计算地球物理课件 第3章 电磁场数值模拟

1.1 求解麦克斯韦方程组的时间域有限差分法
Hx 1 Ey ,
t z
Hz 1 Ey
t x
在 (n 1 2)t 时刻磁场分量的差分格式
H n1 x
2
(i,
k
1) 2
H n1 x
2
(i,
k
1) 2
A5
Eyn
(i,
k
1)
Eyn
(i,
k)
H
n1 z
2
(i
1 2
,
k)
H n1 z
2
(i
1 2
,
k)
A6
D 0
B 0
D E B H J E
E 电场强度 H 磁场强度 D 电感应强度 B 磁感应强度 J 电流密度 q 自由电荷=0
在用时间域有限差分法（FDTD—finite-difference time-domain method）求解麦克斯韦方程时，只求解两个旋度方程，而两个散 度方程自然得到满足。
2 (i, k
12)
H
n1 z
2
(i,
k
)
x
1 x
H
n1 z
2
(i
1 2
,k)
H n1 z
2
(i
1 2
,
k)
Eyn1 2 (i, t
k)
1 t
E n 1 y
(i,
k
)
Eyn
(i, k )
第一节 电磁响应的交错网格有限差分 （时间域有限差分）模拟
1.1 求解麦克斯韦方程组的时间域有限差分法
利用
E n1 y
I
y
,
Hx 1 Ey ,
0
t z
x
x, z x, z
Hz 1 Ey ,
t x
z
二维介质
第一节 电磁响应的交错网格有限差分 （时间域有限差分）模拟
1.1 求解麦克斯韦方程组的时间域有限差分法
x
1
2
z1
2
k K
i
I
H=J+ D
微分形式
t
E= B
t
积分形式
C
H
dl
t
S
D
ds
第一节 电磁响应的交错网格有限差分 （时间域有限差分）模拟
1.1 求解麦克斯韦方程组的时间域有限差分法
地质雷达探测时，通常只记录与测线方向垂直的水平电场分 量，并假设地下介质为二维的，故考虑仅有一个电场分量的麦克 斯韦方程组。
二维非均匀介质中的麦克斯韦方程组为
Ey t
Ey
1
H x z
H z x
计算地球物理
第三章 电磁场数值模拟
地球物理与信息工程学院 物探系 周辉 2013年
内容提要
第一节 电磁响应的交错网格有限差分 模拟
第二节 大地电磁场有限元模拟
第一节 电磁响应的交错网格有限差分 （时间域有限差分）模拟
1.1 求解麦克斯韦方程组的时间域有限差分法
H=J+ D t
E= B t
S
J
ds
C
E
dl
t
S
B
ds
Ey
Hx
Hz
Yee 网格及电磁场空间配置
.
第一节 电磁响应的交错网格有限差分 （时间域有限差分）模拟
1.1 求解麦克斯韦方程组的时间域有限差分法
Ey t
Ey
1
H x z
H z x
Iy
H
n1 x
2
(i,
k
)
z
1 z
H
n1 x
2
(i,
k
1) 2
H n1 x
Eyn
(i
1,
k)
Eyn
(i,
k
)
第一节 电磁响应的交错网格有限差分 （时间域有限差分）模拟
1.1 求解麦克斯韦方程组的时间域有限差分法
E n1 y
(i,
k
)
A1E
n y
(i,
k)
A2
H
n1 x
2 (i, k
1) 2
H n1 x
2
(i,
k
12)
A3
H
n1 z
2
(i
1 2
,
k)
H
n1 z
2
(i
1 2
t z
t x
（2）
将 Ey 分解为 x 方向传播的部分和 z 方向传播的部分，即
Ey Eyx Eyz
在边界中，电导率和磁导率分别记为 , * 。
第一节 电磁响应的交错网格有限差分 （时间域有限差分）模拟
1.2 完全匹配层(Perfectly Matched Layers)吸收边界 （1）式写为
z
z
0,
* z
0, x
* x
0
x
0,
* x
0
z
0,
* z
0
x
z
* z
0
x
* x
0
PML
Ey H x H z t z x
H x Ey Hz Ey
t z
t x
内部区域
, 0, * 0
Eyx t
x Eyx
H z x
Eyz t
z Eyz
H x z
z
* z
0
x
* x
0
H x t
* z
H
x
Eyx Eyz z
Hz t
* x
H
z
Eyx Eyz x
x
0,
* x
0
z
0,
* z
0
z
0, x
z*0x*,
, 0
0
x
0,
* x
0
z
0,
* z
0
第一节 电磁响应的交错网格有限差分 （时间域有限差分）模拟
用电场的更新式求 (n 1)t 时刻的电场。如此循环直至最大时刻。
第一节 电磁响应的交错网格有限差分 （时间域有限差分）模拟
1.2 完全匹配层(Perfectly Matched Layers)吸收边界 设计 PML 的原理是：当内部介质和边界介质的波阻抗一样，
即波阻抗匹配时，电磁波入射到边界时，电磁波只沿原方向传 播而不被反射回来。当然，必须要求电磁波在边界中快速衰减， 当电磁波传播到最外侧的边界时，电磁波的能量衰减到 60 分 贝以下，这时即使有边界反射，能量也极其微弱，对需要计算 波场的影响可以忽略。
Eyx t
x Eyx
Hz x
（2）式写为
Eyz t
z Eyz
H x z
Hx t
* z
H
x
Eyx Eyz z
Hz t
* x
H
z
Eyx Eyz x
第一节 电磁响应的交错网格有限差分 （时间域有限差分）模拟
1.2 完全匹配层(Perfectly Matched Layers)吸收边界
2
(i,
k)
1 2
E n1 y
(i,
k
)
Eyn
(i,
k )
得
E n1 y
(i,
k)
A1Eyn
(i, k)
A2
H
n1 x
2
(i, k
1)百度文库2
H n1 x
2
(i,
k
12)
A3
H n1 z
2
(i
1 2
,
k
)
H n1 z
2
(i
1 2
,
k
)
A4 I
n1 y
i,
k
第一节 电磁响应的交错网格有限差分 （时间域有限差分）模拟
,
k )
A4 I
n1 y
i,
k
H n1 x
2
(i,
k
1) 2
H
n1 x
2
(i,
k
1) 2
A5
Eyn
(i,
k
1)
E
n y
(i,
k
)
H
n1 z
2
(i
1 2
,
k
)
H
n1 z
2
(i
1 2
,
k
)
A6
Eyn
(i
1,
k)
E
n y
(i,
k )
求解步骤：（1）用磁场的更新式求 (n 1 2)t 时刻的磁场；（2）
PML 吸收效果最好。PML 已经在声波、弹性波模拟中得到 广泛应用。
第一节 电磁响应的交错网格有限差分 （时间域有限差分）模拟
1.2 完全匹配层(Perfectly Matched Layers)吸收边界
以无吸收介质的电磁波传播为例说明 PML 吸收边界。
Ey Hx Hz
t z x
（1）
Hx Ey ， Hz Ey