高三基础知识天天练 数学8-9人教版

第8模块 第9节

一、选择题

1．若直线y ＝a 与椭圆x 23＋y 2

4

＝1恒有两个不同的交点，则a 的取值范围是

( )

A ．(－3，3)

B ．(－3,3)

C ．(－2,2)

D ．(－4,4) 解析：如右图，作出图形，即可求出结果． 答案：C

2．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是

( )

A ．[－12，1

2

] B ．[－2,2]

C ．[－1,1]

D ．[－4,4]

解析：设直线方程为y ＝k (x ＋2)，与抛物线联立方程组，整理得ky 2－8y ＋16k ＝0.当k ＝0时，直线与抛物线有一个交点．当k ≠0时，由Δ＝64－64k 2≥0，解得－1≤k ≤1且k ≠0.所以－1≤k ≤1.

答案：C

3．已知点P (4,2)是直线l 被椭圆x 2＋4y 2＝λ所截得的线段AB 的中点，若AB ＝10，则λ等于

( )

A ．4

B ．9

C ．16

D ．36 答案：D

4．斜率为1的直线l 与椭圆x 24

＋y 2

＝1相交于A 、B 两点，则|AB |的最大值为

( )

A ．2 B.45

5

C.4105

D.8105

解析：设直线l 的方程为y ＝x ＋t ，代入x 24

＋y 2

＝1，

消去y 得5

4

x 2＋2tx ＋t 2－1＝0，

由题意得Δ＝(2t )2－5(t 2－1)>0，

即t 2

<5.弦长|AB |＝2·4·5－t 25≤4105

.

答案：C 二、填空题

5．如果过两点A (a,0)和B (0，a )的直线与抛物线y ＝x 2－2x －3没有交点，那么实数a

的取值范围是__________．

解析：过A 、B 两点的直线为：x ＋y ＝a 与抛物线y ＝x 2－2x －3联立得：x 2－x －a －3＝0，

因为直线与抛物线没有交点，则方程无解．

即Δ＝1＋4(a ＋3)<0，解之：a <－13

4

.

答案：(－∞，－13

4)

6．过椭圆x 25＋y

24

＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A 、B 两点，O 为坐标

原点，则△OAB 的面积为__________．

解析：易知直线AB 方程为y ＝2(x －1)，与椭圆方程联立解得A (0，－2)，B (53，4

3

)，故

S △ABC ＝S △AOF ＋S △BOF ＝12×1×2＋12×1×43＝5

3

.

答案：53

三、解答题

7．已知抛物线y 2＝4x ，过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，求y 21＋y 2

2的最小值．

解：(1)当过P 点的直线垂直于x 轴，即x ＝4时易得y 21＝16，y 22＝16，此时y 21＋y 2

2＝32. (2)当过P 点的直线与x 轴不垂直时，设其斜率为k ， 则直线方程为y ＝k (x －4)，代入抛物线方程y 2＝4x ， 消去y 整理得k 2x 2－(8k 2＋4)x ＋16k 2＝0. 由题意知x 1，x 2就是该方程的两根，

∴x 1＋x 2＝8k 2＋4

k 2，x 1·x 2＝16.

于是y 21＋y 22＝[k (x 1－4)]2＋[k (x 2－4)]2

. ＝k 2[(x 1＋x 2)2－8(x 1＋x 2)－2x 1x 2＋32] ＝16

k

2＋32>32，此时无最小值． 综上所述，y 2

1＋y 22的最小值为32.

8．抛物线的顶点在原点，以x 轴为对称轴．经过焦点且倾斜角为135°的直线，被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程．

解：如右图，依题意设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，

则直线方程为y ＝－x ＋1

2

p .

设直线交抛物线于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则由抛物线定义得 |AB |＝|AF |＋|FB |＝|AC |＋|BD |

＝x 1＋p 2＋x 2＋p 2，

即x 1＋x 2＋p ＝8.①

又A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)是抛物线和直线的交点，

由⎩⎪⎨⎪⎧

y ＝－x ＋12p ，y 2＝2px ，

消去y 得x 2

－3px ＋p 24

＝0，

∴x 1＋x 2＝3p .将其代入①得p ＝2， ∴所求抛物线方程为y 2＝4x .

当抛物线方程设为y 2＝－2px 时，同理可求得抛物线方程为y 2＝－4x . ∴抛物线方程为y 2＝4x 或y 2＝－4x .

[高考·模拟·预测]

1．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1

和直线l 2的距离之和的最小值是

( )

A ．2

B ．3 C.115 D.37

16

解析：∵直线l 2：x ＝－1恰为抛物线y 2

＝4x 的准线，∴P 到l 2的距离d 2＝|PF |(F (1,0)

为抛物线焦点)，所以P 到l 1、l 2距离之和最小值为F 到l 1距离|4×1－3×0＋6|

32＋42

＝2，故选

A.

答案：A

2．点P 在直线l ：y ＝x －1上，若存在过P 的直线交抛物线y ＝x 2于A 、B 两点，且|P A |＝|AB |，则称点P 为“A 点”．那么下列结论中正确的是

( )

A ．直线l 上的所有点都是“A 点”

B ．直线l 上仅有有限个点是“A 点”

C ．直线l 上的所有点都不是“A 点”

D ．直线l 上有无穷多个点(但不是所有的点)“A 点”

解析：分别作出直线l ：y ＝x －1及抛物线y ＝x 2.如右图，取直线l 上任一点P 都存在过点P 的直线(直线可绕P 点任意旋转)交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点，则|AB |的取值范围是(0，＋∞)，那么一定存在一个值，使得|P A |＝|AB |.故选A.

答案：A

3．设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，过点M (3，0)的直线与抛物线相交于A 、B 两点，与

抛物线的准线相交于点C ，|BF |＝2，则△BCF 与△ACF 的面积之比S △BCF

S △ACF

＝( )

A.45

B.23

C.47

D.12

解析：如右图过A 、B 作准线l ：x ＝－1

2

的垂线，垂足分别为A 1、B 1，由于F 到直线AB

的距离为定值．∴S △BCF S △ACF ＝|BC |

|CA |

.又∵△B 1BC ～△A 1AC .

∴|BC ||CA |＝|BB 1||AA 1|，由抛物线定义|BB 1||AA 1|＝|BF ||AF |＝2|AF |

. 由|BF |＝|BB 1|＝2知x B ＝3

2

，y B ＝－3，