机械振动 习题解答

©物理系_2015_09
《大学物理AII 》作业 No.01 机械振动
班级 ________ 学号 ________ 姓名 _________ 成绩 _______
一、 判断题：（用“T ”表示正确和“F ”表示错误）1/3/5 2 4
[ F ] 1．只有受弹性力作用的物体才能做简谐振动。

解：如单摆在作小角度摆动的时候也是简谐振动，其回复力为重力的分力。

[ F ] 2．简谐振动系统的角频率由振动系统的初始条件决定。

解：P5. 根据简谐振子角频率公式
m
k
=
ω，可知角频率是一个完全由振动系统本身性质决定的常量，与初始条件无关。

我们也将角频率称为固有角频率。

[ F ] 3．单摆的运动就是简谐振动。

解：P14-15 单摆小角度的摆动才可看做是简谐振动。

[ T ] 4．孤立简谐振动系统的动能与势能反相变化。

解：P9 孤立的谐振系统 机械能守恒，动能势能反相变化。

[ F ] 5．两个简谐振动的合成振动一定是简谐振动。

解: 同向不同频率的简谐振动的合成结果就不一定是简谐振动。

总结：1、3、5小题均为简谐振动的定义性判断.
简谐运动是最基本也是最简单的一种机械振动。

当某物体进行简谐运动时，物体所受的力跟位移成正比，并且力总是指向平衡位置。

二、选择题：
1. 把单摆从平衡位置拉开，使摆线与竖直方向成一微小角度θ，然后由静止放手任其振动，从放手时开始计时。

若用余弦函数表示其运动方程，
则该单摆振动的初相位为
[ C ] (A) θ; (B) π23; (C) 0; (D) π2
1。

解：对于小角度摆动的单摆，可以视为简谐振动，其运动方程为：
()()0cos ϕωθθ+=t t m ，根据题意，t = 0时，摆角处于正最大处，θθ=m
，即：
01cos cos 0000
=⇒=⇒==ϕϕθϕθθ。

类似公式： ()()
0cos ϕω+=t A t x
2．一个简谐振动系统，如果振子质量和振幅都加倍，振动周期将是原来的 [
D
] (A) 4倍
(B) 8倍
(C) 2倍
(D)
2倍
解： P5 公式(12.1.8) m T k m T m k T ∝⇒=⇒⎪⎭
⎪⎬⎫==
/2/2πωωπ
,所以选D 。

3. 水平弹簧振子，动能和势能相等的位置在：[ C ] (A)
4A x =
(B) 2A x = (C) 2
A
x = (D)
3
A
x =
解：P9 对于孤立的谐振系统，机械能守恒，动能势能反相变化。

那么动能势能相等时，有：
2
21412122A x kx kA E E E p k =⇒===
=，所以选C 。

4. 一弹簧振子作简谐振动，总能量为1E ，如果简谐振动振幅增加为原来的两倍，重物的质量增加为原来的四倍，则它的总能量E 变为
[ D ] (A) 1E /4 (B) 1E /2 (C) 21E (D) 41E 解：法1.原来的弹簧振子的总能量2
112
1kA E = ，k 不变，振动增加为122A A =，所以总能量变为124E E =.
法2.原来的弹簧振子的总能量21211211
2
121A m kA E ω==
，振动增加为122A A =，质量增加为124m m =，k 不变，角频率变为
11222
14ωω===
m k m k ，所以总能量变为 ()121211212
1122222242142242121E A m A m A m E =⎪⎭⎫
⎝⎛=⨯⎪⎭
⎫ ⎝⎛⨯⨯==ωωω
5．图中所画的是两个简谐振动的振动曲线，若这两个简谐振动可叠加，则合成的余弦振动的初相为： [ C ]
(A)π2
1
(B)
π23 (C)π
(D) 0
解：法1，先写出两个振动方程，再求合振动初相位
法2.P7-8 旋转矢量法 （注意起点为Y 轴方向） 两个谐振动x 1和x 2 反相，且212A A =， 由矢量图可知合振动初相与x 1初相一致， 即πϕ=。

/A -o
1
A 2
A A
三、填空题：
1. 描述简谐振动的运动方程是)cos(ϕω+=t A x ，其中，振幅A 由 初始条件 决定；角频率ω由 振动系统本身性质 决定；初相ϕ由 初始条件 决定；
2．一弹簧振子做简谐振动，振幅为A ，周期为T ,其振动方程用余弦函数表示，若初始时刻，1）振子在负的最大位移处，则初相为π； 2）振子在平衡位置向正方向运动，则初相为2π-
或者 2
3π； 3）振子在A /2处向负方向运动，则初相为3
π。

解：)cos(ϕω+=t A x
用旋转矢量法P8，如图，得出：1）
2） 3）
3. 一水平弹簧简谐振子的振动曲线如图所示，振子处在位移零、速度
为A ω-、加速度为零和弹性力为零的状态，对应于曲线上的 b , f 点。

振子处在位移的绝对值为A 、速度为零、加速度为-ω2A 和弹性力-kA 的
状态，对应于曲线的 a ，e 点。

解：P3-4 公式（12.1.5---12.1.7）
由)cos(ϕω+=t A x 得
()0sin ϕωω+-=t A v （V 为x 对t 求一阶导数）
()02cos ϕωω+-=t A a (a 为V 对t 求一阶导数,x 对t 求二阶导数)
位移0=x ，速度0d d <-==
A t
x
v ω，对应于曲线上的b 、f 点； 若|x |=A , A a 2ω-=，又x a 2ω-=, 所以x = A ，对应于曲线上的a 、e 点。

A -
4. 一质点作简谐振动，其振动曲线如图所示。

根据此图，它的周期()s 43.37
24
==
T ，用余弦函数描述时初相位ππϕ3
234-=或。

解：
法一：高中振动图像方法,写出振动方程， x=4cos(7/12 t+4/3π)或x=4cos(7/12 t-2/3π) 由T
π
ω2=
可求得T
法二、旋转矢量法 由曲线和旋转矢量图
可知22
12=+T
T 周期()s 43.3724
==T
初相ππϕ3
2
34-=或。

5. 两个同方向同频率的简谐振动，其振动表达式分别为：
)2
1
5cos(10621π+⨯=-t x (SI) 和 )5s i n (10222t x -⨯=-π (SI)
它们的合振动的振幅为(m )1042-⨯，初相位为π21。

解：将x 2改写成余弦函数形式：
)2
5cos(102)5sin(102222π
π-⨯=-⨯=--t t x
由矢量图可知，x 1和x 2反相，合成振动的振幅
(m )10410210622221---⨯=⨯-⨯=-=A A A ，初相2
1π
ϕϕ=
=
四、计算题：
1．一定滑轮的半径为R ，转动惯量为J ，其上挂一轻绳，绳的一端系一质量为m 的物体，另一端与一固定的轻弹簧相连，如图所示。

设弹簧的倔强系数为k , 绳与滑轮间无滑动，且忽略摩擦力及空气的阻力。

现将物体m 从平衡位置拉下一微小距离后放手，证明物体作简谐振动，并求出其角频率。

解：取如图x 坐标，平衡位置为坐标原点，向下为正方向。

m 在平衡位置，弹簧伸长x 0, 则有
x
O A
2
A
1
ϕ1
A
0kx mg = (1)
现将m 从平衡位置向下拉一微小距离x ， m 和滑轮M 受力如图所示。

由牛顿定律和转动定律列方程，
ma T mg =-1 (2)
βJ R T R T =-21.................. (3) βR a = ........................... (4) )(02x x k T +=............... (5)
联立以上各式，可以解出 x x m R
J
k
a
22ω-=+-=，
（※） 由判据2知（※）式是谐振动方程， 所以物体作简谐振动，角频率为
2
2
2mR J kR m R
J
k +=
+=
ω （W 类似P12例题5）
2．一质点作简谐振动, 其振动曲线如图所示。

若质点的振动规律用余弦函数描述，求： 1）振动方程；
2）1=t s 时加速度大小； 3）2=t s 时速度大小。

解：1）由图所知：s 4m,2.0==T A ,则2
2ππω==
T
2）加速度为：()⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+-
=
+-=22cos 201cos 202
πππϕωωt t A a ，将
1=t s 代入得：22
2m/s 493.020
1201≈==ππa 3）速度为：()⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-
=+-=22
sin 10
sin 0ππ
πϕωωt t A v ，将2=t s 代入： T 1
T 2
T 1
N
Mg mg
m/s 314.010
≈=
π
v
3． 一物体质量为0.25kg ，在弹性力作用下作简谐振动，弹簧的劲度系数k = 25N ⋅m -1。

如果该系统起始振动时具有势能0.06J 和动能0.02J ，求 (1) 振幅A ；
(2) 动能恰等于势能时的位移； (3) 经过平衡位置时物体的速度。

解：(1) 由2p k 21kA E E E =
+= 得m 08.0)(2p k =+=E E k
A (2) 解：动能等于势能时，有：
m 0566.02
214121212222p k ±≈±=⇒=⇒=⇒=
=A x A x kA kx E E E 另解：
由222
1
21mv kx = 得 )(sin 22222ϕωωω+=t A m x m )(c o s )](cos 1[)(sin 2
2222222ϕωϕωϕω+-=+-=+=∴t A A t A t A x
即
222x A x -=
m 0566.02
±=±=A
x (3) 过平衡位置时，x = 0, 此时动能等于总能量2p k 2
1mv E E E =+= 1p k s m 8.0)(2
-⋅±=+=E E m
v。