随机变量分布及数字特征

第十章 随机变量分布及数字特征

10.1 随机变量 10.2 离散型随机变量分布

1、学时：2学时

2、过程与方法：

结合实例介绍随机变量概念，离散型随机变量的概率分布、分布列、分布函数、概率及性质. 3、教学要求：

（1）掌握随机变量及离散型随机变量的概率分布、分布列、分布函数、概率及性质 （2）几种常见概率分布

教学重点：离散型随机变量的概率分布、分布列、分布函数、概率及性质 教学难点：离散型随机变量的分布函数 教学形式：多媒体讲授 教学过程：

一、新课教学内容

10.1 随机变量

概率论与数理统计是从数量上来研究随机现象的统计规律，因此我们必须把随机事件数量化． 在随机试验中，结果有多种可能性，试验结果样本点很多可以与数值直接发生关系，如产品检验，我们关心的是抽样中出现的废品件数．商店销售我们重视每天销售额，利润值．在投骰子中是每次出现的点数等．

但是也有不少试验结果初看与数字无直接关系，但我们可通过如下示性函数使之数值化，比如，产品合格与不合格令⎩⎨⎧=01ξ

不合格

合格 事件10A A X ⎧=⎨⎩发生与否用 不发生发生

这些事件数值化后，数量是会

变化的称为变量．变量取值机会有大有小所以叫随机变量 ．

定义1：在某一随机试验中，对于试验的每一个样本点ω都唯一对应一个数，这样依不同样本点ω而取不同值的点叫随机变量．通常用希腊字母或大写英文字母X 、Y 、Z 等表示．用小写英文字母i i y x 、表示随机变量相应于某个试验结果所取的值．

举例：

1°投骰子出现的点数用随机变量X 表示，X 可取值为{

}，，，，，，654321 2°电信局话务台每小时收到呼叫次数用Y 表示，Y 可取值为{} 210，，

3°总站每五分钟发某一路车，乘客在车站候车时间{}

50≤≤=t t ξ 4°某一电子零件的寿命用{}

30000≤≤=t t T 按其取值情况可以把随机变量分成两类：

（1）离散型随机变量：取有限个或无限可列个值．如例1°、2°．

（2）非离散型随机变量：可在整个数轴上取值或取实数某部分区间的全部值．非离散型随机变量范围较广，本书只研究其中常遇见的一种称为连续型随机变量如例3°、4°．

例1 设有2个一级品，3个二级品的产品，从中随机取出3个产品，如果用X 表示取出产品中一级品的个数，求X 取不同值时相应概率．

解 X 可取值为{}210，，

101)0(3533===C C X P 53)1(352312===C C C X P 103

)2(35

1

322==C C C X P 例2 抛一枚匀称的硬币，引进一变量Y 令⎩⎨⎧=0

1Y 出现反面

出现正面求出现正面与反面概率：

解 21)0(=

=Y P 2

1)1(==Y P 10.2 离散型随机变量分布

10.2.1 离散型随机变量的概率分布

例1 某汽车公司销售汽车数据表示在过去100天营业时间是有24天每天销售汽车是为0辆，38天

每天销售为1辆，20天每天销售是为2辆，12天每天销售是为3辆，6天每天销售是为5辆．我们定义随

机变量X 为一天中售出汽车数取值为{}53210，，，，，概率用P （X ）表示，可求出24.0100

24

)0(==

=X P 以此类推计算出汽车销售概率分布表为：

从上表可知P （X=1）=0.38，一天最有可能卖出汽车为1辆．1天中汽车销售是大于等于3辆概率是18.0)5()3(==+=X P X P 这些概率有助于决策者了解某汽车公司销售情况以帮助制定更优策划案．而以上分布表就是离散型随机变量X 的分布表．

定义1 设(1,2

)k x k =为离散型随机变量X 的所有可能取的值，k p 是随机变量X 取k x 值时相应

概率即得式子 ()(1,2,

)k k P X x p k ===或写成如下表格形式：

上式或上表称为离散型随机变量X 的概率分布或分布律

由定义知概率分布具有下面性质． （1）0k

p ≥ （k=1，2…） （2）1k k

p =∑

只有k p （k=1，2…）满足上述两条性质时上式或上表才能成为随机变量X 的概率分布．

定义2 对于离散型随机变量X ，若对任何实数x 令()()k k

x x

F x P X x p

≤=≤=∑称)(x F 为随机变量X

的分布函数．

分布函数)(x F 具有如下性质：

（1）1)(0≤≤x F （2）)(x F 是不减函数

（3）()lim ()0x F F x →-∞

-∞== ()lim ()1x F F x →+∞

+∞==

（4）)(x F 若有间断点，在其间断点处右连续 （5）)()()(1221x F x F x X x P -=≤<

例2 设有一批产品10件，其中3件次品，从中任抽2件，如果用X 表示抽取次品数，求X 的概率分布与分布函数．

解 设{}抽的次品数=X , 则X 可取值为{}2,1,0．

157)0(21027===C C x P 157)1(2101317===C C C x P 151

)2(21023===C C x P

x ∴的概率分布为2

10

27

3)(C C C k x P k

k -== )210(、、=k 或用表格表示即

其分布函数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨

⎧≤<≤<≤<=x x x x x F 21

2115141015

7

00

)(

例3 某水果店，根据零售葡萄的经验，预计做一笔生意，希望从这批货中得到毛利如下表：

求每吨葡萄所得毛利分布列和分布函数，并画出分布函数图．

解 设每吨葡萄所得毛利为X 千元则x 可能取值为{}2,1,2-

∴其概率分布为

其分布函数⎪⎪⎩⎪

⎪⎨⎧=1

6.01

.00)(x F 221122≥<≤<≤--