类型一 二次函数与线段问题
中考 一轮复习 二次函数专题之实际应用问题和线段问题(word版含简单答案)
二次函数专题一，二次函数实际应用问题（经济类）1．某商家投资销售一种进价为每盏30元的护眼台灯，销售过程中发现，每月销售量y （盏）与销售单价x （元）之间的关系可近似的看作一次函数：10700y x =-+，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%．（1）要使每月获得的利润为3000元，那么每月的销售单价定为多少元？ （2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？2．某水果批发商场经销一种水果，如果每干克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现．在进货价不变的情况下，若每千克涨价一元．日销售量将减少20千克．（1）现要保证每天盈利6000元，同时又要让顾客得到实惠，则每千克应涨价多少元？ （2）若该商场单纯从经济角度看，那么每千克应涨价多少元，能使商场获利最多．3．东莞某镇斥资打造夜市网红街，王阿姨在这夜市做起了地摊生意，他以每件40元的价格购进一种商品，在销售过程中发现这种商品每天的销售量y （件）与每件的销售单价x （元）满足一次函数关系：y ＝﹣2x +140（x ＞40）．（1）若设每天的利润为w 元，请求出w 与x 的函数关系式；（2）若每天的销售量不少于44件，则销售单价定为多少元时，此时利润最大，最大利润是多少？ 4．某经销商经销一种封面为建党100周年的笔记本，每本进价为3元，按每本5元出售，每天可售出30本．调查发现这种笔记本销售单价每提高1元，每天的销售量就会减少3本． （1）当销售单价定为多少元时，该经销商每天销售这笔记本的销售利润为105元？（2）当销售单价定为多少元时，才能使该经销商每天销售这种笔记本所得的利润最大？最大利润是多少元？5．524红薯富含膳食纤维，维生素（A ，B ，C ，D ，E ）以及钾，铁等10余种微量元素，被营养学专家称为营养均衡的保健食品，深受广大消费者喜爱.某土特产批发店以30元/箱的价格进货.根据市场调查发现，批发价定位48元/箱时，每天可销售500箱，为保证市场占有率，决定降价销售，发现每箱降价1元，每天可增加销量50箱． （1）写出每天的利润w 与降价x 元的函数关系式； （2）当降价多少元时，每天可获得最大利润，为多少？ （3）要使每天的利润为9750元，并让利于民，应降价多少元？6．2022年冬奥会即将在北京召开，某网络经销商销售以冬奥会为主题的文化衫，平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了尽快减少库存、增加盈利，该经销商采取了降价措施，经过一段时间的销售发现，销售单价每降低1元，平均每天可多售出3件．（1）若降价x元，则平均每天销售数量为件（用含x的代数式表示）；（2）若该经销商每天获得利润1800元，则每件商品应降价多少元？（3）若每件盈利不少于24元，不多于36元，求该经销商每天获得的最高利润和最低利润分别为多少？二，二次函数几何综合（线段类）7．如图，已知直线y＝﹣23x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣23x2+bx+c经过A、B两点．（1）求这条抛物线的表达式；（2）直线x＝t与该抛物线交于点C，与线段AB交于点D（点D与点A、B不重合），与x轴交于点E，联结AC、BC．①当DECD＝AEOE时，求t的值；①当CD平分①ACB 时，求ABC的面积．8．已知抛物线y＝ax2+bx+3交y轴于点A，交x轴于点B(﹣3，0)和点C(1，0)，顶点为点M．（1）请求出抛物线的解析式和顶点M的坐标；（2）如图1，点E为x 轴上一动点，若AME的周长最小，请求出点E的坐标；（3）点F为直线AB上一个动点，点P 为抛物线上一个动点，若BFP为等腰直角三角形，请直接写出点P的坐标．9．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(-1，0)，B(3，0)两点，过点A的直线l交抛物线于点C(2，m)．（1）求抛物线的解析式．（2）点P是线段AC上一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，求线段PE最大时点P 的坐标．10．综合与探究如图，已知点B （3，0），C （0，-3），经过B ．C 两点的抛物线y =x 2-bx +c 与x 轴的另一个交点为A ．（1）求抛物线的解析式;（2）点D 在抛物线的对称轴上，当△ACD 的周长最小时，求点D 的坐标．（3）若点E （2，-3），在坐标平面内是否存在点P ，使以点A ，B ，E ，P 为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 11．综合与探究如图，已知抛物线24y ax bx =++经过(1,0)A -，(4,0)B 两点，交y 轴于点C ．（1）求抛物线的解析式，连接BC ，并求出直线BC 的解析式；（2）请在抛物线的对称轴上找一点P ，使AP PC +的值最小，此时点P 的坐标是 （3）点Q 在第一象限的抛物线上，连接CQ ，BQ ，求出①BCQ 面积的最大值．（4）点M 为x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N ，使得以A 、C 、M 、N 四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点，B ，C 两点的坐标分别为（3，0）和（0，3）． （1）直线BC 的解析式为________． （2）求抛物线所对应的函数解析式．（3）①顶点D 的坐标为________；①当0≤x ≤4时，二次函数的最大值为_______，最小值为__________．（4）若点M 是第一象限的抛物线上的点，过点M 作x 轴的垂线交BC 于点N ，求线段MN 的最大值．13．如图，已知抛物线2134y x bx =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，若已知B 点的坐标为B （6，0）．（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）在此抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使得PAC 的周长最小？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.（3）M 为线段BC 上方抛物线上一点，N 为线段BC 上的一点，若MN ①y 轴，求MN 的最大值；答案第1页，共2页参考答案1．（1）40元；（2）48元时， 3960元 2．（1）涨价5元（2）当涨价为152元时，利润最大，最大利润为6125元 3．（1）w ＝﹣2x 2+220x ﹣5600（x ＞40）（2）销售单价定为48元时，利润最大，最大利润是352元4．（1）10元或8元；（2）每本售价定为9元时，利润最大，最大利润是108元 5．（1）()2504009000018w x x x =-++≤≤，（2）当降价4元时，每天可获得最大利润，最大利润为9800（3）应降价5元 6．（1）（30+3x ）（2）每件商品应降价20元（3）该经销商每天获得的最高利润和最低利润分别为1875元，1512元7．（1）224233y x x =-++（2）①2；①548．（1）y =-x 2-2x +3；顶点M 的坐标为（-1，4）；（2）点E （-37，0）；（3）点P 的坐标为（2，-5）或（1，0）．9．（1）223y x x =--；（2）P 13(,)22-10．（1）223y x x =--；（2）点D 的坐标为()1,2-；（3）存在，1(2,3)P --，2(6,3)P -，3(0,3)P ．答案第2页，共2页11．（1）234y x x =-++；直线BC 的解析式为4y x =-+；（2）35,22P ⎛⎫⎪⎝⎭；（3）8；（4）存在，()3,4或4⎫-⎪⎪⎝⎭或4⎫-⎪⎪⎝⎭．12．（1）3y x =-+ ；（2）2y x 2x 3=-++ ；（3）①()1,4D；①4，-5；（4）9413．（1）抛物线解析式为2134y x x =-++，抛物线对称轴为直线2x =；（2）当P 点坐标为（2，2）时，使得①P AC 的长最小；（3）94。
中考数学 考点系统复习 第三章 函数 第八节 二次函数与几何综合题
如解图 1，连接 OP，
则 S△PBC＝S△OPC＋S△OPB－S△OBC，
1
1
1
＝2·OC·xp＋2·OB·yp－2·OB·OC
＝12×3×32＋12×4×7156－12×4×3
＝485，
45 ∴△PBC 的面积为 8 .
(3)①∵在△OBC 中，BC＜OC＋OB， ∴当动点 E 运动到终点 C 时，另一个动点 D 也停止运动，
(1)求 A，B，C 三点的坐标(用数字或含 m 的式子表示)； (2)已知点 Q 在抛物线的对称轴上，当△AFQ 的周长的最小值等于152时，
求 m 的值． 解：(1)由 x2－(m＋1)x＋m＝0 得 x＝m 或 1， ∴A(m，0)，B(1，0)，
∴对称轴为直线 x＝m＋2 1，∴Cm＋2 1，0.
(3)将点 D 向左平移 3 个单位，向上平移 1 个单位得到点 D′(－2，－a)， 如解图，
作点 F 关于 x 轴的对称点 F′，则点 F′的坐标为(0，a－1)，当满足条 件的点 M 落在 F′D′上时，由图象的平移知 DN＝D′M，故此时 FM＋ND 最小，理由：
∵FM＋ND＝F′M＋D′M＝F′D′＝2 10为最小，
∴当点 F，Q，B 三点共线时，FQ＋AQ 最小，此时△AFQ 的周长最小，如 解图．
∵△AFQ 的周长的最小值为152， ∴FQ＋AQ 的最小值为75，即 BF＝75. ∵OF2＋OB2＝BF2， ∴1－m2＋1＝4295，∴m＝±15. ∵－1<m<0，∴m＝－15.
类型二：二次函数与面积 问题
OT OE TE ∴△ETO∽△OEB，∴EB＝OB＝OE， ∴OE2＝OB·TE，∴3TE＝2455＝95， 解得 TE＝35， ∴OT＝ BE5＝65，∴E53，－65，
中考数学 考点系统复习 第三章 函数 第十节 二次函数与几何综合题
(2)若点 B 是抛物线对称轴上的一点，且点 B 在第一象限，当△OAB 的面积 为 15 时，求点 B 的坐标；
如答图①，∵点 B 是抛物线对称轴上的一点，且点 B 在第一象限， ∴设 B(2，m)(m＞0)，设直线 OA 的解析式为 y＝kx， 则 5k＝5，解得 k＝1， ∴直线 OA 的解析式为 y＝x，设直线 OA 与抛物线对称 轴交于点 H，则 H(2，2)，∴BH＝m－2，
2．(2022·北部湾)已知抛物线 y＝－x2＋2x＋3 与 x 轴交于 A，B 两点(点 A 在点 B 的左侧)． (1)求点 A，点 B 的坐标；
解：当 y＝0 时， －x2＋2x＋3＝0， ∴x1＝－1，x2＝3， ∴A(－1，0)，B(3，0)．
(2)如图，过点 A 的直线 l：y＝－x－1 与抛物线的另一个交点为 C，点 P 为抛物线对称轴上的一点，连接 PA，PC，设点 P 的纵坐标为 m，当 PA＝ PC 时，求 m 的值；
点 E 的坐标为(－1，0)，
∴AE＝4，OB＝3，CD＝2，
1
1
∴S△BCE＝S△ABE－S△ACE＝2AE·OB－2AE·CD
＝12×4×3－12×4×2＝2，
∴△BCE 的面积为 2.
3．(2022·广东)如图，抛物线 y＝x2＋bx＋c(b，c 是常数)的顶点为 C， 与 x 轴交于 A，B 两点，A(1，0)，AB＝4，点 P 为线段 AB 上的动点， 过点 P 作 PQ∥BC 交 AC 于点 Q.
第十节 二次函数与几何 综合题
类型一：二次函数与线段 问题
1．(2022·齐齐哈尔)如图，某一次函数与二次函数 y＝x2＋mx＋n 的图象 交点为 A(－1, 0)，B(4, 5)． (1)求抛物线的解析式；
二次函数与线段数量关系最值定值问题(学生版)
二次函数与几何综合专题----线段数量关系最值定值问题图形运动的过程中，求两条线段之间的函数关系，是中考数学的热点问题．产生两条线段间的函数关系，常见的情况有两种，一是勾股定理，二是比例关系．还有一种不常见的，就是线段全长等于部分线段之和．由比例线段产生的函数关系问题，在两种类型的题目中比较常用．一是由平行线产生的对于线段成比例，二是相似三角形的对应边成比例．一般步骤是先说理产生比例关系，再代入数值或表示数的字母，最后整理、变形，根据要求写出自变量取值范围．关键是寻找比例关系，难点是有的整理、变形比较繁琐，容易出错．【实例分析】1．如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，3OA OC ==，顶点为D ，对称轴交x 轴于点E ． （1）求抛物线的解析式、对称轴及顶点D 的坐标． （2）判断ACD 的形状，并说明理由．（3）如图2，在抛物线上有一动点P ，过点P 作PM x ⊥轴于点M ，交直线AC 于点N ，在线段PN 、MN 中，若其中一条线段是另一条线段的2倍，求点P 的坐标．（4）在抛物线上是否存在一点P ，使PA PC =，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由． （5）如图3，在抛物线的对称轴上的一点151,4H ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，过点H 的任一条与y 轴不平行的直线l 交抛物线于点M 、N ，说明MH NHMN⋅是否为定值？若是定值，请求出这个定值，若不是，请说明理由．2.抛物线y＝x2﹣2x+m的顶点A在x轴上，与y轴交于点B．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，直线CD∥AB交抛物线于C，D两点，若，求△COD的面积；（3）如图2，P为抛物线对称轴上顶点下方的一点，过点P作直线交抛物线于点E，F，交x轴于点M，求的值．3.如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3），抛物线的顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）若点E在x轴上，且∠ECB＝∠CBD，求点E的坐标．（3）若P是直线BC下方抛物线上任意一点，过点P作PH⊥x轴于点H，与BC交于点M．①求线段PM长度的最大值．②在①的条件下，若F为y轴上一动点，求PH+HF+CF的最小值．4.如图，抛物线与坐标轴分别交于A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在点P，使得∠CBP＝∠ACO，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）如图2，Q是△ABC内任意一点，求++的值．5.如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．（1）若C（0，﹣3），求抛物线的解析式；（2）在（1）的条件下，E是线段BC上一动点，AE交抛物线于F点，求的最大值；（3）如图2，点N为y轴上一点，AN、BN交抛物线于E、F两点，求•的值．6.如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求点A，B，C的坐标及抛物线的对称轴；（2）如图1，点P（1，m），Q（1，m﹣2）是两动点，分别连接PC，QB，请求出|PC﹣QB|的最大值，并求出m的值；（3）如图2，∠BAC的角平分线交y轴于点D，过D点的直线l与射线AB，AC分别于E，F，当直线l 绕点D旋转时，是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【课后练习】1.如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于原点O和点A，且其顶点B关于x轴的对称点坐标为（2，1）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）抛物线的对称轴上存在定点F，使得抛物线y＝ax2+bx+c上的任意一点G到定点F的距离与点G到直线y＝﹣2的距离总相等．①证明上述结论并求出点F的坐标；②过点F的直线l与抛物线y＝ax2+bx+c交于M，N两点．证明：当直线l绕点F旋转时，+是定值，并求出该定值；（3）点C（3，m）是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形PQBC周长最小，直接写出P，Q的坐标．2.抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，4）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式（用含a的式子表示）；（2）当a＞0时，连接AB，BC，若tan∠ABC＝，求a的值；（3）直线y＝﹣x+m与线段AB交于点P，与抛物线交于M，N两点（点M在点N的左侧），若PM•PN ＝6，求m的值．3.如图1，抛物线y＝ax2+bx经过点A（﹣5，0），点B（﹣1，﹣2）．（1）求抛物线解析式；（2）如图2，点P为抛物线上第三象限内一动点，过点Q（﹣4，0）作y轴的平行线，交直线AP于点M，交直线OP于点N，当点P运动时，4QM+QN的值是否变化？若变化，说明变化规律，若不变，求其值；（3）如图3，长度为的线段CD（点C在点D的左边）在射线AB上移动（点C在线段AB上），连接OD，过点C作CE∥OD交抛物线于点E，线段CD在移动的过程中，直线CE经过一定点F，直接写出定点F的坐标与的最小值．。
重难点 二次函数中的线段、周长与面积的最值问题及定值问题(解析版)--2024年中考数学
重难点二次函数中的线段、周长与面积的最值问题及定值问题目录题型01利用二次函数解决单线段的最值问题题型02利用二次函数解决两条线段之和的最值问题题型03利用二次函数解决两条线段之差的最值问题题型04利用二次函数解决三条线段之和的最值问题题型05利用二次函数解决三角形周长的最值问题题型06利用二次函数解决四边形周长的最值问题题型07利用二次函数解决图形面积的最值问题类型一利用割补、拼接法解决面积最值问题类型二利用用铅垂定理巧求斜三角形面积最值问题类型三构建平行线，利用同底等高解决面积最值问题题型08利用二次函数解决定值问题题型01利用二次函数解决单线段的最值问题【解题思路】抛物线中的线段最值问题有三种形式：1．平行于坐标轴的线段的最值问题：常通过线段两端点的坐标差表示线段长的函数关系式，运用二次函数性质求解．求最值时应注意：①当线段平行于y轴时，用上端点的纵坐标减去下端点的纵坐标；②当线段平行于x轴时，用右端点的横坐标减去左端点的横坐标．在确定最值时，函数自变量的取值范围应确定正确．1(2022·辽宁朝阳·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴分别交于点A(1，0)和点B，与y轴交于点C(0，-3)，连接BC．(1)求抛物线的解析式及点B 的坐标．(2)如图，点P 为线段BC 上的一个动点(点P 不与点B ，C 重合)，过点P 作y 轴的平行线交抛物线于点Q ，求线段PQ 长度的最大值．(3)动点P 以每秒2个单位长度的速度在线段BC 上由点C 向点B 运动，同时动点M 以每秒1个单位长度的速度在线段BO 上由点B 向点O 运动，在平面内是否存在点N ，使得以点P ，M ，B ，N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y =x 2+2x -3，(-3，0)(2)94(3)-3,-32或(-2，1)或0,3-32【分析】(1)将A ，C 两点坐标代入抛物线的解析式求得a ，c 的值，进而得出解析式，当y =0时，求出方程的解，进而求得B 点坐标；(2)由B ，C 两点求出BC 的解析式，进而设出点P 和点Q 坐标，表示出PQ 的长，进一步得出结果；(3)要使以点P ，M ，B ，N 为顶点的四边形是菱形，只需△PMB 是等腰三角形，所以分为PM =BM ，PM =PB 和BP =BM ，结合图象，进一步得出结果．【详解】(1)解：把点A (1，0)，C (0，-3)代入y =ax 2+2x +c 得：c =-3a +2×1+c =0 ，解得：c =-3a =1 ，∴抛物线解析式为y =x 2+2x -3；令y =0，则x 2+2x -3=0，解得：x 1=1,x 2=-3，∴点B 的坐标为(-3，0)；(2)解：设直线BC 的解析式为y =kx +b k ≠0 ，把点B (-3，0)，C (0，-3)代入得：b =-3-3k +b =0 ，解得：k =-1b =-3 ，∴直线BC 的解析式为y =-x -3，设点P m ,-m +3 ，则Q m ,m 2+2m -3 ，∴PQ =-m -3 -m 2+2m -3 =-m 2-3m =-m +322+94，∴当m =-32时，PQ 最大，最大值为94；(3)解：存在，根据题意得：PC =2t ,BM =t ，则PB =32-2t ，如图，当BM =PM 时，∵B (-3，0)，C (0，-3)，∴OB =OC =3，∴∠OCB =∠OBC =45°，延长NP 交y 轴于点D ，∵点P ，M ，B ，N 为顶点的四边形是菱形，∴PN ∥x 轴，BN ∥PM ，即DN ⊥y 轴，∴△CDP 为等腰直角三角形，∴CD =PD =PC ⋅sin ∠OCB =2t ×22=t ，∵BM =PM ，∴∠MPB =∠OBC =45°，∴∠PMO =∠PDO =∠MOD =90°，∴四边形OMPD 是矩形，∴OM =PD =t ，MP ⊥x 轴，∴BN ⊥x 轴，∵BM +OM =OB ，∴t +t =3，解得t =32，∴P -32,-32，∴N -3,-32；如图，当PM =PB 时，作PD ⊥y 轴于D ，连接PN ，∵点P ，M ，B ，N 为顶点的四边形是菱形，∴PN ⊥BM ，NE =PE ，∴BM =2BE ，∴∠OEP =∠DOE =∠ODP =90°，∴四边形PDOE 是矩形，∴OE =PD =t ，∴BE =3-t ，∴t =2(3-t )，解得：t =2，∴P (-2，-1)，∴N (-2，1)；如图，当PB =MB 时，32-2t =t ，解得：t =6-32，∴PN =BP =BM =6-32，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，∴PE ⊥PM ，∴∠EON =∠OEP =∠EPN =90°，∴四边形OEPN 为矩形，∴PN =OE ，PN ⊥y 轴，∵∠OBC =45°，∴BE =PE =PB ⋅sin ∠OBC =6-32 ×22=32-3，∴OE =OB -BE =3-32-3 =6-32，∴点N 在y 轴上，∴N 0,3-32 ，综上所述，点N 的坐标为-3,-32或(-2，1)或0,3-32 ．【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，用待定系数法求一次函数的解析式，等腰三角形的分类和等腰三角形的性质，菱形的性质等知识，解决问题的关键是正确分类，画出符合条件的图形．2(2021·西藏·统考中考真题)在平面直角坐标系中，抛物线y =-x 2+bx +c 与x 轴交于A ，B 两点．与y 轴交于点C ．且点A 的坐标为(-1，0)，点C 的坐标为(0，5)．(1)求该抛物线的解析式；(2)如图(甲)．若点P 是第一象限内抛物线上的一动点．当点P 到直线BC 的距离最大时，求点P 的坐标；(3)图(乙)中，若点M 是抛物线上一点，点N 是抛物线对称轴上一点，是否存在点M 使得以B ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y =-x 2+4x +5；(2)P 52，354；(3)存在，M 的坐标为：(3，8)或(-3，-16)或(7，-16)．【分析】(1)将A 的坐标(-1，0)，点C 的坐(0，5)代入y =-x 2+bx +c ，即可得抛物线的解析式为y =-x 2+4x +5；(2)过P 作PD ⊥x 轴于D ，交BC 于Q ，过P 作PH ⊥BC 于H ，由y =-x 2+4x +5可得B (5，0)，故OB =OC ，△BOC 是等腰直角三角形，可证明△PHQ 是等腰直角三角形，即知PH =PQ2，当PQ 最大时，PH 最大，设直线BC 解析式为y =kx +5，将B (5，0)代入得直线BC 解析式为y =-x +5，设P (m ，-m 2+4m +5)，(0<m <5)，则Q (m ，-m +5)，PQ =-m -52 2+254，故当m =52时，PH 最大，即点P 到直线BC的距离最大，此时P 52，354 ；(3)抛物线y =-x 2+4x +5对称轴为直线x =2，设M (s ，-s 2+4s +5)，N (2，t )，而B (5，0)，C (0，5)，①以MN 、BC 为对角线，则MN 、BC 的中点重合，可列方程组s +22=5+02-s 2+4s +5+t 2=0+52，即可解得M (3，8)，②以MB 、NC 为对角线，则MB 、NC 的中点重合，同理可得s +52=2+02-s 2+4s +4+02=t +52，解得M (-3，-16)，③以MC 、NB 为对角线，则MC 、NB 中点重合，则s +02=2+52-s 2+4s +5+52=t +02，解得M (7，-16)．【详解】解：(1)将A 的坐标(-1，0)，点C 的坐(0，5)代入y =-x 2+bx +c 得：0=-1-b +c 5=c ，解得b =4c =5 ，∴抛物线的解析式为y =-x 2+4x +5；(2)过P 作PD ⊥x 轴于D ，交BC 于Q ，过P 作PH ⊥BC 于H ，如图：在y =-x 2+4x +5中，令y =0得-x 2+4x +5=0，解得x =5或x =-1，∴B (5，0)，∴OB =OC ，△BOC 是等腰直角三角形，∴∠CBO =45°，∵PD ⊥x 轴，∴∠BQD =45°=∠PQH ，∴△PHQ 是等腰直角三角形，∴PH =PQ2，∴当PQ 最大时，PH 最大，设直线BC 解析式为y =kx +5，将B (5，0)代入得0=5k +5，∴k =-1，∴直线BC 解析式为y =-x +5，设P (m ，-m 2+4m +5)，(0<m <5)，则Q (m ，-m +5)，∴PQ =(-m 2+4m +5)-(-m +5)=-m 2+5m =-m -52 2+254，∵a =-1<0，∴当m =52时，PQ 最大为254，∴m =52时，PH 最大，即点P 到直线BC 的距离最大，此时P 52，354；(3)存在，理由如下：抛物线y =-x 2+4x +5对称轴为直线x =2，设M (s ，-s 2+4s +5)，N (2，t )，而B (5，0)，C (0，5)，①以MN 、BC 为对角线，则MN 、BC 的中点重合，如图：∴s +22=5+02-s 2+4s +5+t2=0+52，解得s =3t =-3 ，∴M (3，8)，②以MB 、NC 为对角线，则MB 、NC 的中点重合，如图：∴s +52=2+02-s 2+4s +4+02=t +52，解得s=-3t =-21 ，∴M (-3，-16)，③以MC 、NB 为对角线，则MC 、NB 中点重合，如图：s +02=2+52-s 2+4s +5+52=t +02，解得s =7t =-11 ，∴M (7，-16)；综上所述，M 的坐标为：(3，8)或(-3，-16)或(7，-16)．【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、函数图象上点坐标的特征、等腰直角三角形、平行四边形等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标和相关线段的长度．3(2021·山东泰安·统考中考真题)二次函数y =ax 2+bx +4(a ≠0)的图象经过点A (-4,0)，B (1,0)，与y 轴交于点C ，点P 为第二象限内抛物线上一点，连接BP 、AC ，交于点Q ，过点P 作PD ⊥x 轴于点D ．(1)求二次函数的表达式；(2)连接BC ，当∠DPB =2∠BCO 时，求直线BP 的表达式；(3)请判断：PQQB是否有最大值，如有请求出有最大值时点P 的坐标，如没有请说明理由．【答案】(1)y =-x 2-3x +4；(2)y =-158x +158；(3)PQ QB有最大值为45，P 点坐标为(-2,6)【分析】(1)将A (-4,0)，B (1,0)代入y =ax 2+bx +4(a ≠0)中，列出关于a 、b 的二元一次方程组，求出a 、b 的值即可；(2)设BP 与y 轴交于点E ，根据PD ⎳y 轴可知，∠DPB =∠OEB ，当∠DPB =2∠BCO ，即∠OEB =2∠BCO ，由此推断△OEB 为等腰三角形，设OE =a ，则CE =4-a ，所以BE =4-a ，由勾股定理得BE 2=OE 2+OB 2，解出点E 的坐标，用待定系数法确定出BP 的函数解析式即可；(3)设PD 与AC 交于点N ，过B 作y 轴的平行线与AC 相交于点M ．由A 、C 两点坐标可得AC 所在直线表达式，求得M 点坐标，则BM =5，由BM ⎳PN ，可得△PNQ ∽△BMQ ，PQ QB=PN BM =PN5，设P (a 0,-a 20-3a 0+4)(-4<a 0<0)，则N (a 0,a 0+4)PQ QB =-a 20-3a 0+4-(a 0+4)5=-a 20-4a 05=-(a 0+2)2+45，根据二次函数性质求解即可．【详解】解：(1)由题意可得：a ⋅(-4)2+b ⋅(-4)+4=0a +b +4=0解得：a =-1b =-3 ，∴二次函数的表达式为y =-x 2-3x +4；(2)设BP 与y 轴交于点E ，∵PD ⎳y 轴，∴∠DPB =∠OEB ，∵∠DPB =2∠BCO ，∴∠OEB =2∠BCO ，∴∠ECB =∠EBC ，∴BE =CE ，设OE =a ，则CE =4-a ，∴BE =4-a ，在Rt △BOE 中，由勾股定理得BE 2=OE 2+OB 2，∴(4-a )2=a 2+12解得a =158，∴E 0,158，设BE 所在直线表达式为y =kx +e (k ≠0)∴k ⋅0+e =158,k ⋅1+e =0.解得k =-158,e =158. ∴直线BP 的表达式为y =-158x +158．(3)设PD 与AC 交于点N ．过B 作y 轴的平行线与AC 相交于点M ．由A 、C 两点坐标分别为(-4,0)，(0,4)可得AC 所在直线表达式为y =x +4∴M 点坐标为(1,5)，BM =5由BM ⎳PN ，可得△PNQ ∽△BMQ ，∴PQ QB=PN BM =PN 5设P (a 0,-a 20-3a 0+4)(-4<a 0<0)，则N (a 0,a 0+4)∴PQ QB=-a 20-3a 0+4-(a 0+4)5=-a 20-4a 05=-(a 0+2)2+45，∴当a 0=-2时，PQQB 有最大值0.8，此时P 点坐标为(-2,6)．【点睛】本题主要考查二次函数以及一次函数解析式的确定，函数图像的性质，相似三角形，勾股定理等知识点，熟练运用待定系数法求函数解析式是解题关键，本题综合性强，涉及知识面广，难度较大，属于中考压轴题．4(2020·辽宁阜新·中考真题)如图，二次函数y =x 2+bx +c 的图象交x 轴于点A -3,0 ，B 1,0 ，交y 轴于点C ．点P m ,0 是x 轴上的一动点，PM ⊥x 轴，交直线AC 于点M ，交抛物线于点N ．(1)求这个二次函数的表达式；(2)①若点P 仅在线段AO 上运动，如图1．求线段MN 的最大值；②若点P 在x 轴上运动，则在y 轴上是否存在点Q ，使以M ，N ，C ，Q 为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y =x 2+2x -3；(2)①94，②存在，Q 1(0,-32-1),Q 2(0,32-1)【分析】(1)把A (-3,0),B (1,0)代入y =x 2+bx +c 中求出b ，c 的值即可；(2)①由点P m ,0 得M (m ,-m -3),N m ,m 2+2m -3 ，从而得MN =(-m -3)-m 2+2m -3 ，整理，化为顶点式即可得到结论；②分MN =MC 和MC =2MN 两种情况，根据菱形的性质得到关于m 的方程，求解即可．【详解】解：(1)把A (-3,0),B (1,0)代入y =x 2+bx +c 中，得0=9-3b +c ,0=1+x +c .解得b =2,c =-3. ∴y =x 2+2x -3．(2)设直线AC 的表达式为y =kx +b ，把A (-3,0),C (0,-3)代入y =kx +b ．得，0=-3k +b ,-3=b . 解这个方程组，得k =-1,b =-3. ∴y =-x -3．∵点P m ,0 是x 轴上的一动点，且PM ⊥x 轴．∴M (m ,-m -3),N m ,m 2+2m -3 ． ∴MN =(-m -3)-m 2+2m -3 =-m 2-3m=-m +32 2+94．∵a =-1<0，∴此函数有最大值．又∵点P 在线段OA 上运动，且-3<-32<0∴当m =-32时，MN 有最大值94． ②∵点P m ,0 是x 轴上的一动点，且PM ⊥x 轴．∴M (m ,-m -3),N m ,m 2+2m -3 ． ∴MN =(-m -3)-m 2+2m -3 =-m 2-3m(i )当以M ，N ，C ，Q 为顶点的四边形为菱形，则有MN =MC ，如图，∵C (0，-3)∴MC =(m -0)2+(-m -3+3)2=2m 2∴-m 2-3m =2m 2整理得，m 4+6m 3+7m 2=0∵m 2≠0，∴m 2+6m +7=0，解得，m 1=-3+2，m 2=-3-2∴当m =-3+2时，CQ =MN =32-2，∴OQ =-3-(32-2)=-32-1∴Q (0，-32-1)；当m =-3-2时，CQ =MN =-32-2，∴OQ =-3-(-32-2)=32-1∴Q (0，32-1)；(ii )若MC =2MN ，如图，则有-m 2-3m =22×2m 2整理得，m 2+4m =0解得，m 1=-4，m 2=0(均不符合实际，舍去)综上所述，点Q 的坐标为Q 1(0,-32-1),Q 2(0,32-1)【点睛】本题考查了二次函数综合题，解(1)的关键是待定系数法；解(2)的关键是利用线段的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，解(3)的关键是利用菱形的性质得出关于m 的方程，要分类讨论，以防遗漏．5(2020·天津·中考真题)已知点A (1,0)是抛物线y =ax 2+bx +m (a ,b ,m 为常数，a ≠0,m <0)与x 轴的一个交点．(1)当a =1,m =-3时，求该抛物线的顶点坐标；(2)若抛物线与x 轴的另一个交点为M (m ,0)，与y 轴的交点为C ，过点C 作直线l 平行于x 轴，E 是直线l 上的动点，F 是y 轴上的动点，EF =22．①当点E 落在抛物线上(不与点C 重合)，且AE =EF 时，求点F 的坐标；②取EF 的中点N ，当m 为何值时，MN 的最小值是22？【答案】(1)抛物线的顶点坐标为(-1,-4)；(2)①点F 的坐标为(0,-2-7)或(0,-2+7)；②当m 的值为-32或-12时，MN 的最小值是22．【分析】(1)根据a =1,m =-3，则抛物线的解析式为y =x 2+bx -3，再将点A (1，0)代入y =x 2+bx -3，求出b 的值，从而得到抛物线的解析式，进一步可求出抛物线的顶点坐标；(2)①首先用含有m 的代数式表示出抛物线的解析式，求出C (0,m )，点E (m +1,m ).过点A 作AH ⊥l 于点H ,在Rt △EAH 中，利用勾股定理求出AE 的值，再根据AE =EF ，EF =22，可求出m 的值，进一步求出F 的坐标；②首先用含m 的代数式表示出MC 的长，然后分情况讨论MN 什么时候有最值.【详解】解：(1)当a =1，m =-3时，抛物线的解析式为y =x 2+bx -3．∵抛物线经过点A (1,0)，∴0=1+b-3．解得b=2．∴抛物线的解析式为y=x2+2x-3．∵y=x2+2x-3=(x+1)2-4，∴抛物线的顶点坐标为(-1,-4)．(2)①∵抛物线y=ax2+bx+m经过点A(1,0)和M(m,0)，m<0，∴0=a+b+m，0=am2+bm+m，即am+b+1=0．∴a=1，b=-m-1．∴抛物线的解析式为y=x2-(m+1)x+m．根据题意，得点C(0,m)，点E(m+1,m)．过点A作AH⊥l于点H．由点A(1,0)，得点H(1,m)．在Rt△EAH中，EH=1-(m+1)=-m，HA=0-m=-m，∴AE=EH2+HA2=-2m．∵AE=EF=22，∴-2m=22．解得m=-2．此时，点E(-1,-2)，点C(0,-2)，有EC=1．∵点F在y轴上，∴在Rt△EFC中，CF=EF2-EC2=7．∴点F的坐标为(0,-2-7)或(0,-2+7)．②由N是EF的中点，得CN=12EF=2．根据题意，点N在以点C为圆心、2为半径的圆上．由点M(m,0)，点C(0,m)，得MO=-m，CO=-m．∴在Rt△MCO中，MC=MO2+CO2=-2m．当MC≥2，即m≤-1时，满足条件的点N落在线段MC上，MN的最小值为MC-NC=-2m-2=22，解得m=-3 2；当MC<2，-1<m<0时，满足条件的点N落在线段CM的延长线上，MN的最小值为NC-MC=2-(-2m)=22，解得m=-1 2．∴当m的值为-32或-12时，MN的最小值是22．【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线上的点的坐标满足抛物线方程等，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．．6(2023·重庆·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=14x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中B3,0，C0,-3．(1)求该抛物线的表达式；(2)点P 是直线AC 下方抛物线上一动点，过点P 作PD ⊥AC 于点D ，求PD 的最大值及此时点P 的坐标；(3)在(2)的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，点E 为点P 的对应点，平移后的抛物线与y 轴交于点F ，Q 为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以QF 为腰的△QEF 是等腰三角形的点Q 的坐标，并把求其中一个点Q 的坐标的过程写出来．【答案】(1)y =14x 2+14x -3(2)PD 取得最大值为45，P -2,-52 (3)Q 点的坐标为92,-1 或92,5 或92,74．【分析】(1)待定系数法求二次函数解析式即可求解；(2)直线AC 的解析式为y =-34x -3，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，交AC 于点Q ，设P t ,14t 2+14t -3 ，则Q t ,-34t -3 ，则PD =45PQ ，进而根据二次函数的性质即可求解；(3)根据平移的性质得出y =14x -92 2-4916，对称轴为直线x =92，点P -2,-52 向右平移5个单位得到E 3,-52 ，F 0,2 ，勾股定理分别表示出EF 2,QE 2,QF 2，进而分类讨论即可求解．【详解】(1)解：将点B 3,0 ，C 0,-3 ．代入y =14x 2+bx +c 得，14×32+3b +c =0c =-3解得：b =14c =-3 ，∴抛物线解析式为：y =14x 2+14x -3，(2)∵y =14x 2+14x -3与x 轴交于点A ，B ，当y =0时，14x 2+14x -3=0解得：x 1=-4,x 2=3，∴A -4,0 ,∵C 0,-3 ．设直线AC 的解析式为y =kx -3，∴-4k -3=0解得：k =-34∴直线AC 的解析式为y =-34x -3，如图所示，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，交AC 于点Q ，设P t ,14t 2+14t -3 ，则Q t ,-34t -3 ，∴PQ =-34t -3-14t 2+14t -3 =-14t 2-t ，∵∠AQE =∠PQD ，∠AEQ =∠QDP =90°，∴∠OAC =∠QPD ，∵OA =4,OC =3，∴AC =5，∴cos ∠QPD =PD PQ =cos ∠OAC =AO AC=45，∴PD =45PQ =45-14t 2-t =-15t 2-45t =-15t +2 2+45，∴当t =-2时，PD 取得最大值为45，14t 2+14t -3=14×-2 2+14×-2 -3=-52，∴P -2,-52 ；(3)∵抛物线y =14x 2+14x -3=14x +12 2-4916将该抛物线向右平移5个单位，得到y =14x -92 2-4916，对称轴为直线x =92，点P -2,-52 向右平移5个单位得到E 3,-52 ∵平移后的抛物线与y 轴交于点F ，令x =0，则y =14×92 2-4916=2，∴F 0,2 ,∴EF 2=32+2+52 2=1174∵Q 为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．则Q 点的横坐标为92，设Q 92,m ，∴QE 2=92-3 2+m +52 2，QF 2=92 2+m -2 2，当QF =EF 时，92 2+m -2 2=1174，解得：m =-1或m =5，当QE =QF 时，92-3 2+m +522=92 2+m -2 2，解得：m =74综上所述，Q 点的坐标为92,-1 或92,5 或92,74．【点睛】本题考查了二次函数综合问题，解直角三角形，待定系数法求解析式，二次函数的平移，线段周长问题，特殊三角形问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．题型02利用二次函数解决两条线段之和的最值问题【解题思路】抛物线中的线段最值问题有三种形式：2. 两条线段和的最值问题：解决这类问题最基本的定理就是“两点之间线段最短”，解决这类问题的方法是：作其中一个定点关于已知直线的对称点，连接对称点与另一个定点，它们与已知直线的交点即为所求的点. 其变形问题有三角形周长最小或四边形周长最小等.【常见模型一】(两点在河的异侧)：在直线L上找一点M，使PA+PB的值最小.方法：如右图，连接AB，与直线L交于点M,在M处渡河距离最短，最短距离为线段AB的长。
二次函数综合问题专题复习之线段问题课件
2
2
当x=0时，y=-2
l
y
(2)设点E为x轴上一点,且AE=CE ,求点E的坐标;
2
2
x=
3
2
3
∴点E的坐标为（ ,0）
2
1
5
∴ 函数解析式为y = - x + x - 2.
2
2
2
二次函数综合题•类型一 线段问题
02
两点在坐标轴上或平
行于坐标轴的直线上
两点不在坐标轴上
y
y
M
y1-y2
N
若不存在，请说明理由；
②当△PDC与△COA相似时，求点P的坐标．
01
年份
2018
2017
2015
历年考点再现
乌鲁木齐卷
乌鲁木齐卷
自治区卷
题号
24
24
23
分值
12-4
12-4
13 -4
考点
二次函数综合题之线段问题
1.一条线段的最值问题.
2.两条线段之和的最值问题.
3.三条线段之和（三角形周长）的最值问题.
B（4，m）两点，且抛物线经过点C（5，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上的一个动点（不与点A、点B重合）
过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB于点E．
①当PE=2ED时，求P点坐标；
②是否存在点P使△BEC为等腰三角形？若存在请直接写出点P的坐标；
若不存在，请说明理由．
01
1
2
D,对称轴为直线l.
AE= 4-x
∵
解：设E（x,0）
∴ AE= 4-x = x +4
二次函数与线段问题
二次函数与线段问题一、引言二次函数与线段问题是高中数学中的重要内容，也是考试中常出现的题型。
本文将介绍二次函数与线段问题的相关知识，并提供一个全面详细的函数来解决这类问题。
二、二次函数基础知识1. 二次函数的定义二次函数是指形如y=ax²+bx+c（a≠0）的函数，其中a、b、c为常数，x为自变量，y为因变量。
2. 二次函数图像当a>0时，二次函数图像开口向上；当a<0时，二次函数图像开口向下。
对于所有的二次函数图像来说，都有一个最值点（顶点），其横坐标为-x轴上的值-b/2a，纵坐标为f(-b/2a)。
3. 二次函数性质（1）对称轴：对于任意一条经过顶点且垂直于x轴的直线l，它将平面分成两个部分，在这两个部分上y值相等的点在对称轴上关于顶点对称。
（2）奇偶性：当a=0时，f(x)=bx+c是一个一次函数；当b=0时，f(x)=ax²+c是一个偶函数；当c=0时，f(x)=ax²+bx是一个奇函数。
（3）零点：二次函数的零点可以通过求解ax²+bx+c=0的解得，其中Δ=b²-4ac称为判别式。
当Δ>0时，有两个不相等的实数根；当Δ=0时，有两个相等的实数根；当Δ<0时，有两个共轭复数根。
三、线段基础知识1. 线段的定义线段是指在平面直角坐标系上由两个端点A(x1,y1)和B(x2,y2)确定的一条有限长的直线部分。
2. 线段长度公式线段AB的长度可以用勾股定理求得：AB=√[(x2-x1)²+(y2-y1)²]。
3. 线段中点公式线段AB的中点M坐标为[(x1+x2)/2,(y1+y2)/2]。
四、二次函数与线段问题综合应用在实际问题中，我们经常需要用到二次函数和线段知识来解决问题。
下面我们将通过一个例题来详细介绍如何应用这些知识。
例题：已知二次函数f(x)=x²-6x+9和直线y=-3x+12，求它们之间距离最短时，距离为多少？解题思路：（1）画出二次函数f(x)=x²-6x+9的图像，并求出顶点坐标。
二次函数求线段最值问题
二次函数求线段最值问题二次函数是高中数学的一个重要内容，本文将会详细介绍二次函数以及如何利用二次函数解决线段最值问题。
一、二次函数的基本概念1.二次函数的定义二次函数是指形式为y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c为常数，且a不等于零。
其中，a决定了二次函数的开口方向（是向上开口还是向下开口），b决定了二次函数的对称轴，c是二次函数的纵坐标系原点和曲线的纵坐标的距离。
2.二次函数的图像根据二次函数的定义，我们可以画出二次函数的图像。
当a大于0时，二次函数开口向上；当a小于0时，二次函数开口向下。
b决定了二次函数的对称轴，对称轴的方程是x=-b/2a。
3.二次函数的最值针对二次函数，我们通常关心的是它的最值问题，也就是函数的峰值和谷值。
对于开口向上的二次函数，它的最小值处于对称轴上；对于开口向下的二次函数，它的最大值处于对称轴上。
二、利用二次函数求线段最值的步骤1.确定二次函数的表达式首先，我们需要明确给定线段的条件，确定二次函数的表达式。
例如，给定线段为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c是待确定的系数。
2.求二次函数的对称轴根据二次函数的定义，可以通过计算-b/2a来求得对称轴的横坐标。
3.求二次函数的最值通过求解对应二次函数的最值问题，可以得到线段的最值。
需要将对称轴的横坐标代入二次函数的表达式中，计算出最值对应的纵坐标。
三、例题解析下面通过一个具体的例题，来说明如何利用二次函数求解线段最值的问题。
例题：给定线段y=x^2-4x+5上的点M(-2, 13)，求线段上的最小值。
解析：根据题意，给定线段的二次函数表达式为y=x^2-4x+5。
1.求对称轴根据二次函数的定义，可以通过计算-b/2a来求得对称轴的横坐标。
本题中，a=1，b=-4，所以对称轴的横坐标为x=-(-4)/2*1=2。
2.求最小值线段的最小值处于对称轴上，对应的纵坐标可以通过将对称轴的横坐标代入二次函数的表达式中，计算出最小值对应的纵坐标。
二次函数与线段问题
二次函数与线段问题1.已知抛物线经过点A(－1,0)、B(3,0)、C(0,－3).(Ⅰ)求抛物线的解析式及其顶点D的坐标;(Ⅱ)直线CD交x轴于点E,过抛物线上在对称轴右边的点P,作y轴的平行线交x轴于点F,交直线CD于点M,使PM=2EF,5请求出点P的坐标;(Ⅲ)将抛物线沿对称轴平移,要使抛物线与(Ⅱ)中的线段EM 总有交点,那么抛物线向上最多平移多少个单位长度?向下最多平移多少个单位长度?解:(Ⅰ)设抛物线解析式为y=a(x＋1)(x－3),把点C(0,－3)代入得:a×1×(－3)=－3,解得a=1,∴抛物线解析式为y=(x＋1)(x－3),即y =x 2－2x －3,∵y =x 2－2x －3=(x －1)2－4, ∴顶点D 的坐标为(1,－4);(Ⅱ)如解图,设直线CD 的解析式为y =kx ＋b , 把点C (0,－3),D (1,－4)代入得34b k b =-⎧⎨+=-⎩,解得13k b =⎧⎨=⎩－－, ∴直线CD 的解析式为y =－x －3, 当y =0时,－x －3=0, 解得x =－3, 则E (－3,0),设P (t ,t 2－2t －3)(t ＞1), 则M (t ,－t －3),F(t ,0),∴EF =t ＋3,PM =t 2－2t －3－(－t －3)=t 2－t ,而PM=25EF,∴t2－t=25(t＋3),整理得5t2－7t－6=0,解得t1=－35(舍去),t2=2,当t=2时,t2－2t－3=22－2×2－3=－3, ∴点P坐标为(2,－3);第1题解图(Ⅲ)当t=2时,点M的坐标为(2,－5),设平移后的抛物线解析式为y=x2－2x－3＋m,当抛物线y=x2－2x－3＋m与直线y=－x－3有唯一公共点时, 令方程x2－2x－3＋m=－x－3,即x2－x＋m=0有两个相等的实数解,则b2－4ac=1－4m=0,解得m=14;若抛物线y=x2－2x－3＋m经过点M(2,－5),则4－4－3＋m=－5,解得m=－2;若抛物线y=x2－2x－3＋m经过点E(－3,0),则9－2×(－3)－3＋m=0,解得m=－12,∴抛物线向上最多平移14个单位长度,向下最多平移12个单位长度.2. 已知抛物线y=12(x－3)2－1与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,顶点为D.(Ⅰ)试求点A,B,D的坐标;(Ⅱ)连接CD,过原点O作OE⊥CD与抛物线的对称轴交于点E,求OE的长;(Ⅲ)以(Ⅱ)中的点E为圆心,1为半径画圆,在对称轴右侧的抛物线上有一动点P,过点P作⊙E的切线,切点为Q,当PQ的长最小时,求点P的坐标.解:(Ⅰ)由y=0得12(x－3)2－1=0,解得x1=3x2=3又∵点A在点B的左侧,∴A点坐标为(3B点坐标为(3由抛物线解析式y=12(x－3)2－1可得顶点D的坐标为(3,－1); (Ⅱ)如解图①,过点D作DG⊥y轴于点G,设CD与x轴交于点F,ED交x轴于点M,由题意可得,∠DCG＋∠COF=90°,∠EOM＋∠COF=90°, ∴∠DCG=∠EOM,又∵∠CGD=∠OME=90°,∴△CDG∽△OEM,∴CGOM=DGEM,即32=3EM,∴EM=2,∴E点坐标为(3,2),∴OE;(Ⅲ)如解图②,由⊙E的半径为1,由勾股定理得PQ2=EP2－1,要使切线长PQ最小,只需EP长最小,即EP2最小,设P点坐标为(x,y),则PQ=x－3,EQ=2－y,∴由勾股定理得EP2=(x－3)2＋(2－y)2,∵y=12(x－3)2－1,∴(x－3)2=2y＋2,∴EP2=2y＋2＋y2－4y＋4=(y－1)2＋5, 当y=1时,EP2为最小值,将y=1代入y=12(x－3)2－1,得x1=5,x2=1, ∴P点坐标为(1,1)或(5,1).∵点P在对称轴右侧的抛物线上,∴x2=1舍去,∴P(5,1).图①图②第2题解图3.已知抛物线y=－14x2－12x＋34与x轴交于A,C两点(点A在点C的左边),直线y=kx＋b(k≠0)分别交x轴,y轴于A,B两点,且除了点A之外,该直线与抛物线没有其他任何交点. (Ⅰ)求A,C两点的坐标;(Ⅱ)求k,b的值;(Ⅲ)设点P是抛物线上的动点,过点P作直线y=kx＋b(k≠0)的垂线,垂足为H,交抛物线的对称轴于点D,求PH＋DH的最小值,并求出此时点P的坐标.解:(Ⅰ)令y=0,即－14x2－12x＋34=0,解得x1=－3,x2=1,∵点A在点C的左边,∴A(－3,0),C(1,0); (Ⅱ)把A(－3,0)代入y=kx＋b,得－3k＋b=0,解得b =3k ,联立2113424y x x y kx b⎧=--+⎪⎨⎪=+⎩,得－14x 2－12x ＋34=kx ＋b ,即x 2＋(2＋4k )x －3＋4b =0,∵直线y =kx ＋b 与抛物线有唯一公共点, ∴由根的判别式得(2＋4k )2－4(4b －3)=0,把b =3k 代入(2＋4k )2－4(4b －3)=0,得(2＋4k )2－4(12k －3)=0, 解得k =1, ∴b =3;(Ⅲ)如解图,过点H 作HG ⊥对称轴于点G ,过点P 作PF ⊥对称轴于点F ,设直线AB 与抛物线的对称轴交于点E ,对称轴与x 轴交于点M ,由题意知,抛物线对称轴为x =－1, 由(Ⅱ)知,直线AB 的解析式为y =x ＋3,由直线AB 知∠EAO =∠EHG =∠AEM =∠FPD =∠PDF =45°. 当x =－1时,y =x ＋3=2,即E (－1,2).设P (x ,－14x 2－12x ＋34),则PF =FD =－1－x ,ED =EM ＋MF ＋FD =2－(－14x 2－12x ＋34)＋(－1－x )=14x 2－12x ＋14, PD－1－x ),∴DH =HE=2ED=2(14x 2－12x ＋14),∴PH ＋DH =DH －PD ＋DH =2DH －PD14x 2－12x ＋14)－x －1)=4x 2＋2x＋4,当x =－2ba=－1时,PH ＋DH 取得最小值,最小值为244ac ba=2,此时点P的坐标为(－1,1).第3题解图4.已知,一抛物线过原点和点A3与x轴交于点B,△AOB3(Ⅰ)求过点A、O、B的抛物线解析式;(Ⅱ)在抛物线的对称轴上找到一点M,使得△AOM的周长最小,求△AOM周长的最小值;(Ⅲ)点F为x轴上一动点,过点F作x轴的垂线,交直线AB于点E,交抛物线于点P,是否存在点F,使线段PE=233？若存在,直接写出点F 的坐标;若不存在,请说明理由. 解:(Ⅰ)过点A 作AC ⊥x 轴于点C ,如解图①, ∵A∴AC∵S △AOB =12BO ·AC =12BO∴BO =2, ∴B (－2,0).由题意可设抛物线解析式为y =ax 2＋bx ,把A 、B坐标代入可得420a b a b ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩,解得33a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,∴过A 、B 、O 三点的抛物线的解析式为y=3x 2＋3x ;(Ⅱ)由(Ⅰ)可求得抛物线的对称轴为直线x =－1, 设直线AB 交对称轴于点M ,如解图②,连接OM , ∵OA 长为定值,∴△AOM 周长的最小值即为OM ＋AM 的最小值, ∵B 、O 两点关于对称轴对称, ∴MO =MB .∴A ,M ,B 三点共线时,OM ＋AM 最小. 设直线AB 的解析式为y =kx ＋b ,把A 、B两点的坐标代入可得20k b k b ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩,解得33k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,∴直线AB 的解析式为y=3x＋3,当x =－1时,y=3, ∴点M 的坐标为(－1,3). 由勾股定理可求得AB=AO2=,∴△AOM 周长的最小值为AM ＋MO ＋AO =AB ＋AO2;(Ⅲ)存在.点F 的坐标为(0,0)或(－1,0)或(12-+,0)或(12--,0). 【解法提示】假设存在满足条件的点F ,设其坐标为(x ,0), 则E (x, 3x＋3),P (x,3x 2＋3x ),如解图③,①当－2≤x ≤0时,PE =PF ＋EF =－(3x 2＋3x )＋3x ＋3=3-x 2－3x＋3, 由PE=3得－3x 2－3x＋3=3,解得x 1=0,x 2=－1, 当x =0时,点P 与点F 重合,点F 的坐标为(0,0); 当x =－1时,点F 的坐标为(－1,0); ②当0＜x ≤1时,此时PE恒小于3; ③当x ＞1或x ＜－2时,PE =PF －EF=3x 2＋3x －(3x＋3)=3x 2＋3x－3, 由PE=3得3x 2＋3x－3=3, 解得x 1=12-+,x 2=12--,∴点F 的坐标为(12-+,0)或(12--,0).综上所述:点F的坐标为(0,0)或(－1,0)或(1172-+,0)或(1172--,0).图①图②图③第4题解图5.已知直线y=5x＋5交x轴于点A,交y轴于点C,过A,C两点的二次函数y=ax2＋4x＋c的图象交x轴于另一点B.(Ⅰ)求二次函数的表达式;(Ⅱ)连接BC,点N是线段BC上的动点,作ND⊥x轴交二次函数的图象于点D,求线段ND长度的最大值;(Ⅲ)若点H为二次函数y=ax2＋4x＋c图象的顶点,点M(4,m)是该二次函数图象上一点,在x轴,y轴上分别找点F,E,使四边形HEFM的周长最小,求出点F、E的坐标.解:(Ⅰ)∵直线y=5x＋5交x轴于点A,交y轴于点C,∴A(－1,0),C(0,5),∵二次函数y=ax2＋4x＋c的图象过A,C两点,∴405a cc-+=⎧⎨=⎩,解得15ac=-⎧⎨=⎩,∴二次函数的表达式为y=－x2＋4x＋5;(Ⅱ)如解图①,∵点B是二次函数的图象与x轴的交点,∴由二次函数的表达式为y=－x2＋4x＋5得点B的坐标为B(5,0),设直线BC解析式为y=kx＋b,∵直线BC过点B(5,0),C(0,5),∴505k bb+=⎧⎨=⎩,解得15kb=-⎧⎨=⎩,∴直线BC解析式为y=－x＋5,设ND的长为d,N点的横坐标为n, 则N点的坐标为(n,－n＋5),D点的坐标为(n,－n2＋4n＋5),则d=|－n2＋4n＋5－(－n＋5)|,由题意可知:－n2＋4n＋5＞－n＋5,∴d=－n2＋4n＋5－(－n＋5)=－n2＋5n=－(n－52)2＋254,∴当n=52时,线段ND长度的最大值是254;(Ⅲ)∵点M(4,m)在抛物线y=－x2＋4x＋5上,∴m=5,∴M(4,5). ∵抛物线y=－x2＋4x＋5=－(x－2)2＋9,∴顶点坐标为H(2,9),如解图②,作点H(2,9)关于y轴的对称点H1,则点H1的坐标为H1(－2,9);作点M(4,5)关于x轴的对称点M1,则点M1的坐标为M1(4,－5),连接H1M1分别交x轴于点F,y轴于点E,∴H1M1＋HM的长度是四边形HEFM的最小周长,则点F,E即为所求的点.设直线H1M1的函数表达式为y=mx＋n,∵直线H1M1过点H1(－2,9),M1(4,－5),∴9254m nm n=-+⎧⎨-=+⎩,解得73133mn⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,∴y=－73x＋133,∴当x=0时,y=133,即点E坐标为(0,133),当y=0时,x=137,即点F坐标为(137,0),故所求点F,E的坐标分别为(137,0),(0,133).图①图②第5题解图6.已知抛物线y=－x2＋bx＋c与x轴交于A(－1,0),B(－3,0)两点,与y轴交于点C.(Ⅰ)求抛物线的解析式;(Ⅱ)设抛物线的顶点为D,点P在抛物线的对称轴上,且∠APD=∠ACB,求点P的坐标;(Ⅲ)点Q是直线BC上方抛物线上的动点,求点Q到直线BC 的距离最大时点Q的坐标.解:(Ⅰ)∵抛物线y=－x2＋bx＋c经过A(－1,0),B(－3,0),∴01093b cb c=--+⎧⎨=--+⎩,解得43bc=-⎧⎨=-⎩,∴抛物线的解析式为y=－x2－4x－3;(Ⅱ)由y=－x2－4x－3可得D(－2,1),C(0,－3),∴OB=3,OC=3,OA=1,AB=2,可得△OBC是等腰直角三角形, ∴∠OBC=45°,CB如解图①,设抛物线的对称轴与x轴交于点F,∴AF=12AB=1,设直线BC与对称轴的交点为E,连接AE,AC,∵EF=1=AF,则有∠BAE=∠OBC=45°,∴∠AEB=90°,∴BE=AECE在△AEC与△AFP中,∠AEC=∠AFP=90°,∠ACE=∠APF, ∴△AEC∽△AFP,∴AE CEAF PF=,即1PF=,解得PF=2.∵点P在抛物线的对称轴上,∴点P的坐标为(－2,2)或(－2,－2);(Ⅲ)设直线BC的解析式为y=kx＋b(k≠0),直线BC经过B(－3,0),C(0,－3),∴033k bb=-+⎧⎨-=⎩,解得13kb=-⎧⎨=-⎩,∴直线BC的解析式为y=－x－3.如解图②,设点Q(m,n),过点Q作QH⊥BC于点H,并过点Q作QS∥y轴交直线BC于点S,则S点坐标为(m,－m－3),∴QS=n－(－m－3)=n＋m＋3.∵点Q(m,n)在抛物线y=－x2－4x－3上,∴n=－m2－4m－3,∴QS=－m2－4m－3＋m＋3=－m2－3m=－(m＋32)2＋94,当m=32时,QS有最大值94.∵BO=OC,∠BOC=90°,∴∠OCB=45°,∵QS∥y轴,∴∠QSH=∠OCB=45°,∴△QHS是等腰直角三角形,∴当斜边QS最大时,QH最大.∵当m=－32时,QS最大,此时n=－m2－4m－3=－94＋6－3=34,即Q(－32,34),∴当点Q的坐标为(－32,34)时,点Q到直线BC的距离最大.图①图②第6题解图7.已知,直线y=kx＋b(k、b为常数)分别与x轴、y轴交于点A(－4,0)、B(0,3),抛物线y=－x2＋2x＋1与y轴交于点C. (Ⅰ)求直线y=kx＋b的函数解析式;(Ⅱ)若点P(m,t)是抛物线y=－x2＋2x＋1上的任意一点,设点P 到直线AB的距离为d,求d关于x的函数解析式,并求d取最小值时m的值;(Ⅲ)若点E在抛物线y=－x2＋2x＋1的对称轴上移动,点F在直线AB上移动,求CE＋EF的最小值.解:(Ⅰ)∵直线y=kx＋b经过点A(－4,0),B(0,3),∴043k bb=+⎧⎨=⎩－,解得343kb⎧=⎪⎨⎪=⎩,∴直线的解析式为y=34x＋3;(Ⅱ)如解图,过点P作PM⊥AB于点M,作PN∥y轴交直线AB 于点N.∵PN∥y轴,∴∠PNM=∠ABO,∵∠AOB=∠NMP=90°,∴△AOB∽△PMN,∴AOPM=ABPN,∵OA=4,OB=3, ∴AB∴PM=45 PN,∵点P是抛物线上的点,PN∥y轴,∴P(m,－m2＋2m＋1),N(m,34m＋3),∴PN=34m＋3－(－m2＋2m＋1)=m2－54m＋2=(m－58)2＋103 64,∴PM=d=45(m－58)2＋10380,∴当m=58时,d取得最小值10380;(Ⅲ)∵抛物线y=－x2＋2x＋1与y轴交于点C,∴C(0,1),对称轴为x=－22(1)－=1,点C关于对称轴的对称点为K(2,1),∴点K到直线AB的距离即为CE＋EF的最小值,最小值为d=45×(2－58)2＋10380=145.第7题解图8.已知直线y=2x＋m与抛物线y=ax2＋ax＋b有一个公共点M(1,0),且a＜b.(Ⅰ)求抛物线顶点Q的坐标(用含a的代数式表示); (Ⅱ)说明直线与抛物线有两个交点;(Ⅲ)直线与抛物线的另一个交点记为N,若－1≤a≤－12,求线段MN长度的取值范围;解:(Ⅰ)∵抛物线过点M(1,0), ∴a＋a＋b=0,即b=－2a,∵y=ax2＋ax＋b=ax2＋ax－2a=a(x＋12)2－94a,∴抛物线顶点Q的坐标为(－12,－94a);(Ⅱ)∵直线y=2x＋m经过点M(1,0),∴0=2×1＋m,解得m=－2,把y=2x－2代入y=ax2＋ax－2a,得ax2＋(a－2)x－2a＋2=0①, ∴Δ=(a－2)2－4a(－2a＋2)=9a2－12a＋4,又∵a＜b,b=－2a,∴a＜0,b＞0,∴Δ=9a2－12a＋4＞0,∴方程①有两个不相等的实数根,∴直线与抛物线有两个交点;（Ⅲ）把y=2x－2代入y=ax2＋ax－2a,得ax2＋(a－2)x－2a＋2=0,即x2＋(1－2a )x－2＋2a=0,∴[x＋(12－1a)]2=(1a－32)2,解得x1=1,x2=2a－2,将x=2a －2代入y=2x－2得y=4a－6,∴点N(2a－2,4a－6),根据两点间的距离公式得,MN 2=[(2a－2)－1]2＋(4a－6)2=220a－60a＋45=20(1a－32)2,∵－1≤a≤－12,则－2≤1a≤－1,∴1a－32＜0,∴MN32－1a－a,又∵－1≤a≤－12,∴≤MN≤9.已知二次函数的解析式为y=－x2＋4x,该二次函数交x轴于O、B两点,A为抛物线上一点,且横纵坐标相等(原点除外),P 为二次函数上一动点,过P作x轴垂线,垂足为D(a,0)(a>0),并与直线OA交于点C.(Ⅰ)求A、B两点的坐标;(Ⅱ)当点P在线段OA上方时,过P作x轴的平行线与线段OA 相交于点E,求△PCE周长的最大值及此时P点的坐标; (Ⅲ)当PC=CO时,求P点坐标.解:(Ⅰ)令y=0,则－x2＋4x=0,解得x1=0,x2=4,∴点B坐标为(4,0),设点A坐标为(x,x),把A(x,x)代入y=－x2＋4x得,x=－x2＋4x,解得x1=3,x2=0(舍去),∴点A的坐标为(3,3);(Ⅱ)如解图①,设点P的坐标为(x,－x2＋4x), ∵点A坐标为(3,3);∴∠AOB=45°,∴OD=CD=x,∴PC=PD－CD=－x2＋4x－x=－x2＋3x,∵PE∥x轴,∴△PCE是等腰直角三角形,∴当PC取最大值时,△PCE周长最大.∵PE与线段OA相交,∴0≤x≤1,由PC=－x2＋3x=－(x－32)2＋94可知,抛物线的对称轴为直线x=32,且在对称轴左侧PC随x的增大而增大,∴当x=1时,PC最大,PC的最大值为－1＋3=2,∴PE=2,CE∴△PCE的周长为CP＋PE＋CE=4＋∴△PCE周长的最大值为4＋把x=1代入y=－x2＋4x,得y=－1＋4=3,∴点P的坐标为(1,3);(Ⅲ)设点P坐标为(x,－x2＋4x),则点C坐标为(x,x),如解图②, ①当点P在点C上方时,P1C1=－x2＋4x－x=－x2＋3x,OC1,∵P1C1=OC1,∴－x2＋3x,解得x1=3x2=0(舍去).把x=3y=－x2＋4x得,y=－(3－2)2＋4(3－2)=1＋22,∴P1(3－2,1＋22),②当点P在点C下方时,P2C2=x－(－x2＋4x)=x2－3x,OC2=2x,∵P2C2=OC2,∴x2－3x=2x,解得x1=3＋2,x2=0(舍去),把x=3＋2代入y=－x2＋4x,得y=－(3＋2)2＋4(3＋2)=1－22,∴P2(3＋2,1－22).综上所述,P点坐标为(3－2,1＋22)或(3＋2,1－22).图①图②第9题解图10.已知抛物线y=ax2＋bx＋c经过点A(－3,0)、B(0,3)、C(1,0)三点.(Ⅰ)求抛物线的解析式和它的顶点坐标;(Ⅱ)若在该抛物线的对称轴l上存在一点M,使MB＋MC的值最小,求点M的坐标以及MB＋MC的最小值;(Ⅲ)若点P、Q分别是抛物线的对称轴l上两动点,且纵坐标分别为m,m＋2,当四边形CBQP周长最小时,求出此时点P、Q 的坐标以及四边形CBQP周长的最小值.解:(Ⅰ)将A、B、C的坐标代入抛物线的解析式,得9303a b cca b c-+=⎧⎪=⎨⎪++=⎩,解得123abc=-⎧⎪=-⎨⎪=⎩,∴抛物线的解析式为y=－x2－2x＋3,配方,得y=－(x＋1)2＋4,即顶点坐标为(－1,4);(Ⅱ)如解图①,连接AB交对称轴于点M,连接MC,由A、C关于对称轴对称,得AM =MC , ∴ MB ＋MC =AM ＋MB =AB , 此时,MB +MC 的值最小,由勾股定理,得AB即MB ＋MC设AB 的解析式为y =kx ＋b , 将A 、B 两点坐标代入,得303k b b -+=⎧⎨=⎩,解得13k b =⎧⎨=⎩, ∴直线AB 的解析式为y =x ＋3, 当x =－1时,y =2,即M (－1,2), 此时MB ＋MC 的最小值为(Ⅲ)如解图②,将B 点向下平移两个单位,得D 点,连接AD 交对称轴于点P ,作BQ ∥PD 交对称轴于点Q , ∵PQ ∥BD ,BQ ∥PD ,∴四边形BDPQ 是平行四边形, ∴BQ =PD ,PQ =BD =2, ∴BQ ＋PC =PD ＋AP =AD ,由勾股定理,得AD, BC=,∴四边形CBQP 周长的最小值=BC ＋BQ ＋PQ ＋PC =BC ＋PQ ＋(BQ ＋PC ) =BC ＋PQ ＋AD＋2＋2,设AD 的解析式为y =kx ＋b ,将A 、D 点坐标代入得,301k b b -+=⎧⎨=⎩,解得131k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩, ∴直线AD 的解析式为y =13x ＋1,当x=－1时,y=23,即P(－1,23),由|PQ|=2,且Q点纵坐标大于P点纵坐标得Q(－1,83),故当四边形CBQP周长最小时,点P的坐标为(－1,23),点Q的坐标为(－1,83),四边形CBQP周长的最小值是210＋2.图①图②第10题解图11.已知二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象交x轴于A,B两点,交y轴于点D,点B的坐标为(3,0),顶点C的坐标为(1,4).(Ⅰ)求二次函数的解析式和直线BD的解析式;(Ⅱ)点P是直线BD上的一个动点,过点P作x轴的垂线,交抛物线于点M,当点P在第一象限时,求线段PM长度的最大值; (Ⅲ)在抛物线上是否存在异于B,D的点Q,使△BDQ中BD边上的高为22,若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.解:(Ⅰ)设二次函数的解析式为y=a(x－1)2＋4,∵点B(3,0)在该二次函数的图象上,∴0=a(3－1)2＋4,解得a=－1,∴二次函数的解析式为y=－x2＋2x＋3,∵点D在y轴上,∴令x=0,解得y=3,∴点D的坐标为(0,3),设直线BD的解析式为y=kx＋3,把(3,0)代入得3k＋3=0,解得k=－1, ∴直线BD的解析式为y=－x＋3; (Ⅱ)设P点的横坐标为m(0＜m＜3), 则P(m,－m＋3),M(m,－m2＋2m＋3),∴PM=－m2＋2m＋3－(－m＋3)=－m2＋3m=－(m－32)2＋94,∴当m=32时,PM取最大值,∴PM长度的最大值为9 4 ;(Ⅲ)存在.如解图,过点Q作QG∥y轴交BD于点G,作QH⊥BD 交BD于点H,设Q(x,－x2＋2x＋3),则G(x,－x＋3)∴QG=|－x2＋2x＋3－(－x＋3)|=|－x2＋3x|,∵△DOB是等腰三角形,∴∠3=45°,∴∠2=∠1=45°,∴sin∠1=QHQG=22,∴QG=4,得|－x2＋3x|=4,当－x2＋3x=4时,b2－4ac=9－16=－7＜0,方程无实数根,当－x2＋3x=－4时,解得x1=－1,x2=4,∴Q1(－1,0),Q2(4,－5),综上所述,存在满足条件的点Q,点Q的坐标为(－1,0)或(4,－5).第11题解图。
二次函数与线段有关的问题(解析版)
类型一二次函数与线段问题【典例1】已知抛物线y＝ax2＋bx＋6（a≠0）交x轴于点A(6，0)和点B(－1，0)，交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）如图（1），点P是抛物线上位于直线AC上方的动点，过点P分别作x轴，y轴的平行线，交直线AC于点D，E，当PD＋PE取最大值时，求点P的坐标；（3）如图（2），点M为抛物线对称轴l上一点，点N为抛物线上一点，当直线AC垂直平分△AMN的边MN时，求点N的坐标．【答案】（1）y＝－x2＋5x＋6，顶点坐标为(52，494)；（2）P(3，12)；（3）535+7 2)或535-72)【解析】【分析】（1）将点A，B坐标代入抛物线解析式中，解方程组即可得出结论；（2）先求出OA=OC=6，进而得出∠OAC=45°，进而判断出PD=PE，即可得出当PE的长度最大时，PE+PD取最大值，设出点E坐标，表示出点P坐标，建立PE=-t2+6t=-（t-3）2+9，即可得出结论；（3）先判断出NF∥x轴，进而求出点N的纵坐标，即可建立方程求解得出结论．【详解】解：（1）∵抛物线y＝ax2＋bx＋6经过点A（6，0），B（－1，0），∴06 03666a ba b=-+⎧⎨=++⎩，，解得a＝－1，b＝5，∴抛物线的解析式为y＝－x2＋5x＋6．∵y＝－x2＋5x＋6＝－(x52-)2＋494，∴抛物线的解析式为y＝－x2＋5x＋6，顶点坐标为（52，494）．（2）由（1）知，抛物线的解析式为y＝－x2＋5x＋6，∴C（0，6），∴OC＝6．∵A（6，0），∴OA＝6，∴OA＝OC，∴∠OAC＝45°．∵PD平行于x轴，PE平行于y轴，∴∠DPE＝90°，∠PDE＝∠DAO＝45°，∴∠PED＝45°，∴∠PDE＝∠PED，∴PD＝PE，∴PD＋PE＝2PE，∴当PE的长度最大时，PE＋PD取最大值．设直线AC的函数关系式为y＝kx＋d，把A（6，0），C（0，6）代入得066k dd=+⎧⎨=⎩，，解得k＝－1，d＝6，∴直线AC的解析式为y＝－x＋6．设E（t，－t＋6）（0＜t＜6），则P（t，－t2＋5t＋6），∴PE＝－t2＋5t＋6－(－t＋6)＝－t2＋6t＝－(t－3)2＋9．∵－1＜0，∴当t＝3时，PE最大，此时－t2＋5t＋6＝12，∴P（3，12）．（3）如答图，设直线AC与抛物线的对称轴l的交点为F，连接NF．∵点F在线段MN的垂直平分线AC上，∴FM＝FN，∠NFC＝∠MFC．∵l∥y轴，∴∠MFC＝∠OCA＝45°，∴∠MFN＝∠NFC＋∠MFC＝90°，∴NF∥x轴．由（2）知直线AC的解析式为y＝－x＋6，当x＝52时，y＝72，∴F（52，72），∴点N的纵坐标为72．∵点N在抛物线上，∴－x2＋5x＋6＝72，解得，x1＝535+或x2＝535-，∴点N的坐标为（535+，72）或（535-，72）．【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，解一元二次方程，（2）中判断出PD=PE，（3）中NF∥x轴是解本题的关键．【典例2】如图1-1，抛物线y＝x2－2x－3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P 是抛物线对称轴上的一个动点，如果△PAC 的周长最小，求点P 的坐标．图1-1【解析】如图1-2，把抛物线的对称轴当作河流，点A 与点B 对称，连结BC ，那么在△PBC 中，PB ＋PC 总是大于BC 的．如图1-3，当点P 落在BC 上时，PB ＋PC 最小，因此PA ＋PC 最小，△PAC 的周长也最小．由y ＝x 2－2x －3，可知OB ＝OC ＝3，OD ＝1．所以DB ＝DP ＝2，因此P (1,－2)．图1-2 图1-3【典例3】如图，抛物线21442y x x =-+与y 轴交于点A ，B 是OA 的中点．一个动点G 从点B 出发，先经过x 轴上的点M ，再经过抛物线对称轴上的点N ，然后返回到点A ．如果动点G 走过的路程最短，请找出点M 、N 的位置，并求最短路程．图2-1【解析】如图2-2，按照“台球两次碰壁”的模型，作点A 关于抛物线的对称轴对称的点A ′，作点B 关于x 轴对称的点B ′，连结A ′B ′与x 轴交于点M ，与抛物线的对称轴交于点N ．在Rt △AA ′B ′中，AA ′＝8，AB ′＝6，所以A ′B ′＝10，即点G 走过的最短路程为10．根据相似比可以计算得到OM ＝83，MH ＝43，NH ＝1．所以M (83, 0)，N (4, 1)．图2-2【典例4】如图3-1，抛物线248293y x x =-++与y 轴交于点A ，顶点为B ．点P 是x 轴上的一个动点，求线段PA 与PB 中较长的线段减去较短的线段的差的最小值与最大值，并求出相应的点P 的坐标．图3-1【解析】题目读起来像绕口令，其实就是求|PA －PB |的最小值与最大值．由抛物线的解析式可以得到A (0, 2)，B (3, 6)．设P (x , 0)．绝对值|PA －PB |的最小值当然是0了，此时PA ＝PB ，点P 在AB 的垂直平分线上（如图3-2）．解方程x 2＋22＝(x －3)2＋62，得416x =．此时P 41(,0)6． 在△PAB 中，根据两边之差小于第三边，那么|PA －PB |总是小于AB 了．如图3-3，当点P 在BA 的延长线上时，|PA －PB |取得最大值，最大值AB ＝5．此时P 3(,0)2-．图3-2 图3-3【典例5】如图，抛物线的顶点为A （h ，﹣1），与y 轴交于点B （0，﹣），点F （2，1）为其对称轴上的一个定点．（1）求这条抛物线的函数解析式；（2）已知直线l是过点C（0，﹣3）且垂直于y轴的定直线，若抛物线上的任意一点P（m，n）到直线l的距离为d，求证：PF＝d；（3）已知坐标平面内的点D（4，3），请在抛物线上找一点Q，使△DFQ的周长最小，并求此时△DFQ周长的最小值及点Q的坐标．【分析】（1）由题意抛物线的顶点A（2，﹣1），可以假设抛物线的解析式为y＝a（x ﹣2）2﹣1，把点B坐标代入求出a即可．（2）由题意P（m，m2﹣m﹣），求出d2，PF2（用m表示）即可解决问题．（3）如图，过点Q作QH⊥直线l于H，过点D作DN⊥直线l于N．因为△DFQ的周长＝DF+DQ+FQ，DF是定值＝＝2，推出DQ+QF的值最小时，△DFQ的周长最小，再根据垂线段最短解决问题即可．【解答】（1）解：由题意抛物线的顶点A（2，﹣1），可以假设抛物线的解析式为y ＝a（x﹣2）2﹣1，∵抛物线经过B（0，﹣），∴﹣＝4a﹣1，∴a＝，∴抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2﹣1．（2）证明：∵P（m，n），∴n＝（m﹣2）2﹣1＝m2﹣m﹣，∴P（m，m2﹣m﹣），∴d＝m2﹣m﹣﹣（﹣3）＝m2﹣m+，∵F（2，1），∴PF＝＝，∵d2＝m4﹣m3+m2﹣m+，PF2＝m4﹣m3+m2﹣m+，∴d2＝PF2，∴PF＝d．（3）如图，过点Q作QH⊥直线l于H，过点D作DN⊥直线l于N．∵△DFQ的周长＝DF+DQ+FQ，DF是定值＝＝2，∴DQ+QF的值最小时，△DFQ的周长最小，∵QF＝QH，∴DQ+DF＝DQ+QH，根据垂线段最短可知，当D，Q，H共线时，DQ+QH的值最小，此时点H与N重合，点Q在线段DN上，∴DQ+QH的最小值为3，∴△DFQ的周长的最小值为2+3，此时Q（4，﹣）【点评】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，两点间距离公式，垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型。
2021届中考数学专题复习训练——二次函数 专题4二次函数综合之线段最值,成比
类型一：线段最值问题【经典例题1改编】抛物线y=-x 2+bx +c 与直线y=-x +5一个交点A （2，m ），另一个交点B 在x 轴上，点P 是线段AB 上异于A 、B 的一个动点，过点P 做x 轴的垂线，交抛物线于点E ；（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的点P ，使线段PE 长度最大？若存在求出最大值及此时点P 的坐标，若不存在说明理由；（3）在y 轴右侧，当EP 平行于y 轴时，设点E 的横坐标为m ，当点E 到y 轴的距离等于线段EP 的长时，求m 的值；【解析】（1）A(2，-3)，抛物线解析式y=-x 2+6x -5（2）设点P 的横坐标为m ，E(m ，-m 2+6m -5)，P(m ，-m+5)∴EP=y E -y P=(-m 2+6m -5)-(-m +5)=-m 2+7m -10=-(m -27)2+49 当m=27时，EP 长度有最大值49，此时，P(27，23) （3）根据题意分两种情况∴当0<x <2或x >5时，EP=m 2-7m +10，所以m=m 2-7m +10，即m 2-8m +10=0，解得m1=4+6，m2=4-6；∴当2<x<5时，EP=-m2+7m-10，所以m=-m2+7m-10，即m2-6m+10=0，此方程无解。
综上，m1=4+6，m2=4-6【经典例题2】如图所示，抛物线y=ax2+bx-3(a≠0)与x轴交于A(-3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C，直线y= -x与抛物线交于E，F两点.(1)求抛物线的解析式；(2)P是直线EF下方抛物线上的一个动点，作PH∴EF于点H，求PH的最大值；【解析】(1)抛物线的表达式为：y=a(x+3)(x−1)=a(x2+2x−3)，即−3a=−3，解得：a=1，故抛物线的表达式为：y=x2+2x−3；(2)过点P作PM∴y轴交直线EF于点M，设点P(x ，x 2+2x −3)、点M(x ，−x )，则PH=22PM=22(−x −x 2−2x +3)， 当x =−23时，PH 的最大值为：8221；【经典例题3】已知抛物线l 1:y 1=ax 2−2的顶点为P ，交x 轴于A. B 两点(A 点在B 点左侧)，且sin∴ABP=55. (1)求抛物线l 1的函数解析式；(2)过点A 的直线交抛物线于点C ，交y 轴于点D ，若∴ABC 的面积被y 轴分为1:4两个部分，求直线AC 的解析式；【解析】（1）当x =0时，y 1=ax 2-2=-2∴顶点P （0，-2），OP=2∴∴BOP=90° ∴sin∴ABP=BP OP =55 ∴BP=5OP=25 ∴OB=442022=-=-OP BP∴B （4，0），代入抛物线l 1得：16a -2=0，解得：a =81 ∴抛物线l 1的函数解析式为y 1=81x 2-2 （2）∴知抛物线l 1交x 轴于A 、B 两点∴A 、B 关于y 轴对称，即A （-4，0）∴AB=8设直线AC 解析式：y=kx +b点A 代入得：-4k +b =0∴b =4k∴直线AC ：y=kx +4k ，D （0，4k ）∴S ∴AOD =S ∴BOD =21×4×|4k |=8|k | ∴81x 2-2=kx +4k 整理得：x 2-8kx -32k -16=0∴x 1+x 2=8k∴x 1=-4∴x C =x 2=8k +4，y C =k （8k +4）+4k =8k 2+8k∴C （8k +4，8k 2+8k ）∴S ∴ABC =21AB•|y C |=32|k 2+k | ∴若k >0，则S ∴AOD ：S 四边形OBCD =1：4∴S ∴AOD =51S ∴ABC ∴8k =51×32（k 2+k ） 解得：k 1=0（舍去），k 2=41 ∴直线AC 解析式为y=41x +1 ∴若k <0，则S ∴AOD =S ∴BOD =-8k ，S ∴ABC =-32（k 2+k ）∴-8k =51×[-32（k 2+k ）] 解得：k 1=0（舍去），k 2=41（舍去） 综上所述，直线AC 的解析式为y=41x +1．【经典例题4】如图1，在平面直角坐标系中，直线y=x +4与抛物线y=21-x 2+bx +c (b ，c 是常数)交于A. B 两点，点A 在x 轴上，点B 在y 轴上。
二次函数与线段交点问题
二次函数与线段交点问题二次函数与线段交点问题是数学中常见的一个问题，也是实际生活中经常遇到的一个问题。
在数学中，一般将二次函数表示为y = ax² + bx + c的形式，其中a、b、c分别是二次函数的系数。
而线段可以用两个点来确定，假设直线上有两个点A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)。
为了解决二次函数与线段交点的问题，我们需要确定交点的x、y坐标。
其中，x坐标可以通过解二次方程来确定，y坐标则可以通过将x坐标带入二次函数中得出。
下面分别详细介绍解决这个问题的步骤。
第一步：确定交点的x坐标为了确定交点的x坐标，我们可以将二次函数和直线的方程相等，即ax² + bx + c = y = mx + n。
将这两个方程相等，我们可以得到一个二次方程：ax² + (b-m)x + (c-n) = 0。
这是一个一元二次方程，我们可以通过求根公式或者配方法等方式求解x的值。
第二步：确定交点的y坐标有了交点的x坐标，我们可以将其带入二次函数的方程中，即y = ax² + bx + c，求得交点的y坐标。
第三步：判断交点是否在线段上在确定了交点的坐标后，我们需要判断该点是否在给定线段上。
这可以通过比较交点的x和y坐标是否在两个端点的x和y坐标之间来确定。
如果交点的x坐标在端点的x坐标之间，并且交点的y坐标在端点的y坐标之间，那么该点就在线段上。
需要注意的是，如果二次函数与线段没有交点，或者交点在线段的延长线上而不在线段上，那么交点就不存在。
以上就是解决二次函数与线段交点问题的一般步骤。
在实际应用中，我们可以根据具体的情况进行调整和优化，比如使用数值解法来求解方程，或者使用向量和点的方法来确定交点的位置等。
总结起来，二次函数与线段交点问题是一个重要但又常见的数学问题。
通过求解方程，我们可以确定交点的坐标，进而判断交点是否在给定线段上。
这个问题在实际应用中有很多应用，比如计算几何、图像处理等。
探究二次函数与线段交点问题的重新解析
探究二次函数与线段交点问题的重新解析1. 引言二次函数和线段交点问题是数学中的常见问题，它们在几何学、代数学和物理学等领域中都有广泛的应用。
通过重新解析这个问题，我们可以更全面、深入地理解二次函数和线段之间的关系，并探讨不同情况下的解决方法。
2. 二次函数与线段的基本概念让我们回顾一下二次函数和线段的基本概念。
二次函数是指具有形如f(x)=ax^2+bx+c的函数，其中a、b和c分别为常数。
线段是指两个点之间的直线部分。
二次函数与线段交点问题即是研究在给定二次函数和线段的情况下，找到它们的交点的位置、数量和特性。
3. 引入解析几何方法解析几何为我们提供了一种便捷的方式来解决二次函数与线段交点问题。
通过坐标系，我们可以将二次函数和线段表示为方程，并通过求解方程组来找到它们的交点。
下面，我们将分别讨论一元二次函数和线段的情况。
4. 解析一元二次函数与线段的交点问题对于一元二次函数f(x)=ax^2+bx+c和线段的情况，我们可以将二次函数与线段的方程相等，得到一个二次方程。
通过求解这个二次方程，我们可以确定二次函数与线段的交点的横坐标。
我们需要将线段的两个端点表示为坐标形式，如(A, B)。
我们将其代入二次函数的方程，得到一个二次方程。
通过求解这个二次方程，我们可以得到相应的横坐标。
如果这个横坐标处于线段内部（即在两个端点的横坐标范围内），我们可以通过代入横坐标得到相应的纵坐标。
5. 解析二元二次函数与线段的交点问题对于二元二次函数f(x, y)=ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f和线段的情况，我们可以将二元二次函数与线段的方程相等，得到一个二次方程组。
通过求解这个二次方程组，我们可以确定二元二次函数与线段的交点坐标。
同样地，我们需要将线段的两个端点表示为坐标形式。
(x1, y1)和(x2,y2)。
我们将其代入二元二次函数的方程，得到一个二次方程组。
通过求解这个二次方程组，我们可以得到相应的交点坐标。
二次函数与线段交点问题
(2)点C(0，2)和点D(3，m)为平面直角坐标系内两点，连接CD，若抛
物线y＝x2－x－2与线段CD只有一个公共点，求m的取值范围；
分析：知道点D(3，m)的横坐标为3，可推得点D在直线x=3上运动，把
x=3带入二次函数表达式求出对应的函数值为4，得此时点坐标（3，4），
①点D在点（3，4）上方时，抛物线y＝x2－x－2与线段CD没有公共点；
可得x2－2x－2－b＝0，
∴Δ=(－2)2－4×(－2－b)=12+4b=0，解得b=－3 ；
变式2：若抛物线y＝x2－x－2与一次函数y＝x＋b没有交点，求b的
取值范围；
解：∵抛物线y＝x2－x－2与一次函数y＝x＋b没有交点，
∴将抛物线解析式y＝x2－x－2与一次函数解析式y＝x＋b联立，
可得x2－2x－2－b＝0，
物线y=-x2+3x+4 与线段 AB 有公共点,结合函数图象,求k的取值范围.
解：设抛物线交x轴与C、D两点(点C在点D的左侧),
令-x2+3x+4=0，
解得x1=-1,x2=4,
∴C(-1,0),D(4,0).
∵ 直线 y=kx+2 与x轴、y轴分别交于点 A、点B，
2
∴点A（ − ,0），点B(0,2).
线y＝x2－x－2与线段EF只有一个公共点，求t的取值范围；
分析：知道点F(t,4)的纵坐标为4，可推得点F在直线y=4上运动，把y=4
带入二次函数表达式求出对应的x为x＝3或x＝－2，得此时点坐标
（3，4）或（-2，4），
点F在点M右侧或点N左侧时，抛物线y＝x2－x－2与线段EF没有公共
点；
点F在线段MN之间（可与点M重合，但不与点N重合）时，抛物线
二次函数与线段问题(解析版)
二次函数与线段问题例1、 如图1-1，抛物线y ＝x 2－2x －3与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点P 是抛物线对称轴上的一个动点，如果△P AC 的周长最小，求点P 的坐标．图1-1【解析】如图1-2，把抛物线的对称轴当作河流，点A 与点B 对称，连结BC ，那么在△PBC 中，PB ＋PC 总是大于BC 的．如图1-3，当点P 落在BC 上时，PB ＋PC 最小，因此P A ＋PC 最小，△P AC 的周长也最小．由y ＝x 2－2x －3，可知OB ＝OC ＝3，OD ＝1．所以DB ＝DP ＝2，因此P (1,－2)．图1-2 图1-3例2、如图，抛物线21442y x x =-+与y 轴交于点A ，B 是OA 的中点．一个动点G 从点B 出发，先经过x 轴上的点M ，再经过抛物线对称轴上的点N ，然后返回到点A ．如果动点G 走过的路程最短，请找出点M 、N 的位置，并求最短路程．图2-1【解析】如图2-2，按照“台球两次碰壁”的模型，作点A 关于抛物线的对称轴对称的点A ′，作点B 关于x 轴对称的点B ′，连结A ′B ′与x 轴交于点M ，与抛物线的对称轴交于点N ． 在Rt △AA ′B ′中，AA ′＝8，AB ′＝6，所以A ′B ′＝10，即点G 走过的最短路程为10．根据相似比可以计算得到OM ＝83，MH ＝43，NH ＝1．所以M (83, 0)，N (4, 1)．图2-2例3、如图3-1，抛物线248293y x x =-++与y 轴交于点A ，顶点为B ．点P 是x 轴上的一个动点，求线段P A 与PB 中较长的线段减去较短的线段的差的最小值与最大值，并求出相应的点P 的坐标．图3-1【解析】题目读起来像绕口令，其实就是求|P A －PB |的最小值与最大值．由抛物线的解析式可以得到A (0, 2)，B (3, 6)．设P (x , 0)．绝对值|P A －PB |的最小值当然是0了，此时P A ＝PB ，点P 在AB 的垂直平分线上（如图3-2）．解方程x 2＋22＝(x －3)2＋62，得416x =．此时P 41(,0)6． 在△P AB 中，根据两边之差小于第三边，那么|P A －PB |总是小于AB 了．如图3-3，当点P 在BA 的延长线上时，|P A －PB |取得最大值，最大值AB ＝5．此时P 3(,0)2-．图3-2 图3-3例4、如图4-1，菱形ABCD 中，AB ＝2，∠A ＝120°，点P 、Q 、K 分别为线段BC 、CD 、BD 上的任意一点，求PK ＋QK 的最小值．图4-1【解析】如图4-2，点Q关于直线BD的对称点为Q′，在△KPQ′中，PK＋QK总是大于PQ′的．如图4-3，当点K落在PQ′上时，PK＋QK的最小值为PQ′．如图4-4，PQ′的最小值为Q′H，Q′H就是菱形ABCD的高，Q′H＝3．这道题目应用了两个典型的最值结论：两点之间，线段最短；垂线段最短．图4-2 图4-3 图4-4 例5、如图5-1，菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CD、⊙B和⊙A上的动点，求PE＋PF的最小值．图5-1【解析】E、F、P三个点都不确定，怎么办？BE＝1，AF＝2是确定的，那么我们可以求PB＋P A－3的最小值，先求PB＋P A的最小值（如图5-2）．如图5-3，PB＋P A的最小值为AB′，AB′＝6．所以PE＋PF的最小值等于3．图5-2 图5-3例6、如图6-1，已知A (0, 2)、B (6, 4)、E (a , 0)、F (a ＋1, 0)，求a 为何值时，四边形ABEF 周长最小？请说明理由．图6-1【解析】在四边形ABEF 中，AB 、EF 为定值，求AE ＋BF 的最小值，先把这两条线段经过平移，使得两条线段有公共端点．如图6-2，将线段BF 向左平移两个单位，得到线段ME ．如图6-3，作点A 关于x 轴的对称点A ′，MA ′与x 轴的交点E ，满足AE ＋ME 最小． 由△A ′OE ∽△BHF ，得'OE HF OA HB =．解方程6(2)24a a -+=，得43a =．图6-2 图6-3例7、如图7-1，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝2，BC ＝1．点A 、C 分别在x 轴和y 轴的正半轴上，当点A 在x 轴上运动时，点C 也随之在y 轴上运动．在整个运动过程中，求点B 到原点的最大距离．图7-1【解析】如果把OB 放在某一个三角形中，这个三角形的另外两条边的大小是确定的，那么根据两边之和大于第三边，可知第三边OB 的最大值就是另两边的和．显然△OBC 是不符合条件的，因为OC 边的大小不确定．如图7-2，如果选AC 的中点D ，那么BD 、OD 都是定值，OD ＝1，BD 2．在△OBD中，总是有OB＜OD＋BD．+．如图7-3，当点D落在OB上时，OB最大，最大值为21图7-2 图7-3例8、如图8-1，已知A(－2,0)、B(4, 0)、(5,33)D-．设F为线段BD上一点（不含端点），连结AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止．当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？图8-1【解析】点B(4, 0)、(5,33)D-的坐标隐含了∠DBA＝30°，不由得让我们联想到30°角所对的直角边等于斜边的一半．如果把动点M在两条线段上的速度统一起来，问题就转化了．如图8-2，在Rt△DEF中，FD＝2FE．如果点M沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到点D时，那么点M沿线段FE以每秒1个单位的速度正好运动到点E．因此当AF＋FE 最小时，点M用时最少．如图8-3，当AE⊥DE时，AF＋FE最小，此时F(2,23)-．图8-2 图8-3例9、如图9-1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．点E是BC边上的点，连结AE，过点E作AE的垂线交AB边于点F，求AF的最小值．图9-1【解析】如图9-2，设AF 的中点为D ，那么DA ＝DE ＝DF ．所以AF 的最小值取决于DE 的最小值．如图9-3，当DE ⊥BC 时，DE 最小．设DA ＝DE ＝m ，此时DB ＝53m ． 由AB ＝DA ＋DB ，得5103m m +=．解得154m =．此时AF ＝1522m =．图9-2 图9-3例10、如图10-1，已知点P 是抛物线214y x =上的一个点，点D 、E 的坐标分别为(0, 1)、(1, 2)，连结PD 、PE ，求PD ＋PE 的最小值．图10-1【解析】点P 不在一条笔直的河流上，没有办法套用“牛喝水”的模型．设P 21(,)4x x ，那么PD 2＝2222211(1)(1)44x x x +-=+．所以PD ＝2114x +． 如图10-2，2114x +的几何意义可以理解为抛物线上的动点P 到直线y ＝－1的距离PH ．所以PD ＝PH ．因此PD ＋PE 就转化为PH ＋PE ．如图10-3，当P 、E 、H 三点共线，即PH ⊥x 轴时，PH ＋PE 的最小值为3．高中数学会学到，抛物线是到定点的距离等于到定直线的距离的点的集合，在中考数学压轴题里, 如果要用到这个性质，最好铺垫一个小题，求证PD ＝PH .图10-2 图10-3。
二次函数与线段交点问题探究
二次函数与线段交点问题探究一、引言二次函数与线段交点问题是高中数学中一个重要的应用题型，也是数学竞赛中常见的考点。
本文将探究二次函数与线段交点问题，通过具体的例子和图示进行分析和解答。
二、二次函数二次函数是指形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a,b,c为常数。
二次函数的图像为开口向上或向下的抛物线。
在解决二次函数与线段交点问题时，我们需要了解以下几个概念：1. 零点：指函数图像与x轴相交的点，即满足f(x)=0的x值。
2. 对称轴：指抛物线的对称轴，它垂直于x轴，在抛物线上方过一个顶点V。
3. 顶点：指抛物线上最高或最低的点V。
三、线段在平面直角坐标系中，一条有限长的直线段称为线段。
在解决二次函数与线段交点问题时，我们需要了解以下几个概念：1. 端点：指一条线段两端的两个点。
2. 中点：指一条线段上距离两端相等且在中心位置上的那个点。
四、求解过程当我们已知一个二次函数y=ax^2+bx+c和一个线段AB时，我们需要求出它们的交点。
具体的求解过程如下：1. 首先，我们需要将二次函数化为标准式y=a(x-h)^2+k，其中(h,k)为顶点坐标，a为抛物线的开口方向和大小。
2. 然后，我们需要求出线段AB的斜率k_AB和截距b_AB。
3. 接着，我们将二次函数与直线y=k_ABx+b_AB相交，解出交点坐标(x,y)。
4. 最后，我们需要判断交点是否在线段AB上。
五、实例分析下面通过一个具体的例子进行分析和解答。
已知二次函数y=2x^2+4x+1和线段AB，其中A(-3,5)、B(1,7)，求二次函数与线段AB的交点坐标。
1. 首先，将二次函数化为标准式。
由于a>0，则抛物线开口向上。
顶点坐标为(h,k)，其中h=-b/2a=-4/4=-1，k=f(-1)=2(-1)^2+4(-1)+1=-1。
因此，二次函数化为y=2(x+1)^2-1。
2. 求出线段AB的斜率k_AB=(7-5)/(1-(-3))=0.5，并且可以通过A或B求得截距b_AB=6。
二次函数与线段最值定值问题(八大类型)-2023年中考数学压轴题专项训练(学生版)
二次函数与线段最值定值问题(八大类型)考向分析题型一二次函数与单线段最值问题1.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(5，0)，B(-1，0)两点，与．y轴交于点C0，52(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线上是否存在点P，使得△ACP是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)点G为抛物线上的一动点，过点G作GE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为点F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点G的坐标．题型二二次函数与将军饮马型问题2.如图1，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A(-4，0)，B(1，0)两点，过点B的直线y=kx+23分别与y轴及抛物线交于点C，D．(1)求直线和抛物线的表达式；(2)动点P从点O出发，在x轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t 秒，当t为何值时，△PDC为直角三角形？请直接写出所有满足条件的t的值；(3)如图2，将直线BD沿y轴向下平移4个单位后，与x轴，y轴分别交于E，F两点，在抛物线的对称轴上是否存在点M，在直线EF上是否存在点N，使DM+MN的值最小？若存在，求出其最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．题型三二次函数与胡不归型线段最值问题3.已知抛物线y=-1x2+bx+c(b，c为常数)的图象与x轴交于A(1，0)，B两点(点A在点B左2侧)．与y轴相交于点C，顶点为D．(Ⅰ)当b=2时，求抛物线的顶点坐标；(Ⅱ)若点P是y轴上一点，连接BP，当PB=PC，OP=2时，求b的值；(Ⅲ)若抛物线与x轴另一个交点B的坐标为(4，0)，对称轴交x轴于点E，点Q是线段DE上一点，点NQ的最小值．N为线段AB上一点，且AN=2BN，连接NQ，求DQ+54二次函数与三线段和最值问题4.如图1，已知一次函数y=x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=-x2+bx+c 过A、B两点，且与x轴交于另一点C．(1)求b、c的值；(2)如图1，点D为AC的中点，点E在线段BD上，且BE=2ED，连接CE并延长交抛物线于点M，求点M的坐标；(3)将直线AB绕点A按逆时针方向旋转15°后交y轴于点G，连接CG，如图2，P为△ACG内一点，连接PA、PC、PG，分别以AP、AG为边，在他们的左侧作等边△APR，等边△AGQ，连接QR①求证：PG=RQ；②求PA+PC+PG的最小值，并求出当PA+PC+PG取得最小值时点P的坐标．二次函数与线段倍分关系最值问题5.抛物线y=-x2+4ax+b(a>0)与x轴相交于O、A两点(其中O为坐标原点)，过点P(2，2a)作直线PM⊥x轴于点M，交抛物线于点B，点B关于抛物线对称轴的对称点为C(其中B、C不重合)，连接AP交y轴于点N，连接BC和PC．(1)a=32时，求抛物线的解析式和BC的长；(2)如图a>1时，若AP⊥PC，求a的值；(3)是否存在实数a，使APPN =12若存在，求出a的值，如不存在，请说明理由．题型六二次函数与线段乘积问题6.已知直线y=12x+2分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y=12x2+mx-2经过点A，和x轴的另一个交点为C．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点D是抛物线上的动点，且在第三象限，求△ABD面积的最大值；(3)如图2，经过点M(-4，1)的直线交抛物线于点P、Q，连接CP、CQ分别交y轴于点E、F，求OE•OF的值．备注：抛物线顶点坐标公式-b2a，4ac-b24a7.抛物线y=ax2+c与x轴交于A，B两点，顶点为C，点P为抛物线上一点，且位于x轴下方．(1)如图1，若P(1，-3)，B(4，0)．①求该抛物线的解析式；②若D是抛物线上一点，满足∠DPO=∠POB，求点D的坐标；(2)如图2，已知直线PA，PB与y轴分别交于E、F两点．当点P运动时，OE+OFOC是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．8.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴分别交于A(-1，0)、B(3，0)两点，与y轴交于点C，且OB=OC．(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图1，点D是抛物线顶点，点P(m，n)是在第二象限抛物线上的一点，分别连接BD、BC、BP，若∠CBD=∠ABP，求m的值；(3)如图1，过B、C、O三点的圆上有一点Q，并且点Q在第四象限，连接QO、QB、QC，试猜想线段QO、QB、QC之间的数量关系，并证明你的猜想；(4)如图2，若∠BAC的角平分线交y轴于点G，过点G的直线分别交射线AB、AC于点E、F(不与点A重合)，则1AE+1AF的值是否变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出它的值．压轴题速练一、解答题1.如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，D为顶点，其中点B的坐标为(5，0)，点D的坐标为(1，3)．(1)求该二次函数的表达式；(2)试问在该二次函数图象上是否存在点G，使得△ADG的面积是△BDG的面积的35若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．2.在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2-4x+c与x轴交于点A，B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，且点A的坐标为(-5,0)．(1)求点C的坐标；(2)如图1，若点P是第二象限内抛物线上一动点，求点P到直线AC距离的最大值；(3)如图2，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．3.如图，已知抛物线y=ax2-32x+c与x轴交于点点A(-4,0)，B(1,0)，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q使QB+QC最小？若存在，请求出Q点坐标；若不存在，请说明理由；(3)点P为AC上方抛物线上的动点，过点P作PD⊥AC，垂足为点D，连接PC，当△PCD与△ACO相似时，求点P的坐标．4.如图，抛物线y=-12x2+bx+c过点A3,2，且与直线y=-x+72交于B、C两点，点B的坐标为4,m．(1)求抛物线的解析式；(2)点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+PA的最小值．5.抛物线y=ax2+bx-3(a，b为常数，a≠0)交x轴于A-3,0两点．，B4,0(1)求该抛物线的解析式；(2)点C0,4，D是线段AC上的动点(点D不与点A，C重合)．①点D关于x轴的对称点为D ，当点D 在该抛物线上时，求点D的坐标；②E是线段AB上的动点(点E不与点A，B重合)，且CD=AE，连接CE，BD，当CE+BD取得最小值时，求点D的坐标．6.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y =ax 2+bx +2a ≠0 与x 轴交于A -1,0 ，B 3,0 两点，与y 轴交于点C ，连接BC ．(1)求该抛物线的解析式；(2)点P 为直线BC 上方的抛物线上一点，过点P 作y 轴的垂线交线段BC 于M ，过点P 作x 轴的垂线交线段BC 于N ，求△PMN 的周长的最大值．(3)若点N 为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M ，使得以B ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．7.如图，二次函数y=-14x2+12m-1x+m(m是常数，且m>0)的图象与x轴相交于点A、B(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C，动点P在对称轴l上，连接AC、BC、PA、PC．(1)求点A、B、C的坐标(用数字或含m的式子表示)；(2)当PA+PC的最小值等于45时，求m的值及此时点P的坐标；(3)当m取(2)中的值时，若∠APC=2∠ABC，请直接写出点P的坐标．8.已知抛物线y=x+1(m为常数，m>1)的顶点为P．x-m(1)当m=5时，求该抛物线顶点P的坐标；(2)若该抛物线与x轴交于点A，C(点A在点C左侧)，与y轴交于点B．①点Q是该抛物线对称轴上一个动点，当AQ+BQ的最小值为22时，求该抛物线的解析式和点Q 的坐标．②连接BC，与抛物线的对称轴交于点H，过点P作PD⊥BC，垂足为D，若BC=8PD，求该抛物线的解析式．9.已知抛物线y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a>0)的顶点为P，与x轴相交于点A-1,0和点B．(1)若b=-2，c=-3，①求点P的坐标；②直线x=m(m是常数，1<m<3)与抛物线相交于点M，与BP相交于点G，当MG取得最大值时，求点M，G的坐标；(2)若3b=2c，直线x=2与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y轴的负半轴上的动点，当PF+FE+EN的最小值为5时，直接写出顶点P的坐标．10.如图，抛物线y=-x2+bx+c交x轴于A、B两点(点A在点B的左侧)坐标分别为-2,0，4,0，交y轴于点C．(1)求出抛物线解析式：5时，请求(2)如图1，过y轴上点D做BC的垂线，交线段BC于点E，交抛物线于点F，当EF=35出点F的坐标；(3)如图2，点H的坐标是0,2在抛物线上，把△PHQ沿HQ翻折，，点Q为x轴上一动点，点P2,8使点P刚好落在x轴上，请直接写出点Q的坐标．11.抛物线y =ax 2+bx +c 与坐标轴交于A -1,0 、B 4,0 、C 0,2 三点．点P 为抛物线上位于BC 上方的一动点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，过点P 作PF ⊥x 轴于点F ，交BC 于点E ，连结CP 、CF ．当S ΔPCE =2S ΔCEF 时，求点P 的坐标；(3)过点P 作PG ⊥BC 于点G ，是否存在点P ，使线段PG 、CG 的长度是2倍关系？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．12.已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A-4，0．、B1，0、C0，4(1)求抛物线解析式和直线AC的解析式；(2)如图(1)，若点P是第四象限抛物线上的一点，若S△PAC=20，求点P的坐标；(3)如图(2)，点M是直线AC上方抛物线上的一个动点(不与A、C重合)，过点M作MH垂直AC于点H，求MH的最大值．13.如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与一直线相交于A-1,0两点，与y轴交于点N，其顶，C2,3点为D．(1)求抛物线及直线AC的解析式．(2)设点M3,m，求使MN+MD的值最小时m的值．(3)若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求出点E，F的坐标；若不能，请说明理由．14.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有且只有一个交点A2,0，且与y轴于交于点B．(1)求a与c的关系式；(2)若a=1时，点P2,1c在抛物线的对称轴上；①若过B点的直线l：y=kx+m(k≠0)与抛物线只有一个交点；证明：直线l平分∠OBP；②设过P点的直线与抛物线交于M，N点，则1PM+1PN是否为定值，若为定值请求出定值，若不是定值请说明理由．15.如图1，抛物线y=ax2+2x+c，交x轴于A、B两点，交y轴于点C，F为抛物线顶点，直线EF垂直于x轴于点E，当y≥0时，-1≤x≤3．(1)求抛物线的表达式；(2)点P是线段BE上的动点(除B、E外)，过点P作x轴的垂线交抛物线于点D．①当点P的横坐标为2时，求四边形ACFD的面积；②如图2，直线AD，BD分别与抛物线对称轴交于M、N两点．试问，EM+EN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．16.已知抛物线y=-x2+2kx-k2+4的顶点为H，与y轴交点为A，点P a,b是抛物线上异于点H的一个动点．(1)若抛物线的对称轴为直线x=1，请用含a的式子表示b；(2)若a=1，作直线HP交y轴于点B，当点A在x轴上方且在线段OB上时，直接写出k的取值范围；(3)在(1)的条件下，记抛物线与x轴的右交点为C，OA的中点为D，作直线CD，过点P作PF⊥CD 于点E并交x轴于点F，若a<3，PE=3EF，求a的值．17.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴只有一个公共点A2,0．且经过点3,1(1)求抛物线的函数解析式；(2)直线l：y=-x+m与抛物线y=ax2+bx+c相交于B、C两点(C点在B点的左侧)，与对称轴相交于点P，且B、C分布在对称轴的两侧．若B点到抛物线对称轴的距离为n，且CP=t·BP(2≤t≤3)．①试探求n与t的数量关系；②求线段BC的最大值，以及当BC取得最大值时对应m的值．18.如图1，二次函数y =ax 2+bx +3的图像与x 轴交于点A -1,0 ，B 3,0 ，与y 轴交于点C ．(1)求二次函数的解析式；(2)点P 为抛物线上一动点．①如图2，过点C 作x 轴的平行线与抛物线交于另一点D ，连接BC ，BD ．当S △PBC =2S △DBC 时，求点P 的坐标；②如图3，若点P 在直线BC 上方的抛物线上，连接OP 与BC 交于点E ，求PE OE的最大值．19.抛物线y=ax2-4经过A、B两点，且OA=OB，直线EC过点E4，-1，点D是线段，C0，-3OA(不含端点)上的动点，过D作PD⊥x轴交抛物线于点P，连接PC、PE．(1)求抛物线与直线CE的解析式；(2)求证：PC+PD为定值；(3)在第四象限内是否存在一点Q，使得以C、P、E、Q为顶点的平行四边形面积最大，若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．20.如图1．在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A-2,0，，点B4,0与y轴交于点C0,2．(1)求抛物线的解析式；(2)点P是第一象限内的抛物线上一点．过点P作PH⊥x轴于点H，交直线BC于点Q，求PQ+5CQ的最大值，并求出此时点P的坐标；5(3)如图2．将地物线沿射线BC的方向平移5个单位长度．得到新抛物线y1=a1x2+b1x+c1a1≠0，新抛物线与原抛物线交于点G，点M是x轴上一点，点N是新抛物线上一点，若以点C、G、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点N的坐标．。
中考数学专题：二次函数综合题带答案
二次函数综合题类型一线段、周长、面积问题1.如图，直线y=-x+分别与x轴、y轴交于B、C两点，点A在x轴上，∠ACB=90°，抛物线y=ax2+bx+经过A，B两点．（1）求A、B两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）点M是直线BC上方抛物线上的一点，过点M作MH⊥BC于点H，作MD∥y轴交BC于点D，求△DMH周长的最大值．2.如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴，y轴分别交于A，C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B．（1）求抛物线解析式及B点坐标；（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC，当点M运动到某一位置时四边形AMBC面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积；（3）如图2，若P点是半径为2的⊙B上一动点，连接PC、PA，当点P运动到某一位置时，PC+PA的值最小，请求出这个最小值，并说明理由．3.已知抛物线y=ax2+bx-4经过点A（2，0）、B（-4，0），与y轴交于点C．（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图1，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标；（3）如图2，线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，M为抛物线的顶点，在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．4.如图，抛物线y=ax2-3ax-4a的图象经过点C（0，2），交x轴于点A、B（点A在点B左侧），连接BC，直线y=kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与BC上方的抛物线交于点E，与BC交于点F．（1）求抛物线的解析式及点A、B的坐标；（2）是否存在最大值？若存在，请求出其最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．类型二存在性问题5.如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，-2），点A的坐标是（2，0），P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，抛物线的对称轴是直线x=-1．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P在第二象限内，且PE=OD，求△PBE的面积．（3）在（2）的条件下，若M为直线BC上一点，在x轴的上方，是否存在点M，使△BDM是以BD为腰的等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．6.如图，在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，OC=2OB，tan∠ABC=2，点B的坐标为（1，0）．抛物线y=-x2+bx+c经过A、B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使PE=DE．①求点P的坐标；②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．7.在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、C的坐标分别是（0，4）、（﹣1，0），将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′．（1）若抛物线经过点C、A、A′，求此抛物线的解析式；（2）在（1）的情况下，点M是第一象限内抛物线上的一动点，问：当点M在何处时，△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并求出此时M的坐标；（3）在（1）的情况下，若P为抛物线上一动点，N为x轴上的一动点，点Q坐标为（1，0），当P、N、B、Q构成平行四边形时，求点P的坐标，当这个平行四边形为矩形时，求点N的坐标．7.如图，二次函数y═ax2+bx+4的图象与x轴交于点A（-1，0），B（4，0），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，其对称轴与线段BC交于点E，垂直于x轴的动直线l分别交抛物线和线段BC于点P和点F，动直线l在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿x轴正方向移动到B点．（1）求出二次函数y=ax2+bx+4和BC所在直线的表达式；（2）在动直线l移动的过程中，试求使四边形DEFP为平行四边形的点P的坐标；（3）连接CP，CD，在动直线l移动的过程中，抛物线上是否存在点P，使得以点P，C，F为顶点的三角形与△DCE相似？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．类型三角相等问题8.如图，已知点A（-1，0），B（3，0），C（0，1）在抛物线y=ax2+bx+c上．（1）求抛物线解析式；（2）在直线BC上方的抛物线上求一点P，使△PBC面积为1；（3）在x轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q，使∠BQC=∠BAC？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．9.如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（-1，0），B（4，0），C（0，3）三点，D为直线BC上方抛物线上一动点，DE⊥BC于E．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，求线段DE长度的最大值；（3）如图2，设AB的中点为F，连接CD，CF，是否存在点D，使得△CDE中有一个角与∠CFO相等？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】解：（1）∵直线y=-x+分别与x轴、y轴交于B、C两点，∴B（3，0），C（0，），∴OB=3，OC=，∴tan∠BCO==，∴∠BCO=60°，∵∠ACB=90°，∴∠ACO=30°，∴=tan30°=，即=，解得AO=1，∴A（-1，0）；（2）∵抛物线y=ax2+bx+经过A，B两点，∴，解得，∴抛物线解析式为y=-x2+x+；（3）∵MD∥y轴，MH⊥BC，∴∠MDH=∠BCO=60°，则∠DMH=30°，∴DH=DM，MH=DM，∴△DMH的周长=DM+DH+MH=DM+DM+DM=DM，∴当DM有最大值时，其周长有最大值，∵点M是直线BC上方抛物线上的一点，∴可设M（t，-t2+t+），则D（t，-t+），∴DM=-t2+t+-（-t+）=-t2+t=-（t-）2+，∴当t=时，DM有最大值，最大值为，此时DM=×=，即△DMH周长的最大值为．【解析】（1）由直线解析式可求得B、C坐标，在Rt△BOC中由三角函数定义可求得∠OCB=60°，则在Rt△AOC中可得∠ACO=30°，利用三角函数的定义可求得OA，则可求得A点坐标；（2）由A、B两点坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（3）由平行线的性质可知∠MDH=∠BCO=60°，在Rt△DMH中利用三角函数的定义可得到DH、MH与DM的关系，可设出M点的坐标，则可表示出DM的长，从而可表示出△DMH 的周长，利用二次函数的性质可求得其最大值．本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角函数的定义、二次函数的性质、方程思想等知识．在（1）中注意函数图象与坐标的交点的求法，在（2）中注意待定系数法的应用，在（3）中找到DH、MH与DM的关系是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．2.【答案】解：（1）直线y=-5x+5，x=0时，y=5∴C（0，5）y=-5x+5=0时，解得：x=1∴A（1，0）∵抛物线y=x2+bx+c经过A，C两点，∴解得：，∴抛物线解析式为y=x2-6x+5；当y=x2-6x+5=0时，解得：x1=1，x2=5∴B（5，0）；（2）如图1，过点M作MH⊥x轴于点H，∵A（1，0），B（5，0），C（0，5）∴AB=5-1=4，OC=5∴S△ABC=AB•OC=×4×5=10∵点M为x轴下方抛物线上的点∴设M（m，m2-6m+5）（1＜m＜5）∴MH=|m2-6m+5|=-m2+6m-5∴S△ABM=AB•MH=×4（-m2+6m-5）=-2m2+12m-10=-2（m-3）2+8∴S四边形AMBC=S△ABC+S△ABM=10+[-2（m-3）2+8]=-2（m-3）2+18∴当m=3，即M（3，-4）时，四边形AMBC面积最大，最大面积等于18；（3）如图2，在x轴上取点D（4，0），连接PD、CD，∴BD=5-4=1∵AB=4，BP=2∴∵∠PBD=∠ABP∴△PBD∽△ABP∴∴PD=AP∴PC+PA=PC+PD∴当点C、P、D在同一直线上时，PC+PA=PC+PD=CD最小∵CD=∴PC+PA的最小值为.【解析】本题考查了二次函数的图象与性质，求二次函数最大值，解一次方程（组）和一元二次方程，相似三角形的判定和性质，两点之间线段最短．求线段与线段的几分之几的和的最小值，一般将“线段的几分之几”进行转换，变成能用“两点之间线段最短”的图形来求最小值．（1）由直线y=-5x+5求点A、C坐标，用待定系数法求抛物线解析式，进而求得点B坐标．（2）从x轴把四边形AMBC分成△ABC与△ABM；由点A、B、C坐标求△ABC面积；设点M横坐标为m，过点M作x轴的垂线段MH，则能用m表示MH的长，进而求△ABM的面积，得到△ABM面积与m的二次函数关系式，配方即求得m为何值时取得最大值，进而求点M坐标和四边形AMBC的面积最大值．（3）作点D坐标为（4，0），可得BD=1，进而有，再加上公共角∠PBD=∠ABP，根据两边对应成比例且夹角相等可证△PBD∽△ABP，得等于相似比，进而得PD=AP，所以当C、P、D在同一直线上时，PC+PA=PC+PD=CD最小．用两点间距离公式即求得CD的长．3.【答案】解：（1）∵抛物线y=ax+bx-4经过点A（2，0），B（-4，0），∴，解得，∴抛物线解析式为y=x2+x-4；（2）如图1，连接OP，设点P（x，），其中-4＜x＜0，四边形ABPC的面积为S，由题意得C（0，-4），∴S=S△AOC+S△OCP+S△OBP=+，=4-2x-x2-2x+8，=-x2-4x+12，=-（x+2）2+16．∵-1＜0，开口向下，S有最大值，∴当x=-2时，四边形ABPC的面积最大，此时，y=-4，即P（-2，-4）．因此当四边形ABPC的面积最大时，点P的坐标为（-2，-4）．（3），∴顶点M（-1，-）．如图2，连接AM交直线DE于点G，此时，△CMG的周长最小．设直线AM的解析式为y=kx+b，且过点A（2，0），M（-1，-），∴，∴直线AM的解析式为y=-3．在Rt△AOC中，=2．∵D为AC的中点，∴，∵△ADE∽△AOC，∴，∴，∴AE=5，∴OE=AE-AO=5-2=3，∴E（-3，0），由图可知D（1，-2）设直线DE的函数解析式为y=mx+n，∴，解得：，∴直线DE的解析式为y=--．∴，解得：，∴G（）．【解析】（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求函二次数解析式解答；（2）连接OP，由S=S△AOC+S△OCP+S△OBP，可得出关于P点横坐标的表达式，然后利用二次函数的最值问题求出点P的坐标；（3）连接AM交直线DE于点G，此时，△CMG的周长最小．求出直线AM的解析式，再由△ADE∽△AOC，求出点E的坐标，求出直线DE的解析式，则由AM、DE两直线的交点可求得G点坐标．本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积，相似三角形的判定与性质，勾股定理，二次函数的最值问题．理解坐标与图形性质；会运用数形结合思想解决数学问题．4.【答案】解：（1）把C（0，2）代入y=ax2-3ax-4a得：-4a=2．解得a=-．则该抛物线解析式为y=-x2+x+2．由于y=-x2+x+2=-（x+1）（x-4）．故A（-1，0），B（4，0）；（2）存在，理由如下：由题意知，点E位于y轴右侧，作EG∥y轴，交BC于点G，∴CD∥EG，∴=．∵直线y=kx+1（k＞0）与y轴交于点D，则D（0，1）．∴CD=2-1=1．∴=EG．设BC所在直线的解析式为y=mx+n（m≠0）．将B（4，0），C（0，2）代入，得．解得．∴直线BC的解析式是y=-x+2．设E（t，-t2+t+2），则G（t，-t+2），其中＜t＜4．∴EG=（-t2+t+2）-（-t+2）=-（t-2）2+2．∴=-（t-2）2+2．∵＜0，∴当t=2时，存在最大值，最大值为2，此时点E的坐标是（2，3）．【解析】（1）将点C的坐标代入函数解析式求得a值即可；将所求得的抛物线解析式转化为两点式，易得点A、B的坐标；（2）由题意知，点E位于y轴右侧，作EG∥y轴，交BC于点G，根据平行线截线段成比例将求的最大值转化为求的最大值，所以利用一次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象上点的坐标特征，两点间的距离公式以及配方法解题即可．本题考查了二次函数综合题型，需要综合运用一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数最值的求法，待定系数法确定函数关系式以及平行线截线段成比例等知识点，综合性较强，难度不是很大．5.【答案】解：（1）点A的坐标是（2，0），抛物线的对称轴是直线x=-1，则点B（-4，0），则函数的表达式为：y=a（x-2）（x+4）=a（x2+2x-8），即：-8a=-2，解得：a=，故抛物线的表达式为：y=x2+x-2；（2）将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y=mx+n并解得：直线BC的表达式为：y=-x-2，则tan∠ABC=，则sin∠ABC=，设点D（x，0），则点P（x，x2+x-2），点E（x，x-2），∵PE=OD，∴PE=（x2+x-2+x+2）=（-x），解得：x=0或-5（舍去x=0），即点D（-5，0）S△PBE=×PE×BD=（x2+x-2+x+2）（-4-x）=；（3）由题意得：△BDM是以BD为腰的等腰三角形，只存在：BD=BM的情况，BD=1=BM，则y M=-BM sin∠ABC=-1×=-，则x M=，故点M（，-）．【解析】（1）点A（2，0）、点B（-4，0），则函数的表达式为：y=a（x-2）（x+4）=a （x2+2x-8），即可求解；（2）PE=OD，则PE=（x2+x-2-x+2）=（-x），求得：点D（-5，0），利用S△PBE= PE×BD=（x2+x-2-x+2）（-4-x），即可求解；（3）BD=1=BM，则y M=-BM sin∠ABC=-1×=-，即可求解．主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．6.【答案】解：（1）∵B（1，0），∴OB=1，∵OC=2OB=2，∴C（-2，0），Rt△ABC中，tan∠ABC=2，∴，∴，∴AC=6，∴A（-2，6），把A（-2，6）和B（1，0）代入y=-x2+bx+c得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y=-x2-3x+4；（2）①∵A（-2，6），B（1，0），易得AB的解析式为：y=-2x+2，设P（x，-x2-3x+4），则E（x，-2x+2），∵PE=DE，∴-x2-3x+4-（-2x+2）=（-2x+2），x=1（舍）或-1，∴P（-1，6）；②∵M在直线PD上，且P（-1，6），设M（-1，y），∴AM2=（-1+2）2+（y-6）2=1+（y-6）2，BM2=（1+1）2+y2=4+y2，AB2=（1+2）2+62=45，分三种情况：i）当∠AMB=90°时，有AM2+BM2=AB2，∴1+（y-6）2+4+y2=45，解得：y=3，∴M（-1，3+）或（-1，3-）；ii）当∠ABM=90°时，有AB2+BM2=AM2，∴45+4+y2=1+（y-6）2，y=-1，∴M（-1，-1），iii）当∠BAM=90°时，有AM2+AB2=BM2，∴1+（y-6）2+45=4+y2，y=，∴M（-1，）；综上所述，点M的坐标为：∴M（-1，3+）或（-1，3-）或（-1，-1）或（-1，）．【解析】（1）先根据已知求点A的坐标，利用待定系数法求二次函数的解析式；（2）①先得AB的解析式为：y=-2x+2，根据PD⊥x轴，设P（x，-x2-3x+4），则E（x，-2x+2），根据PE=DE，列方程可得P的坐标；②先设点M的坐标，根据两点距离公式可得AB，AM，BM的长，分三种情况：△ABM为直角三角形时，分别以A、B、M为直角顶点时，利用勾股定理列方程可得点M的坐标．此题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，铅直高度和勾股定理的运用，直角三角形的判定等知识．此题难度适中，解题的关键是注意方程思想与分类讨论思想的应用．7.【答案】解：（1）∵平行四边形ABOC绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′，且点A的坐标是（0，4），∴点A′的坐标为：（4，0），∵点A、C的坐标分别是（0，4）、（-1，0），抛物线经过点C、A、A′，设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c，∴，解得：，∴此抛物线的解析式为：y=-x2+3x+4；（2）如图1，连接AA′，设直线AA′的解析式为：y=kx+m，∴，解得：，∴直线AA′的解析式为：y=-x+4，设点M的坐标为：（x，-x2+3x+4），则S△AMA′=×4×[-x2+3x+4-（-x+4）]=-2x2+8x=-2（x-2）2+8，∴当x=2时，△AMA′的面积最大，最大值S△AMA′=8，∴M的坐标为：（2，6）；（3）设点P的坐标为（x，-x2+3x+4），当P，N，B，Q构成平行四边形时，∵平行四边形ABOC中，点A、C的坐标分别是（0，4）、（-1，0），∴点B的坐标为（1，4），∵点Q坐标为（1，0），P为抛物线上一动点，N为x轴上的一动点，①当BQ为边时，PN∥BQ，PN=BQ，∵BQ=4，∴-x2+3x+4=±4，当-x2+3x+4=4时，解得：x1=0，x2=3，∴P1（0，4），P2（3，4）；当-x2+3x+4=-4时，解得：x3=，x4=，∴P3（，-4），P4（，-4）；②当BQ为对角线时，BP∥QN，BP=QN，此时P与P1，P2重合；综上可得：点P的坐标为：P1（0，4），P2（3，4），P3（，-4），P4（，-4）；如图2，当这个平行四边形为矩形时，点N的坐标为：（0，0）或（3，0）．【解析】此题属于二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式的知识、平行四边形的性质以及三角形面积问题．掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．（1）由平行四边形ABOC绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′，且点A 的坐标是（0，4），可求得点A′的坐标，然后利用待定系数法即可求得经过点C、A、A′的抛物线的解析式；（2）首先连接AA′，设直线AA′的解析式为：y=kx+m，利用待定系数法即可求得直线AA′的解析式，再设点M的坐标为：（x，-x2+3x+4），继而可得△AMA′的面积，继而求得答案；（3）分别从BQ为边与BQ为对角线去分析求解，即可求得答案.结合平行四边形的情况分析即可得到矩形的情况.8.【答案】解：（1）将点A（-1，0），B（4，0），代入y═ax2+bx+4，得：，解得：，∴二次函数的表达式为：y=-x2+3x+4，当x=0时，y=4，∴C（0，4），设BC所在直线的表达式为：y=mx+n，将C（0，4）、B（4，0）代入y=mx+n，得：，解得：，∴BC所在直线的表达式为：y=-x+4；（2）∵DE⊥x轴，PF⊥x轴，∴DE∥PF，只要DE=PF，四边形DEFP即为平行四边形，∵y=-x2+3x+4=-（x-）2+，∴点D的坐标为：（，），将x=代入y=-x+4，即y=-+4=，∴点E的坐标为：（，），∴DE=-=，设点P的横坐标为t，则P的坐标为：（t，-t2+3t+4），F的坐标为：（t，-t+4），∴PF=-t2+3t+4-（-t+4）=-t2+4t，由DE=PF得：-t2+4t=，解得：t1=（不合题意舍去），t2=，当t=时，-t2+3t+4=-（）2+3×+4=，∴点P的坐标为（，）；（3）存在，理由如下：如图2所示：由（2）得：PF∥DE，∴∠CED=∠CFP，又∵∠PCF与∠DCE有共同的顶点C，且∠PCF在∠DCE的内部，∴∠PCF≠∠DCE，∴只有∠PCF=∠CDE时，△PCF∽△CDE，∴=，∵C（0，4）、E（，），∴CE==，由（2）得：DE=，PF=-t2+4t，F的坐标为：（t，-t+4），∴CF==t，∴=，∵t≠0，∴（-t+4）=3，解得：t=，当t=时，-t2+3t+4=-（）2+3×+4=，∴点P的坐标为：（，）．【解析】（1）由题意得出方程组，求出二次函数的解析式为y=-x2+3x+4，则C（0，4），由待定系数法求出BC所在直线的表达式即可（2）证DE∥PF，只要DE=PF，四边形DEFP即为平行四边形，由二次函数解析式求出点D的坐标，由直线BC的解析式求出点E的坐标，则DE=，设点P的横坐标为t，则P的坐标为：（t，-t2+3t+4），F的坐标为：（t，-t+4），由DE=PF得出方程，解方程进而得出答案；（3）由平行线的性质得出∠CED=∠CFP，当∠PCF=∠CDE时，△PCF∽△CDE，则=，得出方程，解方程即可．本题是二次函数综合题目，考查了待定系数法求二次函数和一次函数的解析式、二次函数的性质、平行四边形的判定与性质、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，熟练掌握待定系数法求函数解析式，熟记二次函数的性质是解题的关键．9.【答案】解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），将C（0，1）代入得-3a=1，解得：a=-，∴抛物线的解析式为y=-x2+x+1．（2）过点P作PD⊥x，交BC与点D．设直线BC的解析式为y=kx+b，则，解得：k=-，∴直线BC的解析式为y=-x+1．设点P（x，-x2+x+1），则D（x，-x+1）∴PD=（-x2+x+1）-（-x+1）=-x2+x，∴S△PBC=OB•DP=×3×（-x2+x）=-x2+x．又∵S△PBC=1，∴-x2+x=1，整理得：x2-3x+2=0，解得：x=1或x=2，∴点P的坐标为（1，）或（2，1）．（3）存在．如图：∵A（-1，0），C（0，1），∴OC=OA=1∴∠BAC=45°．∵∠BQC=∠BAC=45°，∴点Q为△ABC外接圆与抛物线对称轴在x轴下方的交点．设△ABC外接圆圆心为M，则∠CMB=90°．设⊙M的半径为x，则Rt△CMB中，由勾股定理可知CM2+BM2=BC2，即2x2=10，解得：x=（负值已舍去），∵AC的垂直平分线的为直线y=-x，AB的垂直平分线为直线x=1，∴点M为直线y=-x与x=1的交点，即M（1，-1），∴Q的坐标为（1，-1-）.【解析】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、三角形的外心的性质，求得点M的坐标以及⊙M的半径的长度是解题的关键．（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），将C（0，1）代入求得a的值即可；（2）过点P作PD⊥x，交BC与点D，先求得直线BC的解析式为y=-x+1，设点P（x，-x2+x+1），则D（x，-x+1），然后可得到PD与x之间的关系式，接下来，依据△PBC的面积为1列方程求解即可；（3）首先依据点A和点C的坐标可得到∠BQC=∠BAC=45°，设△ABC外接圆圆心为M，则∠CMB=90°，设⊙M的半径为x，则Rt△CMB中，依据勾股定理可求得⊙M的半径，然后依据外心的性质可得到点M为直线y=-x与x=1的交点，从而可求得点M的坐标，然后由点M的坐标以及⊙M的半径可得到点Q的坐标．10.【答案】解：（1）由题意，得，解得，抛物线的函数表达式为y=-x2+x+3；（2）设直线BC的解析是为y=kx+b，，解得∴y=-x+3，设D（a，-a2+a+3），（0＜a＜4），过点D作DM⊥x轴交BC于M点，如图1，M（a，-a+3），DM=（-a2+a+3）-（-a+3）=-a2+3a，∵∠DME=∠OCB，∠DEM=∠BOC，∴△DEM∽△BOC，∴=，∵OB=4，OC=3，∴BC=5，∴DE=DM∴DE=-a2+a=-（（a-2）2+，当a=2时，DE取最大值，最大值是，（3）假设存在这样的点D，△CDE使得中有一个角与∠CFO相等，∵点F为AB的中点，∴OF=，tan∠CFO==2，过点B作BG⊥BC，交CD的延长线于G点，过点G作GH⊥x轴，垂足为H，如图2，①若∠DCE=∠CFO，∴tan∠DCE==2，∴BG=10，∵△GBH∽BCO，∴==，∴GH=8，BH=6，∴G（10，8），设直线CG的解析式为y=kx+b，∴，解得∴直线CG的解析式为y=x+3，∴，解得x=，或x=0（舍）．②若∠CDE=∠CFO，同理可得BG=，GH=2，BH=，∴G（，2），同理可得，直线CG的解析是为y=-x+3，∴，解得x=或x=0（舍），综上所述，存在点D，使得△CDE中有一个角与∠CFO相等，点D的横坐标为或．【解析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得DM，根据相似三角形的判定与性质，可得DE的长，根据二次函数的性质，可得答案；（3）根据正切函数，可得∠CFO，根据相似三角形的性质，可得GH，BH，根据待定系数法，可得CG的解析式，根据解方程组，可得答案．本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法，解（2）的关键是利用相似三角形的性质得出DE的长，又利用了二次函数的性质；解（3）的关键是利用相似三角形的性质得出G点的坐标，由；利用了待定系数法求函数解析式，解方程组的横坐标．。
《二次函数线段最值问题》
九年级专题练习类型一：二次函数线段最值问题1..如图,抛物线y=ax²+bx-3过点A(1,0),B(-3,0),直线AD 交抛物线于点D,点D 的横坐标为-2,P(m,n ）是线段AD 上的动点(1)求直线AD 及抛物线的解析式.(2)过点P 的直线垂直于x 轴,交抛物线于点Q,求线段PQ 的长度L 与m 的关系式,m 为何值时,PQ 最长?(3)在平面内是否存在整点(横、纵坐标都为整数)R,使得以P,Q,D,R 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,直接写出点R 的坐标;若不存在,说明理由.2.如图,一次函数 221+-=x y 分别交 y 轴、x 轴于A,B 两点,抛物线c bx x y ++-=2过A,B 两点(1)求这个抛物线的解析式.(2)做垂直于x 轴的直线x=t,在第一象限交直线 AB 于点M.交这个抛物线于点N. 当t 取何值时,MN 取最大值?最大值是多少?(3)在(2)的情况下,MN 取最大值时,以A,M,N,D 为顶点作平行四边形,求第四个顶点D 的坐标.3.如图,抛物线y=x²＋bx ＋c 与x 轴交于点A 和B(3,0),与y 轴交于点 C(（0,3) (1)求抛物线的解析式;(2)若点M 是抛物线上在x 轴下方的动点,过M 作 MN//y 轴交直线BC 于点N, 求线段 MN 的最大值;(3)E 是抛物线对称轴上一点,F 是抛物线上一点,是否存在以A,B,E,F 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点F 的坐标;若不存在,请说明理由。
4.如图,已知二次函数 y=ax²+bx+c的图象与x 轴相交于A （-1,0）,B(3,0),与y 轴相交于点C （0,-3)（1)求这个二次函数的表达式;(2)若P 是弟四象限内这个二次函数的图象上任意一点,PH x 轴于点 H,与BC 交于点M,连接 PC.①求线段 PM 的最大值;②当△PCM 是以PM 为一腰的等腰三角形时,求点P 的坐标.备用图5.已知抛物线 y=ax²+bx-2经过点A(4,0)、B(1,0)交y轴于点C.(1)求此抛物线的解析式;(2)在直线AC上方的抛物线上有一动点D,过点D作DE⊥x轴交AC于点E,请直接写出直线AC的解析式并求出线段 DE的最大值; (3)P是y轴右侧抛物线上的一个动点,过P作PM⊥x轴,垂足为M,是否存在点P,使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似?若存在,请直接写出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.。
小专题10__二次函数与几何图形综合-线段相关问题
《小专题10 二次函数与几何图形综合——线段相关问题》
类型1 线段最值问题
1.（自贡中考节选）如图，抛物线y=x2+bx-3过A（1，0），B（-3，0），直线AD交抛物线于点D，点D的横坐标为-2，点P（m，n）是线段AD上的动点. （1）求直线AD及抛物线的解析式；
（2）过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求线段PQ的长度与m的关系式，m为何值时，PQ最长
类型2 线段数量关系问题
2.如图，抛物线y=-x2+4x+5与x轴交于点A（-1，0），B（5，0），直线
与y轴交于点C，与x轴交于点D.点P是x轴上方的抛物线上一动点，过点P 作PF x轴于点F，交直线CD于点E.设点P的横坐标为m.若PE=5EF，求m
的值.
类型3 周长最值问题
3. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点
D（2，2）是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点P，使得△BDP的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
参考答案
1.解：（1）抛物线的解析式为。
直线AD的解析式为y=
（2）由题意知P（m，m-1），。
当时，
2. 解：点P的横坐标为
点P在x轴上方，要使PE-5EF，点P应在y轴右侧，
.分两
种情况讨论：①当点E在点F上方时，+3.
.即.解得
；②当点E在点F下方时，EF
.
即m2.解得（舍去）. 综上所述，
m的值为2或.
3.解：令，解得.
连接AD，交对称轴于点P，则P为所求的点.设直线AD的解析式为.
将点A，D.直线AD的解析式为
抛物线对称轴为直线，将，
得点p。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
类型一 二次函数与线段问题
例1、 如图，抛物线y ＝x 2－2x －3与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点P 是抛物线对称轴上的一个动点，如果△P AC 的周长最小，求点P 的坐标．
例2、如图，抛物线21442
y x x =-+与y 轴交于点A ，B 是OA 的中
点．一个动点G 从点B 出发，先经过x 轴上的点M ，再经过抛物线对称轴上的点N ，然后返回到点A ．如果动点G 走过的路程最短，请找出点M 、N 的位置，并求最短路程．
例3、如图3-1，抛物线24829
3
y x x =-++与y 轴交于点A ，顶点为B ．点
P 是x 轴上的一个动点，求线段P A 与PB 中较长的线段减去较短的线段的差的最小值与最大值，并求出相应的点P 的坐标．
例4、如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，点P、Q、K分别为线段BC、CD、BD上的任意一点，求PK＋QK的最小值．
例5、如图，菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CD、⊙B和⊙A上的动点，求PE＋PF的最小值．
例6、如图，已知A(0, 2)、B(6, 4)、E(a, 0)、F(a＋1, 0)，求a为何值时，四边形ABEF周长最小？请说明理由．
例7、如图7-1，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝1．点A、C分别在x轴和y轴的正半轴上，当点A在x轴上运动时，点C 也随之在y轴上运动．在整个运动过程中，求点B到原点的最大距离．
例8、如图8-1，已知A(－2,0)、B(4, 0)、(5,33)
D ．设F为线段BD上一点（不含端点），连结AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止．当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？
图8-1
例9、如图9-1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．点E是BC边上的点，连结AE，过点E作AE的垂线交AB边于点F，求AF的最小值．
图9-1
例10、如图10-1，已知点P 是抛物线214
y x 上的一个点，点D 、
E 的坐标分别为(0, 1)、(1, 2)，连结PD 、PE ，求PD ＋PE 的最小值．
图10-1。