恒定电场

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第 二 章
恒定电场
2.4
恒定电场的求解
1. 恒定电场的边值问题 对恒定电场的求解可以归结为恒定电场的边值问题。 边值问题
2 0
S U
1 2
1 2 1 2 n n
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恒定电场
例 试用边值问题求解电弧片中电位、电场及导体分 界面上的面电荷分布。 解 选用圆柱坐标系，边值问题为：
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恒定电场
注意
本章主要讨论导电媒质中的恒定电场。
4.研究恒定电场的意义
① 进一步理解直流电路中的有关规律； ② 解决绝缘电阻、接地电阻的计算等实际问题； ③ 为实验方法研究场的问题提供理论依据。
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恒定电场
2.1 导电媒质中的电流
Current in Conductive Media 1. 电流 (Current) 定义：单位时间内通过某一横截面的电量。
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恒定电场
③ 恒定电场（电源外）的基本方程 积分形式 微分形式
s J dS 0
E dl 0
l
J 0
E 0
J E
说明
J E
恒定电场是无源无旋场，在无源区是守恒场。
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恒定电场
④ 电位方程 由基本方程出发 =常数
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恒定电场
4. 蓄电池（化学电源）
电池电动势2V。使用时，电池放电，当电解液浓度小 于一定值时，电动势低于2V，常要充电，化学反应可逆。
蓄电池示意图
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恒定电场
总场强
E Ec Ee
J ( Ec Ee )
电源电动势
e Ee dl
l
电源电动势与局外场强
3. 欧姆定律的微分形式 欧姆定律
导体内流过的电流与导体两端的电压成正比。
U RI
I GU
设小块导体，在线性情况下
1 dl U E dl R J dS ds I
J E
J 与 E 之关系
Ohm’s Law 微分形式
说明 ① J 与 E 成正比，且方向一致。
② 上式也适用于非线性情况
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恒定电场
4. 焦尔定律的微分形式 导体有电流时，必伴随功率损耗，其功率为
P UI
设小块导体
W
dP ( J dS ) ( E dl ) J EdV
功率密度
J 与 E 之关系
J p J E γE γ
2
2
W/m
3
Joule’s Law微分形式
+
U -
Et
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静电场
恒定电场
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恒定电场
+ + + 导线端面电荷 引起的电场
-
+ + + 导线侧面电荷 引起的电场
-
+ + + 所有电荷引起 的电场叠加
-
③ 导体不是等位体； ④ 导体媒质内外伴随有磁场和温度场。
3.导电媒质周围介质中的恒定电场 介质中的恒定电场是导电媒质中动态平衡电荷 所产生的恒定场，与静电场的分布相同。
1 E1t 1 2 E2 t 2
分界面上电位 的衔接条件 由
电流线的折射
E1t E2t J1n J 2n
1 2
1 2 1 2 n n
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恒定电场
讨论 ① 良导体与不良导体的交界面。
1 2
tan1 1 tan 2 2 tan α1 2 tan 2 0 1
1 2 1 1 E1n 2 E1n 1 E1n 2 1 2
表明
一般情况下介质交界面上总有净自由电荷存在
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恒定电场
折射定律
tan1 J1t J1n J1t tan 2 J 2 t J 2 n J 2 t
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恒定电场
讨论 ③ 理想导体与理想介质的分界面。
1
E1 0
J1 1 E1 有限值
1
2 0
E 2 E2 n
E1t E2 t
E 2 E2 n
表 明
1）理想导体中电场为零，沿电流方向没有压降 2）理想介质中的E垂直于导体表面。
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第二章 恒定电场
Steady Electric Field
重点： 1. 电流密度的概念 2. 恒定电场的基本方程、边界条件
3. 恒定电场的基本计算方法 4. 电导和接地电阻
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2.0 引言
Introduction 1.恒定电场 自由电荷在电场作用下做宏观定向运动形成电 流，通有电流的导电媒质中的场称为电流场，当空 间各点的电流密度不随时间而变时就是恒定电流场 ，简称恒定电场。 超导体或 理想导体 2.导电媒质中的恒定电场 导电媒质
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恒定电场
2.2
1. 电源 (Source)
电源电势与局外场强
Source EMF and 0ther Field Intensity
提供非静电力将其它形式的 能转为电能的装置称为电源。 2. 电源电动势 (Source EMF)
恒定电流的形成
电源电动势是电源本身的特征量，与外电路无关。
0 空气中 E2n ＝ 0 2 0
J 2n
导体中
E1n 0
D2n D1n 2 E 2n
E1t E2t J1t / 1 0
表 明
1）分界面导体侧的电流一定与导体表面平行。 2）导体与理想介质分界面上必有面电荷。 3）电场切向分量不为零，导体非等位体，导体表 面非等位面
J v
I J dS
s
A m2
电流面密度矢量
电流的计算
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恒定电场
交流电流密度在触头上的分布
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恒定电场
② 电流线密度 K 面电荷 在曲面上以速度 v 运动形成的电流
电流线密度
电流
K v
l
Am
I ( K en ) dl
en 是垂直于dl，且通过 dl 与曲面相切的单位矢量
恒定电场 是无旋场
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E 0
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② J 的闭合面积分及散度 电荷守恒原理
0 在恒定电场中 t
q s J dS t
s
故
J dS 0
散度定理
v JdV 0
恒定电场 是无源场
J 0
上式亦称电流连续性方程，即流进的电流等于流 出的电流，电流线是闭合曲线。
1 0 S/m
0 理想介质
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恒定电场
恒定电场与静电场不同之处
① 有推动自由电荷运动的电场存在，说明E不仅存在于 介质中而且存在于导体中；
② 电流恒定说明流走的自由电子被新的自由电子补充，空 间电荷密度处于动态平衡，因而场分布不同于静电场； En + U -
dq I dt
A
传导电流——电子或离子在导电媒质中受电场作用而定
向运动形成的电流。
运流电流——带电粒子在真空或稀薄气体中定向 运动形
成的电流，其运动受牛顿定律制约。
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恒定电场
2. 电流密度（Current Density)
① 电流面密度 J
体电荷 以速度 v 运动形成的电流。 电流密度 电流
恒定电场
2. 分界面上的衔接条件（Boundary Conditions)
采用与静电场类比的方式可以方便的得 到恒定电场中不同媒质分界面的衔接条件。
静电场（=0） 恒定电场（无源区）
E dl 0
l
E1t E2t
l E dl 0
D dS 0
s
D1n D2 n
局外场强
fe Ee q
f e －局外力
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恒定电场
1. 电源的充电和放电 把电源接到电路里，通过电源的电流有两种可 能性：从负极到正极，或从正极到负极。
1>2 EC Ee
电源充放电
+
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恒定电场
实际电源的类型很多，不同电源中形成非静电力的 过程不同。化学电池的非静电力是与离子的溶解和 沉积过程相联系的化学作用；在温差电池中，非静 电力是与温度差和电子的浓度差相联系的扩散作用 ；在普通的发电机中，非静电力是电磁感应作用。
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恒定电场
通解
1 A B ,
2 C D
4 2U 0 ( 1 2 )U 0 电位 1 ( 1 2 ) 1 2
4 1U 0 2 ( 1 2 )
恒定电场
恒定电场的基本方程与电路的基本定律
J dS 0
s
l1
应用到电 路的结点
I 0
应用到电 路的回路
l E dl E dl E dl
l2
U 1 U 2 U 0
恒定电场的基本方程是基尔霍夫定律的场的表示。
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恒定电场
实际电源
1. 干电池和钮扣电池（化学电源）
干电池电动势1.5V，仅取决于（糊状）化学材料，其大 小决定储存的能量，化学反应不可逆。 钮扣电池电动势1.35V，用固体化学材料，化学反应不可逆。
钮扣电池
干电池
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恒定电场
2. 燃料电池（化学电源）
电池电动势1.23V。以氢、氧作为燃料。约40-45%的化学能 转变为电能。实验阶段加燃料可继续工作。
J1n J 2n
s J dS 0
说明分界面上 E 切向分量连续，J 的法向分量连续。
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恒定电场
在不同媒质分界面上
J 1n J 2 n
D1n D2 n
注意
1 E1n 2 E2 n
1 E1n 2 E2 n
有关静电场的定律适用于恒定电场， 因静电场是恒定电场的特例
因此，对闭合环路积分
l E dl

l( Ec Ee ) dl l Ec dl l Ee dl
0e e
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局外场 Ee 是非保守场。
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2.3 基本方程•分界面衔接条件
Basic Equations • Boundary Conditions
电流线密度及其通量
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恒定电场
面电流的实例
媒质磁化后的表面磁化电流； 同轴电缆的外导体视为电流线密度分布； 高频时，因集肤效应，电流趋于导体表面分布。 ③ 元电流的概念 线电荷 在曲线上以速度 v 运动形成的电流
dI v
媒质的磁化电流
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恒定电场
氢氧燃料电池示意图
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恒定电场
3. 太阳能电池（光能电源）
一块太阳能电池电动势0.6V。太阳光照射到P-N结上， 形成一个从N区流向P区的电流。约 11%的光能转变为电 能，故常用太阳能电池板。 一个50cm2太阳能电池的电动势0.6V,电流0.1A
太阳能电池示意图
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1. 基本方程 (Basic Equations)
① E的闭合线积分及旋度
l E dl

l( Ec Ee ) dl l Ec dl l Ee dl e
斯托克斯定理
若所取积分路径不经过电源区，则
l E dl 0
得
s ( E ) dS 0
E E 0 J 0 (E ) E 0
0
2
拉普拉斯方程
注意 1）恒定电场的拉普拉斯方程适用于无源区；
2）适用于均匀线性媒质，对于不均匀媒质要分 区列方程；
3）恒定电场中没有泊松方程；
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2 1 1 2 1 2 0 2
( 1 区域）
不同媒质弧形导电片
2 1 2 2 2 2 0 ( 2 区域） 2
2 0 0
1
π 2


4
时
U0
1 2 2 1 1 2
1
2
α1
α2
2 0
表 明
0
E1t E2t 0
1）不良导体中电流线与良导体界面几乎垂直。
2）良导体可以近似认为是等位体。
3）可以用电流场模拟静电场。
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恒定电场
讨论 ② 导体与理想介质的分界面 在理想介质中
J 1n J 2 n 0
导体与理想介质分界面
2 0， J 2 0