两个向量的数量积的性质.

课 题：向量的数量积（1）

教学目的：掌握向量的数量积及其几何意义；掌握向量数量积的重要性质及运算律；了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；掌握向量垂直的条件. 教学重点：平面向量的数量积定义

教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用

教学过程：

一、问题情境：

1.问题：向量的运算有向量的加法、减法、数乘，那么向量与向量能否“相乘”呢？

2.实例:一个物体在力的作用下发生了位移,那么该力对此物体所做的功为多少? 力做的功：θcos ||.||s F w =，θ是F 与s 的夹角.

二、讲解新课：

（一）概念形成与知识建构：

1．两个非零向量夹角: ，叫做向量a 与b 的夹角. 注：当0=θ时，与同向；当πθ=时，与反向；当2π

θ=时，与垂直，记⊥. 2．平面向量数量积（或内积）的定义： ，记作⋅，即⋅a b θcos ||.||b a =，（０≤θ≤π）.规定0与任何向量的数量积为0.

注:当与同向时，⋅= ；当与反向时，⋅ ；

特别地, ⋅a a 2||a = 或=||a (二)⋅探究：

两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别:

（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos θ的符号所决定

（2）两个向量的数量积称为内积，书写时符号“· ”不能省略，也不能用“×”代替.

（3）在实数中，若0≠a ，且0=⋅b a ，则0=b ；但是在数量积中，若0≠a

，且⋅0=，不能推出0 =.

(三)知识应用:

例1. 判断正误，并简要说明理由 ①00=⋅；②00=⋅；③-0＝；④⋅||.||b =；⑤若0≠a ，则对任一

非零b ,有⋅a 0≠b ；⑥⋅a b =０，则a 与b 至少有一个为0；⑦对任意向量a ,b ,c 都有

)()(c b a c b a ⋅=⋅；⑧a 与b 是两个单位向量，则2a 2b =.

评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律

例2. 已知向量与向量的夹角为θ,2||=,3||=b ,分别在下列条件下求⋅:

(1) 0135=θ； （2）060=θ； （3）a ∥b ； (4) a ⊥b .

评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］，因此，当ａ∥ｂ时，有0°或180°两种可能.

三、课堂练习：课本:P80 练习:1、2、3

四、小结:

通过本节学习，要求大家掌握平面向量的数量积的定义、重要性质，并能运用它们解决相关的问题

五、作业：课本:P82 习题2.4:1、2、3、4、5

链接：课本:P79-80

（1）“投影”的概念和向量的数量积的几何意义；

（2）两个向量的数量积的性质.