无穷级数和微分方程

是q
1 3
的
等
比
级
数,收
敛.
故原级数收敛.
4.审敛法 正项级数：
(比较审敛法) 设
是两个正项级数,
且存在
对一切
有
(常数 k > 0 ),
则有 (1) 若强级数
收敛 , 则弱级数
也收敛 ;
(2) 若弱级数
发散 , 则强级数
也发散 .
例2 判别级数
1
的敛散性。
n1 n(n 1)
(比较审敛法的极限形式) 设两正项级数
*例3.
解 P(x) 1 , Q(x) sin x ,
x
x
利用一阶线性方程的通解公式得：
y
e
1 x
dx
sin x
叫做级数的一般项,
称为级数的部分和. 收敛 , 并称 S 为级数的和。
则称无穷级数
2.基本性质 性质1. 若级数
收敛于 S , 即
则各项
乘以常数 c 所得级数
也收敛 , 其和为 c S .
性质2. 设有两个收敛级数
则级数
也收敛, 其和为
说明: (1) 性质2 表明收敛级数可逐项相加或减 .
(2) 若两级数中一个收敛一个发散 , 则 必发散 . (用反证法可证)
1.4 无穷级数
1.4.1 数项级数 讨论敛散性
1.4.2 幂级数 求收敛范围，将函数展开为幂级数，求和。
1.4.3 傅立叶级数 求函数的傅立叶级数展开，讨论和函数的性质。
1.4.1数项级数
1.数项级数定义 给定一个数列
次相加, 简记为
即
将各项依
称上式为无穷级数，其中第 n 项 级数的前 n 项和
东部 西部 北部
例1. 验证函数 是微分方程
解:
的解. 是方程的解 .
1.5.2 解微分方程
1. 一阶微分方程 可分离变量，一阶线性
2. 高阶微分方程
二阶线性常系数齐次，二阶线性常系数非齐次只 要求写出特解形式。
*例2. 求微分方程
的通解.
解: 分离变量得
两边积分 得
因此可能增、 减解.
即
( C 为任意常数 )
例9. 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在 上的表达式为
(1)求S(0),S( ),S(3 ),S( )的值。
22
(2)求b3.
(3)将 f (x) 展成傅里叶级数.
解:
(1)当x k , S(x)
f
(
x), S (
)
1,
S ( 3
)
1
2
2
当x k , S(x) 1 (1) 0, S(0) S( ) 0
满足
则有
(1) 当 0 < l <∞ 时, 两个级数同时收敛或发散 ; (2) 当 l = 0
(3) 当 l =∞
例3. 判别级数
的敛散性.
解:
ln(1
1 n2
)
1
n2
～
根据比较审敛法的极限形式知
比值审敛法 ( D’alembert 判别法)
设
为正项级数, 且
则
(1) 当 (2) 当
时, 级数收敛 ;
收
敛
发散
*例6.已知幂级数
在 x 3 处收敛，则该级数
在 x 1 处是收敛还是发散？若收敛，是条件收敛
还是绝对收敛？
解：由Abel定理 ，该幂级数在 x 3 处绝对收敛，
故在 x 1 绝对收敛。
例7. 已知
处条件收敛 , 问该级数收敛
半径是多少 ? 答: 根据Abel 定理可知, 级数在
时发散 . 故收敛半径为
但若二级数都发散 ,
不一定发散.
性质3. 在级数前面加上或去掉有限项, 不会影响级数 的敛散性. 性质4. 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级
的和. 推论: 若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散.
注意: 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.
性质5：设收敛级数
则必有
可见: 若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散 .
或
时, 级数发散 .
. 根值审敛法 ( Cauchy判别法)
设
为正项
级数, 且
则
解:
因此级数
收敛.
交错级数
则各项符号正负相间的级数
称为交错级数 . ( Leibnitz 判别法 )
若交错级数满足条件:
则级数
收敛 。
绝对收敛与条件收敛
定义: 对任意项级数
若
数 绝对收敛 ；
收敛 , 则称原级
若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散, 则称原级 数 条件收敛 .
3. 几个重要级数的收敛性 等比级数 (又称几何级数)
( q 称为公比 ). 级数收敛 , 其和为 级数发散 .
调和级数发散 p -级数
当p 1收敛，p 1发散。
(常数 p > 0)
*例1.判断级数的敛散性:
解:该级数是下列两级数之差
n1
1 2n
是q
1 2
的 等 比 级 数,收 敛.
n1
1 3n
5、交错级数审敛法：莱布尼兹定理
6、一般级数审敛法：先判断是否绝对收敛，如果绝 对收敛则一定收敛；否则判断是否条件收敛
1.4.2 幂级数
1.Abel定理 若幂级数
则对满足不等式
的一切 x 幂级数都绝对收敛.
反之, 若当
时该幂级数发散 ,则对满足不等式
的一切 x , 该幂级数也发散 .
发散
收敛 发散
3、写出收敛范围(P34例1-37)
1 x2 x3 xn (1,1)
1 x x2 xn (,)
2!
n!
x x3 x5 (1)2n1 x2n1 (,)
3! 5!
(2n 1)!
x x2 x3 (1)n xn1
23
n 1
(1,1]
1.4.3 傅立叶级数的有关问题 1.求傅立叶级数展开式 2.求某个傅立叶系数 3.求和函数在某些点的值
2
4
3Leabharlann Baidu
(3) 先求傅里叶系数
1.5 微分方程
1.5.1 微分方程的基本概念 1.5.2 解微分方程 1.5.3 微分方程应用
1.5.1 微分方程的基本概念
1. 判定微分方程的阶 一阶微分方程 二阶微分方程
2. 判定函数是否微分方程的解，通解或特解
100
80 60
40 20
0 第一季度
第三季度
绝对收敛的级数一定收敛 .
例5. 证明下列级数绝对收敛 :
证: 因此
而 收敛
收敛 ,
绝对收敛 .
判断数项级数敛散的方法
1、利用已知结论：等比级数、P-级数及级数性质
2、利用必要条件：主要判别发散 3、求部分和数列的极限 4、正项级数的审敛法
1）比值审敛法（根值审敛法） 2）比较审敛法（或极限形式）
收敛 ,
2.求收敛半径
若
的系数满足
则
1) 当 ≠0 时, 2) 当 ＝0 时, 3) 当 ＝∞时,
的收敛半径为
例8..求幂级数 的收敛半径及收敛域.
解:
对端点 x = 1, 级数为交错级数
对端点 x =－1, 级数为
故收敛域为
发散 .
收敛;
3.求函数的幂级数展开式
1、对函数作恒等变形（如果需要的话） 2、利用已知结论，用变量代换或求导积分得所求 函数的幂级数