理论力学第六章 点的合成运动 [同济大学]

解： 从例6-2已知得： 1 =
vr r 3 , 2
ω 4
O
解： 从上例已知得： 1 =
r
M
ω 4
va
A
aaτ =0 ，
3 , 4
aan=2r aen=
ωr 8
x’
2
ac 21vr 2 r
va
30°
3 1 1/ s2 8
2
动点取A，
va v A

ar
dvr d 2 x ' ' d 2 y ' ' d 2 z ' ' 2 r 2 j 2 k dt dt dt dt
dx ' di ' dy ' dj' dz ' dk ' dt dt dt dt dt dt
ar ω vr
a a ae a r ac； ac= 2vr
ve
a n a ae a rn a rτ
矢量
1.瞬时状态； 2.可解两个未知量 (大小，方向)。
例6-5 曲柄滑道机构，OA=01A=r=10cm, =30°,=4, 求: 转到30°时直杆的加速度a。 va vr 动点取A； 绝对:圆周； ve 解：相对:圆周；牵连:直线。 [速度] =
a a ae a r ac； aa a an ae aen ar arn ac；
例6-8 曲柄绕O转动，並通过滑块M带动滑槽绕O′摆动， ’ y 求摆动到30°时的角加速度1。
例6-9 将例6-8滑槽改变为图示牛头刨床机构，MA=2r, 求:刨床刨刀的速度，加速度。
vr
dv e dω dr r ω dt dt dt α r ω v e ω v r ae ω v r
vr

vr′ ac
1. vr , ac =0; 2. =0, ac =0; 3. vr =0, ac =0;
dx ' ' dy ' ' dz ' ' i j k； dt dt dt
例6-6 三角楔块可在光滑地面滑动，现在楔块上放一物块可 沿光滑斜面滑下，当t=0时,x=0,y=h,v2=0,a1=10cm/s2 ,a2=10 2 cm/s2，求物块轨迹方程。 解： aax= a1+ a2 cos45°=20cm/s2 aay = –a2 sin45° = – 10cm/s2
2 2 aa aax aay 10 5；tan = aax/ aay=0.5x来自A M b vy
v

M
A b v
y

vA= 3b = 3v/4， vr v
3 2

O
30°
O
30°
aacos60°=0= aeτ–ac
ae 2vr ae 3 v2 ; 2b 8 b 2 v a A (3b ) 2 (3b 2 ) 2 0.676 b 3 v2 , 4 b
车
y x
vr
v sin α
1
例6-2 军舰以20节（1节=1.852 km⁄h）的速度前进，直升飞机以每 小时18 km的速度垂直降落。求直升飞机相对于军舰的速度 的速度垂直降落。求直升飞机相对于军舰的速度。 ` 解：动点：直升飞机。 y' 动系： ：O'x'y'，固连于军舰。 M
定系：固连于海岸。 定系 ：固连于海岸。
ve=14r= r O
r
M
: aancos30°= ac–aeτ
aeτ 2 r 3 4
3 1/ s2 8 a e O 'M

1 1
O′
r 2 r cos30 3 va r vr 2 3
1
2
: aacos30°= ac+aeτ=2 1vr+ 1×4r
如动点为圆盘上一点, 动系在直杆上。
y
x
南
例6-12 直角杆水平匀速推动直杆绕O转动，已知：v=2cm/s， OA=L，b=L/3，求直杆转到30°时直杆A点的速度，加速度。 解： ve= vcos60° = v/2
ω ve v OM 4b
x
如动点M选在OA杆上结果如何? 速度求解尚可，但求加 速度时因轨迹变化复杂， 故向心加速度无法求解， 因此动点选取时应选该 动点不变的点，如直角 端点为动点。 va
y’
O′

vr′ vr

z
北
: aacos30°= ac –aencos60°–arn
ac 2vr ,
arn=vr2/R ， aen 3e
aa

e
x′
Fc mv r sin哥氏惯性力
西
e
2

Fc vr
ac

ac
vr
东
M
水流
3
va

千百年的河流冲刷造成右岸高 于左岸(顺水流方向)。 同样火车行驶对钢轨的作用力 也有哥氏惯性力问题。
哥氏加速度
波桑公式
di dj dk ωk' ωi' , ω j'; dt dt dt
'
'
'
例6-7 空心直管绕O摆动，一个小球沿管作直线运动，试推导 加速度关系。 x ve’– ve” ' ' ” t : v a v e v r , t t : v a ve v r'； ve ve’ ' ' va ve ve va vr' v r lim a lim lim ” ve t t t t 0 t 0 t 0


A M O
a a aan ae aen a r a rn ac；
例6-13 两根T形直角杆如图组合，水平T形直角杆以匀 速v1推动,斜T形直角杆以匀速v2拉动,求滑块M的速度。 解：
y2 y1
例6-14 机构如图，销钉Ｍ能在ＤＢＥ杆的竖直槽内滑动，又能在ＯＡ杆槽内 滑动，现ＤＢＥ以匀速度v ＝２０cm／ｓ向右平动。ＯＡ杆以匀角速度ω＝ 2 rad／ｓ转动。当θ＝45°时，Ｍ点运动到图示位置，Ｌ＝30cm。试求此瞬时 销钉Ｍ的绝对速度。 A D 解 : 以销钉Ｍ 为动点，ＯＡ为动系 从图中有：
A′ A x
B
lim
t 0
MM ' M "M ' MM " lim lim t t t t 0 t 0
vr
M”
ve y
动点绝对速度=相对速度+牵连速度 z
通过一个动点、 两种坐标，将复杂 运动分解成简单运动。
va vr ve
va
矢量
vr
x
1.瞬时状态； 2.可解两个未知量 (大小，方向)。
v M v1e v1r v 2 e v 2 r
v1= v1e， v2= v2e 投影方程求得vr1,vr2,再求得vM。
v M v1e v1r
再以销钉Ｍ为动点，ＤＢＥ为动系 v1 速度有：
v M v 2e v 2r
M
L
v M v1e v1r v 2 e v 2 r
' ve v' v" v" v ve lim e e lim e e a1 ae lim t t t t 0 t 0 t 0
va vr ve
ve va vr
[速度矢量图] aC
ve vr vr vr” vr’– vr”
’
aen
aeτ aa τ
ve’ vr’
aa a A 2 r 2 3
30°

1 1
O′
3
例6-10 偏心园盘绕O转动，并推动直杆上、下运动， 求转到60°时直杆的速度a。
例6-11
河流由北朝南流动，求哥氏加速度的方向。
解： 从例6-3得： vr = R
aa
M R O
vr′= vrsin
c v r sin
第六章 点的合成运动
雨点 车 v
月 火箭
地球
运动学
韋林教授
v
两个水手决斗
§6-1 概念
AB AA A B
' '
y′
x′
y′
x′
§6-2 速度合成定理
绝对运动=相对运动+牵连运动 x'
z′
y′ vr va
M
M′
静系：固结在地面
动系：相对于地面运动 y 动点：对于动系、静系 运动 绝对运动=相对运动+牵连运动
v vr2 vr1 M B

O
M
E 在Ｍx轴投影，得 vｅ2＝vｅ1cos45°－vr1cos45° 有：vｒ1＝10cm／s
arn= arn= 2r =160 2
aan
x: –aan cos30°= arncos30° –ae
a n a ae a rn a r
ae 2 160 π 2
3 3 160 π 2 2
ae =a
dx 20t , dt dy 10t , vy dt vx
α
例6-3 曲柄绕O转动，並通过滑块M带动滑槽绕O′摆动， y′ 求摆动到30°时的角速度1。
ve
解：
动点取M,
绝对:转动； O
绝对速度va：大小已知，方向 大小已知，方向沿 沿 铅垂方向向下。 牵连速度ve：大小已知，方向水 平向右。 平向右 。 相对速度vr：大小方向均未知，为 所要求的量。 所要求的量 。