无差异曲线案例

四、消费者均衡 1、消费可能线（也称预算线或价格线）。表示 在收入既定、商品价格已知的条件下，消费者可买到 的各种商品的数量。 或者表示在商品空间（二维）中，消费者花费所 有的钱所能买到的商品束的集合。 假设消费者在某一定时期的收入（M）既定或已知， 且用收入（M）只能购买X、Y两种商品，又知商品X、Y 的价格为PX 、PY。则有： PX X+ PYY ≤ M
Y MRS
X XY
边际替代率∆ Y/ ∆ X总是负数，因为∆ X与∆ Y
的变动方向相反。
2、边际替代率递减规律。为得到某一单位某种 物品而愿意牺牲（放弃）的另一种物品的数量是递减 的。
或者说，在连续增加某一种商品时，人们所愿意 放弃的另一种商品的数量是递减的。
组合方式 X
a
5
Y 变动情况 X增加量 Y减少量 MRSXY 绝对值
离原点越远的无差异曲线，所代表的满足程度越 高。
离原点越近的无差异曲线，所代表的满足程度越 低。
也就是说，在同一条无差异曲线上，满足程度是 相同的。不同的无差异曲线上，满足程度是不相同的。
Y
U3
U1
U2
O
X
图 3-4
（3）任意两条无差异曲线不相交 Y
•a
b
• •c
U2 U1
O
X
图 3-5
（4）无差异曲线是一条凸向原点的曲线。这意味 着无差异曲线的每个点都在其切线的上方。
限度的购买。
3、消费可能线的移动
（1）从 Y 1 MPX X 可以看出：
PY
PY
当PX 、 PY不变时，若收入（M）增加，消费可能
线向右上方平移，这时预算空间的范围扩大了。
当PX 、 PY不变时，若收入（M）减少，消费可能 线向左下方平移，这时预算空间的范围缩小了。
Y
A1
A
M增加
A2
M减少
O
X
B2
第二节 无差异曲线分析
上节中，我们谈到可以用基数1，2，来表示效用 的大小，这是基数效用论的观点。有关这一点，一些 西方经济学家持有异议，他们认为，效用是指人们的 偏好，是一种心理活动或心理感觉，无法用具体的效 用单位来衡量，而只能按先后次序来排列。因而提出 了序数效用的概念。在此基础上建立起来的无差异曲 线分析，从另一个角度描述了消费者的行为。
（2）两种商品有替代关系 当商品之间有替代关系时，无差异曲线属标准情
形，即必定凸向原点。在二维空间的平面图上，我们 可以给出无数条无差异曲线。
当我们知道消费者的收入M，商品X、Y的价格既定 时，则可由PX X+ PYY = M绘出一条预算线。当将预算 线绘在与无差异曲线同一平面时，必有一条无差异曲 线与其相切（如下图中的P点）。
一、序数效用 指用顺序来衡量效用。如只能说 A ≻ B，B ≺ C， 不能说A的效用为B的若干倍，或C的效用为B的若干分 之一。无差异曲线分析法是序数效用论的基础。 二、无差异曲线及特征 1、无差异曲线。用来表示消费者在一定的偏好、 技术和资源条件下，选择商品时对不同商品组合的满 足程度是无区别的曲线（或提供的效用是相同的）。
或者说，能够使消费者得到同样满足程度的两种
商品不同组合的轨迹。
例如，有X、Y两种商品，它们有六种组合，这六
种组合可以给消费者带来同样的满足。
组合方式 a b c d e f
X商品 5
10 15 20 25 30
Y商品 30 18 13 10 8 7
Y 30 • a
13
•c
7
•f
O5
15
30
X
图3-3
30
b
10 18 a→b
5
12
2.4
c
15 13 b→c
5
5
1.0
d
20 10 c→d
5
3
0.6
e
25 8 d→e
5
2
0.4
f
30 7 e→f
5
1
0.2
Y
•a
∆Y
•b
∆X
•c
O
X
图 3-7
上图中，随X的逐渐增加，为使满足程度（效用） 不变，每增加1单位X所替代的Y的数量是逐渐减少的。
理由：X的数量增加，其满足程度（或边际效用水 平）逐渐减少，而Y的满足程度（或边际效用）则逐渐 提高。
边际替代率实际上即为无差异曲线的斜率。例如，
上图中，从a→b的边际替代率就是无差异曲线上从 a→b的斜率。
若X的增量∆X →0，则∆Y →0，而∆Y / ∆X 则趋 于一个极限值。即：
limY dY X0 X dX 这个导数的数值，即无差异曲线上任一点的边际替 代率，可用过该点对曲线所作切线的斜率来表示。 由于无差异曲线的斜率是逐渐减少的，所以无差异 曲线必为一条凸向原点的曲线。
Y（镜架）
2
1
O 24 图 3-6
U2 U1
X（镜片）
需要说明的是，无差异曲线只表示消费者对可能 存在的商品组合的主观反应，并不能说明消费者将选 择哪些商品组合的商品束。
三、边际替代率（MRS） 1、定义。在维持满足程度不变的前提下，为增 加一单位某种商品而需要减少的另一种商品的单位 （数量）。 设有X、Y两种商品，X替代Y的边际替代率为：
相对价格（ PX / PY ）是很重要的概念，它与消 费者的消费决策有关。 PX / PY 的比值发生变化，意 味着相对价格的变化。一般来说：
当名义收入（M）不变，而X、Y的名义价格PX 、PY 按比例增加时， PX / PY （相对价格）不变，这等效 于实际收入减少。
当名义收入（M）不变、Y的名义价格PY不变，而X 的名义价格PX上升时，等效于Y对X的相对价格（ PY/ PX ）的减少，或X对Y的相对价格（PX / PY）的增加。 在这种情况下，消费者将减少X的购买量，增加Y的购
有关这一点。下面还要用边际替代（换）率的概 念说明。
3、直角形无差异曲线——非标准情形 在商品之间有完全互补关系的条件下，无差异曲 线成为直角弯曲的曲线。 例如，眼镜架和眼镜片是互补商品，可以有各种 不同的组合方式。但眼镜架和眼镜片必须按严格的比 例来组合，太多的眼镜架或太多的眼镜片，一点也增 加不了效用。
PX X+ PYY ≤ M X ≥ 0, Y ≥ 0
Y
A
.b
.a
O
图 3-9
X B
预算空间说明，在消费可能线AB以内任意一点 （如a）表明消费者还有潜力，即还能用他的收入买 到更多的商品，以得到更大程度的满足。
而AB线以外的任意一点（如b ），表示消费者
在既定收入和价格之下无法达到这样的水平。 在AB线上任意一点，则是消费者所能实现的最大
X、Y商品的边际效用为MUX 、MUY 则： MUX = ∆TU / ∆X ∆X = ∆TU / MUX
MUXY = ∆TU / ∆Y ∆Y = ∆TU / MUY 故： MRSXY = ∆Y / ∆X = （∆TU / MUY）/ （∆TU / MUX）
= MUX / MUY
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上述不等式可在二维空间用图绘出，考虑直线方
程：
PX X+ PYY = M
解得： Y 1 MPX X
PY
PY
Y
AB：消费可能线；
PX / PY：AB线的负斜率；
A
M / PY：纵轴截距，等于OA；
消费可能线AB由PX / PY（相对价
格）及收入M所决定。
OБайду номын сангаас
BX
图 3-8
2、预算空间 由下列三个不等式所定义的商品空间的一个区域
最佳消费行为必定在U2与预算线AB相切的P点上。
Y
A
• Q1 • P1
Y0
•P
P• 2 •Q2
U3
U2 U1
O X0
X B
图 3-12
无差异曲线U2与预算线AB相切之点P的特点。 在P点，X与Y的边际替代率相等。即：
X Y的 的减 增 少 加 Y X量 量 Y X的 的价 价 P PY X格 格
无差异曲线表明，线上的任何一点，给某个消费 者的满足程度是相同的。
2、标准无差异曲线的特征 （1）向右下方倾斜，具有负斜率。
说明在收入、价格既定的条件下，为获得同样的 满足程度，增加一种商品就必须减少另一种商品。两 种商品不能同时增加或减少。
（2）当消费者的收入与商品的价格不同时，可得 到其他不同的组合方式，从而产生若干条不同的无差 异曲线。
买数量。
4、消费者均衡——在有限收入下的最大满足 （1）均衡位置。无差异曲线代表的是消费者 对不同商品组合的主观态度，而预算线约束则显 示了消费者有支付能力的商品消费的客观条件， 将两者放在一起，就能决定消费者的最后选择。 把无差异曲线与预算线合在一个图上，那么，预 算线必定与无差异曲线中的一条切于一点，在这 个切点上就实现了消费者均衡。
总之，当达到均衡状态时，消费者用有限的收入M， 在既定价格之下购买商品X的数量为X0 ，购买商品Y的数 量为Y0 ，则可达到最大限度的满足。
（3）商品有完全互补关系
Y
A Y0
• P1 • Q1 • P
U3
P•2
U2
•Q2
U1
O
X0
X B
图 3-13
五、边际效用分析与无差异曲线分析结论的一致性
边际分析法：MUX / MUY = PX / PY 无差异曲线分析法： MRSXY = ∆Y / ∆X = PX / PY 因此， MRSXY = MUX / MUY 证明：设消费者小贩两种商品X和Y的总效用为TU，
而在比它离原点近的无差异曲线U1，虽然AB线同 它有两个交点Q1和Q2，说明在Q1和Q2点上所购买 的X商品与Y商品的数量也是收入与价格既定的条
件下最大的组合，但U1＜U2。Q1和Q2时X商品与Y 商品的组合并不能达到最大的效用。
为什么只有当MRSXY = PX / PY 时，才能获得 最大满足呢？
若MRSXY = dY/dX > PX/PY，即无差异曲线的 斜率大于预算线的斜率的绝对值。在图中为Q1点。 理性的消费者会沿着预算线AB减少对商品Y的购 买而增加商品X的购买，直到达到均衡点P。此时， 消费者才能处于一种既不想再增加也不想再减少 任何一种商品购买量的一种均衡状态。
若MRSXY = dY/dX < PX/PY ，即无差异曲线的 斜率小于预算线的斜率的绝对值。在图中为Q2点。 理性的消费者会沿着预算线AB减少对商品X的购 买而增加商品Y的购买，直到达到均衡点P。此时， 消费者才能处于一种既不想再增加也不想再减少 任何一种商品购买量的一种均衡状态。
也就是说，在P点上，无差异曲线的负斜率 （ ∆Y/ ∆X，即边际替代率）与预算线的负斜率PX / PY （X、Y的价格比）相等。即：
MRSXY = ∆Y / ∆X = PX / PY =dY/dX （均衡条件）
为什么只有在这个切点时才能实现消费者均
衡呢？在比它离原点远的无差异曲线U3 所代表 的效用大于U2，但预算线AB同它既不相交又不相 切，这说明达到Y3效用水平的X商品与Y商品的数 量组合在收入与价格既定的条件下是无法实现的。
（4）当M不变， PX 不变而PY变化（或PY不变 而PX变化）时，不仅预算线的斜率PX/ PY会发生 变化，而且预算线的截距也发生变化。
（5）当消费者的收入和两种商品的价格都同 比例同方向变化时，预算线不发生变化。这是因 为，此时预算线的斜率不会发生变化，其截距也 不会发生变化。这说明消费者的全部收入用来购 买其中任何一种商品的数量都是不变的。
B
B1
图 3-10
（2）当M、PY不变时，若PX提高，导致PX / PY增加 （斜率变大），消费可能线向顺时针方向移动。
当M、PY不变时，若PX降低，导致PX / PY减少（斜 率变小），消费可能线向逆时针方向移动。
Y
A
O
X
B1
B
图 3-11
（3）当M不变， PX和 PY 同比变化，则预算 线平移。因为PX/ PY 不变。P同比下降，预算线 右移，P同比上升，预算线左移。