无穷级数

教学目的：

1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。

2．掌握几何级数与P 级数的收敛与发散的条件。

3．掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。 4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法。

5．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。 6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。

7．理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。 8．了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和。

9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。

10．掌握,sin ,cos x e x x ，ln(1)x +和(1)x α+的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。

11. 了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在[-l ，l]上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在[0，l]上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。

教学难点：

1、 比较判别法的极限形式；

2、 莱布尼茨判别法；

3、 任意项级数的绝对收敛与条件收敛；

4、 函数项级数的收敛域及和函数；

5、 泰勒级数；

6、

傅里叶级数的狄利克雷定理。

第一节 常数项级数的概念和性质 一、 概念

常数项级数: 给定一个数列 u 1, u 2, u 3, ⋅ ⋅ ⋅, u n , ⋅ ⋅ ⋅, 则由这数列构成的表达式u 1 + u 2 + u 3 + ⋅ ⋅ ⋅+ u n + ⋅ ⋅

叫做常数项)无穷级数, 简称常数项)级数, 记为∑∞

=1n n u , 即

3211⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++=∑∞

=n n n u u u u u , 其中第n 项

u n 叫做级数的一般项.

级数的部分和: 作级数∑∞=1

n n u 的前n 项和n n i i n u u u u u s +⋅⋅⋅+++==∑= 3211

称为级数∑∞

=1

n n u 的部分和.

级数敛散性定义: 如果级数∑∞=1

n n u 的部分和数列}{n s 有极限s , 即s s n n =∞

→lim , 则称无穷级数∑∞

=1

n n u 收

敛, 这时极限s 叫做这级数的和, 并写成 3211

⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++==∑∞

=n n n u u u u u s 如果}{n s 没有极限, 则称

无穷级数∑∞

=1

n n u 发散.

定义 若部分和数列{}n S 有极限S ，即S S n n =∞

→lim ，则称级数∑∞

=1

n n u 收敛，S 称为级数

∑∞

=1

n n

u

的和，记为∑∞==1

n n u S 。若{}n S 无极限，则称级数∑∞

=1

n n u 发散。

++=-=++21n n n n u u S S r 称为级数的余项，n r 称为误差。

二、 两个重要级数

① 几何级数或等比级数)0(0≠++++=∑∞

=a aq aq a aq n n n 1

② 和级数 +++++=∑

∞

=n n

n 1

3121111发散

三、 性质

1、 若S u n n =∑∞

=1，则kS u k ku n n n n ==∑∑∞

=∞

=1

1

2、 若11

S u n n =∑∞

=，21

S v n n =∑∞=，则()∑∞=±1

n n n v u 也收敛，且()211

S S v u n n n ±=±∑∞

=

3、 在级数中去掉或添加有限项不影响其敛散性。

4、 如果级数收敛，则它的一般项趋于0，反之如果一般项不趋于0，则级数必定发散。 注意：级数一般项趋于0不是级数收敛的充分条件，调和级数一般项趋于0却是发散的

第二节 常数项级数审敛法

一、 正项级数及其审敛法

正项级数: 各项都是正数或零的级数称为正项级数.

定理1 正项级数∑∞

=1

n n u 收敛的充分必要条件它的部分和数列{s n }有界.

定理2(比较审敛法)设∑∞

=1

n n u 和∑∞

=1

n n v 都是正项级数, 且u n ≤v n (n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ ). 若级数∑∞

=1

n n v 收敛, 则级数

∑∞

=1

n n u 收敛; 反之, 若级数∑∞

=1

n n u 发散, 则级数∑∞

=1

n n v 发散.

定理3(比较审敛法的极限形式) 设∑u n 和∑v n 都是正项级数, (1)如果lim(u n /v n )=l (0≤l <+∞), 且∑v n 收敛, 则∑u n 收敛; (2)如果lim(u n /v n )=l (0

=1n n u 满足ρ=+∞→n

n n u u 1

lim

, 则当ρ<1时级数收敛; 当ρ>1(或∞=+∞→n n n u u 1lim )时级数发散. 当

ρ =1时级数可能收敛也可能发散.

定理5(根值审敛法, 柯西判别法)设∑∞

=1n n u 是正项级数, 如果它的一般项u n 的n 次根的极限等于ρ:

ρ=∞

→n n n u lim , 则当ρ<1时级数收敛; 当ρ>1(或+∞=∞

→n n n u lim )时级数发散; 当ρ=1时级数可能收敛

也可能发散.

定理6(极限审敛法) 设∑∞

=1

n n u 为正项级数,

(1)如果)lim (0lim +∞=>=∞

→∞

→n n n n nu l nu 或, 则级数∑∞

=1n n u 发散;

(2)如果p >1, 而)0( lim +∞<≤=∞

→l l u n n p n , 则级数∑∞

=1

n n u 收敛.

二、交错级数及其审敛法

交错级数: 交错级数是这样的级数, 它的各项是正负交错的. 交错级数的一般形式为∑∞

=--11)1(n n n u , 其

中0>n u .

定理6（莱布尼茨定理） 如果交错级数∑∞

=--11)1(n n n u 满足条件: