二次函数与线段和差最值问题综合

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专题二 (二) 二次函数之动态线段差最大问题

专题二 (二) 二次函数之动态线段差最大问题问题描述本题要求根据已经给定的二次函数 $y = ax^2 + bx + c$，求出函数对应的动态线段在指定区间上的最大差值。

解题思路首先，我们可以将给定的二次函数转化为标准形式 $y = a(x - h)^2 + k$，其中 $(h, k)$ 为顶点的坐标。

从标准形式中我们可以得知，当 $x = h$ 时，函数取得最大值或最小值。

因此，我们只需要找到动态线段的两个端点，并求出这两个端点上函数的最大值和最小值，然后计算它们的差值即可。

具体的步骤如下：1. 根据给定的二次函数将其转化为标准形式，求出顶点坐标$(h, k)$；2. 根据指定的区间，求出两个端点坐标 $(x_1, y_1)$ 和 $(x_2, y_2)$；3. 分别将两个端点的坐标带入二次函数，计算出两个点上的函数值 $y_1$ 和 $y_2$；4. 比较 $y_1$ 和 $y_2$ 的大小，求出差值并输出。

示例假设给定的二次函数为 $y = 2x^2 - 3x + 1$，指定区间为 $[-1, 2]$。

首先将二次函数转化为标准形式：$$y = 2\left(x - \frac{3}{4}\right)^2 + \frac{1}{8}$$然后求出动态线段的两个端点坐标：$(x_1, y_1) = (-1, 4)$，$(x_2, y_2) = (2, 5)$将两个端点的坐标带入二次函数，计算出两个点上的函数值：$y_1 = 2$, $y_2 = \frac{27}{4}$最后求出差值：$\text{差值} = y_2 - y_1 = \frac{19}{4}$因此，给定二次函数在指定区间上的动态线段的最大差值为$\frac{19}{4}$。

总结本文档介绍了求解二次函数动态线段最大差值问题的思路和步骤。

通过将二次函数转化为标准形式，找到动态线段端点，并带入函数求出对应的函数值，我们可以得到动态线段的最大差值。

二次函数-因动点产生的线段和差问题经典例题.doc

二次函数-因动点产生的线段和差问题例1、在平面直角坐标系中，已知点J(-2,0), 〃(0,4),点、E 在0B 上,且上OAE= Z OBA.(1) 如图L,求点E 的坐标;(2) 如图2,将△昇加沿/轴向右平移得到ZUF O f ,连结"B 、BE' .① 设曲'=加其中0＜刃＜2,使用含刃的式子表示木用+加S 并求出使才用+3F 彳取得最小值时点用的坐标；② 当彳B+BE'取得最小值时，求点F 的坐标(直接写出结果即可).思路点拨1. 图形在平移的过程中・，对应点的连线平行且相等，EE 1 =AA f =/〃.2. 求彳$的最小值，第一感觉是用勾股定理列关于/〃的式子.3. 求才B+BE'的最小值，第一感觉是典型的“牛喝水”问题一一轴对称，两点之间线段最短.满分解答(1) 由 ZOAE=ZOBA, ZAOE=ZBOA,得［\AOEs\BOA.rri ., AO BO m u 2 4所以——=—.因此一=一・OE OA 0E 2解得0E=\.所以00,1).(2) ①如图3,在Rt △才加屮，OB=4, OA 1 =2—刃，所以才仔=16+(2— 〃在 Rt △应F 中，BE=3, EE' =m,所以 BE' 2=^+m ・所以"I^+BE' 2=16+(2-/7?)2 + 9+/W 2=2(/»-1)2+27.图2所以当〃尸1时，A 1Ef 2取得•最小值，最小值为27. 此时点彳是昇0的中点，点F 向右平移了 1个单位，所以E 1(1,1).考点伸展第(2)②题这样解:如图4-,过点〃作y 轴的垂线厶作点E'关于直线1的对称点所以彳 B+BE' =A f R+BE'三点共线时，A r B+BE' f取得最小值，最小值为线段才E'在 Rt △川 O' E f '中，A r O' =2, O f =7,所以川 F '=后. 当才、B 、三点共线时，也=竺1.所以!1 = 1.BO E'O4 7解得m = -.此时£*(-,1). 77当才、B 、E f例2、如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y=ax+bx+c经过/（一2, —4 ）、0（0, 0）、M2, 0）三点.（1）求抛物线『=ax^+bx+c的解析式；（2）若点〃是该抛物线对称轴上的一点，求加/+〃”的最小值.图1答案(1) y = _討+ z （2）AM+ OM的最小值为4血.例3、如图1,在平面直角坐•标系中，抛物线尸=一#+2/+3与/轴交于爪B 两点、, 与y 轴交于点C 点〃是抛物线的顶点.(1) 求直线的解析式及〃、〃两点的坐标；(2) 点”是*轴上的一个动点，过"作直线〃/力。

部编数学九年级下册专项10二次函数和线段和差最值问题(解析版)含答案

专项10 二次函数和线段和差最值问题“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现。

“两点定点一定长”模型一：当两定点 A、B 在直线l异侧时，在直线l上找一点 P，使 PA+PB 最小。

作法：连接AB交直线l 于点 P，点P即为所求作的点。

结论：PA+PB值最小模型二：作法：作点B关于直线l的对称点B’，连接AB’与直线l相交的点P即为所求结论：AP+PB’值最小模型三：PA-最大。

当两定点 A、B 在直线l同侧时，在直线l上找一点 P，使PB作法：接 AB并延长交直线l于点 P，点P即为所求作的点。

PA-的最大值为 AB。

结论：PBPA-最大。

当 l 两B定点 A、B 在直线l 异侧时，在直线l 上找一点 P，使PB作法：作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′并延长交直线于点 P，点P即为所求作的点。

PA-的最大值为AB′结论：PB模型四：当 l 两定点 A、B 在直线l同侧时，在直线l上找一点 P，使PBPA-最小。

作法：连接 AB，作AB的垂直平分线交直线l于点 P，点 P 即为所求作的点。

PA-的最小值为 0结论：PB【考点1 线段最值问题】【典例1】（盘锦）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4交y轴于点C，交x 轴于A、B两点，A（﹣2，0），a+b＝，点M是抛物线上的动点，点M在顶点和B点之间运动（不包括顶点和B点），ME∥y轴，交直线BC于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）求线段ME的最大值；【解答】解：（1）将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝4a﹣2b+4，则，解得：，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+4；（2）y＝﹣x2+x+4，令x＝0，则y＝4，令y＝0，则x＝4或﹣2，故点A、B、C的坐标分别为：（﹣2，0）、（4，0）、（0，4），设直线BC的表达式为：y＝kx+b，则，解得：，故直线BC的表达式为：y＝﹣x+4，设点M（x，﹣x2+x+4），则点E（x，﹣x+4），则ME＝（﹣x2+x+4）﹣（x﹣4）＝﹣x2+2x，∵，故ME有最大值，当x＝2时，ME的最大值为2；【变式1-1】（2021•柳南区校级模拟）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，0），直线y＝x+m与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为（3，4），B点在轴y上．（1）求m的值及这个二次函数的关系式；（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x．①求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；②线段PE的长h是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时的x值；若不存在，请说明理由？【解答】解：（1）∵点A（3，4）在直线y＝x+m上，∴4＝3+m．∴m＝1．设所求二次函数的关系式为y＝a（x﹣1）2．∵点A（3，4）在二次函数y＝a（x﹣1）2的图象上，∴4＝a（3﹣1）2，∴a＝1．∴所求二次函数的关系式为y＝（x﹣1）2．即y＝x2﹣2x+1．（2）①设P、E两点的纵坐标分别为y P和y E．∴PE＝h＝y P﹣y E＝（x+1）﹣（x2﹣2x+1）＝﹣x2+3x．即h＝﹣x2+3x（0＜x＜3）．②存在．∵h＝﹣（x﹣）2+，又∵a＝﹣1＜0，∴x＝时，h的值最大，最大值为．【变式1-2】（2022春•丰城市校级期末）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，连接PC．求线段PM的最大值；【解答】解：（1）将A，B，C代入函数解析式得，，解得，∴这个二次函数的表达式y＝x2﹣2x﹣3；（2）设BC的解析式为y＝kx+b，将B，C的坐标代入函数解析式得，，解得，∴BC的解析式为y＝x﹣3，设M（n，n﹣3），P（n，n2﹣2n﹣3），PM＝（n﹣3）﹣（n2﹣2n﹣3）＝﹣n2+3n＝﹣（n﹣）2+，＝，当n＝时，PM最大∴线段PM的最大值；【典例2】（2020秋•椒江区校级月考）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过点A （1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点T为对称轴直线x＝2上一点，则TC﹣TB的最大值为多少？【解答】解：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝a（x﹣1）（x﹣3）＝a（x2﹣4x+3）＝ax2+bx+3，解得a＝1，故抛物线的表达式为y＝x2﹣4x+3①；（2）点B关于函数对称轴的对称点为点A，连接CA交函数对称轴于点T，则点T为所求点，则TC﹣TB＝TC﹣TA＝AC为最大，故TC﹣TB的最大值为AC＝＝，故答案为；【变式2】（2020•连云港）在平面直角坐标系xOy中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线L1：y＝x2﹣x﹣2的顶点为D，交x轴于点A、B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线L2与L1是“共根抛物线”，其顶点为P．（1）若抛物线L2经过点（2，﹣12），求L2对应的函数表达式；（2）当BP﹣CP的值最大时，求点P的坐标；【解答】解：（1）当y＝0时，x2﹣x﹣2＝0，解得x＝﹣1或4，∴A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2），由题意设抛物线L2的解析式为y＝a（x+1）（x﹣4），把（2，﹣12）代入y＝a（x+1）（x﹣4），﹣12＝﹣6a，解得a＝2，∴抛物线的解析式为y＝2（x+1）（x﹣4）＝2x2﹣6x﹣8．（2）∵抛物线L2与L1是“共根抛物线”，A（﹣1，0），B（4，0），∴抛物线L1，L2的对称轴是直线x＝，∴点P在直线x＝上，∴BP＝AP，如图1中，当A，C，P共线时，BP﹣PC的值最大，此时点P为直线AC与直线x＝的交点，∵直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣2，∴P（，﹣5）【典例3】（2022•澄海区模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点C坐标为（0，3），对称轴为x＝1．点M为线段OB上的一个动点（不与两端点重合），过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC 于点Q．（1）求抛物线及直线BC的表达式；（2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．求线段PN的最大值；【解答】解：（1）∵抛物线对称轴为x＝1，点B与A（﹣1，0）关于直线x＝1对称，∴B（3，0），设y＝a（x﹣3）（x+1），把C（0，3）代入得：﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，∴y＝﹣（x﹣3）（x+1）＝﹣x2+2x+3，设直线BC的解析式为y＝kx+d，则，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，故抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，直线BC的解析式为y＝﹣x+3；（2）设P（t，﹣t2+2t+3），则Q（t，﹣t+3），∴PQ＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°，∴∠BCO＝45°，∵PQ⊥x轴，∴PQ∥y轴，∴∠PQN＝∠BCO＝45°，∵PN⊥BC，∴PN＝PQ•sin∠PQN＝（﹣t2+3t）•sin45°＝﹣（t﹣）2+，∵＜0，∴当t＝时，PN的最大值为；【变式3】（2022•广元）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A，B两点，并与x轴的正半轴交于点C．（1）求a，b满足的关系式及c的值；（2）当a＝1时，若点Q是直线AB下方抛物线上的一个动点，过点Q作QD⊥AB于点D，当QD的值最大时，求此时点Q的坐标及QD的最大值．【解答】解：（1）直线y＝﹣x﹣2中，当x＝0时，y＝﹣2，∴B（0，﹣2），当y＝0时，﹣x﹣2＝0，∴x＝﹣2，∴A（﹣2，0），将A（﹣2，0），B（0，﹣2）代入抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）中，得，，∴2a﹣b＝1，c＝﹣2；（2）当a＝1时，2×1﹣b＝1，∴b＝1，∴y＝x2+x﹣2，∴A（﹣2，0），B（0，﹣2），C（1，0），∴OA＝OB，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠OAB＝45°，如图2，过点Q作QF⊥x轴于F，交AB于E，则△EQD是等腰直角三角形，设Q（m，m2+m﹣2），则E（m，﹣m﹣2），∴QE＝（﹣m﹣2）﹣（m2+m﹣2）＝﹣m2﹣2m＝﹣（m+1）2+1，∴QD＝QE＝﹣（m+1）2+，当m＝﹣1时，QD有最大值是，当m＝﹣1时，y＝1﹣1﹣2＝﹣2，综上，点Q的坐标为（﹣1，﹣2）时，QD有最大值是．【考点2 线段和最小】【典例4】（2019秋•东莞市校级期末）已知，抛物线y＝ax2+bx+c，过A（﹣1，0）、B （3，0）、C（0，﹣3），M为顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上找一点P，使得PA+PC的值最小，并求出P的坐标；【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），把C（0，﹣3）代入得a×（0+1）×（0﹣3）＝﹣3，解得a＝1，∴抛物线解析式为y＝（x+1）（x﹣3），即y＝x2﹣2x﹣3；（2）抛物线的对称轴为直线x＝1，点A与点B关于直线x＝1对称，连接BC交直线x＝1于P点，则PA＝PB，∵PA+PC＝PB+PC＝BC，∴此时PA+PC的值最小，设直线BC的解析式为y＝mx+n，把B（3，0），C（0，﹣3）代入得，解得，∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，当x＝1时，y＝x﹣3＝﹣2，则满足条件的P点坐标为（1，﹣2）；【变式4-1】（2019•赤峰）如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上找一点E，使EC+ED的值最小，求EC+ED的最小值；【解答】解：（1）直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，则点B、C的坐标分别为（3，0）、（0，3），将点B、C的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，故函数的表达式为：y＝﹣x2+2x+3，令y＝0，则x＝﹣1或3，故点A（﹣1，0）；（2）如图1中，作点C关于x轴的对称点C′，连接CD′交x轴于点E，则此时EC+ED 为最小，函数顶点D坐标为（1，4），点C′（0，﹣3），将C′、D的坐标代入一次函数表达式并解得：直线C′D的表达式为：y＝7x﹣3，当y＝0时，x＝，故点E（，0），则EC+ED的最小值为DC′＝；【变式4-2】（2016•黑龙江二模）如图，抛物线y＝x2+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）点M（m，0）是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值．【解答】解：（1）∵点A（﹣1，0）在抛物线y＝x2+bx﹣2上，∴×（﹣1）2+b×（﹣1）﹣2＝0，解得：b＝﹣，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣2．∵y＝x2﹣x﹣2＝（x2﹣3x﹣4 ）＝，∴顶点D的坐标为（，﹣）．（2）设点C关于x轴的对称点为C′，直线C′D的解析式为y＝kx+n，则，解得：．∴y＝﹣x+2．∴当y＝0时，﹣x+2＝0，解得：x＝．∴m＝．【典例5】（2022•恩施州模拟）如图1，已知抛物线．点A（﹣1，2）在抛物线的对称轴上，是抛物线与y轴的交点，D为抛物线上一动点，过点D 作x轴的垂线，垂足为点C．（1）直接写出h，k的值；（2）如图1，若点D的坐标为（3，m），点Q为y轴上一动点，直线QK与抛物线对称轴垂直，垂足为点K．探求DK+KQ+QC的值是否存在最小值，若存在，求出这个最小值及点Q的坐标；若不存在，请说明理由；【解答】解：（1）∵点A（﹣1，2）在抛物线的对称轴上，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∴h＝1，∴y＝（x+1）2+k，∵是抛物线与y轴的交点，∴+k＝，∴k＝1；（2）存在最小值，理由如下：由（1）可知y＝（x+1）2+1，作C点关于直线x＝﹣的对称点C'，连接C'D交抛物线对称轴于点K，连接CQ，由对称性可知C'K＝CQ，∴CQ+KQ+KD＝C'K+KD+KQ≥C'D+KQ，当C'、K、D三点共线时，CQ+KQ+KD的值最小，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∴KQ＝1，∵D（3，5），CD⊥x轴，∵C（3，0），∴C'（﹣4，0），∴C'D＝，∴CQ+KQ+KD的最小值为+1，设直线C'D的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝x+，∴K（﹣1，），∴Q（0，）；【变式5】（2022•桂林）如图，抛物线y＝﹣x2+3x+4与x轴交于A，B两点（点A位于点B 的左侧），与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于点N，长为1的线段PQ（点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动．（1）直接写出A，B，C三点的坐标；（2）求CP+PQ+QB的最小值；【解答】解：（1）在y＝﹣x2+3x+4中，令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝﹣1或x＝4，∴A（﹣1，0），B（4，0），C（0，4）；（2）将C（0，4）向下平移至C'，使CC'＝PQ，连接BC'交抛物线的对称轴l于Q，如图：∵CC'＝PQ，CC'∥PQ，∴四边形CC'QP是平行四边形，∴CP＝C'Q，∴CP+PQ+BQ＝C'Q+PQ+BQ＝BC'+PQ，∵B，Q，C'共线，∴此时CP+PQ+BQ最小，最小值为BC'+PQ的值，∵C（0，4），CC'＝PQ＝1，∴C'（0，3），∵B（4，0），∴BC'＝＝5，∴BC'+PQ＝5+1＝6，∴CP+PQ+BQ最小值为6；【考点3 周长最值问题】【典例6】（2020春•五华区校级期末）如图，抛物线y＝x2+bx﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）点M是对称轴上的一个动点，当△ACM的周长最小时，求点M的坐标．【解答】解：（1）∵点A（﹣1，0）在抛物线y＝x2+bx﹣3上，∴b＝﹣2，∴抛物线解析式y＝x2﹣2x﹣3，∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴顶点D的坐标（1，﹣4）；（2）对于y＝x2﹣2x﹣3，当x＝0时，y＝﹣3，∴C（0，﹣3），当y＝0时，0＝x2﹣2x﹣3，解得：x＝3或﹣1，∴B（3，0），由抛物线的性质可知：点A和B是对称点，∴连接BC交函数的对称轴于点M，此时AM+CM＝BC为最小值，而BC的长度是常数，故此时△ACM的周长最小，设直线BC的表达式为y＝mx+n，则，解得，故直线BC的表达式为y＝x﹣3，当x＝1时，y＝﹣2，故点M（1，﹣2）．【变式6-1】（2021•富拉尔基区模拟）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线解析式；（2）若M是抛物线对称轴上的一点，则△ACM周长的最小值为多少？【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），∴，解得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；（2）∵△ACM周长的值最小，∴MC+AM的值最小，即点M即为直线BC与抛物线对称轴的交点，∴△ACM周长的最小值为BC+AC，∵点B（﹣3，0），C（0，3），∴BC＝＝3，AC＝＝，∴△ACM周长的最小值为，故答案为：；【变式6-2】（2022•齐河县模拟）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3过A（1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C．（1）求抛物线的函数解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ACM的周长最小？若存在，求出△ACM 周长的最小值；若不存在，请说明理由．（3）如图2，连接BC，抛物线上是否存在一点P，使得∠BCP＝∠ACB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过A（1，0）、B（3，0）两点，∴方程ax2+bx+3＝0的两根为x＝1或x＝3，∴1+3＝﹣，1×3＝，∴a＝1，b＝﹣4，∴二次函数解析式是y＝x2﹣4x+3；（2）∵二次函数解析式是y＝x2﹣4x+3，∴抛物线的对称轴为直线x＝2，C（0，3）．∵点A、B关于对称轴对称，∴点M为BC与对称轴的交点时，MA+MC＝BC的值最小．设直线BC的解析式为y＝kx+t（k≠0），则，解得：．∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3．∵抛物线的对称轴为直线x＝2．∴当x＝2时，y＝1．∴抛物线对称轴上存在点M（2，1）符合题意，∵A（1，0）、B（3，0），C（0，3）．∴AC＝＝，BC＝＝3，∴AC+BC＝+3，∴在抛物线的对称轴上存在点M，使△ACM的周长最小，△ACM周长的最小值为+3；【典例7】（2022春•衡阳期中）如图，直线y＝﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+x+c经过A、B两点．（1）求二次函数解析式；（2）如图1，点E在线段AB上方的抛物线上运动（不与A、B重合），过点E作ED⊥AB，交AB于点D，作EF⊥AC，交AC于点F，交AB于点M，求△DEM的周长的最大值；【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴A（4，0），B（0，3）．∵抛物线y＝ax2+x+c经过A、B两点，∴，解得．∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2+x+3．（2）∵A（4，0），B（0，3）．∴OA＝4，OB＝3，∴AB＝5．∵ED⊥AB，∴∠EDM＝∠AOB＝90°，∵∠DEM+∠EMD＝∠FMA+∠BAO＝90°，∠FMA＝∠EMD，∴∠DEM＝∠BAO，∴△AOB∽△EDM，∴AO：OB：AB＝ED：DM：EM＝4：3：5，设E的横坐标为t，则E（t，﹣t2+t+3），∴M（t，﹣t+3），∴EM＝﹣t2+t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+t．∴△DEM的周长为：ED+DM+EM＝EM＝﹣（t﹣2）2+，∴当t＝2时，△DEM的周长的最大值为．【变式7】（2022春•北碚区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y＝ax2+bx+2交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，一次函数y＝﹣x﹣1交抛物线于A，D两点，其中点D（3，﹣4）．（1）求抛物线C1的解析式；（2）点G为抛物线上一点，且在线段BC上方，过点G作GH∥y轴交BC于H，交x 轴于点N，作GM⊥BC于点M，求△GHM周长的最大值；【解答】解：（1）∵一次函数y＝﹣x﹣1交抛物线于A点，且点A在x轴上，∴A（﹣1，0）；将A（﹣1，0）和D（3，﹣4）代入抛物线C1：y＝ax2+bx+2，∴，解得，∴抛物线C1：y＝﹣x2+x+2．（2）由（1）知抛物线C1：y＝﹣x2+x+2．令y＝0，解得x＝﹣1或x＝2，∴B（2，0）；令x＝0，则y＝2，∴C（0，2）．∴OB＝OC＝2，直线BC的解析式为：y＝﹣x+2；∴△OBC是等腰直角三角形，且∠OBC＝∠OCB＝45°；∵GH∥y轴，∴∠GNB＝90°，∴∠BHN＝45°，∵GM⊥BC，∴∠GMH＝90°，∵∠MGH＝∠GHM＝45°，∴GM＝MH＝GH；设点G的横坐标为t，则G（t，﹣t2+t+2），H（t，﹣t+2），∴GH＝﹣t2+2t＝﹣（t﹣1）2+1．∵﹣1＜0，∴当t＝1时，GH有最大值1；∵△GHM的周长为：GM+MH+GH＝（+1）GH，∴△GHM周长的最大值为+1．1．（2022春•丰城市校级期末）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A （﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，连接PC．求线段PM的最大值；【解答】解：（1）将A，B，C代入函数解析式得，，解得，∴这个二次函数的表达式y＝x2﹣2x﹣3；（2）①设BC的解析式为y＝kx+b，将B，C的坐标代入函数解析式得，，解得，∴BC的解析式为y＝x﹣3，设M（n，n﹣3），P（n，n2﹣2n﹣3），PM＝（n﹣3）﹣（n2﹣2n﹣3）＝﹣n2+3n＝﹣（n﹣）2+，＝，当n＝时，PM最大∴线段PM的最大值；2．（2022•宁远县模拟）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0），与y轴交于点C，点D（﹣2，﹣3）在抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求出PA+PD的最小值；【解答】解：（1）∴二次函数y＝x2+bx+c的图象经过A（﹣3，0），D（﹣2，﹣3），∴，解得：．∴二次函数解析式为y＝x2+2x﹣3；（2）∵抛物线y＝x2+2x﹣3的对称轴x＝﹣＝﹣1，D（﹣2，﹣3），C（0，﹣3），∴C、D关于抛物线的对称轴x＝﹣1对称，连接AC与对称轴的交点就是点P，此时PA+PD＝PA+PC＝AC＝＝＝3．∴PA+PD的最小值为3；3．（2022•昭平县二模）如图1，对称轴为直线x＝1的抛物线经过B（3，0）、C（0，4）两点，抛物线与x轴的另一交点为A．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为抛物线对称轴上的一点，使PA+PC取得最小值，求点P的坐标；【解答】解：（1）由对称性得：A（﹣1，0），设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣3），把C（0，4）代入：4＝﹣3a，a＝﹣，∴y＝﹣（x+1）（x﹣3），∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+4；（2）如图，点A与点B关于对称轴直线x＝1对称，连接BC，交抛物线对称轴于点P，连接PA，即点P为所求点，此时PA+PC＝PB+PC＝BC的值最小，∵B（3，0）、C（0，4），设直线BC的函数解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴直线BC的函数解析式为y＝﹣x+4，当x＝1时，y＝，∴P点的坐标为（1，）；4．（2022春•石鼓区校级月考）已知：二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为（﹣3，0），与y轴交于点C，点D（﹣2，﹣3）在抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求△PAD周长的最小值．【解答】解：（1）将（﹣3，0），（﹣2，﹣3）代入y＝x2+bx+c得，解得，∴抛物线解析式为y＝x2+2x﹣3．（2）∵y＝x2+2x﹣3，∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1，连接BD，交对称轴于点P，∵点A坐标为（﹣3，0），抛物线对称轴为直线x＝﹣1，∴点B坐标为（1，0），∴BD＝＝3，又∵AD＝＝，∴△PAD周长的最小值为3+．5．（2022•江阴市校级一模）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与x 轴分别相交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，3）．（1）求出这条抛物线的解析式及顶点M的坐标；（2）PQ是抛物线对称轴上长为1的一条动线段（点P在点Q上方），求AQ+QP+PC 的最小值；【解答】解：（1）∵抛物线过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），∴设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），将C（0，3）代入，得：3＝a（0+1）（0﹣3），解得：a＝﹣1，∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴该抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，顶点坐标为M（1，4）．（2）如图1，将点C沿y轴向下平移1个单位得C′（0，2），连接BC′交抛物线对称轴x＝1于点Q′，过点C作CP′∥BC′，交对称轴于点P′，连接AQ′，∵A、B关于直线x＝1对称，∴AQ′＝BQ′，∵CP′∥BC′，P′Q′∥CC′，∴四边形CC′Q′P′是平行四边形，∴CP′＝C′Q′，Q′P′＝CC′＝1，在Rt△BOC′中，BC′＝，＝＝．∴AQ′+Q′P′+P′C＝BQ′+C′Q′+Q′P′＝BC′+Q′P′＝+1，此时，C′、Q′、B三点共线，BQ′+C′Q′的值最小，∴AQ+QP+PC的最小值为+1．6．（2022•常德）如图，已知抛物线过点O（0，0），A（5，5），且它的对称轴为x＝2，点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限．（1）求此抛物线的解析式；（2）当△OAB的面积为15时，求B的坐标；（3）在（2）的条件下，P是抛物线上的动点，当PA﹣PB的值最大时，求P的坐标以及PA﹣PB的最大值．【解答】解：（1）∵抛物线过点O（0，0），A（5，5），且它的对称轴为x＝2，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（4，0），设抛物线解析式为y＝ax（x﹣4），把A（5，5）代入，得5a＝5，解得：a＝1，∴y＝x（x﹣4）＝x2﹣4x，故此抛物线的解析式为y＝x2﹣4x；（2）∵点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，∴设B（2，m）（m＞0），设直线OA的解析式为y＝kx，则5k＝5，解得：k＝1，∴直线OA的解析式为y＝x，设直线OA与抛物线对称轴交于点H，则H（2，2），∴BH＝m﹣2，＝15，∵S△OAB∴×（m﹣2）×5＝15，解得：t＝8，∴点B的坐标为（2，8）；（3）设直线AB的解析式为y＝cx+d，把A（5，5），B（2，8）代入得：，解得：，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+10，当PA﹣PB的值最大时，A、B、P在同一条直线上，∵P是抛物线上的动点，∴，解得：，（舍去），∴P（﹣2，12），此时，PA﹣PB＝AB＝＝3．7．（2022•玉州区一模）如图，抛物线y＝﹣x2x+4交x轴于A，B两点（点B在A的右边），与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P 的横坐标为m，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．（1）求A、B两点坐标；（2）过点P作PN上BC，垂足为点N，请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？【解答】解：（1）当y＝0，﹣x2+x+4＝0，解得x1＝﹣3，x2＝4，∴A（﹣3，0），B（4，0），（2）设点P（m，﹣m2+m+4），则点Q（m，﹣m+4），∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠OCB＝45°＝∠PQN，P～N＝PQ•sin∠PQN＝（﹣m2+m+4+m﹣4）＝﹣（m﹣2）2+，∵﹣＜0，∴PN有最大值，当m＝2时，PN的最大值为．8．（2022•怀化）如图一所示，在平面直角坐标中，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，顶点为点D．在线段CB上方的抛物线上有一动点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PF∥AB交BC于点F．（1）求抛物线和直线BC的函数表达式．（2）当△PEF的周长为最大值时，求点P的坐标和△PEF的周长．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（﹣1，0）、B（3，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，令x＝0，可得y＝3，∴C（0，3），设直线BC的解析式为y＝kx+b，则，∴，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3；（2）如图一中，连接PC，OP，PB．设P（m，﹣m2+2m+3），∵B （3，0），C （0，3），∴OB ＝OC ＝3，∴∠OBC ＝45°，∵PF ∥AB ，∴∠PFE ＝∠OBC ＝45°，∵PE ⊥BC ，∴△PEF 是等腰直角三角形，∴PE 的值最大时，△PEF 的周长最大，∵S △PBC ＝S △POB +S △POC ﹣S △OBC＝×3×（﹣m 2+2m +3）+×3×m ﹣×3×3＝﹣m 2+m＝﹣（m ﹣）2+，∵﹣＜0，∴m ＝时，△PBC 的面积最大，面积的最大值为，此时PE 的值最大，∵×3×PE ＝，∴PE ＝，∴△PEF 的周长的最大值＝++＝+，此时P （，）；。

中考压轴题-二次函数综合(八大题型+解题方法)——冲刺2024年中考数学考点押题(全国通用)(解析)

中考压轴题-二次函数综合（八大题型+解题方法）1、求证“两线段相等”的问题：借助于函数解析式,先把动点坐标用一个字母表示出来；然后看两线段的长度是什么距离即是“点点”距离,还是“点轴距离”,还是“点线距离”,再运用两点之间的距离公式或点到x 轴y 轴的距离公式或点到直线的距离公式,分别把两条线段的长度表示出来,分别把它们进行化简,即可证得两线段相等;2、“平行于y 轴的动线段长度的最大值”的问题：由于平行于y 轴的线段上各个点的横坐标相等常设为t,借助于两个端点所在的函数图象解析式,把两个端点的纵坐标分别用含有字母t 的代数式表示出来,再由两个端点的高低情况,运用平行于y 轴的线段长度计算公式-y y 下上,把动线段的长度就表示成为一个自变量为t,且开口向下的二次函数解析式,利用二次函数的性质,即可求得动线段长度的最大值及端点坐标;3、求一个已知点关于一条已知直线的对称点的坐标问题：先用点斜式或称K ,且与已知直线垂直的直线解析式,再求出两直线的交点坐标,最后用中点坐标公式即可;4、“抛物线上是否存在一点,使之到定直线的距离最大”的问题：方法1先求出定直线的斜率,由此可设出与定直线平行且与抛物线相切的直线的解析式注意该直线与定直线的斜率相等,因为平行直线斜率k 相等,再由该直线与抛物线的解析式组成方程组,用代入法把字母y 消掉,得到一个关于x 的的一元二次方程,由题有△=2b -4ac=0因为该直线与抛物线相切,只有一个交点,所以2b -4ac=0从而就可求出该切线的解析式,再把该切线解析式与抛物线的解析式组成方程组,求出x 、y 的值,即为切点坐标,然后再利用点到直线的距离公式,计算该切点到定直线的距离,即为最大距离; 方法2该问题等价于相应动三角形的面积最大问题,从而可先求出该三角形取得最大面积时,动点的坐标,再用点到直线的距离公式,求出其最大距离;方法3先把抛物线的方程对自变量求导,运用导数的几何意义,当该导数等于定直线的斜率时,求出的点的坐标即为符合题意的点,其最大距离运用点到直线的距离公式可以轻松求出;5、常数问题：1点到直线的距离中的常数问题：“抛物线上是否存在一点,使之到定直线的距离等于一个固定常数”的问题：先借助于抛物线的解析式,把动点坐标用一个字母表示出来,再利用点到直线的距离公式建立一个方程,解此方程,即可求出动点的横坐标,进而利用抛物线解析式,求出动点的纵坐标,从而抛物线上的动点坐标就求出来了;2三角形面积中的常数问题：“抛物线上是否存在一点,使之与定线段构成的动三角形的面积等于一个定常数”的问题：先求出定线段的长度,再表示出动点其坐标需用一个字母表示到定直线的距离,再运用三角形的面积公式建立方程,解此方程,即可求出动点的横坐标,再利用抛物线的解析式,可求出动点纵坐标,从而抛物线上的动点坐标就求出来了;3几条线段的齐次幂的商为常数的问题：用K 点法设出直线方程,求出与抛物线或其它直线的交点坐标,再运用两点间的距离公式和根与系数的关系,把问题中的所有线段表示出来,并化解即可;6、“在定直线常为抛物线的对称轴,或x 轴或y 轴或其它的定直线上是否存在一点,使之到两定点的距离之和最小”的问题：先求出两个定点中的任一个定点关于定直线的对称点的坐标,再把该对称点和另一个定点连结得到一条线段,该线段的长度〈应用两点间的距离公式计算〉即为符合题中要求的最小距离,而该线段与定直线的交点就是符合距离之和最小的点,其坐标很易求出利用求交点坐标的方法;7、三角形周长的“最值最大值或最小值”问题：① “在定直线上是否存在一点,使之和两个定点构成的三角形周长最小”的问题简称“一边固定两边动的问题：由于有两个定点,所以该三角形有一定边其长度可利用两点间距离公式计算,只需另两边的和最小即可;② “在抛物线上是否存在一点,使之到定直线的垂线,与y 轴的平行线和定直线,这三线构成的动直角三角形的周长最大”的问题简称“三边均动的问题：在图中寻找一个和动直角三角形相似的定直角三角形,在动点坐标一母示后,运用=C C 动动定定斜边斜边,把动三角形的周长转化为一个开口向下的抛物线来破解;8、三角形面积的最大值问题：① “抛物线上是否存在一点,使之和一条定线段构成的三角形面积最大”的问题简称“一边固定两边动的问题”：方法1：先利用两点间的距离公式求出定线段的长度；然后再利用上面３的方法,求出抛物线上的动点到该定直线的最大距离;最后利用三角形的面积公式= 12底×高;即可求出该三角形面积的最大值,同时在求解过程中,切点即为符合题意要求的点;方法2：过动点向y 轴作平行线找到与定线段或所在直线的交点,从而把动三角形分割成两个基本模型的三角形,动点坐标一母示后,进一步可得到）（）（左（定）右（定）下（动）上（动）动三角形x x y y 21−⋅−=S ,转化为一个开口向下的二次函数问题来求出最大值;②“三边均动的动三角形面积最大”的问题简称“三边均动”的问题：先把动三角形分割成两个基本模型的三角形有一边在x 轴或y 轴上的三角形,或者有一边平行于x 轴或y 轴的三角形,称为基本模型的三角形面积之差,设出动点在x 轴或y 轴上的点的坐标,而此类题型,题中一定含有一组平行线,从而可以得出分割后的一个三角形与图中另一个三角形相似常为图中最大的那一个三角形;利用相似三角形的性质对应边的比等于对应高的比可表示出分割后的一个三角形的高;从而可以表示出动三角形的面积的一个开口向下的二次函数关系式,相应问题也就轻松解决了;9、“一抛物线上是否存在一点,使之和另外三个定点构成的四边形面积最大的问题”：由于该四边形有三个定点,,即可得到一个定三角形的面积之和,所以只需动三角形的面积最大,就会使动四边形的面积最大,而动三角形面积最大值的求法及抛物线上动点坐标求法与7相同;10、“定四边形面积的求解”问题：有两种常见解决的方案：方案一：连接一条对角线,分成两个三角形面积之和；方案二：过不在x 轴或y 轴上的四边形的一个顶点,向x 轴或y 轴作垂线,或者把该点与原点连结起来,分割成一个梯形常为直角梯形和一些三角形的面积之和或差,或几个基本模型的三角形面积的和差11、“两个三角形相似”的问题：两个定三角形是否相似：（1）已知有一个角相等的情形：运用两点间的距离公式求出已知角的两条夹边,看看是否成比例若成比例,则相似;否则不相似;（2）不知道是否有一个角相等的情形：运用两点间的距离公式求出两个三角形各边的长,看看是否成比例若成比例,则相似;否则不相似;一个定三角形和动三角形相似：（1）已知有一个角相等的情形：先借助于相应的函数关系式,把动点坐标表示出来一母示,然后把两个目标三角形题中要相似的那两个三角形中相等的那个已知角作为夹角,分别计算或表示出夹角的两边,让形成相等的夹角的那两边对应成比例要注意是否有两种情况,列出方程,解此方程即可求出动点的横坐标,进而求出纵坐标,注意去掉不合题意的点;2不知道是否有一个角相等的情形：这种情形在相似性中属于高端问题,破解方法是,在定三角形中,由各个顶点坐标求出定三角形三边的长度,用观察法得出某一个角可能是特殊角,再为该角寻找一个直角三角形,用三角函数的方法得出特殊角的度数,在动点坐标“一母示”后,分析在动三角形中哪个角可以和定三角形中的那个特殊角相等,借助于特殊角,为动点寻找一个直角三角形,求出动点坐标,从而转化为已知有一个角相等的两个定三角形是否相似的问题了,只需再验证已知角的两边是否成比例若成比例,则所求动点坐标符合题意,否则这样的点不存在;简称“找特角,求动点标,再验证”;或称为“一找角,二求标,三验证”;12、“某函数图象上是否存在一点,使之与另两个定点构成等腰三角形”的问题：首先弄清题中是否规定了哪个点为等腰三角形的顶点;若某边底,则只有一种情况；若某边为腰,有两种情况；若只说该三点构成等腰三角形则有三种情况;先借助于动点所在图象的解析式,表示出动点的坐标一母示,按分类的情况,分别利用相应类别下两腰相等,使用两点间的距离公式,建立方程;解出此方程,即可求出动点的横坐标,再借助动点所在图象的函数关系式,可求出动点纵坐标,注意去掉不合题意的点就是不能构成三角形这个题意;13、“某图象上是否存在一点,使之与另外三个点构成平行四边形”问题：这类问题,在题中的四个点中,至少有两个定点,用动点坐标“一母示”分别设出余下所有动点的坐标若有两个动点,显然每个动点应各选用一个参数字母来“一母示”出动点坐标,任选一个已知点作为对角线的起点,列出所有可能的对角线显然最多有3条,此时与之对应的另一条对角线也就确定了,然后运用中点坐标公式,求出每一种情况两条对角线的中点坐标,由平行四边形的判定定理可知,两中点重合,其坐标对应相等,列出两个方程,求解即可;进一步有：①若是否存在这样的动点构成矩形呢先让动点构成平行四边形,再验证两条对角线相等否若相等,则所求动点能构成矩形,否则这样的动点不存在;②若是否存在这样的动点构成棱形呢先让动点构成平行四边形,再验证任意一组邻边相等否若相等,则所求动点能构成棱形,否则这样的动点不存在;③若是否存在这样的动点构成正方形呢先让动点构成平行四边形,再验证任意一组邻边是否相等和两条对角线是否相等若都相等,则所求动点能构成正方形,否则这样的动点不存在;14、“抛物线上是否存在一点,使两个图形的面积之间存在和差倍分关系”的问题：此为“单动问题”〈即定解析式和动图形相结合的问题〉,后面的19实为本类型的特殊情形;先用动点坐标“一母示”的方法设出直接动点坐标,分别表示如果图形是动图形就只能表示出其面积或计算如果图形是定图形就计算出它的具体面积,然后由题意建立两个图形面积关系的一个方程,解之即可;注意去掉不合题意的点,如果问题中求的是间接动点坐标,那么在求出直接动点坐标后,再往下继续求解即可;15、“某图形〈直线或抛物线〉上是否存在一点,使之与另两定点构成直角三角形”的问题：若夹直角的两边与y轴都不平行：先设出动点坐标一母示,视题目分类的情况,分别用斜率公式算出夹直角的两边的斜率,再运用两直线没有与y轴平行的直线垂直的斜率结论两直线的斜率相乘等于-1,得到一个方程,解之即可;若夹直角的两边中有一边与y 轴平行,此时不能使用斜率公式;补救措施是：过余下的那一个点没在平行于y轴的那条直线上的点直接向平行于y的直线作垂线或过直角点作平行于y轴的直线的垂线与另一相关图象相交,则相关点的坐标可轻松搞定;16、“某图象上是否存在一点,使之与另两定点构成等腰直角三角形”的问题;①若定点为直角顶点,先用k点法求出另一直角边所在直线的解析式如斜率不存在,根据定直角点,可以直接写出另一直角边所在直线的方程,利用该解析式与所求点所在的图象的解析式组成方程组,求出交点坐标,再用两点间的距离公式计算出两条直角边等否若等,该交点合题,反之不合题,舍去;②若动点为直角顶点：先利用k点法求出定线段的中垂线的解析式,再把该解析式与所求点所在图象的解析式组成方程组,求出交点坐标,再分别计算出该点与两定点所在的两条直线的斜率,把这两个斜率相乘,看其结果是否为-1 若为-1,则就说明所求交点合题；反之,舍去;17、“题中含有两角相等,求相关点的坐标或线段长度”等的问题：题中含有两角相等,则意味着应该运用三角形相似来解决,此时寻找三角形相似中的基本模型“A”或“X”是关键和突破口;18、“在相关函数的解析式已知或易求出的情况下,题中又含有某动图形常为动三角形或动四边形的面积为定常数,求相关点的坐标或线段长”的问题：此为“单动问题”〈即定解析式和动图形相结合的问题〉,本类型实际上是前面14的特殊情形;先把动图形化为一些直角梯形或基本模型的三角形有一边在x 轴或ｙ轴上,或者有一边平行于x 轴或y 轴面积的和或差,设出相关点的坐标一母示,按化分后的图形建立一个面积关系的方程,解之即可;一句话,该问题简称“单动问题”,解题方法是“设点动点标,图形转化分割,列出面积方程”;19、“在相关函数解析式不确定系数中还含有某一个参数字母的情况下,题中又含有动图形常为动三角形或动四边形的面积为定常数,求相关点的坐标或参数的值”的问题：此为“双动问题”即动解析式和动图形相结合的问题;如果动图形不是基本模型,就先把动图形的面积进行转化或分割转化或分割后的图形须为基本模型,设出动点坐标一母示,利用转化或分割后的图形建立面积关系的方程或方程组;解此方程,求出相应点的横坐标,再利用该点所在函数图象的解析式,表示出该点的纵坐标注意,此时,一定不能把该点坐标再代入对应函数图象的解析式,这样会把所有字母消掉;再注意图中另一个点与该点的位置关系或其它关系,方法是常由已知或利用2问的结论,从几何知识的角度进行判断,表示出另一个点的坐标,最后把刚表示出来的这个点的坐标再代入相应解析式,得到仅含一个字母的方程,解之即可;如果动图形是基本模型,就无须分割或转化了,直接先设出动点坐标一母式,然后列出面积方程,往下操作方式就与不是基本模型的情况完全相同;一句话,该问题简称“双动问题”,解题方法是“转化分割,设点标,建方程,再代入,得结论”;常用公式或结论：1横线段的长 = 横标之差的绝对值 =-x x 大小=-x x 右左纵线段的长=纵标之差的绝对值=-y y 大小=-y y 下上 2点轴距离：点P 0x ,0y 到X 轴的距离为0y ,到Y 轴的距离为o x ; 3两点间的距离公式：若A 11,x y ,B 2,2x y , 则AB=目录：题型1：存在性问题题型2：最值问题题型3：定值问题题型4：定点问题题型5：动点问题综合题型6：对称问题题型7：新定义题题型8：二次函数与圆题型1：存在性问题1．（2024·四川广安·二模）如图，抛物线2y x bx c =−++交x 轴于()4,0A −，B 两点，交y 轴于点()0,4C ．(1)求抛物线的函数解析式．(2)点D 在线段OA 上运动，过点D 作x 轴的垂线，与AC 交于点Q ，与抛物线交于点P ，连接AP 、CP ，求四边形AOCP 的面积的最大值．(3)在抛物线的对称轴上是否存在点M ，使得以点A 、C 、M 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点M【答案】(1)234y x x =−−+；(2)四边形AOCP 的面积最大为16；(3)点M 的坐标为35,22⎛⎫−− ⎪⎝⎭或311,22⎛⎫− ⎪⎝⎭．【分析】本题主要考查了二次函数综合，熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，以及二次函数的图象和性质，是解题的关键．（1）把()4,0A −，()0,4C 代入2y x bx c =−++，求出b 和c 的值，即可得出函数解析式；（2）易得182AOCSOA OC =⋅=，设()2,34P t t t −−+，则(),4Q t t +，求出24PQ t t =−−，则()()212282ACP C A S PQ x x t =⋅−=−++，根据四边形AOCP 的面积()22216ACP AOCS St =+=−++，结合二次函数的增减性，即可解答；（3）设3,2M m ⎛⎫− ⎪⎝⎭，根据两点之间距离公式得出232AC =，22254AM m =+，229(4)4CM m =+−，然后分情况根据勾股定理列出方程求解即可．【解析】（1）解：把()4,0A −，()0,4C 代入2y x bx c =−++得：01644b c c =−−+⎧⎨=⎩，解得：34b c =−⎧⎨=⎩，∴该二次函数的解析式234y x x =−−+；（2）解：∵()4,0A −，()0,4C ，∴4,4OA OC ==，∴1144822AOC S OA OC =⋅=⨯⨯=△，设直线AC 的解析式为4y kx =+，代入()4,0A −得，044k =−+，解得1k =，∴直线AC 的解析式为4y x =+，设()2,34P t t t −−+，则(),4Q t t +，∴()223444PQ t t t t t=−−+−+=−−∴()()()22114422822ACPC A SPQ x x t t t =⋅−=−−⨯=−++，∴四边形AOCP 的面积()22216ACP AOCSSt =+=−++，∵20−<，∴当2t =−时，四边形AOCP 的面积最大为16；（3）解：设3,2M m ⎛⎫− ⎪⎝⎭，∵()4,0A −，()0,4C ，∴2224432AC =+=，2222325424AM m m ⎛⎫=−++=+ ⎪⎝⎭，()()2222394424CM m m ⎛⎫=−+−=+− ⎪⎝⎭，当斜边为AC 时，AM CM AC 222+=，即()2225943244m m +++−=，整理得：24150m m ++=，无解；当斜边为AM 时，222AC CM AM +=，即2292532(4)44m m ++−=+，解得：112m =；∴311,22M ⎛⎫− ⎪⎝⎭当斜边为CM 时，222AC AM CM +=，即2225932(4)44m m ++=+−，解得：52m =−；∴35,22M ⎛⎫−− ⎪⎝⎭综上：点M 的坐标为35,22⎛⎫−− ⎪⎝⎭或311,22⎛⎫− ⎪⎝⎭．2．（2024·内蒙古乌海·模拟预测）如图（1），在平面直角坐标系中，抛物线()240y ax bx a =+−≠与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，点A 的坐标为()1,0−，且OC OB =，点D 和点C 关于抛物线的对称轴对称．(1)分别求出a ，b 的值和直线AD 的解析式；(2)直线AD 下方的抛物线上有一点P ，过点P 作PH AD ⊥于点H ，作PM 平行于y 轴交直线AD 于点M ，交x 轴于点E ，求PHM 的周长的最大值；(3)在（2）的条件下，如图2，在直线EP 的右侧、x 轴下方的抛物线上是否存在点N ，过点N 作NG x ⊥轴交x 轴于点G ，使得以点E 、N 、G 为顶点的三角形与AOC 相似？如果存在，请直接写出点G 的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)1a =，3b =−，=1y x −−(2)4+(3)存在，点G的坐标为⎫⎪⎪⎝⎭或⎫⎪⎪⎝⎭【分析】本题主要考查的是二次函数的综合应用，掌握二次函数的交点式、配方法求二次函数的最值、相似三角形的判定、等腰直角三角形的判定、一元二次方程的求根公式，列出PM 的长与a 的函数关系式是解题的关键．（1）先求得C 的坐标，从而得到点B 的坐标，设抛物线的解析式为()()14y a x x =+−，将点C 的坐标代入求解即可；先求得抛物线的对称轴，从而得到点()3,4D −，然后可求得直线AD 的解析式=1y x −−；（2）求得45BAD ∠=︒，接下来证明PMD △为等腰直角三角形，所当PM 有最大值时三角形的周长最大，设()2,34P a a a −−，()1M a −−，则223PM aa =−++，然后利用配方可求得PM 的最大值，最后根据MPH△的周长(1PM=求解即可；（3）当90EGN ∠=︒时，如果OA EG OC GN = 或OA GNOC EN =时，则AOC ∽EGN △，设点G 的坐标为(),0a ，则()2,34N a a a −−，则1EG a =−，234NG aa =−++，然后根据题意列方程求解即可．【解析】（1）点A 的坐标为()1,0−，1OA ∴=．令0x =，则4y =−，()0,4C ∴−，4OC =，OC OB =Q ， 4OB ∴=，()4,0B ∴，设抛物线的解析式为()()14y a x x =+−，将0x =，4y =−代入得：44a −=−，解得1a =，∴抛物线的解析式为234y x x =−−；1a ∴=，3b =−；抛物线的对称轴为33212x −=−=⨯，()0,4C −，点D 和点C 关于抛物线的对称轴对称，()3,4D ∴−；设直线AD 的解析式为y kx b =+．将()1,0A −、()3,4D −代入得：034k b k b −+=⎧⎨+=−⎩，解得1k =−，1b =-，∴直线AD 的解析式=1y x −−；（2）直线AD 的解析式=1y x −−，∴直线AD 的一次项系数1k =−，45BAD ∴∠=︒． PM 平行于y 轴，90AEP ∴∠=︒，45PMH AME ∴∠=∠=︒．MPH ∴的周长(122PM MH PH PM MP PM PM =++=++=．设()2,34P a a a −−，则(),1M a a −−，则()22213423(1)4PM a a a a a a =−−−−−=−++=−−+．∴当1a =时，PM 有最大值，最大值为4．MPH ∴的周长的最大值(414=⨯=+（3）在直线EP 的右侧、x 轴下方的抛物线上存在点N ，过点N 作NG x ⊥轴交x 轴于点G ，使得以点E 、N 、G 为顶点的三角形与AOC 相似；理由如下：设点G 的坐标为(),0a ，则()2,34N a a a −−①如图2.1，若OA EG OC GN = 时，AOC ∽EGN △．则 211344a a a −=−++，整理得：280a a +−=．得：a =负值舍去)，∴点G为⎫⎪⎪⎝⎭； ②如图2.2，若OA GN OC EN =时，AOC ∽NGE ，则21434a a a −=−++，整理得：2411170a a −−=，得：a =负值舍去)，∴点G为⎫⎪⎪⎝⎭，综上所述，点G的坐标为⎫⎪⎪⎝⎭或⎫⎪⎪⎝⎭． 3．（2024·重庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx =+x 轴交于点()1,0A −，()5,0B ，与y 轴交于点C ，连接BC ，AC ．(1)求抛物线的表达式；(2)P 为直线BC 上方抛物线上一点，过点P 作PD BC ⊥于点D ，过点P 作PE x 轴交抛物线于点E，求4+PD PE 的最大值及此时点P 的坐标； (3)点C 关于抛物线对称轴对称的点为Q ，将抛物线沿射线CAy '，新抛物线y '与y 轴交于点M ，新抛物线y '的对称轴与x 轴交于点N ，连接AM ，MN ，点R 在直线BC 上，连接QR ．当QR 与AMN 一边平行时，直接写出点R 的坐标，并写出其中一种符合条件的解答过程．【答案】(1)2y x x =++(2)当154t =时，PE的最大值，15,416P ⎛ ⎝⎭， (3)R点的坐标为⎛ ⎝⎭或6,⎛ ⎝⎭或(．【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式即可；（2）先求得2y x =2x =，过点P 作PG x ⊥轴交BC 于点F ，利用勾股定理求得BC ==DPF OBC ∽，得PF DP BC OB =即PF PD=，从而得PF =，求出设直线BC的解析式后，设2,P t ⎛+ ⎝，则,F t ⎛+ ⎝，从而2PF =+，当点P在E 点右侧时()424PE t t t =−−=−，从而得2154t ⎫=−⎪⎝⎭，利用二次函数的性质即可求解；当点P 在E 点左侧时：442PE t t t =−−=−时，同理可求．然后比较4+PE 的最大值即可得出答案. （3）先求得1OA=，OC AC =设抛物线2y =H ⎛ ⎝⎭平移后为P ，过点P 作PW ⊥直线2x =，则AOC PWH ∽，得1OA OC AC WP HW PH ====，进而得平移后的抛物线2y x +'=，从而求得()1,0N，M ⎛ ⎝⎭，然后分QR AM ∥，QR MN ∥，QR AN ∥三种情况，利用二次函数的性质及一次函数的与二元一次方程的关系求解即可得解．【解析】（1）解：∵抛物线2y ax bx =+x 轴交于点()1,0A −，()5,0B 两点，代入坐标得：02550a b a b ⎧−=⎪⎨+=⎪⎩，解得：a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线的函数表达式为255y x x =−++（2）解：∵)2225555y x x x =−+=−−+，∴2y x =2x=，顶点为⎛ ⎝⎭ 过点P 作PG x ⊥轴交BC 于点F ，当0x =时，200y =∴(C ∵()5,0B ∴BC ==∵PG x ⊥轴，PD BC ⊥，x 轴y ⊥轴，∴909090CBO BFG DPF PFD PDF BOC ∠∠∠∠∠∠+=︒+=︒==︒，，∵PFD BFG ∠∠=∴DPF CBO ∠∠=∴DPF OBC ∽，∴PF DP BC OB =即PF PD =，∴PF PD =∴44+PD PE =PF +PE ，设直线BC ：y kx b =+，把(C ，()5,0B 代入得：05k b b =+⎧⎪=，解得5k b ⎧=−⎪⎨⎪=⎩， ∴直线BC：y =设2,P t ⎛ ⎝，则,F t ⎛+ ⎝，∴22PF ⎛⎛=−+=+ ⎝⎝，∵2y x =2x =，PE x 轴，∴24,E t ⎛−+ ⎝当点P 在E 点右侧时：()424PE t t t =−−=−，当24PE t =−时：∴+PD PE =PF +()221524545416t t ⎛⎫=−+−=−−+ ⎪⎝⎭ ∴当154t =时，的最大值∴2151544⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴154P ⎛ ⎝⎭；当点P 在E 点左侧时：442PE t t t =−−=−时，∴+PD PE =PF +()225424t t ⎫=−=−⎪⎝⎭， ∴当54t =时，的最大值．2,55P t ⎛−+ ⎝∴25544⎛⎫ ⎪⎝⎭∴5,416P ⎛ ⎝⎭，∵> 综上所诉，当点P 在E 点右侧时：即154t =时，的最大值，154P ⎛ ⎝⎭，（3）解：设直线AC ：y mx n =+，把()1,0A −，(C ， ∴1OA =，OC =∴AC ==设抛物线2y x =H ⎛ ⎝⎭平移后为P ，过点P 作PW ⊥直线2x =，则AOC PWH ∽，∴1OA OC AC WP HW PH ====∴1PW =，HW=∴21,5P ⎛−⎝即1,5P ⎛ ⎝⎭，∴平移后的抛物线)22155555y x x x =−−+=−++'， ∴()1,0N令0x =，y '=，∴M ⎛ ⎝⎭ 如图，当QR AM ∥时，设直线AM 的解析式为：y px q =+，把M ⎛ ⎝⎭，()1,0A −代入得：0p q q =−+⎧=解得p q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线AM的解析式为：y =， ∴设直线QR的解析式为：y x n =∵(C ，Q 和C 关于2x =对称，∴(Q把(Q代入5y x n =+45n +，解得n =，∴直线QR的解析式为：y = 联立直线QR的解析式y =与直线BC：y x =+55y x y x ⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得3x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，∴R ⎛ ⎝⎭ 同理可得：当QR MN ∥时，6,5R ⎛− ⎝⎭ 当QR AN ∥时，(R所有符合条件的R点的坐标为⎛ ⎝⎭或6,⎛ ⎝⎭或(．【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，勾股定理，抛物线的性质，抛物线平移，一次函数的平移，相似三角形的判定及性质，图形与坐标，掌握待定系数法求抛物线解析式，抛物线的性质，抛物线平移，相似三角形的判定及性质，图形与坐标，利用辅助线画出准确图形是解题关键．题型2：最值问题4．（2024·安徽合肥·二模）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线23y ax bx =+−与x 轴交于()1,0A −，()3,0B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC ．(1)求a ，b 的值；(2)点M 为线段BC 上一动点（不与B ，C 重合），过点M 作MP x ⊥轴于点P ，交抛物线于点N ．（ⅰ）如图1，当3PA PB=时，求线段MN 的长；（ⅱ）如图2，在抛物线上找一点Q ，连接AM ，QN ，QP ，使得PQN V 与APM △的面积相等，当线段NQ 的长度最小时，求点M 的横坐标m 的值．【答案】(1)1a =，2b =−(2)（ⅰ）2MN =；（ⅱ）m 的值为32或12【分析】本题考查诶粗函数的图象和性质，掌握待定系数法和利用函数性质求面积是解题的关键．（1）运用待定系数法求函数解析式即可；（2）（ⅰ）先计算BC 的解析式，然后设(),3M m m −，则3PM PB m ==−，1PA m =+，根据题意得到方程133m m +=−求出m 值，即可求出MN 的长；（ⅱ）作QR PN ⊥于点R ，由（ⅰ）可得1PA m =+，3PB PM m =−−，223PN m m =−++，然后分为点Q 在PN 的左侧和点Q 在PN 的右侧两种情况，根据勾股定理解题即可．【解析】（1）由题意得309330a b a b −−=⎧⎨+−=⎩，解得12a b =⎧⎨=−⎩；（2）（ⅰ）当0x =时，3y =−，∴()0,3C −，设直线BC 为3y kx =−，∵点()3,0B ，∴330k −=，解得1k =，∴直线BC 为3y x =−，设(),3M m m −，则3PM PB m ==−，1PA m =+， ∵3PA PB =， ∴133m m +=−，解得2m =，经检验2m =符合题意，当2m =时，222233y =−⨯−=−， ∴3PN =，31PM PB m ==−=，∴2MN =；（ⅱ）作QR PN ⊥于点R ，由（ⅰ）可得1PA m =+，3PB PM m =−−，223PN m m =−++，PQN V 的面积为()21232m m QR −++⋅，APM △的面积为()()1312m m −+，∴()()()211233122m m QR m m −++⋅=−+，解得1QR =；当点Q 在PN 的左侧时，如图1，Q 点的横坐标为1m QR m −=−，纵坐标为()()2212134m m m m −−⨯−−=−，∴R 点的坐标为()2,4m mm−，∵N 点坐标为()2,23m mm −−，∴32RN m =−，∴()22231NQ m =−+，∴当32m =时，NQ 取最小值；当点Q 在PN 的右侧时，如图2，Q 点的横坐标为1m QR m +=+，纵坐标为()()2212134m m m +−⨯+−=−，∴R 点的坐标为()2,4m m−，∵N 点的坐标为()2,23m mm −−，∴21RN m =−， ∴()222211NQ m =−+，∴当12m =时，NQ 取最小值．综上，m 的值为32或12．。

二次函数线段差最大值问题

二次函数线段差最大值问题二次函数线段差最大值问题是一个经典的数学优化问题，通常在高中数学课程中进行讨论。

该问题要求找到一个二次函数图像上两个点之间线段的最大差值。

假设给定一个二次函数 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b 和 c 分别代表二次项、一次项和常数项的系数。

为了求出线段差的最大值，我们需要确定两个点。

一种常见的方法是取二次函数的顶点和 x 轴上的一个点。

首先，我们需要找到二次函数的顶点。

二次函数的顶点可以通过以下公式计算：x = -b / (2a)y = f(x)其中 x 和 y 分别代表顶点的横坐标和纵坐标，f(x) 代表二次函数在 x 处的函数值。

接下来，我们选择 x 轴上的一个点作为第二个点。

这个点可以在顶点两侧选择，在顶点的左侧或右侧都可以。

假设我们选择了一个横坐标为 x1 的点，那么对应的纵坐标为 f(x1)。

最后，我们计算两个点之间线段的差值：差值 = | f(x1) - y |其中 | | 表示取绝对值。

为了找到差值的最大值，我们可以使用微积分的方法。

首先，我们可以求出差值的函数关于 x 的导数，然后令导数为零，求解出 x 的值。

这个 x 的值就是使得差值最大的横坐标。

将这个 x 值代入差值函数，就可以得到最大的差值。

需要注意的是，有时候二次函数的顶点不在定义域内，此时我们可以选择定义域的端点作为顶点，然后按照以上的方法求解。

总而言之，二次函数线段差最大值问题是一个通过找到二次函数图像上两个点之间线段的最大差值来优化问题的数学问题。

这个问题可以通过求解顶点和定义域的端点来得到最优解。

二次函数下的线段和差问题

类型一、二次函数中的“饮马问题”基本原理：两点之间，线段最短。

解题思路：利用函数自身的对称性找到某点关于直线的对称点，实现“折”转“直”，再结合函数的相关知识解题。

例题1、如图，抛物线y=x2﹣2x与直线y=3相交于点A、B，P是x轴上一点，若PA+PB最小，则点P的坐标为（）A．（﹣l，0）B．（0，0） C．（1，0） D．（3，0）【考点】HF：二次函数综合题．菁优网版权所有．【分析】把直线y=3代入抛物线解析式得到A，B点的坐标，根据两点之间线段最短，作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′，则与x轴的交点即为点P的坐标．【解答】解：如图，作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′与x轴的交点即为点P．当y=3时代入到抛物线解析式得：x2﹣2x﹣3=0，解得x=3或x=﹣1．则由图可知点A（﹣1，3），点B（3，3），∴B′（3，﹣3）．设直线AB′的解析式为：y=kx+b．代入A，B′求得：y=，则该直线与x轴的交点为：当y=0时，x=1．∴点P（1，0）．故选C．【点评】本题考查了二次函数的综合运用，交点坐标的求法，也灵活地考查了两点之间线段最短，难度中等．例题2、如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3）三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当点P到点A、点B的距离之和最短时，求点P的坐标；（3）点M也是直线l上的动点，且△MAC为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．【考点】HF：二次函数综合题．菁优网版权所有【分析】（1）直接将A、B、C三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可；（2）由图知：A、B点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知，直线l与x轴的交点，即为符合条件的P点；（3）由于△MAC的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①MA=AC、②MA=MC、③AC=MC；可先设出M点的坐标，然后用M 点纵坐标表示△MAC的三边长，再按上面的三种情况列式求解．【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3）代入抛物线y=ax2+bx+c中，得：，解得：故抛物线的解析式：y=x2﹣2x﹣3．（2）当P点在x轴上，P，A，B三点在一条直线上时，点P到点A、点B的距离之和最短，此时x=﹣=1，故P（1，0）；（3）如图所示：抛物线的对称轴为：x=﹣=1，设M（1，m），已知A（﹣1，0）、C（0，﹣3），则：MA2=m2+4，MC2=（3+m）2+1=m2+6m+10，AC2=10；①若MA=MC，则MA2=MC2，得：m2+4=m2+6m+10，解得：m=﹣1，②若MA=AC，则MA2=AC2，得：m2+4=10，得：m=±；③若MC=AC，则MC2=AC2，得：m2+6m+10=10，得：m1=0，m2=﹣6；当m=﹣6时，M、A、C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去；综上可知，符合条件的M点，且坐标为 M（1，）（1，﹣）（1，﹣1）（1，0）．【点评】此题主要考查了二次函数综合题涉及了抛物线的性质及解析式的确定、等腰三角形的判定等知识，在判定等腰三角形时，一定要根据不同的腰和底分类进行讨论，以免漏解．例题3、如图，已知抛物线的顶点为A（1，4），抛物线与y轴交于点B（0，3），与x轴交于C、D两点，点P是x轴上的一个动点．（1）求此抛物线的解析式；（2）当PA+PB的值最小时，求点P的坐标．【考点】PA：轴对称﹣最短路线问题；H8：待定系数法求二次函数解析式．菁优网版权所有【专题】31 ：数形结合．【分析】（1）设抛物线顶点式解析式y=a（x﹣1）2+4，然后把点B的坐标代入求出a的值，即可得解；（2）先求出点B关于x轴的对称点B′的坐标，连接AB′与x 轴相交，根据轴对称确定最短路线问题，交点即为所求的点P，然后利用待定系数法求一次函数解析式求出直线AB′的解析式，再求出与x轴的交点即可．【解答】解：（1）∵抛物线的顶点为A（1，4），∴设抛物线的解析式y=a（x﹣1）2+4，把点B（0，3）代入得，a+4=3，解得a=﹣1，∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+4；（2）点B关于x轴的对称点B′的坐标为（0，﹣3），由轴对称确定最短路线问题，连接AB′与x轴的交点即为点P，设直线AB′的解析式为y=kx+b（k≠0），则，解得，∴直线AB′的解析式为y=7x﹣3，令y=0，则7x﹣3=0，解得x=，所以，当PA+PB的值最小时的点P的坐标为（，0）．【点评】本题考查了轴对称确定最短路线问题，待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，（1）利用顶点式解析式求解更简便，（2）熟练掌握点P的确定方法是解题的关键．例题4、如图，矩形的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（10，8），沿直线OD折叠矩形，使点A正好落在BC上的E处，E点坐标为（6，8），抛物线y=ax2+bx+c经过O、A、E三点．（1）求此抛物线的解析式；（2）求AD的长；（3）点P是抛物线对称轴上的一动点，当△PAD的周长最小时，求点P的坐标．【考点】HF：二次函数综合题．菁优网版权所有【分析】（1）利用矩形的性质和B点的坐标可求出A点的坐标，再利用待定系数法可求得抛物线的解析式；（2）设AD=x，利用折叠的性质可知DE=AD，在Rt△BDE中，利用勾股定理可得到关于x的方程，可求得AD的长；（3）由于O、A两点关于对称轴对称，所以连接OD，与对称轴的交点即为满足条件的点P，利用待定系数法可求得直线OD的解析式，再由抛物线解析式可求得对称轴方程，从而可求得P点坐标．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，B（10，8），∴A（10，0），又抛物线经过A、E、O三点，把点的坐标代入抛物线解析式可得，解得，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x；（2）由题意可知：AD=DE，BE=10﹣6=4，AB=8，设AD=x，则ED=x，BD=AB﹣AD=8﹣x，在Rt△BDE中，由勾股定理可知ED2=EB2+BD2，即x2=42+（8﹣x）2，解得x=5，∴AD=5；（3）∵y=﹣x2+x，∴其对称轴为x=5，∵A、O两点关于对称轴对称，∴PA=PO，当P、O、D三点在一条直线上时，PA+PD=PO+PD=OD，此时△PAD 的周长最小，如图，连接OD交对称轴于点P，则该点即为满足条件的点P，由（2）可知D点的坐标为（10，5），设直线OD解析式为y=kx，把D点坐标代入可得5=10k，解得k=，∴直线OD解析式为y=x，令x=5，可得y=，∴P点坐标为（5，）．【点评】本题主要考查二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、矩形的性质、勾股定理、轴对称的性质及方程思想．在（2）中注意方程思想的应用，在（3）中确定出满足条件的P点的位置是解题的关键．本题考查知识点虽然较多，但题目属于基础性的题目，难度不大．例题5、如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，求使△BPC 为直角三角形的点P的坐标．【考点】HF：二次函数综合题．菁优网版权所有【专题】16 ：压轴题．【分析】（1）先把点A，C的坐标分别代入抛物线解析式得到a 和b，c的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a和b的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a，b，c的值即可得到抛物线解析式；把B、C两点的坐标代入直线y=mx+n，解方程组求出m和n的值即可得到直线解析式；（2）设直线BC与对称轴x=﹣1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．把x=﹣1代入直线y=x+3得y的值，即可求出点M坐标；（3）设P（﹣1，t），又因为B（﹣3，0），C（0，3），所以可得BC2=18，PB2=（﹣1+3）2+t2=4+t2，PC2=（﹣1）2+（t﹣3）2=t2﹣6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t值即可求出点P 的坐标．【解答】解：（1）依题意得：，解之得：，∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣2x+3∵对称轴为x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），∴把B（﹣3，0）、C（0，3）分别代入直线y=mx+n，得，解之得：，∴直线y=mx+n的解析式为y=x+3；（2）设直线BC与对称轴x=﹣1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．把x=﹣1代入直线y=x+3得，y=2，∴M（﹣1，2），即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（﹣1，2）；（3）设P（﹣1，t），又∵B（﹣3，0），C（0，3），∴BC2=18，PB2=（﹣1+3）2+t2=4+t2，PC2=（﹣1）2+（t﹣3）2=t2﹣6t+10，①若点B为直角顶点，则BC2+PB2=PC2即：18+4+t2=t2﹣6t+10解之得：t=﹣2；②若点C为直角顶点，则BC2+PC2=PB2即：18+t2﹣6t+10=4+t2解之得：t=4，③若点P为直角顶点，则PB2+PC2=BC2即：4+t2+t2﹣6t+10=18解之得：t1=，t2=；综上所述P的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，）或（﹣1，）．【点评】本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函数）的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大，是一道不错的中考压轴题．类型二、二次函数与线段差最大问题基本原理：三角形任何两边之差小于第三边。

中考专项训练---二次函数中的线段最值

中考专项训练--------二次函数中的线段最值问题一、单线段最值1.如图，已知二次函数y=-x2-2x+3的图象交x轴于A、B两点（A在B左边），交y轴于C点。

（1）求A、B、C三点的坐标和直线AC的解析式；（2）点P是直线AC：y=x+3 上方抛物线y=-x2-2x+3上一动点（不与A,C重合）过点P作y轴平行线交直线AC于Q点，求线段PQ的最大值；（3）点P是直线AC上方抛物线y=-x2-2x+3上一动点（不与A,C重合），过点P作x轴平行线交直线AC 于M点，求线段PM的最大值；（4）点P是直线AC上方抛物线y=-x2-2x+3上一动点（不与A,C重合），求P点到直线AC距离的最大值：问题2：你能求出△PQH周长的最大值吗？（5）点P是直线AC上方抛物线y=-x2-2x+3上一动点（不与A,C重合），连接PA，PC，求△PAC面积的最大值；（6）点P是直线AC y=x+3 上方抛物线y= -x2-2x+3上一动点（不与A,C重合），连接PA，PC.求四边形AOCP面积的最大值；二、线段和差最值问题1. 如图，抛物线L：y＝x2﹣x﹣3与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B．（1）求直线AB的解析式及抛物线顶点坐标；（2）如图1，点P为第四象限且在对称轴右侧抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴，垂足为C，PC交AB 于点D，求PD+BD的最大值，并求出此时点P的坐标．2. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x 2+bx+c 经过点A （-1，0），B （25，0），直线y=x+21与抛物线交于C ，D 两点，点P 是抛物线在第四象限内图象上的一个动点．过点P 作PG ⊥CD ，垂足为G ，PQ ∥y 轴，交x 轴于点Q ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当2PG+PQ 取得最大值时，求点P 的坐标和2PG+PQ 的最大值3. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=23212--x x 交x 轴于A 、B 两点（点A 在点B 左侧）．一次函数y=21x+b 与抛物线交于A 、D 两点，交y 轴于点C ．（1）求点D 的坐标；（2）点E 是线段CD 上任意一点，过点E 作EF ⊥y 轴于点F ，过点E 作EP ⊥AD 交抛物线于点P ．点P 位于直线AD 下方，求EF PE 455+的最大值及相应的P 点坐标．4. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =++经过(0,1)A -，(4,1)B ．直线AB 交x 轴于点C ，P 是直线AB 下方抛物线上的一个动点．过点P 作PD AB ⊥，垂足为D ，//PE x 轴，交AB 于点E ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当PDE ∆的周长取得最大值时，求点P 的坐标和PDE ∆周长的最大值．三、线段的最值综合类1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线322++-=x x y 与 x 轴交于 A 、B 两点，与 y 轴交于点 C ，点 D 是抛物线的顶点．（1）设点 P 是对称轴上的一个动点，当△PAC 的周长最小时，求点 P 的坐标；（2）在直线BC 上是否存在一点Q ，使△QAO 的周长最小？若存在，求出Q 点坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点 M 是抛物线对称轴上的一动点，当|AM －CM|的值最大时，求出点 M 的坐标；（4）若点 N 是抛物线对称轴上的一动点，点|BN －CN|的值最大时，求点 N 的坐标；（5）若点 T 是 x 轴上的一个动点，当|BT －DT|的值最小时，求点 T 的坐标；（6）若点 E 在 x 轴上，且使得 CE+31BE 最小，求点 E 的坐标； .2.已知二次函数22y x x =--的图象和x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，过直线BC 的下方抛物线上一动点P 作PQ⊥AC 交线段BC 于点Q ，再过P 作PE⊥x 轴于点E ，交BC 于点D.（1）求直线AC 的解析式；（2）求线段PE 的最大值；（3）求⊥PQD 周长的最大值；（4）当⊥PQD 的周长最大时，在y 轴上有两个动点M 、N(M 在N 上方)，且MN=1，求PN+MN+AM 的最小值．。

二次函数线段和差最值的存在性问题解题策略

中考数学压轴题解题策略（8）线段和差最值的存在性问题解题策略专题攻略两条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“牛喝水”问题，关键是指出一条对称轴“河流”（如图1）．三条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“台球两次碰壁”或“光的两次反射”问题，关键是指出两条对称轴“反射镜面”（如图2）．两条线段差的最大值问题，一般根据三角形的两边之差小于第三边，当三点共线时，两条线段差的最大值就是第三边的长．如图3，PA与PB的差的最大值就是AB，此时点P在AB的延长线上，即P′．解决线段和差的最值问题，有时候求函数的最值更方便，本讲不涉及函数最值问题．图1 图2 图3例题解析例如图1-1，抛物线y＝x2－2x－3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上的一个动点，如果△PAC的周长最小，求点P的坐标．图1-1【解析】如图1-2，把抛物线的对称轴当作河流，点A与点B对称，连结BC，那么在△PBC中，PB＋PC总是大于BC的．如图1-3，当点P落在BC上时，PB＋PC最小，因此PA＋PC最小，△PAC的周长也最小．由y＝x2－2x－3，可知OB＝OC＝3，OD＝1．所以DB＝DP＝2，因此P(1,－2)．图1-2 图1-3 例如图，抛物线21442y x x =-+与y 轴交于点A ，B 是OA 的中点．一个动点G 从点B 出发，先经过x 轴上的点M ，再经过抛物线对称轴上的点N ，然后返回到点A ．如果动点G 走过的路程最短，请找出点M 、N 的位置，并求最短路程．图2-1【解析】如图2-2，按照“台球两次碰壁”的模型，作点A 关于抛物线的对称轴对称的点A ′，作点B 关于x 轴对称的点B ′，连结A ′B ′与x 轴交于点M ，与抛物线的对称轴交于点N ．在Rt △AA ′B ′中，AA ′＝8，AB ′＝6，所以A ′B ′＝10，即点G 走过的最短路程为10．根据相似比可以计算得到OM ＝83，MH ＝43，NH ＝1．所以M (83, 0)，N (4, 1)．图2-2例如图3-1，抛物线248293y x x =-++与y 轴交于点A ，顶点为B ．点P 是x 轴上的一个动点，求线段PA 与PB 中较长的线段减去较短的线段的差的最小值与最大值，并求出相应的点P 的坐标．图3-1【解析】题目读起来像绕口令，其实就是求|PA－PB|的最小值与最大值．由抛物线的解析式可以得到A(0, 2)，B(3, 6)．设P(x, 0)．绝对值|PA－PB|的最小值当然是0了，此时PA＝PB，点P在AB的垂直平分线上（如图3-2）．解方程x2＋22＝(x－3)2＋62，得416x=．此时P41(,0)6．在△PAB中，根据两边之差小于第三边，那么|PA－PB|总是小于AB了．如图3-3，当点P在BA的延长线上时，|PA－PB|取得最大值，最大值AB＝5．此时P3(,0)2-．图3-2 图3-3例如图4-1，菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，点P、Q、K分别为线段BC、CD、BD 上的任意一点，求PK＋QK的最小值．图4-1【解析】如图4-2，点Q关于直线BD的对称点为Q′，在△KPQ′中，PK＋QK总是大于PQ′的．如图4-3，当点K落在PQ′上时，PK＋QK的最小值为PQ′．如图4-4，PQ′的最小值为Q′H，Q′H就是菱形ABCD的高，Q′H3这道题目应用了两个典型的最值结论：两点之间，线段最短；垂线段最短．图4-2 图4-3 图4-4例如图5-1，菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CD、⊙B和⊙A上的动点，求PE＋PF的最小值．图5-1【解析】E、F、P三个点都不确定，怎么办BE＝1，AF＝2是确定的，那么我们可以求PB＋PA－3的最小值，先求PB＋PA的最小值（如图5-2）．如图5-3，PB＋PA的最小值为AB′，AB′＝6．所以PE＋PF的最小值等于3．图5-2 图5-3例如图6-1，已知A(0, 2)、B(6, 4)、E(a, 0)、F(a＋1, 0)，求a为何值时，四边形ABEF 周长最小请说明理由．图6-1【解析】在四边形ABEF 中，AB 、EF 为定值，求AE ＋BF 的最小值，先把这两条线段经过平移，使得两条线段有公共端点．如图6-2，将线段BF 向左平移两个单位，得到线段ME ．如图6-3，作点A 关于x 轴的对称点A ′，MA ′与x 轴的交点E ，满足AE ＋ME 最小．由△A ′OE ∽△BHF ，得'OE HF OA HB =．解方程6(2)24a a -+=，得43a =．图6-2 图6-3例如图7-1，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝2，BC ＝1．点A 、C 分别在x 轴和y 轴的正半轴上，当点A 在x 轴上运动时，点C 也随之在y 轴上运动．在整个运动过程中，求点B 到原点的最大距离．图7-1【解析】如果把OB 放在某一个三角形中，这个三角形的另外两条边的大小是确定的，那么根据两边之和大于第三边，可知第三边OB 的最大值就是另两边的和．显然△OBC 是不符合条件的，因为OC 边的大小不确定．如图7-2，如果选AC 的中点D ，那么BD 、OD 都是定值，OD ＝1，BD 2．在△OBD 中，总是有OB ＜OD ＋BD ．如图7-3，当点D 落在OB 上时，OB 21．图7-2 图7-3例如图8-1，已知A(－2,0)、B(4, 0)、(5,33)D-．设F为线段BD上一点（不含端点），连结AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD 以每秒2个单位的速度运动到D后停止．当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少图8-1【解析】点B(4, 0)、(5,33)D-的坐标隐含了∠DBA＝30°，不由得让我们联想到30°角所对的直角边等于斜边的一半．如果把动点M在两条线段上的速度统一起来，问题就转化了．如图8-2，在Rt△DEF中，FD＝2FE．如果点M沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到点D时，那么点M沿线段FE以每秒1个单位的速度正好运动到点E．因此当AF＋FE最小时，点M用时最少．如图8-3，当AE⊥DE时，AF＋FE最小，此时F(2,23)-．图8-2 图8-3例如图9-1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．点E是BC边上的点，连结AE ，过点E 作AE 的垂线交AB 边于点F ，求AF 的最小值．图9-1【解析】如图9-2，设AF 的中点为D ，那么DA ＝DE ＝DF ．所以AF 的最小值取决于DE 的最小值．如图9-3，当DE ⊥BC 时，DE 最小．设DA ＝DE ＝m ，此时DB ＝53m ．由AB ＝DA ＋DB ，得5103m m +=．解得154m =．此时AF ＝1522m =．图9-2 图9-3例如图10-1，已知点P 是抛物线214y x =上的一个点，点D 、E 的坐标分别为(0, 1)、(1, 2)，连结PD 、PE ，求PD ＋PE 的最小值．图10-1【解析】点P 不在一条笔直的河流上，没有办法套用“牛喝水”的模型．设P 21(,)4x x ，那么PD 2＝2222211(1)(1)44x x x +-=+．所以PD ＝2114x +．如图10-2，2114x +的几何意义可以理解为抛物线上的动点P 到直线y ＝－1的距离PH ．所以PD ＝PH ．因此PD ＋PE 就转化为PH ＋PE ．如图10-3，当P、E、H三点共线，即PH⊥x轴时，PH＋PE的最小值为3．高中数学会学到，抛物线是到定点的距离等于到定直线的距离的点的集合，在中考数学压轴题里, 如果要用到这个性质，最好铺垫一个小题，求证PD＝PH.图10-2 图10-3。

二次函数线段差最大值问题

二次函数线段差最大值问题引言二次函数是高中数学中的一个重要概念，它在许多数学领域都有广泛的应用。

本文将探讨一个与二次函数相关的问题，即二次函数线段差最大值问题。

问题的提出假设有一个二次函数：f(x)=ax2+bx+c，其中a、b、c为任意实数。

现在我们要求在某个区间[a, b]上，找到一个点x，使得该点与函数f(x)图像上的任意点形成的线段的差值最大。

换言之，要求找到一个x值，使得线段差最大。

解答思路要求线段差最大，可以将函数分成两部分：向上凸的部分和向下凸的部分。

我们只需要找到二次函数极值点的x坐标，并将区间[a, b]分成两部分，分别求出两段函数图像的最大值，再计算两者之间的差值即可。

具体步骤一、找到极值点1.对二次函数f(x)求导，得到f′(x)=2ax+b。

2.将导函数f′(x)置零，解方程得到极值点的x坐标。

3.将极值点的x坐标带入原函数f(x)，得到极值点的y坐标。

二、将区间分为两部分1.根据极值点的x坐标，将区间[a, b]分为[a, x]和[x, b]两部分。

三、求两段函数图像的最大值1.对于区间[a, x]，可以将f(x)看成开口向上的抛物线。

通过求导，找到函数在该区间上的最大值。

2.对于区间[x, b]，可以将f(x)看成开口向下的抛物线。

通过求导，找到函数在该区间上的最大值。

四、计算线段差的最大值1.分别计算两段函数图像的最大值。

2.将两者之间的差值与已有的最大差值进行比较，更新最大差值。

3.最终得到线段差的最大值。

结论通过以上步骤，我们可以找到二次函数线段差的最大值。

需要注意的是，这个最大值可能因为函数本身的性质而不存在，即函数可能是单调递增或单调递减的，此时线段差的最大值为0。

因此，在实际问题中，我们需要对函数进行分析，确保线段差最大值存在。

参考资料1.高中数学教材2.“二次函数” - 维基百科3.“求二次函数在指定区间上的最大值和最小值” - CSDN博客致谢感谢您阅读本文，希望能对二次函数线段差最大值问题有一个更深入的理解。

二次函数专题-含答案

二次函数专题——线段最值问题方法总结：1、利用参数表示出两动点的坐标；2、再利用参数表示出线段的长度；3、最后利用二次函数的性质求出线段的最大值.4、特殊线段长度表示①平行（在坐标轴上）线段表示：竖直线段：12AB y y y y =-=-下上水平线段：21AB x x x x =-=-右左 ②两点间距离公式：AB =抛物线与线段最值一，问题引入：问题1： “牵牛从点A 出发，到河边l 喝水，再到点B 处吃草，走哪条路径最短？” 即在l 上找一点P ，使得PA+PB 和最小。

（1）A ，B 两点在直线异侧时,连接AB 交l 于P ，则PA+PB 和最小。

（2）A ，B 两点在直线同侧时，作B 点关于l 的对称点B ′，连接ＡＢ′交l 于点Ｐ，即为所要找的Ｐ点，使PA+PB 和最小。

（３）变式讨论：在l 上找一P 点，使得△PAB 周长最小问题2：在l 上找一点P ，使得∣PA －P B ∣最大（1）A ，B 两点在直线同侧时，连接AB 并延长交l 于P ，则∣PA －P B ∣最大（2）A ，B 两点在直线异侧时，作B 点关于l 的对称点B ′，连接ＡＢ′并延长交l 于点Ｐ，即为所要找的Ｐ点，使∣PA －P B ∣最大。

问题3：（1）在直线1l 、2l 上分别求点M 、N 使PMN 周长最小.l A · B · l A · B ·l A · B · l B · A ·A · lB ·做法：分别作点P 关于直线1l ,2l 的对称点1P ,2P 连接1P ,2P 与1l ,2l 交点即为M ,N(2)变式：在直线1l 、2l 上分别求点M 、N 使四边形PMQN 周长最小.做法: 分别作点P ,Q 关于直线1l ,2l 的对称点//,Q P ,连接//,Q P ,与1l ,2l 交点即为M ,N问题4:点P 在锐角AOB ∠内部，在OB 边上求作一点D ,在OA 边上求作一点C ，使最小CD PD +做法：作点P 关于直线OB 的对称点/P ,过/P 向直线OA 作垂线与OB 的交点为所求点D ，垂足即为点C问题5：（1）直线21//l l ，并且1l 与2l 之间的距离为d ，点A 和点B 分别在直线1l 、2l 的两PQl 2l 1l 2侧，在直线1l 、2l 上分别求一点M 、N ，使AM 、MN 、NB 的和最小.作法：将点A 向下平移d 个单位到1A ，连结B A 1交2l 于点N ，过N 作NM ⊥1l ，垂足为M ，连结AM ，则线段AM 、MN 、NB 的和最小，点M 、N 即为所求.(2)直线l 的同侧有两点A 、B ，在直线l 上求两点C 、D ，使得AC 、CD 、DB 的和最小，且CD 的长为定值a ，点D 在点C 的右侧.作法：将点A 向右平移a 个单位到1A ,作点B 关于直线l 的对称点1B ,连结1A ,1B 交直线l 于点D ,过点A 作AC ∥1A D 交直线l 于点C ，连结BD ，则线段AC 、CD 、DB 的和最小。

二次函数中线段最值问题的探究

二次函数中线段最值问题的探究摘要：本文主要针对二次函数中线段最值问题进行探究，通过实例对竖直线段、水平线段、垂直线段等单线最值问题、线段和差的最值问题两大类进行探究.关键词：竖直线段，水平线段，垂直线段，最值问题，化斜为直.二次函数是初中学习的重点内容，是中考考点，本文针对二次函数中的一类问题——线段最值问题进行探究，主要从单线最值、线段和差最值两个大的方面进行探究,从实例出发，探究问题、解决问题最终归纳总结一般解题的方法和策略.一、单线最值问题：题型一求竖直线段的最值问题：例1如图，二次函数的图象交轴于两点，交轴于点，点是直线上方抛物线上的一个动点，过点作轴的垂线，交直线于点,求线段长度的最大值.分析从题中可知，要求得线段长度的最大值，需要根据点坐标表示出线段的长度，运用二次函数的知识求得最大值.解答：由题可求、直线解析式为设点坐标为，则点坐标为线段当时，有最大值为.题型二求水平线段的最值问题：例2如图，二次函数的图象交轴于两点，交轴于点，点是直线上方抛物线上一个动点，过点作轴的平行线，交直线于点,求线段长度的最大值.分析本小题可以根据点坐标表示出线段的长度，利用二次函数知识求得最大值；也可以利用相似找到与竖直线段的关系，运用转化的方式在例1基础上求得线段的最值.解答：法一：由题可求、直线解析式为设点坐标为，则点坐标为线段当时，有最大值为.法二：过点作轴的垂线，交直线于点,由例1可知线段当时，有最大值为,有最大值为.题型三求垂直线段的最值问题：例3如图，二次函数的图象交轴于两点，交轴于点，点是直线上方抛物线上一个动点，过点作直线的垂线，交直线于点,求线段长度的最大值？分析本小题直接表示线段比较困难，通过转化方式找到与竖直线段之间的关系，表示线段长度，运用二次函数知识求最大值.解答：过点作轴的垂线，交直线于点,由例1可知线段当时，有最大值为,有最大值为.题型四求其他线段的最值问题：例4如图，二次函数的图象交轴于两点，交轴于点，点是线段上一个动点，将绕点逆时针转,与上方抛物线交于点，求线段长度的最大值？分析通过转化找到与垂直线段之间的关系，进而找到与竖直线段的关系，运用二次函数知识求得线段长度的最大值.解答：过点作直线的垂线，交直线于点,由例3可知线段的最大值为当时,有最大值为.二、线段的和差倍分的最值问题：题型一求两条线段和的最值问题：例5如图，二次函数的图象交轴于两点，交轴于点，点是直线下方抛物线上一个动点，过点作轴的垂线，交直线于点,过点作轴的垂线，交轴于点，求的最大值？分析从题中可知，要求得的最大值,需要根据点坐标表示出线段的长度求和，运用二次函数知识求得最大值.解答：由题可求、直线解析式为设点坐标为，则点坐标为线段线段当时，有最大值为.题型二求带有系数的线段和的最值问题：例6如图，二次函数的图象交轴于两点，交轴于点，点是直线下方抛物线上一个动点，过点作轴的垂线，交直线于点,求的最大值？分析从题中可知，要求得的最大值,这一类带有系数的问题，表示很容易，直接表示有一定困难，可以直接表示，进而求和求最值.解答：延长线段与轴交于点设点坐标为，则点坐标为坐标为由例5得线段线段当时，有最大值为.题型二求带有系数的线段差的最值问题：例7如图，二次函数的图象交轴于两点，交轴于点，点是直线下方抛物线上一个动点，过点作轴的垂线，交直线于点,过点作直线的平行线交直线于点求的最大值？分析要利用相似表示，再利用二次函数知识求最值，依然用转化的方式.解答：过作线段的垂线交于点.设点坐标为，则点坐标为由例5得线段由例6得当时，有最大值为.通过以上例题分析与解答，二次函数中线段最值问题实质转化为竖直线段最值问题，化斜为直，最终转化成利用二次函数知识求最值问题.1。

二次函数线段差最值问题

二次函数线段差最值问题好啦，今天咱们聊聊二次函数的线段差最值问题。

这听上去好像有点高深莫测，但其实呢，咱们可以把它拆解得简单明了，就像剥洋葱一样，层层剥开，保留最精华的部分。

你要是觉得这数学问题有点枯燥，那咱们就试着让它活泼起来，像个调皮的小孩子，给它加点趣味。

二次函数，嘿，这个词听起来就像是某种魔法，对吧？它的标准形式就是 (y = ax^2 + bx + c)，其中的 (a)、(b)、(c) 都是数字。

简单来说，二次函数的图像是一个优雅的抛物线，它要么向上开口，要么向下开口，像是在告诉我们生命的各种起伏。

想象一下，咱们在这个抛物线上，找一找那条线段的差最值，简直就像是在找宝藏！如果咱们设定了两个点，分别是 (A(x_1, y_1)) 和 (B(x_2, y_2))，那么线段的长度就可以通过公式来算。

不过，咱们要找的可不是这条线段的长度，而是它与抛物线之间的差，哦，没错，就是那个“差”。

这个差啊，可能是正的，也可能是负的，反正就是一种心情的起伏，就像今天的天气，忽冷忽热。

咱们可以把这个问题变得有趣点。

你们有没有过这样的经历，走在街上，看到一片美丽的风景，心里突然一阵感慨，仿佛生活就是一场抛物线，而每一次的高低起伏都是生活的馈赠。

咱们就从这个角度来分析，首先要计算出 (y) 值，也就是说，把 (x_1) 和(x_2) 代入二次函数里，看看它们的 (y) 值。

就可以轻松搞定差的计算啦。

嘿，你一定会发现，数学原来也可以这么诗意。

有趣的是，咱们不仅仅是想找一个简单的结果，而是希望能够找到最值。

说到这里，你是不是想起了“寻宝”这个词？在数学的海洋里，咱们就是那位勇敢的探险者，披荆斩棘，寻找那个最闪亮的宝石。

咱们可以用导数的方法来找到这个最值。

别担心，导数听起来像是个难懂的名词，但实际上，它就是告诉我们函数变化的速度。

就像开车，油门一踩，速度就上来了，放慢一点，车子就慢下来了。

当咱们计算出导数并把它设为零的时候，嘿，这就是咱们要找的关键点！这个点的(x) 值，就是咱们寻找的“最佳时机”。

二次函数中最值问题(教师版)

二次函数与几何综合专题----线段最值问题将军饮马：这个将军饮的不是马，是数学！原理：两点间线段最短；点到直线的垂直距离最短；对称（翻折）、平移．策略：对称（翻折）→化同为异、化异为同；化折为直．两村一路（异侧）和最小两村一路（同侧）和最小两路一村和最小两村两路和最小两村一路和最小两村一路（同侧）差最大两村一路（异侧）差最大例：如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，3OA OC ==，顶点为D ，对称轴交x 轴于点E ．（1）求抛物线的解析式、对称轴及顶点D 的坐标．PN y轴交AC于N，求线段PN的最大值及此时点P （2）直线AC下方的抛物线上有一动点P，过点P作//的坐标．于H，求线段PH的最大值及此时点P的坐标．（3）直线AC下方的抛物线上有一动点P，过点P作PH AC（4）直线AC 下方的抛物线上有一动点P ，过点P 作//PN y 轴交AC 于N ，过点P 作PH AC 于H ，求PNH △周长的最大值及此时点P 的坐标．（5）在抛物线对称轴上找一点N ，使得BCN △的周长最小，求BCN △周长的最小值及此时点N 的坐标．⊥交AC于点M，求CM的最小值．（6）在线段OA上找一点N，连接NC，作NM NCMN=，求四边形BNMC周长的最小值及（7）在抛物线对称轴上有两动点N、M（点N在点M上方），且1此时M的坐标．（8）在对称轴上找一点N ，使得NA NC -最大，求点N 的坐标．【答案】（1）223y x x =+-，对称轴为：直线x ＝－1，顶点坐标为：D （－1，－4）；（2）PN 的最大值为94，此时P （－32，154-）；（3）当PN 最大为94时，PH 92P （－32，154-）；（4）当PNH △周9294，此时P （－32，154-）；（5）1032N （－1，－2）；（6）1262-（7）6105（8）10131,M （713-，-）；（9）N 的坐标为：（－1，－6）．【详解】（1）解：∵3OA OC ==， ∴A （－3，0），C （0，－3），∴()20333b c c ⎧=--+⎪⎨-=⎪⎩，解得：23b c =⎧⎨=-⎩，∴抛物线的解析式为：223y x x =+-，对称轴为：直线x ＝－1，顶点坐标为：D （－1，－4）．（2）解：设P （x ，223x x +-），则N （x ，－x －3），∴PN ＝－x －3－（223x x +-）＝23x x --＝23924x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，∴当x ＝－32时，PN 的最大值为94，此时P （－32，154-）．（3）解：过点P 作PN ∥y 轴，交AC 于点N ， ∵OA ＝OC ＝3， ∴∠ACO ＝45°， ∵PN ∥y 轴，∴∠PNH ＝45°，即：PNH 是等腰直角三角形，∴PH 2PN ，设P （x ，223x x +-），则N （x ，－x －3），∴PN ＝－x －3－（223x x +-）＝23x x --＝23924x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，∴当x ＝－32时，PN 的最大值为94，∴当PN 最大为94时，PH 最大值＝94×22＝928，此时P （－32，154-）．（4）解：∵OA ＝OC ＝3， ∴∠ACO ＝45°， ∵PN ∥y 轴，∴∠PNH ＝45°，即：PNH 是等腰直角三角形， ∴PH ＝NH 2， ∴PNH △周长＝ PH ＋NH ＋PN 22PN 22PN ＋ PN ＝(21)PN ，设P （x ，223x x +-），则N （x ，－x －3），∴PN ＝－x －3－（223x x +-）＝23x x --＝23924x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，∴当x ＝－32时，PN 的最大值为94，∴当PN 最大为94时，PNH △周长最大值＝94×)219294，此时P （－32，154-）．（5）解：连接AC 交对称轴于点N ′，∵A、B关于对称轴对称，∴AN′＝BN′∴BCN△的周长＝BC＋CN′＋BN′＝BC＋CN′＋AN′＝BC＋AC，∴此时BCN△的周长最小值＝BCN'的周长＝BC＋AC222213331032++∵直线AC的解析式为：y＝－x－3，∴当x＝－1时，y＝－2，即N（－1，－2）．（6）解：由题意得：点N在以CM为直径的圆上，设CM的中点为E，连接EN，则当圆E与x轴相切时，即：EN⊥x轴时，EN最小，此时CM＝2EN最小，设M（x，－x－3），则E（622x x--，），∴EN＝62x+，CM()222332x x x+--+=∴2×62x +22x 662x =-62x =+， ∴M （662-629）， ∴CM ()()2266262931262-+-+-（7）解：过点N 作作NQ ∥MC 交y 轴于点Q ，连接AQ 交DE 于点N ′，连接BN ′，则Q （－2，0），∵NQ ∥MC ，MN ∥CQ ， ∴四边形MNQC 是平行四边形， ∴CM ＝QN ，∴四边形BNMC 的周长＝BC ＋BN ＋MN ＋CM ＝BC ＋BN ＋1＋QN 101＋BN ＋QN ， ∵B 、A 关于DE 对称， ∴AN ′＝BN ′，∴四边形BNMC 101＋BN ′＋QN ′101＋AN ′＋QN 101＋AQ 101＋222310131+，∵直线AQ 的解析式为：223y x =--，∴N ′（413-，-），∴此时M （713-，-）．（8）解：连接BC ，并延长交ED 于点N ′，连接BN ，∵A 、B 关于DE 对称， ∴AN ＝BN ，∴NA NC -＝NB NC -≤BC ＝N B N C ''-， ∵B （1，0），C （0，－3）， ∴直线BC 的解析式为：33y x =-，令x ＝－1代入33y x =-得：y ＝－6， ∴N ′（－1，－6），∴NA NC -最大时，N 的坐标为：（－1，－6）．二次函数与几何综合专题---- 胡不归和阿氏圆问题【胡不归最值问题】求BC +kAC 的最小值．解决思路：构造射线AD 使得sin ∠DAN=k ，即CHk AC，CH=kAC ．将问题转化为求BC+CH 最小值，过B 点作BH ⊥AD 交MN 于点C ，交AD 于H 点，此时BC+CH 取到最小值，即BC+kAC 最小．1．已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于A （﹣1，0），B （5，0）两点，C 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，连结BC ，且tan ∠CBD =43，如图所示．（1）求抛物线的解析式；（2）设P 是抛物线的对称轴上的一个动点．①过点P 作x 轴的平行线交线段BC 于点E ，过点E 作EF ⊥PE 交抛物线于点F ，连结FB 、FC ，求△BCF 的面积的最大值；②连结PB ，求35PC +PB 的最小值．CH=kACsin α=CH AC=kHDαA BCM MCBAαDH2．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0），交y轴于点N，点M 为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，连接AM，点E是线段AM上方抛物线上一动点，EF⊥AM于点F，过点E作EH⊥x轴于点H，交AM于点D．点P是y轴上一动点，当EF取最大值时：①求PD+PC的最小值；②如图2，Q点为y轴上一动点，请直接写出DQ+14OQ的最小值．3．如图，抛物线y ＝ax 2﹣2ax +c 的图象经过点C （0，﹣2），顶点D 的坐标为（1，−83），与x 轴交于A 、B 两点．（1）求抛物线的解析式．（2）连接AC ，E 为直线AC 上一点，当△AOC ∽△AEB 时，求点E 的坐标和AE AB的值．（3）在（2）的条件下，点F （0，y ）是y 轴上一动点，当y 为何值时，√55FC +BF 的值最小．并求出这个最小值．（4）点C 关于x 轴的对称点为H ，当√55FC +BF 取最小值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△QHF 是直角三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图1，抛物线y＝x2+（m﹣2）x﹣2m（m＞0）与x轴交于A，B两点（A在B左边），与y轴交于点C．连接AC，BC．且△ABC的面积为8．（1）求m的值；（2）在（1）的条件下，在第一象限内抛物线上有一点T，T的横坐标为t，使∠ATC＝60°．求（t﹣1）2的值．（3）如图2，点P为y轴上一个动点，连接AP，求CP+AP的最小值，并求出此时点P的坐标．【阿氏圆最值问题】计算PA k PB +的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形问题：在圆上找一点P 使得PA k PB +的值最小，解决步骤具体如下： ①如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP ，OB ②计算出这两条线段的长度比OPk OB= ③在OB 上取一点C ，使得OC k OP =，即构造△POM ∽△BOP ，则PCk PB=，PC k PB = ④则=PA k PB PA PC AC ++≥，当A 、P 、C 三点共线时可得最小值1．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于(3A 0)，B 两点（点B 在点A 的左侧），与y 轴交于点C ，且33OB OA OC ==，OAC ∠的平分线AD 交y 轴于点D ，过点A 且垂直于AD 的直线l 交y 轴于点E ，点P 是x 轴下方抛物线上的一个动点，过点P 作PF x ⊥轴，垂足为F ，交直线AD 于点H ．（1）求抛物线的解析式；（2）设点P 的横坐标为m ，当FH HP =时，求m 的值；（3）当直线PF 为抛物线的对称轴时，以点H 为圆心，12HC 为半径作H ，点Q 为H 上的一个动点，求14AQ EQ +的最小值．2．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴正半轴交于点A，点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．若线段AB绕点A逆时针旋转120°，点B刚好与点C重合，点B的坐标为（3，0）．（1）求抛物线的表达式；（2）抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△ACP为直角三角形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）如图2，以点B为圆心，以1为半径画圆，若点Q为⊙B上的一个动点，连接AQ，CQ，求AQ+CQ 的最小值．3．如图，已知抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．（1）如图①，若点D为抛物线的顶点，以点B为圆心，3为半径作⊙B．点E为⊙B上的动点，连接A，DE，求DE+AE的最小值．（2）如图②，若点H是直线AC与抛物线对称轴的交点，以点H为圆心，1为半径作⊙H，点Q是⊙H 上一动点，连接OQ，AQ，求OQ+AQ的最小值；（3）如图③，点D是抛物线上横坐标为2的点，过点D作DE⊥x轴于点E，点P是以O为圆心，1为半径的⊙O上的动点，连接CD，DP，PE，求PD﹣PE的最大值．4．如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣1，0），抛物线的对称轴是直线x＝．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是直线BC下方的抛物线上一个动点，是否存在点P使四边形ABPC的面积为16，若存在，求出点P的坐标若不存在，请说明理由；（3）如图2，过点B作BF⊥BC交抛物线的对称轴于点F，以点C为圆心，2为半径作⊙C，点Q为⊙C 上的一个动点，求BQ+FQ的最小值．【课后训练】1．如图，直线y＝x+2与抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，抛物线的对称轴与直线AB交于点M．（1）当四边形CODM是菱形时，求点D的坐标；（2）若点P为直线OD上一动点，求△APB的面积；′（3）作点B关于直线MD的对称点B'，以点M为圆心，MD为半径作⊙M，点Q是⊙M上一动点，求QB'+QB的最小值．2．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点C（2，﹣3），且与x轴交于原点及点B（8，0），点A为抛物线的顶点．（1）求二次函数的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM是等腰三角形？如果存在，请求出点M的坐标．如果不存在，请说明理由；（3）若点P为⊙O上的动点，且⊙O的半径为，求的最小值．3.抛物线y＝ax2+bx﹣5的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A坐标为（﹣1，0），一次函数y＝x+k的图象经过点B、C．（1）试求二次函数及一次函数的解析式；（2）如图1，点D（2，0）为x轴上一点，P为抛物线上的动点，过点P、D作直线PD交线段CB于点Q，连接PC、DC，若S△CPD＝3S△CQD，求点P的坐标；（3）如图2，点E为抛物线位于直线BC下方图象上的一个动点，过点E作直线EG⊥x轴于点G，交直线BC于点F，当EF+√22CF的值最大时，求点E的坐标．4.如图①，直线y＝﹣x﹣3分别与x轴、y轴交于点B，C，抛物线y＝ax2+bx+c经过B，C两点，且与x轴的另一交点为A（1，0）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）如图①，点P在第三象限内的抛物线上．①连接AC，PB，PC，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标；②在①的条件下，G为x轴上一点，当PG+√55AG取得最小值时，求点G的坐标；（3）如图②，Q为x轴下方抛物线上任意一点，D是抛物线的对称轴与x轴的交点，直线AQ，BQ分别交抛物线的对称轴于点M，N．问：DM+DN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．21Math唐老师22。

专题七二次函数综合问题

质求解.确定函数最值时,函数自变量的取值范围应确定正确.
(2)已知两个定点和一条定直线,要求在定直线上确定一点,使得这个点到两定点距离和最小,其变形问题有三角
形周长最小或四边形周长最小等.这类问题的解决方法是:作其中一个定点关于已知直线的对称点,连接对称点
与另一个定点,所得直线与已知直线的交点即为所求的点,然后通过求直线的表达式及其与定直线的交点坐标,
顶点的Rt△PEQ,且满足tan∠EQP=tan∠OCA.若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

2
解:(3)存在.设点 P 的坐标为(m,- m +m+4),点 Q 的坐标为(t,-t+4),

由已知得 tan∠OCA=
= = .

①当点 Q 在点 P 的左侧时,如图②所示,分别过点 P,Q 作 x 轴的垂线,垂足分别为 N,M.
小值时,求点M的坐标及这个最小值.
思路分析:(3)可求MQ=OB=1,则求MC+MQ+BQ的最小值,只需确定MC+BQ的最小值,这可利
用
点
点O关于抛物线对称轴的对称点进行求解.
C
或
解:(3)如图②所示,过点 C 作 CF∥x 轴,交 y 轴于点 G,交抛物线于点 F,连接 OF,交抛物线的对称轴
x=-1 于点 M,过点 M 作 MQ⊥y 轴于点 Q,连接 MC,BQ,由对称性可知 MC=MF.

直线 BC 的表达式为 y=-x+4.
(2)点F是抛物线对称轴上一点,当FA+FC的值最小时,求出点F的坐标及FA+FC的最小值.
解:(2)如图①所示,∵点 A,B 关于抛物线的对称轴 x=1 对称,

2020中考数学复习分类汇编专题3：二次函数与线段及其最值问题(含答案)

专题：二次函数中的线段问题(含最值问题)1. 如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交于点A ，B (1，0)，与y 轴交于点C ，直线y ＝ x －2经过点A 、C .抛物线的顶点为D ，对称轴为直线l .(1) 求抛物线的表达式、顶点D 的坐标及对称轴l ； (2) 设点E 为x 轴上一点，且AE ＝CE ，求点E 的坐标；(3) 设点G 是y 轴上一点，是否存在点G ，使得GD ＋GB 的值最小，若存在，求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由；(4) 在直线l 上是否存在一点F ，使得△BCF 的周长最小，若存在，求出点F 的坐标及△BCF 周长的最小值；若不存在，请说明理由；(5) 点S 为y 轴上任意一点，K 为直线AC 上一点，连接BS ，BK ，是否存在点S ，K 使得△BSK 的周长最小，若存在，求出S ，K 的坐标，并求出△BSK 周长的最小值；若不存在，请说明理由；(6) 在y 轴上是否存在一点S ，使得SD －SB 的值最大，若存在，求出点S 的坐标；若不存在，请说明理由； (7) 若点H 是抛物线上位于AC 上方的一点，过点H 作y 轴的平行线，交AC 于点K ，设点H 的横坐标为h ，线段HK ＝d .①求d 关于h 的函数关系式； ②求d 的最大值及此时H 点的坐标．122. 如图，抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.点D（m，0）为线段OA上一个动点（与点A，O不重合），过点D作x轴的垂线与线段AC交于点P，与抛物线交于点Q，连接BP，与y轴交于点E.（1）求A，B，C三点的坐标；（2）当点D是OA的中点时，求线段PQ的长；（3）在点D运动的过程中，探究下列问题：①是否存在一点D，使得PQ＋22PC取得最大值？若存在，求此时m的值；若不存在，请说明理由；②连接CQ，当线段PE＝CQ时，直接写出m的值.3. 如图，直线y ＝－34x ＋1与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 经过点B ，且与直线AB 的另一交点为C （4，n ）.（1）求该抛物线的表达式及点C 的坐标；（2）设抛物线上的一个动点P 的横坐标为t （0＜t ＜4），过点P 作PD ⊥AB 交直线AB 于点D ，作PE ∥y 轴交直线AB 于点E .①求线段PD 的长的最大值； ②当t 为何值时，点D 为BE 的中点.4. 已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋2经过A （－1，0），B （2，0），C 三点.直线y ＝mx ＋12交抛物线于A ，Q 两点，点P 是抛物线上直线AQ 上方的一个动点，过点P 作PF ⊥x 轴，垂足为点F ，交AQ 于点N .（1）求抛物线的表达式；（2）如图①，在点P 运动过程中，当PN ＝2NF 时，求点P 的坐标；（3）如图②，线段AC 的垂直平分线交x 轴于点E ，垂足为点D ，点M 为抛物线的顶点，在直线DE 上是否存在一点G ，使△CMG 的周长最小？若存在，请求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由.参考答案1. (1)解：对于直线y ＝21x －2，令y ＝0，得x ＝4，令x ＝0，得y ＝－2， ∴点A (4，0)，点C (0，－2)，抛物线的解析式为y = -21x 2+25x -2 ∴顶点D 的坐标为(25，98 )，对称轴l 为直线x ＝ 25（2）要求点E 的坐标，已知AE ＝CE ，设E 点坐标为(e ，0)，用含e 的式子分别表示出AE 和CE ，建立等量关系求解即可．点E 的坐标为( 23，0)（3）要使GD ＋GB 的值最小，一般是通过轴对称作出对称点来解决．解：存在．如解图②，要使GD ＋GB 的值最小，取点B 关于y 轴的对称点B ′，点B ′的坐标为(－1，0)．连接B ′D ，直线B ′D 与y 轴的交点G 即为所求的点，点G 的坐标为(0， 289)；（4）要使△BCF 周长最小，BC 长为定值，即要使CF ＋BF 的值最小．△BCF 周长的最小值为BC ＋AC ＝3 √5 ；（5）要求△BSK 周长的最小值，可分别作点B 关于y 轴和直线AC 的两个对称点B ′、B ″，连接B ′B ″与y 轴和直线AC 交点即为使得△BSK 的周长最小的点S 、K ，最小值即线段B ′B ″的长．存在点S (0，-43 )，点K (1， - 23 )使得△BSK 的周长最小，最小值为4；（6）当点S 在DB 的延长线上时，SD －SB 最大，最大值为BD ，即当点S 的坐标为(0，-43)时，SD －SB 的值最大；（7）平行于y 轴的直线上两点之间的距离为此两点的纵坐标之差的绝对值，如此问，由题可得点H 的横坐标为h ，①求出点H ，K 的纵坐标，再由点H 在点K 的上方，可得到d 关于h 的函数关系式；②利用二次函数的性质求最值，即可得d 的最大值及H 点的坐标．（1）d 关于h 的函数关系式为d ＝－21h 2＋2h ；（2）当h ＝2时，d 最大，最大值为2，此时点H 的坐标为(2，1)．参考答案2. 解：(1)在y ＝－x 2－2x ＋3中，令y ＝0，得－x 2－2x ＋3＝0，解得x 1＝－3，x 2＝1. ∵点A 在点B 的左侧， ∴A (－3，0)，B (1，0)．令x ＝0，得y ＝3， ∴点C 的坐标为(0，3)；(2)设直线AC 的表达式为y ＝kx ＋b .将A ，C 两点的坐标(－3，0)，(0，3)代入表达式，得⎩⎪⎨⎪⎧－3k ＋b ＝0，b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝3，∴直线AC 的表达式为y ＝x ＋3.(4分) ∵点D 是OA 的中点，∴OD ＝12OA ＝32，∴点D 的横坐标m ＝－32.∵PQ ⊥x 轴，∴把m ＝－32分别代入y ＝x ＋3和y ＝－x 2－2x ＋3，得P ，Q 两点的坐标分别为(－32，32)、(－32，154)，∵DQ ⊥OA ，∴PQ ＝DQ －DP ＝y Q －y P . ∴PQ ＝154－32＝94；(3)①存在点D ，使得PQ ＋22PC 取得最大值．理由：∵点D 的横坐标为m ，PQ ⊥x 轴，且点P ，Q 分别在直线AC 和抛物线上， ∴P ，Q 两点的坐标分别为(m ，m ＋3)，(m ，－m 2－2m ＋3)． ∵DQ ⊥OA ，∴PQ ＝DQ －DP ＝y Q －y P ，∴PQ ＝－m 2－2m ＋3－(m ＋3)＝－m 2－3m . 如解图，过点P 作PF ⊥y 轴于点F ，则PF ＝－m . 在Rt △AOC 中，OA ＝OC ＝3， ∴∠CAO ＝∠OCA ＝45°.∴sin ∠OCA ＝PF PC ＝22.∴PF ＝22PC ∴PQ ＋22PC ＝－m 2－3m －m ＝－m 2－4m ＝－(m ＋2)2＋4， ∵PQ ＋22PC 是m 的二次函数，其中a ＝－1＜0，而－3＜m ＜0. ∴当m ＝－2时，PQ ＋22PC 取得最大值；②m ＝－1或m ＝－ 5.【解法提示】∵△PFE ∽△BOE ，∴PF BO ＝EFEO.∵PF ＝－m ，OF ＝m ＋3，OB ＝1，∴EF ＝－mOE .∵OF ＝EF ＋OE ，∴m ＋3＝(－m ＋1)OE ，则OE ＝m ＋3－m ＋1，EF ＝－m （m ＋3）－m ＋1，又∵CQ ＝PE ，PQ ∥CE ，∴|y Q －y C |＝|y P －y E |＝EF .∵|y Q －y C |＝|－m 2－2m ＋3－3|＝|m 2＋2m |，∴－m （m ＋3）－m ＋1＝|m 2＋2m |.又∵－3＜m ＜0，解得m ＝－1或m ＝－ 5.3. 解：(1)把x ＝4，y ＝n 代入y ＝－34x ＋1中，得n ＝－34×4＋1＝－2∴点C 的坐标为(4，－2)．将点C (4，－2)和点B (0，1)代入y ＝－12x 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧－8＋4b ＋c ＝－2，c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝54，c ＝1，∴抛物线的表达式为y ＝－12x 2＋54x ＋1；(2)①∵PE ＝－12t 2＋54t ＋1－(－34t ＋1)＝－12t 2＋2t ，如解图，过点E 作QE ⊥y 轴于点Q ，则QE ＝t ， QB ＝1＋34t －1＝34t ，BE ＝QB 2＋QE 2＝（34t ）2＋t 2＝54t ∵PE ∥y 轴， ∴∠PEB ＝∠EBQ ， ∵∠BQE ＝∠PDE ＝90°， ∴△PED ∽△EBQ ，∴PE EB ＝PD EQ ，得－12t 2＋2t 54t ＝PDt， PD ＝－25t 2＋85t .∵－25＜0，∴PD 有最大值， PD 最大＝0－（85）24×（－25）＝85；②∵点D 为BE 的中点，∴由PE EB ＝DE QB ，DE ＝12BE ，得12BE 2＝PE ·QB ，代入得12×(54t )2＝(－12t 2＋2t )×34t ，整理得2532＝－38t ＋32，解得t ＝2312，∴当t ＝2312时，点D 为BE 的中点．4. 解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋2经过A (－1，0)，B (2，0)，∴将点A 和点B 的坐标代入得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋2＝0，4a ＋2b ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1，∴抛物线的表达式为y ＝－x 2＋x ＋2；(2)直线y ＝mx ＋12交抛物线于A 、Q 两点，把A (－1，0)代入解析式得m ＝12，∴直线AQ 的表达式为y ＝12x ＋12.设点P 的横坐标为n ，则P (n ，－n 2＋n ＋2)，N (n ，12n ＋12)，F (n ，0)，∴PN ＝－n 2＋n ＋2－(12n ＋12)＝－n 2＋12n ＋32，NF ＝12n ＋12.∵PN ＝2NF ，即－n 2＋12n ＋32＝2×(12n ＋12)，解得n ＝－1或n ＝12，当n ＝－1时，点P 与点A 重合，不符合题意舍去．∴点P 的坐标为(12，94)；(3)在直线DE 上存在一点G ，使△CMG 的周长最小；此时G (－38，1516)．理由如下：∵y ＝－x 2＋x ＋2＝－(x －12)2＋94，∴M (12，94)．如解图，连接AM 交直线DE 于点G ，连接CG 、CM ，此时，△CMG 的周长最小．设直线AM 的函数表达式为y ＝kx ＋b ，且过A (－1，0)，M (12，94)．根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝0，12k ＋b ＝94，解得⎩⎨⎧k ＝32，b ＝32.∴直线AM 的表达式为y ＝32x ＋32.∵D 为AC 的中点，∴D (－12，1)．设直线AC 的表达式为y ＝kx ＋2，将点A 的坐标代入得－k ＋2＝0，解得k ＝2， ∴AC 的表达式为y ＝2x ＋2.设直线DE 的表达式为y ＝－12x ＋c ，将点D 的坐标代入得：14＋c ＝1，解得c ＝34，∴直线DE 的表达式为y ＝－12x ＋34.联立⎩⎨⎧y ＝－12x ＋34，y ＝32x ＋32，解得⎩⎨⎧x ＝－38，y ＝1516.∴在直线DE 上存在一点G ，使△CMG 的周长最小，此时G (－38，1516)．。

初中复习方略数学微专题四二次函数中几何图形线段、周长、面积的最值

抛物线对称轴为直线 x＝－ 2
＝1，
2×（－1）
3k＋c＝0
设直线 AC 的解析式为 y＝kx＋c，将 A(3，0)，C(0，3)代入，得：
，
c＝3
k＝－1
解得：
，
c＝3
∴直线 AC 的解析式为 y＝－x＋3，∴P(1，2)；
(3)存在．设 P(1，t)，①以 AC 为边时，如图 2，∵四边形 ACPQ 是菱形， ∴CP＝CA， ∴12＋(3－t)2＝32＋32，解得：t＝3± 17 ， ∴P1(1，3－ 17 )，P2(1，3＋ 17 )， ∴Q1(4，－ 17 )，Q2(4， 17 )，
1．(2021·天津中考)已知抛物线 y＝ax2－2ax＋c(a，c 为常数，a≠0)经过点 C(0，－ 1)，顶点为 D. (1)当 a＝1 时，求该抛物线的顶点坐标； (2)当 a＞0 时，点 E(0，1＋a)，若 DE＝2 2 DC，求该抛物线的解析式； (3)当 a＜－1 时，点 F(0，1－a)，过点 C 作直线 l 平行于 x 轴，M(m，0)是 x 轴上的动点，N(m＋3，－1)是直线 l 上的动点．当 a 为何值时，FM＋DN 的最小值为 2 10 ，并求此时点 M，N 的坐标．
(2021·常德中考)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，平行四边形 ABCD 的 AB 边与 y 轴交于 E 点，F 是 AD 的中点，B、C、D 的坐标分别为(－2，0)，(8，0)，(13， 10). (1)求过 B、E、C 三点的抛物线的解析式； (2)试判断抛物线的顶点是否在直线 EF 上； (3)设过 F 作与 AB 平行的直线交 y 轴于 Q，M 是线段 EQ 之间的动点，射线 BM 与抛物线交于另一点 P，当△PBQ 的面积最大时，求 P 的坐标．

二次函数与相切、线段和差

考点一二次函数与线段和差问题☞线段和差常见模型 I 、PAPB +最小同侧图1BlAB图2异侧II 、PA PB -最小图4同侧异侧图5AA图6异侧III 、PA PB -最大【变形】异侧时，也可以问：在直线l 上是否存在一点P 使的直线l 为APB ∠的角平分线Al同侧l异侧IV 、四边形周长最短类型一类型二lNM类型三NMB'A'BAV、三角形周长最短类型一类型二ABPA'CBOA''A'A☞线段和差典型题型【例1】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（—2，—4 ）、O（0，0）、B（2，0）三点．（1）求抛物线y＝ax2＋bx＋c的解析式；（2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM＋OM的最小值．图1【例2】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝—x2＋2x＋3与x轴交于A．B两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．（1）求直线AC的解析式及B．D两点的坐标；（2）点P是x轴上的一个动点，过P作直线l//AC交抛物线于点Q．试探究：随着点P的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以A．P．Q．C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）请在直线AC上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标．图1（2012年山西省中考第26题）【例3】已知抛物线2y ax bx c =++经过()43A -，、()20B ，两点，当3x =和3x =-时，这条抛物线上对应的纵坐标相等．经过点C ()02-，的直线l 与x 轴平行，O 为坐标原点．（1）求直线AB 和这条抛物线的解析式；（2）以A 为圆心，AO 为半径的圆记为圆A ,判断直线l 与圆A 的位置关系，并说明理由；（3）设直线AB 上的点D 的横坐标为1-,()P m n ，是抛物线2y ax bx c =++上的动点，当PDO △的周长最小时，求四边形CODP 的面积．【例4】如图，直线y ＝－33x ＋2分别交x 轴、y 轴于C 、A 两点，将射线AM 绕点A 顺时针旋转45°得到射线A N ，D 为AM 上的动点，B 为AN 上的动点，点C 在∠MAN 的内部．（1）当AM ∥x 轴，且四边形ABCD 为梯形时，求△BCD 的面积；（2）求△BCD 周长的最小值；（3）当△BCD 的周长取得最小值，且BD ＝ 523 时，求△BCD 的面积．【例5】已知，如图1，二次函数()2230y ax ax a a =+-≠的图像的顶点为H ，与x 轴交于A B 、两点（B 在O yxAxy1O D212 M NB 3 4C Ax y1O 2123 4C 备用图Axy1 O212 3 4 C 备用图A 的右侧），点H B 、关于直线l：y + （1）求A B 、两点的坐标，并证明点A 在直线l 上；（2）求二次函数的解析式；（3）过点B 作BK AH ∥交直线l 于点K ，M N 、分别为直线AH 和直线l 上的两个动点，连结HN NM MK 、、，求HN NM MK ++的最小值．图1【例6】直线143235y x =-+交x 轴于A 点交y 轴于B 点，直线275y kx =+过A 点交y 轴于C 点．（1）抛物线2y x bx c =++过C 点，且与x 轴正半轴有唯一交点，则抛物线的解析式为________ （2）若（1）中抛物线与直线143235y x =-+交与点P （P 在第一象限），M 是y 轴上一动点，N是直线275y kx =+上一动点，求PM PN +的最小值；（3）若MPN ∠的大小始终与PM PN +取得最小值时MPN ∠的大小一致，且120BMP ∠=︒时，直接写出PM PN +的值．考点二二次函数与面积产生的函数关系【例7】如图1，抛物线213922y x x =--与x 轴交于A ．B 两点，与y 轴交于点C ，联结BC ．AC ．（1）求AB 和OC 的长；（2）点E 从点A 出发，沿x 轴向点B 运动（点E 与点A ．B 不重合），过点E 作BC 的平行线交AC 于点D ．设AE 的长为m ，△ADE 的面积为s ，求s 关于m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；（3）在（2）的条件下，联结CE ，求△CDE 面积的最大值；此时，求出以点E 为圆心，与BC 相切的圆的面积（结果保留π）．图1（2012年广东省中考第22题）【例8】如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是平行四边形．直线l 经过O ．C 两点，点A 的坐标为（8，0），点B 的坐标为（11，4），动点P 在线段OA 上从O 出发以每秒1个单位的速度向点A 运动，同时动点Q 从点A 出发以每秒2个单位的速度沿A →B →C 的方向向点C 运动，过点P 作PM 垂直于x 轴，与折线O —C —B 相交于点M ．当P ．Q 两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P ．Q 运动的时间为t 秒（t0），△MPQ 的面积为S ．（1）点C 的坐标为____________，直线l 的解析式为____________；（2）试求点Q 与点M 相遇前S 与t 的函数关系式，并写出相应的t 的取值范围．（3）试求题（2）中当t 为何值时，S 的值最大？最大值是多少？图1（2011年山西省中考第26题）【例9】如图，矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝2错误!未找到引用源。

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