第二章 平面向量(第9课时)
第9讲+平面向量的应用及复数课件-2024年湖南省普通高中学业水平考试复习
考情动态 知识梳理 考点探究 达标训练
【解析】 证明：(方法 2)如图，建 立平面直角坐标系，
设正方形的边长为 2， 则 A(0，0)，D(0，2)，E(1，0)， F(2，1)， 则A→F＝(2，1)，D→E＝(1，－2). 因为A→F·D→E＝(2，1)·(1，－2)＝2－2＝0， 所以A→F⊥D→E，即 AF⊥DE.
所对应的点位于( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
考情动态 知识梳理 考点探究 达标训练
【解析】 因为－32－＋43i i＝（－2＋3i2）5（3＋4i）＝－1285＋i ＝－1285＋215i，
所以复数－32－＋43i i对应的点位于第二象限. 【答案】 B
考情动态 知识梳理 考点探究 达标训练
评价要求 了解 理解 掌握
√ √
√ √ √ √
√
考情动态 知识梳理 考点探究 达标训练
1.向量方法解决平面几何问题的步骤
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉 及的几何元素，将平面几何问题转化为① 向量 问题.
(2)通过② 向量运算 ，研究几何元素之间的关系，
【变式题】
在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，C.
已知 A＝π6 ，B＝π4 ，a＝3，则 b＝(
)
A.6
B.3 3
C.3 2
D. 6
考情动态 知识梳理 考点探究 达标训练
【解析】 因为 A＝π，B＝π，a＝3，所以由正弦定理
6
4
a＝b， sin A sin B
可得
b＝as·isninAB＝3×siπnπ4 ＝3×1
苏教版高中数学必修4教案：第二章 平面向量 第9课时 2.4向量的数量积(2)
第9课时 §2.4 向量的数量积（2）【教学目标】 一、知识与技能（1）掌握平面向量数量积运算规律；（2）能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；（3）掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题. 二、过程与方法让学生充分经历，体验数量积的运算律以及解题的规律 三、情感、态度与价值观通过师生互动，自主探究，交流与学习培养学生探求新知识以及合作交流【教学重点难点】平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用 【教学过程】 一、复习：(1)两个非零向量夹角的概念；: (2)平面向量数量积（内积）的定义； (3)“投影”的概念； (4)向量的数量积的几何意义； (5)两个向量的数量积的性质。
二、新课讲解： 1．交换律：a b b a ⋅=⋅证：设,a b 夹角为θ，则||||cos a b a b θ⋅=⋅⋅，||||cos b a b a θ⋅=⋅⋅∴a b b a ⋅=⋅．2．()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅ 证：若0λ>，()||||cos a b a b λλθ⋅=，()||||cos a b a b λλθ⋅=， ()||||cos a b a b λλθ⋅=，若0λ<，()||||cos()||||(cos )||||cos a b a b a b a b λλπθλθλθ⋅=-=--=，()||||cos a b a b λλθ⋅=，()||||cos()||||(cos )||||cos a b a b a b a b λλπθλθλθ⋅=-=--=．3．()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅．在平面内取一点O ，作OA a =, AB b =，OC c =， ∵a b +（即OB ）在c 方向上的投影等于,a bθ2abBBC在c 方向上的投影和，即：12||cos ||cos ||cos a b a b θθθ+=+ ∴12||||cos ||||cos ||||cos c a b c a c b θθθ+=+，∴()c a b c a c b ⋅+=⋅+⋅ 即：()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅．三、例题分析：例1、已知、都是非零向量，且b 3+与b 57-垂直，b 4-与b27-垂直，求与的夹角.例2、 求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和.例3、已知，是两个非零向量，且||==||||+，求b 与-的夹角例4、四边形A B C D 中， a =，b =，c=，d =，且a d d c c b b a ⋅=⋅=⋅=⋅，试问四边形ABCD 是什么图形?例5、如图，,,AD BE CF 是ABC ∆的三条高，求证：,,AD BE CF 相交于一点。
高中数学 必修四 课件：第二章 平面向量
第二章 章末归纳总结
数学 ·人教A版 · 必修4
专题一 有关向量的共线问题 已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)．若ka＋2b与2a－4b
平行，求实数k的值． [分析] 本题考查两向量的共线问题，要求学生熟练掌握
两向量共线的条件．
第二章 章末归纳总结
数学 ·人教A版 · 必修4
[解析] ∵ka＋2b＝k(1,2)＋2(－3,2)＝(k－6,2k＋4)， 2a－4b＝2(1,2)－4(－3,2)＝(14，－4)， ka＋2b与2a－4b平行， ∴(k－6)(－4)－(2k＋4)×14＝0. 解得k＝－1.
→ OP
与
→ OQ
垂
直，求x的值．
第二章 章末归纳总结
数学 ·人教A版 · 必修4
[解析]
∵
→ OP
＝(2cosx＋1,2cos2x＋2)，
→ OQ
＝(cosx，－
1)，
∴由两向量垂直的条件得cosx(2cosx＋1)－1×(2cos2x＋2)
＝0，
即2cos2x＋cosx－2(2cos2x－1)－2＝0.
数学 ·人教A版 · 必修4
[解析] 解法1：∵||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|， ∴1≤|a－b|≤7. 即：|a－b|的范围是[1,7]． 解法2：∵|a－b|2＝a2＋b2－2a·b ＝a2＋b2－2|a||b|cosθ ＝25－24cosθ， θ为两向量a、b的夹角，∴θ∈[0，π]， ∴|a－b|2∈[1,49]．∴|a－b|∈[1,7]．
[点拨] 本题易犯的三点错误： (1)求a＝2e1＋e2或b＝－3e1＋2e2的模时，错认为|a|＝ 22＋12 或|b|＝ －32＋22 ，这是因为e1与e2不是互相垂直的 单位向量，所以(2,1)或(－3,2)不是a或b的坐标，要将其转化 成模的平方． (2)求点乘e1·e2时极易漏掉cosθ， 应为e1·e2＝|e1||e2|cosθ(θ为e1与e2的夹角)．
新课标数学必修4第2章平面向量教案
第二章平面向量第1课时平面向量的实际背景及基础概念【知识与技能】1.理解平面向量、有向线段的概念，掌握向量的几何表示；2.掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量共线向量等概念3.会辨认图形中的相等向量;4.清楚认识现实生活中的向量和数量两个不同概念，把握其本质区别，提高辨识能力. 【过程与方法】向量的概念是由物理学和工程技术抽象出来的，是近代数学中重要和基本的数学概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具.向量概念引入后，全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量积运算，从而把图形的基本性质转化为向量关系的运算.向量不同于数量，它是一种新的量，既有大小又有方向，关于数量的运算在向量范围内不一定适用.因此，本章在介绍向量概念时，说明了向量与数量的区别.本节从物理上的力和位移出发，抽象出向量的概念，并说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的几何表示、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量等基本概念.本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形来区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.一、教学目标1．理解向量、零向量、单位向量、相等向量的意义，并能用数学符号表示向量；2．理解向量的几何表示，会用字母表示向量；3．了解平行向量、共线向量、和相等向量的意义，并会判断向量的平行、相等、共线；4．通过对向量的学习，使学生对现实生活的向量和数量有一个清楚的认识，培养学生进行唯物辩证思想.二、教学重点⑴向量的概念，相等向量的概念，向量的几何表示．⑵向量是一种新的量，其特征有两个:既有大小,又有方向.让学生认识到方向性的存在是认识向量概念的关键，还要让学生理解向量和数量的区别联系，建立一种新的量的思维体系．⑶相等向量只与方向、大小有关，与位置没有关系，进一步理了解学习的向量是自由向量，为以后运用向量解决平面数形问题奠定基础．三、教学难点⑴向量概念的理解．由于向量是一种新的量，与以前的数量是不同的体系，两者之间既有联系又有区别；⑵引入向量概念之后,随之带来一系列相关概念是比较多的,如零向量,单位向量,相等向量,平行向量,共线向量.对于它们要抓住本质特征,让学生在比较中找出相近概念的区别与联系,而且由于向量同时具有几何图象的特征,在学习时还要在图形中辩清它们相等、平行,且图形还可以从简单到复杂逐步分清向量所对应的有向线段的身份、地位和作用.四、教学具准备直尺、投影仪．五、教学过程㈠设置情境问：（边画图边讲解）美国“小鹰”号航空母舰导弹发射处接到命令：向1200公里处发射两枚战斧式巡航导弹（精度10米左右，射程超过2000公里），试问导弹是否能击中伊拉克的军事目标？答：不能，因为没有给定发射的方向．问：现实生活中还有哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？答：力、速度、加速度等有大小也有方向，温度和长度只有大小没有方向．㈡向量的概念：力、速度、加速度等也是既有大小也有方向的量，我们把既有大小又有方向的量叫做向量．数学中用点表示位置，用射线表示方向．常用一条有向线段表示向量．在数学中，通常用点表示位置，用射线表示方向．（1）意义：既有大小又有方向的量叫向量。
新课标数学必修4第2章平面向量同步练习(含答案)
第1课时 平面向量的实际背景及基础概念一、选择题1.下列各量中不是向量的是（A.浮力 B .风速 C.位移 D.2.下列命题正确的是（A.向量AB 与BA 是两平行向量B.若a 、b 都是单位向量，则a=bC.若=，则A 、B 、C 、D四点构成平行四D.3. 在△ABC 中，AB=AC ，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则（A. 与AC 共线B. 与CB 共线C. 与相等D. 与相等 4.在下列结论中，正确的结论为（(1)|a |=|b |⇒a =b ； (2) a ∥b 且|a |=|b | ⇒ a =b ； (3) a =b ⇒a ∥b 且|a |=|b |(4) a ≠b ⇒ a 与b 方向相反 A. (3) B.(2)(3) C.(2)(4) D.(1)(3)(4) 二、填空题：5.物理学中的作用力和反作用力是模 且方向 的共线向量.6.把平行于某一直线的一切向量归结到共同的始点，则终点所构成的图形是 ；若这些向量为单位向量，则终点构成的图形是 .7.已知||=1，| AC |=2，若∠BAC=60°，则|BC |= .8.在四边形ABCD 中， =，且||=||，则四边形ABCD 是 .三、解答题：9. 某人从A 点出发向西走了200m 到达B 点，然后改变方向向西偏北60°走了450m 到达C点，最后又改变方向，向东走了200m 到达D 点. (1)作出向量、、 (1 cm 表示200 m).(2)求的模.10.如图，已知四边形ABCD 是矩形，设点集M ={A ，B ，C ，D }，求集合T ={、P 、Q ∈M ，且P 、Q 不重合}.第10题图A B一、选择题1.下列等式: a +0=a ， b +a =a +b ，AB +AC =BC ， AB +BC =BC 正确的个数是( ) A.2 B .3 C.4 D.52.化简++的结果等于( ) A. B . C. SPD.3.若C 是线段AB 的中点，则 AC +为A. B . C. 0D. 以上都错4．O 为平行四边形ABCD 平面上的点，设=a ，=b ，=c ，=d ，则（ ）A.a +b =c +d B .a +c =b +d C.a +d =b +c D.a +b +c +d =0 二、填空题：5.化简：（OM BO MB AB +++)= ； 6．如图，在四边形ABCD 中，根据图示填空:b +e = ， f +d = ，a +b +c = .7.已知向量a 、b 分别表示“向北走5km ”和“向西走5公里”，则a +b 表示 ； 8、一艘船从A 点出发以23km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，而船实际行驶速度的大小为4 km/h ，则河水的流速的大小为 . 三、解答题：9.一架飞机向北飞行300公里，然后改变方向向东飞行400公里，求飞机飞行的路程和位移.10．如图所示，O 是四边形ABCD 内任一点，试根据图中给出的向量，确定a 、b 、c 、d 的方向（用箭头表示），使a +b =AB ，c -d =，并画出a +d.Dd e c A f Ca bBC一、选择题1.下列等式:①AB -= ②AB -= ③-(-a )=a ④a +(-a )=0 ⑤a +(-b )=a -b( )A.2 B .3 C.4D.52. 在△ABC 中， =a ， =b ，则AB 等于( ) A.a +bB .-a +(-b ) C.a -bD.b -a3.在下列各题中，正确的命题个数为( )(1)若向量a 与b 方向相反，且|a |＞|b |，则a +b 与a (2)若向量a 与b 方向相反，且|a |＞|b |，则a -b 与a +b(3)若向量a 与b 方向相同，且|a |＜|b |，则a -b 与a (4)若向量a 与b 方向相同，且|a |＜|b |，则a -b 与a +b A.1 B.2 C.3 D.44.若a 、b 是非零向量，且|a -b |=|a |=|b ，则a 和a +b 的夹角是（ ） A.090 B . 600 C.300 D.045二、填空题5. 在正六边形ABCDEF 中， AE =m ， AD =n ，则BA = .6. 已知a 、b 是非零向量，则|a -b |=|a |+|b |时，应满足条件. 7. 如图，在四边形ABCD 中，根据图示填空: c -d = ，a +b +c -d= .8.已知=a ， =b ，若||=12，||=5，且∠AOB =90°，则|a -b |= . 三、解答题9. 试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形.10. 已知O 是平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点，若=a ， BC =b ，=c ，试证明:c +a -b =.Dd e c A fa b C B第4、5课时 向量的数乘运算及其几何意义一、选择题 1.设e 1、e2A.e 1、e2 B .e 1、e2C.同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1+μe 2(λ、μ∈R )D.若e 1、e 2不共线，则同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1+u e 2(λ、u ∈R ) 2.已知矢量a =e 1-2e 2，b =2e 1+e 2，其中e 1、e 2不共线，则a +b 与c =6e 1-2e 2的关系A.不共线 B .C.相等D.无法确定3.已知向量e 1、e 2不共线，实数x 、y 满足(3x -4y )e 1+(2x -3y )e 2=6e 1+3e 2，则x -yA.3B .-3C.0D.24. 下面向量a 、b 共线的有（ ）(1)a =2e 1，b =-2e 2 (2)a =e 1-e 2，b =-2e 1+2e2(3)a =4e 1-52e 2，b =e 1-101e 2 (4)a =e 1+e 2，b =2e 1-2e 2.(e 1、e 2不共线)A.(2)(3) B .(2)(3)(4) C.(1)(3)(4) D.(1)(2)(3)(4) 二、填空题5.若a 、b 不共线，且λa +μb =0(λ，μ∈R )则λ= ，μ= .6.已知a 、b 不共线，且c =λ1a +λ2b (λ1，λ2∈R )，若c 与b 共线，则λ1= .7.已知λ1＞0，λ2＞0，e 1、e 2是一组基底，且a =λ1e 1+λ2e 2，则a 与e 1_____，a 与e 2_________(填共线或不共线).8. 如图，在△ABC 中，=a， =b ，AD 为边BC 的中线，G 为△ABC 的重心，则向量= 三、解答题：9. 如图，平行四边形ABCD 中，＝ａ，＝ｂ，N 、M 是AD 、DC 之中点，F 使BF ＝31BC ，以ａ、ｂ为基底分解向量与.DABCa bB FC MA N D10.如图，O 是三角形ABC 内一点，PQ ∥BC ，且BCPQ＝ｔ，＝ａ，＝ｂ，＝с，求OP 与.第6课时 平面向量基本定理一、选择题1.设e 1、e 2是同一平面内的两个向量，则有( ) A. e 1、e 2一定平行 B. e 1、e 2的模相等C.同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1+μe 2(λ、μ∈R )D.若e 1、e 2不共线，则同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1+u e 2(λ、u ∈R ) 2.已知矢量a = e 1-2e 2，b =2e 1+e 2，其中e 1、e 2不共线，则a +b 与c =6e 1-2e 2的关系A.不共线 B .共线 C.相等 D.无法确定3.已知向量e 1、e 2不共线，实数x 、y 满足(3x -4y )e 1+(2x -3y )e 2=6e 1+3e 2，则x -y 的值等于( )A.3 B .-3 C.0 D.2 4．已知|a |=1，|b |=2，且a -b 与a 垂直，则a 与b 的夹角是（ ）A.60° B .30° C.135° D.４５° 二、填空题5．已知a 、b 不共线，且c =λ1a +λ2b (λ1，λ2∈R )，若c 与b 共线，则λ1= .6． 已知λ1＞0，λ2＞0，e 1、e 2是一组基底，且 a =λ1e 1+λ2e 2，则a 与e 1_____，a 与e 2_________(填共线或不共线).7． 已知a =(1，2)，b =(x ，1)，若a +2b 与2a -b 平行，则x 的值为 .8． 已知矩形ABCD 四个顶点的坐标为A (5，7)，B (3，x)，C (2，3)，D (4，x )，则x = . 三、解答题9． 已知梯形ABCD 中，AB ∥CD 且AB=2CD ，M ， N 分别是DC ， AB 中点，设AD =a ， AB =b ，试以a， b 为基底表示DC ， BC ， MN .10． 化简++++.第7课时 平面向量的正交分解和坐标表示及运算一、选择题 1.设a =(23，sin α)，b=(ｃｏｓα，31)，且a ∥b ，则锐角α为（ ） A.30° B .60° C.45° D.75°2.设k ∈Ｒ，下列向量中，与向量a =(1，-1)一定不平行的向量是（ ）A.(k ，k ) B .(-k ，-k )C.(k ２＋１，ｋ２＋１)D.（ｋ２－１，ｋ２－１）3．已知|a |=6，|b |=4，a 与b 的夹角为60°，则(a +2b )·(a -3b )等于（ ） A.72 B .-72 C.36 D.-36 4．已知|a |=3，|b |=4，向量a +43b 与a -43b 的位置关系为（ ） A.平行 B .垂直 C.夹角为3πD.不平行也不垂直 二、填空题5．已知a =(3，2)，b =(2，-1)，若λa +b 与a +λb （λ∈R ）平行，则λ＝ . 6．若a=(-1，x)与b=(-x ，2)共线且方向相同，则x= . 7．若A(0， 1)， B(1， 2)， C(3， 4) 则-2=8．在△ABC 中，AB =a， BC =b ，AD 为边BC 的中线，G 为△ABC 的重心，则向量= .三、解答题9．若M(3， -2) N(-5， -1) 且 21=MP MN ， 求P 点的坐标.10．在中，设对角线AC =a ，BD =b 试用a， b 表示AB ，BC .11.已知：四点A(5， 1)， B(3， 4)， C(1， 3)， D(5， -3) 求证：四边形ABCD 是梯形.12．设1e ， 2e 是两个不共线向量，已知=21e +k 2e ， =1e +32e ，=21e -2e ， 若三点A ， B ， D 共线，求k 的值.第8课时 平面向量共线的坐标表示一、选择题1.若a =(2，3)，b =(4，-1+y )，且a ∥b ，则y =（ ） A.6 B .5 C.7 D.82.若A (x ，-1)，B (1，3)，C (2，5)三点共线，则x 的值为（ ） A.-3 B .-1 C.1 D.33.若=i +2j ， =(3-x )i +(4-y )j (其中i 、j 的方向分别与x 、y 轴正方向相同且为单位向量). 与共线，则x 、y 的值可能分别为（ ）A.1，2 B .2，2 C.3，2 D.2，44.若a =(x １，y １)，b =(x ２，y ２)，且a ∥b ，则坐标满足的条件为（ ） A.x １x ２－ｙ１ｙ２＝0 B .ｘ１ｙ１－ｘ２ｙ２＝0 C.ｘ１ｙ２＋ｘ２ｙ１＝0 D.ｘ１ｙ２－ｘ２ｙ１＝0 二、填空题5.已知a =(4，2)，b =(6，y )，且a ∥b ，则y = .6已知a =(1，2)，b =(x ，1)，若a +2b 与2a -b 平行，则x 的值为 .7.已知□ABCD 四个顶点的坐标为A (5，7)，B (3，x)，C (2，3)，D (4，x )，则x = . 8.若A (-1，-1)，B (1，3)，C (x ，5)三点共线，则x = . 三、解答题9.已知a =(1，2)，b =(-3，2)，当k 为何值时k a +b 与a -3b 平行?10.已知A 、B 、C 、D 四点坐标分别为A (1，0)，B (4，3)，C (2，4)，D (0，2)，试证明：四边形ABCD 是梯形.11.已知A 、B 、C 三点坐标分别为(-1，0)、(3，-1)、(1，2)，AE =AC 3131=， 求证：∥.12．△ABC 顶点A(1， 1)， B(-2， 10)， C(3， 7) ，∠BAC 平分线交BC 边于D ， 求D 点坐标第9课时 平面向量的数量积的物理背景及其含义一、选择题1.已知|a |=1,|b |=2,且(a -b )与a 垂直，则a 与b 的夹角是（ ）A.60° B .30° C.135° D.４５° 2.已知|a |=2,|b |=1,a 与b 之间的夹角为3π，那么向量m =a -4b 的模为（ ） A.2 B .23材 C.6 D.123.已知a 、b 是非零向量，则|a |=|b |是(a +b )与(a -b )垂直的（ ）A.充分但不必要条件 B .必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知a =(λ，２)，b =(-3,5)且a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是（ ）A.λ＞310 B .λ≥310 C.λ＜310 D.λ≤310 二、填空题5.已知a =(3,0),b =(k ,5)且a 与b 的夹角为43π，则k 的值为 . 6.已知向量a 、b 的夹角为3π，|a |=2,|b |=1,则|a +b |·|a -b |= . 7.已知a +b =2i -8j ,a -b =-8i +16j ,其中i 、j 是直角坐标系中x 轴、y 轴正方向上的单位向量，那么a ·b = .8.已知a ⊥b 、c 与a 、b 的夹角均为60°，且|a |=1,|b |=2,|c |=3,则(a +2b -c )２＝______. 三、解答题9.已知|a |=1,|b |=2,(1)若a ∥b ,求a ·b ;(2)若a 、b 的夹角为60°，求|a +b |；(3)若a -b 与a 垂直，求a 与b 的夹角.10.设m 、n 是两个单位向量，其夹角为60°，求向量a =2m +n 与b =2n -3m 的夹角.11.对于两个非零向量a 、b ，求使|a +t b |最小时的t 值，并求此时b 与a +t b 的夹角.12.已知｜a ｜＝2，｜b ｜＝5，a ·b ＝－3，求｜a ＋b ｜，｜a －b ｜.第10课时 平面向量数量积的运算律一、选择题1.下列叙述不正确的是（ ）A.向量的数量积满足交换律 B .向量的数量积满足分配律 C.向量的数量积满足结合律 D.a ·b 是一个实数2.已知|a |=6,|b |=4,a 与b 的夹角为60°，则(a +2b )·(a -3b )等于（ ） A.72 B .-72 C.36 D.-363.|a |=3,|b |=4,向量a +43b 与a -43b 的位置关系为（ ） A.平行 B .垂直 C.夹角为3πD.不平行也不垂直 4.给定两个向量a =(3,4),b =(2,-1)且(a +x b )⊥(a -b ),则x 等于（ ） A.23 B .223 C. 323 D. 423 二、填空题5.已知a =(1,2),b (1,1),c=b -k a ,若c ⊥a ，则c ＝ .6.已知|a |=3,|b |=4,且a 与b 的夹角为150°，则(a +b )２＝ . 7.已知|a |=2,|b |=5,a ·b =-3,则|a +b |=______,|a -b |= . 8.设|a |=3,|b |=5,且a +λb 与a －λb 垂直，则λ＝ . 三、解答题5. 已知｜a ｜＝8，｜b ｜＝10，｜a ＋b ｜＝16，求a 与b 的夹角θ(精确到１°).6. 已知a ＝（3，4），b ＝（4，3），求x ,y 的值使(x a +y b )⊥a ，且｜x a +y b ｜=1.7. 已知a = (3, -1)，b = (1, 2)，求满足x ⋅a = 9与x ⋅b = -4的向量x .12.如图，以原点和A (5, 2)为顶点作等腰直角△OAB ，使∠B = 90︒， 求点B 和向量的坐标.第11课时 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角一、选择题1.若a =(-4,3),b =(5,6),则3|a |２－４a ·b ＝（ ） A.23 B .57 C.63 D.832.已知A (1,2),B (2,3),C (-2,5)，则△ABC 为（ ）A.直角三角形 B .锐角三角形 C.钝角三角形 D.不等边三角形 3.已知a =(4,3),向量b 是垂直a 的单位向量，则b 等于（ ）A.)54,53(或)53,54( B .)54,53(或)54,53(--C.)54,53(-或)53,54(-D.)54,53(-或)54,53(-4.已知a =(2,3),b =(-4,7),则a 在b 方向上的投影为（ ） A.13 B .513 C.565D.65 二、填空题5.a =(2,3),b =(-2,4),则(a +b )·(a -b )= .6.已知A (3，2)，B (-1，-1)，若点P (x ,-21)在线段AB 的中垂线上，则x = . 7.已知A (1，0)，B (3，1)，C (2，0)，且a =,b =,则a 与b 的夹角为 . 8.已知|a |=10,b =(1,2)且a ∥b ,则a 的坐标为 .三、解答题9．已知a =(3,-1),b =(1,2),求满足条件x ·a =9与x ·b =-4的向量x .10.已知点A (1，2)和B (4，-1)，问能否在y 轴上找到一点C ，使∠ＡＣＢ＝９０°，若不能，说明理由；若能，求C 点坐标.11.四边形ABCD 中=AB (6,1), BC =(x ,y )，CD =(-2,-3), (1)若BC ∥DA ，求x 与y 间的关系式；(2)满足(1)问的同时又有⊥,求x ,y 的值及四边形ABCD 的面积.12.在△ABC 中，=(2, 3)，=(1, k )，且△ABC 的一个内角为直角， 求k 值..第12课时 平面向量的应用举例一选择题1．在四边形ABCD 中，若则,AD AB AC += ( ) A ．ABCD 是矩形 B.ABCD 是菱形C ABCD 是正方形 D.ABCD 是平行四边形 2已知:在是则中，ABC ABC ∆<∙∆,0( )A 钝角三角形B 直角三角形C 锐角三角形D 任意三角形二．解答题3．设M 、N 分别是四边形ABCD 的对边AB 、CD 的中点，求证：)(21MN +=4．求证:对角线相等的四边形是矩形.5.求证：圆的直径所对的圆周角为直角.6．求证:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.7．证明:三角形的三条高交于一点.8．.AC AB CE BD CE BD ABC ==∆，求证：为中线，且，中，第13课时 向量在物理中的应用一选择题1某人以时速为a km 向东行走,此时正刮着时速为a km 的南风,则此人感到的风向及风速分别为( )A ．东北, 2akm/h B.东南, akm/hC ．西南, 2akm/h D.东南, 2akm/h2．一船以4km/h 的速度沿与水流方向成1200的方向航行，已知河水流速为2km/h ，则ABCDA E3h 后船的实际航程为( )A ．63km B.6km C ．53km D.5km二、填空题3．力F 1,F 2共同作用在某质点上,已知F 1=5N, F 2=12N,且F 1与F 2互相垂直,则质点所受合力的大小为_______________4．在200米山顶上.测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为 60,30则塔高为__________米 5．某人向正东方向走x 千米后,他向右转150,然后朝新方向走3千米.结果他离开出发点恰好3千米,则 x=_________________.6.若用两根完全相同的绳子向两侧呈“V ”挂重物，每根绳子最大拉力为100N ，两根绳子间的夹角为600，则能挂重物的最大重量是 . 三、解答题7．一个质量为100g 的球从1.8m 的. 高处落到水平板上又弹回到1.25m 的高度，求在整个过程中重力对球所做的功。
(新高三)暑期作业高考复习方法策略17讲_第9讲 平面向量——运算是灵魂(含答案解析)
第9讲平面向量——运算是灵魂向量的复习要从“数”与“形”两个方面来认识和理解，牢牢抓住向量的运算，向量有了运算，其威力变的无限，使向量成为解决代数问题和几何问题的有力工具．1．准确表述知识内容，梳理知识结构，体会工具性作用．对向量基础知识是否熟练掌握，一看能否准确表述有关概念和定理，包括向量有关概念及线性运算、坐标运算、数量积运算的有关概念、性质．二看能否梳理向量的知识结构，用图或表的形式把向量的知识框架表示出来．三看能否通过利用向量解决平面几何、解析几何问题体会到向量在解决问题中的作用．2．利用平面向量“数”与“形”的双重性，用不同的运算方法解决问题，提高灵活运用方法的能力．平面向量兼有代数和几何的“双重特性”，对同一问题，从“数”与“形”两个角度入手解决，会对问题的认识更为全面、深刻，就会培养灵活运用数形结合、坐标法等思想方法解决问题的能力，以及选择最佳方法的能力．【温故知新】已知|a|＝3，|b|＝4，且a与b不共线．求k为何值时，向量a＋k b与a－k b互相垂直？分析：从数量积出发，(a＋k b)·(a－k b)＝0，可以顺利求出k的值．从向量a＋k b 与a－k b可以看出，它们分别是a、k b的和与差，还应打破单元界限，联想向量的线性运算．3．重视课本例题、习题，旧题重做，总结规律与方法．高考对向量的考查主要体现在三个方面：一是基础知识，包括向量的有关概念，加减法的几何意义，线性表示和坐标表示；二是数量积及其几何意义；三是向量的工具作用，主要用来描述题目条件和结论，会用向量方法解决简单的几何问题或力学问题．难度一般不大，所以要重视课本，充分挖掘课本例题、习题的价值，从课本中得到规律与方法．例1 设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，求λ1＋λ2的值．解后反思向量的线性运算是向量转化的工具，通过三角形法则、向量共线基本定理，将向量逐步转化为指定向量．例2 已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3PB →|的最小值为________． 解后反思1．最值问题是运动变化中的特定状态，基本的解决方法就是通过影响运动变化的量建立其目标函数，转化为函数最值问题．由于向量的坐标运算使向量实数化，向量问题就可以转化为代数问题．2．平面向量中的最值问题的求解通常有两种思路，一是利用坐标运算，转化为函数问题．二是利用图形，从图象中发现影响最值的变化向量．在方法二中，将P A →、PB →这两个变化向量逐步转化为单一的变化向量，从而容易看出取得最值的状态．例3 一质点受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F 1，F 2成60°角，且F 1，F 2的大小分别为2和4，则F 3的大小为( ) A ．6 B ．2 C ．2 5 D ．27 解后反思向量的数量积运算使向量实数化，也有鲜明的几何背景，利用性质|a|＝a 2，cos θ＝a·b|a ||b |，|a·b |≤|a ||b |，可以求解线段的长度，角的大小等几何问题及某些不等式问题．总结感悟1．向量的线性运算是转化向量的工具，利用有向线段所处的三角形，所处的线段，通过三角形法则、向量共线基本定理，将向量逐步转化为指定向量． 2．数量积运算使向量实数化，可以求解向量的模、夹角、投影．因此，数量积也有鲜明的几何背景，通过数量积运算，可以求解线段的长度，角的大小等几何问题，以及某些不等式问题．3．坐标法是重要的数学方法，合理建立平面直角坐标系，构造向量坐标，就可以利用向量的坐标运算解决问题．A 级1．给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a ，b 都是单位向量，则a ＝b ；③向量AB→与BA →相等．则所有正确命题的序号是( ) A ．① B ．③ C ．①③ D ．①②2．已知一点O 到平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的向量分别为a ，b ，c ，则向量OD→等于( )A ．a ＋b ＋cB ．a －b ＋cC ．a ＋b －cD ．a －b －c3．已知向量a ＝(1，m )，b ＝(m ，2)，若a ∥b ，则实数m 等于( ) A ．－ 2 B. 2 C ．－2或 2 D ．04．已知两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则下面结论正确的是( ) A ．a ∥b B ．a ⊥b C ．|a |＝|b | D ．a ＋b ＝a －b5．(2016·全国Ⅱ)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝( ) A ．－8 B ．－6 C ．6 D ．86．(2016·全国Ⅰ)设向量a ＝(m ，1)，b ＝(1，2)，且|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，则m ＝________．B 级7．在四边形ABCD 中，AC →＝(1，2)，BD →＝(－4，2)，则该四边形的面积为( ) A. 5 B ．2 5 C ．5 D ．108．已知a 、b 都是非零向量，且a ＋ 3b 与7a －5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直，则a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．120°9．在平面直角坐标系中，点O (0，0)，P (6，8)，将向量OP →绕点O 按逆时针方向旋转3π4后得向量OQ→，则点Q 的坐标是( ) A ．(－72，－2) B ．(－72，2) C ．(－46，－2) D ．(－46，2)10.如图，经过△OAB 的重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP →＝mOA →，OQ→＝nOB →，m ，n ∈R ，则1n ＋1m的值为________．11．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为________.DE →·DC→的最大值为________． 12．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边，且c >b >a ，若向量m ＝(a －b ，1)和n ＝(b －c ，1)平行，且sin B ＝45，当△ABC 的面积为32时，则b ＝________．13.给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为2π3.如图所示，点C 在以O 为圆心的AB ︵上运动．若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，求x ＋y 的最大值．第9讲 平面向量——运算是灵魂复习指导【温故知新】 解 从向量的几何意义出发，向量a ＋k b 、a －k b 是以a 、k b 为邻边的平行四边形的对角线，若向量a ＋k b 与a －k b 互相垂直，则平行四边形为菱形，所以|a |＝|k b |，于是k ＝±34. 题型分析例1 解 如图，DE→＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →， 则λ1＝－16，λ2＝23，λ1＋λ2＝12. 例2 5解析 方法一 以D 为原点，分别以DA 、DC 所在直线为x 、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝a ，DP ＝x .∴D (0，0)，A (2，0)，C (0，a )，B (1，a )，P (0，x )， P A →＝(2，－x )，PB→＝(1，a －x )， ∴P A →＋3PB →＝(5，3a －4x )， |P A →＋3PB→|2＝25＋(3a －4x )2≥25，∴|P A →＋3PB →|的最小值为5. 方法二 设DP →＝xDC →(0<x <1)，∴PC→＝(1－x )DC →， P A →＝DA→－DP →＝DA →－xDC →， PB→＝PC →＋CB →＝(1－x )DC →＋12DA →， ∴P A →＋3PB →＝52DA →＋(3－4x )DC→，|P A →＋3PB→|2 ＝254DA →2＋2×52×(3－4x )DA →·DC →＋(3－4x )2·DC →2 ＝25＋(3－4x )2DC →2≥25， ∴|P A →＋3PB→|的最小值为5. 例3 D [由题意，得F 1＋F 2＋F 3＝0，则F 3＝－F 1－F 2，所以(F 3)2＝(－F 1－F 2)2＝(F 1＋F 2)2＝F 21＋2F 1·F 2＋F 22＝|F 1|2＋2|F 1|·|F 2|·cos ＜F 1，F 2＞＋|F 2|2＝22＋2×2×4×cos 60°＋42＝28， 故|F 3|＝27.] 线下作业1．A [根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量AB →与BA→互为相反向量，故③错误．] 2．B [OD→＝OC →＋CD →＝c ＋BA →＝c ＋OA →－OB →＝a －b ＋c .]3．C [由a ∥b ，得1×2－m 2＝0，∴m 2＝2，即m ＝±2.]4．B [本小题主要考查向量的数量积以及性质．解题的突破口为对于模的理解，向量的模平方就等于向量的平方．因为|a ＋b |＝|a －b |⇔(a ＋b )2＝(a －b )2⇔a·b ＝0， 所以a ⊥b ，答案选B.]5．B [由题知a ＋b ＝(4，m －2)，因为(a ＋b )⊥b ，所以(a ＋b )·b ＝0， 即4×3＋(－2)×(m －2)＝0，解之得m ＝8，故选D.] 6．－2解析 由|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，得a ⊥b ，所以m ×1＋1×2＝0，得m ＝－2. 7．C [因为AC →·BD→＝0，∴AC ⊥BD . ∴四边形ABCD 的面积S ＝12|AC →||BD →|＝12×5×25＝5.] 8．C [由(a ＋3b )·(7a －5b )＝0⇒7a 2＋16a ·b －15b 2＝0，① (a －4b )·(7a －2b )＝0⇒7a 2－30a·b ＋8b 2＝0，②两式相减：2a·b ＝b 2，代入①和②得：a 2＝b 2.设a 、b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b |a ||b |＝12，又因为0°≤θ≤180°，所以θ＝60°.]9．A [设∠POx ＝α，因为P (6，8)，所以OP→＝(10cos α，10sin α)⇒cos α＝35，sin α＝45，则OQ →＝(10cos(α＋3π4)，10sin(α＋3π4))＝(－72，－2)． 故答案为A.] 10．3解析 设OA →＝a ，OB →＝b ，由题意知OG →＝23×12(OA →＋OB →)＝13(a ＋b )，PQ→＝OQ →－OP →＝n b －m a ，PG →＝OG →－OP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b ，由P ，G ，Q 三点共线得，存在实数λ，使得PQ→＝λPG →，即n b －m a ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13λb ，从而⎩⎪⎨⎪⎧－m ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m ，n ＝13λ，消去λ得1n ＋1m ＝3.11．1 1解析 本题考查平面向量的数量积，平面向量的投影等基础知识．方法一 投影法：设向量DE →，DA →的夹角为θ，则DE →·CB →＝DE →·DA →＝|DE →|·|DA →|cos θ，由图可知，|DE →|cos θ＝|DA →|，所以原式等于|DA →|2＝1，要使DE →·DC →最大，只要使向量DE→在向量DC →上的投影达到最大即可，因为DE →在向量DC →上的投影达到最大为|DC →|＝1，所以(DE →·DC →)max＝|DC →|2＝1； 方法二 因为DE →＝DA →＋AE →且DA →⊥AE →，所以DE →·CB →＝(DA →＋AE →)·DA →＝|DA →|2＝1，DE →·DC →＝(DA →＋AE →)·AB →＝AB →·AE →＝|AB →||AE →|＝|AE →|，所以要使DE →·DC →最大，只要|AE →|最大即可，明显随着E 点在AB 边上移动|AE →|max ＝1，故(DE →·DC →)max＝1.方法三 以D 为坐标原点，DC →与DA →所在直线分别为x ，y 轴 建立平面直角坐标系，如图所示，可知E (x ，1)，0≤x ≤1， 所以DE →＝(x ，1)，CB →＝(0，1)，可得DE →·CB→＝x ×0＋1×1＝1.因为DC →＝(1，0)，所以DE →·DC →＝x ，因为1≥x ≥0，所以(DE →·DC →)max ＝1. 12．2解析 由向量m ＝(a －b ，1)和n ＝(b －c ，1)平行知a ＋c ＝2b ，① 由12ac sin B ＝32⇒ac ＝154，②由c >b >a 知B 为锐角，则cos B ＝35，即a 2＋c 2－b 22ac ＝35，③联立①②③得b ＝2.13．解 以O 为坐标原点，OA→所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (1，0)，B (－12，32)．设∠AOC ＝α(α∈[0，2π3])，则C (cos α，sin α)，由OC →＝xOA →＋yOB →，得⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝x －12y ，sin α＝32y ，所以x ＝cos α＋33sin α，y ＝233sin α，所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin(α＋π6)，又α∈[0，2π3]，π所以当α＝3时，x＋y取得最大值2.。
高中数学第二章平面向量本章整合课件北师大版必修4
本章整合
定义:既有大小,又有方向的量统称为向量 长度(模):向量的大小叫作向量的长度(模) 方向:起点指向终点的方向 零向量:长度为零的向量,记为 0 概念 单位向量:长度为单位 1 的向量 平行向量:如果表示两个向量的有向线段所在的直线 平行或重合,则称这两个向量平行或共线 垂直向量:夹角是直角的两个向量 相等向量:长度相等且方向相同的两个向量 相反向量:长度相等而方向相反的两个向量
专题1
专题2
专题3
应用 1 如图, 四边形 ABCD 是梯形, AB∥DC, 且 AB=2CD, M,N 分 别是 DC 和 AB 的中点. 已知������������=a, ������������=b, 求������������ , ������������ (用 a, b 表示).
提示:本题要求用 a, b 表示������������ 和������������ , 而 a, b 不共线, 由平面向量 基本定理, 知此平面内任何向量都可用 a, b 唯一表示, 因此, 需结合图 形寻找������������ , ������������ 与 a, b 的关系.
射影:|������|cos������叫作向量������在向量������方向上的射影,������是������和������的夹角 定义:|������|| ������|cos������叫作向量������与������的数量积,记为������· ������ 几何意义:������· ������等于|������|与������在向量������方向上的射影|������|cos������的乘积
2 2
∴在△ADN 中,������������ = ������������ − ������������ = 2a-b,
高中数学必修四 第2章 平面向量课件 2.2.2 向量减法运算及其几何意义
∴E→F＋E→F＝A→B＋D→C.
法二 如图，在平面内取点 O，连接 AO、EO、DO、CO、FO、 BO，则 E→F＝E→O＋O→F＝E→A＋A→O＋O→B＋B→F，A→B＝A→O ＋O→B， D→C＝D→O＋O→C ＝D→E＋E→A＋A→O＋O→B＋B→F＋F→C. ∵E、F 是 AD、BC 的中点，
5．化简：(1)(B→A－B→C)－(E→D－E→C)； (2)(A→C＋B→O＋O→A)－(D→C－D→O－O→B)． 解 (1)(B→A－B→C)－(E→D－E→C)＝C→A－C→D＝D→A. (2)(A→C＋B→O＋O→A)－(D→C－D→O－O→B)＝A→C＋B→A－D→C＋(D→O＋ O→B)＝A→C＋B→A－D→C＋D→B＝B→C－D→C＋D→B＝B→C＋C→B＝0.
类型三 向量加、减法的综合应用 【例 3】 已知任意四边形 ABCD，E 为 AD 的中点，F 为 BC 的 中点，求证：E→F＋E→F＝A→B＋D→C.
[思路探索] 本题主要考查向量加法与相反向量的知识，可以考 虑封闭图形中所有向量的和为 0 或把E→F用不同的向量形式表示 出来，然后相加，即可得证．
证明 法一 如图，在四边形 CDEF 中，
E→F＋F→C＋C→D＋D→E＝0，
∴ E→F
＝－
→ FC
－ C→D
－ D→E ＝
→ CF
＋ D→C
＋
E→D.①
在四边形 ABFE 中，
E→F＋F→B＋B→A＋A→E＝0，
∴E→F＝B→F＋A→B＋E→A.②
①＋②得 E→F＋E→F＝C→F＋D→C＋E→D＋B→F＋A→B＋E→A＝(C→F＋B→F)＋(E→D＋ E→A)＋(A→B＋D→C)． ∵E、F 分别是 AD、BC 的中点，
高中数学第二章平面向量章末复习课课件北师大版必修文稿演示
O→C＝(5－m，－(3＋m))， ∴A→B＝(3，1)，B→C＝(－m－1，－m).
∵A→B与B→C不平行，
∴－3m≠－m－1，解得 m≠12，
∴当实数 m≠12时满足条件.
解答
(2)若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，求实数m的值. 解 若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角，则A→B⊥A→C，而A→B＝(3，1)，
解答
类型二 向量的数量积运算
例2 已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，且|ka＋3b|＝ kb|(k>0). (解1)用由k表|k示a＋数b量|＝积3a|·ab－；kb|， 得(ka＋b)2＝3(a－kb)2， ∴k2a2＋2ka·b＋b2＝3a2－6ka·b＋3k2b2， ∴(k2－3)a2＋8ka·b＋(1－3k2)b2＝0. ∵|a|＝ cos2α＋sin2α＝1，|b|＝ cos2β＋sin2β＝1， ∴k2－3＋8ka·b＋1－3k2＝0，
解答
反思与感悟
数量积运算是向量运算的核心，利用向量数量积可以解决以下问题：
(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， a∥b⇔x1y2－x2y1＝0， a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. (2)求向量的夹角和模的问题
①设a＝(x1，y1)，则|a|＝ x21＋y21.
②两向量夹角的余弦(0≤θ≤π)
＋121A→C，则实数
m
3 的值为__1_1__.
解析 答案
反思与感悟
向量共线定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的核心，是向 量线性运算的关键所在，常应用它们解决平面几何中的共线、共点问题.
跟踪训练1 在△ABC中，E为线段AC的中点，试问在线段AC上是否存 在一点D，使得 B→D＝13B→C＋23B→E，若存在，说明D点位置；若不存在，说 明理由.
高中数学第二章平面向量平面向量基本定理北师大必修讲课文档
①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底；
②基底中的向量可以是零向量；
③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定
的.
A.①
B.②
√C.①③
D.②③
解析 零向量与任意向量共线，故零向量不能作为基底中的向量，故②错，① ③正确.
12345
第二十二页，共30页。
解析 答案
4.如图所示，在正方形 ABCD 中，设A→B＝a，A→D＝b，B→D＝c，则当以 a，b 为基底时，A→C可表示为_a_＋__b_，当以 a，c 为基底时，A→C可表示为__2a_＋__c_.
解析 由平行四边形法则可知，
A→C＝A→B＋A→D＝a＋b. 以a，c为基底时，将 B→D平移，使点B与点A重合，
解析 答案
3.已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(2x－3y)e1＋(3x－4y)e2＝6e1＋3e2，则 x＝___－_，15y＝____－_. 12
解析 ∵向量e1，e2不共线， ∴23xx－ －34yy＝ ＝63， ， 解得xy＝ ＝－ －1152.，
12345
第二十四页，共30页。
解析 答案
2.如图已知A→B＝a，A→C＝b，B→D＝3D→C，用 a，b 表示A→D，则A→D等于
A.a＋34b
√B.14a＋34b
C.14a＋14b D.34a＋14b 解析 A→D＝A→B＋B→D＝A→B＋34B→C＝A→B＋34(A→C－A→B)＝14A→B＋34A→C＝14a＋34b.
12345
第二十三页，共30页。
第十四页，共30页。
解答
引申探究 若本例中其他条件不变，设D→E＝a，B→F＝b，试以 a，b 为基底表示A→B，A→D.
《平面向量》优秀说课稿（通用3篇）
《平面向量》优秀说课稿（通用3篇）作为一位不辞辛劳的人民教师，就不得不需要编写说课稿，通过说课稿可以很好地改正讲课缺点。
那么什么样的说课稿才是好的呢？下面是小编为大家整理的《平面向量》优秀说课稿（通用3篇），希望对大家有所帮助。
《平面向量》说课稿1一、说教材平面向量的数量积是两向量之间的乘法，而平面向量的坐标表示把向量之间的运算转化为数之间的运算。
本节内容是在平面向量的坐标表示以及平面向量的数量积及其运算律的基础上，介绍了平面向量数量积的坐标表示，平面两点间的距离公式，和向量垂直的坐标表示的充要条件。
为解决直线垂直问题，三角形边角的有关问题提供了很好的办法。
本节内容也是全章重要内容之一。
二、说学习目标和要求通过本节的学习，要让学生掌握（1）：平面向量数量积的坐标表示。
（2）：平面两点间的距离公式。
（3）：向量垂直的坐标表示的充要条件。
以及它们的一些简单应用，以上三点也是本节课的重点，本节课的难点是向量垂直的坐标表示的充要条件以及它的灵活应用。
三、说教法在教学过程中，我主要采用了以下几种教学方法：（1）启发式教学法因为本节课重点的坐标表示公式的推导相对比较容易，所以这节课我准备让学生自行推导出两个向量数量积的坐标表示公式，然后引导学生发现几个重要的结论：如模的计算公式，平面两点间的距离公式，向量垂直的坐标表示的充要条件。
（2）讲解式教学法主要是讲清概念，解除学生在概念理解上的疑惑感；例题讲解时，演示解题过程！主要辅助教学的手段（powerpoint）（3）讨论式教学法主要是通过学生之间的相互交流来加深对较难问题的理解，提高学生的自学能力和发现、分析、解决问题以及创新能力。
四、说学法学生是课堂的主体，一切教学活动都要围绕学生展开，借以诱发学生的学习兴趣，增强课堂上和学生的交流，从而达到及时发现问题，解决问题的目的。
通过精讲多练，充分调动学生自主学习的积极性。
如让学生自己动手推导两个向量数量积的坐标公式，引导学生推导4个重要的结论！并在具体的问题中，让学生建立方程的思想，更好的解决问题！五、说教学过程这节课我准备这样进行：首先提出问题：要算出两个非零向量的数量积，我们需要知道哪些量？继续提出问题：假如知道两个非零向量的坐标，是不是可以用这两个向量的坐标来表示这两个向量的数量积呢？引导学生自己推导平面向量数量积的坐标表示公式，在此公式基础上还可以引导学生得到以下几个重要结论：（1）模的计算公式（2）平面两点间的距离公式。
高中数学：第二章 平面向量-综合 名师课件 新人教B版必修4
r结：
共线向量定理、平面向量基本 定理是解决向量共线、共面的常用 工具，常用数量积解决向量长度、 夹角、位置关系问题。
r 例2：已知平面向量a (
3,
r 1), b
(
1
,
3 ),
rr
22
(1)证明：a b；
rr
r
（2）若存在不同时为零的实数k和t，使x=a (t2 3)b,
r 例4：已知向量a
(cos
3
x, sin
3
r x), b
(cos
x
, sin
x ),
22
2
2
且x 0,2 ；求
rr r r （1）a • b及 a b ；
r （2）若f(x)=a
r •b
2
r a
r b
的最小值是
3，
2
求实数的值。
分析：本题考察较为复杂的向量运算，需认真体会， 三角公式不熟悉，计算易出错，是高考考察的热点。
f (x) 2 cos 2 x 3 sin 2x a
2sin(2x ) a 1
6
小结:
1、以三角函数为载体，简单考察向量的运算，其 次考察三角函数的性质，属较简单的题型。
2、次种类型的题关键是计算准确f(x)，再求解其他 的性质，如单调区间、对称轴、对称中心等。
3、一定要辩清 3 和 6 的正弦值和余弦值，实践证 明开头错，则下面步步错。
r a
, cos
rr a•b rr
r rr , a ∥b(b
r 0)
r a
ab
新教材高中数学第2章平面向量及其应用3从速度的倍数到向量的数乘课件北师大版必修第二册
[归纳提升] 向量的线性运算类似于代数多项式的运算,实数运算中 去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量线性运算中 也可以使用,但是在这里的“同类项”“公因式”指向量,实数看作是向 量的系数．
【对点练习】❶ (1)下列各式计算正确的有
( C)
①(－7)6a＝－42a；②7(a＋b)－8b＝7a＋15b；
A→P＝tA→B表示过点 A，B 的直线 l，其中A→B称为直线 l 的方向向量． 思考 3：已知△ABC 的三个顶点 A，B，C 及平面内一点 P，且P→A＋P→B ＋P→C＝A→B，则 P 在△ABC 内部，外部，还是哪条边上？ 提示：将条件变形为P→A＋P→B＋P→C＝P→B－P→A，所以P→C＝－2P→A，所以 P 在边 AC 上．
③a－2b＋a＋2b＝2a；④4(2a＋b)＝8
D．4 个
(2)若 a＝b＋c，化简 3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)的结果为 ( A )
A．－a
B．－4b
C．c
D．a－b
[解析] (1)①③④正确,②错,7(a＋b)－8b＝7a＋7b－8b＝7a－b. (2)3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)＝(3－2)a＋(6－6－2)b－2c＝a－2(b ＋c)＝a－2a＝－a.
基础自测
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)若 λa＝0，则 λ＝0.
(×)
(2)3a 的方向与 a 的方向相同，且 3a 的模是 a 的模的 3 倍．( √ )
(3)－2a 的方向与 3a 的方向相反，且－2a 的模是 3a 的模的23倍．
(√ )
(4)－5a 与 5a 是一对相反向量．
(3)234a－3b＋13b－146a－7b.
高中数学北师大版必修4第二章《平面向量》ppt课件
知识结构 知识要点 例题解析 巩固练习 课外作业
1.向量的加法运算 三角形法则
AB+BC= AC
A
C BO
平行四边形法则
B
C
OA+OB= OC
A
重要结论：AB+BC+CA= 0
坐标运算: 设 a = (x1, y1), b = (x2, y2)
则a + b = ( x1 + x2 , y1 + y2 )
例2
知识结构 知识要点 例题解析 巩固练习 课外作业
练习4 n为何值时, 向量a=（n，1）与b=(4,n)
共线且方向相同?
答案： n= 2
思考: 何时 n=±2 ?
知识结构 知识要点 例题解析 巩固练习 课外作业
例3 设AB=2(a+5b)，BC= 2a + 8b，CD=3(a b)， 求证：A、B、D 三点共线。
其实质就是向量的伸长或缩短！ 坐标运算： 若a = (x , y), 则λa = λ (x , y)
= (λ x , λ y)
知识结构 知识要点 例题解析 巩固练习 课外作业
非零向量平行（共线）的充要条件
向量表示： a∥b
a=λb （λ∈R,b≠0）
坐标表示：设a = ( x1, y1 ) , b = ( x2, y2 )，则
平面向量复习
平面向量复习
知识结构 要点复习 例题解析 巩固练习
知识结构 知识要点 例题解析 巩固练习 课外作业
表示 向量的三种表示
平
三角形法则
面
向量加法与减法
向
平行四边形法则
量
向量平行的充要量的基本定理
向量的数量积
优品课件之第二章 平面向量
第二章平面向量第二章平面向量本章内容介绍向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，是近代数学中重要和基本的数学概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具.向量概念引入后，全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量积运算，从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系. 向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景.在本章中，学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，学习平面向量的线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示、平面向量的数量积、平面向量应用五部分内容.能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题. 本节从物理上的力和位移出发，抽象出向量的概念，并说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的一些基本概念. （让学生对整章有个初步的、全面的了解.）第1课时§2.1 平面向量的实际背景及基本概念教学目标： 1. 了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量. 2. 通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别. 3. 通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力. 教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量. 教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系. 学法：本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念. 教具：多媒体或实物投影仪，尺规授课类型：新授课教学思路：一、情景设置：如图，老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，设问：猫能否追到老鼠？（画图）结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了. 分析：老鼠逃窜的路线AC、猫追逐的路线BD实际上都是有方向、有长短的量. 引言：请同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？二、新课学习：（一）向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量（二）请同学阅读课本后回答：（可制作成幻灯片） 1、数量与向量有何区别？ 2、如何表示向量？3、有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？4、长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？5、满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？6、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点O，这是它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？（三）探究学习 1、数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小. 2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示；③用有向线段的起点与终点字母：；④向量的大小�D�D 长度称为向量的模，记作| |. 3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度. 向量与有向线段的区别：（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段. 4、零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的. 注意0与0的含义与书写区别. ②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量. 说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小. 5、平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行. 说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ. 6、相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关. 7、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）. 说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. （四）理解和巩固：例1 书本86页例1. 例2判断：（1）平行向量是否一定方向相同？（不一定）（2）不相等的向量是否一定不平行？（不一定）（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量）（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（平行向量）（6）两个非零向量相等的当且仅当什么？（长度相等且方向相同）（7）共线向量一定在同一直线上吗？（不一定）例3下列命题正确的是（）�� A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c也共线�� B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点�� C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量�� D.有相同起点的两个非零向量不平行解：由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以Ｄ不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若ａ与ｂ不都是非零向量，即ａ与ｂ至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有ａ与ｂ共线，不符合已知条件，所以有ａ与ｂ都是非零向量，所以应选C. 例4 如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量、、相等的向量. 变式一：与向量长度相等的向量有多少个？（11个）变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？（存在）变式三：与向量共线的向量有哪些？（）课堂练习： 1．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.��①向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；��②单位向量都相等；��③任一向量与它的相反向量不相等；��④四边形ABCD是平行四边形当且仅当＝⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0；��⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同. 解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量、在同一直线上.②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定. ③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的. ④、⑤正确.⑥不正确.如图与共线，虽起点不同，但其终点却相同. 2．书本88页练习三、小结： 1、描述向量的两个指标：模和方向. 2、平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比. 3、向量的图示，要标上箭头和始点、终点.优品课件，意犹未尽，知识共享，共创未来！！！。
2013年高二数学课时课件第二章《平面向量》2.3.3(新人教B版必修4)
②
由①②解得x1＝32， 或x2＝72，
本
y1＝72，
y2＝－32.
课 时 栏 目
∴B32，72或72，－32.
开 关
∴A→B＝－72，32或A→B＝－32，－72.
1． 已知 a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则 a 与 b 的夹角为 ( B )
课
时 ∴(a·b)·c＝－8×(2,1)＝(－16，－8)．
栏
目 ∵b·c＝(－1)×2＋(－2)×1＝－4，
开
关 ∴a·(b·c)＝(2,3)×(－4)＝(－8，－12)．
例 2 已知 a＝(1,2)，b＝(1，λ)，分别确定实数 λ 的取值范围，
使得：(1)a 与 b 的夹角为直角；(2)a 与 b 的夹角为钝角；(3)a
∴ 又∵x－A3D＝⊥2B(yC－，2∴)，A→即D·B→xC－＝2y0＋，1＝0.
①
即(x－2，y＋1)·(－6，－3)＝0，
∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0.
即 2x＋y－3＝0.
②
由①②可得xy＝ ＝11 ，
本 课
即D点坐标为(1,1)，A→D＝(－1,2)．
时 栏
∴|A→D|＝ －12＋22＝ 5，
本 则|O→B|＝ x2＋y2，
课 时
|A→B|＝ x－52＋y－22.
栏 目
又∵|A→B|＝|O→B|，
开
关 ∴ x－52＋y－22＝ x2＋y2.
可得 10x＋4y＝29，
①
又∵且O→B⊥A→B，
∴O→B·A→B＝0，∴x(x－5)＋y(y－2)＝0，
即 x2－5x＋y2－2y＝0，
3
例如，(1)若 a＝(3,0)，b＝(－5,5)，则 a 与 b 的夹角为___4_π____．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2 2 x2 y2
(3)证垂直： a b a b 0
a b a b x1x2 y1 y2 0
新余市第六中学 高中数学 必修④
向量数量积的坐标表示
例题讲解
[例2] 已知a (1, 2), b (1, ), 分别确定实数的取值范围，使得： ①a与b的夹角为直角；②a与b的夹角为钝角；③a与b的夹角为锐角.
新余市第六中学 高中数学 必修④
第二章 平面向量
工作单位：新余市第六中学 执教人：简艳辉
新余市第六中学 高中数学 必修④
目录
第二章 平面向量
§5 从力的做功到向量的数量积 §6 平面向量数量积的坐标表示 §7 向量应用举例
7.1 点到直线的距离公式 7.2 向量的应用举例
新余市第六中学 高中数学 必修④
拓展•训练
已知向量a (1,1), b (0, 2).当k 为何值时， (1)k a b与a b共线； (2)k a b的模长等于 10.
新余市第六中学 高中数学 必修④
向量数量积的坐标表示
例题讲解
[例4] 已知圆C： ( x a)2 ( y b)2 r 2 , 求与圆C相切于点P0 ( x0 , y0 ) 的切线方程（如图所示）.
[例 1] 已知向量a (2,1)和b (1, 2), 求a b.
新余市第六中学 高中数学 必修④
向量数量积的坐标表示
新知自解
已知向量a ( x1, y1 )和b ( x2 , y2 )：
(1)求模长： a aa
(2)求夹角： cos ab a b
a a a x12 y12
向量数量积的坐标表示
入门答辩
问题：在直角坐标系中，设i, j分别是x轴和y轴方向上 的单位向量，设a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2（如图所示）， ) 怎样用a和b的坐标来表示a b呢？
解：
a ( x1, y1 ), b ( x2 , y2 ) a x1i y1 j, b x2 i y2 j
拓展•训练
已知向量a (4,3), b (1, 2).(1)求a与b的夹角的余弦值； (2)若向量a - b与2a b垂直，求的值.
新余市第六中学 高中数学 必修④
向量数量积的坐标表示
例题讲解
[例3] 设向量a (3,5), b (2,1), 求a 2b的坐标和模长.
解得： a b x1x2 i i x1 y2 i j x2 y1i j y1 y2 j j
i i 1, j j 1, i j 0
y
a
b
O
a b x1x2 y1 y2
数量积的坐 标表示
j
i
x
新余市第六中学 高中数学 必修④
向量数量积的坐标表示
新知自解
已知向量a ( x1 , y1 )和b ( x2 , y2 ), 则a b x1 x2 +y1 y2 . 也就是说：两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和。
y
我们把向量m (1, k )称为 斜率为k的直线l的方向向量
C
P0
O
P
xLeabharlann 新余市第六中学 高中数学 必修④
向量数量积的坐标表示
例题讲解
[例5] 已知直线l1 : x 3 y 1 0和l2 : 2 x y 3 0, 则直线l1与l2的 45 夹角为____________.
b
O
y
a
即： a b ( x1i y1 j) ( x2 i y2 j)
j
i
x
新余市第六中学 高中数学 必修④
向量数量积的坐标表示
入门答辩
问题：在直角坐标系中，设i, j分别是x轴和y轴方向上 的单位向量，设a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2（如图所示）， ) 怎样用a和b的坐标来表示a b呢？
[提示] 分别取l1和l2的方向向量，利用方向向量求出夹角 .
新余市第六中学 高中数学 必修④
布置作业
• 课时跟踪训练（二十一） 平面向量数量积的坐标 表示（第101页）（明天早上交）
新余市第六中学 高中数学 必修④