5-5 频域：稳态分析
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5-5 系统瞬态特性和开环频率特性的关系
d [γ (ωc )]
ωc d( ) ω1
=
ωc 2 ωc 2 1+ ( ) 1+ ( ) ω1 nω1
1
1/ n
=0
ωc 2 ω 2 ωc ) =n 或 = = n 或 ωc = ω1ω2 ω1 ωc ω1 ωc = n 时,相位裕量有最大值. 选择 K 使 ω1 lg ω2 lg ωc = lg ωc lg ω1 即ωc 在对数频率特性中频段的几何中点,或中频段对称于ωc . 按上式确定穿越频率的系统(–2/–1/–2)为对称最佳系统.
第5章 频域分析法
5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 频率特性及其表示法 典型环节的频率特性 系统开环频率特性的绘制 用频率特性分析控制系统的稳定性 系统瞬态特性和开环频率特性的关系 闭环系统频率特性 系统瞬态特性和闭环频率特性的关系
1
5.5 系统瞬态特性与开环频率特性
1 开环对数频率特性的基本性质 2 系统瞬态特性和开环频率特性的关系
ξ 之间的关系
ωc = 2ξ 2 + 4ξ 4 + 1ωn
ωc (ωc ) = arctan 2 2ξωn π
γ (ωc ) =
π
2
arctan
ωc 2ξωn = arctan ωc 2ξωn
2ξ
γ (ωc ) = arctan
2ξ 2 + 4ξ 4 + 1
19
2 系统瞬态特性和开环频率特性
ω1
相角位移
ωc 2 1+ ( ) K ω1 K = KT1 A(ωc ) = 2 = 1 ωc = ωc 2 , ωc 1 + ( ) ω1 ω2
ωc
ω2
ω
ωc d( ) ω1
=
ωc 2 ωc 2 1+ ( ) 1+ ( ) ω1 nω1
1
1/ n
=0
ωc 2 ω 2 ωc ) =n 或 = = n 或 ωc = ω1ω2 ω1 ωc ω1 ωc = n 时,相位裕量有最大值. 选择 K 使 ω1 lg ω2 lg ωc = lg ωc lg ω1 即ωc 在对数频率特性中频段的几何中点,或中频段对称于ωc . 按上式确定穿越频率的系统(–2/–1/–2)为对称最佳系统.
第5章 频域分析法
5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 频率特性及其表示法 典型环节的频率特性 系统开环频率特性的绘制 用频率特性分析控制系统的稳定性 系统瞬态特性和开环频率特性的关系 闭环系统频率特性 系统瞬态特性和闭环频率特性的关系
1
5.5 系统瞬态特性与开环频率特性
1 开环对数频率特性的基本性质 2 系统瞬态特性和开环频率特性的关系
ξ 之间的关系
ωc = 2ξ 2 + 4ξ 4 + 1ωn
ωc (ωc ) = arctan 2 2ξωn π
γ (ωc ) =
π
2
arctan
ωc 2ξωn = arctan ωc 2ξωn
2ξ
γ (ωc ) = arctan
2ξ 2 + 4ξ 4 + 1
19
2 系统瞬态特性和开环频率特性
ω1
相角位移
ωc 2 1+ ( ) K ω1 K = KT1 A(ωc ) = 2 = 1 ωc = ωc 2 , ωc 1 + ( ) ω1 ω2
ωc
ω2
ω
第五章 频率域方法讲解
22
图5－8 惯性环节的幅频、相频、幅相特性曲线
23
对数频率特性
L 20lg A 1 T 2 2 1
2 2
20lg T 1
G tan1 T
当 当
T 1,
L 0
T 1,
L 20lg T
5
返回子目录
输出
Ci B D C ( s) s j s j i 1 s si
n
拉氏反变换得 c(t )
C e
i 1 i
n
si t
( De Be
j t
jt
)
ct (t ) cs (t )
其中
Ar D (s) 2 ( s j ) s j 2 s j [ ( j ) ] Ar ( j ) 2 ( j ) Ar e 2j 2
6
同理
B
cs (t )
( j )
2
Ar e
j [ ( j ) ] 2
将B、D代入（5－5）则
( j )
2
( j ) Ar cos( t ( j ) ) 2 ( j) Ar sin(t ( j))
11
G( j ) G( j ) G( j ) j ( ) =
图5－2
RC网络的幅频特
性和相频特性
12
图5－3 RC网络 的频率特性曲线又称伯德（Bode)图，包 括对数幅频和对数相频两条曲线
对数幅频特性：
L( ) 20lg A( ) ~ (lg )
2 n
1.幅频特性、相频特性、幅相特性
A( )
图5－8 惯性环节的幅频、相频、幅相特性曲线
23
对数频率特性
L 20lg A 1 T 2 2 1
2 2
20lg T 1
G tan1 T
当 当
T 1,
L 0
T 1,
L 20lg T
5
返回子目录
输出
Ci B D C ( s) s j s j i 1 s si
n
拉氏反变换得 c(t )
C e
i 1 i
n
si t
( De Be
j t
jt
)
ct (t ) cs (t )
其中
Ar D (s) 2 ( s j ) s j 2 s j [ ( j ) ] Ar ( j ) 2 ( j ) Ar e 2j 2
6
同理
B
cs (t )
( j )
2
Ar e
j [ ( j ) ] 2
将B、D代入（5－5）则
( j )
2
( j ) Ar cos( t ( j ) ) 2 ( j) Ar sin(t ( j))
11
G( j ) G( j ) G( j ) j ( ) =
图5－2
RC网络的幅频特
性和相频特性
12
图5－3 RC网络 的频率特性曲线又称伯德（Bode)图，包 括对数幅频和对数相频两条曲线
对数幅频特性：
L( ) 20lg A( ) ~ (lg )
2 n
1.幅频特性、相频特性、幅相特性
A( )
5-5闭环系统的频域性能指标
10
典型二阶系统估算时域指标方法： 典型二阶系统估算时域指标方法： （1）确定相角裕度 γ ） （2）根据 γ 查P22,图5-42对应的 ） 图 对应的 （3）由 ）
ζ
t ζ 计算得到 σ % ，s
12:54
11
ϕ (ω ) = −1800 + γ (ω )
0
开环频率特性表示为： 开环频率特性表示为： G ( jω ) = A(ω )e j[ −180 +γ (ω )] = A(ω )[− cos γ (ω ) − j sin γ (ω )] 闭环幅频特性： 闭环幅频特性：
M (ω ) = G ( jω ) = 1 + G ( jω ) A(ω ) [1 + A (ω ) − 2 A(ω ) cos γ (ω )]
ωc
= arctan[2ζ ( 4ζ 4 + 1 − 2ζ 2 ) ]
−
1 2
高阶系统： 高阶系统： 开环频域指标与时域指标不存在解析关系，常用 软件计算。 开环频域指标与时域指标不存在解析关系，常用MATLAB软件计算。 软件计算 或用以下近似估算： 或用以下近似估算：
σ = 0.16 + 0.4(
5-5 闭环系统的频域性能指标 闭环系统的频域性能指标
闭环频率特性性能指标常用的有下列两项： 闭环频率特性性能指标常用的有下列两项： 常用的有下列两项 1.谐振峰值 M r：系统闭环频率特性幅值的最大值。 谐振峰值 系统闭环频率特性幅值的最大值。 闭环频率特性幅值的最大值 2.系统带宽和带宽频率ω b 。 系统带宽和带宽频率
2 1 2
= [
1 1 － cos γ (ω )]2＋sin 2 γ (ω ) A(ω )
M (ω )
第五章_频域特性
，半径为
1 2
。
16
A（）—— 幅频特性；G（j）的模，它等于稳态 的输出分 量与输入分量幅值之比. （）—— 相频特性；G（j）的幅角，它等于稳态输出分 量与输入分量的相位差。 G ( j ) U（）—— 实频特性； j V V（）—— 虚频特性； V ( ) 都是的函数，之间的 A ( ) 关系用矢量图来表示。
10
R
极坐标图
c 1 G ( j ) r R C j 2
r (t )
i (t )
C
c (t )
1 1 j T e
j a rc ta n T
e
j
1 1 j T
1 /( 2 T )
1/ 1 T
G ( j ) 9 0
由于幅角是常数，且幅值随ω增大而减小。因此，积分 环节是一条与虚轴负段相重合的直线。
14
典型环节的极坐标图
4. 惯性环节
G ( j ) 1 1 j T 1 1 ω T
2 2
1 1 T
2 2
j
T
1 T
2 2
G jω
取三个特殊点
（RC=T）
5
即为无源RC网络的频率特性。
频率特性的性质
1、与传递函数一样，频率特性也是一种数学模型。 它描述了系统的内在特性，与外界因素无关。当系统 结构参数给定，则频率特性也完全确定。 2、频率特性是一种稳态响应。 系统稳定的前提下求得的，不稳定系统则无法直接观 察到稳态响应。从理论上讲，系统动态过程的稳态分量总 可以分离出来，而且其规律并不依赖于系统的稳定性。因 此，我们仍可以用频率特性来分析系统的稳定性、动态性 能、稳态性能等。 3、系统的稳态输出量与输入量具有相同的频率。 当频率改变，则输出、输入量的幅值之比A（）和相 位移（）随之改变。这是系统中的储能元件引起的。
5_频域分析法
5 频域分析法
应用频率特性研究线性系统的经典方法称为 频域分析法。 频域分析法。 频率特性具有明确的物理意义，它可以用实 频率特性具有明确的物理意义， 验的方法来确定， 验的方法来确定，这对于难以列写微分方程式的 元部件或系统来说，具有重要的实际意义。 元部件或系统来说，具有重要的实际意义。 频率响应法不仅适用于线性定常系统， 频率响应法不仅适用于线性定常系统，而 且还适用于传递函数不是有理函数的纯滞后系 统和部分非线性系统的分析。 统和部分非线性系统的分析。
10 0 -10 -20 -30 -180
-150
-120
-90
Open-Loop Phase (deg)
5.2 典型环节的频率特性
1. 比例(放大)环节 比例(放大) 2. 积分环节 积分环节 3. 惯性环节 4. 振荡环节 振荡环节 5. 微分环节 微分环节 1) 理想微分环节 理想微分环节 2) 一阶微分环节 一阶微分环节 3) 二阶微分环节 二阶微分环节 6. 延迟环节 延迟环节 7. 非最小相位环节 非最小相位环节 8. 典型环节的对数幅相曲线
0 -5 Magnitude (dB) -10 -15 -20 -25 0
L(ω )
ϕ (ω )
Bode Diagram of G(jw )=1/(jw T+1) T=0.1
互为倒数的传递函数，其 互为倒数的传递函数， 对数频率特性曲线将以 0dB或0°线镜象对称。 dB或 线镜象对称。
ω lgω lgω 1 0 2 3 4 5
lim G ( jω ) = 0∠ − 180 o
5.2 典型环节的频率特性
4. 振荡环节 振荡环节
ω=∞
ζ = 1 .0 ζ = 0.6
ω =0
应用频率特性研究线性系统的经典方法称为 频域分析法。 频域分析法。 频率特性具有明确的物理意义，它可以用实 频率特性具有明确的物理意义， 验的方法来确定， 验的方法来确定，这对于难以列写微分方程式的 元部件或系统来说，具有重要的实际意义。 元部件或系统来说，具有重要的实际意义。 频率响应法不仅适用于线性定常系统， 频率响应法不仅适用于线性定常系统，而 且还适用于传递函数不是有理函数的纯滞后系 统和部分非线性系统的分析。 统和部分非线性系统的分析。
10 0 -10 -20 -30 -180
-150
-120
-90
Open-Loop Phase (deg)
5.2 典型环节的频率特性
1. 比例(放大)环节 比例(放大) 2. 积分环节 积分环节 3. 惯性环节 4. 振荡环节 振荡环节 5. 微分环节 微分环节 1) 理想微分环节 理想微分环节 2) 一阶微分环节 一阶微分环节 3) 二阶微分环节 二阶微分环节 6. 延迟环节 延迟环节 7. 非最小相位环节 非最小相位环节 8. 典型环节的对数幅相曲线
0 -5 Magnitude (dB) -10 -15 -20 -25 0
L(ω )
ϕ (ω )
Bode Diagram of G(jw )=1/(jw T+1) T=0.1
互为倒数的传递函数，其 互为倒数的传递函数， 对数频率特性曲线将以 0dB或0°线镜象对称。 dB或 线镜象对称。
ω lgω lgω 1 0 2 3 4 5
lim G ( jω ) = 0∠ − 180 o
5.2 典型环节的频率特性
4. 振荡环节 振荡环节
ω=∞
ζ = 1 .0 ζ = 0.6
ω =0
自动控制原理课件之第三章 (一) 时域性能指标,时域分析 (5)
故 20lg ( j) 3(dB)
b
系统带宽频率与带宽
一阶和二阶系统，带宽和系统参数具有解析关系。
自动控制原理教案
一阶系统的带宽: 一阶系统: 因为
1 (s) Ts 1
， 按带宽定义
1 1 T 2b
2
( j 0) 1
20lg ( jb ) 20lg
解 因为该系统为I型系统，单位速度输入下的稳态误差为 查表
1 K 9 K
60
0.62 % e
/ 1 2
7.5%
K 2 1 n , 2n n 2 K 11.6 T T 3.5 ts 0.506
n
自动控制原理教案
G ( j ) G ( j ) 1 G ( j ) A( )
1 2
[1 A2 ( ) 2 A( ) cos ( )] 1 1 [ cos ( )]2 sin 2 ( ) A( )
一般情况下，在M (ω)的极大值附近， γ(ω) 变化较小，且使M (ω)为极值的谐振频率ωr常位于ωc附近，即有
( j 0) 1 ， 按带宽定义
b 2 2 b 2 (1 2 ) 4 2 2 2 n n
b n (1 2 2 ) (1 2 2 )2 1
1 2
二阶系统的带宽和自然频率成正比。与阻尼比成反比。
自动控制原理教案
带宽指标意义
根据一阶系统和二阶系统上升时间和过渡过程时间与参数的 关系，可以推论:系统的单位阶跃响应的速度和带宽成正比。 对于任意阶次的控制系统，这一关系仍然成立。 当系统的带宽扩大λ 倍，系统的响应速度则加快λ 倍。 对于输入端信号，带宽大，则跟踪控制信号的能力强；而在另一 方面， 抑制输入端高频干扰的能力则弱，因此系统带宽的选择在设计中应折 衷考虑，不能一味求大。
5-4频域：奈氏判据
22四伯德图上的奈氏判据极坐标图伯德图单位圆0db线幅频特性图单位圆以内区域0db线以下区域单位圆以外区域0db线以上区域负实轴1800线相频特性图因此奈氏曲线自上而下或自下而上地穿越1j0点左边的负实轴相当于在伯德图中当l0db时相频特性曲线自下而上或自上而下地穿越180线
2. 奈氏判据 设： F S 1 Gs H s ——闭环系统特征多项式 显然：F(s) 的零点就是闭环系统的极点。 (1) 1＋G(S)H(S)平面上的系统稳定性分析 假如s沿着奈氏路径绕一圈，根据幅角定理，F(s)平 面上绘制的F(s)曲线ΓF逆时针方向绕原点的圈数N则为 F(s)在s右半开平面内极点个数P与的零点个数Z之差： N= P - Z 当 Z=0 时，说明系统闭环传递函数无极点在s右半开 平面，系统是稳定的；反之，系统则是不稳定的。
.
Im
P2
(1, j0)
0
0
G ( j ) H ( j )
Re
9
四、伯德图上的奈氏判据
极坐标图 伯德图 单位圆 0db线（幅频特性图） 单位圆以内区域 0db线以下区域 单位圆以外区域 0db线以上区域 负实轴 -1800线（相频特性图） 因此，奈氏曲线自上而下（或自下而上）地穿越（-1， j0）点左边的负实轴，相当于在伯德图中当L(ω)>0db时相 频特性曲线自下而上（或自上而下）地穿越-180°线。
Im
[GH ]
(1, j 0)
2. K减小: 使（-1，j0）位于
a
b
c
d
0
0
Re
a、b之间，曲线顺时针包围 （-1，j0）点两圈，系统仍不 稳定。 K再减小，使（-1，j0） 点位于a点左边，那么闭环系 统又稳定了。此系统称为 条件稳定系统。即要使系统稳定，K必须满足一定的条件。 4
2. 奈氏判据 设： F S 1 Gs H s ——闭环系统特征多项式 显然：F(s) 的零点就是闭环系统的极点。 (1) 1＋G(S)H(S)平面上的系统稳定性分析 假如s沿着奈氏路径绕一圈，根据幅角定理，F(s)平 面上绘制的F(s)曲线ΓF逆时针方向绕原点的圈数N则为 F(s)在s右半开平面内极点个数P与的零点个数Z之差： N= P - Z 当 Z=0 时，说明系统闭环传递函数无极点在s右半开 平面，系统是稳定的；反之，系统则是不稳定的。
.
Im
P2
(1, j0)
0
0
G ( j ) H ( j )
Re
9
四、伯德图上的奈氏判据
极坐标图 伯德图 单位圆 0db线（幅频特性图） 单位圆以内区域 0db线以下区域 单位圆以外区域 0db线以上区域 负实轴 -1800线（相频特性图） 因此，奈氏曲线自上而下（或自下而上）地穿越（-1， j0）点左边的负实轴，相当于在伯德图中当L(ω)>0db时相 频特性曲线自下而上（或自上而下）地穿越-180°线。
Im
[GH ]
(1, j 0)
2. K减小: 使（-1，j0）位于
a
b
c
d
0
0
Re
a、b之间，曲线顺时针包围 （-1，j0）点两圈，系统仍不 稳定。 K再减小，使（-1，j0） 点位于a点左边，那么闭环系 统又稳定了。此系统称为 条件稳定系统。即要使系统稳定，K必须满足一定的条件。 4
自动控制原理第五章
第五章§5-1 引言§5-2频率特性§5-3 开环系统的典型环节分解和开环频率特性曲线的绘制§5-4开环和闭环系统Bode图的绘制方法§5-5 系统稳定性分析§5-6控制系统的相对稳定性分析第五章 控制系统的频率响应分析[教学目的]：掌握利用频域法进行系统分析的一般方法 ，为后面的校正及信号与系统分析打下基础。
掌握系统频率特性分析与系统幅角之间的关系，掌握Nyquist 图和Bode 图的绘制方法，根据系统的Nyquist 图和Bode 图分析系统的性质。
本章的难点是Nyquist 稳定性分析。
[主要容]：一、引言 二、 频率特性 三、 开环系统的典型环节分解和开环频率特性曲线的绘制 四、 频率域稳定判据 五、 稳定裕度 六、 闭环系统的频域性能指标[重点]： 频率特性的基本概念，各种频域特性曲线的绘制，Nyquist 稳定判据的应用，及相对稳定裕度的分析，理解三频段的概念与作用。
[难点]：时域性能指标与频域性能指标之间的相互转换。
闭环频域性能指标的理解与应用[讲授方法及技巧]：联系传递函数，微分方程等数学模型，将频率法和时域分析法、根轨迹法相比较，理解和掌握古典控制系统的完整体系。
准确理解概念，把握各种图形表示法的相互联系。
与时域法进行对比，以加深理解。
§5-1 引言1.时域分析法（特点）1)以传递函数和单位阶跃响应为分析基础构成的一整套解析法为主响应曲线图形分析法为辅的分析方法。
它具有直观、明确的物理意义，但就是运算工作量较大，参数的全局特征不明显。
2) 原始依据－－数学模型，得来不易，也同实际系统得真实情况有差异，存在较多的近似、假设和忽略，有时对于未知对象，还可能要用经验法估计。
3) 对工程中普遍存在的高频噪声干扰的研究无能为力。
4) 在定性分析上存在明显的不足。
5) 属于以“点”为工作方式的分析方法。
2.根轨迹法（特点）1）根轨迹法弥补了时域分析法中参数全局变化时特征不明显的不足，在研究单一指定参数对整个系统的影响时很有用；2）增加零极点（增加补偿器）时，是一种很好的辅助设计工具； 3）以“线”和“面”为工作方式；4）为定性分析提供了一种非常好的想象空间和辅助思维界面。
自动控制理论 5-4 频域：奈氏 判据
L( )P20 ( )
Z =2（ N- -N+ ）+P=-2+1= -1 所以，系统不稳 定。
18
例5-14 为
已知一单位反馈系统的开环传递函数
K
G(s)H (s) 1 T1s1 T2s
T1 T2 0
试判别系统的稳定性。
W=0-
19
自控理论实验‘频率分析’中
根据奈氏判据, 闭环系统在s右半平面极点数 Z=N+P=2 所以系统不稳定。
13
例7: 一系统开环传递函数为：
G(s)H
(s)
K 1 T2s s2 1 T1s
( T1,2 0, K 0)
试分析时间常数对系统稳定性的影响，并画出它们所对应的乃氏图。
解：本系统的开环频率特性
G(
j)H
根据奈氏判据, 闭环系统在s右半平面极点数 Z=N+P=0 所以系统稳定。
6
例4: 一系统开环传递函数为：
G(s)H
(s)
K
s1 Ts
( T 0, K 0)
试判别系统的稳定性。
解：本系统的开环频率特性
G( j)H ( j)
K
j1 Tj
0 0
(1, j0)
Im
G( j)H ( j)
L( ) dB
0 Re
0
( )
0
c
16
参照极坐标中奈氏判据的定义，对数坐标下的奈
判据可表述如下：
当 由 0 时，奈氏曲线GH对于（-1， j0）点围绕的圈数N与其相频特性曲线 () 在开环对数 幅频特性L() 0 的频段内，负、正穿越次数之差相等， 即
Z =2（ N- -N+ ）+P=-2+1= -1 所以，系统不稳 定。
18
例5-14 为
已知一单位反馈系统的开环传递函数
K
G(s)H (s) 1 T1s1 T2s
T1 T2 0
试判别系统的稳定性。
W=0-
19
自控理论实验‘频率分析’中
根据奈氏判据, 闭环系统在s右半平面极点数 Z=N+P=2 所以系统不稳定。
13
例7: 一系统开环传递函数为：
G(s)H
(s)
K 1 T2s s2 1 T1s
( T1,2 0, K 0)
试分析时间常数对系统稳定性的影响，并画出它们所对应的乃氏图。
解：本系统的开环频率特性
G(
j)H
根据奈氏判据, 闭环系统在s右半平面极点数 Z=N+P=0 所以系统稳定。
6
例4: 一系统开环传递函数为：
G(s)H
(s)
K
s1 Ts
( T 0, K 0)
试判别系统的稳定性。
解：本系统的开环频率特性
G( j)H ( j)
K
j1 Tj
0 0
(1, j0)
Im
G( j)H ( j)
L( ) dB
0 Re
0
( )
0
c
16
参照极坐标中奈氏判据的定义，对数坐标下的奈
判据可表述如下：
当 由 0 时，奈氏曲线GH对于（-1， j0）点围绕的圈数N与其相频特性曲线 () 在开环对数 幅频特性L() 0 的频段内，负、正穿越次数之差相等， 即
5-5 闭环系统的频域性能指标
A －T
A / T
T
t
|ck|
Hale Waihona Puke -5Ω-3Ω -Ω 2Ω 4Ω 6Ω ω
(2) 非周期信号的频谱
非周期信号f(t)可看作T→ ∞的周期信号， 当f(t)满足绝对可积时，可表示为傅立叶积分：
1 f (t ) 2 F ( jw )
F ( jw )e d w
2. 开环频域指标和时域指标的关系
典型二阶系统开环频率特性为
wn 2 Gk ( jw ) jw ( jw 2wn ) w (90 arctan ) 2wn w (w 2 4 2wn 2 )
G ( jwc )
wn 2
wn 2 w (w 2 4 2wn 2 )
1
wc wn ( 4 2 1 2 2 )1/ 2
wc 2 2 1/ 2 ( 4 1 2 ) wn
g 180 G ( jwc ) wc 180 (90 arctan ) 2wn wc 90 arctan 2wn
( 4 1 2 ) 90 arctan 2
2 2 1/ 2
arctan[2 ( 4 2 1 2 2 ) 1/ 2 ]
即，典型二阶系统 g和 存在一一对应的关 系。 当选定好 g后，可以由g 关系，确定 ，
再由确定s％和ts。一般希望30°≤ g ≤ 70°。
例5-15：单位反馈系统开环传函为 G ( s)
系统幅频特性 ( jw )
1
2 w2 2 w (1 2 ) 4 2 2 wn wn
( j 0) 1
20lg ( jwb ) 20lg 1
2 wb 2 2 w (1 2 ) 4 2 b 2 wn wn
机械控制工程资料-----5-6频域稳定判据奈氏判据
0 -1 0
(c)由于ν＝2，从 0点逆时针
＝0 补画半径为无穷大的半园。
Re
P=0, N=-1，Z=2
0
K 该闭环不系统稳定。
Gc (S) S 2 (TS 1)
Im
Gd
(S)
10 S(TS 1)
(d)ν=1,从 0 点逆时针
补画半径为无穷大的1/4园。
记为半次正(半次负)穿越。
右图中 N 2 N 2
N N N 22 0
- +- + -1 0
Re
幅相曲线在负实轴(-.-1)
区间的正负穿越如图所示 R 2N
4
Nyquist稳定判据
闭环系统稳定的充要条件是：闭合曲线ГGH曲线不穿 过（-1，j0） ，且逆时针绕（-1，j0）点的圈数R等于 G(s)H(s)位于s右半平面的极点数P圈。
( x ) G jx H jx 180 0
h
1
G jx H jx
00
h
1
Im
1
h
x
- ＋
1 c
00
h1
Im
c
Re x
－
-1
Re
G( j)
G( j)
1 h
（a）稳定系统
（b）不稳定系统 20
20lg G( jc )H( jc ) 0dB
Im
-1
0 Re
Im
-1 0 Re
Im
-1
0 Re
Im
-1 0 Re
h(t)
h(t)
(c)由于ν＝2，从 0点逆时针
＝0 补画半径为无穷大的半园。
Re
P=0, N=-1，Z=2
0
K 该闭环不系统稳定。
Gc (S) S 2 (TS 1)
Im
Gd
(S)
10 S(TS 1)
(d)ν=1,从 0 点逆时针
补画半径为无穷大的1/4园。
记为半次正(半次负)穿越。
右图中 N 2 N 2
N N N 22 0
- +- + -1 0
Re
幅相曲线在负实轴(-.-1)
区间的正负穿越如图所示 R 2N
4
Nyquist稳定判据
闭环系统稳定的充要条件是：闭合曲线ГGH曲线不穿 过（-1，j0） ，且逆时针绕（-1，j0）点的圈数R等于 G(s)H(s)位于s右半平面的极点数P圈。
( x ) G jx H jx 180 0
h
1
G jx H jx
00
h
1
Im
1
h
x
- ＋
1 c
00
h1
Im
c
Re x
－
-1
Re
G( j)
G( j)
1 h
（a）稳定系统
（b）不稳定系统 20
20lg G( jc )H( jc ) 0dB
Im
-1
0 Re
Im
-1 0 Re
Im
-1
0 Re
Im
-1 0 Re
h(t)
h(t)
第5章 控制系统的频域分析
曲线为每十倍频程衰减20dB的一条斜线,此线通过ω=1、 L(ω)=0dB的点。
积分环节的对数相频特性表达式为
积分环 节 的 伯 德 图 如 图 5-12 所 示。
第5章 控制系统的频域分析
图5-12 积分环节的伯德图
第5章 控制系统的频域分析 3.微分环节
第5章 控制系统的频域分析
图5-13 微分环节的极坐标图
第5章 控制系统的频域分析
图5-9 比例环节的极坐标图
第5章 控制系统的频域分析 2)伯德图 比例环节的对数幅频特性表达式为
其对数相频特性表达式为
比例环节的对数频率特性曲线(即伯德图)如图5-10所示。
第5章 控制系统的频域分析
图5-10 比例环节的伯德图
第5章 控制系统的频域分析 2.积分环节 积分环节的传递函数为
第5章 控制系统的频域分析
图5-21 二阶比例微分环节的伯德图
第5章 控制系统的频域分析 8.延迟环节
第5章 控制系统的频域分析
图5-22 延迟环节的极坐标图和伯德图
第5章 控制系统的频域分析 5.3 系统的开环频率特性
第5章 控制系统的频域分析
5.3.1 最小相位系统和非最小相位系统 若控制系统开环传递函数的所有零、极点都位于虚轴以
图5-1 典型一阶系统
第5章 控制系统的频域分析
第5章 控制系统的频域分析 对于图5-2所示的一般线性定常系统,可列出描述输出量
c(t)和输入量r(t)关系的微分方程:
图5-2 一般线性定常系统
第5章 控制系统的频域分析 与其对应的传递函数为
如果在系统输入端加一个正弦信号,即 式中,R0是幅值,ω 是角频率。由于 所以
第5章 控制系统的频域分析
积分环节的对数相频特性表达式为
积分环 节 的 伯 德 图 如 图 5-12 所 示。
第5章 控制系统的频域分析
图5-12 积分环节的伯德图
第5章 控制系统的频域分析 3.微分环节
第5章 控制系统的频域分析
图5-13 微分环节的极坐标图
第5章 控制系统的频域分析
图5-9 比例环节的极坐标图
第5章 控制系统的频域分析 2)伯德图 比例环节的对数幅频特性表达式为
其对数相频特性表达式为
比例环节的对数频率特性曲线(即伯德图)如图5-10所示。
第5章 控制系统的频域分析
图5-10 比例环节的伯德图
第5章 控制系统的频域分析 2.积分环节 积分环节的传递函数为
第5章 控制系统的频域分析
图5-21 二阶比例微分环节的伯德图
第5章 控制系统的频域分析 8.延迟环节
第5章 控制系统的频域分析
图5-22 延迟环节的极坐标图和伯德图
第5章 控制系统的频域分析 5.3 系统的开环频率特性
第5章 控制系统的频域分析
5.3.1 最小相位系统和非最小相位系统 若控制系统开环传递函数的所有零、极点都位于虚轴以
图5-1 典型一阶系统
第5章 控制系统的频域分析
第5章 控制系统的频域分析 对于图5-2所示的一般线性定常系统,可列出描述输出量
c(t)和输入量r(t)关系的微分方程:
图5-2 一般线性定常系统
第5章 控制系统的频域分析 与其对应的传递函数为
如果在系统输入端加一个正弦信号,即 式中,R0是幅值,ω 是角频率。由于 所以
第5章 控制系统的频域分析
5-5稳定裕度
稳定裕度示意图
1 1/Kg
Im
db
c g
0
g
γ
1
20log Kg
Re
90 180 270
γ
c
幅相曲线与负实轴有交点，G( jωg)为负实数。
☆稳定系统的Nyquist曲线距离临界稳定点越 远稳定裕度越大，相反越近稳定裕度越小。 △为讨论问题方便，这里给出最小相位系统 的相角裕度γ和幅值裕度Kg的计算方法和有关 结论。 件和幅值条件是 G( j g ) ， | G( jc ) | 1。 1. 相角裕度 定义：(幅值穿越频率c ) 180 G( jc ) 。 物理意义：稳定闭环系统的开环频率特性 还有γ度的相角裕度，若某种因素使附加滞后 相角达到或超出γ度，则系统不能正常工作。
K G( s) s( s 1)(0.1s 1)
13.58 ； 20 log k g 6.85 db ； 2 K=20：c 17.9242 ； c 4.2337 ； 9.66 ； 20 log k g 5.19 db ；
例5-14 表明，开环增益增大，使剪切频率 c 增大，相角裕度 减小；幅值裕度 20 log K g 减 小；可能使系统不稳定。 开环频率特性指标： 剪切频率 c ，反映系统的响应速度； 相角裕度 和幅值裕度 20 log K g ，标志系 统相对稳定性。
Mr ζ
r c
b c
c n
r n
b n
p t p n
5.6
1.1 0.540 0.863 1.616 0.758 0.654 1.225 54.9o 0.133
1.5 0.357 0.978 1.600 0.882 0.863 1.411
第五章 线性系统的频域分析法
2.频率特性的物理意义明确。频域性能指标和时域性能指标 之间有相应的对应关系。 3.控制系统的频域设计可以兼顾动态响应和噪声抑制两方面 的要求。
4.还可以推广到研究某些非线性系统。
时域分析法与频域分析法比较：
时域分析法是分析控制系统的直接方法，比较直观、 精确。当往往需要求解复杂的微分方程。 频域分析法是一种图解分析法。它依据系统的又一种 数学模型——频率特性，利用频域指标和时域指标之间的 对应关系，间接地揭示系统的暂态特性和稳态特性，简单 迅速地判断某些环节或者参数对系统的暂态特性和稳态特 性的影响，并能指明改进系统的方向。也是一种工程上常 用的方法。
2 0.707 2
时，谐振峰值 M r 1 。
2 , (0, r ), 0 2 0 2 , ( , ), r 2
4.无谐振时
2 1, (0, ), 2
A( )
1
2 2 2 1 2 4 2 n n 2
参见《信号与系统》
频域分析法的基本介绍 •控制系统的频率特性反映正弦信号作用下系统响应的性能， 是系统的一种数学模型。 •应用频率特性来研究线性系统的经典方法称为频域分析法。 频域分析法具有以下特点：
1.控制系统及其元部件的频率特性可以运用分析法或者实验 法获得，并可用多种形式的曲线来表示，因而系统分析和控 制器设计可以应用图解法进行。
4.系统的开环幅相曲线（Nyquist图）
5.系统的开环对数频率特性曲线（bode图） 6.传递函数的频域实验确定
7.延迟环节和延迟系统
重点掌握最小相位情况的各个知识点，非最小相位情况的考试不考，考研可能考。
1.典型环节
2.最小相位环节的频率特性
4.还可以推广到研究某些非线性系统。
时域分析法与频域分析法比较：
时域分析法是分析控制系统的直接方法，比较直观、 精确。当往往需要求解复杂的微分方程。 频域分析法是一种图解分析法。它依据系统的又一种 数学模型——频率特性，利用频域指标和时域指标之间的 对应关系，间接地揭示系统的暂态特性和稳态特性，简单 迅速地判断某些环节或者参数对系统的暂态特性和稳态特 性的影响，并能指明改进系统的方向。也是一种工程上常 用的方法。
2 0.707 2
时，谐振峰值 M r 1 。
2 , (0, r ), 0 2 0 2 , ( , ), r 2
4.无谐振时
2 1, (0, ), 2
A( )
1
2 2 2 1 2 4 2 n n 2
参见《信号与系统》
频域分析法的基本介绍 •控制系统的频率特性反映正弦信号作用下系统响应的性能， 是系统的一种数学模型。 •应用频率特性来研究线性系统的经典方法称为频域分析法。 频域分析法具有以下特点：
1.控制系统及其元部件的频率特性可以运用分析法或者实验 法获得，并可用多种形式的曲线来表示，因而系统分析和控 制器设计可以应用图解法进行。
4.系统的开环幅相曲线（Nyquist图）
5.系统的开环对数频率特性曲线（bode图） 6.传递函数的频域实验确定
7.延迟环节和延迟系统
重点掌握最小相位情况的各个知识点，非最小相位情况的考试不考，考研可能考。
1.典型环节
2.最小相位环节的频率特性
第5章线性系统的频域分析方法
最小相位环节：
特点:某个参数的符号相反
除积分微分外，最小相位环 节有对应的非最小相位环节
非最小相位环节:
非最小相位环节和与之相对 应的最小相位环节的区别在 于其零极点在s平面的位置。
不稳定环节
设有两个系统
1 Ts G1 ( s ) 1 10Ts
和
1 Ts G2 ( s) 1 10Ts
1 典型环节 根据零极点，将开环传递函数的分子和分母多项式分解 成因式，再将因式分类，得到典型环节。 开环系统可表示为若干典型环节的串联形式
设典型环节的频率特性为
幅值相乘， 相角相加
则系统开环频率特性
系统的开环幅频特性和相频特性
系统开环频率特性为组成系统的各典型环节频率特性的合成 系统开环对数幅频特性
A 1 U o (s) [U i ( s ) Tuo 0 ] 代入 U i ( s ) L[ A sin t ] 2 s 2 Ts 1
U o ( s) Tu 1 A A [ 2 Tuo 0 ] o 0 再由拉氏逆变换 Ts 1 s 2 (Ts 1)(s 2 2 ) Ts 1
(1) 幅相频率特性曲线 (Nyquist图，极坐标图)
将频率特性表示为复平面上的向量，其长度为A(ω) ， 向量与正实轴夹角为 (ω)，则ω变化时，相应向量的矢端 曲线即为幅相曲线。
G( jω)=A(ω)e j(ω) ，G(-jω)=A(ω)e -j(ω)
A(ω)偶, (ω)奇
ω：0→+∞和ω：0→ -∞的幅相曲线关于实轴对称 只绘制ω从零变化至+∞的幅相曲线。 用箭头表示ω增大时幅相曲线变化方向 对于RC网络 G ( j )
j
cos j sin
自动控制原理第五章--频率法
G(s) s G(s) 1 Ts
G(s) T 2s2 2Ts 1
频率特性分别为：
G( j ) j G( j ) 1 jT G( j ) 1 T 2 2 j2T
① 纯微分环节： G( j ) j
A() , ()
2
P() 0, Q()
微分环节的极坐标图为 正虚轴。频率从0→∞ 特性曲线由原点趋向虚 轴的+∞。
当 o 时，误差为：2 20lg 1 T 22 20lgT
T L(),dB 渐近线,dB0.1 0.2来自0.5 1 2 510
-0.04 -0.2 -1 -3 -7 -14.2 -20.04
0
0
0 0 -6 -14
-20
最大误差发生在
o
处，为
1 T
误差,dB
0 -1
-0.04 -0.2 -1 -3 -1 -0.2
时：A() 0，() 90
P() 0，Q() 0
2. 对数频率特性
A( ) K 1 T 2 2
G(s) K Ts 1
G( j ) K jT 1
( ) tg1T
①对数幅频特性：L() 20lg A() 20lg K 20lg 1 T 2 2
为了图示简单，采用分段直线近似表示。
二、频率特性的表示方法：
工程上常用图形来表示频率特性，常用的有：
1．幅相频率特性图，极坐标图，也称乃奎斯特(Nyquist) 图。是以开环频率特性的实部为直角坐标横坐标，以其
虚部为纵坐标，以 为参变量的幅值与相位的图解表示
法。
它是在复平面上用一条曲线表示 由 0 时的频
率特性。即用矢量 G( j)的端点轨迹形成的图形。 是
R Ar0o ，C Ac
G(s) T 2s2 2Ts 1
频率特性分别为：
G( j ) j G( j ) 1 jT G( j ) 1 T 2 2 j2T
① 纯微分环节： G( j ) j
A() , ()
2
P() 0, Q()
微分环节的极坐标图为 正虚轴。频率从0→∞ 特性曲线由原点趋向虚 轴的+∞。
当 o 时，误差为：2 20lg 1 T 22 20lgT
T L(),dB 渐近线,dB0.1 0.2来自0.5 1 2 510
-0.04 -0.2 -1 -3 -7 -14.2 -20.04
0
0
0 0 -6 -14
-20
最大误差发生在
o
处，为
1 T
误差,dB
0 -1
-0.04 -0.2 -1 -3 -1 -0.2
时：A() 0，() 90
P() 0，Q() 0
2. 对数频率特性
A( ) K 1 T 2 2
G(s) K Ts 1
G( j ) K jT 1
( ) tg1T
①对数幅频特性：L() 20lg A() 20lg K 20lg 1 T 2 2
为了图示简单，采用分段直线近似表示。
二、频率特性的表示方法：
工程上常用图形来表示频率特性，常用的有：
1．幅相频率特性图，极坐标图，也称乃奎斯特(Nyquist) 图。是以开环频率特性的实部为直角坐标横坐标，以其
虚部为纵坐标，以 为参变量的幅值与相位的图解表示
法。
它是在复平面上用一条曲线表示 由 0 时的频
率特性。即用矢量 G( j)的端点轨迹形成的图形。 是
R Ar0o ，C Ac
信号与系统实验五 连续线性时不变系统分析
信号与系统实验陈述课程名称：信号与系统实验实验项目名称：连续线性时不变系统分析专业班级：姓名：学号：完成时间：年月日一、实验目的1．掌握连续LTI系统的单位冲激响应、单位阶跃响应和任意激励对应响应的求解方法。
2．掌握连续LTI系统的频域分析方法。
3．掌握连续LTI系统的复频域分析方法。
4．掌握连续LTI系统的时域、频域和复频域分析方法的相互转换。
二、实验原理1．连续LTI系统的时域分析(1)连续线性时不变系统的描述设连续线性时不变系统的激励为，响应为，则描述系统的微分方程可暗示为为了在Matlab编程中调用有关函数，我们可以用向量和来暗示该系统，即这里要注意，向量和的元素排列是按微分方程的微分阶次降幂排列，缺项要用0补齐。
(2) 单位冲激响应单位冲激响应是指连续LTI系统在单位冲激信号激励下的零状态响应，因此满足线性常系数微分方程(5.1)及零初始状态，即，依照定义，它也可暗示为对于连续LTI系统，若其输入信号为，冲激响应为，则其零状态响应为可见，能够刻画和表征系统的固有特性，与何种激励无关。
一旦知道了系统的冲激响应，就可求得系统对任何输入信号所发生的零状态响应。
Matlab提供了专门用于求连续系统冲激响应的函数impulse()，该函数还能绘制其时域波形。
(3)单位阶跃响应单位阶跃响应是指连续LTI系统在单位阶跃信号激励下的零状态响应，它可以暗示为Matlab提供了专门用于求连续系统单位阶跃响应的函数step( )，该函数还能绘制其时域波形。
(4)任意激励下的零状态响应已经知道，连续LTI系统可用常系数线性微分方程(5.1)式来描述，Matlab提供的函数lsim( )能对上述微分方程描述的连续LTI系统的响应进行仿真，该函数不但能绘制指定时间范围内的系统响应波形图，而且还能求出系统响应的数值解。
其调用格式有lsim(b,a,x,t)y=lsim(b,a,x,t) ：只求出系统的零状态响应的数值解，而不绘制响应曲线需要特别强调的是，Matlab总是把由分子和分母多项式暗示任何系统都当作是因果系统。
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对于高阶系统，开环频域指标与时域指标之间难以找到准 确的关系式。两个经验公式：
M
p
0.16 0.4(
1 sin γ
1)
(35 γ 90 )
ts
Kπ ωc (s)
(35 90 )
式中
K 2 1 .5 (
1 sin
1) 2.5(
1 sin γ
Gm>1，系统稳定。 Gm<1，系统不稳定。 Gm=1，系统临界稳定。
4
(1)增益裕度Gm
Gm
1 G(j ω g )H(j ω g )
以分贝表示时
G M dB 20lgGm 20lg G(j ω g )H(j ω g ) dB
GM>0 (Gm>1) ，系统稳定。 GM<0 (Gm<1) ，系统不稳定。
2
2
2.587
2.587 3.14 12
5.4.3 基于闭环频率特性的 系统性能分析
22
讨论二阶系统闭环频域指标谐振峰值Mr ,谐振角频率r ,带宽 b对系统动态性能的影响.
二阶系统的闭环频率特性
M(j ) ωn (j ) 2 ζ n (j ) ω
2 2 n 2
M 00 0 .7 0 7 M 0 -3
0
r
b
23
M (dB)
谐振峰值Mr：
M
r
闭环幅频最大值。
Mr对应Mp ,越小越好。 谐振角频率r： 谐振峰值频率。
00 0 .7 0 7 M 0 -3
0
M
r
b
对|M(jω)|求导,令导数为0,可求得
r n 1 - 2
2
M r M (j r )
为了使系统具有一定的稳定裕度， L(ω)在ωc处
10
5.4.2 基于开环频率特的 系统性能分析
11
由于人们的直觉是建立在时间域中的，所 以，工程上提出的指标往往都是时域指标。 对于二阶系统来说，时域指标与频域指标 之间有着严格的数学关系。而对于高阶系统 来说，这种关系比较复杂，工程上常常用近 似公式或曲线来表达它们之间的相互联系。
dB
c
0
KGM>0 g 0
( )
90
0
相位裕量： 当γ>0时，系统稳定；
180 ( c )
180
g
270
正相位裕量
7
L ( )
dB
负增益裕量
0
GMg K
0
c
( )
90
180
g
0
相位裕量： 当γ <0时，系统不稳定。
27
5.5 基于伯德图的系统 稳定性能分析
28
复习:
系统型号
系统的稳态误差
误差系数 Kp Kv Ka
K
单位阶跃 输入
r (t ) u (t )
单位速度 输入
r (t ) t
单位加速 度输入
r (t ) 1 2 t
2
0 I II
0
K
0 0
K
1 1K 0 0
1 K 0
1 K
1
5.4
系统动态性能的频域分析与频域指标
5.4.1 系统的相对稳定性
系统开环频率特性中度量相对稳定性的两个指标: 相位裕度和增益裕度, 闭环频率特性中则用谐振峰值,谐振频率和带宽等 指标.
2
(1)增益裕度Gm
相位剪切频率ωg（ φ（ωg）=-180°）上，开环频 率特性的倒数，称为增益裕度，记作Gm ，即
180 ( c )
270
负相位裕量
8
为了确定系统的相对稳定性,必须同时用 增益裕度和相位裕度.
为了得到满意的性能，增益裕度应当大于 6dB。相位裕度取30°—— 60°.
9
一般
L(ωc)处的斜率为－20db/dec时，系统稳定。
L(ωc)处的斜率为－40db/dec时，系统可能稳 定，也可能不稳定，即使稳定， γ也很小。 L(ωc)处的斜率为－60db/dec时，系统肯定不 稳定。 的斜率为－20db/dec 。
4 2
当ζ ＜ 0.7 时， γ 与 ζ为近似直线关系， ζ = 0.01γ
14
ζ = 0.01γ
时域分析知，二阶系统的最大超调量：
ζ 1 ζ
2
Mp e
100%
Mp 与 γ 的关系是通过中间参数ζ相联系
15
结论：
对于二阶系统来说，γ 越小， Mp越大；γ 越
大，Mp 越小。为使二阶系统不会振荡得太严重，
1. 2.
稳态误差与输入、系统结构有关. 减小或消除稳态误差的方法： a、增加开环放大系数K； b、提高系统的型号数;
29
关键：对数频率特性上的稳态误差系数求取 系统的稳态性能由开环增益K和系统在原点的开 环极点数v(系统的类型)决定, K和v一旦确定, 系统的稳态误差系数Kp Kv Ka 也就确定了.
系统对数幅频特性的低频段Ld (ω)的斜率等于 v×(-20dB/dec)所以设Ld (ω)的斜率是 AdB/dec,则(ω)
v
A ( dB / dec ) 20 ( dB / dec )
30
求系统开环增益K的方法
一. 用低频段Ld(ω)在ω=1时的值Ld(1) 求开环增益K 低频段Ld(ω)由增益和积分因子决定,
2 2 2 2
2
幅频特性：
G(j ω )H(j ω )
令
G(j ω c )H(j ω c ) 1
ωc ωn
1求得 2 ζ 4ζ
4
2
相位裕量：
γ 180
G(j ω c ) 90 arc t a n
1 4ζ 2ζ
4
2
2ζ
arctan
2ζ 1 4ζ 2ζ
M (j ) e
j ( )
M(j ) 1 /
(1 ( / n ) ) ( 2 / n )
2 2
2
( ) arctan
2 / n 1 ( / n )
2
M (dB)
对数幅频特性
M( ) 20 lg M(j )
M
r
一般取：
300 ≤ γ ≤700
16
（2）
因为
ts与γ 、ωc之间的关系
ts 3 ζ ωn
将
ωn
ωc 1 4ζ 2ζ
4 2
代入上式
3 1 4ζ 2ζ
2 2
t sω c
ζ
可以看出：ζ确定以后，增益剪切频率ωc 大的系统， 过渡过程时间 ts短，而且正好是反比关系。
17
2、高阶系统
GM=0 (Gm=1) ，系统临界稳定。
5
(2)相位裕度γ
增益剪切频率ω c处 ( |G(jω)H(jω)|=1 ), 使闭环系
统达到临界稳定状态所需附加的相移量，称为系
统的相位裕度，记作γ。
γ =180°+ φ（ω c）
γ>0 ，系统稳定。
γ<0 ，系统不稳定。 γ=0 ，系统临界稳定。
6
L ( )
1 2 1-
2
ζ=0.707时,Mr=0, ζ≥0.707时,不会出现谐振峰.
24
M (dB)
M
r
0 0 .7 0 7 M -3
0
0
M
系统带宽b：
0
r
b
M() 减小到-3dB时的角频率。反映了系统复现输入信号的能 力, b越大,系统对输入信号的响应速度越快,但对高频噪声 的滤波能力越差,系统的抗干扰能力也越差. M() =-3dB,对应| M(j) |=0.707,所以
根据带宽定义， b与n 、 的关系为，
ωb ωn 1 - 2ζ
2
2 - 4ζ 4ζ
2
4
由
ts
3
得到
n
ω bts
3 ζ
1 - 2ζ
2
2 - 4ζ 4ζ
2
4
对于给定，ts与b成反比。如果系统带宽大， 则说明系统 “惯性” 小，动作迅速，ts也小。
还可找到 Mr 、 r 、 b的关系，所以有时也 用r反映系统的快速性。
19
例：一系统
G(s)
250(0.59s s(0.02s 1)(0.025s
1) 1)(11.8s 1)
试估算该系统的时域性能指标。 解：开环放大系数K=250 20lgK=20lg250=48(db) 各环节的转折频率
1 0 . 02
L ( ) d B
120 80 -20
50
5.4
系统动态性能的频域分析与频域指标
5.4.1 系统的相对稳定性
在稳定的系统中,特征根离虚轴越远,其瞬态过程越 短,振荡越小,系统越稳定,或者说系统的相对稳 定性越好. 用系统开环频率特性G(jω)H(jω)与GH平面上与 （-1，j0）点的靠近程度来表征闭环系统的相对 稳定性。G(jω)H(jω)离开（-1，j0）点越远， 则相对稳定性越好；反之，相对稳定性越差。
2 0 lg KV jω
1
p Mp Mr～关系见右图。 p 相同的，Mr较高，超调量Mp也 大，且收敛慢，平稳性及快速性 1.0 0.2 0.4 0.6 0.8 0 都差。 当Mr=1.21.5时，对应Mp =2030%， 可获得适度的振荡性能。 若出现Mr>2，则与此对应的Mp 可高达40%以上。
M
p
0.16 0.4(
1 sin γ
1)
(35 γ 90 )
ts
Kπ ωc (s)
(35 90 )
式中
K 2 1 .5 (
1 sin
1) 2.5(
1 sin γ
Gm>1，系统稳定。 Gm<1，系统不稳定。 Gm=1，系统临界稳定。
4
(1)增益裕度Gm
Gm
1 G(j ω g )H(j ω g )
以分贝表示时
G M dB 20lgGm 20lg G(j ω g )H(j ω g ) dB
GM>0 (Gm>1) ，系统稳定。 GM<0 (Gm<1) ，系统不稳定。
2
2
2.587
2.587 3.14 12
5.4.3 基于闭环频率特性的 系统性能分析
22
讨论二阶系统闭环频域指标谐振峰值Mr ,谐振角频率r ,带宽 b对系统动态性能的影响.
二阶系统的闭环频率特性
M(j ) ωn (j ) 2 ζ n (j ) ω
2 2 n 2
M 00 0 .7 0 7 M 0 -3
0
r
b
23
M (dB)
谐振峰值Mr：
M
r
闭环幅频最大值。
Mr对应Mp ,越小越好。 谐振角频率r： 谐振峰值频率。
00 0 .7 0 7 M 0 -3
0
M
r
b
对|M(jω)|求导,令导数为0,可求得
r n 1 - 2
2
M r M (j r )
为了使系统具有一定的稳定裕度， L(ω)在ωc处
10
5.4.2 基于开环频率特的 系统性能分析
11
由于人们的直觉是建立在时间域中的，所 以，工程上提出的指标往往都是时域指标。 对于二阶系统来说，时域指标与频域指标 之间有着严格的数学关系。而对于高阶系统 来说，这种关系比较复杂，工程上常常用近 似公式或曲线来表达它们之间的相互联系。
dB
c
0
KGM>0 g 0
( )
90
0
相位裕量： 当γ>0时，系统稳定；
180 ( c )
180
g
270
正相位裕量
7
L ( )
dB
负增益裕量
0
GMg K
0
c
( )
90
180
g
0
相位裕量： 当γ <0时，系统不稳定。
27
5.5 基于伯德图的系统 稳定性能分析
28
复习:
系统型号
系统的稳态误差
误差系数 Kp Kv Ka
K
单位阶跃 输入
r (t ) u (t )
单位速度 输入
r (t ) t
单位加速 度输入
r (t ) 1 2 t
2
0 I II
0
K
0 0
K
1 1K 0 0
1 K 0
1 K
1
5.4
系统动态性能的频域分析与频域指标
5.4.1 系统的相对稳定性
系统开环频率特性中度量相对稳定性的两个指标: 相位裕度和增益裕度, 闭环频率特性中则用谐振峰值,谐振频率和带宽等 指标.
2
(1)增益裕度Gm
相位剪切频率ωg（ φ（ωg）=-180°）上，开环频 率特性的倒数，称为增益裕度，记作Gm ，即
180 ( c )
270
负相位裕量
8
为了确定系统的相对稳定性,必须同时用 增益裕度和相位裕度.
为了得到满意的性能，增益裕度应当大于 6dB。相位裕度取30°—— 60°.
9
一般
L(ωc)处的斜率为－20db/dec时，系统稳定。
L(ωc)处的斜率为－40db/dec时，系统可能稳 定，也可能不稳定，即使稳定， γ也很小。 L(ωc)处的斜率为－60db/dec时，系统肯定不 稳定。 的斜率为－20db/dec 。
4 2
当ζ ＜ 0.7 时， γ 与 ζ为近似直线关系， ζ = 0.01γ
14
ζ = 0.01γ
时域分析知，二阶系统的最大超调量：
ζ 1 ζ
2
Mp e
100%
Mp 与 γ 的关系是通过中间参数ζ相联系
15
结论：
对于二阶系统来说，γ 越小， Mp越大；γ 越
大，Mp 越小。为使二阶系统不会振荡得太严重，
1. 2.
稳态误差与输入、系统结构有关. 减小或消除稳态误差的方法： a、增加开环放大系数K； b、提高系统的型号数;
29
关键：对数频率特性上的稳态误差系数求取 系统的稳态性能由开环增益K和系统在原点的开 环极点数v(系统的类型)决定, K和v一旦确定, 系统的稳态误差系数Kp Kv Ka 也就确定了.
系统对数幅频特性的低频段Ld (ω)的斜率等于 v×(-20dB/dec)所以设Ld (ω)的斜率是 AdB/dec,则(ω)
v
A ( dB / dec ) 20 ( dB / dec )
30
求系统开环增益K的方法
一. 用低频段Ld(ω)在ω=1时的值Ld(1) 求开环增益K 低频段Ld(ω)由增益和积分因子决定,
2 2 2 2
2
幅频特性：
G(j ω )H(j ω )
令
G(j ω c )H(j ω c ) 1
ωc ωn
1求得 2 ζ 4ζ
4
2
相位裕量：
γ 180
G(j ω c ) 90 arc t a n
1 4ζ 2ζ
4
2
2ζ
arctan
2ζ 1 4ζ 2ζ
M (j ) e
j ( )
M(j ) 1 /
(1 ( / n ) ) ( 2 / n )
2 2
2
( ) arctan
2 / n 1 ( / n )
2
M (dB)
对数幅频特性
M( ) 20 lg M(j )
M
r
一般取：
300 ≤ γ ≤700
16
（2）
因为
ts与γ 、ωc之间的关系
ts 3 ζ ωn
将
ωn
ωc 1 4ζ 2ζ
4 2
代入上式
3 1 4ζ 2ζ
2 2
t sω c
ζ
可以看出：ζ确定以后，增益剪切频率ωc 大的系统， 过渡过程时间 ts短，而且正好是反比关系。
17
2、高阶系统
GM=0 (Gm=1) ，系统临界稳定。
5
(2)相位裕度γ
增益剪切频率ω c处 ( |G(jω)H(jω)|=1 ), 使闭环系
统达到临界稳定状态所需附加的相移量，称为系
统的相位裕度，记作γ。
γ =180°+ φ（ω c）
γ>0 ，系统稳定。
γ<0 ，系统不稳定。 γ=0 ，系统临界稳定。
6
L ( )
1 2 1-
2
ζ=0.707时,Mr=0, ζ≥0.707时,不会出现谐振峰.
24
M (dB)
M
r
0 0 .7 0 7 M -3
0
0
M
系统带宽b：
0
r
b
M() 减小到-3dB时的角频率。反映了系统复现输入信号的能 力, b越大,系统对输入信号的响应速度越快,但对高频噪声 的滤波能力越差,系统的抗干扰能力也越差. M() =-3dB,对应| M(j) |=0.707,所以
根据带宽定义， b与n 、 的关系为，
ωb ωn 1 - 2ζ
2
2 - 4ζ 4ζ
2
4
由
ts
3
得到
n
ω bts
3 ζ
1 - 2ζ
2
2 - 4ζ 4ζ
2
4
对于给定，ts与b成反比。如果系统带宽大， 则说明系统 “惯性” 小，动作迅速，ts也小。
还可找到 Mr 、 r 、 b的关系，所以有时也 用r反映系统的快速性。
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例：一系统
G(s)
250(0.59s s(0.02s 1)(0.025s
1) 1)(11.8s 1)
试估算该系统的时域性能指标。 解：开环放大系数K=250 20lgK=20lg250=48(db) 各环节的转折频率
1 0 . 02
L ( ) d B
120 80 -20
50
5.4
系统动态性能的频域分析与频域指标
5.4.1 系统的相对稳定性
在稳定的系统中,特征根离虚轴越远,其瞬态过程越 短,振荡越小,系统越稳定,或者说系统的相对稳 定性越好. 用系统开环频率特性G(jω)H(jω)与GH平面上与 （-1，j0）点的靠近程度来表征闭环系统的相对 稳定性。G(jω)H(jω)离开（-1，j0）点越远， 则相对稳定性越好；反之，相对稳定性越差。
2 0 lg KV jω
1
p Mp Mr～关系见右图。 p 相同的，Mr较高，超调量Mp也 大，且收敛慢，平稳性及快速性 1.0 0.2 0.4 0.6 0.8 0 都差。 当Mr=1.21.5时，对应Mp =2030%， 可获得适度的振荡性能。 若出现Mr>2，则与此对应的Mp 可高达40%以上。