库仑规范洛伦兹规范

2、规范变换和规范不变性


种等虽价然的方E 式和，B但，由以于及EA 、和B 和是描A 、述电之磁间场是的微两分
方程的关系，所以它 们之间的关系不是一一对应 的，这是因为矢势 A 可 以加上一个任意标量函数
的的将梯梯E度度 ，在结E果不A影响中B的A，t而与中这此对个融E 任合要意也发标作生量相影函应响数，的但
E



B t

B 0
H
j

D t

D 0E , B 0H .
针对磁场
B 0
引入


B A

A的物理意义可由下 式看出：
L
A dl


B ds
S
即在任一时刻，矢量 A 沿任一闭合回路L的线积
b) 洛仑兹规范(Lorentz gauge)
洛仑兹规范条件为

1


A

C
2

t
0
，即规
定 A 是一个有旋有源场（即 A包含横场和纵场两
部分），这个规范的特点是把势的基本方程化为
特别简单的对称形式。
3、达朗贝尔(d’ Alembert)方程
从Maxwell’s equations





A
t
电磁场和势之间的关系如下


B A


E




A t
注意： a) 当 A与时间无关，即
这时 就直接归结为电势；
A t

0时,且
E


b)
绝对不要把
E

A
中的标势


t
与电势 况下，

E
(E ) 混为一谈。因为在非稳恒情
分等于该时刻通过以L为边线的曲面S的磁通量。
对于电场
E
不能像静电场那样直接引入电势。由
Faraday电磁感应定律可得：
E


B



(
A)


A
t t
t



E

A t


0
E

A


t
是标势不 是静电势
即
E
上述方程化为
2

2
A


0
1 c2
2A t 2

1 c2
t
( )


0 j
b)
采用洛仑兹规范(


A

1

0)
c 2 t
上述方程化为
2

2
A

1 c2
1 c2
2
t 2
2A t 2



t

变换，则仍可使 E 保持不变。
设
为任意的标量函数，即

(x,
t)，作下
述变换式：


A

A

A
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t

于是我们得到了一组新的 A . ，很容易证明：



A ( A ) A ( )

i c2


1 c2
1 c2
2
t
2

2A
t 2
0 0

A

i(kxt )
e0
i(
k x
t
)
A e0
由Lorentz规范条件
A
1

0，即得
ik

A

1 c2
c 2 t
(i)
0


c2
k

A

这表明，只要给定了
D


E



A
D 0E

t
出发推导2 A矢 势c12A和2t 2A标势(
所满足的方程，得到：

A
1 c2
)
t

0
j

2



A


t
0
a) 采用库仑规范 ( A 0)
电磁场的矢势和标势 推迟势 电偶极辐射 电磁波的干涉和衍射 电磁场的动量
§5. 1 电磁场的矢势和标势
Vector and Scalar Potential of Electromagnetic

1、用势 A , 描述电磁场
为简单起见，讨论真空中的电磁场：

D


库仑规范条件为 A 0，即规定 A 是一个
有旋无源场（横场）。这个规范的特点是 E 的纵
场场部部分分完 由全A 描由述（描即述（A即具有无具源有性无）旋。性由)，横
E
t


A
t

可见， 项对应库仑场
E库
，
A t
对应着感应
场E感 。
不再是保守力场，不存在势能的概念，
这就是说现在的 ，在数值上不等于把单位正电
荷从空间一点移到无穷远处电场力所做的功。为
了区别于静电场的电势，把这里的 称为标势
（Scalar potential)。
整体c，) 必在须时把变矢场势中A，和磁标场势和电场作是为相一互个作整用体着来的描
述电磁场。

A B

A

(


)


( A
)
t
t t
( ) A ( )



t A

E
t t
t


由此可见，(A . ) 和 ( A. ) 描述同一电磁场。
a) 库仑规范(Coulomb gauge)
0 0
j
这就是所谓达朗贝尔（ d’ Alembert ）方程。
4、举例讨论
试求单色平面电磁波的势
Solution:
单色平面电磁波在没有电荷，电流分布的自 由空间中传播，因而势方程（达朗贝尔方程在 Lorentz规范条件下）变为波动方程：

2

其解的形式为：
2
A

A
，就可以确定单色平面电
磁波，这是因为：


B


A

ik

A

ik

(
A横

A纵
)

ik

A横

ik

A纵
E

ik A横

A

0（对于单色平面波而言）


ik iA
t

ik (
c
2
k

A)

iA
第五章 电磁波的辐射
Electromagnetic Wave Radiation
本章所研究的问题是电磁波的辐射。方 法和稳恒场情况一样，当考虑由电荷、电 流分布激发电磁场的问题时，引入势的概 念来描述电磁场比较方便。
本章首先把势的概念推广到一般变化电 磁场情况，然后通过势来解辐射问题。
本章主要内容