2018二次函数与直角三角形存在性问题(新)

二次函数中直角三角形存在性问题

1.找点：在已知两定点，确定第三点构成直角三角形时，要么

以两定点为直角顶点，要么以动点为直角顶点.以定点为直角顶点时，构造两条直线与已知直线垂直;以动点为直角顶点时，以已知线段为直径构造圆找点

2.方法：以两定点为直角顶点时，两直线互相垂直，则k1*k21

以已知线段为斜边时，利用K型图，构造双垂直模型，最后利用相似求解，或者

三条边分别表示之后，利用勾股定理求解

例一：如图，抛物线()

2230

、两点，

=-->与x轴交于A B

y mx mx m m

与y轴交于C点.

（1）请求出抛物线顶点M的坐标（用含m的代数式表示），A B

、两点的坐标；

（2）经探究可知，BCM

△的面积比不变，试求出这个比

△与ABC

值；

（3）是否存在使BCM

△为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；如果不存在，请说明

理由.

例二、如图，抛物线2与x轴分别交于点A（4，0），B（-2，0），与y轴交于点C．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）M为第一象限内抛物线上一动点，点M在何处时，△的面积最大；

（3）在抛物线的对称轴上是否存在这样的点P，使得△为直角三角形？若存在，请求出所有可能点P的坐标；若不存在，请说明理由．

练习：

1. 如图，已知抛物线2（a≠0）的顶点M在第一象限，抛物线与

解：（1）

2.如图，抛物线2-2 (m＞0)与x轴的另一个交点为A，过P(1，)作⊥x轴与点M，交抛物线于点B．点B关于抛物线对称轴的对称点为C．

（1）若2，求点A和点C的坐标；

（2）令m＞1，连接，若△为直角三角形，求m的值；

（3）在坐标轴上是否存在点E，使得△是以P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理

由．

3. 如图，抛物线22与x轴交于点A(1，0)和B(4，0)．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若抛物线的对称轴交x轴于点E，点F是位于x轴上方对称轴上一点，∥x轴，与对称轴右侧的抛物线交于点C，且四边形是平行四边形，求点C的坐标；

（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点P，使△是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

4、在平面直角坐标系中，抛物线2+( 1)与直线1交于A，B两点，点A在点B的左侧．

（1）如图1，当1时，直接写出A，B两点的坐标；

（2）在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线下方，试求出△面积的最大值及此时点P的坐标；

（3）如图2，抛物线2+( 1)（k＞0）与x轴交于点C、D两点（点C在点D的左侧），在直线1上是否存在唯一一点Q，使得∠90°？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由．

5、如图，直线2与抛物线26（a≠0）相交于A（，）和B(4，m)，点P是线段上异于A、B的动点，过点P作⊥x轴于点D，交抛物线于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）是否存在这样的P点，使线段的长有最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；

（3）求△为直角三角形时点P的坐标．

6、如图，抛物线2经过A(-3，0)、C(0，4)，点B在抛物线上，∥x轴，且平分∠．

（1）求抛物线的解析式；

（2）线段上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段的最大值；

（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使△是以为直角边的直角

三角形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，说明理由．