牛顿第二定律及其微分形式精
牛顿第二定律与动量定理的专题详解
牛顿第二定律与动量定理刍议广东省佛冈中学周长春在高中《物理》教材中，动量定理F·t＝mv2－mv1，是由牛顿第二定律F＝ma推导出来的，那么应如何准确地理解动量定理与牛顿第二定律呢？本文做一初浅的探讨。
一、动量定理是牛顿第二定律原来采用的形式在牛顿提出运动第二定律之前，伽利略在批判亚里士多德的力与速度的依赖关系的基础上，提出了力与加速度的依赖关系，但是他没有也不可能在当时的条件下发现作用力与加速度之间的定量关系。
在1684年8月之后，牛顿用几何法和极限概念论证了引力平方反比律，在为解决万有引力是否跟质量成正比的问题时，他发现了运动第二定律，具体的记载有两处，一处是在“论物体的运动”一文手稿中写道：“…动力与加速度的力之比等于运动与速度之比。
因为运动的量是由速度乘以物质的量导出的…”。
另一处是在《自然哲学的数学原理》的定义Ⅷ中给出的：“因为运动的量是由速度乘以物质的量求出来的，并且动力是由加速度的力乘以同一物质之量求出来的，物体的几个粒子上的加速的力的作用总和就是整个物体的动力”。
上面两段话中，“加速的力”指的是加速度，“运动”“运动的量”指的是动量，“动力”指的是与加速度对应的作用力，“物体”“物质的量”就是质量。
由此可知，牛顿在《自然哲学的数学原理》一书中已明确提出动量的定义：“运动量是用它的速度和质量一起来量度的”，“并把动量的变化率称之为力”，“他又用动量来表述运动第二定律”。
综上所述，牛顿其实已经提出了运动第二定律的文字表述：作用力与加速度成正比。
但当时牛顿并没有明确地用公式（F＝ma）表述出来，牛顿第二定律原来采用的形式是力F、质量m、速度v和时间t这四个物理量，选择适当的单位，可使比例系数k＝1，这时，牛顿第二定律可表示为①因此，牛顿第二运动定律的真实表述应该是物体所受外力等于其动量对时间的变化率。
①式也叫做牛顿第二定律的微分形式。
《自然哲学的数学原理》已经提出了作用力与加速度成正比，但当时牛顿并没有将公式①直接用F＝ma表述出来，这是为什么呢？我国研究牛顿的资深学者阎康年先生在他的专著《牛顿的科学发现与科学思想》中专门研究了牛顿的质量观：“牛顿对质量概念的认识分静质量和动质量两个方面。
牛顿第二定律详解
牛顿第二定律详解实验：用控制变量法研究：a与F的关系，a与m的关系知识简析一、牛顿第二定律1.内容：物体的加速度跟物体所受合外力成正比，跟物体的质量成反比；a的方向与F合的方向总是相同。
2.表达式：F=ma揭示了：①力与a的因果关系，力是产生a的原因和改变物体运动状态的原因；②力与a的定量关系3、对牛顿第二定律理解：（1）F=ma中的F为物体所受到的合外力．（2）F＝ma中的m，当对哪个物体受力分析，就是哪个物体的质量，当对一个系统（几个物体组成一个系统）做受力分析时，如果F是系统受到的合外力，则m是系统的合质量．（3）F＝ma中的F与a有瞬时对应关系，F变a则变，F大小变，a则大小变，F方向变a也方向变．（4）F＝ma中的F与a有矢量对应关系，a的方向一定与F的方向相同。
（5）F＝ma中，可根据力的独立性原理求某个力产生的加速度，也可以求某一个方向合外力的加速度．（6）F＝ma中，F的单位是牛顿，m的单位是kg，a的单位是米／秒2．（7）F＝ma的适用范围：宏观、低速4. 理解时应应掌握以下几个特性。
(1) 矢量性F=ma是一个矢量方程，公式不但表示了大小关系，还表示了方向关系。
(2) 瞬时性a与F同时产生、同时变化、同时消失。
作用力突变，a的大小方向随着改变，是瞬时的对应关系。
(3) 独立性(力的独立作用原理) F合产生a合；Fx合产生ax合；Fy合产生ay合当物体受到几个力作用时，每个力各自独立地使物体产生一个加速度，就象其它力不存在一样，这个性质叫力的独立作用原理。
因此物体受到几个力作用，就产生几个加速度，物体实际的加速度就是这几个加速度的矢量和。
(4) 同体性F=ma中F、m、a各量必须对应同一个物体(5)局限性适用于惯性参考系(即所选参照物必须是静止或匀速直线运动的,一般取地面为参考系)；只适用于宏观、低速运动情况，不适用于微观、高速情况。
牛顿运动定律的应用1．应用牛顿运动定律解题的一般步骤：(1) 选取研究对象(2) 分析所选对象在某状态(或某过程中)的受力情况、运动情况(3) 建立直角坐标：其中之一坐标轴沿的方向然后各力沿两轴方向正交分解(4) 列出运动学方程或第二定律方程F合=a合；Fx合=ax合；Fy合=ay合用a这个物理量把运动特点和受力特点联系起来(5) 在求解的过程中,注意解题过程和最后结果的检验,必要时对结果进行讨论.2．物理解题的一般步骤：(1) 审题：解题的关键，明确己知和侍求，特别是语言文字中隐着的条件(如：光滑、匀速、恰好追上、距离最大、共同速度等)，看懂文句、及题述的物理现象、状态、过程。
牛顿第二定律的各种形式和对应理解
为此力产生的
量合如图现象的理解方式如图所示
量合。
如图现象的理解方式如图所示：
者某个方向上的合力，这样就会得到牛顿定律的分量式：
(4)推导整体的牛顿第二定律
()()劈对物块的弹力大小为( )整体加速度为( )
力F拉其中个质量为2m的木块，使四个木块以同，试求扶梯对人的静摩擦力f。
拉其中一个质量为的木块使四个木块以同一试求扶梯对人的静摩擦力
加速度运动，则轻绳对m的最大拉力为多少？
()
的是( )
小球与箱子的相对位置保持不变)
沿斜面匀速下滑，则P、Q对B
沿斜面加
的加速度沿斜面加速下滑求地面对小车的摩擦
的加速度，沿斜面加速下滑，求地面对小车的摩擦
力和支持力。
N
a x
A
a y
a M B
α
(M＋m＋m)
A B
g。
牛顿运动定律Newtonslawsofmotion
万有引力
基本力
电磁力 强力 弱力
自然界只存在 四种基本力
万有引力：
F
G0
m1m2 r2
G =6.6710-11Nm2/kg2
电磁力： 带电粒子或宏观带电体之间的相互作用力。原
子或分子之间的作用力基本上是电磁力。物体
之间的弹力和摩擦力以及气体的压力、浮力、
粘滞阻力是电磁力。
f k
第12页/共38页
第21页/共38页
§2.5 牛顿第二定律积分形式之一 ——动量定理
问题：当一个力作用于物体并维持一定时间，其效果将 是什么？即，力对物体作用一定时间后物体的速度如何？
1、动量定理
从牛顿第二定律的微分形式： Fdt dP
考虑力的时间积累效果，为此，将上式从t1到t2这段有限时
间进行积分，即得
t2
F惯 ma
在非惯性系中，如果物体受到的真实力为 F , 另外加 上惯性力 F惯 ，则物体对于此非惯性系的加速度 a 就
可形式上和牛顿定律一样，为：
F F惯 ma
第36页/共38页
第37页/共38页
感谢观看！
第38页/共38页
第2页/共38页
（3） 第一定律定义了惯性参考系（简称惯性系（inertial reference frame） 惯性参考系——在这种参考系中观察， 一个不受力作用的物体或处于受力平衡状态下的物体，将 保持其静止或匀速直线运动状态不变。
参考系
惯性系：地面参考系是一个足够好的惯性系
非惯性系：对地面参考系作加速运动的物 体，是非惯性系。
电子与原子核结合形 成原子核
各质子和中子结合形 成原子核
无限远
10－
38
牛顿第二定律详解
牛顿第二定律详解实验：用控制变量法研究：a与F的关系，a与m的关系知识简析一、牛顿第二定律1.内容：物体的加速度跟物体所受合外力成正比，跟物体的质量成反比；a的方向与F合的方向总是相同。
2.表达式：F=ma揭示了：①力与a的因果关系，力是产生a的原因和改变物体运动状态的原因；②力与a的定量关系3、对牛顿第二定律理解：（1）F=ma中的F为物体所受到的合外力．（2）F＝ma中的m，当对哪个物体受力分析，就是哪个物体的质量，当对一个系统（几个物体组成一个系统）做受力分析时，如果F是系统受到的合外力，则m是系统的合质量．（3）F＝ma中的F与a有瞬时对应关系，F变a则变，F大小变，a则大小变，F方向变a也方向变．（4）F＝ma中的F与a有矢量对应关系，a的方向一定与F的方向相同。
（5）F＝ma中，可根据力的独立性原理求某个力产生的加速度，也可以求某一个方向合外力的加速度．（6）F＝ma中，F的单位是牛顿，m的单位是kg，a的单位是米／秒2．（7）F＝ma的适用范围：宏观、低速4. 理解时应应掌握以下几个特性。
(1) 矢量性F=ma是一个矢量方程，公式不但表示了大小关系，还表示了方向关系。
(2) 瞬时性a与F同时产生、同时变化、同时消失。
作用力突变，a的大小方向随着改变，是瞬时的对应关系。
(3) 独立性(力的独立作用原理) F合产生a合；Fx合产生ax合；Fy合产生ay合当物体受到几个力作用时，每个力各自独立地使物体产生一个加速度，就象其它力不存在一样，这个性质叫力的独立作用原理。
因此物体受到几个力作用，就产生几个加速度，物体实际的加速度就是这几个加速度的矢量和。
(4) 同体性F=ma中F、m、a各量必须对应同一个物体(5)局限性适用于惯性参考系(即所选参照物必须是静止或匀速直线运动的,一般取地面为参考系)；只适用于宏观、低速运动情况，不适用于微观、高速情况。
牛顿运动定律的应用1．应用牛顿运动定律解题的一般步骤：(1) 选取研究对象(2) 分析所选对象在某状态(或某过程中)的受力情况、运动情况(3) 建立直角坐标：其中之一坐标轴沿的方向然后各力沿两轴方向正交分解(4) 列出运动学方程或第二定律方程F合=a合；Fx合=ax合；Fy合=ay合用a这个物理量把运动特点和受力特点联系起来(5) 在求解的过程中,注意解题过程和最后结果的检验,必要时对结果进行讨论.2．物理解题的一般步骤：(1) 审题：解题的关键，明确己知和侍求，特别是语言文字中隐着的条件(如：光滑、匀速、恰好追上、距离最大、共同速度等)，看懂文句、及题述的物理现象、状态、过程。
中国矿业大学(北京)《大学物理》课件-第二章 牛顿运动定律
★实验表明：地球是一个近似程度很高的惯性系。 ★实验还表明：相对地球做匀速直线运动的物体也 是惯性系。
中国矿业大学（北京）
8/52
牛顿第三定律
2、牛顿第三定律
两个物体之间的作用力 F 和反作用力 F 沿
同一直线，大小相等，方向相反，分别作用在两
个物体上。
F F
两点说明：
摩擦系数为 ，拉力F作用于物体上。
求：F与水平面之间的夹角 为多大时，能使物体获
得最大的加速度？
F
解：建立直角坐标系oxy，
N
根据牛顿第二定律列式：
f
F cos f ma
G
N F sin mg 0
y
f N
ox
中国矿业大学（北京）
28/52
例题2-2
可解得： f μ(mg F sin ),
瞬时加速度。两者同时存在，同时消失。
F
m
d
v
dt
中国矿业大学（北京）
11/52
牛顿第二定律
(3)矢量性的理解：
F
ma
m
d
v
dt
直角坐标系中的
自然坐标系中的
分量形式
分量形式
Fx
max
m dvx dt
d2 x m dt2
,
Fy
may
m dvy dt
m
d2 dt
y
2
,
Fz
maz
m dvz dt
最大静摩擦力 fmax 0N 滑动摩擦力 f N
0：静摩擦系数，：滑动摩擦系数。与接触面的 材料和表面粗糙程度有关，还和相对速度有关。
0 1
中国矿业大学（北京）
高一物理章节内容课件 第二章质点动力学
地面的加速度是多少？（以竖直向上为
正）
解：以绳为参照系，设绳对地 的加速度为 a绳对地
T '
T a绳对地
人 T mg (ma绳对地) ma0 物 Mg T (Ma绳对地) M 0
Mg ♕ mg
▲ 注意：ห้องสมุดไป่ตู้于滑轮这种左右两边的情形， 左右两边的正方向应相反
3 a绳对地 g a0 方向：右向上，左向下
★ 作用于桌面的压力
N1 N m已落下部分g , 3gm已落下的部分
4. 质点系的动量定理 任意一段时间间隔内质点系所受合外力 的冲量等于在同一时间间隔内质点系内 所有质点的动量矢量和的增量。
5．动量守恒定律(Law of Conservation of Momentum) （1）※
度，是Vx
N mg CyVx2
N
CxVx2
m
dVx dt
(mg CyVx2 ) CxVx2
m dVx dx
dx dt
dx dt
(mg CyVx ) CxVx m
2
2 dVx dx
条件：Vx V0 90km/ h时，
Vx
N
0
mg
C yV02
解：★ 注意 摩此擦M力分r布F在整个圆盘上，因
第一步：在距轴为 r 处取质量元 dm ，它受到
的摩擦力为 df
df kdm g
方向：
df
r
第二步：求 df 产生的摩擦力矩 dM 大小、方向
dM rdf sin rkdm g 方向：沿轴
dm
m
R2
牛顿第二定律微分方程
牛顿第二定律微分方程全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：牛顿第二定律是经典力学中一个非常重要的定律，它描述了物体运动的动力学规律。
牛顿第二定律的数学表达形式为\[ F = ma \]F代表物体受到的合力，m是物体的质量，a是物体的加速度。
这个定律告诉我们，当一个物体受到一个力作用时，它会加速，而加速度的大小与受力的大小成正比，与物体的质量成反比。
在一些结构复杂的系统中，可能受到多个力的作用，牛顿第二定律的微分形式可以更好地描述这种情况。
使用微分方程描述物体的运动是一种非常重要的方法，通过微分方程可以更加精确地描述物体的加速度随时间的变化。
假设一个物体受到多个力的作用，这些力分别是\[ F_1, F_2,F_3, ..., F_n \]，根据牛顿第二定律，物体的加速度可以表示为\[ a = \frac{\sum\limits_{i=1}^n F_i}{m} \]我们可以将受到的各个力拆解成不同的部分，比如重力，摩擦力等，最终得到微分方程的形式。
接下来，我们将对一个简单的例子进行分析，说明如何建立牛顿第二定律微分方程。
假设有一个质量为m的物体在水平面上运动，在受到一个恒定的外力F的作用下。
此时，物体受到的合力可以表示为\[ F_{\text{合}} = F - f \]f代表摩擦力，根据库仑摩擦定律，摩擦力大小正比于物体受力的大小，方向与物体的运动方向相反。
根据牛顿第二定律，物体的加速度可以表示为我们可以将摩擦力拆解成两部分，一部分是静摩擦力\[ f_s \]，一部分是动摩擦力\[ f_k \]。
在物体刚开始运动时，摩擦力等于静摩擦力，此时静摩擦力可以表示为\[ \mu_s \]是静摩擦系数，N是物体受到的支持力。
如果外力F小于或等于静摩擦力，物体会保持静止；如果外力大于静摩擦力，物体就会开始运动，此时摩擦力等于动摩擦力。
动摩擦力可以表示为\[ \mu_k \]是动摩擦系数。
在这种情况下，物体的加速度可以表示为根据牛顿第二定律微分方程的形式，我们可以进一步将N表示为物体受到的支持力，支持力可以表示为\[ N = mg \]，这里g是重力加速度。
大学物理牛顿运动定律
mgdz mgz a mgz b
zb za
Z
dr
b
初态量
末态量
a
O
mg
Y
X
万有引力的功 两个质点之间在引力作用下相对运动时 ，以M所 在处为原点, M指向m的方向为矢径的正方向。m 受的引力方向与矢径方向相反。
W
rb ra
rb
Mm G 3 r dr r
Wab E P (a )
质点在某一点的势能大小等于在相应的保守力的作用 下，由所在点移动到零势能点时保守力所做的功。
E p (a )
零势能点
ra
F保 dr
重力势能（以地面为零势能点）
E P mgdy mg (0 y ) mgy
0 y
弹性势能（以弹簧原长为零势能点）
自然和自然规律隐藏在黑暗之中， 上帝说“让牛顿降生吧”， 一切就有了光明； 但是，光明并不久长， 魔鬼又出现了， 上帝咆哮说： “让爱因斯坦降生吧”， 就恢复到现在这个样子。
三百年前，牛顿站在巨人的肩膀上，
建立了动力学三大定律和万有引力定律。
其实，没有后者，就不能充分显示前者
的光辉。海王星的发现，把牛顿力学推
W弹
1 2 1 2 ( kxb kxa ) 2 2
E p (a ) E p (b) E p
保守力做正功等于相应势能的减少； 保守力做负功等于相应势能的增加。
E P (a ) E P (b) F保 dr
b a
选参考点（势能零点），设 E P (b) 0
m A aB mB a A
惯性质量：牛顿第二定律中的质量常被称为惯性质量 质量是物体平动惯性大小的量度
牛顿第二定律超全
02 牛顿第二定律的推导
力的定义与性质
总结词
力的定义与性质是牛顿第二定律推导的 基础，包括力的矢量性、单位、分类等 。
VS
详细描述
力是一个矢量，具有大小和方向两个要素。 在国际单位制中，力的单位是牛顿（N）， 根据牛顿第二定律的定义，力等于质量乘 以加速度。根据力的作用效果，力可以分 为保守力和非保守力，保守力做功与路径 无关，只与初末位置有关，而非保守力做 功与路径有关。
要点一
总结词
通过在月球上进行实验验证，可以观察到月球上物体运动 的规律与地球上相同，从而间接验证了牛顿第二定律的普 遍适用性。
要点二
详细描述
在月球上进行的实验验证中，科学家们通过测量月球上物 体运动的加速度、质量和力，验证了牛顿第二定律的正确 性。虽然月球上的重力加速度与地球不同，但物体运动的 规律仍然遵循牛顿第二定律的预测结果。因此，可以认为 牛顿第二定律具有普遍适用性。
统总动量保持不变。
牛顿第二定律的推导过程
总结词
牛顿第二定律的推导过程涉及力和加速度的 关系，通过实验和逻辑推理得到。
详细描述
牛顿第二定律是通过实验和逻辑推理得到的 重要物理定律，表述为物体所受合外力等于 其质量乘以加速度。该定律的推导过程可以 从力的定义和动量定理出发，通过实验验证 和逻辑推理得到。牛顿第二定律在经典力学 中占有重要地位，是解决动力学问题的基本 规律之一。
并求解未知量。
天体运动问题包括行星、卫星、 恒星等不同天体的运动规律，需 要结合具体问题进行分析和计算。
天体运动问题还包括万有引力、 太阳辐射压等不同形式的力，需 要结合具体问题进行分析和计算。
04 牛顿第二定律的拓展
非惯性系中的牛顿第二定律
大学物理 第二章牛顿运动定律
赵 承 均
万有引力定律 任意两质点相互吸引，引力的大小与两者质量乘积成正比， 任意两质点相互吸引，引力的大小与两者质量乘积成正比，与其距离的 平方成反比，力的方向沿着两质点连线的方向。 平方成反比，力的方向沿着两质点连线的方向。
r m1m2 r F = −G 3 r r
赵 承 均
&& mx = p sin ωt
o
v Fx
x
x
即：
m
dv = p sin ωt dt
重 大 数 理 学 院
r r F ( t ) = ma ( t ) r & = mv ( t ) r && ( t ) = mr
此微分形式表明：力与加速度成一一对应关系。 此微分形式表明：力与加速度成一一对应关系。
赵 承 均
牛顿第二定律适用于质点，或通过物理简化的质点。 牛顿第二定律适用于质点，或通过物理简化的质点。 牛顿第二定律适用于宏观低速情况， 牛顿第二定律适用于宏观低速情况，而在微观 ( l ≤ 1 0 − 1 0 m 情况与实验有很大偏差。 高速 ( v ≥ 1 0 − 2 c ) 情况与实验有很大偏差。 牛顿第二定律适用于惯性系，而对非惯性系不成立。 牛顿第二定律适用于惯性系，而对非惯性系不成立。
赵 承 均
牛顿第二定律 在力的作用下物体所获得的加速度的大小与作用力的大小成正比， 在力的作用下物体所获得的加速度的大小与作用力的大小成正比， 与物体的质量成反比，方向与力的方向相同。 与物体的质量成反比，方向与力的方向相同。
r r F = ma
在国际单位中，质量的单位为kg（千克），长度的单位为m 在国际单位中，质量的单位为kg（千克），长度的单位为m（米）， kg ），长度的单位为 时间的单位为s ），这些是基本单位。力的单位为N 牛顿）， 这些是基本单位 ），是 时间的单位为s（秒），这些是基本单位。力的单位为N（牛顿），是导 出单位： 出单位： =1kg× 1N =1kg×1m/s2
大学物理--动量定理
u)
u)
mv2
mv1
二.质点系动量定理 质点系：由有相互作用的若干个质点组成
的系统。 内 力：系统内各物体间的相互作用力。
外 力：系统外物体对系统内物体的作用 力。
1.两个质点的质点系
F1
F根相1据加牛fF1顿21 定Fd律d2pt1 f1F22f2f121ddpdtd1pt2
人相对于车的速度为
v'
v
V
M
m
v
M
设人在时间 t 内走到另一端
l t v'dt M m t vdt M m x
0
M0
x M l
v M m
pB mvB 2 kg m
方向如图
It1t2 mvB mvA
s
mvA I t1t2
mvB
It1t2 mvA2 mvB2
6 N s 方向 tg mvB 2
mvA 2
54o44'
mv
It1 t2
A
mvB
dp p1
fij
0
或 F
dp总动量
p2
p1
dt
合外力
即系统所受合外力的冲量等于质点系总动量
的增量。
----质点系的动量定理
三.系统动量守恒
当合p外i 力mFivii
0 时：
=常矢量
d dt pi 0
即质点系所受合外力为零时，质点系的总动
量保持不变。 ----系统的动量守恒定律
2
2(2 t)dtj
2-1牛顿定律
v
y S
ν
y′ S′
P
y
y′ S
vt
o o'
r
x x
O
r′
x
r0
z
z′
O′
x x′
质点在两个坐标系位失的关系:r = r0 + r ′ 质点在两个坐标系位失的关系:
t时刻质点 p在 S 系和s′ 系的空间和时间坐标的关系为: 系的空间和时间坐标的关系为: x′ = x vt r = r0 + r ′ y′ = y 或: t = t′ z′ = z t′ = t
的关系: 的关系: 与合外力 F (2)加速度 a
dv 力的作用与加速度是瞬时对应的 F = m dt
F
今天 明天
a
注意定律的矢量性----定律中的力和加速度都是矢量. 注意定律的矢量性----定律中的力和加速度都是矢量. ----定律中的力和加速度都是矢量 牛顿第二定律( 牛顿第二定律(合)矢量式: 矢量式:
ห้องสมุดไป่ตู้
总结 (1) 凡相对于惯性系作匀速直线运 ) 凡相对于惯性系作匀速直线运 的一切参考系都是惯性系. 动的一切参考系都是惯性系. (2) 对于不同惯性系,牛顿力学的 不同惯性系 ) 对于不同惯性系, 规律都具有相同的形式, 相同的形式 规律都具有相同的形式,与惯性系的运 动无关 伽利略相对性原理. 伽利略相对性原理.
�
F…牛顿
m…千克
…. 秒 a 米/秒2 不是力, (3) ma不是力,它是力的作用效果 牛顿第二定律的微分形式
dv d(mv) F = ma = m = dt dt
物体的质量m与其运动速度 的乘积叫做物 物体的质量 与其运动速度v的乘积叫做物 与其运动速度 → 体的动量, 表示. 体的动量,用p表示. 表示 动量 P = mv是物体运动强弱的量度
动量守恒专题知识讲座
2.积分形式：
t
t0 F外dt i mivi i mivi0
或： Ii p p0
3.分量式：
i
Iix px p0x
i
Iiy py p0 y i
Iiz pz p0z i
质点系动量定理 ：作用于系统旳合外力旳冲量
等于系统总动量旳增量。
讨论：
(1)系统旳内力不能变化系统旳总动量。定理中不出现系 统旳内力，所以研究某些力学问题甚为以便。
物体旳质心一定在物体上吗？
质心与重心是不同旳概念,它们 一定在同一点上吗?
二、质心运动定理
质心旳速度 （ rc 对t 求导）
vc
i
mivi
mi
mivi
i
m
i
质点系旳总动量 p mivi mvc
i
质点系旳总动量旳变化率
dp dt
m d vc
dt
mac
dp dt
m d vc
X
dm v sin dmr v dml v 又：dmr dml dm
联立解得：dmr
1（1 2
sin
）dm，dml
1（1 sin）dm
2
qr
dmr dt
1 2
（q 1
sin
），ql
1 （q 1 sin）
2
3-3 质点系动量守恒定律
对质点系统而言，外力旳矢量和为零时，该系统旳
总动量守恒。
因质点系旳总动量为p 对质心参照系来说 P
mivi mvc
mivi mvC 0
所以，质心参照系是 零动量参照系。
m1v1
m2v20
例. 两质点系统，
在其质心参照系中，m1v10
物理 动量定理
s=
vf
2
+ v0
2
4 g sin θ
4g = 4.1(m)
h = s sin θ =
v f + vo
练习1 利用动能定理重做例题 。 练习1、利用动能定理重做例题2-4。 如图所示，细棒下落过程中， 解：如图所示，细棒下落过程中，合外力对它作的功为
应用动能定理， 应用动能定理 ， 因初速 度为0，末速度v可求得如下 度为 ，末速度 可求得如下
∴ I = I x + I y = 2 mv
2 2
θ = tg
−1
Iy Ix
= 45
0
落到另一传送带B，如图， 例2：矿砂从传送带 落到另一传送带 ，如图， ：矿砂从传送带A落到另一传送带 其速度 v1=4m/s ，方向与竖直方向成 30°角， ° 而传送带B与水平成 而传送带 与水平成 15 ° 角，其速度 v2=2m/s 。 如传送带的运送量恒定，设为k 如传送带的运送量恒定，设为 = 20kg/s 。 求 落到传送带B上的矿砂在落上时所受的力。 落到传送带 上的矿砂在落上时所受的力。 上的矿砂在落上时所受的力
二、质点的动能定理 r r
r F ⋅ dr =
b
1 2 1 2 mv : 质点的动能，用 K表示，EK＝ mv E 2 2
A = Ekb − Eka
合外力所作的功＝质点动能的增量 合外力所作的功＝
例、一物体由斜面底部以初速v0＝10m/s向斜面上 一物体由斜面底部以初速 向斜面上 方冲去，然后又在斜面上下滑， 方冲去，然后又在斜面上下滑，滑到底部时速度 变为v 变为 f=8m/s，已知斜面倾角 为300,物体与斜面 ，已知斜面倾角θ为 物体与斜面 间有摩擦力。求物体上冲到最高点的高度。 间有摩擦力。求物体上冲到最高点的高度。 解：上冲过程
牛顿第二定律及其微分形式(精)
dt
速度远低于光速时，过渡为
F
ma
牛顿第二定律的微分形式是基本的普遍形式， 适用于高速运动情况与变质量问题。
牛顿第二定律及其微分形式
2. 牛顿第二定律的微分形式
牛顿第二定律原文意思：运动的变化与所加的 动力成正比，并且发生在这力所沿直线的方向上。
这牛里顿dp的第p“二m运定Fv动律或”实d指质p物上体是F的： 质d t量和牛二分牛二分牛定速分顿的形顿的形顿 律度形第微式第微式第的矢式二微量的乘积。
§2-3 牛顿第二定律及其微分形式
1. 牛顿第二定律
牛顿第二定律：物体受到外力作用时，它所获
得的加速度的大小与外力的大小成正比，并与物体
的质量成反比，加速度的方向与外力的方向相同。
F
ma
对应单位： N kg m/s 2
牛顿第二定律
讨论：
(1)质量的理解：质量是惯性的量度。不受外力保
持运动状态不变；一定外力作用时，质量越大，加
速度越小，运动状态越难改变；质量越小，加速度
越大，运动状态容易改变。因此，这里的质量叫做
惯性质量。
(2)瞬时性的理解：定律中的力和加速度都是瞬时
的，同时存在，同时消失。
F
md
v
dt
牛顿第二定律
(3)矢量性的理解：矢量表达式，力与加速度 都是矢量，二者方向相同，满足叠加原理。
叠加原理：几个力同时作用在一个物体上，物 体产生的加速度等于每个力单独作用时产生的加 速度的叠加。
m d vz dt
m
d2 dt
z
2
Ft
mat
mdv dt
Fn
man
m
v2
牛顿第二定律及其微分形式
牛顿第二定律的积分形式-3
火药是古代中国的四大发明之一。秦汉的炼丹术士们把五金、 八石、硝石、三黄等混合共炼，发明了火药。
经过配方和工艺的改进，明代成为中国古代火箭技 术运用的全盛时期。火箭武器种类繁多，著名的有 震天雷，一窝蜂，神火飞鸦，飞空砂筒，火龙出水 等。
分析：由于被提起的绳的质量是随提起的高度变化的，在 t 时 刻到 t +Δt 时刻系统动量有变化，根据动量定理，可求出手的 提力。
解：以整个绳索为研究对象，它 共受到三个力的作用：重力 G、 台面支持力 N 和手的提力 F。在 这三个力的共同作用下，系统的 动量在不断的变化。
v0 x
在 t 时刻，当绳索提高 x 时系统的动量为：
n
Fi外
m i vi Fi内
因内力成对出现，则 Fi内 0；等式两边积分
n
d m v i i n n i 1 Fi外 Fi内 dt i 1 i 1
t2
t1
n n Fi外 dt mi vi mi vi 0 i 1 i 1 i 1 n
i 1
t2
n n F dt m v m v i i i i0 i 合 t1 i 1 i 1
可写成
I P P0
质点系动量定律：作用于系统的合外 力的冲量等于系统总动量的增量。 讨论： (1)系统的内力不能改变系统的总动量。
定理中不出现系统的内力，因此研究某些力 学问题甚为方便。
（2）质点系动量定律可写成
dp Fi合 dt dp 或 Fi合 dt
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
dt
速度远低于光速时，过渡为
F
ma
牛顿第二定律的微分形式是基本的普遍形式， 适用于高速运动情况与变质量问题。
牛顿第二定律及其微分形式
2. 牛顿第二定律的微分形式
牛顿第二定律原文意思：运动的变化与所加的 动力成正比，并且发生在这力所沿直线的方向上。
这里的“运动”指物体的质量和速度矢量的乘积。
p mv
速度越小，运动状态越难改变；质量越小，加速度
越大，运动状态容易改变。因此，这里的质量叫做
惯性质量。
(2)瞬时性的理解：定律中的力和加速度都是瞬时
的，同时存在，同时消失。
F
m
d
v
dt
牛顿第二定律
(3)矢量性的理解：矢量表达式，力与加速度 都是矢量，二者方向相同，满足叠加原理。
叠加原理：几个力同时作用在一个物体上，物 体产生的加速度等于每个力单独作用时产生的加 速度的叠加。
§2-3 牛顿第二定律及其微分形式
1. 牛顿第二定律
牛顿第二定律：物体受到外力作用时，它所获
得的加速度的大小与外力的大小成正比，并与物体
的质量成反比，加速度的方向与外力的方向相同。
F
ma
对应单位： N kg m/s 2
牛顿第二定律
讨论：
(1)质量的理解：质量是惯性的量度。不受外力保
持运动状态不变；一定外力作用时，质量越大，加
牛顿第二定律实质上是：
d
p
F
或
d
p
F
d
t
牛二分牛二分牛定分顿的形顿的形顿 律形第微式第微式第的式二微
dt
速度远低于光速时，过渡为
F
ma
牛顿第二定律的微分形式是基本的普遍形式， 适用于高速运动情况与变质量问题。
d2 z m dt2
Ft
mat
mdv dt
Fn
man
v2 m
牛顿第二定律及其微分形式
2. 牛顿第二定律的微分形式
牛顿第二定律原文意思：运动的变化与所加的 动力成正比，并且发生在这力所沿直线的方向上。
这里的“运动”指物体的质量和速度矢量的乘积。
p mv
牛顿第二定律实质上是：
d
p
F
或
d
p
F
d
t
牛二分牛二分牛定分顿的形顿的形顿 律形第微式第微式第的式二微
分别力表F示1、合力F2、、合、加速Fi度同，时a作1、用在a2、物体、上a，iF分、别a
表示各个力产生的加速度。
牛顿第二定律
F
mmaaF1 imFa12F2
mai
Fi
直角坐标系与自然坐标系中的分量形式
Fx
m d vx dt
m
d2 dt
x
2பைடு நூலகம்
Fy
m d vy dt
m
d2 dt
y
2
Fz
m d vz dt