第三章 中值定理与导数的应用

g(x) x f (b) f (a) f ( ).
ba
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3.2 罗必达法则
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1. 未定式 0 型的极限求法
0
2. 未定式 型的极限求法
3. 其他类型的未定式极限的求法
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3.2 罗必达法则
1.
未定式
0 0
型的极限求法
罗必达法则1 如果函数f(x)和g(x)满足下述条件：
f (x) 3x 2 3 f (x) 0 3x2 3 0 x 1 f (1) 0, f (1) 0
所以，在 ( 3, 3)内，使得 f ( ) 0 的 有两个:
1 1,2 1.
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3.1 中值定理
2. 拉格朗日（Lagrange)定理
定理2 （拉格朗日定理） 如果函数f(x)满足：
例2 验证函数 f (x) x3 2x 在区间[0，1]上满足拉
格朗日定理的条件，并求 的值.
解 f (x) x3 2x在区间[0,1]上有定义，
所以在区间[0，1]上连续；
拉格朗日定理
f (x) 3x2 2在开区间(0,1)内存在
f (1) f (0) f ( )
1 0
3
1
0
3
求极限方法结合使用，效果更好.
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3.2 罗必达法则
例7 求 lim sin x x .
x
x
解 lim (sin x x) lim cos x 1 (不存在)
x (x)
x 1
例8 解
lim sin x x lim 1 sin x lim x 1
x
x
x x
x x
2
2.
3
1 3 , （舍）
3
2 3 .
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3.1 中值定理
推论1 如果函数f(x)在区间(a,b)内的导数恒为 零，则f(x)在区间(a,b)内是一个常数. （用拉格朗日定理证）
推论2 如果函数f(x)和g(x)在区间(a,b)内可导,且 f (x) g(x), 则在区间(a,b)内两个函数至多相差一个常数，即
f (x) g(x) C,
其中C为某个常数.
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3.1 中值定理
3. 柯西（Cauchy）定理
定理3 （柯西定理）如果函数f(x)和g(x)满足: (1) 在闭区间[a,b]上连续；
(2) 在开区间(a,b)内可导，且 g(x) 0,
则在(a,b)内至少有一点 ，使得 f (b) f (a) f ( ) . g(b) g(a) g( )
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3.3 函数单调性判别法
例2 求函数 f (x) x3 3x 2 9x 14 的单调区间. 解 f (x) 3x2 6x 9 3(x 1)(x 3),
f (x) 0, 解得 x1 1, x2 3.
x (,1) -1
f (x) ＋ 0
f (x)
(-1,3) －
3 (3, ) 0＋
使得 f '( ) 0.
o a bx
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3.1 中值定理
例1 验证函数 f (x) x3 3x在[ 3, 3] 上满足罗尔
定理的条件，并求出使 f ( ) 0的 值.
解 f (x) x3 3x是初等函数，且在[ 3, 3]上有定义,
f (x) x3 3x在该区间上连续. f ( 3) f ( 3)
1
.
x
解 x , arctan x 0, 1 0 0 .
lim
x
2
2 arctan x
1 x
lim
x
1
1x x2
1 x2
0
x2
lim
x
1
x2
1.
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3.2 罗必达法则
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例3
求
lim
x0
x
sin x3
x
.
解
lim
x0
x
sin x3
x
lim
x0
1 cos 3x2
(1) lim f (x) lim g(x) ;
xx0
xx0
(2)在点x0 的某邻域内（点 x0 可以除外），f (x), g(x)
均存在且 g(x) 0;
(3) lim f (x) 存在（或为无穷大），则有
xx0 g (x)
f (x)
f (x)
lim lim .
xx0 g(x) xx0 g(x)
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3.3 函数单调性判别法
综合以上几例，得到求函数单调区间的步骤如下：
（1）求函数的定义域； （2）求导数，并求使 f (x) 0 或f (x)不存在的点， 得到各单调区间的分界点； （3）讨论 f (x) 在各区间内的符号，判断函数 f (x) 在各区间内的单调性. 注意 如果函数在某区间内，只有个别点的导数等于零或 不存在，但该区间内其余各点的导数均大于（或小于）零，
单调增加区间为(, 1)和(3, ),单调减少区间为(1,3).
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3.3 函数单调性判别法
2
例3 求函数 f (x) 3(x 1) 3的单调区间.
解
1
f (x) 2(x 1) 3
2
3 (x 1)
x
(, 1)
1 (1,)
f (x)
－ 不存在
＋
f (x)
单调增加区间为(1, ),单调减少区间为(，1).
若在(a,b)内，f ( x) 0, 则 f ( ) 0,
f ( x2 ) f ( x1). y f ( x)在[a,b]上单调增加.
若在(a,b)内，f ( x) 0, 则 f ( ) 0,
f ( x2 ) f ( x1 ). y f (x)在[a,b]上单调减少.
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求
lim
x
ex ex
ex ex
.
lim e x ex x e x e x
lim e x ex x e x e x
lim e x ex x e x e x
ex
lim
x
e
x
ex ex
lim
x
1 1
e 2x e2x
10 1 1 0
方法失效
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3.2 罗必达法则
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3.3 函数单调性判别法
例1 判定函数 f (x) x2 的单调性.
x 0 时, f (x) 0;
解
f (x) 2x
x
0时,
f
(x)
0;
x
0时,
f (x)
0.
x
f (x)
f (x)
(, 0) －
0
(0, )
0
＋
表中“ ”表示单调增加，“ ”表示单调减 少.
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则函数在这个区间内仍是单调增加（或减少）的.
y x3
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3.3 函数单调性判别法
例5 证明:当 x 0 时，sin x x. 证 令 f (x) x sin x,则 f (0) 0.当 x 0时,
f (x) 1 cos x 0,
所以 f (x) 在 (0,) 内是单调增加的且连续. x 0 f (x) f (0) 0, x sin x 0, sin x x (x 0).
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第三章 中值定理与导数的应用
• 3.1 中值定理 • 3.2 罗必达法则 • 3.3 函数单调性的判别法 • 3.4 函数的极值 • 3.5 函数的最大值和最小值 • 3.6 曲线的凹凸与拐点 • 3.7 函数图像的描绘
• ﹡3.8 曲率
下页
3.1 中值定理
1. 罗尔（Rolle）定理 2. 拉格朗日（Lagrange)定理 3. 柯西（Cauchy）定理
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3.3 函数单调性判别法
例4 求函数 f (x) x ln(1 x) 的单调区间. 解 定义域为(1, )，
f (x) 1 1 x . 1 x 1 x
f (x) 0 x 0.
x
f (x) f (x)
(1,0)
-
0
(0,)
0
+
单调增加区间为(0, ),单调减少区间为(1，0).
x00
lim x ln x 0,
x00
lim xx e0 1. x00
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3.3 函数单调性判别法
定理 设函数f(x)在区间(a,b)内可导. (1)如果在(a,b)内，f (x) 0 ，则函数f(x)在(a,b)内单调增加; (2)如果在(a,b)内，f (x) 0 ，则函数f(x)在(a,b)内单调减少.
3. 其他类型的未定式极限的求法
0 , , 00 ,1 , 0
例9 求 lim x ln x. x00
(0 )
0或 0
1
解 lim x ln x lim ln x lim x lim x 0.
x00
1 x00 x
x00
1 x2
x00
例10 求 lim(sec x tan x).
x 2
0
解 lim(sec x tan x) lim 1 sin x 0 lim 0 cos x 0.
x
x cos x
x sin x
2
2
2
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3.2 罗必达法则
例11 求 lim xx. 00 x00
解
lim
xx
lim
e e , xln x
lim x ln x
x00
x00
x
,
1 cos x sin x 1
lim
x0
3x2
lim . x0 6x 6
0
x sin x
lim
x0
x3
0
1 cos x
lim
x0
3x2
0 0
0 0 lim sin x 1 .
x0 6x 6
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3.2 罗必达法则
2.
未定式
型的极限求法
罗必达法则2 如果函数f(x)和g(x)满足下述条件：
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3.3 函数单调性判别法
证 x1, x2 (a,b), 且 x1 x2 , 应用拉氏定理,得
f (x2 ) f (x1) x2 x1
f '( )
(x1 x2 ),
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( )( x2 x1 ) ( x1 x2 )
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3.2 罗必达法则
例5
求
lim
x
ln x x2
.
1
解 lim ln x x x 2
例6
求
lim
x
xn ex
.
lim x lim 1 0. x 2x x 2x2
解
xn
lim
x
ex
lim
x
nx n1 ex
lim
x
n(n
1)x n2 ex
n!
lim
x
ex
0.
注意 洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它
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(1) 在闭区间[a,b]上连续； (2) 在开区间(a,b)内可导；
y f '( ) kAB .
B
则在(a,b)内至少有一点 (a b),
A
使得
f (b) f (a) f ( ).
ba
o a b x
k AB
f (b) f (a) ba
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3.1 中值定理
(1) lim f (x) lim g(x) 0;
xx0
xx0
(2)在点x0 的某邻域内（点 x0 可以除外），f (x), g(x)
均存在且 g(x) 0;
(3) lim f (x) 存在（或为无穷大），则有 xx0 g (x)
f (x)
f (x)
lim
lim
.
xx0 g(x) xx0 g(x)
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3.4 函数的极值
1. 函数极值的定义 2. 函数极值的判定和求法
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概念引入
3.4 函数的极值
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y f (x)在点c1, c4处的函数值f (c1), f (c4 )比它们 左右邻近各点的函数值大, 而在C2 , C5处的函数 值f (c2 ), f (c5 )比它们邻近各点的函数值都小.
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3.2 罗必达法则
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例1 求 lim (1 x) 1 (为实数).
x0
x
解 x 0, (1 x) 1 0, x 0 0 .
0
lim
(1
x)
1
lim [(1
x)
1]
lim (1
x) 1
.
x0
x
x0
( x)
x0
1
arctan x
例2 求 lim 2 x
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3.1 中值定理
1. 罗尔（Rolle）定理
定理1 （罗尔定理）如果函数f(x)满足：
(1) 在闭区间[a,b]上连续；
y
(2) 在开区间(a,b)内可导；
(3) f(a)=f(b),
f '( ) 0.
C
A
B
则在(a,b)内至少有一点 (a b),
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3.4 函数的极值
1. 函数极值的定义
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3.2 罗必达法则
例4 求 lim ln cot x . x00 ln x
解
lim ln cot x
1 ( csc2 x)
lim cot x
lim
x
x00 ln x
x00
1
x00 sin x cos x
x
lim 1 lim x 1. x00 cos x x00 sin x