数学建模活动周期现象的描述 PPT
周期现象_PPT课件
【方法技巧】应用周期现象解决实际问题的两个要点
【变式训练】今天是星期五，则168天后是_______，170天后 是_______. 【解题指南】一星期是7天，一循环. 【解析】因为168=7×24，,170=7×24+2，所以168天后仍 是星期五，170天后是星期天. 答案：星期五 星期天
【补偿训练】某广场从左向右依次挂着一排小彩灯，自左向右
【类题试解】(2014·汉中高一检测)一个居民小区进行绿化， 沿着小区外墙栽树，按照1棵杨树、2棵芙蓉树、1棵槐树这样 的顺序栽了66棵树，最后1棵是______树. 【解析】由题意知，4棵树一循环，66=4×16+2，所以最后 一棵树应该是芙蓉树. 答案：芙蓉
正式作业第11期报纸章末测试题
3,4,7,10,13,17
【延伸探究】题(2)中的水车盛800升的水至少需要多少时间？
【解题指南】解答本题可以先表示出x分钟后盛水的升数，然 后列不等式求出x的取值范围. 【解析】设x分钟后盛水y升，由题(2)知每转一圈，水车最多 盛水16×10=160(升)，所以y=x ·160＝32x，为使水车盛800
5
升的水，则有32x≥800，所以x≥25，即水车盛800升的水至少 需要25分钟.
依据规定，当海浪高于1米时才对冲浪爱好者开放，依据上表 可以判断，一天内的8： 00至20： 00时之间，有多少时间可 以供冲浪者运动？
【解题探究】1.从图像观察，函数值有没有重复出现？ 2.对题(2)中的数据如何提取有效信息？ 【探究提示】1.有，当x分别在[0,2],[3,5],[6,8]取值时，对应 的y值会重复出现. 2.将实际问题中的数据转化为散点图，利用散点图解决实际问 题.
【误区警示】对于③，容易误认为数字是有规律的，所以是周 期现象，这是错误的.
人教B版(2019)数学必修(第三册)：7.4 数学建模活动：周期现象的描述 课件(共21张PPT)
0.201 357 920 8≈0.201 4．
如图 2，在区间[0，12]内，函数 y＝2．5sin53π1x＋5 的图象与直 线 y＝5.5 有两个交点 A，B，因此
53π1x≈0.201 4，或 π－53π1x≈0.201 4。
（3）实际问题的背景往往比较复杂，而且需要综合应用多门 学科的知识才能完成，因此，在应用数学知识解决实际问题时，应 当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知 识来帮助解决问题。
（4）实际问题通常涉及复杂的数据，因此往往需要用到计算 机或计算器。
[基础自测]
1．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场 的人流量满足函数 F(t)＝50＋4sin2t (t≥0)，则在下列哪个时间段内 人流量是增加的（ ）
s1＝5sin2t＋6π，s2＝5cos2t－3π。 则在时间 t＝23π时，s1 与 s2 的大小关系是（ ） A．s1>s2 B．s1<s2 C．s1＝s2 D．不能确定
解析：当 t＝23π时，s1＝－5，s2＝－5，所以 s1＝s2。 答案：C
3．如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图， 经过12周期后，乙的位置将传播至（ ）
可用函数 y＝2．5sin53π1x＋5 近似描述。
由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值（表）：
时刻 0：00 1：00 2：00 3：00 4：00 5：00 6：00 7：00 8：00 9：00 10：00 11：00
水深 /m 5.000 6.213 7.122 7.497 7.245 6.428 5.253 4.014 3.023 2.529 2.656 3.372
《周期现象与周期函数》ppt课件
h(t+12)=h(t)
7
例1.地球围绕着太阳转，地球到太阳的距离y 随时间的变化是周期的吗？
分析：根据物理知识，任一 个确定的时刻，地球与太阳 的距离y是唯一确定的。经过 一年地球围绕太阳转一周， 所以无论从哪个时刻t算起， 经过一年后，地球又回到原来的 位置。所以地球与太阳的距离 是周期变化的。
2.5 2.7 3.5 4.4 5.0 6.2 7.5 7.3
17:00 18:00 19:00 20:00 21:00 22:00 23:00 24:00
6.2 5.3 4.1 3.1 2.5 2.7 3.5 4.4
从散点图可以看出，每经过相同的时间T（12h）， 水深度就重复出现相同的数值，因此，水深是周期 性变化。
T=12
h(t+12)=h(t)
周期函数的定义
一般地，对于函数f(x) ，如果存在非零实数T， 对定义域内的任意一个x值，都有 f(x+T)=f(x) 我们就把f(x)称为周期函数，T称为这个函
数的周期。
y=f(t+365)=f(t)
例2. 图1-4 是水车的示 意图，水车上A点到水面的距 离y 。假设水车5min转一圈， 那么y的值每经5min就会重复 出现，因此，该距离y是随时 间的变化而周期性变化。
你能得到什么结论？
T=5
y=f(t+5)=f(t)
T=365
y=f(t+365)=f(t)
f(x+T)=f(x)
第一章 三角函数
§1.1 周期现象
3
众所周知，海水会发生潮汐现象，大约在 每一昼夜的时间里，波浪每间隔一段时间就会 重复出现。这种现象就是我们今天要学到的
周期现象。
《周期现象》教学课件
周期函数的性质
01
周期函数的性质一
周期函数的定义域是关于原点对称的。这是因为周期函数在定义域内的
任意一点x处都有对应的点x+T，而这两个点关于原点对称。
02 03
周期函数的性质二
周期函数的值域也是关于原点对称的。这是因为周期函数在任意一点x 处的函数值f(x)和f(x+T)互为相反数，即f(x)=-f(x+T)，所以它们的值域 关于原点对称。
三角函数图像
三角函数的图像是周期性的，呈现波浪状或正弦、 余弦曲线。
3
三角函数的应用
在物理、工程、技术等领域中，三角函数模型被 广泛应用于描述振动、波动、交流电等周期现象。
指数函数模型
指数函数周期性
指数函数（如a^x，其中a>0且a≠1）并不具有严格的周期性，但 其增长或衰减速度可以呈现一定的周期性。
指数函数图像
指数函数的图像是单调增加或减少的，形状类似于波浪状。
指数函数的应用
在描述放射性衰变、金融复利增长等现象时，指数函数模型被广泛 应用。
分式函数模型
分式函数周期性
01
分式函数（如f(x)=1/x）并不具有严格的周期性，但其行为在某
些条件下可以呈现周期性。
分式函数图像
02
分式函数的图像是双曲线或反比例曲线。
电磁波
电磁波的波动形式呈现周 期性，如无线电波、光波 等，它们的传播和变化都 遵循一定的周期规律。
原子结构
原子中的电子围绕原子核 的运动、原子核的自旋等 都呈现出周期性的变化。
在数学中的应用
三角函数
离散周期序列
三角函数（如正弦、余弦、正切等） 是描述周期现象的重要工具，广泛应 用于信号处理、振动分析等领域。
课件4：7.4 数学建模活动：周期现象的描述
(2)点 A 在圆上转动的角速度是3π0 rad/s，故 t 秒转过的弧度数 为3π0t，∴h＝5.6－4.8cos 3π0t ，t∈[0，＋∞)． (3)到达最高点时，h＝10.4 m.由 cos 3π0t＝－1，得3π0×t＝π， ∴t＝30.∴缆车首次到达最高点所用的时间为 30 s.
类题通法
7.4 数学建模活动：周期现象的描述
知识点1 用已知的三角函数模型解决问题 讲一讲 1.某海滨浴场的海浪高度y(单位：m)是时间t(0≤t≤24，单 位：h)的函数，下表是测得的某日各时的浪高数据：
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5 经长期观测，函数y＝f(t)的图像可以近似地看成函数y＝ Acos(ωt＋φ)＋b(A>0，ω>0)的图像．
令 k＝0，得 t∈(8,12)；令 k＝1，得 t∈(20,24)．
故这一天共有 8 小时水深低于 10.3 m.
知识点2 建立三角函数模型解决问题 讲一讲 2,如图所示的为一个观览车示意图，该观览车的半径 为4.8 m，圆上最低点与地面的距离为0.8 m,60 s转动一圈， 图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB， 设B点与地面的距离为h.
(2)由题意可知，当 y>1 时才对冲浪者开放， 即 0.5cos π6t＋1>1，cos π6t>0，则 2kπ－π2<π6t<2kπ＋π2，k∈Z， 即 12k－3<t<12k＋3(k∈Z)， 又∵8≤t≤20，∴k＝1，∴9<t<15， 故在规定时间从上午 8：00 到晚上 20：00，有 6 个小时的 时间可供冲浪者进行活动，开放冲浪场所的具体时间段为 上午 9：00 到下午 15：00.
7.4 数学建模活动周期现象的描述
当堂检测
描点、连线,图像如图所示.
-12-
7.4
探究一
课前篇自主预习
数学建模活动:周期现象的描述
探究二
课堂篇主题探究
课堂篇主题探究
当堂检测
π
π
(1)将 t=0 代入 s=4sin 2t+3 ,得 s=4sin3 =2√3,所以小球开始振动时
的位移是 2√3 cm.
(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是 4 cm 和-4
解(1)当 t=0 时,E=110√3(V),即开始时的电压为 110√3 V.
2π
1
(2)T=100π = 50 s,即时间间隔为 0.02 s.
π
π
1
(3)电压的最大值为 220√3 V,当 100πt+6 = 2 ,即 t=300 s 时第一次取
得最大值.
-14-
7.4
探究一
数学建模活动:周期现象的描述
课堂篇主题探究
当堂检测
反思感悟 解三角函数应用问题的基本步骤
-18-
7.4
课前篇自主预习
数学建模活动:周期现象的描述
探究一
探究二
当堂检测
1.电流I(单位:A)随时间t(单位:s)变化的关系是
I=3sin 100πt,t∈[0,+∞),则电流I变化的周期是(
1
A.50
B.50
2π
课堂篇主题探究
课堂篇主题探究
1
+ 300
1
= ,ω= =100π,I=300sin(100πt+φ).代入点 - ,0 ,
50
300
π
1
得 100π× -300 +φ=0,得 φ=3 ,
课件3：7.4 数学建模活动：周期现象的描述
【解析】该质点的振动周期为 T＝2×(0.7－0.3)＝0.8 s， 故 A 是错误的；该质点的振幅为 5 cm，故 B 是错误 的；该质点在 0.1 s 和 0.5 s 时的振动速度是零，所以 C 是错误的． 【答案】D
4．用作调频无线电信号的载波以y＝Asin(1.83×108πt)为 模型，其中t的单位是秒，则此载波的周期为________秒， 频率为________赫兹． 【解析】T＝1.832×π108π≈1.09×10－8(秒)，f＝T1 ＝1.832×π108π＝9.15×107(赫兹)． 【答案】1.09×10－8 9.15×107
一题多变 1．[变设问]若本例条件不变，则凌晨 2 点的浪高是多少？
解：∵y＝21cosπ6t＋1，则当 t＝2 时，y＝54. 故凌晨 2 点的浪高是54.
2．[变条件]本例若增加条件，冲浪比赛只能在白天进行， 且浪高不小于 1.25 米，则适合比赛的时间段是什么？ 解：由题意，令12cos π6t＋1≥45，即 cos π6t≥21， 则－π3＋2kπ≤π6t≤π3＋2kπ，k∈Z， 解得－2＋12k≤t≤2＋12k，k∈Z，当 k＝1 时，10≤t≤14.
解：(1)利用“五点法”可作出其图像． (2)因为当 t＝0 时，s＝6sinπ6＝3， 所以此时离开平衡位置 3 cm. (3)离开平衡位置 6 cm. (4)因为 T＝22ππ＝1， 所以单摆来回摆动一次所需的时间为 1 s.
类题通法 三角函数在物理中的应用
三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动 中，其中对弹簧振子和单摆的运动等有关问题考查最多， 尤其要弄清振幅、频率、周期、平衡位置等物理概念的意 义和表示方法．
来回摆一次所需的时间为 ( )
A．2π s
课件6：7.4 数学建模活动：周期现象的描述
4．若振动量 y＝ 2sin(ωx＋φ)(ω>0)的初相和频率分别是－π 和32，则它的相位 是______．
【答案】3πx－π
5.如图，已知一长为 3 dm，宽 1 dm 的长方形木块在桌面上作无滑动的翻 滚，翻滚到第三面时被一小木板挡住，使木块底面与桌面成 30°的角．问点 A 走过的路程的长及走过的弧度所对扇形的总面积．
反思感悟 解三角函数应用问题的基本步骤
跟踪训练 2.如图为一个缆车示意图，该缆车半径为 4.8 m，圆上最低点与地面距离 为 0.8 m,60 秒转动一圈，图中 OA 与地面垂直，以 OA 为始边，逆时针转动 θ 角到 OB，设 B 点与地面距离为 h.
(1)求 h 与 θ 之间的函数关系式； (2)设从 OA 开始转动，经过 t 秒后到达 OB；求 h 与 t 之间的函数解析式， 并求缆车第一次到达最高点时用的最少时间是多少？
题型探究 探究一 三角函数模型在物理中的应用
例 1.已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移 s(cm)随时间 t(s)的变化规律为 s＝4sin2t＋π3，t∈[0，＋∞)．用“五点法” 作出这个函数的简图，并回答下列问题： (1)小球在开始振动(t＝0)时的位移是多少？ (2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？ (3)经过多长时间小球往复振动一次？
t(h) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y(m) 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 用 y＝Asin ωt＋b 刻画水深与时间的对应关系，试求此函数解析式．
解：函数 y＝Asin ωt＋b 在一个周期内由最大变到最小需 9－3＝6(h)，此为半个周期，∴函数的最小正周期为 12 h， 因此2ωπ＝12，ω＝π6. 又∵当 t＝0 时，y＝10；当 t＝3 时，ymax＝13， ∴b＝10，A＝13－10＝3， ∴所求函数的解析式为 y＝3sin π6t＋10(0≤t≤24)．
20-21版：7.4 数学建模活动：周期现象的描述（创新设计）
7.4 数学建模活动：周期现象的描述新知探究温州市区著名景点——江心屿，江心屿上面有座寺庙——江心寺，在江心寺中题了一副非常知名的对联.上联是：云朝朝 朝朝朝 朝朝朝散；下联是：潮长长 长长长 长长长消.该对联巧妙地运用了叠字诗展现了瓯江潮水涨落的壮阔画面.下面是瓯江江心屿码头在某年某个季节每天的时间与水深的关系表：江心屿问题1 仔细观察表格中的数据，你能从中得到一些什么信息？问题2 以时间为横轴，水深为纵轴建立平面直角坐标系，将上面表格中的数据对应点描在直角坐标系中，你能得到什么结论？ 提示 1.水深随时间的变化呈周期变化.2.若用平滑的曲线连结各点，则大致呈正弦曲线.四类周期现象模型 函数的模型只能近似地刻画实际情况 (1)潮汐现象模型潮汐现象可以用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈[0，＋∞)，A ＞0，ω＞0)来表示. (2)单摆弹簧等简谐振动模型单摆、弹簧等简谐振动可以用三角函数表达为y ＝A sin(ωx ＋φ)，其中x 表示时间，y 表示位移，A 表示振幅，|ω|2π表示频率，φ表示初相位. (3)音叉发出的纯音振动模型音叉发出的纯音振动可以用三角函数表达为y ＝A sin ωx ，其中x 表示时间，y 表示纯音振动时音叉的位移，|ω|2π表示纯音振动的频率(对应音高)，A 表示纯音振动的振幅(对应音强). (4)交变电流模型交变电流可以用三角函数表达为y ＝A sin(ωx ＋φ)，其中x 表示时间，y 表示电流，A 表示最大电流，|ω|2π表示频率，φ表示初相位.拓展深化[微判断]1.数据拟合问题实际是根据提供的数据画出简图，求出相关的函数解析式，根据条件对所给问题进行预测和控制.(√)2.某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，t ∈[0，24).则实验室这一天的最大温差为4 ℃.(√) [微训练]1.电流I (A )随时间t (s)变化的关系式是I ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π3，则当t ＝1200 s 时，电流I 为________A.解析 I ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π3＝5cos π3＝2.5(A).答案 2.52.振动量y ＝ 2 s in(ωx ＋φ)(φ>0)的初相和频率分别为－π和32，则它的相位是________.解析 ∵T ＝23，∴ω＝3π，初相为－π， ∴相位为3πx －π. 答案 3πx －π[微思考]在建模过程中，散点图的作用是什么？提示 利用散点图可以较为直观地分析两个变量之间的某种关系，然后利用这种关系选择一种合适的函数去拟合这些散点，从而避免因盲目选择函数模型而造成的不必要的失误.题型一 由模型图像解决问题例1 已知电流I 与时间t 的关系为I ＝A sin(ωt ＋φ).(1)如图所示的是I ＝A sin(ωt ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在一个周期内的图像，根据图中数据求I ＝A sin(ωt ＋φ)的解析式；(2)如果t 在任意一段1150秒的时间内，电流I ＝A sin(ωt ＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？解 (1)由题图知A ＝300，设t 1＝1180，t 2＝11900， 则周期T ＝2(t 2－t 1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫11900－1180＝175.∴ω＝2πT ＝150π.又当t ＝1180时，I ＝0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫150π·1180＋φ＝0，而|φ|<π2，∴φ＝π6.故所求的解析式为I ＝300sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫150πt ＋π6，t ≥0.(2)依题意，周期T ≤1150， 即2πω≤1150(ω>0)，∴ω≥300π>942，又ω∈N *， 故所求最小正整数ω＝943.规律方法 已知三角函数图像解决应用问题，首先由图像确定三角函数的解析式，其关键是确定参数A ，ω，φ，同时在解题中注意各个参数的取值范围.训练1 弹簧振子以O 为平衡位置，在B ，C 两点间做简谐运动，B ，C 相距20 cm ，某时刻振子处在B 点，经0.5 s 振子首次到达C 点，求： (1)振动的振幅、周期和频率； (2)弹簧振子在5 s 内通过的路程及位移. 解 (1)设振幅为A ，则2A ＝20 cm ， 所以A ＝10 cm.设周期为T ，则T2＝0.5 s ，所以T ＝1 s ，所以f ＝1 Hz.(2)振子在1 s 内通过的路程为4A ，故在5 s 内通过的路程s ＝5×4A ＝20A ＝20×10＝200(cm).5 s 末物体处在B 点，所以它的位移为0 cm. 题型二 由模型解析式解决问题例2 一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，小球来回摆动时，离开平衡位置的位移s (单位：厘米)与时间t (单位：秒)的函数关系是：s ＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πt ＋π6.(1)画出它一个周期的图像； (2)回答以下问题：①小球开始摆动(即t ＝0)，离开平衡位置是多少厘米？ ②小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少厘米？ ③小球来回摆动一次需要多少时间？ 解 (1)周期T ＝2π2π＝1(秒). 列表：描点画图：(2)①小球开始摆动(t ＝0)，离开平衡位置为3 厘米. ②小球摆动时离开平衡位置的最大距离是6 厘米. ③小球来回摆动一次需要1 秒(即周期).规律方法 在物理学中，当物体做简谐运动时，可以用正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω＞0)来表示运动的位移y 随时间x 的变化规律，其中：(1)A 称为简谐运动的振幅，它表示物体运动时离开平衡位置的最大位移； (2)T ＝2πω称为简谐运动的周期，它表示物体往复运动一次所需的时间； (3)f ＝1T ＝ω2π称为简谐运动的频率，它表示单位时间内物体往复运动的次数. 训练2 已知某地一天从4点到16点的温度变化曲线近似满足函数y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －5π4＋20，x ∈[4，16].(1)求该地区这一段时间内的最大温差；(2)若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌能生存多长时间？解 (1)∵x ∈[4，16]，则π8x －5π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，3π4.由函数解析式易知，当π8x －5π4＝π2，即x ＝14时，函数取得最大值，最大值为30，即最高温度为30 ℃，当π8x －5π4＝－π2，即x ＝6时，函数取得最小值，最小值为10，即最低温度为10 ℃，所以最大温差为30－10＝20(℃).(2)令10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －5π4＋20＝15，可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －5π4＝－12，而x ∈[4，16]，所以x ＝263.令10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －5π4＋20＝25，可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －5π4＝12，而x ∈[4，16]，所以x ＝343.故该细菌在这段时间内能存活343－263＝83(小时). 题型三 确定模型解决问题例3 下表是某地某年月平均气温(华氏)：以月份为x 轴(x ＝月份－1)，以平均气温为y 轴. (1)描点作图，用正弦曲线去拟合这些数据； (2)估计这个正弦曲线的周期T 和振幅A ；(3)下面三个函数模型中，哪一个最适合这些数据？ ①y A ＝cos πx 6；②y －46A ＝cos πx 6；③y －46－A ＝cos πx6.解 (1)如图.(2)最低气温为1月份21.4，最高气温为7月份73.0， 故T2＝7－1＝6，所以T ＝12.因为2A 的值等于最高气温与最低气温的差， 即2A ＝73.0－21.4＝51.6，所以A ＝25.8. (3)因为x ＝月份－1，所以不妨取x ＝2－1＝1，y ＝26.0. 代入①得y A ＝26.025.8>1≠cos π6，故①不适合； 代入②得y －46A ＝26.0－4625.8<0≠cos π6，故②不适合. 所以应选③.规律方法 根据收集的数据，先画出相应的“散点图”，观察散点图，然后进行函数拟合获得具体的函数模型，然后利用这个模型解决实际问题.训练3 一物体相对于某一固定位置的位移y (cm)和时间t (s)之间的一组对应值如下表所示，则可近似地描述该物体的位置y 和时间t 之间的关系的一个三角函数式为________.解析 设y ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0)，则从表中数据可以得到A ＝4，ω＝2πT ＝2π0.8＝5π2，又由4sin φ＝－4.0，得sin φ＝－1，取φ＝－π2，则y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2t －π2，即y ＝－4cos 5π2t .答案 y ＝－4cos 5π2t一、素养落地1.通过本节课的学习，重点提升学生的数学抽象、数学运算、数学建模素养.2.三角函数模型构建的步骤：(1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象. (2)制作散点图，选择函数模型进行拟合. (3)利用三角函数模型解决实际问题.(4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验. 二、素养训练1.如图所示的一个单摆，以平衡位置OA 为始边、OB 为终边的角θ(－π<θ<π)与时间t (s)满足函数关系式θ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t ＋π2，则当t ＝0时，角θ的大小及单摆的频率是( )A.12，1πB.2，1πC.12，πD.2，π解析 当t ＝0时，θ＝12sin π2＝12，由函数解析式易知，单摆的周期为2π2＝π，故单摆的频率为1π，故选A. 答案 A2.已知简谐振动的振幅是32，图像上相邻最高点和最低点的距离是5，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34，则该简谐振动的频率和初相是( ) A.16，π6 B.18，π6 C.18，π3 D.16，π3 解析 由题意可知A ＝32，32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫T 22＝52，则T ＝8，ω＝2π8＝π4，∴y ＝32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋φ.由图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34得32sin φ＝34，∴sin φ＝12，∵|φ|<π2，∴φ＝π6，因此频率是18，初相为π6，故选B. 答案 B3.商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数F (t )＝50＋4sin t2(t ≥0)，则在下列时间段中人流量是增加的是( ) A.[0，5] B.[5，10] C.[10，15]D.[15，20]解析 由2k π－π2≤t 2≤2k π＋π2，k ∈Z ， 知函数F (t )的增区间为[4k π－π，4k π＋π]，k ∈Z . 当k ＝1时，t ∈[3π，5π]， 而[10，15]⊆[3π，5π]，故选C. 答案 C4.已知国际油价在某一段时间内呈现出正弦波动规律：P ＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωπt ＋π4＋60(美元)，t 为天数，A >0，ω>0，现采集到下列信息：最高油价80美元，当t ＝150天时，油价最低，则ω最小值为________.解析 A ＋60＝80得A ＝20，且150πω＋π4＝－π2＋2k π，k ∈Z ，即k ＝1时，ω最小值为1120.答案 11205.如图所示，某地一天6～14时的温度变化曲线可以近似看作函数y ＝A sin(ωt ＋φ)＋b 的部分图像，其中A ＞0，0＜φ＜π.(1)求这一天的最大温度差； (2)写出这段曲线的函数解析式.解 (1)由题图可知，这段时间的最大温度差是20 ℃.(2)从题图中可看出，6～14时的图像是函数的半个周期的图像. 由y ＝A sin(ωt ＋φ)＋b ，得A ＝30－102＝10，b ＝30＋102＝20.∵12·2πω＝14－6，∴ω＝π8.将t ＝6，y ＝10代入y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8t ＋φ＋20，解得φ＝3π4.综上，这段曲线的函数解析式为y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8t ＋3π4＋20，t ∈[6，14].。
19-20版：7.4 数学建模活动：周期现象的描述 （步步高）
7．4 数学建模活动：周期现象的描述学习目标 1.借助具体实例，理解一类波动问题(如光波、声波、电磁波)等周期现象可以用三角函数刻画.2.会用三角函数解决一些简单的实际问题．知识点一 三角函数的应用 1．三角函数模型的作用三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测未来等方面发挥重要作用． 2．用函数模型解决实际问题的一般步骤收集数据―→画散点图―→选择函数模型―→求解函数模型―→检验． 知识点二 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，A >0，ω>0中参数的物理意义1．函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6的初相为________． 答案 －π62．电流I (A)随时间t (s)变化的关系式是I ＝5sin ⎝⎛⎭⎫100πt ＋π3，则当t ＝1200时，电流为________ A. 答案 523．如图为某简谐运动的图像，则这个简谐运动需要______ s 往返一次．答案 0.8一、三角函数模型在物理中的应用例1 已知电流I 与时间t 的关系为I ＝A sin(ωt ＋φ)．(1)如图所示的是I ＝A sin(ωt ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2在一个周期内的图像，根据图中数据求I ＝A sin(ωt ＋φ)的解析式；(2)如果t 在任意一段1150的时间内，电流I ＝A sin(ωt ＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？解 (1)由题图可知A ＝300，设t 1＝－1900，t 2＝1180，则周期T ＝2(t 2－t 1)＝2⎝⎛⎭⎫1180＋1900＝175. ∴ω＝2πT ＝150π.又当t ＝1180时，I ＝0，即sin ⎝⎛⎭⎫150π·1180＋φ＝0， 而|φ|<π2，∴φ＝π6.故所求的解析式为I ＝300sin ⎝⎛⎭⎫150πt ＋π6. (2)依题意知，周期T ≤1150，即2πω≤1150(ω>0)， ∴ω≥300π>942，又ω∈N ＋， 故所求最小正整数ω＝943. 反思感悟 处理物理学问题的策略(1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性． (2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题．跟踪训练1 一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，当小球来回摆动时，离开平衡位置的位移S (单位：cm)与时间t (单位：s)的函数关系是S ＝6sin ⎝⎛⎭⎫2πt ＋π6. (1)画出它的图像； (2)回答以下问题：①小球开始摆动(即t ＝0)时，离开平衡位置是多少？ ②小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少？③小球来回摆动一次需要多少时间？ 解 (1)周期T ＝2π2π＝1(s)．列表．t 0 16 512 23 1112 1 2πt ＋π6π6 π2 π 3π2 2π 2π＋π66sin ⎝⎛⎭⎫2πt ＋π6 36－63作图，如图所示．(2)①小球开始摆动(即t ＝0)时，离开平衡位置为3 cm. ②小球摆动时离开平衡位置的最大距离是6 cm. ③小球来回摆动一次需要1 s(即周期)． 二、三角函数模型在生活中的应用例2 某港口相邻两次高潮发生的时间间隔为12 h 20 min ，低潮时入口处水的深度为2.8 m ，高潮时为8.4 m ，已知一次高潮发生在10月3日2：00.(1)若从10月3日0：00开始计算时间，选用一个三角函数模型来近似描述这个港口入口处的水深d (m)和时间t (h)之间的函数关系； (2)求出10月4日15：00入口处水的深度．解 (1)设此三角函数模型是d ＝A sin(ωt ＋φ)＋b (t ≥0)，根据题意可知周期T ＝373(h)．所以ω＝2πT ＝6π37，A ＝d max －d min 2＝8.4－2.82＝2.8，b ＝d max ＋d min 2＝8.4＋2.82＝5.6，所以d ＝2.8sin ⎝⎛⎭⎫6π37t ＋φ＋5.6(t ≥0)，又因为当t ＝2时，d 取得最大值， 所以2.8sin ⎝⎛⎭⎫12π37＋φ＋5.6＝8.4，所以可取φ＝13π74，所以d ＝2.8sin ⎝⎛⎭⎫6π37t ＋13π74＋5.6(t ≥0)． (2)10月4日15：00相当于t ＝39，此时入口处水的深度d ＝2.8sin ⎝⎛⎭⎫6π37×39＋13π74＋5.6＝8.4(米)．反思感悟 解三角函数应用问题的基本步骤跟踪训练2 通常情况下，同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的图像．某年2月下旬某地区连续几天最高温度都出现在14时，最高温度为14 ℃；最低温度出现在凌晨2时，最低温度为零下2 ℃.(1)求出该地区该时段的温度函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0，|φ|<π，x ∈[0,24))的表达式； (2)29日上午9时某高中将举行期末考试，如果温度低于10 ℃，教室就要开空调，请问届时学校后勤应该开空调吗？解 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ A ＋b ＝14，－A ＋b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝8，b ＝6，易知T 2＝14－2，所以T ＝24，所以ω＝π12，易知8sin ⎝⎛⎭⎫π12×2＋φ＋6＝－2， 即sin ⎝⎛⎭⎫π12×2＋φ＝－1， 故π12×2＋φ＝－π2＋2k π，k ∈Z ， 又|φ|<π，得φ＝－2π3，所以y ＝8sin ⎝⎛⎭⎫π12x －2π3＋6(x ∈[0,24))． (2)当x ＝9时，y ＝8sin ⎝⎛⎭⎫π12×9－2π3＋6 ＝8sinπ12＋6<8sin π6＋6＝10. 所以届时学校后勤应该开空调．1．弹簧振子的振幅为2 cm ，在6 s 内振子通过路程是32 cm ，由此可知该振子振动的( ) A ．频率为1.5 Hz B ．周期为1.5 s C ．周期为6 sD ．频率为6 Hz答案 B解析 振幅为2 cm ，振子在一个周期内通过的路程为8 cm ，易知在6 s 内振动了4个周期，所以T ＝1.5 s.2．如图是一半径为3 m 的水轮，水轮圆心O 距离水面2 m ，已知水轮1 min 旋转4圈，水轮上的点P 到水面距离y (m)与时间x (s)满足的函数关系y ＝A sin(ωx ＋φ)＋2，则有( )A ．ω＝2π15，A ＝3B ．ω＝152π，A ＝3C ．ω＝2π15，A ＝5D ．ω＝152π，A ＝5答案 A解析 由题目可知y 的最大值为5，所以5＝A ×1＋2，得A ＝3，由于T ＝15，所以ω＝2π15.3．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数F (t )＝50＋4sin t2(t ≥0)，则在下列哪个时间段内人流量是增加的？( )A ．[0,5]B ．[5,10]C ．[10,15]D ．[15,20] 答案 C解析 由2k π－π2≤t 2≤2k π＋π2，k ∈Z ，知函数F (t )的增区间为[4k π－π，4k π＋π]，k ∈Z .当k ＝1时，t ∈[3π，5π]，而[10,15]⊆[3π，5π]，故选C.4．在两个弹簧上各有一个质量分别为M 1和M 2的小球做上下自由振动．已知它们在时间t (s)离开平衡位置的位移s 1(cm)和s 2(cm)分别由s 1＝5sin ⎝⎛⎭⎫2t ＋π6，s 2＝10cos 2t 确定，则当t ＝2π3 s 时，s 1与s 2的大小关系是( ) A ．s 1>s 2 B ．s 1<s 2 C ．s 1＝s 2 D ．不能确定 答案 C解析 当t ＝2π3时，s 1＝5sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋π6＝5sin 3π2＝－5， 当t ＝2π3时，s 2＝10cos 4π3＝10×⎝⎛⎭⎫－12＝－5，故s 1＝s 2. 5．设y ＝f (t )是某港口水的深度y (m)关于时间t (h)的函数，其中0≤t ≤24，下列是该港口某一天从0 h 至24 h 记录的时间t 与水深y 的关系：t3691215182124y12 15.1 12.1 9.1 11.9 14.9 11.9 8.9 12.1经观察，函数y ＝f (t )的图像可以近似地看成函数y ＝k ＋A sin(ωt ＋φ)(t ∈[0,24])的图像，最能近似表示数据间对应关系的是________________． 答案 y ＝12＋3sin π6t解析 由图表可知，k ＝12，A ＝3，T 4＝3，∴T ＝12，ω＝2π12＝π6，又当t ＝0时，y ＝12，且点(0,12)在函数的单调递增区间上，∴φ＝2n π，n ∈Z ，令n ＝0，得φ＝0. ∴f (t )＝12＋3sin π6t .1．知识清单：(1)三角函数模型在物理中的应用． (2)三角函数模型在生活中的应用． 2．方法归纳：数学建模．。
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解析：当 t＝23π时，s1＝－5，s2＝－5，所以 s1＝s2。 答案：C
3．如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图， 经过12周期后，乙的位置将传播至（ ）
（3）实际问题的背景往往比较复杂，而且需要综合应用多门 学科的知识才能完成，因此，在应用数学知识解决实际问题时，应 当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知 识来帮助解决问题。
（4）实际问题通常涉及复杂的数据，因此往往需要用到计算 机或计算器。
[基础自测]
1．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场 的人流量满足函数 F(t)＝50＋4sin2t (t≥0)，则在下列哪个时间段内 人流量是增加的（ ）
A．[0，5] B．[5，10] C．[10，15] D．[15，20]
解析：由 2kπ－π2≤2t ≤2kπ＋2π，k∈Z，知函数 F(t) 的增区间为[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z。当 k＝1 时，t∈[3π， 5π]，而[10，15]⊆[3π，5π]，故选 C。
答案：C
2．在两个弹簧上各挂一个质量分别为 M1 和 M2 的小球，它们 做上下自由振动，已知它们在时间 t(s)时离开平衡位置的位移 s1(cm) 和 s2(cm)分别由下列两式确定：
【解析】 （1）以时间 x（单位：h）为横坐标，水深 y（单位：m）为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图(图 1)。 根据图象，可以考虑用函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋h 刻画水深与 时间之间的对应关系。从数据和图象可以得出：
A＝2．5，h＝5，T＝12．4，φ＝0； 由 T＝2ωπ＝12．4，得 ω＝351π。 所以，这个港口的水深与时间的关系
2．5sin53π1x＋5＝5．5，sin53π1x＝0.2． 由计算器可得
0.201 357 920 8≈0.201 4．
如图 2，在区间[0，12]内，函数 y＝2．5sin53π1x＋5 的图象与直 线 y＝5.5 有两个交点 A，B，因此
53π1x≈0.201 4，或 π－53π1x≈0.201 4。
/m
时刻 12：00 13：00 14：00 15：00 16：00 17：00 18：00 19：00 20：00 21：00 22：00 23：00
水深 /m
4.497
5.748
6.812
7.420
7.420
6.812
5.748
4.497
3.372
2.656
2.529
3.023
（2）货船需要的安全水深为 4＋1．5＝5．5 m，所以当 y≥5．5 时就可以进港。令
三角函数在实际生活中的应用 例 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮。 一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐。在通常情况下，船在涨潮时驶进航 道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋。下表是某港口某天的 时刻与水深关系的预报。
时刻 水深/m 时刻 水深/m 时刻 水深/m 0：00 5.0 9：18 2.5 18：36 5.0 3：06 7.5 12：24 5.0 21：42 2.5 6：12 5.0 15：30 7.5 24：00 4.0
解得 xA≈0.397 5，xB≈5.802 5． 由函数的周期性易得：
xC≈12.4＋0.397 5＝12.797 5， xD≈12.4＋5.802 5＝18.202 5． 因此，货船可以在零时 30 分左右进港，早晨 5 时 45 分左右出 港；或在下午 13 时左右进港，下午 18 时左右出港。每次可以在港 口停留 5 小时左右。
数学建模活动：周期现象的描述
最新课程标准： 会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角 函数构建刻画事物周期变化的数学模型。
三角函数模型应用的步骤 三角函数模型应用即建模问题，根据题意建立三角函数模型， 再求出相应的三角函数在某点处的函数值，进而使实际问题得到解 决。 步骤可记为：审读题意→建立三角函数式→根据题意求出某点 的三角函数值→解决实际问题。 这里的关键是建__立__数__学 ___模__型_，一般先根据题意设出代表函数， 再利用数据求出待定系数，然后写出具体的三角函数解析式。
（1）选用一个函数来近似描述这一天该港口的水深与时间的 关系，给出整点时水深的近似数值（精确 0.001 m）。
（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为 4 m，安全 条例规定至少要有 1．5 m 的安全间隙（船底与洋底的距离），该船 这一天何时能进入港口？在港口能呆多久？
（3）某船的吃水深度为 4 m，安全间隙为 1．5 m，该船这一 天在 2：00 开始卸货，吃水深度以 0.3 m/h 的速度减少，如果这条 船停止卸货后需 0.4 h 才能驶到深水域，那么该船最好在什么时间 停止卸货，将船驶向较深的水域？
状元随笔 解答三角函数应用题应注意四点
（1）三角函数应用题的语言形式多为“文字语言、图形语言、 符号语言”并用，阅读理解中要读懂题目所要反映的实际问题的背 景，领悟其中的数学本质，列出等量或不等量的关系。
（2）在建立变量关系这一关键步骤上，要充分运用数形结合 的思想、图形语言和符号语言并用的思维方式来打开思想解决问 题。
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
解析：相邻的最大值与最小值之间间隔区间长度为半个周期， 故选 C。
答案：C
4．简谐振动 y＝12sin4x＋6π的频率和相位分别是________。
解析：简谐振动 y＝12sin4x＋π6的周期是 T＝24π＝2π，相位是 4x ＋π6，频率 f＝T1＝2π。
答案：2π，4x＋π6
可用函数 y＝2．5sin53π1 Nhomakorabea＋5 近似描述。
由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值（表）：
时刻 0：00 1：00 2：00 3：00 4：00 5：00 6：00 7：00 8：00 9：00 10：00 11：00
水深 5.000 6.213 7.122 7.497 7.245 6.428 5.253 4.014 3.023 2.529 2.656 3.372