高三基础知识天天练 数学8-9人教版

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第8模块 第9节

一、选择题

1.若直线y =a 与椭圆x 23+y 2

4

=1恒有两个不同的交点,则a 的取值范围是

( )

A .(-3,3)

B .(-3,3)

C .(-2,2)

D .(-4,4) 解析:如右图,作出图形,即可求出结果. 答案:C

2.设抛物线y 2=8x 的准线与x 轴交于点Q ,若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点,则直线l 的斜率的取值范围是

( )

A .[-12,1

2

] B .[-2,2]

C .[-1,1]

D .[-4,4]

解析:设直线方程为y =k (x +2),与抛物线联立方程组,整理得ky 2-8y +16k =0.当k =0时,直线与抛物线有一个交点.当k ≠0时,由Δ=64-64k 2≥0,解得-1≤k ≤1且k ≠0.所以-1≤k ≤1.

答案:C

3.已知点P (4,2)是直线l 被椭圆x 2+4y 2=λ所截得的线段AB 的中点,若AB =10,则λ等于

( )

A .4

B .9

C .16

D .36 答案:D

4.斜率为1的直线l 与椭圆x 24

+y 2

=1相交于A 、B 两点,则|AB |的最大值为

( )

A .2 B.45

5

C.4105

D.8105

解析:设直线l 的方程为y =x +t ,代入x 24

+y 2

=1,

消去y 得5

4

x 2+2tx +t 2-1=0,

由题意得Δ=(2t )2-5(t 2-1)>0,

即t 2

<5.弦长|AB |=2·4·5-t 25≤4105

.

答案:C 二、填空题

5.如果过两点A (a,0)和B (0,a )的直线与抛物线y =x 2-2x -3没有交点,那么实数a

的取值范围是__________.

解析:过A 、B 两点的直线为:x +y =a 与抛物线y =x 2-2x -3联立得:x 2-x -a -3=0,

因为直线与抛物线没有交点,则方程无解.

即Δ=1+4(a +3)<0,解之:a <-13

4

.

答案:(-∞,-13

4)

6.过椭圆x 25+y

24

=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A 、B 两点,O 为坐标

原点,则△OAB 的面积为__________.

解析:易知直线AB 方程为y =2(x -1),与椭圆方程联立解得A (0,-2),B (53,4

3

),故

S △ABC =S △AOF +S △BOF =12×1×2+12×1×43=5

3

.

答案:53

三、解答题

7.已知抛物线y 2=4x ,过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)两点,求y 21+y 2

2的最小值.

解:(1)当过P 点的直线垂直于x 轴,即x =4时易得y 21=16,y 22=16,此时y 21+y 2

2=32. (2)当过P 点的直线与x 轴不垂直时,设其斜率为k , 则直线方程为y =k (x -4),代入抛物线方程y 2=4x , 消去y 整理得k 2x 2-(8k 2+4)x +16k 2=0. 由题意知x 1,x 2就是该方程的两根,

∴x 1+x 2=8k 2+4

k 2,x 1·x 2=16.

于是y 21+y 22=[k (x 1-4)]2+[k (x 2-4)]2

. =k 2[(x 1+x 2)2-8(x 1+x 2)-2x 1x 2+32] =16

k

2+32>32,此时无最小值. 综上所述,y 2

1+y 22的最小值为32.

8.抛物线的顶点在原点,以x 轴为对称轴.经过焦点且倾斜角为135°的直线,被抛物线所截得的弦长为8,试求抛物线方程.

解:如右图,依题意设抛物线方程为y 2=2px (p >0),

则直线方程为y =-x +1

2

p .

设直线交抛物线于A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2),则由抛物线定义得 |AB |=|AF |+|FB |=|AC |+|BD |

=x 1+p 2+x 2+p 2,

即x 1+x 2+p =8.①

又A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)是抛物线和直线的交点,

由⎩⎪⎨⎪⎧

y =-x +12p ,y 2=2px ,

消去y 得x 2

-3px +p 24

=0,

∴x 1+x 2=3p .将其代入①得p =2, ∴所求抛物线方程为y 2=4x .

当抛物线方程设为y 2=-2px 时,同理可求得抛物线方程为y 2=-4x . ∴抛物线方程为y 2=4x 或y 2=-4x .

[高考·模拟·预测]

1.已知直线l 1:4x -3y +6=0和直线l 2:x =-1,抛物线y 2=4x 上一动点P 到直线l 1

和直线l 2的距离之和的最小值是

( )

A .2

B .3 C.115 D.37

16

解析:∵直线l 2:x =-1恰为抛物线y 2

=4x 的准线,∴P 到l 2的距离d 2=|PF |(F (1,0)

为抛物线焦点),所以P 到l 1、l 2距离之和最小值为F 到l 1距离|4×1-3×0+6|

32+42

=2,故选

A.

答案:A

2.点P 在直线l :y =x -1上,若存在过P 的直线交抛物线y =x 2于A 、B 两点,且|P A |=|AB |,则称点P 为“A 点”.那么下列结论中正确的是

( )

A .直线l 上的所有点都是“A 点”

B .直线l 上仅有有限个点是“A 点”

C .直线l 上的所有点都不是“A 点”

D .直线l 上有无穷多个点(但不是所有的点)“A 点”

解析:分别作出直线l :y =x -1及抛物线y =x 2.如右图,取直线l 上任一点P 都存在过点P 的直线(直线可绕P 点任意旋转)交抛物线y =x 2于A ,B 两点,则|AB |的取值范围是(0,+∞),那么一定存在一个值,使得|P A |=|AB |.故选A.

答案:A

3.设抛物线y 2=2x 的焦点为F ,过点M (3,0)的直线与抛物线相交于A 、B 两点,与

抛物线的准线相交于点C ,|BF |=2,则△BCF 与△ACF 的面积之比S △BCF

S △ACF

=( )

A.45

B.23

C.47

D.12

解析:如右图过A 、B 作准线l :x =-1

2

的垂线,垂足分别为A 1、B 1,由于F 到直线AB

的距离为定值.∴S △BCF S △ACF =|BC |

|CA |

.又∵△B 1BC ~△A 1AC .

∴|BC ||CA |=|BB 1||AA 1|,由抛物线定义|BB 1||AA 1|=|BF ||AF |=2|AF |

. 由|BF |=|BB 1|=2知x B =3

2

,y B =-3,

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