无穷级数和微分方程
高数难知识点
高数难知识点高等数学中的难知识点包括但不限于以下几个方面：1.函数极限：这是整个高等数学的基础，需要对极限的概念、性质、计算方法和存在性有深入的理解。
特别是当函数在某一点的极限与该点的函数值不一致时，需要理解这种差异的原因和含义。
2.连续性与间断点：函数在某一点连续的定义，以及函数在某一区间内连续的概念，都是重要的知识点。
此外，还需要理解间断点的类型（如可去间断点、跳跃间断点等）以及如何通过函数图像来判断函数的连续性。
3.导数与微分：导数是描述函数在某一点处变化快慢的数学工具，而微分则是描述函数在某一点附近的变化量的线性近似。
需要理解导数的定义、性质、计算方法，以及微分的基本公式和运算法则。
4.不定积分与定积分：不定积分是求原函数的过程，而定积分则是计算函数在某一区间上的积分值。
需要理解积分的概念、性质、计算方法和应用。
此外，还需要掌握牛顿-莱布尼茨公式，以及如何利用定积分求解一些实际问题。
5.多元函数微分学：这是高等数学中比较复杂的部分，需要理解多元函数的概念、偏导数的定义和性质、全微分的概念以及多元函数的极值问题。
此外，还需要掌握一些重要的公式和定理，如链式法则、隐函数定理等。
6.无穷级数：无穷级数是高等数学中的一个重要概念，需要理解级数的收敛性、性质、计算方法以及应用。
此外，还需要掌握一些重要的级数展开公式和定理，如泰勒级数、傅里叶级数等。
7.微分方程：微分方程是描述函数与其导数之间关系的方程，需要理解微分方程的概念、分类、求解方法以及应用。
此外，还需要掌握一些重要的微分方程求解技巧和定理，如分离变量法、常数变易法等。
以上只是高等数学中的一些难知识点，实际上高等数学还有很多其他的内容需要学习和掌握。
要想学好高等数学，需要不断地练习和思考，加深对概念和定理的理解和应用。
matlab应用无穷级数微分方程求解方程
[例7-1]求∑-==11n k knS ，∑==1012k kn S 。
【求解】编写myssum01.m 文件，内容如下： clear clcsyms n ks1=simple(symsum(n/k))%级数求和后化简 s2=simple(symsum(n/k,k,1,10)) %前1-10项求和后化简保存后，执行myssum01命令。
查看结果如下命令窗口显示的结果为： s1 =1/2*n*(n-1)/k s2 =7381/2520*n 结果：n S k k n S 25207381,2)1(21=-=[例7-2]对-p 级数∑∞=11n p n，求（1）和S ；（2）求部分和n S ；（3）作图并观察部分和序列的变化趋势。
【求解】建立-p 级数的和与部分和及其绘图文件。
编写p_sum.m 文件，内容如下： clearclcp=input('p='); syms ks=symsum(1/k^p,1,inf) %级数求和sn=[];%定义空向量for n=20:10:200s1=eval(symsum(1/k^p,1,n)); %级数求和，并求值 sn=[sn,s1];%写和值到空向量中endn=20:10:200;plot(n,sn,'m*') %作图if s~=infhold onn1=20:0.2:200; s=eval(s);plot(n1,s,'r-')hold off endlegend('部分和sn','和s',0)%图例xlabel('n') %坐标轴ylabel('sn')title('p-级数部分和散点图') %标题保存后，在命令窗口下调用该文件。
>>p_sump=1s =inf图7-1 p=1时级数散点图>>p_sump=2s =1/6*pi^2图7-2 p=2时级数散点图>>p_sump=3s =zeta(3)>> ss =1.2021图7-3 p=3时级数散点图结果分析：p=1时，调和级数∑∞=11n n发散，2≥p时p级数∑∞=11npn收敛，观察图形得知p越大，收敛速度越快。
实验3 抛射体的运动(续)(综合实验)
119项目四 无穷级数与微分方程实验3 抛射体的运动（续）（综合实验）实验目的 通过微分方程建模和Mathematica 软件,在项目一实验5的基础上,进一步研 究在考虑空气阻力的情况下抛射体的运动.问题 根据侦察,发现离我军大炮阵地水平距离10km 的前方有一敌军的坦克群正以每小 时50km 向我军阵地驶来,现欲发射炮弹摧毁敌军坦克群. 为在最短时间内有效摧毁敌军坦 克,要求每门大炮都能进行精射击,这样问题就可简化为单门大炮对移动坦克的精确射击 问题. 假设炮弹发射速度可控制在0.2km/s 至0.5km/s 之间,问应选择怎样的炮弹发射速度和 怎样的发射角度可以最有效摧毁敌军坦克.说明 本节我们研究受到重力和空气阻力约束的抛射体的射程. 用))(),((t y t x 记抛射体 的位置, 其中x 轴是运动的水平方向, y 轴是垂直方向. 通过在0=y 的约束下最大化x , 可以 计算出使抛射体的射程最大的发射角. 假设0=t 时抛射体(炮弹)在原点(0,0)以与水平线夹角 为,α初始速度为0v 发射出去. 它受到的空气阻力为.,⎪⎭⎫⎝⎛-=-=dt dy dt dx k kv F r (3.1)重力为).,0(mg F g -= (3.2) 在推导)(t x 和)(t y 所满足的微分方程之前, 补充一点说明:虽然我们将位置变量),(t x )(t y 仅写作t 的函数,但实际上位置变量还依赖于几个其它的变量或参数. 特别是,x 和y 也依赖于发射角α、阻力系数k 、质量m 及重力加速度g 等.为了推导x 和y 的方程, 按照牛顿定律,ma F =并结合重力的公式(3.2)和空气阻力的公 式(3.1), 得到微分方程0)()(='+''t x k t x m (3.3) 0)()(=+'+''mg t y k t y m (3.4)根据前面所述假设知, ),(t x )(t y 满足下列初始条件0)0(,0)0(==y x ,.sin )0(,cos )0(00ααv y v x ='=' (3.5)先求解)(t x ,由方程(3.3),令,x v '=可将其化为一阶微分方程.0=+'kv v m易求出其通解 .)(t m k Ce t v -=由,cos )0()0(0αv x v ='= 得αcos 0v C =,所以.cos )(0t m k e v t v -=α从,x v '=通过积分得到x , 即.cos )(0D e v k m t x t m k+⎪⎭⎫⎝⎛-=-α由,0)0(=x 得,cos 0αv k m D ⎪⎭⎫⎝⎛= 所以120 )1(cos )(0t m ke v k m t x --⎪⎭⎫⎝⎛=α (3.6)类似地,可从方程(3.4)解出y . 令,y v '= 方程化为一阶微分方程, 两端除以m ,得.g v mkv -=+' 再在上述方程两端乘以积分因子.t m k e 得,t m ktm k tm k ge v e m k v e -=+' 即 ,)(t m kt m kge ve dtd-=两端积分得.C e kgm ve t m kt mk +-=所以 .t m kCe kgmv -+-=利用初始条件αsin )0()0(0v v y =='确定其中的常数C 后, 积分v 得到y ,再次利用初始条件0)0(=y 确定任意常数后,则得到.sin )1(0αt m kt m ke v k m e km t k m k gm y ---+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=(3.7) 下面我们利用公式(3.6)与(3.7)来描绘炮弹运行的典型图形. 假定炮弹发射的初速度为0.25km/s, 发射角为 55, 输入Clear[a,t,x,y,g,m,k]x[v_,a_,t_]:=(m/k)*v*Cos[a Pi/180]*(1-Exp[-(k/m)*t]) y[v_,a_,t_]:=(g*m/k)((m/k)-t-(m/k)*Exp[-(k/m)*t])+(m/k)*v*Sin[a Pi/180]*(1-Exp[-(k/m)*t])g=9.8;m=5.0;k=0.01;炮弹飞行的时间由炮弹落地时的条件0=y 所确定. 输入 FindRoot[y[350,55,t]==0,{t,50}]则输出炮弹飞行的时间 {t->57.4124}当发射角 65=α时, 输入x[350,55, 57.4124]//N 则输出炮弹的最大射程为 10888.5现在我们可以画出炮弹运行的典型轨迹了. 输入 ParametricPlot[{x[350,55,t],y[350,55,t]},{t,0,57.4124},PlotRange->{0,11000},AxesLabel->{x,y}]则输出图3.1.图3.1实验报告在上述假设下,进一步研究下列问题:(1) 选择一个初始速度和发射角,利用Mathematica画出炮弹运行的典型轨迹.(2) 假定坦克在大炮前方10km处静止不动,炮弹发射的初速度为0.32km/s,应选择什么样的发射角才能击中坦克?画出炮弹运行的几个轨迹图,通过实验数据和图形来说明你的结论的合理性.(3) 假定坦克在大炮前方10km处静止不动,探索降低或调高炮弹发射的初速度的情况下,应如何选择炮弹的发射角?从上述讨论中总结出最合理有效的发射速度和发射角.(4) 在上题结论的基础上,继续探索,假定坦克在大炮前方10km处以每小时50km向大炮方向前进,此时应如何制定迅速摧毁敌军坦克的方案?注:在研究过程中,还要包括适当改变阻力系数k与炮弹的质量m所带来的变化.121。
考研数学一(无穷级数,常微分方程)历年真题试卷汇编1(题后含答
考研数学一（无穷级数，常微分方程）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(2009年试题，一)设有两个数列{an}，{bn}，若则( )．A．当收敛时，anbn收敛B．当发散时,anbn发散C．当收敛时,an2bn2收敛D．当发散时,an2bn2发散正确答案：C解析：A选项的反例可取an=bn=；B，D选项的反例可取an=bn=故正确答案为C．解析二考察选项C．由知，{an}有界；由收敛知．即{｜bn｜}也有界．又0≤an2bn2=an｜bn｜｜bn｜≤M｜bn｜(M为常数)，根据比较敛法知，an2bn2收敛，正确答案为C．知识模块：无穷级数2．(2006年试题，二)若级数收敛，则级数( )．A．收敛B．收敛C．收敛D．收敛正确答案：D解析：由级数收敛推出收敛；再由线性性质推出收敛，即收敛．故选D．知识模块：无穷级数3．(2004年试题，二)设为正项级数．下列结论中正确的是( )．A．若，则级数收敛B．若存在非零常数λ，使得则级数发散C．若级数收敛，则D．若级数发散，则存在非零常数λ，使得正确答案：B解析：由题设，为正项级数，可通过举反例的方法一一排除干扰项．关于A，令则发散，但故A可排除；关于C，令则收敛，但，故C也可排除；关于D，令则发散，但．即D也排除；关于B，由于发散，则由正项级数的比较判别法知发散，综上，选B．知识模块：无穷级数4．(2002年试题，二)设un≠0(n=1，2，3，…)，且则级数( ).A．发散B．绝对收敛C．条件收敛D．收敛性根据所给条件不能判定正确答案：C解析：由题设，令而由已知则根据比较判别法知发散，则原级数不是绝对收敛，排除B，考虑原级数的部分和，即由已知从而．因而所以即原级数条件收敛，选C．知识模块：无穷级数5．(2000年试题，二)设级数收敛，则必收敛的级数为( )．A．B．C．D．正确答案：D解析：观察四个选项，结合题设收敛，可知D中必然收敛，因为它是两个收敛级数和逐项相加所得，关于其余三个选项，可逐一举出反例予以排除．关于A，令不难验证是收敛的交错级数，而是发散级数；关于B，令同样有为收敛的交错级数，而是发散级数；关于C，令则是收敛的交错级数，而，当n→∞时，而级数发散，因此发散．综上，选D．一般通过举反例来排除错误选项时，常以P级数．级数(当P>1时，绝对收敛；0(当P>1时，收敛；P≤1时，发散)作为反例，其中P的取值根据具体情况而定．知识模块：无穷级数6．(2011年试题，一)设数列{an}单调减少，无界，则幂级数的收敛域为( )．A．(一1，1]B．[一1，1)C．[0，2)D．(0，2]正确答案：C解析：因为{an}单调减少所以an＞0(n=1，2，…)，由交错级数的莱布尼兹法则，收敛，因为无界，所以级数发散，则的收敛域为[一1，1)，故原级数的收敛域为[0，2)．故选C．知识模块：无穷级数7．(1999年试题，二)设其中则等于( )．A．B．C．D．正确答案：C解析：由题设，所给S(x)为余弦级数，周期为2，将f(x)作偶延拓，并由傅里叶级数收敛定理，知所求和函数值为选C。
探索莱布尼茨公式从无穷级数到微分
探索莱布尼茨公式从无穷级数到微分莱布尼茨公式是数学中一种重要的表达式，用于将无穷级数转换为微分形式。
本文将通过探索莱布尼茨公式的由来和应用，展示无穷级数与微分之间的紧密联系。
一. 莱布尼茨公式的定义和由来莱布尼茨公式是一种用于将无穷级数表示为一个函数的表达式。
具体而言，对于一个幂级数形式的函数，莱布尼茨公式可以将该级数表示为该函数的导数。
莱布尼茨公式的定义如下：设函数f(x)可以表示为幂级数的形式：f(x)=a0+a1x+a2x^2+a3x^3+...其中，a0, a1, a2, a3等为常数系数，x为自变量。
那么，莱布尼茨公式表达为：f'(x)=a1+2a2x+3a3x^2+4a4x^3+...二. 莱布尼茨公式的推导过程莱布尼茨公式的推导涉及数学分析中的一些重要概念和技巧。
我们将通过以下步骤来说明这个推导过程。
1. 将函数f(x)表示为幂级数形式：f(x)=a0+a1x+a2x^2+a3x^3+...2. 求出函数f'(x)的表达式：f'(x)=0+a1+2a2x+3a3x^2+4a4x^3+...3. 将幂级数表示中的自变量x替换为nx，并分别乘以系数a1, a2, a3等：a1x+a2x^2+a3x^3+... = [a1(1^1)+a2(2^1)x+ a3(3^1)x^2+...] = a1 +a2(2x) + a3(3x^2)+...4. 将函数f(x)在x=0处的值代入f(x)的表达式中，得到a0的值。
f(0)=a0+a1(0^1)+a2(0^2)+a3(0^3)+... = a05. 将a0的值带回莱布尼茨公式中，得到最终的表达式：f'(x)=a0 + a2(2x) + a3(3x^2)+...通过以上推导，我们可以将一个幂级数形式的函数表示为其导数的形式，从而获得了莱布尼茨公式。
三. 莱布尼茨公式的应用莱布尼茨公式在数学和物理学中有许多重要的应用。
利用级数解微分方程
利用级数解微分方程微分方程是数学中常见的一种方程类型，广泛应用于自然科学和工程领域。
解微分方程是求解方程中未知函数的过程，其中一种常见的方法是利用级数展开进行求解。
本文将介绍如何利用级数解微分方程，并通过具体的例子进行说明。
1. 级数展开的基本思想级数展开是利用无穷级数表示一个函数的方法，通过将函数表示为级数的形式，可以将原来的微分方程转化为一个级数方程，进而求解未知函数的表达式。
级数展开的基本思想是将解函数按照次数递增的方式展开为一个无穷级数，然后将级数代入微分方程，通过对比不同幂次的项来确定级数展开的系数。
2. 例子：一阶线性常微分方程考虑一阶线性常微分方程：\[y' + p(x)y = g(x)\]其中，\(p(x)\)和\(g(x)\)是已知函数，\(y(x)\)是未知函数。
我们设定未知函数\(y(x)\)的级数展开为：\[y(x) = \sum_{n=0}^\infty a_nx^n\]其中，\(a_n\)是待定系数。
将级数展开代入微分方程得到：\[\sum_{n=0}^\infty (a_n(nx^{n-1}) + p(x)a_nx^n) = g(x)\]化简后可得：\[\sum_{n=0}^\infty a_n(nx^{n-1} + p(x)x^n) = g(x)\]为了确定级数展开的系数\(a_n\)，我们需要对比级数展开中不同幂次的项，即对比各个\(n\)对应的系数。
通过对比系数可得到递推关系：\[a_{n+1} = -\frac{\sum_{k=0}^n a_k(nx^{k-1} + p(x)x^k) -g(x)}{(n+1)x^n}\]其中，\(a_0\)是待定的初始条件。
3. 例子：二阶线性常微分方程考虑二阶线性常微分方程：\[y'' + p(x)y' + q(x)y = g(x)\]其中，\(p(x)\)，\(q(x)\)和\(g(x)\)是已知函数，\(y(x)\)是未知函数。
实验2--微分方程(基础实验)
实验2--微分方程(基础实验)119 项目四 无穷级数与微分方程实验2 微分方程（基础实验）实验目的 理解常微分方程解的概念以及积分曲线和方向场的概念,掌握利用Mathematica 求微分方程及方程组解的常用命令和方法.基本命令1. 求微分方程的解的命令DSolve对于可以用积分方法求解的微分方程和微分方程组,可用Dsolve 命令来求其通解或特解.例如,求方程023=+'+''y y y 的通解, 输入DSolve[y ''[x]+3y '[x]+2y[x]==0,y[x],x]则输出含有两个任意常数C[1]和C[2]的通解:{}{}]2[C e ]1[C e ]x [y x x 2--+→注:在上述命令中,一阶导数符号 ' 是通过键盘上的单引号 ' 输入的,二阶导数符号 '' 要输入两个单引号,而不能输入一个双引号.又如,求解微分方程的初值问题:,10,6,03400='==+'+''==x x y y y y y输入Dsolve[{y''[x]+4 y'[x]+3y[x]==0,y[0]==6, y'[0]==10},y[x],x](*大括号把方程和初始条件放在一起*)则输出{}{}x 2x 3e 148(e ]x [y +-→-2. 求微分方程的数值解的命令NDSolve对于不可以用积分方法求解的微分方程初值问题,可以用NDSolve 命令来求其特解.例如要求方程5.0,032=+='=x y x y y的近似解)5.10(≤≤x , 输入NDSolve[{y'[x]==y[x]^2+x^3,y[0]==0.5},y[x],{x,0,1.5}](*命令中的{x,0,1.5}表示相应的区间*)则输出{{y->InterpolatingFunction[{{0.,1.5}},< >]}}注:因为NDSolve 命令得到的输出是解)(x y y =的近似值. 首先在区间[0,1.5]内插入一系 列点n x x x ,,,21Λ, 计算出在这些点上函数的近似值n y y y ,,,21Λ, 再通过插值方法得到 )(x y y =在区间上的近似解.3. 一阶微分方程的方向场一般地,我们可把一阶微分方程写为),(y x f y ='的形式,其中),(y x f 是已知函数. 上述微分方程表明:未知函数y 在点x 处的斜率等于函数120f 在点),(y x 处的函数值. 因此,可在Oxy 平面上的每一点, 作出过该点的以),(y x f 为斜率 的一条很短的直线(即是未知函数y 的切线). 这样得到的一个图形就是微分方程),(y x f y ='的方向场. 为了便于观察, 实际上只要在Oxy 平面上取适当多的点,作出在这些点的函数的 切线. 顺着斜率的走向画出符合初始条件的解,就可以得到方程),(y x f y ='的近似的积分曲 线.例如, 画出0)0(,12=-=y y dxdy 的方向场. 输入<<Graphics`PlotField`g1=PlotVectorField[{1,1-y^2},{x,-3,3},{y,-2,2}, Frame->True,ScaleFunction->(1&),ScaleFactor->0.16,HeadLength->0.01,PlotPoints->{20,25}];则输出方向场的图形（图2.1）, 从图中可以观察到, 当初始条件为2/10=y 时, 这个微分方程的解介于1-和1之间, 且当x 趋向于-∞或∞时, )(x y 分别趋向于1-与1.-3-2-10123-2-1012 -3-2-10123-2-112下面求解这个微分方程, 并在同一坐标系中画出方程的解与方向场的图解. 输入sol=DSolve[{y'[x]==1-y[x]^2,y[0]==0},y[x],x];g2=Plot[sol[[1,1,2]],{x,-3,3},PlotStyle->{Hue[0.1],Thickness[0.005]}];Show[g2,g1,Axes->None,Frame->True];则输出微分方程的解xxe e x y 2211)(++-=,以及解曲线与方向场的图形（图2.2）. 从图中可以看到, 微分方程的解与方向场的箭头方向相吻合.实验内容用Dsolve 命令求解微分方程例2.1 (教材 例2.1) 求微分方程 22x xe xy y -=+'的通解.输入Clear[x,y];DSolve[y '[x]+2x*y[x]==x*Exp[-x^2],y[x],x]或DSolve[D[y[x],x]+2x*y[x]==x*Exp[-x^2],y[x],x]则输出微分方程的通解:121 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧+→--]1[C e x e 21]x [y 22x 2x 其中C[1]是任意常数.例2.2 (教材 例2.2) 求微分方程0=-+'x e y y x 在初始条件e y x 21==下的特解. 输入Clear[x,y];DSolve[{x*y ' [x]+y[x]-Exp[x]==0,y[1]==2 E},y[x],x]则输出所求特解:⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+→x e e ]x [y x 例2.3 (教材 例2.3) 求微分方程x e y y y x 2cos 52=+'-''的通解.输入DSolve[y ''[x]-2y '[x]+5y[x]==Exp[x]*Cos[2 x],y[x],x]//Simplify则输出所求通解:⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧-++→])x 2[Sin ])1[c 4x (2]x 2[Cos ])2[c 81((e 81]x [y x 例2.4 (教材 例2.4) 求解微分方程x e x y +=''2, 并作出其积分曲线.输入g1=Table[Plot[E^x+x^3/3+c1+x*c2,{x,-5,5},DisplayFunction->Identity],{c1,-10,10,5},{c2,-5,5,5}];Show[g1,DisplayFunction->$DisplayFunction]; -4-224-40-20204060图2.3例2.5 (教材 例2.5) 求微分方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=++02y x dtdy e y x dt dx t 在初始条件0,100====t t y x 下的特解.输入122Clear[x,y,t];DSolve[{x' [t]+x[t]+2 y[t]==Exp[t], y'[t] -x[t]- y[t]==0,x[0]==1,y[0]==0},{x[t],y[t]},t]则输出所求特解:⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-→→])t [Sin ]t [Cos e (21]t [y ],t [Cos ]t [x t例2.6 验证c y y x =+--)3305(15152是微分方程2)(42-='y x x y 的通解. 输入命令<<Graphics`PlotField`<<Graphics`ImplicitPlot`sol=(-5x^3-30y+3y^5)/15==C;g1=ImplicitPlot[sol/.Table[{C->n},{n,-3,3}],{x,-3,3}];g2=PlotVectorField[{1,x^2/(y^4-2)},{x,-3,3},{y,-3,3},Frame->True,ScaleFunction->(1&),ScaleFactor->0.16,HeadLength->0.01,PlotPoints->{20,25}];g=Show[g2,g1,Axes->None,Frame->True];Show[GraphicsArray[{g1,g2,g}]];则分别输出积分曲线如图 2.4(a), 微分方程的方向场如图 2.4(b). 以及在同一坐标系中画出积分曲线和方向场的图形如下图2.4 (c).-3-2-1123-2-112-3-2-10123-3-2-10123-3-2-10123-3-2-10123图2.4从图 2.4(c)中可以看出微分方程的积分曲线与方向场的箭头方向吻合, 且当∞→x 时, 无论初始条件是什么, 所有的解都趋向于一条直线方程.例2.7 (教材 例2.6) 求解微分方程,)1(122/5+=+-x x y dx dy 并作出积分曲线. 输入<<Graphics`PlotField`DSolve[y' [x]-2y[x]/(x+1)==(x+1)^(5/2),y[x],x]则输出所给积分方程的解为 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧+++→]1[C )x 1()x 1(32]x [y 22/7123 下面在同一坐标系中作出这个微分方程的方向场和积分曲线(设),3,2,1,0,1,2,3---=C 输入t=Table[2(1+x)^(7/2)/3+(1+x)^2c,{c,-1,1}];g1=Plot[Evaluate[t],{x,-1,1},PlotRange->{{-1,1},{-2,2}},PlotStyle->RGBColor[1,0,0],DisplayFunction->Identity];g2=PlotVectorField[{1,-2y/(x+1)+(x+1)^(5/2)},{x,-0.999,1},{y,-4,4},Frame->True,ScaleFunction->(1&), ScaleFactor->0.16,HeadLength->0.01,PlotPoints->{20,25},DisplayFunction->Identity];Show[g1,g2,Axes->None,Frame->True,DisplayFunction->$DisplayFunction];则输出积分曲线的图形（图2.5）.-0.75-0.5-0.2500.250.50.751-1.5-1-0.50.511.52图2.5例2.8 求解微分方程,2)21(22-+='-y x y xy 并作出其积分曲线.输入命令<<Graphics`PlotField`DSolve[1-2*x*y[x]*y' [x]==x^2+(y[x])^2-2,y[x],x]则得到微分方程的解为.)2(323C y x x y ++-+= 我们在33≤≤-C 时作出积分曲线, 输入命令t1=Table[(3+Sqrt[3])Sqrt[3+24x^2-4x^4-4*c*x]/(6*x),{c,-3,3}];t2=Table[(3-Sqrt[3])Sqrt[3+24x^2-4x^4-4*c*x]/(6*x),{c,-3,3}];gg1=Plot[Evaluate[t1],{x,-3,3},PlotRange->{{-3,3},{-3,3}},PlotStyle->RGBColor[1,0,0],DisplayFunction->Identity];124gg2=Plot[Evaluate[t2],{x,-3,3},PlotRange->{{-3,3},{-3,3}},PlotStyle->RGBColor[1,0,0],DisplayFunction->Identity];g1=ContourPlot[y-x^3/3-x*(-2+y^2),{x,-3,3},{y,-3,3},PlotRange->{-3,3},Contours->7,ContourShading->False,PlotPoints->50,DisplayFunction->Identity];g2=PlotVectorField[{1,(x^2+y^2-2)/(1-2*x*y)},{x,-3,3},{y,-3,3},Frame->True,ScaleFunction->(1&),ScaleFactor->0.16,HeadLength->0.01,PlotPoints->{20,25},DisplayFunction->Identity];Show[g1,g2,Axes->None,Frame->True,DisplayFunction->$DisplayFunction];Show[gg1,gg2,g2,Axes->None,Frame->True,DisplayFunction->$DisplayFunction];则输出微分方程的向量场与积分曲线, 并输出等值线的图2.6.-3-2-10123-2-10123-2-10123-2-1123图2.6用NDSolve 命令求微积分方程的近似解例2.9 (教材 例2.7) 求初值问题:1,0)1()1(2.1=='-++=x y y xy y xy 在区间[1.2,4]上的近似解并作图.输入fl=NDSolve[{(1+x*y[x])*y[x]+(1-x*y[x])*y'[x]==0,y[1.2]==1},y,{x,1.2,4}]则输出为数值近似解(插值函数)的形式:{{y->InterpolatingFunction[{{1.2,4.}},< >]}}用Plot 命令可以把它的图形画出来.不过还需要先使用强制求值命令Evalu-ate, 输入 Plot[Evaluate[y[x]/.fl],{x,1.2,4}]则输出近似解的图形（图2.7）.125 1.5 2.53 3.5410203040图2.7如果要求区间[1.2,4]内某一点的函数的近似值, 例如8.1=x y ,只要输入y[1.8]/.fl则输出所求结果{3.8341}例2.10 (教材 例2.8) 求范德波尔(Van der Pel)方程5.0,0,0)1(002-='==+'-+''==x x y y y y y y在区间[0,20]上的近似解.输入 Clear[x,y];NDSolve[{y''[x]+(y[x]^2-1)*y'[x]+y[x]==0,y[0]==0,y'[0]==-0.5},y,{x,0,20}];Plot[Evaluate[y[x]/.%],{x,0,20}]可以观察到近似解的图形（图2.8）.5101520-2-112图2.8126 ⎪⎩⎪⎨⎧==+-'1)1(01sin 2y x y x y x 的数值解, 并作出数值解的图形.输入命令<<Graphics`PlotField`sol=NDSolve[{x*y'[x]-x^2*y[x]*Sin[x]+1==0,y[1]==1},y[x],{x,1,4}];f[x_]=Evaluate[y[x]/.sol];g1=Plot[f[x],{x,1,4},PlotRange->All,DisplayFunction->Identity];g2=PlotVectorField[{1,(x^2*y*Sin[x]-1)/x},{x,1,4},{y,-2,9},Frame->True,ScaleFunction->(1&),ScaleFactor->0.16,HeadLength->0.01,PlotPoints->{20,25},DisplayFunction->Identity];g=Show[g1,g2,Axes->None,Frame->True];Show[GraphicsArray[{g1,g}],DisplayFunction->$DisplayFunction];则输出所给微分方程的数值解及数值解的图2.9.1.522.533.544681 1.52 2.53 3.54-22468例2.11 (教材 例2.9) 求出初值问题⎪⎩⎪⎨⎧='==+'+''0)0(,1)0(cos sin 22y y xy x y y的数值解, 并作出数值解的图形.输入NDSolve[{y''[x]+Sin[x]^2*y'[x]+y[x]==Cos[x]^2,y[0]==1,y'[0]==0},y[x],{x,0,10}]127 Plot[Evaluate[y[x]/.%],{x,0,10}];则输出所求微分方程的数值解及数值解的图形（图2.10）.2468100.20.40.60.8图2.10例2.12 (教材 例2.10) 洛伦兹(Lorenz)方程组是由三个一阶微分方程组成的方程组.这三个方程看似简单, 也没有包含复杂的函数, 但它的解却很有趣和耐人寻味. 试求解洛伦兹方程组,0)0(,4)0(,12)0()(4)()()()()(45)()()()(16)(16)(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===-='-+-='-='z y x t z t y t x t z t y t x t z t x t y t x t y t x 并画出解曲线的图形.输入Clear[eq,x,y,z]eq=Sequence[x'[t]==16*y[t]-16*x[t],y'[t]==-x[t]*z[t]-y[t]+45x[t],z'[t]==x[t]*y[t]-4z[t]];sol1=NDSolve[{eq,x[0]==12,y[0]==4,z[0]==0},{x[t],y[t],z[t]},{t,0,16},MaxSteps->10000];g1=ParametricPlot3D[Evaluate[{x[t],y[t],z[t]}/.sol1],{t,0,16},PlotPoints->14400,Boxed->False,Axes->None];则输出所求数值解的图形（图2.11(a)）. 从图中可以看出洛伦兹微分方程组具有一个奇异吸引子, 这个吸引子紧紧地把解的图形“吸”在一起. 有趣的是, 无论把解的曲线画得多长, 这些曲线也不相交.128图2.11改变初值为,10)0(,10)0(,6)0(=-==z y x 输入sol2=NDSolve[{eq,x[0]==6,y[0]==-10,z[0]==10}, {x[t],y[t],z[t]},{t,0,24},MaxSteps->10000];g2=ParametricPlot3D[Evaluate[{x[t],y[t],z[t]}/.sol2],{t,0,24},PlotPoints->14400,Boxed->False,Axes->None];Show[GraphicsArray[{g1,g2}]];则输出所求数值解的图形（图2.11(b)）. 从图中可以看出奇异吸引子又出现了, 它把解“吸”在某个区域内, 使得所有的解好象是有规则地依某种模式缠绕.实验习题1. 求下列微分方程的通解:(1) ;0136=+'+''y y y(2) ();024=+''+y y y(3) ;2sin 52x e y y y x =+'-''(4) .)1(963x e x y y y +=+'-''2. 求下列微分方程的特解:(1) ;15,0,029400='==+'+''==x x y y y y y(2) .1,1,02sin ='==++''==ππx x y yx y y 3. 求微分方程0cos 2)1(2=-+'-x xy y x 在初始条件10==x y 下的特解.分别求精确解和数值解)10(≤≤x 并作图.4. 求微分方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=++t t e y x dt dy e y x dt dx 235的通解.129 5. 求微分方程组⎪⎪⎩⎪⎨⎧==+-==-+==4,081,0300t t y y x dt dyxy x dt dx 的特解. 6. 求欧拉方程组324x y y x y x =-'+''的通解.7. 求方程5,0,011='==+'+''==x x y y y y x y 在区间[0,4]上的近似解.。
成人自考00023《高等数学(工本)》考点
成人自考00023《高等数学（工本）》考点成人自考00023《高等数学（工本）》的考点主要包括以下内容：1. 函数与极限：函数的概念、函数的性质、函数的极限、无穷小与无穷大、极限存在准则、函数的连续性等。
2. 导数与微分：导数的定义、导数的运算法则、高阶导数、隐函数与参数方程的导数、微分的定义、微分的运算法则、微分中值定理等。
3. 微分中值定理与导数的应用：罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、洛必达法则、泰勒公式、函数的单调性与极值、函数的凹凸性与拐点等。
4. 不定积分与定积分：不定积分的概念与性质、基本积分表、换元积分法、分部积分法、定积分的概念与性质、定积分的计算方法、定积分的应用等。
5. 微分方程：微分方程的基本概念、一阶微分方程的解法、高阶线性微分方程的解法、常系数线性微分方程的解法、变系数线性微分方程的解法等。
6. 无穷级数：数列极限的概念与性质、数列极限存在准则、无穷级数的概念与性质、正项级数的审敛法、交错级数的审敛法、幂级数的收敛半径等。
7. 空间解析几何：空间直线的方程与位置关系、平面的方程与位置关系、空间曲线的方程与位置关系、空间曲面的方程与位置关系、空间直线与平面的位置关系等。
8. 多元函数微分学：偏导数与全微分、多元函数的极值与条件极值、隐函数与参数方程的偏导数、多元函数的泰勒公式等。
9. 重积分与曲线积分：二重积分的概念与性质、二重积分的计算方法、三重积分的概念与性质、三重积分的计算方法、曲线积分的概念与性质、曲线积分的计算方法等。
以上是成人自考00023《高等数学（工本）》的主要考点，考生在备考过程中应重点掌握这些内容，并进行大量的练习和习题的解析，以提高自己的理解和应用能力。
数分知识点总结十三章
数分知识点总结十三章第一章：函数的概念1.1 函数的定义和概念在数学中，函数是指一种对应关系，即每个自变量都有一个对应的因变量。
函数通常用f(x)或者y来表示，其中x为自变量，y为因变量。
1.2 函数的性质函数有很多性质，其中包括定义域、值域、奇偶性、周期性等。
这些性质对于理解函数的特点和行为非常重要。
1.3 函数的图像函数的图像可以帮助我们更直观地理解函数的性质和行为，通过函数的图像我们可以看出函数的增减性、最值、拐点等信息。
第二章：导数的概念2.1 导数的定义导数是函数在某一点的变化率，用数学语言来描述就是函数在某一点的斜率。
导数可以用极限的概念来定义，即函数在这一点的变化率是指在这一点的极限值。
2.2 导数的计算我们可以通过求极限的方法或者使用导数的定义式来计算一个函数在某一点的导数，这个导数就是表示函数在这一点的变化率。
2.3 导数的性质导数有很多性质，比如导数存在的条件、导数具有的性质、导数与函数的关系等。
这些性质有助于我们更深入地理解导数的本质。
第三章：导数的应用3.1 导数与函数的关系导数与函数的关系非常紧密，函数的导数可以反映函数的增减性、最值、拐点等信息，通过导数我们可以研究函数的特性。
3.2 函数的极值与拐点通过导数的概念，我们可以求得函数的极值和拐点，这对于函数的研究和应用有着非常重要的意义。
3.3 函数的最值问题通过导数的概念，我们可以求得函数的最大值和最小值，这对于优化问题和实际应用中的最优化有着非常重要的意义。
第四章：微分中值定理4.1 微分中值定理的概念微分中值定理是微分学中的一个非常重要的定理，它可以帮助我们更好地理解函数的性质和行为。
4.2 微分中值定理的应用微分中值定理可以用来证明函数的性质，求函数的极值和拐点，解决实际应用中的优化问题等。
4.3 微分中值定理的推广微分中值定理有很多推广形式，比如拉格朗日中值定理、柯西中值定理等，这些定理都可以帮助我们更好地进行函数的研究和应用。
无穷极数知识点总结
无穷极数知识点总结1. 无穷级数的定义无穷级数是指由无穷多个项组成的级数，通常表示为a1 + a2 + a3 + ... + an + ...，其中每一项an是一个实数或复数。
无穷级数可以是收敛的，即其和是一个有限的值，也可以是发散的，即其和不存在或为无穷大。
2. 无穷级数的收敛无穷级数收敛的概念是指无穷级数的和在某个范围内趋于一个有限的值。
收敛的无穷级数在数学分析和实际应用中有着广泛的应用，例如在泰勒级数展开、微积分中的积分计算等方面。
无穷级数的收敛有多种判别法，如比较判别法、根值判别法、积分判别法等。
3. 无穷级数的发散无穷级数发散的概念是指无穷级数的和无法趋向于一个有限的值，而是趋向于无穷大或者根本无法定义。
无穷级数的发散也有多种判别法，例如奇偶项判别法、柯西收敛准则等。
4. 绝对收敛与条件收敛无穷级数的收敛有两种情况，一种是绝对收敛，即该级数每一项的绝对值级数收敛；另一种是条件收敛，即该级数每一项的绝对值级数发散，但级数本身却收敛。
绝对收敛级数在某种程度上更容易处理和计算，而条件收敛级数的性质相对更为复杂，也更有意思。
5. 级数收敛的充分条件对于实数级数来说，级数部分和序列的收敛性与级数本身的收敛性之间是十分紧密的，因此研究级数部分和序列的收敛性可以得到级数收敛的充分条件。
比如级数收敛的柯西准则、级数收敛的柯西——施瓦茨准则、莱布尼茨级数收敛准则等。
6. 无穷级数的运算无穷级数也可以进行加减乘除等运算，不过进行这些运算时需要满足一定的条件，比如级数收敛、级数部分和序列的收敛性等。
无穷级数的运算规则也有许多特殊的性质，如级数的收敛性与绝对收敛性的性质、级数的乘法运算性质、级数的幂级数展开等。
7. 级数收敛的应用无穷级数的研究在数学中有着广泛的应用，比如在分析学中的泰勒级数展开、微积分中的求和、微分方程的求解、数论中的级数和等方面都有不同程度的应用。
无穷级数也在物理学、工程学、经济学等应用领域中有着很多重要的应用。
高等数学知识点总结及公式大全
高等数学知识点总结及公式大全《高等数学知识点总结及公式大全》摘要：本文对高等数学的知识点进行了全面总结，同时提供了常用的公式大全，以帮助读者更好地理解和掌握高等数学的内容。
第一章：函数与极限1. 函数的定义与性质：函数的概念、有界性、奇偶性、周期性等。
2. 极限与连续性：极限的定义、无穷小与无穷大、函数的连续性等。
第二章：导数与微分1. 导数的概念与性质：导数的定义、可导性、导数运算法则等。
2. 常用函数的导数：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数等。
3. 高阶导数与高阶微分：高阶导数的定义、高阶微分的概念。
第三章：积分与数列级数1. 不定积分与定积分：不定积分的定义、基本积分公式、换元积分法等。
2. 定积分的概念与性质：定积分的定义、牛顿-莱布尼茨公式、定积分的应用等。
3. 数列与级数：数列的概念、收敛性、级数的概念、收敛判别法等。
第四章：微分方程1. 一阶微分方程：可分离变量的微分方程、一阶线性微分方程等。
2. 二阶线性微分方程：齐次线性微分方程、非齐次线性微分方程等。
第五章：无穷级数1. 数列极限：数列极限的概念、单调有界数列的性质、数列极限的计算等。
2. 函数项级数：函数项级数的概念、收敛性、收敛域等。
附录：公式大全1. 三角函数的基本公式。
2. 求导法则与微分公式。
3. 函数的积分公式。
4. 数列与级数的常用公式。
总结：高等数学是大学数学的重要组成部分，本文通过全面总结了高等数学的主要知识点，为读者提供了常用的公式大全，为学习和应用高等数学提供了便利。
读者可以通过阅读和实践来深入理解和掌握高等数学的相关内容，并在实际问题中灵活运用。
希望本文对读者有所启发和帮助！。
高数大一上册知识点笔记
高数大一上册知识点笔记1. 函数与极限:- 函数的概念及基本性质- 极限的定义与性质- 极限运算法则2. 导数与微分:- 导数的定义与计算- 导数的几何意义与物理意义- 微分的概念与计算3. 微分中值定理与高阶导数:- 罗尔定理- 拉格朗日中值定理- 柯西中值定理- 高阶导数的概念与计算4. 不定积分与定积分:- 不定积分的定义与基本性质- 基本积分公式与常用积分公式 - 定积分的概念与性质- 牛顿-莱布尼茨公式5. 定积分的应用:- 曲线长度与曲面面积- 物理应用：质量、质心与静力学6. 微分方程:- 高阶导数与高阶线性微分方程 - 一阶线性微分方程- 可分离变量的一阶微分方程- 齐次线性微分方程7. 无穷级数:- 数列极限与数列的收敛性质 - 正项级数与收敛判别法- 收敛级数的性质- 幂级数及其收敛域8. 函数序列与函数级数:- 函数序列的定义与性质- 函数序列的一致收敛性- 麦克劳林级数与泰勒级数9. 空间解析几何:- 空间直线与平面的方程- 空间曲线与曲面的方程- 空间直线与平面的位置关系 - 空间曲线与曲面的位置关系10. 多元函数与偏导数:- 多元函数的概念与性质- 偏导数的定义与计算- 高阶偏导数与混合偏导数11. 多元函数的极值与条件极值: - 多元函数的极值与最大最小值 - 条件极值与拉格朗日乘数法12. 重积分:- 二重积分的概念与计算- 二重积分的性质与应用- 三重积分的概念与计算- 三重积分的性质与应用13. 曲线与曲面积分:- 第一类曲线积分的概念与计算 - 第二类曲线积分的概念与计算- 曲面积分的概念与计算14. 广义积分:- 广义积分的概念与收敛性- 参数积分的概念与性质- Gamma函数与Beta函数的定义与性质这些是高数大一上册的主要知识点笔记，对于每个知识点，可以进一步展开，提供详细的定义、定理、公式和实例，以帮助理解和掌握相关内容。
大一上学期的高数课程重点在于奠定基础，熟练掌握这些知识点对于后续的学习和应用都具有重要意义。
高数基础知识总结与重点概念整理
高数基础知识总结与重点概念整理
一、导数与微分
导数：描述函数在某一点附近的变化率，是函数值的极限。
可导性：函数在某点可导，当且仅当该点附近存在一个定义恰当的导数。
微分：一个近似值，表示函数在某点附近的小变化所引起的函数值的大致变化。
二、积分
不定积分：求一个函数的原函数（或反导数），即求函数的不定积分。
定积分：对一个区间上函数的值的总和的量度，即求函数的定积分。
微积分基本定理：定积分可化为不定积分的计算。
三、级数
数列：一个数字序列。
无穷级数：无穷多个数的和，即数列的和。
收敛性：无穷级数趋于一个有限的和的性质称为收敛性。
发散性：无穷级数不收敛的性质称为发散性。
四、多元函数
多元函数：定义在多个变量上的函数。
偏导数：多元函数对一个变量的导数。
方向导数：描述函数在某点处沿某一方向的变化率。
梯度：方向导数的最大值，表示函数在某点处沿梯度方向的增长最快的方向。
五、微分方程
微分方程：包含未知函数的导数或微分的方程。
初值问题：给定初始条件的微分方程问题。
通解与特解：满足微分方程的解称为通解，满足特定初始条件的解称为特解。
大学物理常用高数基础知识
06
无穷级数
总结词
无穷级数是微积分学中一个重要的概念，它表示一个无穷序 列的和。无穷级数具有收敛和发散两种性质，收敛的级数具 有和，而发散的级数不具有和。
详细描述
无穷级数是微积分学中一个非常重要的概念，它表示一个无穷 序列的和。无穷级数由一系列无穷多个项组成，每一项都有一 个系数，表示该项在级数中的权重。无穷级数具有收敛和发散 两种性质。如果一个无穷级数的和存在，则称该级数收敛，否 则称该级数发散。收敛的级数具有和，而发散的级数不具有和。
大学物理常用高数基础知识
目录
• 函数与极限 • 导数与微分 • 积分 • 多元函数微积分 • 常微分方程 • 无穷级数
01
函数与极限
函数的定义与性质
函数的定义
函数是数学上的一个概念，它描述了 两个变量之间的关系。每个输入值都 对应一个唯一的输出值，这个输出值 称为函数的值。
函数的性质
函数具有一些基本的性质，如奇偶性、 单调性、周期性等。这些性质决定了 函数的行为和特征。
函数的极限
极限的定义
极限是描述当一个数趋近于某个值时，函数值的变化趋势的概念。如果当x趋近于某点时，函数f(x)的值趋近于一 个确定的常数，则称此常数为函数f(x)在该点的极限。
极限的性质
极限具有一些重要的性质，如极限的唯一性、四则运算法则、夹逼准则等。这些性质在研究函数的特性以及解决 与函数相关的问题时非常有用。
详细描述
常微分方程是微分学中用于描述一个或多个 变量随时间变化的数学模型。它的一般形式 为 y' = f(x, y)，其中 y' 表示 y 对 x 的导数， f(x, y) 是 x 和 y 的函数。常微分方程可以分 为线性微分方程和非线性微分方程两大类。
高数大一知识点第八章总结
高数大一知识点第八章总结第八章高数大一知识点总结在大学的数学课程中，高数是一门重要且基础的学科。
第八章是高数课程中的一部分，涉及到了一些重要的知识点。
本文将对这些知识点进行总结和概述。
1. 无穷级数无穷级数是指由无数个项组成的级数。
常见的无穷级数有等比级数和调和级数等。
等比级数是指每一项与前一项之比都相等的级数，调和级数是指每一项与自然数之和之倒数成反比的级数。
对于一个无穷级数，我们可以通过数列收敛的性质来判断它是否收敛。
当级数的各项趋近于0，并且无穷级数的部分和能够趋近于一个有限的值时，我们说这个无穷级数是收敛的；当部分和趋近于无穷大时，我们说这个无穷级数是发散的。
2. 幂级数幂级数是指以一个变量为自变量，以系数递增的幂为函数表达式的级数。
常见的幂级数有收敛半径有限的幂级数和收敛半径为无穷的幂级数等。
对于一个幂级数，我们需要确定它的收敛半径。
根据柯西-阿达玛公式，我们可以通过计算级数的极限值来确定收敛半径。
3. 泰勒级数泰勒级数是一种特殊的幂级数，是用幂次递增的项来表示一个函数的级数展开式。
泰勒级数可以用来近似计算一个函数的值，并且在数学和物理领域中有着广泛的应用。
对于一个函数，我们可以通过求导和代入极限的方法来计算它的泰勒级数展开式。
当给定某个函数在某个点的无穷次导数时，我们可以通过泰勒级数来近似计算函数在该点附近的值。
4. 常微分方程常微分方程是指一个函数和它的导数之间的关系式。
在实际问题中，常微分方程可以用来描述各种动态变化的现象。
常微分方程可以分为一阶和二阶常微分方程。
一阶常微分方程是指一个未知函数的导数只出现一次的方程，而二阶常微分方程是指一个未知函数的二阶导数只出现一次的方程。
求解常微分方程的方法主要有分离变量法、线性微分方程的常系数法以及变量变换法等。
通过这些方法，我们可以得到常微分方程的解析解。
5. 空间解析几何空间解析几何是研究空间中点、直线、平面和曲线等几何对象的位置关系和性质的数学分支。
高数(一)——无穷级数、常微分方程
无穷级数1.定理：设)(x f 在),(0δx U 内具有任意阶导数,且0)(lim =∞→x R n n ,10)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x R ξ；则在),(0δx U 内nn n x x n x f x f )!)()(000)(-=∑∞=称上式为)(x f 在点0x 的泰勒级数。
或称上式为将)(x f 展开为0x x =的幂级数。
２.几个常用的标准展开式①nn x x ∑∞==-011②nn n x x )1(110-=+∑∞=③!0n x e nn x∑∞==④)!12()1(sin 120+-=+∞=∑n x x n nn ⑤)!2()1(cos 20n x x nnn -=∑∞=⑥n x x nnn )1()1ln(0-=+∑∞=⑦nx x n n ∑-∞==-0)1ln(常微分方程1.一阶微分方程（1）可分离变量的微分方程若一阶微分方程0),,(='y y x F 通过变形后可写成dx x f dy y g )()(=或)()(y g x f y ='；则称方程0),,(='y y x F 为可分离变量的微分方程．2.可分离变量微分方程的解方程dx x f dy y g )()(=必存在隐式通解C x F y G +=)()(。
其中:⎰=dy y g y G )()(，⎰=dx x f x F )()(.即两边取积分。
3.一阶线性微分方程定义方程)()(x Q y x P y =+'称为一阶线性微分方程.（1）非齐次方程——0)(≠x Q ;（2）齐次方程——0)(=+'y x P y .4.求解一阶线性微分方程（1）先求齐次方程0)(=+'y x P y 的通解:⎰=-dxx P Ce y )(,其中C 为任意常数。
（2）将齐次通解的C 换成)(x u 。
即⎰=-dxx P e x u y )()(（3）代入非齐次方程)()(x Q y x P y =+'，得⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-C dx e x q e y dx x P dxx P )()()(可降阶的二阶微分方程1.)(x f y =''型的微分方程例：求方程x e y xsin 212-=''的通解.分析:12cos 41C x e dx y y x++=''='⎰；212sin 81C x C x e dx y y x +++='=⎰．2.),(y x f y '=''型的微分方程解法:（1）令y p '=,方程化为),(p x f p =';（2）解此方程得通解),(1C x p ϕ=；（3）再解方程),(1C x y ϕ='得原方程的通解21),(C dx C x y +=⎰ϕ.3.),(y y f y '=''型的微分方程解法：（1）令y p '=,并视p 为y 的函数，那么dydp p dx dy dy dp dx dp y =⋅=='',（2）代入原方程，得),(p y f dy dpp =（3）解此方程得通解),(1C y p ϕ=;（4）再解方程),(1C y y ϕ='得原方程的通解21),(C x C y dy+=⎰ϕ.例:求方程02='-''y y y 的通解．解:（1）令y p '=,并视p 为y 的函数，那么dydp p dx dy dy dp dx dp y =⋅=='',（2）代入原方程，得02=-p dydp yp 或ydy p dp =（3）解以上方程，得C y p ln ||ln ||ln +=⇒y C p 1=,(C C ±=1)．（4）再解方程yC y 1='⇒1C yy ='⇒21||ln C x C y '+=．（5）于是原方程的通解为xC e C y 12=，(22Ce C '±=)常系数线性微分方程1.二阶常系数齐次线性方程0=+'+''qy y p y 的解。
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满足
则有
(1) 当 0 < l <∞ 时, 两个级数同时收敛或发散 ; (2) 当 l = 0
(3) 当 l =∞
例3. 判别级数
的敛散性.
解:
ln(1
1 n2
)
1
n2
～
根据比较审敛法的极限形式知
比值审敛法 ( D’alembert 判别法)
设
为正项级数, 且
则
(1) 当 (2) 当
时, 级数收敛 ;
3、写出收敛范围(P34例1-37)
1 x2 x3 xn (1,1)
1 x x2 xn (,)
2!
n!
x x3 x5 (1)2n1 x2n1 (,)
3! 5!
(2n 1)!
x x2 x3 (1)n xn1
23
n 1
(1,1]
1.4.3 傅立叶级数的有关问题 1.求傅立叶级数展开式 2.求某个傅立叶系数 3.求和函数在某些点的值
例9. 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在 上的表达式为
(1)求S(0),S( ),S(3 ),S( )的值。
22
(2)求b3.
(3)将 f (x) 展成傅里叶级数.
解:
(1)当x k , S(x)
f
(
x), S (
)
1,
S ( 3
)
1
2
2
当x k , S(x) 1 (1) 0, S(0) S( ) 0
收
敛
发散
*例6.已知幂级数
在 x 3 处收敛，则该级数
在 x 1 处是收敛还是发散？若收敛，是条件收敛
还是绝对收敛？
解：由Abel定理 ，该幂级数在 x 3 处绝对收敛，
故在 x 1 绝对收敛。
例7. 已知
处条件收敛 , 问该级数收敛
半径是多少 ? 答: 根据Abel 定理可知, 级数在
时发散 . 故收敛半径为
叫做级数的一般项,
称为级数的部分和. 收敛 , 并称 S 为级数的和。
则称无穷级数
2.基本性质 性质1. 若级数
收敛于 S , 即
则各项
乘以常数 c 所得级数
也收敛 , 其和为 c S .
性质2. 设有两个收敛级数
则级数
也收敛, 其和为
说明: (1) 性质2 表明收敛级数可逐项相加或减 .
(2) 若两级数中一个收敛一个发散 , 则 必发散 . (用反证法可证)
1.4 无穷级数
1.4.1 数项级数 讨论敛散性
1.4.2 幂级数 求收敛范围，将函数展开为幂级数，求和。
1.4.3 傅立叶级数 求函数的傅立叶级数展开，讨论和函数的性质。
1.4.1数项级数
1.数项级数定义 给定一个数列
次相加, 简记为
即
将各项依
称上式为无穷级数，其中第 n 项 级数的前 n 项和
绝对收敛的级数一定收敛 .
例5. 证明下列级数绝对收敛 :
证: 因此
而 收敛
收敛 ,
绝对收敛 .
判断数项级数敛散的方法
1、利用已知结论：等比级数、P-级数及级数性质
2、利用必要条件：主要判别发散 3、求部分和数列的极限 4、正项级数的审敛法
1）比值审敛法（根值审敛法） 2）比较审敛法（或极限形式）
是q
1 3
的
等
比
级
数,收
敛.
故原级数收敛.
4.审敛法 正项级数：
(比较审敛法) 设
是两个正项级数,
且存在
对一切
有
(常数 k > 0 ),
则有 (1) 若强级数
收敛 , 则弱级数
也收敛 ;
(2) 若弱级数
发散 , 则强级数
也发散 .
例2 判别级数
1
的敛散性。
n1 n(n 1)
(比较审敛法的极限形式) 设两正项级数
2
4
3
(3) 先求傅里叶系数
1.5 微分方程
1.5.1 微分方程的基本概念 1.5.2 解微分方程 1.5.3 微分方程应用
1.5.1 微分方程的基本概念
1. 判定微分方程的阶 一阶微分方程 二阶微分方程
2. 判定函数是否微分方程的解，通解或特解
100
80 60
40 20
0 第一季度
第三季度
5、交错级数审敛法：莱布尼兹定理
6、一般级数审敛法：先判断是否绝对收敛，如果绝 对收敛则一定收敛；否则判断是否条件收敛
1.4.2 幂级数
1.Abel定理 若幂级数
则对满足不等式
的一切 x 幂级数都绝对收敛.
反之, 若当
时该幂级数发散 ,则对满足不等式
的一切 x , 该幂级数也发散 .
发散
收敛 发散
或
时, 级数发散 .
. 根值审敛法 ( Cauchy判别法)
设
为正项
级数, 且
则
解:
因此级数
收敛.
交错级数
则各项符号正负相间的级数
称为交错级数 . ( Leibnitz 判别法 )
若交错级数满足条件:
则级数
收敛 。
绝对收敛与条件收敛
定义: 对任意项级数
若
数 绝对收敛 ；
收敛 , 则称原级
若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散, 则称原级 数 条件收敛 .
东部 西部 北部
例1. 验证函数 是微分方程
解:
的解. 是方程的解 .
1.5.2 解微分方程
1. 一阶微分方程 可分离变量，一阶线性
2. 高阶微分方程
二阶线性常系数齐次，二阶线性常系数非齐次只 要求写出特解形式。
*例2. 求微分方程
的通解.
解: 分离变量得
两边积分 得
因此可能增、 减解.
即
( C 为任意常数 )
*例3.
解 P(x) 1 , Q(x) sin x ,
x
x
利用一阶线性方程的通解公式得：
y
e
1 x
dx
sin x
收敛 ,
2.求收敛半径
若
的系数满足
则
1) 当 ≠0 时, 2) 当 ＝0 时, 3) 当 ＝∞时,
的收敛半径为
例8..求幂级数 的收敛半径及收敛域.
解:
对端点 x = 1, 级数为交错级数
对端点 x =－1, 级数为
故收敛域为
发散 .
收敛;
3.求函数的幂级数展开式
1、对函数作恒等变形（如果需要的话） 2、利用已知结论，用变量代换或求导积分得所求 函数的幂级数
但若二级数都发散 ,
不一定发散.
性质3. 在级数前面加上或去掉有限项, 不会影响级数 的敛散性. 性质4. 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级
的和. 推论: 若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散.
注意: 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.
性质5：设收敛级数
则必有
可见: 若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散 .
3. 几个重要级数的收敛性 等比级数 (又称几何级数)
( q 称为公比 ). 级数收敛 , 其和为 级数发散 .
调和级数发散 p -级数
当p 1收敛，p 1发散。
(常数 p > 0)
*例1.判断级数的敛散性:
解:该级数是下列两级数之差
n1
1 2n
Байду номын сангаас
是q
1 2
的 等 比 级 数,收 敛.
n1
1 3n