2＋y2＝r2 的切线方程 (1)若 P(x0，y0)在圆 x2＋y2＝r2 上，
2 x x ＋ y y ＝ r 0 则以 P 为切点的圆的切线方程为： 0 .
(2)若 P(x0，y0)在圆 x2＋y2＝r2 外，则过 P 的切线方程可设 为：y－y0＝k(x－x0)，利用待定系数法求解． 说明：k 为切线斜率，同时应考虑斜率不存在的情况．
要点梳理
(1)几何方法
忆一忆知识要点
2．计算直线被圆截得的弦长的常用方法 运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成 直角三角形计算． (2)代数方法 运用韦达定理及弦长公式 AB＝ 1＋k2|xA－xB|＝ (1＋k2)[(xA＋xB)2－4xAxB]. 说明：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法．