第10章 压 杆 稳 定分析

第10章压杆稳定

提要：本章着重讨论受压直杆的稳定性计算。通过对两端铰支细长压杆的稳定性分析，阐明压杆的平衡稳定性的基本概念，明确压杆的临界力的意义及其确定方法，并进一步讨论了不同支承情况对临界力的影响及其欧拉公式的统一形式。通过临界应力总图明确了压杆的柔度的物理意义，并揭示了压杆的强度和稳定性之间的关系，从而明确了欧拉公式的适用范围。介绍了运用长、中柔度杆稳定计算公式进行简单的压杆稳定校核的方法。

10.1 压杆稳定的概念

在绪论中已指出，衡量构件承载能力的指标有强度、刚度、稳定性。关于杆件在各种基本变形以及常见的组合变形下的强度和刚度问题在前述各章节中已作了较详细的阐述，但均未涉及到稳定性问题。事实上，杆件只有在受到压力作用时，才可能存在稳定性的问题。

在材料的拉压力学性能实验中，当对高为20mm，直径为10mm的短粗铸铁试件进行压缩试验时，其由于强度不足而发生了破坏。从强度条件出发，该试件的承载能力应只与其横截面面积有关，而与试件的长度无关。但如果将该试件加到足够的长度，再对其施加轴向压力时，将会发现在杆件发生强度破坏之前，会突然向一侧发生明显弯曲，若再继续加力就会发生折断，从而丧失承载能力。由此可见，这时压杆的承载能力并不取决于强度，而是与它受压时的弯曲刚度有关，即与压杆的稳定性有关。

在工程建设中，由于对压杆稳定问题没有引起足够的重视或设计不合理，曾发生了多起严重的工程事故。例如1907年，北美洲魁北克的圣劳伦斯河上一座跨度为 548米的钢桥正在修建时，由于两根压杆失去稳定，造成了全桥突然坍塌的严重事故。又如在19世纪末，瑞士的一座铁桥，当一辆客车通过时，桥桁架中的压杆失稳，致使桥发生灾难性坍塌，大约有200人遇难。还有在1983年10月4日，地处北京的中国社会科学研究院科研楼工地的钢管脚手架距地面5~6处突然外弓，刹那间，这座高达54.2米，长17.25米，总重565.4kN的大型脚手架轰然坍塌，5人死亡，7人受伤，脚手架所用建筑材料大部分报废，而导致这一灾难性事故的直接原因就是脚手架结构本身存在严重缺陷，致使结构失稳坍塌。实际上，早在1744年，出生于瑞士的著名科学家欧拉(L. Euler)就对理想压杆在弹性范围内的稳定性进行了研究，并导出了计算细长压杆临界压力的计算公式。但是，同其它科学问题一样，压杆稳定性的研究和发展与生产力发展的水平密切相关。欧拉公式面世后，在相当长的时间里之所以未被认识和重视，就是因为当时在工程与生活建造中实用的木桩、石柱都不是细长的。直到1788年熟铁轧制的型材开始生产，然后出现了钢结构。特别是19世纪，随着铁路金属桥梁的大量建造，细长压杆的大量出现，相关工程事故的不断发生，才引起人们对压杆稳定问题的重视，并进行了不断深入的研究。

除了压杆以外，还有许多其它形式的构件也同样存在稳定性问题，如薄壁球形容器在径向压力作用下的变形(图10.1(a))；狭长梁在弯曲时的侧弯失稳(图 10.1(b))；两铰拱在竖向载荷

作用下变为虚线所示形状而失稳(图10.1(c))等等。但材料力学只涉及到了压杆的稳定性问题，同时它也是其它形状构件稳定性分析的理论基础。

图10.1 几种其它形式的稳定性问题

(a)薄壁球形容器的失稳；(b)狭长矩形截面梁的侧弯失稳；(c)两铰拱的失稳

所以，对细长压杆而言，使其失去承载能力的主要原因并不是强度问题，而是稳定性问题。我们以图10.2(a)所示两端铰支受轴向压力的匀质细长直杆为例来说明关于稳定性的基本概念。当杆件受到一逐渐增加的轴向压力F作用时，其始终可以保持为直线平衡状态。但当同时受到一水平方向干扰力Q干扰时，压杆会产生微弯(如图10.2(a)中虚线所示)，而当干扰力消失后，其会出现如下两种情况：

① 当轴向压力F小于某一极限值F cr时，压杆将复原为直线平衡。这种当去除横向干扰力Q 后，能够恢复为原有直线平衡状态的平衡称为稳定平衡状态，如图10.2(b)所示。

② 当轴向压力F大于极限值F cr时，虽已去除横向干扰力Q，但压杆不能恢复为原有直线平衡状态而呈弯曲状态，若横截面上的弯矩值不断增加，压杆的弯曲变形亦随之增大，或由于弯曲变形过大而屈曲毁坏。将这种原有的直线平衡状态称为不稳定平衡状态，如图10.2(c)所示。

③ 当轴向压力F等于极限值F cr时，压杆虽不能恢复为原有直线平衡状态但可保持微弯状态。将这种由稳定平衡状态过渡到不稳定平衡状态的直线平衡，称之为临界平衡状态,如图

10.2(d)所示。而此时的临界值F cr称为压杆的临界力(critical force)。将压杆丧失其直线平衡状态而过渡为曲线平衡，并失去承载能力的现象，称为丧失稳定，或简称为失稳(lost stability buckling)。

以上所述“材料均匀、轴线为直线、压力作用线通过轴线”的等直压杆又称为理想的“中心受压直杆”。而实际的压杆由于材料的不均匀、初曲率或加载的微小偏心等等因素的影响，均可引起压杆变弯。所以，实际压杆会在达到理想压杆临界压力之前就突然变弯而失去承载能力。故实际压杆的轴向压力极限值一定低于理想压杆的临界压力F cr。但为了便于研究，本章主要以理想中心受压直杆为研究对象，来讨论压杆的稳定性问题。

综上所述可知，压杆是否具有稳定性，主要取决于其所受的轴向压力。即研究压杆的稳定性的关键是确定其临界力F cr的大小。当F F cr时，压杆处于稳定平衡状态；当F > F cr时，则处于不稳定平衡状态。

图10.2 细长压杆的平衡形式

(a) 受水平干扰力的杆件微弯；(b) 细长压杆稳定平衡；

(c) 细长压杆不稳定平衡；(d) 细长压杆临界平衡

10.2 两端铰支中心压杆的欧拉公式

设两端铰支的理想中心受压细长直杆，当其压力达到临界值F cr时，在横向因素的干扰下压杆可在微弯状态下保持平衡。可见，临界压力F cr就是使压杆保持微弯平衡的最小压力。现来确定此临界压力F cr的计算公式。

建立如图10.3所示坐标系xoy，假想距坐标原点O为x处将杆件截开，取其一部分为研究对象(如图10.3(b)所示)，则在截面上除了有轴向压力F cr外，还作用有弯矩M(x)，弯矩值为

(a)

图10.3 细长压杆的平衡形式

(a) 细长压杆的受压平衡；(b) 细长压杆局部受力分析

当压杆的应力在比例极限范围以内，即在线弹性工作条件下，可利用第六章的公式(6-1)，即梁在小变形条件下挠曲线近似微分方程

(b)

将(a)式代入式(b)可得杆轴微弯成曲线的近似微分方程为

(c)

令

(d)

可得一常系数线性二阶齐次微分方程

(e)